Magnétisme et supraconductivité Yann Gallais

Matériaux et Phénomènes Quantiques, Université Paris Diderot

Magnétisme en matière condensée Le magnétisme est la science des effets coopératifs et collectifs des moments magnétiques dans la matière condensée

•  Le magnétisme est un phénomène purement quantique: un exemple unique de phénomène collectifs quantique à l’échelle macroscopique (comme la supraconductivité)

•  Rôle clé dans l’établissement de la théorie des transitions de phase et du concept de symétrie brisée (Ising…)

•  Illustration d’un phénomène émergent dus aux interactions: « more is different »

T>TN T<TN

P. W. Anderson. Science, New Series, Vol. 177, No. 4047. (Aug. 4, 1972), pp. 393-396.

Plan du cours

  Magnétisme sans interaction   Magnétisme atomique   Moments magnétiques localisés   Environnement

  Magnétisme localisé en interaction   Interactions d’échange   Modèle de champ moyen du ferromagnétisme   Domaines et magnétisme aux basses dimensions

  Au delà du champ moyen   Hamiltonien d’Heisenberg: du classique au quantique   Ondes de spin ferromagnétiques et antiferromagnétiques   Magnétisme frustré et liquides de spin

  Magnétisme itinérant   Paramagnétisme d’un gaz d’électrons libres   Instabilité magnétique de Stoner   Effets Hall quantiques

Moment magnétique classique

I

dµ! "!

dS

dµ! "!

= IdS! "!

moment magnétique élémentaire

anneau de courant = dipôle magnétique orienté perpendiculairement au plan de l’anneau

µ[ ] = A.m2

dr

force de Laplace (charge ponctuelle): F!"= qv"!B!"

dF!"= dn! ev

""B!"= !dr! ev

""B!"= Idr""B!"

force agissant sur un fil dr:

B!"

dF! "!

Sous champ B:

B!"dF

! "!2

dF! "!

1 dF! "!

3

dF! "!

4

sur un contour fermé

dFi! "!!

= 0"

i!

dM! "!!

i,F /O = 0"

si

x O

B!"/ /dµ! "!

Moment magnétique classique

couple résultant: dC! "!!

= dM! "!!

1,F /O + dM! "!!

3,F /O = dµ! "!

!B!"

mouvement de précession du moment autour du champ dµ! "!

B!"

Précession classique de Larmor dµ! "!

B!"

dµ! "! B

!"

cas général: dµ! "!

B!"

et non-colinéaires

dFi! "!!

= 0"

i!

dM! "!!

i,F /O ! 0" dF

! "!1

dF! "!

3

dM! "!!

1,F /O

dM! "!!

3,F /O

un couple s’exerce sur la boucle

z x

y

Lien avec le moment cinétique

mouvement de charge = mouvement de masse

moment cinétique associé

I

dµ! "!

dS

µ!"= !L!"

γ: facteur gyromagnétique

L!"=mr"!v"

équation du mouvement: théorème du moment cinétique

dL!"

dt= M!"!= µ!"!B!"

"dµ!"

dt= !µ!"!B!" dynamique classique du moment magnétique

(pas de dissipation)

dµ! "!

= IdS! "!

modèle classique de l’orbite électronique circulaire

x

v!=!"!!r!

L!"=mr"!!!"!r"=m!r2u

!z

µ!"= IS"= e !2"

!"r2u!z =

e!r2

2u!z

µ!"=

e2m

L!"

note: e<0 donc direction opposée!

µ!"

L!"

µ!"= !

e2m

L!"

µ!"/ /L!"/ /dS! "!

Aimantation et énergie magnétique

B = µ0 (H!"!+M!"!)

B!"

induction magnétique (T)

H!"!

M!"!

champ magnétique (A.m-1)

aimantation (A.m-1)

µ!"= d3rM

!"!(r)! M

!"!=1V

µ!"i

i!assemblée de moments magnétiques:

µ0 = 4π.10-7 V s A-1 m-1

travail du couple magnétique:

W = C!".d!!

! = Cd!0

"

! = µBsin! d! = µB(1" cos" )0

"

!

B!"

µ!"

ϕ C!"= µ!"!B!"

assemblée de moments magnétiques

U = !1V

µi

!"!.B!"

i" = !M

!"!.B!"

M!"!= !

"U!B!"aimantation

U = !µ!".B!"

énergie potentielle

µ!"= !

"U!B!"moment magnétique

note: n’inclut pas l’énergie électromagnétique

H

Thermodynamique d’un système magnétique classique

Energie interne dU = TdS !MdB

Energie libre F =U !TS dF = !SdT !MdB

Note: à T=0K

M = !"U"B

= !"F"B

Z = dr1... drN dp1... dpNe!!U (r1.... pN )""""

Fonction de partition d’un système de N électrons

! =1kBT

avec

U =dr1... drN dp1... dpNU(r1....pN )e

!!U (r1.... pN )""""Z

= !1Z#Z#!

= !# lnZ#!

énergie interne

avec

S = !kB dr1... drN dp1... dpNP(r1...pN )lnP(r1....pN )"""" = kB lnZ +UT

P(r1...pN ) =e!!U (r1.... pN )

Z

entropie

F = !kBT lnZ M = !"F"B#

$%

&

'(T

= kBT" lnZ"B

#

$%

&

'(T

énergie libre aimantation

Magnétisme classique?

Théorème de Bohr-van Leeuwen: de l’impossibilité d’une aimantation macroscopique dans un système électronique classique (1911 Bohr / 1919 van Leeuwen)

Z = dr1... drN dp1... dpNe!!U (r1.... pN )""""

Impulsion généralisée sous champ magnétique p!"! p!"" eA!"

Z est inchangé car uniquement un décalage de l’intégration sur les p

Z et F sont indépendants de A (B) M = !"F"B#

$%

&

'(T

= kBT" lnZ"B

#

$%

&

'(T

= 0

image classique: compensation des moments magnétiques du volume par le moment magnétique associée aux orbites périphériques qui font « des ricochets »

Origine quantique du magnétisme électronique

QUANTUM MECHANICSTHE KEY TO UNDERSTANDING MAGNETISMNobel Lecture, 8 December, 1977

J . H . V A N V L E C KHarvard University, Cambridge, Massachusetts, USA

The existence of magnetic materials has been known almost since prehistorictimes, but only in the 20th century has it been understood how and why themagnetic susceptibility is influenced by chemical composition or crystallo-graphic structure. In the 19th century the pioneer work of Oersted, Ampere,Faraday and Joseph Henry revealed the intimate connection between electric-ity and magnetism. Maxwell’s classical field equations paved the way for thewireless telegraph and the radio. At the turn of the present century Zeemanand Lorentz received the second Nobel Prize in physics for respectivelyobserving and explaining in terms of classical theory the so-called normalZeeman effect. The other outstanding early attempt to understand magnetismat the atomic level was provided by the semi-empirical theories of Langevinand Weiss. To account for paramagnetism, Langevin (1) in 1905 assumed ina purely ad hoc fashion that an atomic or molecular magnet carried a per-manent moment , whose spatial distribution was determined by the Boltz-mann factor. It seems today almost incredible that this elegantly simple ideahad not occurred earlier to some other physicist inasmuch as Boltzmann haddeveloped his celebrated statistics over a quarter of a century earlier. Withthe Langevin model, the average magnetization resulting from N elementarymagnetic dipoles of strength in a field H is given by the expression

(1)

At ordinary temperatures and field strengths, the argument x of the Langevin

function can be treated as small compared with unity. Then L(x) = :x, and

Eq. (1) becomes

perature, a relation observed experimentally for oxygen ten years earlier byPierre Curie (2) and hence termed Curie’s law.

To explain diamagnetism, Langevin took into account the Larmor preces-sion of the electrons about the magnetic field, and the resulting formula forthe diamagnetic susceptibility is

La présence de moments magnétiques électroniques doit être justifiée d’un point de vue quantique

2 types de magnétisme: -  Magnétisme itinérant: les électrons sont délocalisés (métaux). espace des k (bandes)

-  Magnétisme localisé: espace réel (isolants/ interactions fortes)

Le magnétisme est un effet essentiellement quantique

Magnétisme atomique quantique

électron de l’atome d’H sous champ magnétique

H0 =p2

2m+V (r!) H =

12m(p!"! eA!")2 +V (r

") = H0 !

e2m(A!".p!"+ p!".A!")+ e 2

2mA2

p!"=#i!!"

jauge de Coulomb A!"=B!"!r"

2!!".A!"=12!!".(B!""r") = 12((!!"#B!").r"$B!".(!!"# r")) = 0 si B est constant

H = H0 !emA!".p!"+e2m

A2 = H0 !em(B!""r").p!"

2+e2

8m(B!""r")2 !L

"#= r#! p"#

moment cinétique

relation cyclique (B!"!r").p!"= B!".(r"! p!") = B!".L!"

H = H0 !!e2m

B"#.L"#+e2

8m(B"#"r#)2 = H0 +µB B

!".L!"+e2

8m(B!""r")2 µB =

! e2m

Magnéton de Bohr

e<0

A!".p!"+ p!".A!"= A!".p!"+#i(!!".A!"+ A!".!!") = 2A!".p!"+#i!!".Arelation d’anti-commutation

!.!"!(A!"!) =!

!".A!"! + A!".!!"!

l=0

l=1

l=2

Diamagnétisme et paramagnétisme

H = H0 +µB B!".L!"+e2

8m(B!"!r")2

terme paramagnétique Hz en B terme diamagnétique Hdia en B2

54

Modèle de l'atome en mécanique quantique

Description Hartree-Fock

Sous-couche magnétique incomplète: n[l]x, x<2.(2l+1) L ! 0 , S ! 0

Sous-couches pleines :

états d'orbites tous occupés

états de spin tous occupéssz

210-1-2m

! (! r ) = Rnl (r).Ylm(" ,#)

Partie radiale Harmonique sphérique

Nombreuses configurations de remplissage L = ? , S = ?

L = 0S = 0

rmax

!H =

µ02 e2

8meH 2 (xi

2 + yi2 )

i"

Diamagnétisme de Larmor

!H = µ0 µB!H " (!L + 2

!S)Correction prépondérante

V.1 Le magnétisme localisé : magnétisme atomique

!L =

!li

i!moment orbital total: moment de spin total:

!S = !si

i!

états propres de H0

bons nombres quantiques pour H0: n, l et m

•  orbitales: 1s (n=0, l=0), 2s (n=1, l=0) , 2p (n=1, l=1), etc… •  dégénérescence: 2l+1

µB =! e2m

= 9.27.10!24 J.T !1 = 5.8.10!5eV.T !1

Diamagnétisme et paramagnétisme

H = H0 +µB B!".L!"+e2

8m(B!"!r")2

L2 l,ml = l(l +1) l,ml

Lz l,ml =ml l,ml ml ! "l, l[ ]

terme paramagnétique Hz

µ!"para = !µB.L

!"

µ!"para

L!"

Hz = !µ!"para.B!"

B!"

µ!"para / /B

!"abaissement de l’énergie si similaire au cas classique mais L est quantifié!

1

-1

•  moment magnétique permanent •  levée de dégénérescence E(ml): effet Zeeman

ml=-1

l=1

ml=1

ml=0

B=0 B≠0

µB =! e2m

= 9.27.10!24 J.T !1 = 5.8.10!5eV.T !1

HZ (1T ) ! 0.1meV