Makalah Kalkulus Lanjut

Embed Size (px)

Citation preview

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah lanjutan dari Kalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari bahan materi yang akan di pelajari. Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa lebih menjadi maksimal. Insya Allah... B. Rumusan Masalah Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara implisit ? C. Tujuan Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit; D. Manfaat Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel atau lebih;

BAB II PEMBAHASAN Turunan Parsial Fungsi Implisit Penurunan Secara Implisit Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalam kalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikan secara implisit,

1

dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari, maka dengan aturan rantai dihasilkan,

+Karena, dxdx = 1, maka dihasilkan rumus :

= 0

= -

Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit, dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus :

= -

Contoh 1 Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3, hitunglah dy(dx.) Penyelesaian : Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsial terhadap x dan y dihasilkan : = 3y2 3x2 = 3(y2 x2) = 3(y + x)(y x) = 6xy + 6y2 = 6y(x + y) Jadi, =

=-

( (

)( )

)

=

Contoh 2 Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (xy) = ln (x2 + y2), hitunglah dxdy. Penyelesaian : Andaikan, F(x,y) = arc tan (xy) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secara parsial terhadap x dan y dihasilkan :

=

( )

=Jadi,

( )

(

)

2

Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untuk menentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsi dari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) = 0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan dengan aturan rantai dihasilkan :

+

+

=0

Karena y konstan, maka y/x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkan rumus,

Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkan secara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantai dihasilkan:

+

+

=0

Karena x konstan, maka x/y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkan rumus,

Contoh 3 Tentukanlah, Penyelesaian : Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x, y dan z dihasilkan: dan dari, x2 y + y3 z = 2xz4

= 2xy 2z4

= x2 + 3y2z

= y3 8xz3

Jadi,

==-

= =

.

Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu : 3

1.

Turunan fungsi implisit dua variabel Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0, dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari atau

asalkan

F dy x F dx y

Contoh: Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan Jawab: (x3 + y2 x- 3)= 3x2 + 2xy 2xy + y2 = 0 ..!

= - 3x2 - y2

(- 3x2 - y2) / 2xy - (3x2+ y2)/2xy 2. Turunan fungsi implisit tiga variabel Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel

sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, makaF ( x, y , z ) z x x Fz ( x, y, z )

Fy ( x, y, z ) z y Fz ( x, y, z )

Contoh: Tentukan Jawab: a. (xy z2 + 2xyz) = y+ 2yz b. (xy z2 + 2xyz) = = x + 2xz 4 c. (xy z2 + 2xyz) = = 2xy 2z dari fungsi implisit xy z2 + 2xyz = 0

Jadi

Contoh: Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z ysin (x-z)=0 maka tentukan Jawab: (x3 ey+z ysin (x-z))= = 3x2 ey+z ycos (x-z) (x3 ey+z ysin (x-z))= = x3 ey+z + ycos (x-z) Jadi (3x2 ey+z ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)

3.

Turunan fungsi implisit empat variabel Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka

F ( x y z w) w w Fyx( x,, y,, z,, w) F ( x, y, z , w) x w y Fw ( x, y, z, w) w F ( x, y, z , w) z z Fw ( x, y, z , w)

Contoh: Tentukan Jawab: (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= (2x2w + 3y2z + zwyx + w2) = (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= Jadi: 5 = 3y2 + wyx = 2x2 + zyx +2w = dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0

= =

( (

) / 2x2 + zyx +2w )/ 2x2 + zyx +2w

= - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w Pendiferensialan Implisit Jika kita dihadapkan dengan fungsi y3 + 5y = x3. Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi ketika kita ingin mencari gradien/kemiringan garis singgungdi suatu titik pada kurva, kita akan kebingungan. Masalahnya, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut. Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini? Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan y3 + 5y = 3 terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi, setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh :

Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut : ( )

Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk

suatu kenyataan yang

sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui tidaklah sulit. Di (1,2)( ) ( )

=

.

Jadi, kemiringannya adalah 3/17. 6

Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk

tanpa terlebih dahulu

secara gamblang dalam bentuk

disebut Pendiferensialan Implisit. Tetapi apakah metode tersebut dapat memberikan jawaban yang benar? Contoh. Carilah jika 3!

Penyelesaian : Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang untuk ( sebagai berikut. )

Jadi,

(

)( (

) ( )

)(

) ( )

Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit). Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari : 3

Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan

(

)

Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperoleh terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan dy/dx yang baru saja diperoleh.( )

dalam ungkapan untuk

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua hal besar dalam pernyataan ini. 7

Pertama perhatikan persamaan

Ia tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan suatu fungsi. Sebaliknya,

menentukan fungsi-fungsi y = f(x) =

, dan fungsi y = g(x) =

-

.

Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar berikut:

Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikan f, ia memenuhi : x2 + [f (x)]2 = 25 Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f `(x), kita peroleh: 2x + 2f(x) f(x) = 0 f(x) =( )

perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan : g(x) =( )

Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengan pendiferensialan secara implisit dari 2x + 2y = 0 ( ) ( ) Ini memberikan

{

8

Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas. Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran bilamana x = 3. Nilai-nilai y yang berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4). Masing-masing diperoleh dari pergantian x/y adalah -3/4 dan 3/4. Kemudian kita tunjukkan bahwa:

Menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang didefenisikan oleh: h(x) = {

-5

Ia juga memenuhi kontinu di disamping).

, karena

( )

.Tetapi ia bahkan tidak

, sehingga tidak saja mempunyai turunan di sana (lihat gambar

Sementara subyek fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang sukar (ditangani dalam kalkulus lanjut), masalah-masalah yang kita pelajari mempunyai penyelesaian lansung. Dalam contoh-contoh berikut,kita anggap bahwa persamaan yang diberikan menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferengsialkan yang turunanturunannya dapat dicari dengan menerapkan pendiferensialan implisit. Contoh 9

Carilah

jika

!

Penyelesaian : ( ) ( )

Contoh Carilah jika ( ( ) ( = Contoh Cari persamaan garis singgung pada kurva dititik (0,1). Penyelesaian : Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan untuk ( ( ) ( ) )( ) .Bilamana ) ) ( )

Penyelesaian :

kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya,kita peroleh :

Di (0,1), (

.Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah: )

10

Kita telah mempelajari bahwa

(

)

di mana

adalah sembarang

bilangan bulat.Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalah bilangan rasional sembarang. TEOREMA M : Aturan Pangkat Andaikan ( ) adalah bilangan rasional sembarang,maka:

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Turunan Parsial Fungsi Implisit Turunan fungsi implisit dua variable

F dy x F dx y

Turunan fungsi implisit tiga variableF ( x, y , z ) z x x Fz ( x, y, z )

Fy ( x, y, z ) z y Fz ( x, y, z )

11

Turunan fungsi implisit empat variable Fy ( x, y, z, w) F ( x, y, z , w) w w x x Fw ( x, y, z , w) y Fw ( x, y, z, w) B. Saran

w F ( x, y, z , w) z z Fw ( x, y, z , w)

Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan atau menjelaskan kembali dasar dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar dasar yang mestinya diketahui sebelum mempelajari makalah ini, termasuk kami juga. Sehingga sulit buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini. Saran buat teman teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses perkuliahan berlangsung kiranya teman teman memperhatikan dengan sungguh sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal.

DAFTAR PUSTAKAPrayudi.Kalkulus Lanjut, Edisi Pertama.Penerbit Graha Ilmu.Yogyakarta.2009 Purwanto, Heri.Kalkulus 1. Ercontara Rajawali.Jakarta.2005

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materimatematika.html http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y

12