MAI. Marco Vinicio Monzón Un problema de maximización se presenta en los casos en los que el interés sea optimizar el ingreso o ganancia en una empresa

MAI. Marco Vinicio Monzón

Un problema de maximización se presenta en los casos en

los que el interés sea optimizar el ingreso o

ganancia en una empresa.


Sujeto a (s.a.) X1 + X2 ≤ 7

X1 + 2X2 ≤ 10 Restricciones

2X1 + X2 ≤ 11

Xi ≥ 0

Función Objetivo:

Máx Xo: 3X1 + 4X2


quedando de la siguiente manera:


La función objetivo debe igualarse a cero.Máx Xo – 3X1 – 4X2 = 0

S.a. X1 + X2 + S1 = 7X1 + 2X2 + S2 = 102X1 + X2 + S3 = 11

Las restricciones se convierten en ecuaciones haciendo uso de las

variables de Holgura


Básicas Xo X1 X2 S1 S2 S3 Solución

Xo 1 -3 -4 0 0 0 0

S1 0 1 1 1 0 0 7

S2 0 1 2 0 1 0 10

S3 0 2 1 0 0 1 11

El tablero inicial quedaría de la siguiente forma:


El siguiente paso es elegir el coeficiente más negativo en Xo, ya que se trata de un problema de maximización. En el caso de no existir valores negativos se dice que el problema no tiene solución óptima finita.


Básicas

Xo X1 X2 S1 S2 S3 Sol. Operaciones

Xo 1 -3 -4 0 0 0 0 ---

S1 0 1 1 1 0 0 7 ---

S2 0 1 2 0 1 0 10 ---

S3 0 2 1 0 0 1 11 ---

Eligiendo el coeficiente más negativo


La variable que sale corresponde al menor cociente positivo de dividir los coeficientes de la columna Solución entre los coeficientes de la columna pivote.

Básicas Xo X1 X2 S1 S2 S3 Sol. Operaciones

Xo 1 -3 -4 0 0 0 0 ----

S1 0 1 1 1 0 0 7 7/1 = 7

S2 0 1 2 0 1 0 10 10/2 = 5

S3 0 2 1 0 0 1 11 11/1 = 11

Elemento Pivote


El elemento pivote debe convertirse al valor de la unidad por medio de una división entre su valor actual y así utilizarlo para obtener ceros en el resto de coeficientes de la columna pivote, a través de operaciones entre filas.

Iteración # 1


Xo 1 -1 0 0 2 0 20 X2(4) + Xo

S1 0 05 0 1 -0.5 0 2 X2(-1) + S1

X2 0 0.5 1 0 0.5 0 5 S2/2

S3 0 1.5 0 0 -0.5 1 6 X2(-1) + S3


En nuestra función objetivo Xo existe aún un valor negativo por lo que nuestro tablero no está

óptimo y es necesaria otra iteración

Xo 1 -1 0 0 2 0 20 X2(4) + Xo


La variable que entra es X1 ya que su coeficiente negativo es el mayor -1. (columna pivote)


Xo 1 -1 0 0 2 0 20 ---

S1 0 05 0 1 -0.5 0 2 ---

X2 0 0.5 1 0 0.5 0 5 ---

S3 0 1.5 0 0 -0.5 1 6 ---


La variable que sale corresponde al menor cociente positivo de dividir los coeficientes de la columna Solución entre los coeficientes de la columna pivote.

Básicas


Xo 1 -1 0 0 2 0 20 ---

S1 0 05 0 1 -0.5 0 2 2/0.5 = 4

X2 0 0.5 1 0 0.5 0 5 5/0.5 = 10

S3 0 1.5 0 0 -0.5 1 6 6/1.5 = 4

Empate


El menor cociente positivo se obtiene en S1 y en S3 por lo que se puede romper el empate arbitrariamente y S3 será la variable que sale y la intersección con la columna pivote nos da el nuevo Elemento Pivote.


Xo 1 -1 0 0 2 0 20 ---

S1 0 05 0 1 -0.5 0 2 2/0.5 = 4

X2 0 0.5 1 0 0.5 0 5 5/0.5 = 10

S3 0 1.5 0 0 -0.5 1 6 6/1.5 = 4

Elemento Pivote


El elemento pivote debe convertirse al valor de la unidad por medio de una división entre su valor actual y así utilizarlo para obtener ceros en el resto de coeficientes de la columna pivote.

Iteración # 2

Básicas


Xo 1 0 0 0 1.66 0.66 24 X1(1) + Xo

S1 0 0 0 1 -0.33 -0.33 0 X1(-0.5) + S1

X2 0 0 1 0 0.66 -0.33 3 X1(-0.5) + X2

X1 0 1 0 0 -0.33 0.66 4 S3 / 1.5


Puede observarse que en Xo se ha logrado obtener valores “no negativos”, por lo que se concluye que el tablero es óptimo y debe interpretarse de la siguiente manera:

Xo 1 0 0 0 1.66 0.66 24 X1(1) + Xo

Todas son positivas o no negativas

Xo = 24 Valor óptimoX1 = 4X2 = 3

S1 = S2 = S3 = 0


Para comprobar la respuesta se hace sustitución de los valores de las variables en la función objetivo:

Máx Xo: 3X1 + 4X2

Xo = 3(4) + 4(3)

Xo = 24

Con lo que queda comprobado que las iteraciones nos llevaron al resultado requerido

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