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Magnétostatique : bref historique

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  • Magntostatique : bref historique

    Les aimants sont connus depuis lan1quit, et sont u1liss il y a plus de 1000 ans en Chine pour raliser les premires boussoles. 1752 : Franklin dcouvre la nature lectrique de la foudre, et on remarque que la foudre perturbe les boussoles => communaut de nature entre les phnomnes lectriques et magn1ques 1820 : Exprience dOersted : un fil parcouru par un courant lectrique dvie une boussole ! 1873 : Maxwell unifie les no1ons de champs lectrique et magn1que

  • La force de Lorentz Lexpression de la force de Coulomb pour des charges immobiles (sta1ques)

    doit tre modifie si les charges sont en mouvement les unes par rapport aux autres. Il faut en effet tenir compte du retard que met le champ se propager de q vers q lorsque q se dplace, dans le cadre de la rela1vit restreinte.

    Le premier terme est le champ lectrique sta1que , le second terme, quon peut voir comme une correc1on rela1viste la force de Coulomb, dcrit un nouvel effet. On crit la force de Lorentz agissant sur la charge q :

    On adme[ra ici que ce[e correc1on (en toute rigueur valable uniquement lorsque les charges se dplacent lentement par rapport c) scrit :

    O B est le champ magn1que cre par q

  • Le champ magntique Lexpression du champ magn1que cre par la charge ponctuelle q anime dune vitesse uniforme v (pe1te devant celle de la lumire c) est donc

    O a introduit la permabilit du vide 0 telle que

    0 est choisie, par dfini1on de lAmpre, gale

    Lunit du champ magn5que est le Tesla (symbole T)

    Ordres de grandeur macroscopiques : Champ terrestre : environ 4.10-5 T / Aimant : 1-10 mT Bobine supraconductrice : environ 10 T / Etoile neutron : 108 T

    Au niveau microscopique : champ cre par un lectron tournant autour de son noyau (v 2.106 m/s et r 5.10-11m) au centre de lorbite?

    B = 12 T => les champ microscopiques ont tendance sannuler vectoriellement

  • La formule de Biot et Savard (1820)

    Si on considre le champ magn1que lmentaire dB cre en un point M par un pe1t lment de volume dV situ au point P, de densit de charge en mouvement avec une vitesse v, on ob1ent

    Sous forme intgrale, ce[e expression cons1tue la formule de Biot et Savard :

    On sera trs souvent amen considrer que la densit volumique de courant j est limite un fil . On a dans ce cas

    ~jdV = (~j ~dS)~d`Et donc

  • Rgles de symtrie du champ magntique

    B est un champ pseudo-vectoriel , on parle aussi de vecteur axial. Cest dire quil est dfini par un produit vectoriel des termes sources.

    Un plan de symtrie de la distribu5on de courant j est donc un plan dan5symtrie du champ B

  • Rgles de symtrie du champ magntique

  • Exemples de lignes de champ magntique

    Fil rec1ligne

    Spire

    (crdit Hecht)

  • Exemples de lignes de champ magntique

    Associa1ons de spires (solnoide) :

    Aimant (diple magn1que)

  • Calcul de champ magntique : centre dune spire

    On cherche le champ au centre de la spire

    Biot et Savard :

    On se place en coordones polaires (cylindriques de mme axe que celui de la spire, mais ici on nu1lisera pas z)

    Et donc

  • Calcul de champ magntique : axe dune spire

    On se place en coordones cylindriques de mme axe que celui de la spire, on ob1ent

    O on a u1lis le fait que Z 2

    0~e()d = 0

  • Non-divergence de B (Maxwell-Thomson) Le champ magn1que cre en un point M quelconque vaut

    Calculons sa divergence :

    =

    Le rota1onel de v est nul, celui de er/r2 lest aussi (expression du rota1onnel en sphrique :

    On en dduit ce rsultat gnral et extrmement important :

    ou encore Le flux de B travers toute surface ferme est nul

  • Potentiel vecteur

    On vient de voir que la divergence de B est toujours nulle. On peut donc, sans perdre en gnralit, crire B comme le rota1onnel dun champ de vecteur A (puisque la divergence dun rota1onnel est toujours nulle)

    A est appel poten1el vecteur du champ magn1que. Tout comme le champ E drivait dans le cas sta1que dun poten1el scalaire V, le champ magn1que drive dun poten1el, mais qui a une forme vectorielle et non scalaire.

    Le rota1onnel du gradient dune fonc1on scalaire quelconque tant nul, A est en fait dfini au gradient dune fonc1on quelconque prs (cest dire quajouter grad() A ne changera pas B, qui est lobservable physique, via la force de Lorentz). Le choix de la fonc1on cons1tue le choix de Jauge du champ. On peut par exemple choisir tel que div(A) = 0 (cest la jauge dite de Coulomb ). Dans ce cas on peut montrer que A est li simplement aux sources

  • Thorme dAmpre

    La circula1on du champ magn1que le long de tout contour ferm C est gale au produit de la permabilit du vide par le courant traversant toute surface S sappuyant sur le contour ferm C.

    Le courant est compt algbriquement en tenant compte de la rgle dAmpre.

    On peut aussi crire le thorme I

    C~B ~d` = 0

    ZZ

    S~j ~dS

    Lorienta1on de la surface S et du contour C doit alors tre faite de manire cohrente

  • Thorme dAmpre (forme locale)

    On vient de voir quon pouvait crire le thorme dAmpre sous la forme I

    C~B ~d` = 0

    ZZ

    S~j ~dS

    Il sagit dune forme par1elle de lqua1on de Maxwell-Ampre. Elle nest valable que dans lhypothse de courant constant dans le temps (ou tout du moins lentement variables) Nous verrons en fin de semestre que ce[e qua1on doit tre complte dun terme dit courant de dplacement pour des varia1ons plus rapides.

    Lapplica1on du thorme de Stokes nous permet dobtenir une forme locale

  • Champ produit par un fil infini

    Do

    A lextrieur du fil :

    Et donc

  • Champ produit par un solnode infini

    Thorme dAmpre sur le contour C2 :

    Symtries et invariances :

    Thorme dAmpre sur le contour C1 :

    Vu que le champ doit tre nul linfini, on en dduit que le champ est nul lextrieur du solnode infini

    O n est la densit de spire (nombre de spire par unit de longueur).

    Or, on en dduit que

  • Traverse dune nappe de courant

    Symtries et invariances :

    Intgrale du champ sur le contour ABCD :

    ~B = B(z) ~ex

    et B(z) = B(z)

    I~B ~d` = 2B(z)`

    Courant enlac dans le contour ABCD I = js`

    Le plan xOy est parcouru par une nappe de courant surfacique js

    Donc B(z) =0js2

    On a donc une discon5nuit de la composante tangen5elle du champ la traverse de la nappe

    Rsultat gnralisable toute surface :