Embed Size (px)
Citation preview
MAKALAH ALJABAR LINIER
Transformasi Linier
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier
Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, S.Pd.I, M.Pd
Disusun Oleh:
III A4
Kelompok 12
1. Ria Nanda Nurhidayah 14144100116
2. Yola Fitri Nuraini 14144100117
3. Rina Andriyani 14144100140
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2015
1
A. Diagonalisasi Matriks
Definisi:
Suatu matriks persegi dinamakan dapat didiagonalkan (dapat di
diagonalisasi) jika ada suatu matriks yang invirtible sedemikian sehingga
adalah suatu matriks diagonal, matriks dikatakan mendiagonalkan
(mendiagonalisasi) matriks Dengan kata lain, prosedur berikut merupakan
tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran
1. Tahap 1 yaitu carilah vektor eigen yang bebas linier dari matriks
yang berukuran Misalnya
2. Tahap 2 yaitu bentuklah matriks yang memenuhi sebagai
vektor-vektor kolomnya.
3. Tahap 3 yaitu matriks adalah matriks diagonal dengan
sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutan dan adalah
nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan untuk .
Contoh:
Diketahui matriks [
] Apakah matriks dapat didiagonalisasi ?
Penyelesaian:
Mencari vektor eigen dari matriks yang berukuran
( )
[ [
] [
]]
[[
] [
]]
[
]
[
]
( )( ) ( )( )
( )( )
2
Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks .
( ) [ ]
[[
] [
]] [ ] [
]
[[
] [
]] [ ] [
]
[
] [ ] [
] ( )
Substitusikan dan ke dalam persamaan ( )
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [
]
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [
]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam nilai
eigen dan karena dan bebas linier, maka terbentuk basis
di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
]
3
maka
| |
[
]
( ) [
]
[
]
[
]
[
]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[
] [
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
4
B. Suku Banyak Karakteristik
Secara umum, suatu suku banyak dengan variabel dituliskan sebagai
berikut:
( )
Misalkan matriks ( ) [
]
Maka ( )
Sehingga matriks karakteristik adalah:
[
] [
]
[
]
Suku banyak karakteristik dari adalah: ( ) | |
Jika ( ) maka disebut nilai eigen.
Contoh:
Misal matriks [
]
Maka untuk menentukan matriks karekteristik dan suku banyak karakteristik
dari adalah:
[
] [
]
[
] [
]
[
]
5
( ) | |
( )( )
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks
karakteristiknya adalah .
C. Teorema Cayley-Hamilton
Misalkan adalah suatu matriks persegi dengan ordo Polinomial
karakteristiknya:
( ) ( )
( )
Dimana:
peubah
jumlah ordo dari matriks
jumlah matriks
Contoh:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
]
Penyelesaian:
Dikatahui [
]
Maka, ( ) ( )
Dimana:
( )
( )
[
] [
] [
]
[( ) ( )] [( ) ( )] [ ]
[( ) ] [( ) ] [ ]
6
| |
|
|
[( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )]
( ) ( )
( )
Sehingga:
( )
( ) ( )
D. Suku Banyak minimal
Misalkan ( ) [
] maka suku banyak minimal
dari ( ) adalah suku banyak berderajat terkecil, yang habis membagi
( ) sehingga berlaku ( )
Contoh:
Misalkan ( ) ( ) ( ) maka suku banyak minimalnya
kemungkinan terdiri dari:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
7
Contoh 1:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
]!
Penyelesaian:
1. Langkah pertama adalah mencari terlebih dahulu polinomial karakteristik
dari matriks sehingga diperoleh:
| |
| [
] [
]|
|[
] [
]|
|[
( ) ( ) ( )
]|
2. Langkah selanjutnya mencari suku banyak berderajat terkecil yang habis
membagi ( ).
( )
( ) ( ) ( )
Sehingga, suku banyak yang mungkin adalah :
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3. Dari kedua suku banyak yang mungkin, dipilih sehingga ( )
( ) |( )( )|
|([
] [
])([
]
[
])|
8
|([
] [
])([
]
[
])|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
( ) ( ) ( )
|([
] [
])
([
]
[
])|
|([
] [
])
([
]
[
])|
|[
]
[
]|
|([
] [
]) [
]|
|[
] [
]|
9
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
4. Maka, dipilih polinomial yang berderajat terkecil dari kedua polinomial
yang mungkin tersebut.
Jadi, polinomial minimum dari matriks adalah ( −2)( −6).
Contoh 2:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
]
Penyelesaian:
1. Pertama-tama tentukan polinomial karakteristik ( ) dari . Dengan
teorema Cayley-Hamilton, diperoleh:
( ) dan | |
Maka:
( )
( ) ( )
2. Sehingga, suku banyak yang mungkin adalah:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3. Dari kedua suku banyak yang mungkin, dipilih sehingga ( )
( ) ( )( )
|([
] [
])([
]
[
])|
10
|([
] [
])([
]
[
])|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
Untuk ( ) ( ) ( ), diperlakukan sama, yaitu:
( ) ( ) ( )
|([
] [
])
([
]
[
])|
|([
] [
])
([
]
[
])|
|[
]
[
]|
|([
] [
]) [
]|
11
|[
] [
]|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
4. Maka, dipilih polinomial yang berderajat terkecil dari kedua polinomial
yang mungkin tersebut.
Jadi, polinomial minimum dari matriks adalah ( −1)( −3).
12
Latihan Soal !
1. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat
didiagonalisasikan?
2. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat
didiagonalisasikan?
3. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat
didiagonalisasikan?
4. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku
banyak karakteristik dari matriks tersebut !
5. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku
banyak karakteristik dari matriks tersebut !
6. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku
banyak karakteristik dari matriks tersebut !
Penyelesaian:
1. Diketahui matriks [
]
Mencari faktor eigen dari matriks
( )
[ [
] [
]]
[[
] [
]]
[
]
[
]
( )( ) ( )( )
( ) ( )
13
( )( )
Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks .
( ) [ ]
[[
] [
]] [ ] [
]
[[
] [
]] [ ] [
]
[
] [ ] [
] ( )
Substitusikan dan ke dalam persamaan ( )
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[( ) ( )
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [
] .
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [
]
14
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam
nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka
terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
]
Maka
| |
[
]
( )[
]
[
]
[
]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[
] [
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
[
]
[
]
15
[
]
2. Diketahui matriks [
]
Mencari faktor eigen dari matriks
( )
[ [
] [
]]
[[
] [
]]
[
]
[
]
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks .
( ) [ ]
[[
] [
]] [ ] [
]
[[
] [
]] [ ] [
]
[
] [ ] [
] ( )
Substitusikan dan ke dalam persamaan ( )
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
16
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [
] .
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [
]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam
nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka
terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
]
Maka
| |
[
]
[
]
[
]
[
]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[
] [
] [
]
17
[
] [
]
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
3. Diketahui matriks [
]
Mencari faktor eigen dari matriks
( )
[ [
] [
]]
[[
] [
]]
[
]
[
]
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
Maka didapat dan
18
Mencari vektor eigen dari matriks .
( ) [ ]
[[
] [
]] [ ] [
]
[[
] [
]] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
Substitusikan dan ke dalam persamaan ( )
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [
] .
Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [
]
[
] [ ] [
]
[ ]
[ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [
]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam
nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka
terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
]
Maka
| |
19
[
]
[
]
[
]
[
]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[
] [
] [
]
[
] [
]
[
] [
]
[
]
[
]
[
]
4. Diketahui matriks [
]
[
] [
]
20
[
] [
]
[
]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari
matriks karakteristiknya adalah .
5. Diketahui matriks [
]
[
] [
]
[
] [
]
[
]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks
karakteristiknya adalah
6. Diketahui matriks [
]
[
] [
]
21
[
] [
]
[
]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks
karakteristiknya adalah
22
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Bahan Ajar Aljabar Linier. Yogyakarta: Universitas
PGRI Yogyakarta.
Ririen Kusumawati. 2009. Aljabar Linier dan Matriks. Malang: UIN Malang
Press.
Wikaria Gazali. 2005. Matriks dan Transformasi Linier. Yogyakarta: Penerbit
Graha Ilmu.
