MAKALAH KALKULUS APLIKASI TURUNAN D I S U S U N OLEH NAMA: SANTO SIANTURI NIM: 4113141072 KELAS: BIOLOGI DIK C 2011

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karuniaNya penulis dapat menyelesaiakan makalah ini tepat waktu sesuai dengan waktu yang ditentukan. Adapun yang menjadi judul makalah ini adalah APLIKASI TURUNAN, dalam makalah ini membahas tentang fungsi turunan dan penggunaan turunan dalam ilmu matematika, teknik, ekonomi, serta masalah sederhana yang berhubungan langsung dengan kehidupan sehari-hari. Melalui makalah ini kita dapat melihat betapa pentingnya aplikasi tururan dalam ilmu pengetahuan dan ilmu keseharian. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Kalkulus I, yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada saya selama satu semester ini. Juga kepada teman-teman (Biologi Dik C 2011) yang turut membantu dalam pembuatan makalah ini. Dalam makalah ini penulis juga menyadari masih banyak kekurangan yang menyebabkan makalah ini menjadi tidak sempurna, baik dalam penulisan maupun isinya, untuk ini dengan hati yang terbuka penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun. Akhir kata, semoga makalah ini bermanfaat. Terima kasih.

Medan, 2011

Penulis

BAB I PENDAHULUAN

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematikayang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidangsains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat besar baik dalam bidangbidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Dengan mempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalahmasalah yang berkaitan dengan fungsi, integral dan bidang kalkulus lainnya. Turunan juga dapat digunakan untuk dapat menggambarkan konsep limit. grafik suatu fungsi aljabar yaitu dengan menggunakan penerapannya. Untuk menentukan turunan suatu fungsi biasanya digunakan

BAB 2 PEMBAHASAN

APLIKASI TURUNAN I.1 Maksimum dan Minimum Definisi: Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa:y y y

f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) f(x) untuk semua x di S; f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.

y

Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.

Teorema A Teorema keberadaan maksimum-minimum jika f pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum disana. Dimana terjadinya nilai ekstrim? Nilai-nilai ekstrim dari fungsi yang didedinisikan pada selang tertutup seringkali terjadi pada titik-titik ujung. Jika c sebuah titik tempat f(c) = 0 kita sebut c titik stasioner. Pada titik stasioner grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar. Jika c adalah titik didalam I tempat f aksen tidak ada, kita sebut c titik singular yang berupa titik tempat grafik f berpojok tajam, garis singgung tegak, atau berupa loncatan atau didekatnya grafik bergoyang sanagt buruk. Sembarang

titik dalam daerah asal fungsi f yang termasuk salah satu dari tipe ini disebut titik kritis f. Teorema B Teorema titik kritis: Andaikan f terdefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu: y y y Bukti: f (c) berupa nilai maksimum f pada I dan andaikan c bukan titik ujung ataupun titik singular. Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) f(c) untuk semua x dalam I yaitu f(x) f(c) 0 Jadi jika x < c, sehingga x-c < 0 maka (1) f(x) f(c) 0 xc sedangkan jika x > c, maka: (2) f(x) f(c) 0 xc Tetapi f(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya bila kita biarkan x c dalam (1) dan x c+ dalam (2), kita memperoleh masing-masing f(c) 0 dan f(c) 0. kita simpulkan Titik ujung dari I; Titik stasioner dari f(f(c)=0); atau Titik singular dari f(f(c) tidak ada)

bahwa f(c) = 0. 4.2 Kemonotonan dan kecekungan Definisi: Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Dapat katakan bahwa:y y y y y

f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 f(x1) < f(x2) f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 f(x1) > f(x2) f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I.

Turunan pertama dan kemonotonan Turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. Kemudian jika f(x) > 0 maka garis singgung naik kekanan. Dan jika f(x) < 0 maka garis singgung turun kekanan. Teorema A Teorema kemonotonan: Andaikan f kontinue pada selang I dan terdefinisikan pada setiap titik-dalam dari I. y y Jika f(x) > 0 semua x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f(x) < 0 semua x titik-dalam I, maka f turun pada I

Turunan kedua dan kecekungan Suatu fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang bergoyang. Jika garis singgung berbelok secara tetap dalam arah yang berlawanan arah outaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, dan jika garis singguang berbelok searah putaran jarum jam, maka grafik cekung ke arah bawah. Definisi kecekungan

Andaikan f terdiferensialkan pada selang terbuka I, kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f naik pada I, dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f turun pada I. Teorema A Teorema kecekungan: Andaikan f terdeferensiasikan dua kali pada selang buka I. y y Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.

Titik balik Andaikan f kontinue di c, kita sebut (c.f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. GAMBAR 4.3 Maksimum dan Minimum Lokal Definisi Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, dapat dikatakan bahwa:y

f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

y

f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) simbol gabungan S;

y

f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.

Teorema A Uji turunan pertama:

Andaikan f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c.y

Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal. Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal. Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

y

y

Bukti (i) Karena f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c), maka menurut teorema kemonotonan f naik pada (a,c]. Karena f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f turun pada [c,b). Jadi f(x) < f(c) untuk semua x dalam (a,b), kecuali tentu saja di x = c. Kita menyimpulkan bahwa f(c) adalah maksimum lokal. Demikian juga untuk bukti (ii) dan (iii). Teorema B Uji Turunan kedua: Andaikan f dan f ada pada setiap titik selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f(c) = 0.y y

Jika f(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f. Jika f(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

Bukti (i) Dari definisi dapat dibuktikan bahwa: f(c) = = Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa terdapat selang ( , ) di sekitar c dengan

f'(x) > 0 x c Tetapi ketidaksamaan ini mengimplikasikan bahwa f(x) > 0 untuk maksimum lokal.lebih Banyak < x< c dan

f(x) < 0 untuk c < x < . Jadi menurut turunan uji pertama f(c) adalah nilai

1. Kemonotonan dan Kecekungan Definisi : Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa : i. ii. iii. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 x1 > x2 f(x1) < f(x2 ) f(x1) > f(x2) f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I

Teorema A (Teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I i. ii. Jika f(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I Jika f(x) < 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Turunan Pertama dan Kemonotonan Ingat kembali bahwa turunan pertama f(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f(x) > 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)

Turunan Kedua dan Kecekungan Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam, grafik cekung ke bawah pada I. Teorema B (Teorema kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang terbuka (a,b). i. ii. Jika f(x) > 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b) Jika f(x) < 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)

Titik Balik Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C menunjukkan sejumlah kemungkinan. Gambar

soal : Jika f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun? Penyelesaian: Mencari turunan f f(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3 (x2 + 4x + 3) = 3 (x+3)(X+1) Kita perlu menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1) < 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga selang ( -, -3), (-3, -1) dan (-1, ). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0 didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x) < 0 pada selang tengah. Jadi, f naik pada (-, -3] dan [-1, ) dan turun pada [-3, -1] Grafik

f(-3) = 3 f(-1) = -1 f(0) = 3

2. Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi : Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa : i. ii. iii. f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) minimum lokal Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. Jika S S f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau

turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal. GAMBAR MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL

Teorema A (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c. i. ii. iii. Jika f(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f Jika f(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f Jika f(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f. Teorema B (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f dan f ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f(c) = 0 i. Jika f(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f ii. Jika f(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f soal : Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 8x + 7 pada (-,)

penyelesaian: fungsi polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f(x) = 2x 8, ada untuk semua x. jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f(x) = 0 yakni x = 4 karena f(x) = 2(x-4) < 0 untuk x0 untuuk x>0, f naik pada [4,) karena itu, f(4) = -9 adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis, tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.

4.

Lebih Banyak Masalah Maks-Min Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya menganggap bahwa

himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum (minimum) global. Langkah-langkahnya:

1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variabel-variabel yang sesui untuk besaran-besaran kunci 2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus dimaksimumkan

(diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut 3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai fungsi dari satu variabel, misalnya x 4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin, biasanya sebuah selang 5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0 6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis mana yang memberika maksimum atau minimum soal : Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3 3x2+4 pada ( , ). Penyelesaian : f`(x) = 3x2 6x = x(3x 6) x=0 dan x= 2 f(2) = 0 f(0) = 4 fungsi memiliki nilai maksimum 4 (pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)

5.

Penerapan Ekonomik Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita

menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan. Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan dan biaya. P(x) = R(x) C(x) = x p(x) C(x) Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya. Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama

lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan. Penggunaaan Kata Marjinal Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai C/X pada saat x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx. soal : andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000 penyelesaian : Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x 1/2) /x Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2 Pada X = 400 diperoleh Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960 Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960 Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.

6.

Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-definisi Cermat Limit bila x

Dalam analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii berikut. Definisi: (Limit bila x yang x berpadanan sedemikian sehingga X>M Definisi: (Limit bila x bilangan M yang x - -). Andaikan f terdefinisi pada ( -, c] untuk suatu bilangan c. >0, terdapat f(x) - L < ). Andaikan f terdefinisi pada [c,) untuk suatu bilangan c. kita

katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing >0, terdapat bilangan M

kita katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing

berpadanan sedemikian sehingga X0 demikian sehingga 0 M f(x) L