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UNIDAD I MAGNITUDES FISICAS
TEMA 1 MEDICIONES
MAGNITUD FÍSICA
Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que
se le pueden asignar distintos valorescomo resultado de una medición. Las magnitudes físicas
se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la
cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón. Por ejemplo, se considera que el patrón
principal de longitud es el metro en el Sistema Internacional de Unidades.
Las primeras magnitudes definidas estaban relacionadas con la medición de longitudes, áreas,
volúmenes, masas patrón, y la duración de periodos de tiempo.
Existen magnitudes básicas y derivadas, y constituyen ejemplos de magnitudes físicas: la masa, la
longitud, el tiempo, la carga eléctrica, la densidad, la temperatura, la velocidad, la aceleración, y la
energía. En términos generales, es toda propiedad de los cuerpos que puede ser medida. De lo
dicho se desprende la importancia fundamental del instrumento de medición en la definición de la
magnitud.
La Oficina Internacional de Pesos y Medidas, por medio del Vocabulario Internacional de
Metrología (International Vocabulary of Metrology, VIM), define a la magnitud como un atributo de
un fenómeno; un cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado
cuantitativamente .
A diferencia de las unidades empleadas para expresar su valor, las magnitudes físicas se expresan
en cursiva: así, por ejemplo, la "masa" se indica con "m ", y "una masa de 3 kilogramos" la
expresaremos como m = 3 kg.
Las magnitudes físicas pueden ser clasificadas de acuerdo a varios criterios:
1. Según su expresión matemática, las magnitudes se clasifican en escalares, vectoriales o
tensoriales.
2. Según su actividad, se clasifican en magnitudes extensivas e intensivas.
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1. Magnitudes escalares, vectoriales y tensoriales
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente definidas por un número
y las unidades utilizadas para su medida. Esto es, las magnitudes escalares están
representadas por el ente matemático más simple, por un número. Podemos decir que poseenun módulo, pero que carecen de dirección. Su valor puede ser independiente
del observador (v.g.: la masa, la temperatura, la densidad, etc.) o depender de la posición o
estado de movimiento del observador (v.g.: la energía cinética)
Las magnitudes vectoriales son aquellas que quedan caracterizadas por una cantidad
(intensidad o módulo), y una dirección. En un espacio euclidiano, de no más de tres
dimensiones, un vector se representa mediante un segmento orientado. Ejemplos de estas
magnitudes son: la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, intensidad
luminosa, etc.
Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente
estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de
cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes
observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el
campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la
relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de
una magnitud tensorial.
Las magnitudes tensoriales son las que caracterizan propiedades o comportamientosfísicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al
elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de
movimiento o de orientación.
De acuerdo con el tipo de magnitud, debemos escoger leyes de transformación de las
componentes físicas de las magnitudes medidas, para poder ver si diferentes observadores
hicieron la misma medida o para saber qué medidas obtendrá un observador, conocidas las de otro
cuya orientación y estado de movimiento respecto al primero sean conocidos.
1.1. Magnitudes extensivas e intensivas
Una magnitud extensiva es una magnitud que depende de la cantidad de sustancia que tiene el
cuerpo o sistema. Las magnitudes extensivas son aditivas. Si consideramos un sistema físico
formado por dos partes o subsistemas, el valor total de una magnitud extensiva resulta ser la suma
de sus valores en cada una de las dos partes. Ejemplos: la masa y el volumen de un cuerpo o
sistema, la energía de un sistema termodinámico, etc.
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Una magnitud intensiva es aquella cuyo valor no depende de la cantidad de materia del sistema.
Las magnitudes intensivas tiene el mismo valor para un sistema que para cada una de sus partes
consideradas como subsistemas. Ejemplos: la densidad, la temperatura y la presión de un sistema
termodinámico en equilibrio.
En general, el cociente entre dos magnitudes extensivas da como resultado una magnitud
intensiva. Ejemplo: masa dividida por volumen representa densidad.
2. Sistema de unidades
Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto
básico de unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de
unidades:
Sistema Internacional de Unidades o SI: es el sistema más usado. Sus unidades básicas
son: el metro, el kilogramo, el segundo, elampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás
unidades son derivadas del Sistema Internacional.
Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas.
Sistema cegesimal o CGS: denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro,
el gramo y el segundo.
Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas
valgan exactamente 1.
Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este
sistema está en desuso.
Sistema anglosajón de unidades: aún utilizado en algunos países anglosajones. Muchos de
ellos lo están reemplazando por el Sistema Internacional de Unidades.
Además de éstos, existen unidades prácticas usadas en diferentes campos y ciencias. Algunas de
ellas son:
Unidades atómicas
Unidades usadas en Astronomía
Unidades de longitud Unidades de superficie
Unidades de volumen
Unidades de masa
Unidades de medida de energía
Unidades de temperatura
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Unidades de densidad
3. Sistema Internacional de Unidades
El Sistema Internacional de Unidades es la forma actual del sistema métrico decimal y establece
las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité Internacionalde Pesos y Medidas con sede en Francia. En él se establecen 7 magnitudes fundamentales, con
los patrones para medirlas:
1. Longitud
2. Masa
3. Tiempo
4. Intensidad eléctrica
5. Temperatura
6. Intensidad luminosa
7. Cantidad de sustancia
También establece muchas magnitudes derivadas, que no necesitan de un patrón, por estar
compuestas de magnitudes fundamentales.
3.1. Patrón de medida
Un patrón de medidas es el hecho aislado y conocido que sirve como fundamento para crear una
unidad de medir magnitudes.
Muchas unidades tienen patrones, pero en el sistema métrico sólo las unidades básicas tienen
patrones de medidas.
Los patrones nunca varían su valor. Aunque han ido evolucionando, porque los anteriores
establecidos eran variables y, se establecieron otros diferentes considerados invariables.
Ejemplo de un patrón de medida sería: "Patrón del segundo: Es la duración de 9 192 631 770
períodos de radiación correspondiente a la transición entre 2 niveles hiperfinos del estado
fundamental del átomo de Cesio 133" . Como se puede leer en el artículo sobre el segundo.
De todos los patrones del sistema métrico, sólo existe la muestra material de uno, es el kilogramo, conservado en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas . De ese patrón se han hecho varias
copias para varios países.
Un ejemplo de patrones de medida son:
1. Segundo
2. Metro
(tiempo)
(longitud)
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3.2. Tablas de conversión
Las unidades del SI no han sido adoptadas en el mundo entero. Los países anglosajones utilizan
muchas unidades del SI, pero todavía emplean unidades propias de su cultura como el pie, la libra,
la milla, etc.
En la navegación todavía se usa la milla y legua náuticas. En las industrias del mundo todavía se
utilizan unidades como: PSI, BTU, galones por minuto, granos por galón, barriles de petróleo, etc.Por eso todavía son necesarias las tablas de conversión, que convierten el valor de una unidad al
valor de otra unidad de la misma magnitud. Ejemplo: Con una tabla de conversión se
convierten 5 p a su valor correspondiente en metros, que sería de 1,524 .
3.3. Errores de conversión
Al convertir unidades se cometen inexactitudes, porque el valor convertido no equivale
exactamente a la unidad original, debido a que el valor del factor de conversión también es
inexacto.
Ejemplo: 5 lb son aproximadamente 2,268 kg, porque el factor de conversión indica que 1 lb vale
aproximadamente 0,4536 kg.
Pero 5 lb equivalen a 2,26796185 kg porque el factor de conversión indica que 1 lb equivale a
0,45359237 Kilogramos.
Sin embargo, la exactitud al convertir unidades no es usada frecuentemente pues en general basta
tener valores aproximados.
3.4. Tipos de unidades de medidas
1. Unidades de capacidad
2. Unidades de densidad
3. Unidades de energía
4. Unidades de fuerza
5. Unidades de longitud
3. Amperio
4. Mol
5. Kilogramo
6. Kelvin
7. Candela
(intensidad de corriente eléctrica)
(cantidad de sustancia)
(masa)
(temperatura)
(intensidad luminosa)
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6. Unidades de masa
7. Unidades de peso específico
8. Unidades de potencia
9. Unidades de presión
10. Unidades de superficie
11. Unidades de temperatura
12. Unidades de tiempo
13. Unidades de velocidad
14. Unidades de viscosidad
15. Unidades de volumen
16. Unidades eléctricas
3.5. Símbolos
Muchas unidades tienen un símbolo asociado, normalmente formado por una o varias letras del
alfabeto latino o griego (por ejemplo "m" simboliza "metro"). Este símbolo se ubica a la derecha de
un factor que expresa cuántas veces dicha cantidad se encuentra representada (por ejemplo "5 m"
quiere decir "cinco metros").
Es común referirse a un múltiplo o submúltiplo de una unidad, los cuales se indican ubicando un
prefijo delante del símbolo que la identifica (por ejemplo "km", símbolo de "kilómetro", equivale a
"1.000 metros").
Siguiendo otro ejemplo una medida concreta de la magnitud "tiempo" podría ser expresada por la
unidad "segundo", junto a su submúltiplo "mili" y su número de unidades (12). De forma
abreviada: t = 12 ms (los símbolos de magnitudes se suelen expresar en cursiva, mientras que los
de unidades se suelen expresar en letra redonda).
Sistema Internacional de Unidades se basa en dos tipos de magnitudes físicas:
Las siete que toma como fundamentales, de las que derivan todas las demás.
Son longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, cantidad de
sustancia e intensidad luminosa.
Las unidades derivadas, que son las restantes y que pueden ser expresadas con una
combinación matemática de las anteriores.
3.6. Unidades básicas o fundamentales del SI
Las magnitudes básicas no derivadas del SI son las siguientes:
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Longitud: metro (m). El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío en 1/299 792
458 segundos. Este patrón fue establecido en el año 1983.
Tiempo: segundo (s). El segundo es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación
correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental
del cesio-133. Este patrón fue establecido en el año 1967.
Masa: kilogramo (kg). El kilogramo es la masa de un cilindro de aleación de Platino-Iridio
depositado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Este patrón fue establecido en
el año 1887.
Intensidad de corriente eléctrica: amperio (A). El amperio o ampere es la intensidad de
una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de
longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro
uno de otro, en el vacío, produciría una fuerza igual a 2×10-7 newton por metro de longitud.
Temperatura: kelvin (K). El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura del punto tripledel agua.
Cantidad de sustancia: mol (mol). El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que
contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 12 gramos de carbono-12.
Intensidad luminosa: candela (cd). La candela es la unidad luminosa, en una dirección
dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 Hz y
cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 vatios por estereorradián.
3.7. Unidades Fundamentales en el Sistema Cegesimal C.G.S.
Longitud: centímetro (cm): 1/100 del metro (m) S.I.
Tiempo: segundo (s): La misma definición del S.I.
Masa: gramo (g): 1/1000 del kilogramo (kg) del S.I.
3.8. Unidades Fundamentales en el Sistema Gravitacional Métrico Técnico
Longitud: metro (m). La misma definición del Sistema Internacional.
Tiempo: segundo (s).La misma definición del Sistema Internacional. Fuerza: kilogramo-fuerza (kgf). El peso de una masa de 1 kg (S.I.), en
condiciones normales de gravedad (g = 9,80665 m/s2).
4. Tablas de unidades
4.1. Cinemática
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Magnitud física Símbolo Unidad SI
tiempo t s
posiciónx
m
velocidad v m s-1
aceleración a m s-2
ángulo plano rad
velocidad angular ω rad/s
aceleración angular α rad·s-2
radio r m
longitud de arco s m
área A, S m2
volumen V m3
ángulo sólido sr
frecuencia f Hz
frecuencia angular(=2f ) s-1, rad s-1
4.2. Dinámica
Magnitud física Símbolo Unidad SI
masa m kg
momento lineal p kg m s-1
fuerza F N (= kg m s-2)
momento de unafuerza N·m
momento de inercia I kg m2
momento angular L kg m2 s-1 rad (= J s)
energía E J
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energía potencial E p , V J
energía cinética E k J
trabajo W J
potencia P W
densidad (masa) kg m-3
presión p Pa
4.3. Termodinámica
Magnitud física Símbolo Unidad SI
calor Q J
trabajo W J
temperaturatermodinámica
T K
temperatura Celsius t oC
energía interna U J
entropía S J K-1
capacidad calorífica C J K-1
razón C p / C v 1
4.4. Electromagnetismo
Magnitud física Símbolo Unidad SI
carga eléctrica Q C
densidad de carga C m-3
corriente eléctrica I, i A
densidad de corrienteeléctrica
J A m-2
potencial eléctrico V V
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diferencia de potencial,voltaje V V
campo eléctrico E V m-1
capacidad C F
permitividad eléctrica F m-1
permitividad relativa r 1
momento dipolareléctrico
P C m
flujo magnético Wb
campo magnético B T
permeabilidad µ H m-1, N A-2
permeabilidad relativa µ r 1
resistencia R
resistividad m
autoinducción L H
inducción mutua H
constante de tiempo s
5. Constantes fundamentales
Constante Símbolo Valor
Velocidad de la luz C 2.9979·108 m·s-1
Carga elemental E 1.6021·10-19 C
Masa en reposo del electrón me 9.1091·10-31 kg
Masa en reposo del protón mp 1.6725·10-27 kg
Constante de Planck H 6.6256·10-34 J·s
Constante de Avogadro NA
6.0225·1023 mol-1
Constante de Boltzmann K 1.3805·10-23 J·K-1
Constante de los gases R 8.3143 J·K-1·mol-1
Permitividad del vacío ε0 8.8544·10-12 N-1·m-2·C2
Permeabilidad del vacío μ0 1.2566·10-6 m·kg·C-2
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Constante de gravitación G 6.670·10-11 N·m2·kg-2
Aceleración de la gravedad anivel del mar G 9.7805 m·s -2
Fuente: Alonso M, Finn E. Física . Fondo Educativo Interamericano (1971)
6. Magnitudes físicas derivadas
Una vez definidas las magnitudes que se consideran básicas, las demás resultan derivadas y se
pueden expresar como combinación de las primeras.
Las unidades derivadas se usan para las siguientes
magnitudes: superficie, volumen, velocidad, aceleración, densidad, frecuencia, periodo,fuerza, pres
ión, trabajo, calor, energía, potencia, carga eléctrica, diferencia de potencial, potencial eléctrico,
resistencia eléctrica, etcétera.
Algunas de las unidades usadas para esas magnitudes derivadas son:
Fuerza: newton (N) que es igual a kg·m /s2
Energía: julio (J) que es igual a kg·m2 /s2
7. Unidades de medida
Copia exacta, hecha en 1884, del kilogramo prototipo internacional registrada en la Oficina
Internacional de Pesos y Medidas, en Sevres,Francia, que define la unidad de masa en el SI,
el sistema métrico moderno.
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Una unidad de medida es una cantidad estandarizada de una determinada magnitud física. En
general, una unidad de medida toma su valor a partir de un patrón o de una composición de otras
unidades definidas previamente. Las primeras unidades se conocen como unidades básicas o de
base (fundamentales), mientras que las segundas se llaman unidades derivadas. Un conjunto de
unidades de medida en el que ninguna magnitud tenga más de una unidad asociada es
denominado sistema de unidades.
Todas las unidades denotan cantidades escalares. En el caso de las magnitudes vectoriales, se
interpreta que cada uno de los componentes está expresado en la unidad indicada.
Principio de Fourier
El principio de Fourier o principio de homogeneidad dimensional es un principio de buena
formación de las expresiones que relacionan magnitudes físicas. De acuerdo con este principio
físico sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas que tengan las mismas dimensionesfísicas.
Ejemplo
El principio puede ilustrarse mediante un ejemplo, por ejemplo si consideramos la
expresión: que representa una suma de magnitudes físicas y si además
esta suma es dimensionalmente correcta entonces, por el principio de Fourier, debe cumplirse:
(Ecuación dimensionalmente correcta).
Las constantes numéricas son adimensionales y las constantes físicas tienen dimensión diferentede la unidad:
e = 2,718281... (base de los logaritmos neperianos) → ;
c = 299 792 458 m/s (velocidad de la luz en el vacío) →
8. Análisis dimensional
El análisis dimensional es una potente herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier
fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables
independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido
por teorema ) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de
un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido.
Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los
parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para
estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se
consigue:
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analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio
reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el
comportamiento o respuesta del sistema.
El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en
muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A
partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real
cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados
obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números
adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el
mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se
utilizan ecuaciones dimensionales , que son expresiones algebraicas que tienen como variables a
las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas,
equivalencias o para dar unidades a una respuesta.
Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los
cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades
empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.
8.1. Procedimiento para el análisis dimensional
Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los
siguientes pasos generales:
1. Contar el número de variables dimensionales n .
2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m
3. Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números
adimensionales ( )es n - m .
4. Hacer que cada número dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa
además de una de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas
sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los
números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema).
5. Cada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una
a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los
valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas.
6. El número que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de
los demás números adimensionales.
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7. En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números
adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.===
8.2. Aplicaciones del Análisis dimensional
Detección de errores de cálculo.
Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.
Creación y estudio de modelos reducidos.
Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.
Un ejemplo de Análisis dimensional
Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidad de un cuerpo en caída libre. Sabemos que
dicha velocidad dependerá de la altura y de la gravedad . Pero imaginemos que también se
nos ocurre decir que la velocidad depende de la masa . Una de las bondades del Análisis
Dimensional es que es "autocorregible", es decir, el procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades
que no son necesarias.
Identificar las magnitudes de las variables:
.
Formar la matriz
Hacer el producto de matrices:
Aquí tenemos que decir que se refiere al exponente de la unidad , pero eso se verá en pasos
sucesivos.
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.
Desarrollar el producto de matrices y resolver el sistema de ecuaciones.
Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tenemos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así
que para que el sistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitas como ecuaciones.
¿Cómo se subsana el problema? Muy sencillo: se coge un cualquiera y le asignamos el valor
que queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamos a tomar como .
Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto anteriormente ( ), se realizan los
sencillos cálculos y llegamos a las soluciones:
Formar el/los grupos
Un grupo es una ecuación adimensional. ¿Cuántos grupos vamos a obtener? Pues si es
el número de unidades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, el grado, ...), y el rango
máximo de la matriz que contiene los coeficientes de las magnitudes de las unidades (a veces
coincide el rango de la matriz con el número de variables que tenemos, aunque ésta no es una
regla fiable), el número de grupos (o ecuaciones que obtendremos) será . En el caso
que nos ocupa, ecuación.
Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nuestro problema y las elevamos a los
exponentes que hemos obtenido. Ésa es nuestra ecuación.
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(Nótese que es adimensional). Aquí obtenemos aquéllo que llamábamos "autocorrección": el
exponente de la masa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, demostrando una vez más
que la caída libre no depende de la masa del objeto en cuestión.
Paso final: obtención de la ecuación.
, con valiendo , lo que nos da la fórmula correcta:
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Resolver:
1) El tiempo transcurrido desde que los primeros animales habitaron el mundo, sobre tierra seca,es de unos 12.000.000.000.000.000 segundos. Expresar este tiempo como potencia de diez conuna sola cifra,¿cuál es el orden de magnitud?
2) La velocidad de propagación de la luz en el vacío es igual para todos los cuerpos y colores:c = (2,99774 ± 0,00011).105 km/s. ¿cuál es el orden de magnitud?
3) Un rayo de luz tarda en atravesar una ventana, aproximadamente 1/100.000.000.000 segundos.¿Qué tiempo tarda en atravesar un vidrio del doble que el anterior?, comparar los ordenes demagnitud de ambos tiempos, ¿cuántos vidrios como el primero, deberá atravesar, para que elorden de magnitud cambie?
4) Efectúe las siguientes conversiones:
a - 24 mg ® kgb - 8,6 cg ® g
c - 2.600 dm ³ ® ld - 92 cm ³ ® m ³e - 3 kg ® g
f - 3 kg ® gg - 9 cm ® m
h - 5 h ® si - 0,05 km ® cm j - 135 s ® h
5) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades?
a - 9b - 90c - 9000,0d - 0,009e - 0,090
f - 909g - 0,00881h - 0,04900i - 0,0224
j - 74,24
6) Exprese en un sólo número:
a - 3,59x10 ²b - 4,32x10-³c - 3,05x10-5 d - 5,29x105 e - 6,94x10¹
f - 0,05x10 ²g - 1x108 h - 3,2x10-³i - 7,56x104
j - 0,00011x105
7) Efectúe las siguientes operaciones:
a - 1,29x105 + 7,56x104
b - 4,59x10-5 - 6,02x10-6
c - 5,4x10 ²x3,2x10-³
8) Exprese en notación científica:
a - 45,9b - 0,0359c - 45.967.800
d - 0,0005976e - 345.690.000.000f - 0,00011x105
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9) ¿Cuántas cifras significativas deben aparecer en los resultados de las siguientes cuentas?:
a - 5x0,00559b - 0,7x9,48x10¹c - 875x67
d - 0,3/0,0586e - 0,658/9,59x10¹
Resolver:
1) En un mol de moléculas hay 602.000.000.000.000.000.000.000 moléculas. Expresar estacantidad como potencia de diez con una sola cifra.
2) Efectúe las siguientes conversiones:
a - 8 h ® sb - 0,0200 Mm ® dmc - 2.600 dm ³ ® ld - 1 dl ® μle - 8 cm ® mm
f - 5 kg ® mgg - 9 m ³ ® lh - 5 h ® si - 0,05 km ® m
j - 2 h 5 m 15 s ® s
3) ¿Cuántas cifras significativas tiene cada una de las siguientes cantidades?
a - 8b - 80c - 8000,00d - 0,08e - 0,080
f - 808g - 3,14159h - 3,1416i - 3,14
j - 9,81
4) Exprese en un sólo número:
a - 3,58.10- ²b - 4,33.10³c - 3,15.105 d - 5,303.10-5 e - 6,94.10-2
f - 0,003.10 ²g - 6,02.1023 h - 4,2.10³i - 7,66.10-4
j - 235.10-5
5) Efectúe las siguientes operaciones:
a - 4.10 .2,56.10b - 4,6.10-5 - 6.10-6 c - 5,4.10 ² + 3,2.10-³
d - 4,84.10- /2,42.10- e - 48,6.10 ².0,524.10-2 /2,2.10³
6) Exprese en notación científica:
a - 4,59b - 0,0035c - 45.900.800
d - 0,0000597e - 345.700.000f - 0,03.105
7) ¿Cuántas cifras significativas deben aparecer en los resultados de las siguientes cuentas?:
a - 5.0,006b - 0,05.9,5.10 ²
d - 0,5/0,02e - 0,08/2.10-2
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c - 100.6
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UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD
La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades, las cuálesposeen sus respectivas equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización delos ejercicios de conversión.
Ejemplos:
a) Convertir 2593 Pies a Yardas.
1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en lasunidades que se requieren, por lo que es necesario hacer dos o más conversiones para llegar alas unidades deseadas.
Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representándolo de la siguientemanera:
2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, empezamosa simplificar por medio de regla de tres, nos damos cuenta que la primera conversión realizada nose encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir lasunidades de pies a metros y por último de metros a yardas, las cuales son las unidades quedeseamos.
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3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar lasrequeridas.
4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094yardas ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos
3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores.
5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado demultiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1Metro que es 3.281; obteniendo como resultado los 864.59 Yardas.
OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, lascantidades se multiplican o se dividen según sea el caso.
Veamos otro ejemplo:
b) Convertir 27,356 Metros a Millas
1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así:
2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a las unidades requeridas.
3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y (1000 x 1.61) comoDenominadores.
4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 Millas.
UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA
Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.
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Ejemplo:
a) Convertir 386 Kilogramos a Libras.
1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento.
Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a
1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos.
2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6.
3. Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras.
UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO
Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo:
Ejemplo:
a) Convertir 2,352 Segundos a Año.
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En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen que convertir los segundos aminutos, minutos a horas, horas a días y días a años que son las unidades que necesitamos.
1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias.
2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352.
3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,2804. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80
5. Obteniendo como resultado
La respuesta es un poco diferente, pero aún así siempre se puede hacer uso de la NotaciónCientífica.
FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA
Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área, para mejor conocimiento
las detallamos a continuación:
Ejemplo:
a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo.
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1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor
2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos queeliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores.
3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a lasque deseamos.
4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en losDenominadores 3600.
5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo.
FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN
Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen.
Ejemplo:
a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 y undiámetro del cilindro de 83 Mm. Expresar éstas medidas en Pulgadas Cúbicas y enPulgadas.
1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como guía.
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2. En éste caso primero convertimos los 1595 en Pulgadas Cúbicas.
3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar.
Dividimos respuestas (86,405,616 ÷ 1000,000).
4. Nos da una respuesta de 86.40
5. Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas.
CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS
Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que es laTrigonometría.
* TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas deángulos y triángulos.
Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunas unidadesde conversión, por ejemplo:
1°= 60 Minutos ( 60 ')1 ' = 60 Segundos ( 60 '')
Radianes = 180° ( El símbolo de Pi, utilizado en Matemática, tiene un valor numérico de3.1415927 aproximadamente de 3.1416
En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la conversiónde las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo:
Grados: (D) (DEG)
Radianes: (R) (RAD)
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Gradianes: (G) (GRAD)
Ahora veamos un ejemplo.
a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos.
1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°.
2. Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a minutos, así:
OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa, es decir, losminutos.
3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos.
0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12''
4. Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se lee:
18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos
NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos sólo con los decimales,manteniéndose únicamente el primer número entero que corresponde a los Grados.
Veamos otro ejemplo a la inversa.
b) Convertir 18°27' 24'' a Grados
1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar deSegundos, Minutos a Grados.
Convertimos los Segundos a Minutos:
2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados.
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3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 °+ la cantidad entera 18°quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados.
CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOS
Cómo vimos anteriormente en la conversión de Grados a Minutos y Segundos, en la conversión de
Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento.
Veamos un ejemplo:
1. Lo describimos de la siguiente manera:
Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados, multiplicando los ( 5 ¶ x180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la funciónen la calculadora o ya que sabemosque es equivalente a
3.1415927. Luego multiplicamos los (22 x ¶ = 69.115038). Ahora
dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como
respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aquí contamos
con los 40 °Grados.
2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos.Así:
Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54 '
Tenemos 54 ' Minutos
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3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos asegundos.
0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos
4. Cómo respuesta tenemos R/ 40°54' 32 ''
CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES
Ahora trabajaremos otro ejemplo diferente:
a) Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes.
1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.
2. Pasamos los 16'' a Minutos,
Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen,
Obteniendo 15.2666 minutos.
3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos ensegundos.
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Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °.
4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 ° a Radianes.
La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, asíque los
0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de ¶.
5. Nuestra Respuesta final es R/ 0.2125 ¶.