32
BAB I I. Latar Belakang Dalam belajar matematika, siswa tidak dituntut hanya sekedar memahami materi saja. Namun, terdapat tujuan-tujuan lain misalnya kemampuan-kemampuan yang harus dicapai oleh siswa ataupun ketrampilan serta perilaku tertentu yang harus siswa peroleh setelah ia mempelajari matematika. Pilar utama dalam mempelajari matematika adalah pemecahan masalah. Dalam mempelajari matematika orang harus berpikir agar ia mampu memahami konsep-konsep matematika yang dipelajari serta mampu menggunakan konsep-konsep tersebut secara tepat ketika ia harus mencari jawaban bagi berbagai soal matematika. Soal matematika yang dihadapi seseorang seringkali tidak dengan segera dapat dicari solusinya sedangkan ia diharapkan dan dituntut untuk dapat menyelesaikan soal tersebut. Karena itu ia perlu memiliki ketrampilan berpikir agar dengannya ia dapat menemukan cara yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang dihadapinya. Kegiatan atau proses berpikir yang dijalani agar seseorang mampu menyelesaikan suatu soal matematika mempunyai keterkaitan dengan kemampuan mengingat, mengenali hubungan diantara konsep-konsep matematika, menyadari adanya hubungan sebab akibat, hubungan

MAKALAH DOING MATH

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: MAKALAH DOING MATH

BAB I

I. Latar Belakang

Dalam belajar matematika, siswa tidak dituntut hanya sekedar memahami

materi saja. Namun, terdapat tujuan-tujuan lain misalnya kemampuan-kemampuan

yang harus dicapai oleh siswa ataupun ketrampilan serta perilaku tertentu yang

harus siswa peroleh setelah ia mempelajari matematika. Pilar utama dalam

mempelajari matematika adalah pemecahan masalah. Dalam mempelajari

matematika orang harus berpikir agar ia mampu memahami konsep-konsep

matematika yang dipelajari serta mampu menggunakan konsep-konsep tersebut

secara tepat ketika ia harus mencari jawaban bagi berbagai soal matematika. Soal

matematika yang dihadapi seseorang seringkali tidak dengan segera dapat dicari

solusinya sedangkan ia diharapkan dan dituntut untuk dapat menyelesaikan soal

tersebut. Karena itu ia perlu memiliki ketrampilan berpikir agar dengannya ia

dapat menemukan cara yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang

dihadapinya.

Kegiatan atau proses berpikir yang dijalani agar seseorang mampu

menyelesaikan suatu soal matematika mempunyai keterkaitan dengan kemampuan

mengingat, mengenali hubungan diantara konsep-konsep matematika, menyadari

adanya hubungan sebab akibat, hubungan analogi ataupun perbedaan, yang

kemudian dapat memunculkan gagasan-gagasan original, serta lancar dan luwes

dalam pembuatan keputusan atau kesimpulan secara cepat dan tepat. Kegiatan

belajar yang menekankan pada proses belajar tentu akan menghadirkan kegiatan

berpikir dalam berbagai bentuk dan level.

Proses berpikir yang dibangun sejak awal dalam upaya menyelesaikan

suatu masalah hendaknya berlangsung secara sengaja dan sampai tuntas.

Ketuntasan dalam hal ini dimaksudkan bahwa siswa yang menjalani proses

tersebut benar-benar telah berlatih dan memberdayakan dan memfungsikan

kemampuannya yang ada sehingga ia memahami serta menguasai apa yang

dikerjakannya selama proses itu terjadi. Dengan demikian siswa harus dilatih agar

Page 2: MAKALAH DOING MATH

memiliki ketrampilan berpikir matematika. Yang menjadi pertanyaan adalah:

sejauh mana, berapa lama dalam suatu pertemuan di kelas siswa telah dilatih dan

dikondisikan untuk berpikir dalam pembelajaran matematika? Atau, dengan cara

apa, atau bagaimana guru dapat mengajar siswa agar menjadi terampil berpikir

secara matematis, tidak hanya ketika siswa berusaha memahami suatu situasi

matematika ataupun ketika siswa harus berhadapan dengan masalah yang

memerlukan solusi? Dengan kata lain, jika siswa harus dilatih untuk berpikir

maka ia harus dihadapkan pada suatu situasi ataupun masalah yang menantang

serta menarik untuk diselesaikan.

1.1 Permasalahan

Berdasarkan latar belakang diatas, maka dapat diutarakan masalahnya

antara lain:

1. Bagaimanakah prinsip pemecahan masalah dan berfikir kreatif dan

kritis?

2. Bagaimanakah cara mengukur pemecahan masalah dan berikir kreatif

dan kritis dalam menyelesaikan permasalahan?

1.2 Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan ini adalah untuk mengetahui :

1. Prinsip pemecahan masalah dan berfikir kreatif dan kritis.

2. Cara mengukur pemecahan masalah dan berikir kreatif dan kritis dalam

menyelesaikan permasalahan.

Page 3: MAKALAH DOING MATH

BAB II

I. Pemecahan Masalah

A. Pengertian Masalah

Masalah terjadi karena adanya kesenjangan antara kenyataan dan harapan.

Para pakar banyak memberikan pendapat mengenai pengertian masalah. Salah

satunya, Cooney dalam Shaddiq (2004, hal. 10) mengatakan bahwa “Suatu

pertanyaan akan menjadi masalah jika pertanyaan tersebut menunjukkan adanya

suatu tantangan yang tidak dapat dipecahkan dengan suatu prosedur rutin yang

sudah dikenal oleh siswa”.

Dengan demikian masalah itu memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. menentang pikiran

2. tidak otomatis diketahui penyelesaiannya

B. Pemecahan masalah

Menurut Wardhani, (2005, hal. 93), Pemecahan masalah adalah proses

menerapkan pengetahuan yang telah diperoleh sebelumnya ke dalam situasi baru

yang belum dikenal.

Tetapi pemecahan masalah dalam matematika memiliki kekhasan

tersendiri. Secara garis besar terdapat tiga macam interpretasi istilah pemecahan

masalah dalam pembelajaran matematika, yaitu:

(1) pemecahan masalah sebagai tujuan (as a goal),

(2) pemecahan masalah sebagai proses (as a process),

(3) pemecahan masalah sebagai keterampilan dasar (as a basic skill).

(Branca, N. A. dalam Krulik, S. & Reys, R. E., 1980, hal. 3-6).

1. Pemecahan masalah sebagai tujuan

Para pendidik, matematikawan, dan pihak yang menaruh perhatian pada

pendidikan matematika seringkali menetapkan pemecahan masalah sebagai salah

satu tujuan pembelajaran matematika. Bila pemecahan masalah ditetapkan atau

Page 4: MAKALAH DOING MATH

dianggap sebagai tujuan pengajaran maka ia tidak tergantung pada soal atau

masalah yang khusus, prosedur, atau metode, dan juga isi matematika. Anggapan

yang penting dalam hal ini adalah bahwa pembelajaran tentang bagaimana

menyelesaikan masalah merupakan “alasan utama” (primary reason) belajar

matematika.

2. Pemecahan masalah sebagai proses

Pengertian lain tentang pemecahan masalah adalah sebagai sebuah proses

yang dinamis. Dalam aspek ini, pemecahan masalah dapat diartikan sebagai

proses mengaplikasikan segala pengetahuan yang dimiliki pada situasi yang baru

dan tidak biasa. Dalam interpretasi ini, yang perlu diperhatikan adalah metode,

prosedur, strategi dan heuristik yang digunakan siswa dalam menyelesaikan suatu

masalah. Masalah proses ini sangat penting dalam belajar matematika dan yang

demikian ini sering menjadi fokus dalam kurikulum matematika. Sebenarnya,

bagaimana seseorang melakukan proses pemecahan masalah dan bagaimana

seseorang mengajarkannya tidak sepenuhnya dapat dimengerti. Tetapi usaha

untuk membuat dan menguji beberapa teori tentang pemrosesan informasi atau

proses pemecahan masalah telah banyak dilakukan. Dan semua ini memberikan

beberapa prinsip dasar atau petunjuk dalam belajar pemecahan masalah dan

aplikasi dalam pengajaran.

3. Pemecahan masalah sebagai keterampilan dasar

Terakhir, pemecahan masalah sebagai keterampilan dasar (basic skill).

Pengertian pemecahan masalah sebagai keterampilan dasar lebih dari sekedar

menjawab tentang pertanyaan: apa itu pemecahan masalah?

Ada banyak anggapan tentang apa keterampilan dasar dalam matematika.

Beberapa yang dikemukakan antara lain keterampilan berhitung, keterampilan

aritmetika, keterampilan logika, keterampilan “matematika”, dan lainnya. Satu

lagi yang baik secara implisit maupun eksplisit sering diungkapkan adalah

keterampilan problem solving. Beberapa prinsip penting dalam pemecahan

masalah berkenaan dengan keterampilan ini haruslah dipelajari oleh semua siswa,

seperti yang dikemukakan oleh George Polya.

Page 5: MAKALAH DOING MATH

Untuk membantu siswa dalam memecahkan masalah diperlukan tahap-

tahap penyelesaiannya :

Identifikasi Masalah

Merencanakan Cara Penyelesaian

Melaksanakan Rencana

Evaluasi Hasil

C. Pengukuran Pemecahan Masalah Dalam Soal

Soal:

Hasil bagi dua buah bilangan cacah adalah 5. Jika jumlah kedua bilangan cacah

adalah 36, tentukan kedua bilangan cacah tersebut?

Penyelesaian:

a. Identifikasi Masalah

Pada tahap ini, kegiatan pemecahan masalah diarahkan untuk membantu

siswa menetapkan apa yang diketahui pada permasalahan dan apa yang

ditanyakan. Beberapa pertanyaan perlu dimunculkan kepada siswa untuk

membantunya dalam memahami masalah ini. Pertanyaan-pertanyaan tersebut,

antara lain:

1). Apakah yang diketahui dari soal?

2). Apakah yang ditanyakan soal?

3). Apakah saja informasi yang diperlukan?

4). Bagaimana akan menyelesaikan soal?

Berdasarkan pertanyaan-pertanyaan di atas, diharapkan siswa dapat lebih

mudah mengidentifikasi unsur yang diketahui dan yang ditanyakan soal. Dalam

hal ini, strategi mengidentifikasi informasi yang diinginkan, diberikan, dan

diperlukan akan sangat membantu siswa melaksanakan tahap ini. Perhatikan

contoh permasalahan berikut:

Hasil bagi dua buah bilangan cacah adalah 5. Jika jumlah kedua bilangan cacah

adalah 36, tentukan kedua bilangan cacah tersebut?

Page 6: MAKALAH DOING MATH

Penyelesaian: Misalkan bilangan tersebut adalah a dan b.

Diketahui: a/b = 5

a + b = 36

Ditanya : a = . . . ?

b = . . . ?

b. Merencanakan cara penyelesaian masalah

Pendekatan pemecahan masalah tidak akan berhasil tanpa perencanaan

yang baik. Dalam perencanaan pemecahan masalah, siswa diarahkan untuk dapat

mengidentifikasi strategi-strategi pemecahan masalah yang sesuai untuk

menyelesaikan masalah. Dalam mengidentifikasi strategi-strategi pemecahan

masalah ini, hal yang paling penting untuk diperhatikan adalah apakah strategi

tersebut berkaitan dengan permasalahan yang akan dipecahkan. Untuk contoh

permasalahan di atas, strategi membuat gambar atau tabel tentu tidak terkait

dengan permasalahan yang akan dipecahkan. Strategi yang tepat digunakan adalah

strategi bekerja mundur dan menggunakan kalimat terbuka.

c. Melaksanakan Rencana

Jika siswa telah memahami permasalahan dengan baik dan sudah

menentukan strategi pemecahannya, langkah selanjutnya adalah melaksanakan

penyelesaian soal sesuai dengan yang telah direncanakan. Kemampuan siswa

memahami substansi materi dan keterampilan siswa melakukan perhitungan-

perhitungan matematika akan sangat membantu siswa untuk melaksanakan tahap

ini. Perhatikan kembali contoh penyelesaian permasalahan di atas.

= 5

a = 5b .

a + b = 36

5b + b = 36

6b = 36 .

b = 6

karena b = 6 maka a = 5 6 = 30

Jadi bilangan-bilangan tersebut adalah 30 dan 6.

Page 7: MAKALAH DOING MATH

d. Evaluasi Hasil

Langkah memeriksa ulang jawaban yang diperoleh merupakan langkah

terakhir dari pendekatan pemecahan masalah matematika. Langkah ini penting

dilakukan untuk mengecek apakah hasil yang diperoleh sudah sesuai dengan

ketentuan dan tidak terjadi kontradiksi dengan yang ditanya. Ada empat langkah

penting yang dapat dijadikan pedoman untuk dalam melaksanakan langkah ini,

yaitu:

1). Mencocokkan hasil yang diperoleh dengan hal yang ditanyakan

2). Menginterpretasikan jawaban yang diperoleh

3). Mengidentifikasi adakah cara lain untuk mendapatkan penyelesaian masalah

4). Mengidentifikasi adakah jawaban atau hasil lain yang memenuhi.

Pada contoh penyelesaian permasalahan di atas, hasil yang diperoleh

adalah bilangan 30 dan 6. Sedangkan unsur yang diketahui adalah a/b = 5. Jika

bilangan-bilangan 30 dan 6 kita gantikan ke a/b= 5, kita dapatkan bahwa 30/6 = 5

bernilai benar. Hal ini menunjukkan bahwa hasil yang kita peroleh sudah sesuai

dengan yang diketahui.

Mengajar siswa untuk menyelesaikan masalah memungkinkan siswa untuk

menjadi lebih analitis di dalam mengambil keputusan di dalam kehidupan.

Dengan kata lain bila seorang siswa dilatih untuk menyelesaikan masalah siswa

itu mampu mengambil keputusan sebab siswa itu mempunyai keterampilan

tentang bagaimana mengumpulkan informasi yang relevan, menganalisis

informasi dan menyadari betapa perlunya meneliti kembali hasil yang telah

diperolehnya.

II. REPRESENTATIF

A. Pengertian Representatif

Menurut Hudojo (2006, hal. 14), kemampuan representasi matematika

adalah kemampuan mengungkapkan ide matematika yang ada di dalam mental

yang diwujudkan dalam gambar dan benda konkrit. Dengan demikian representasi

atau model matematika juga dapat dipandang bertransisi dan merupakan jembatan

yang menghubungkan bagian konkrit dan abstrak dalam pembelajaran matematika

Page 8: MAKALAH DOING MATH

(Gravemeijer, 1994). Kehadiran representasi dalam pembelajaran matematika

akan memicu timbulnya kemampuan untuk mengaitkan ide-ide matematika dalam

berbagai topik atupun dalam situasi keseharian ataupun memunculkan

kemampuan siswa untuk bernalar dan berkomunikasi.

Tahap-tahap representatif

Identifikasi Masalah

Merubah Bahasa cerita kedalam model matematika

Membawa model ke dalam simbol-simbol matematika

Menyelesaikan masalah matematika

B. Pengukuran representatif

Soal :

Sebuah pabrik akan membuat sebuah kotak terbuka dengan volume maksimum

dari lempengan alumunium yang panjang sisinya 18 cm dengan memotong

keempat sudut bujur sangkar dengan sisi yang sama panjang.

Penyelesaian :

identifikasi masalah

Pada tahap ini, siswa diarahkan untuk membantu menetapkan apa yang

diketahui pada permasalahan dan apa yang ditanyakan dari permasalahan soal

tersebut. Beberapa pertanyaan perlu dimunculkan kepada siswa untuk

membantunya dalam memahami masalah ini. Pertanyaan-pertanyaan tersebut,

antara lain:

1). Apakah yang diketahui dari soal?

2). Apakah yang ditanyakan soal?

3). Apakah saja informasi yang diperlukan?

Berdasarkan pertanyaan di atas maka yang diketahui adalah Sebuah pabrik

akan membuat sebuah kotak terbuka dengan volume maksimum dari lempengan

alumunium yang panjang sisinya 18 cm dengan memotong keempat sudut bujur

sangkar dengan sisi yang sama panjang.

Page 9: MAKALAH DOING MATH

Mengubah bahasa cerita ke dalam model matematika

Berdasarkan soal di atas maka timbullah pertanyaan Dapatkah kamu

membuat sebuah model berdasarkan informasi yang kamu dapatkan di atas,

berupa lempengan alumunium yang akan dibuat sebuah kotak terbuka dengan

volume maksimum?

Dari informasi gambar diatas :

V(x) = volume kotak terbuka tersebut

x = ukuran panjang sisi bujur sangkar yang di potong dari sudut

lempengan alumunium.

Merubah model matematika ke dalam simbol matematika?

Berdasarkan gambar di atas Dapatkah kamu merubah model yang sudah

kamu dapatkan ke dalam symbol-simbol matematika?

V(x) = luas alas x tinggi

V(x) = (18-2x)(18-2x)(x)

Menyelesaikan masalah matematika

Setelah diperoleh model dan simbol matematika, dapatkan kamu

menemukan volume maksimum dari kotak terbuka tersebut?

Dari model matematika yang diperoleh dilakukan penjabaran sebagai berikut :

V(x) = (364 – 72x +4x2)x

xx 18-2x

x

xx

x

xx

18-2x18-2x

18-2x

Page 10: MAKALAH DOING MATH

V(x) = 4x3 – 72x2 + 364x

Untuk memdapatkan volume yang maksimum dari persamaan V(x) digunakan

syarat stasioner yaitu turunan pertama V’(x) = 0.

V’(x) = 12x2 - 144x + 364 = 0

12(x2 – 12x +27) = 0

12(x – 3)(x – 9) = 0

Diperoleh nilai x = 3 dan x = 9 . Untuk mengetahui pembuat volume yang

maksimum dilakukan test dengan menggunakan turunan kedua dari V(x) yaitu

V”(x) < 0.

V”(x) = 24x – 144

Substitusikan untuk x = 3 diperolehlah V”(3) = 24(3) – 144 < 0 sedemikian

hingga untuk x = 3 adalah pembuat volume maksimum, sedangkan untuk x = 9

diperolehlah V”(9) = 24(9) – 144 > 0 sedemikian hingga untuk x = 9 adalah

pembuat volume minimum. Sehingga voleme maksimum kotak tersebut V(3) =

(18 – 6)(18 – 6)(3) = 432 cm3.

III. Berfikir Kritis dan Kreatif

1. Keterampilan Berpikir

Keterampilan atau kemampuan berpikir yang paling rendah adalah

mengingat, misalnya mengingat fakta-fakta dasar ataupun rumus-rumus

matematika. Kemampuan ini yang sejak awal umumnya dilatihkan kepada siswa

misalnya mengingat 5 x 5 = 25, 6 + 4 = 10, dan sebagainya. Sekalipun berada

pada level rendah dalam kemampuan berpikir, namun peranan mengingat tetap

penting, antara lain agar mempermudah dan memperlancar seseorang dalam

menyelesaikan suatu masalah. Oleh karena itu melatih ketrampilan mengingat pun

seyogyanya mendapat perhatian yang proporsional. Kebanyakan siswa pada

tahun-tahun pertama mereka dilatih untuk menghafal agar mereka bisa mengingat

walaupun tanpa mengerti mengapa harus demikian.

Page 11: MAKALAH DOING MATH

Kemampuan berpikir pada level berikutnya adalah kemampuan memahami

atau mengerti konsep-konsep matematika, demikianpun kemampuan untuk

mengenal ataupun menerapkan konsep konsep tersebut dalam mencari

penyelesaian terhadap masalah yang dihadapi. Misalnya, dalam mencari panjang

sisi siku-siku suatu segitiga siku-siku jika diketahui panjang sisi miring dan sisi

siku-siku yang lainnya, siswa tahu bahwa ia dapat menggunakan rumus

Pythagoras. Dalam hal ini siswa dapat mengenal bahwa pada situasi mencari

penjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku terkandung konsep segitiga siku-siku

dengan teorema Pythagoras. Selanjutnya ia dapat menggunakan teorema itu untuk

menentukan jawab terhadap pertanyaan tadi. Dalam praktek, latihan di kelas

ataupun asesmen terhadap kemampuan matematika siswa, paling banyak adalah

kegiatan dan asesmen tentang kemampuan-kemampuan berpikir ini, yaitu

memahami dan mengerti.

2. Berpikir Kritis

Krulik dan Rudnick (NCTM, 1999) mengemukakan bahwa yang termasuk

berpikir kritis dalam matematika adalah berpikir yang menguji, mempertanyakan,

menghubungkan, mengevaluasi semua aspek yang ada dalam suatu situasi

ataupun suatu masalah. Sebagai contoh, ketika seseorang sedang membaca suatu

naskah ataupun mendengarkan suatu ungkapan atau penjelasan ia akan berusaha

memahami dan coba menemukan atau mendeteksi adanya hal-hal yang istimewa

dan yang perlu ataupun yang penting. Demikian juga dari suatu data ataupun

informasi ia akan dapat membuat kesimpulan yang tepat dan benar sekaligus

melihat adanya kontradiksi ataupun ada tidaknya konsistensi atau kejanggalan

dalam informasi itu. Jadi dalam berpikir kritis itu orang menganalisis dan

merefleksikan hasil berpikirnya. Tentu diperlukan adanya suatu observasi yang

jelas serta aktifitas eksplorasi, dan inkuiri agar terkumpul informasi yang akurat

yang membuatnya mudah melihat ada atau tidak ada suatu keteraturan ataupun

sesuatu yang mencolok. Singkatnya, seorang yang berpikir kritis selalu akan peka

terhadap informasi atau situasi yang sedang dihadapinya, dan cenderung bereaksi

terhadap situasi atau informasi itu.

Page 12: MAKALAH DOING MATH

Menurut Ennis (1996), berpikir kritis sesungguhnya adalah suatu proses

berpikir yang terjadi pada seseorang serta bertujuan untuk membuat keputusan-

keputusan yang masuk akal mengenai sesuatu yang dapat ia yakini kebenarannya

serta yang akan dilakukan nanti. Seseorang pada suatu saat tertentu akan selalu

harus membuat keputusan, oleh karena itu kemampuan berpikir kritis harus

dikembangkan, terutama ketika dalam membuat keputusan itu ia sedang

berhadapan dengan suatu situasi kritis, terdesak oleh waktu serta apa yang

dihadapi itu tidaklah begitu jelas dan rumit. Hal ini biasanya terjadi jika seseorang

dihadapkan pada beberapa pilihan keputusan yang mungkin, dan dia harus

memilih manakah yang terbaik dari sekian pilihan tersebut. Demikian juga dalam

hal berpikir kritis, keputusan yang akan diambil itu haruslah didasarkan pada

informasi yang akurat serta pemahaman yang jelas terhadap situasi yang dihadapi.

Misalnya dalam membuat suatu keputusan dalam memilih suatu strategi atau

suatu teorema dalam matematika untuk membuktikan suatu statemen untuk

menghasilkan suatu kesimpulan yang benar, maka hal ini harus didasarkan pada

informasi yang diketahui atau yang bersumber dari apa yang dketahui serta sifat-

sifat matematika yang relevan dengan masalah yang dihadapi. Sebab, jika

keputusan itu tidak didasarkan pada informasi serta asumsi yang benar, maka

kesimpulan itu tidak memiliki dasar yang benar. Ada enam unsur dasar yang perlu

dipertimbangkan dalam berpikir kritis (Ennis, 1996), disingkat FRISCO, yaitu:

fokus , alasan, kesimpulan, situasi, kejelasan dan pemeriksaan secara keseluruhan.

Jika keseluruhan unsur ini telah dipertimbangkan secara matang maka orang dapat

membuat keputusan yang tepat.

Dalam belajar matematika ataupun menyelesaikan soal matematika yang

sulit orang harus fokus, misalnya tentang apa masalahnya, apa yang diketahui, apa

yang merupakan inti persoalan sebelum ia memutuskan untuk memilih strategi

atau prosedur yang tepat atau sesuai. Demikian juga, karena matematika adalah

ilmu yang sifatnya deduktif, maka harus ada alasan (reason) yang tepat sebagai

dasar sebelum suatu langkah ditempuh. Alasan itu dapat berasal dari informasi

yang diketahui ataupun, teorema, sifat dll. Alasan ini digunakan untuk kita

bersikap kritis terhadap suatu situasi, misalnya situasi yang disediakan dalam

bentuk suatu soal, ataupun suatu situasi yang muncul karena pikiran sendiri yang

Page 13: MAKALAH DOING MATH

perlu dikritisi berdasarkan alasan-alasan yang tepat agar kebenaran pemikiran itu

mendapat penguatan. Selanjutnya, penarikan kesimpulan yang benar harus

didasarkan pada langkah-langkah dari alasan-alasan ke kesimpulan adalah masuk

akal atau logis. Kesimpulan dapat melahirkan sesuatu yang baru yang dapat

berperan sebagai fokus untuk dipikirkan, sedangkan alasan merupakan dasar bagi

suatu proses penarikan kesimpulan. Dalam berpikir kritis, konteks atau situasi

perlu diperhitungkan karena hal ini membantu untuk merujuk pada konsep

tertentu dan memilih alasan yang tepat. Suasana ulangan, ujian atau test saringan

dll merupakan suatu situasi tegang yang dapat memicu seseorang untuk berpikir

kritis, dikarenakan waktu yang terbatas dan sifatnya kompetitif. Suatu situasi yang

menempatkan seseorang dalam keadaan terdesak akan memicunya untuk berpikir

kritis sebelum bertindak membuat suatu keputusan yang tepat. Kejelasan

mengenai masalah yang dihadapi amatlah diperlukan sebelum seseorang bersikap

kritis, misalnya dalam merespons terhadap suatu statemen yang orang lain

kemukakan secara lisan maupun tulisan, demikianpun dalam menyampaikan

pendapat untuk ditanggapi oleh orang lain. Jika tidak terdapat kejelasan maka

akan sulit untuk membuat suatu kesimpulan dan membuat keputusan yang tepat.

Pada akhirnya, setiap pemikiran yang muncul perlu memperoleh pemeriksaan

kembali (check) tentang kebenarannya, sehingga tidak terdapat keraguan dalam

membuat kesimpulan ataupun suatu keputusan.

3. Berpikir Kreatif

Berpikir kreatif sesungguhnya adalah suatu kemampuan berpikir yang

berawal dari adanya kepekaan terhadap situasi yang yang sedang dihadapi, bahwa

di dalam situasi itu terlihat atau teridentifikasi adanya masalah yang ingin atau

harus diselesaikan. Selanjutnya ada unsur originalitas gagasan yang muncul dalam

benak seseorang terkait dengan apa yang teridentifikasi. Hasil yang dimunculkan

dari berpikir kreatif itu sesungguhnya merupakan suatu yang baru bagi yang

bersangkutan serta merupakan sesuatu yang berbeda dari yang biasanya dia

lakukan. Untuk mencapai hal ini orang harus melakukan sesuatu terhadap

permasalahan yang dihadapi, dan tidak tinggal diam saja menunggu. Dalam

keadaan yang ideal, manakala siswa dihadapkan (oleh guru) pada suatu situasi,

Page 14: MAKALAH DOING MATH

siswa diminta untuk melakukan suatu observasi, eksplorasi, dengan menggunakan

intuisi serta pengalaman belajar yang mereka miliki, dengan hanya sedikit

panduan atau tanpa bantuan guru (Sobel, dan Maletsky, 1988). Tetapi pendekatan

seperti ini khususnya tidak hanya cocok bagi siswa yang pandai, namun

memberikan suatu pengalaman yang diperlukan bagi mereka di kemudian hari

dalam melakukan penelitian.

Berpikir kreatif juga nampak dalam bentuk kemampuan untuk menemukan

hubungan-hubungan yang baru, serta memandang sesuatu dari sudut pandang

yang berbeda dari yang biasanya (Evans, 1999). Tentu hal ini dapat dimengerti

bahwa dalam kehidupan, orang sering ingin menemukan atau melakukan hal-hal

yang baru, karena bosan dengan sesuatu yang sifatnya rutin. Keinginan atau

kebiasaan orang seperti ini perlu dipahami, oleh karena itu pengalaman belajar

yang sedemikian itu perlu disediakan di sekolah secara sengaja agar

mempersiapkan siswa untuk dapat memanfaatkannya pada jenjang pendidikan

yang lebih tinggi atau dalam melaksanakan tugas di tempat pekerjaan.

Evans (1991) mengemukakan bahwa berpikir kreatif terdeteksi dalam

empat bentuk yaitu : kepekaan (sensitivity), kelancaran (fluency), keluwesan

(flexibiliy), dan keaslian (originality). Kepekaan terhadap suatu situasi masalah

menyangkut kemampuan mengindentifikasi adanya masalah, mampu

membedakan fakta yang tidak relevan dan yang relevan dengan masalah,

termasuk konsep-konsep yang relevan. Kepekaan ini termasuk juga apa yang

dirasakan seseorang sehubungan dengan masalah yang diidentifikasi, misalnya

konsep yang terkait, strategi yang sesuai untuk menyelesaikan masalah itu.

Kepekaan ini akan muncul lebih jelas jika ada semacam rangsangan yang

disediakan dalam masalah atau cue serta tantangan yang diberikan oleh guru.

Kepekaan ini lalu memicu individu untuk meneruskan upayanya untuk melakukan

kegiatan observasi, explorasi sehingga dapat muncul gagasan-gaasan. Kepekaan

juga menyangkut apa yang dipikirkan atau digagas orang lain (Mason, Burton,

Stacey, 1985) sehingga memicu individu untuk memunculkan ide atau

gagasannya. Kelancaran dalam memunculkan gagasan atau pertanyaan yang

beragam serta menjawabnya, ataupun merencanakan dan menggunakan berbagai

Page 15: MAKALAH DOING MATH

strategi penyelesaian pada saat menghadapi masalah yang rumit serta kebuntuan.

Dalam situasi seperti ini dimana tersedia berbagai kemungkinan untuk

menyelesaikan masalah yang dihadapi, kelenturan dalam memilih dan

menggunakan strategi yang lain, sering harus muncul. Artinya, ketika tertumbuk

pada kebuntuan, seseorang tidak segan dan memutuskan untuk mengganti

strateginya dengan strategi yang lain. Kelenturan dapat dipandang juga sebagai

suatu variasi yang sesungguhnya menunjukkan kekayaan ide atau alternatif dan

usaha dari yang bersangkutan dalam membangun gagasan menuju pada solusi

yang diharapkannya.

Kadang-kadang ia ingin memperoleh solusi cara yang singkat atau praktis

informal, tetapi juga ia dapat menginginkan cara yang formal. Keaslian atau

originalitas dipandang sebagai munculnya gagasan dari yang bersangkutan tanpa

memperoleh bantuan dari orang lain. Keaslian ini muncul dalam berbagai bentuk,

dari yang sederhana atau yang informal untuk kemudian dapat dikembangkan

menjadi lebih lengkap. Originalitas dalam hal ini adalah relatif. Karena bagi yang

bersangkutan hal tersebut adalah sesuatu yang original (baru bagi dirinya), namun

untuk orang lain tidaklah sesuatu yang baru.

Aplikasi kemampuan berpikir kritis dan kreatif

Situasi pemecahan masalah merupakan tantangan dan saat kritis bagi siswa

dalam upaya mencari solusi. Polya menyarankan heuristic, dimana pada heuristic

yang terakhir, looking back (Polya 1975) hanya menguji jawab dan menggunakan

hasil yang diperoleh untuk menyelesaikan soal lain. Tentu dalam mencari solusi,

siswa sudah harus berpikir kritis dan kreatif. Namun, jika mereka berhenti ketika

jawaban ditemukan, maka mereka kehilangan saat yang berharga dalam proses

belajar yang sedang mereka jalani. Dengan kerja keras mereka membangun

rancangan serta memilih beragam strategi untuk menyelesaikan soal. Oleh karena

pada saat menyelesaikan soal itu mereka sedang termotivasi kemudian senang

dengan hasil yang dicapai, maka rasa senang dan termotivasi ini harus tetap

dipertahankan, dengan memberikan tugas baru kepada siswa, yaitu :

“Menyelesaikan soal itu dengan cara yang lain”, “Mengajukan pertanyaan ...

Page 16: MAKALAH DOING MATH

bagaimana jika”, “Apa yang salah”, dan “Apa yang akan kamu lakukan”( Krulik

dan Rudnick , 1999).

1. Menyelesaikan masalah dengan cara yang lain, sesungguhnya

dimungkinkan, karena guru dengan sengaja atau tidak sengaja sudah

memilih soal yang penyelesaiannya dapat diperoleh dengan berbagai cara

(strategi), ataupun beragam jawaban. Selain itu, hal ini amat

direkomendasikan, dikarenakan konsep-konsep di dalam matematika

saling terkait, dan kemampuan koneksi matematika siswa juga perlu

mendapat kesempatan untuk dikembangkan. Hal ini mencerminkan juga

kekayaan matematika, dan dapat diharapkan menimbulkan kekaguman

atau apresiasi siswa (disposisi) terhadap matematika. Tuntutan bagi siswa

untuk menyelesaikan soal itu dengan cara lain, sesungguhnya menuntut

dan melatih siswa untuk berpikir kreatif serta memberdayakan

pengetahuan serta pengalaman yang ada pada mereka.

2. Mengajukan pertanyaan “...bagaimana jika” sesungguhnya memberi

peluang untuk siswa kreatif dalam menciptakan soal-soal baru dengan

mengacu pada soal yang tadi diselesaikannya. Misalnya, informasi pada

soal semula diganti, ditambah atau dikurangi. Soal ini juga dapat

merupakan tantangan baru bagi siswa dan mereka harus menganalisisnya.

Disini mereka selain kreatif, mereka juga akan kritis, untuk memastikan

apakah informasi yang dikurangi atau ditambahkan itu dapat

mempengaruhi terdapat tidaknya solusi, atau malahan akan memunculkan

soal-soal yang benar-benar baru atau bersifat tidak rutin.

3. “Apa yang salah” merupakan pertanyaan yang memberi peluang untuk

siswa menggunakan kemampuan berpikir kritis, misalnya menemukan

kesalahan, ketika kepada mereka disajikan suatu situasi konflik, ataupun

solusi yang mengandung kesalahan apakah secara konsep atau

perhitungan. Tugas siswa adalah untuk menemukan kesalahan itu serta

memperbaikinya, dan kemudian menjelaskan apa yang salah , mengapa

salah.

Page 17: MAKALAH DOING MATH

4. “Apa yang akan kamu lakukan” termasuk suatu pertanyaan yang

menstimulasi berpikir kreatif. Karena disini aspek tantangannya kuat

sekali. Siswa diminta untuk membuat suatu keputusan, yang didasarkan

pada ide individu ataupun pada pengalaman individu. Siswa harus

menganalisis situasi kemudian membuat keputusan. Siswa dapat diminta

untuk, dalam satu alinea mengungkapkan secara tertulis apa yang

dipikirkannya.

Contoh: 1. Andi dan Lian diberikan tugas dari guru untuk membaca buku.

Andi membaca 16 halaman dalam satu jam, dan Lian dapat membaca 12 halaman

dalam satu jam. Jika mereka membaca tak berhenti, dan A ndi mulai membaca

pada jam 13.00, sedangkan Lian mulai jam 12.00, pada jam berapa mereka sama

sama menghabiskan halaman bacaan yang sama banyaknya.

Jawab:

Jam Halaman

Andi Lian

12.00 – 13.00 0 12

13 .00 – 14.00 16 24

14 .00 – 15.00 32 36

15 .00 – 16.00 48 48

Dengan memperhatikan table ini, jelaslah mereka akan sama-sama

membaca jumlah halaman yang sama pada pukul 16.00.

A. Cara lain:

Situasi pada soal ini dapat disajikan dengan cara lain. Misalnya dengan menyusun

tabel yang memuat informasi yang tersedia pada soal, sbb:

H a l a m a n

Andi 0 16 32 48 64

Lian 0 12 24 36 48 60

Jam 12 13 14 15 16 17

Page 18: MAKALAH DOING MATH

Dari table ini ternyata bahwa pada jam 16.00 Andi dan Lian telah membaca

jumlah halaman yang sama .

Cara lain:

Soal ini dapat diungkapkan dalam bentuk pertanyaan lain, misalnya:

Setelah berapa jam membaca, Andi akan menghabiskan jumlah halaman yang

sama dengan yang dibaca oleh Lian?

Misalkan setelah x jam, Andi membaca sejumlah halaman yang sama dengan

yang dibaca Lian. Tetapi Lian akan membaca selama (x+1) jam. Dalam 1 jam

Andi membaca 16 halaman, dan Lian 12 halaman.

Dengan demikian, terjadi hubungan berikut:

x . 16 = ( x + 1 ). 12

16 x = 12 x + 12

4x = 12

x = 3.

Jadi mereka menghabiskan halaman yang sama banyak setelah Andi membaca 3

jam, dan Lian membaca 4 jam. Hal itu terjadi pada pukul 16.00.

Catatan: Tentu dalam penyelesaian soal ini, orang yang memahami konsep

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dapat saja menggunakan konsep tersebut

untuk menjawab soal ini. KPK dari 12 dan 16 adalah 48. Jadi Andi akan

memerlukan 3 jam dan Lian memerlukan 4 jam. Sehingga 48 halaman akan

selesai dibaca oleh mereka pada jam 16.00, yaitu 4 jam sesudah Lian mulai

membaca pada jam 12.00, yaitu pada jam 16.00 Atau 3 jam setelah Andi

membaca yaitu 3 jam setelah jam 13.00, adalah jam 16.00.

B. Bagaimana jika ....

Dari soal pada contoh 1 tadi, situasi ini dapat diubah, dengan mengajukan

pertanyaan “bagaimana jika...?”, misalnya:

Contoh 2.1.

i. Bagaimana jika mereka mulai membaca pada saat yang sama, akankah

mereka menyelesaikan sejumlah halaman yang sama pada jam tertentu?

Page 19: MAKALAH DOING MATH

ii. Jika mereka membaca seterusnya, dapatkah mereka menyelesaikan jumlah

halaman yang sama pada kali kedua, atau ketiga?

C. Apa yang salah

Perhatikanlah uraian berikut ini, kemudian tentukanlah pada langkah mana

terletak kesalahan. Jelaskan mengapa hal itu salah.

Jika diketahui a = b

Maka:

a2 = ab

a2 – b2 = ab –b2

(a + b)( a – b ) = b (a – b)

a + b = b

a + a = b

2a = b

2a = a

2 = 1

Siswa mulai menyadari adanya suatu konflik, atau suatu yang sangat

janggal ketika ia mengamati lima baris terakhir. Tentu harus ada kesalahan pada

baris-baris sebelumnya. Dengan adanya tanda garis (coretan) pada baris ke 6 dari

bawah uraian ini, ia dapat menebak kemungkinan dimana awalnya kesalahan

tersebut. Sebab baris-baris sebelumnya tidak memuat kesalahan apapun. Ia juga

dapat mengobservasi adanya ketidak konsistenan antara baris pertama dan baris

ketiga dari akhir, yaitu a = b, dan 2a = b), demikian juga baris pertama dengan

baris ke empat dan kelima dari akhir. Terlihat bahwa a = b, tetapi a + b = b. Ini

artinya a = 0, dan kalau a = 0, maka b = 0, karena a = b. Jika ia jeli maka ia dapat

melihat bahwa baris ketiga sesungguhnya merupakan suatu bentuk 0 = 0.

D. Apa yang akan kamu lakukan

Ini merupakan suatu langkah perluasan dari aktifitas belajar pasca ditemukannya

penyelesaian suatu soal. Pertanyaan ini dirancang untuk merangsang berpikir

kreatif sekaligus kritis. Siswa diminta untuk membuat suatu pilihan yang

didasarkan pada pikiran serta pengalamannya. Siswa harus memberi kejelasan

Page 20: MAKALAH DOING MATH

konsep atau sifat matematika apakah yang ia gunakan dalam membuat keputusan

sehubungan dengan soal yang dihadapi.

Contoh 2

Di suatu toko dilaksanakan suatu obral. Aturan yang berlaku adalah ada

pemotongan harga 10 % dan dilanjutkan dengan dikenakan pajak pembelian

sebesar 15% terhadap tiap barang yang dijual. Ani membeli suatu kalkulator yang

dijual seharga Rp. 200.000,00 Jika ia mendapat potongan harga 10 % dan

membayar pajak pembelian, berapa dana yang Ani harus keluarkan untuk

membeli kalkulator itu?

Jawab Siswa.

Potongan 10% berarti :

Rp 200.000,00 – 10% x Rp.200.000,00 = Rp. 200.000,00 - Rp. 20.000,00

= Rp. 180.000,00.

Selanjutnya ia harus membayar pajak 15%, jadi yang harus dibayar adalah :

Rp.180.000,00 + 15%xR.180.000,00 = Rp. 180.000,00 + Rp.27.000,00

= Rp. 207.000,00.

Jika selanjutnya, disampaikan kepada calon pembeli bahwa pada saat

mereka membeli suatu barang, mereka akan membayar barang sekaligus pajaknya

15%, selanjutnya dikenakan potongan 10 % terhadap harga pembelian.

Kemudian siswa diminta untuk membuat pilihan dari dua alternatif

penjualan ini, apakah jika ia sebagai pembeli akankah memilih cara pertama tadi

atau cara pembelian kedua.

Alternatif penjualan kedua ini menyajikan suatu tantangan pada siswa

untuk berpikir secara kreatif atau pun kritis untuk menjamin ia dalam membuat

keputusan yang benar tanpa ragu. Dalam hal ini siswa diminta untuk

mengungkapkan pilihan mereka yang didasarkan pada perhitungan matematika,

serta sifat matematika apa yang menjadi andalan mereka untuk membuat

keputusan. Keputusan ini diharapkan dibuat berdasarkan uraian terhadap masalah

ini secara tertulis.

Page 21: MAKALAH DOING MATH

KESIMPULAN

Untuk meningkatkan kemampuan sisiwa dalam pemecahan masalah yang

harus ditumbuhkan dalam diri siswa tersebut yaitu :

a. kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika;

b. kemampuan untuk mencatat kesamaan, perbedaaan dan

analogi;

c. kemampuan untuk mengindentifikasikan elemen terpenting dan

memilih prosedur yang benar;

d. kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan;

e. kemampuan untuk memvisualisasi dan menginterpretasikan

kuantitas atau ruang;

f. kemampuan untuk memperumum berdasarkan beberapa

contoh;

g. kemampuan untuk berganti metoda yang diketahui;

h. mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang

terhadap materinya.

Selain kemampuan di atas, siswa mempunyai keadaan yang tertentu untuk

masa yang akan dating sehingga dengan percaya diri dapat mengembangkan

kemampuan dalam pemecahan masalah.