Upload
rizqi-pandu-sudarmawan
View
245
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
1/23
Kelompok 3 Perpindahan Kalor
Perpindahan Kalor
Konduksi Tak TunakMakalah Pemicu II Perpindahan Kalor
Arif Variananto (1006679440)
Elsa Widowati (1006773231)
Hari Purwito (1006759246)
Selvi Sanjaya (1006759403)
Rizqi Pandu S. (0906557045)
Universitas Indonesia
Depok
2012
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
2/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 1
JAWABAN PEMICU PERPINDAHAN KALOR
KONDUKSI TAK TUNAK
Topik 1 : Beton
1. Dapatkah Anda menjelaskan mekanisme perpindahan kalor yang terjadi pada betonketika mengamati proses pengeringan? Termasuk jeni s perpindahan kalor apakah
proses ini ?
Proses perpindahan kalor saat pengeringan beton merupakan sistem konduksi tak tunak
akibat adanya ketebalan beton sehingga terdapat fungsi suhu terhadap perbedaan jarak dan
waktu. Perubahan suhu terjadi akibat bagian permukaan beton ditutupi oleh karung goni basah
atau disirami air. Pada saat bagian permukaan beton ditutup karung goni basah atau disirami
air, suhu di permukaan beton akan menjadi lebih rendah dibandingkan dengan bagian
dasarnya. Hal ini menyebabkan bagian dasarnya akan mengalirkan kalor ke lapisan atasnya.
Pada saat permukaan beton pertama kali disirami air perbedaan suhu (T) antara permukaan
dan bagian dasarnya lebih besar jika dibandingkan dengan T saat permukannya disirami air
untuk kali berikutnya. Akibatnya, pada interval waktu yang sama, laju alir kalor konduksi pada
keadaan awal lebih besar dari keadaan setelahnya. Hal ini disebabkan suhu beton semakin
mendekati keadaan setimbang. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa laju alir kalor
konduksi pada beton bergantung pada fungsi waktu sehingga disebut perpindahan kalor
konduksi tak tunak.
2. Dapatkah Anda menghubungkan keberhasilkan proses pengeringan dengankual itas beton yang dihasi lkan?
Bahan penyusun beton yang paling penting adalah semen. Semen merupakan bahan
hidrolisis yang dapat bereaksi dengan air secara kimia, disebut hidrasi, sehingga membentuk
material batu padat. Pada umumnya semen untuk bahan bangunan adalah tipe semen Portland.Semen ini dibuat dengan cara menghaluskan silikat-silikat kalsium yang bersifat hidrolisis dan
dicampur bahan gips. Beberapa tipe semen yang diproduksi di Indonesia, antara lain, semen
Portland tipe I, II, III, dan V.
Proses hidrasi semen dapat dinyatakan dengan reaksi berikut ini:
Ca3Al2O5 + 6H2O Ca3Al2(OH)12
Ca2SiO4 + xH2O Ca2SiO4xH2O
-----------------------------------------------------------------------------
Ca3SiO5 + (x+1)H2O Ca2SiO4xH2O + Ca(OH)2
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
3/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 2
Pada setiap reaksi, produk hidrasi berkurang daya larutnya dalam air dibandingkan dengan
semen semula. Oleh karena itu, bila terdapat air, reaksi tersebut diatas meliputi pelarutan dan
presipitasi ulang.
Dari reaksi-reaksi tersebut jelas bahwa semen tidak mengeras kerena pengeringan, akan
tetapi oleh karena reaksi hidrasi kimia. Oleh karena itu, beton harus tetap basah untuk
menjamin pengerasan (setting) yang baik. Hal yang terpenting dalam proses pengeringan
(pendinginan) adalah menjaga hilangnya air selama hidrasi. Pada saat awal pengerasan, beton
harus dijaga kelembabannya dan jangan sampai kehilangan air. Apabila pengeringan
berlangsung terlalu cepat sehingga proses hidrasi terhenti, semen tidak akan merekat kuat
sehingga mudah terjadi retakan. Hal ini dapat mengurangi kualitas beton yang dihasilkan.
3. Bagaimanakah perlakuan penutupan permukaan beton dapat menghindariter jadinya retakan?
Penutupan permukaan beton merupakan salah satu usaha untuk memperlambat
proses pengeringan sehingga air yang terperangkap di dalam semen membutuhkan
waktu lebih lama untuk menguap. Goni atau kain yang dijaga terus menerus dalam
keadaan basah menjadi semacam isolator yang memastikan perpindahan panas secara
konduksi melalui goni tersebut berjalan lebih lambat. Konduktivitas termal goni atau
kain yang rendah, ditambah dengan kapasitas kalor air yang cukup besar merupakan
penyebab melambatnya perpindahan panas dari lingkungan ke beton sehingga air tidak
menguap terlalu cepat. Oleh karena air masih terus ada hingga proses hidrasi selesai,
semen yang digunakan sebagai penyusun utama beton dapat merekat dengan sangat
kuat, dengan demikian retakan pada beton dapat dihindari.
Topik 2: Perpindahan Kalor Tak Tunak
1. Apa yang Anda ketahui mengenai perpindahan kalor konduksi tak tunak? Dimanaletak perbedaannya dengan perpindahan kalor konduksi tunak?
Jika benda padat tiba-tiba mengalami perubahan lingkungan, diperlukan beberapa
waktu sebelum suhunya berada kembali pada keadaan seimbang. Keadaan seimbang
ini disebut keadaan tunak. Dalam proses pemanasan atau pendinginan yang bersifat
transien yang berlangsung sebelum tercapainya keseimbangan, analisis harus
disesuaikan dengan untuk memperhitungkan perubahan energi dalam benda menurut
waktu. Perubahan yang berbeda terhadap waktu disebut sebagai keadaan tak tunak.
Contoh kasus keadaan tak tunak adalah sebagai berikut: Sebuah plat tak berhingga
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
4/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 3
memiliki tebal 2Lseperti pada Gambar 1. Mula-mula plat berada pada suhu seragam Ti
dan pada waktu nol suhu permukaan tiba-tiba diturunkan menjadi T=T1. Persamaan
diferensialnya adalah
(1)
Jadi letak perbedaan dengan perpindahan kalor konduksi tunak adalah pada
perpindahan kalor konduksi tunak, suhu hanya merupakan fungsi posisi saja, namun
pada konduksi tak tunak suhu merupakan fungsi dari posisi dan juga waktu.
2. Batasan-batasan apa saja yang harus dipenuhi j ika Anda ingin menerapkan anali siskapasitas kalor tergabung dalam menyelesaikan permasalahan perpindahan kalor
konduksi tak tunak?
Pada pembahasan pada sistem kapasitas kalor tergabung ini, pembahasan
perpindahan kalor konduksi tak tunak dengan cara menganggap suhu sistem seragam
dalam analisisnya. Analisis seperti ini disebut dengan metode kapastias kalor
tergabung atau tergumpal (lumped-heat-capacity method). Sistem ini merupakan suatu
idealisasi karena di dalam setiap bahan selalu ada gradient suhu ( temperature gradient)
apabila pada bahan tersebut ada kalor yang dikonduksi ke dalam atau ke luar. Pada
umumnya, makin kecil ukuran benda makin realistis pula pengandaian tentang suhu
seragam dan pada limitnya kita dapat menggunakan differensial volume seperti dalam
penurunan persamaan umum konduksi kalor.
Jika sebuah bola baja panas dicelupkan ke dalam air dingin, kita boleh
menggunakan metode analisis kapasitas-kalor-tergabung apabila kita dapat
Gambar 1 Plat tak berhingga yang permukaannya tiba-tiba didinginkan (Sumber: Holman, J. P.
2010. Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
5/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 4
membenarkan pengandaian suhu seragam di dalam bola tersebut selama proses
pendinginan itu berlangsung. Dalam proses pendinginan ini berlaku proses konduksi
tak tunak karena belum tercapainya keadaan suhu yang setimbang sehingga diperlukan
analisis perubahan energi dalam (internal energy) benda menurut waktu. Dapat
diketahui bahwa distribusi suhu di dalam boa bergantung dari konduktivitas termal
(thermal conductivity) bahan bola itu dan kondisi perpindahan kalor dari permukaan
bola ke fluida di sekitarnya, yaitu koefisien perpindahan kalor konveksi-permukaan
(surface-convection heat-transfer coefficient). Distribusi suhu yang cukup seragam di
dalam bola bisa kita dapatkan jika tahanan terhadap perpindahan kalor konduksilebih
kecil daripada dengan tahanan konveksi pada permukaan sehingga gradient suhu
terdapat terutama pada lapisan fluida di permukaan bola. Oleh karena itu, analisis
kapasitas kalor tergabung mengandaikan bhawa tekanan dalam benda dapat diabaikan
terhadap tahanan luar.
Rugi kalor konveksi dari suatu benda terihat dari penurunan energi dalam (internal
energy) benda itu, seperti terlihat pada Gambar 1. Jadi,
(2)di mana A adalah luas permukaan permukaan konveksi dan V adalah volume. Keadaan
awal adalah
pada = 0Sehingga penyelesaian Persamaan 1 adalah
(3)
Gambar 2 Nomenklatur untuk analisis kapasitas kalor satu gabungan (Sumber: Holman, J.P. 2010. Heat Transfer
Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
6/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 5
Jaringan termal untuk sistem kapasitas-tunggal (single-capacity system)
ditunjukkan pada Gambar 2(b). Dalam jaringan ini terlihat bahwa kapasitas termal
sistem mula-mula dimuati oleh potensial T0dengan menutup sakelar S. Kemudian bila
sakelar itu dibuka, energi yang tersimpan dalam kapasitas termal dibuang melalui
tahanan 1/hA. Analogi antara sistem termal ini dengan sistem listrik cukup kentara dan
kita dengan mudah dapat menyusun sistem listrik yang tingkah lakunya sama dengan
sistem termal, yaitu dengan membuat perbandingan
Sama dengan 1/di mana ialah tahanan dan adalah kapasitansi. Dalam sistemtermal kita menyimpan energi sedangkan dalam sistem listrik kita menyimpan muatanlistrik. Aliran energi dalam sistem termal disebut kalor, aliran muatan listrik disebut
arus listrik. Besaran disebut kontanta waktu (time constant) dari sistem itu,karena mempunyai dimensi waktu. Bila
Terlihatlah bahwa beda suhu -mempunyai nilai 36,8 persen dari beda awal - .
Telah diketahui bahwa analisis seperti kapasitas-tergabung mengandaikan
distribusi suhu seragam pada seluruh benda padat tersebut. Pengandaian itu sama
artinya dengan mengatakan bahwa tahanan konveksi-permukaan (surface-convection
resistance) lebih besar daripada tahanan konduksi-dalam (internal conduction
resistance). Analisis demikian dapat diharapkan akan menghasilkan perkiraan yang
memadai apabila kondisi di bawah ini dipenuhi
(4)
Di mana k adalah konduktivitas termal benda padat itu. Apabila telah memenuhi
kriteria tersebut maka analisis kapasitas tergabung bisa diaplikasikan.
3. Bagaimana Anda menerapkan anal isis ali ran kalor transien dalam menyelesaikanpermasalahan perpindahan kalor konduksi tak tunak?
Pada Gambar 3, dapat dilihat nomenklatur untuk benda padat semi tak berhingga
yang berada suhu awal Ti. Suhu permukaan tiba-tiba diturunkan hingga menjadi To.
Dapat dibuat persamaan yang menunjukkan distribusi suhuplat sebagai fungsi waktu.
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
7/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 6
Distribusi ini selanjutnya dapat digunakan untuk menghitung aliran kalor pada setiap
posisixpada benda padat itu sebagai fungsi waktu.
Gambar 3 Nomenklatur untuk aliran transien dalam benda padat semi tak berhingga (Sumber: Holman, J.P. 2010.
Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
Dengan mengandaikan sifat-sifat tetap, persamaan diferensial untuk distribusi
suhu T(x,) adalah
(5)
Kondisi awal dan kondisi batas adalah
Soal ini dapat dipecahkan dengan teknik transformasi Laplace. Penyelesaiannya
adalah sebagai berikut
(6)
di mana fungsi galat (kesalahan) Gauss didefinisikan sebagai
(7)
Definisi adalah suatu variabel boneka dan integralnya merupakan suatu fungsi
dari limit atasnya. Bila definisi fungsi galat tersebut diaplikasikan pada persamaan (6),
persamaan distribusi suhunya menjadi
(8)Aliran kalor pada setiap posisixbisa didapatkan dari
Dengan melakukan diferensial parsial atas persamaan (8) didapatkan
(9)
Pada permukaan, aliran kalor adalah
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
8/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 7
(10)Fluks kalor permukaan ditentukan dengan mengevaluasi gradien suhu pada x = 0
dari persamaan (9). Grafik distribusi suhu untuk benda padat semi-tak berhingga
diberikan pada Gambar 4.
Gambar 4 Distribusi suhu pada benda padat semi tak berhingga (Sumber: Holman, J.P. 2010. Heat Transfer Tenth
Edition. UK: McGraw-Hill)
Untuk distribusi suhu awal seragam seperti di atas, dapat pula diberikan fluks kalorawal permukaan yang tetap sebesar qo/Apada permukaan. Kondisi awal dan kondisi
batas pada persamaan (6) menjadi
Penyelesaian untuk kasus ini adalah
(11)
4. Apa yang Anda ketahui tentang batas konveksi, angka Biot, angka Four ier danbagan Heissler , ser ta bagaimana menerapkannya dalam menyelesaikan
permasalahan perpindahan kalor konduksi tak tunak?
a. Batas konveksi dan bagan Heissler
Konduksi kalor transien berhubungan dengan kondisi batas konveksi pada
permukaan benda padat sebab kondisi batasnya akan digunakan untuk menghitungperpindahan kalor konveksi pada permukaan. Misalnya terdapat benda padat semi-
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
9/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 8
tak berhingga seperti pada Gambar 5, perpindahan kalor konveksi pada permukaan
dinyatakan dengan
atau *+ (12)
dengan penyelesaian
*
+ *
+ (13)
di mana () Ti= suhu awal benda padat
T~= suhu lingkungan
Gambar 6 Distribusi suhu pada benda padat semi tak berhingga dengan kondisi batas konveksi (Sumber:
Holman, J.P. 2010. Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
Penyelesaian tersebut berupa grafik pada Gambar 6. Untuk bentuk geometri
lain hasilnya disajikan dalam bentuk bagan Heisler. Bentuk-bentuk yang terpenting
adalah yang berkaitan dengan (1) plat yang ketebalannya kecil sekali dibandingkan
Gambar 5 Nomenklatur untuk aliran transien dalam benda padat semi tak berhingga (Sumber: Holman,
J.P. 2010. Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
10/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 9
dengan dimensi lainnya, (2) silinder yang diameternya kecil dibandingkan dengan
panjangnya, dan (3) bola. Dalam semua kasus tersebut, suhu lingkungan konveksi
ditandai dengan T~dan suhu pusat untuk x=0 atau r=0 adalah T0. Pada t=0, setiap
benda padat dianggap mempunyai suhu awal seragam Ti. Pada Gambar 4-7 sampai
dengan 4-13 (Holman, 2010) suhu dinyatakan sebagai fungsi waktu dan
kedudukan. Dalam bagan-bagan tersebut berlaku definisi berikut
atau
Jika suhu garis pusat yang dicari, hanya satu bagan yang diperlukan untuk
mendapatkan
dan
, sedangkan untuk suhu di luar pusat diperlukan dua bagan
untuk menghitung hasil
(14)
Misalnya untuk menghitung suhu di luar pusat plat tak berhingga digunakan
Gambar 4-7 (untuk mendapatkan nilai) dan Gambar 4-10 (untuk mendapatkan
nilai
) (Holman, 2010).
Rugi kalor untuk plat tak berhingga, silinder tak berhingga, dan bola diberikan
pada Gambar 4-14 sampai dengan Gambar 4-16 (Holman, 2010) di mana Q0
menunjukkan isi energi dalam awal benda, dengan suhu lingkungan sebagai dasar
rujukan
(15)Dalam gambar-gambar tersebut, Q adalah rugi kalor yang sebenarnya oleh benda
itu pada waktu .
Pada Gambar 4-13 (Holman, 2010) diberikan suhu pusat ketiga macam benda
padat bila nilai hkecil, atau untuk kondisi di mana benda padat itudapat dianggap
kapasitas tergabung, dengan dimensi karakteristik s adalah L untuk plat, dan r0
untuk silinder dan bola.
b. Angka Fourier dan angka Biot
Bagan Heisler menggunakan dua parameter tak berdimensi yang disebut angka
Biot dan angka Fourier:
(16)
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
11/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 10
(17)
di mana s adalah setengah tebal untuk plat atau jari-jari untuk silinder dan bola.
Angka biot adalah rasio antara besaran konveksi-permukaan dan tahanan konduksi-
dalam, sedangkan angka Fourier adalah rasio antara dimensi karakteristik benda
dengan kedalaman tembus gelombang suhu pada suatu waktu .
Nilai Biot yang rendah berarti tahanan konduksi-dalam dapat diabaikan
terhadap tahan konveksi-permukaan. Hal ini berarti pula bahwa suhu akan
mendekati seragam di seluruh benda, dan tingkah laku ini dapat didekati dengan
metode analisis kapasitas tergabung.
Jika perbandingan V/Adianggap sebagai dimensi karakteristiks, maka
(18)
c. Penerapan dalam menyelesaikan permasalahan kalor konduksi tak tunak
Perhitungan untuk bagan Heisler dilakukan dengan memenggal penyelesaian
deret tak berhingga menjadi beberapa suku saja. Bagan-bagan Heisler terbatas pada
nilai-nilai angka Fourier yang lebih besar dari 0,2.
(19)Untuk nilai-nilai yang lebih rendah penyelesaian dapat dilakukan dengan metode
lain.
Contoh penggunaan bagan Heisler dapat dilihat pada kasus berikut. Misalnya
terdapat lempeng dengan suhu awal Ti tiba-tiba diberi lingkungan permukaan
konveksi dengan suhu T~, ditanyakan waktu yang diperlukan untuk mencapai suhu
Tpada kedalamanx. Pada dasarnya kasus ini dapat diselesaikan dengan persamaan
(13), namun pada persamaan tersebut variabel suhu muncul dua kali sehingga
lebih mudah menggunakan grafik pada Gambar 3. Dengan menggunakan Gambar
6, cukup ditentukan nilai yang memenuhi nilai
.
Contoh lainnya misalnya terdapat sebuah lempeng dengan suhu awal Tidengan
tebal 2L (sehingga s=L) tiba-tiba diberi lingkungan permukaan konveksi dengan
suhu T~, ditanyakan energi yang dikeluarkan dan suhu T pada kedalaman x bila
digunakan waktu sebanyak . Untuk kasus ini, ditanyakan suhu diluar pusat
sehingga digunakan Gambar 4-7 (Holman, 2010) atau seperti pada Gambar 7
berikut sehingga didapatkan dan Gambar 4-10 (Holman, 2010) untuk
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
12/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 11
mendapatkan
. Setelah nilai didapatkan, nilai T dapat diketahui. Untukmendapatkan energi yang dikeluarkan, digunakan Gambar 4-14 (Holman, 2010).
Gambar 7 Penggunaan bagan Heisler untuk menentukan suhu dengan Fo=8,064 dan 1/Bi=16,38
(Sumber: Holman, J.P. 2010. Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
5. Pada sistem dimensi rangkap seperti apa Metode Numeri k Transien dan Anal isisGrafik Schmidt dapat diapl ikasikan?
Metode numerik transien banyak diaplikasikan pada kasus sistem yang memiliki
bentuk yang tidak simetris dan tidak beraturan, sedangkan Metode analisis Grafik
Schmidt diaplikasikan pada sistem yang memiliki bentuk simetris dan juga melibatkan
suhu lingkungan .a. Metode numerik transien
Untuk benda-benda berbentuk tidak teratur kita memerlukan teknik numerik
untuk menghitungnya. Perhatikan gambar di bawah, dalam benda padat persamaan
diferensial yang mengatur aliran kalor ialah :
Tc
y
T
x
Tk
2
2
2
2
(20)
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
13/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 12
Gambar 8 Nomenklatur untuk penyelesaian numerik soal konduksi tak tunak dua dimensi (Sumber: Holman, J.P.
2010. Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill)
derivatif waktu untuk persamaan di atas didekati dengan:
p
nm
p
nm TTT ,1
, (21)
Dalam persamaan di atas, superskrip menunjukkan tambahan waktu (time
increment). Dengan menggabungkan persamaan-persamaan di atas, kita dapatkan
persamaan beda yang setara dengan persamaan (22)
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm TTy
TTTx
TTT ,1
,
2
,1,1,
2
,,1,1 1)(
2)(
2 (22)
Jadi, jika suhu pada setiap waktu di berbagai node diketahui, suhu sesudah
tambahan waktu dapat dihitung dengan menuliskan persaman itu seperti
persamaan di atas untuk setiap waktu, dan mendapatkan 1,
p
nmT . Jika ada penambahan
koordinat ruang sehingga x = y, persamaan untuk 1,
p
nmT menjadi
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm Tx
TTTTx
T ,21,1,,1,121
,
41)(
(23)
Jika tambahan waktu dan tambahan jarak dipilih sedemikian rupa sehingga:
4)( 2
x (24)
Maka terlihat bahwa suhu node (m,n) sesudah suatu tambahan waktu hanyalah
rata-rata aritmatik saja dari suhu pada awal tambahan waktu, dan keempat node yang
mengelilinginya. Jik sistem itu satu dimensi, persamaannya adalah :
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
14/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 13
p
m
p
m
p
m
p
m Tx
TTx
T
2112
1
)(
21)(
)(
(25)
Dan jika kita pilih tambahan waktu dan jarak sehingga
2)( 2
x (26)
Maka suhu pada node m setelah tambahan waktu itu ditentukan dari rata-rata
aritmetik suhu kedua node di sebelahnya pada awal tambahan waktu itu. Nilai
parameter tadi
2x
M menentukan kemudahan yang kita dapat dalam
melakukan penyelesaian numeric, M=4 untuk dua dimensi atau M=2 untuk 1
dimensi. Untuk menghindari pelanggaran terhadap hukum kedua termodinamika,
maka kita harus membatasi nilai M pada :
(27)
Untuk kasus kondisi batas konveksi maka persamaan yang digunakan akan lain
lagi, sebagai contoh kita ambil kasus untuk dinding datar. Neraca energi pada batas
konveksinya )(
TThAx
TkA w
dinding
.
Pendekatan beda berhingga diberikan oleh:
)()( 11
TTyhTT
x
yk mmm atau
kxh
TkxhTT mm
/1
)/(1
(28)
Neraca energi transient pada node (m,n) kita susun dengan membuat jumlah
energi yang dihantar (konduksi) dan di-ili (konveksi) pada node itu sama dengan
peningkatan energi dalam (dakhil) node itu. Jadi:
p
nm
p
nmp
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm TTy
xcTTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
,
1
,
,
,1,,1,,,1
2)(
22
Jika x=y, hubungan 1,
p
nmT menjadi
pnm
p
nm
p
nm
p
nm
p
nm Tk
xhxTTTT
k
xh
xT ,
2
1,1,,12
1
, 42)(
22)(
(29)
Hubungan satu dimensi yang bersangkutan adalah:
dimensisatusistem2
dimensiduasistem4
2 M
M
x
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
15/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 14
pm
p
m
p
nm Tk
xhxTT
k
xh
xT 22
)(22
)(
2
12
1
,
(30)
Nilai M (parameter) dipilih sehingga koefisien pmT ataup
nmT , menjadi nol. Sehingga:
12
22
2)( k
xh
k
xh
x
(31)
b. Analisis Grafik Schmidt
Metode analisis grafik dalam konduksi tak-tunak dimensi rangkap jarang
digunakan karena perannya banyak digantikan dengan perhitungan komputer.Teknik ini dibahas untuk menggambarkan macam-macam metode analisis
perpindahan kalor pada masa-masa sebelum adanya perhitungan menggunakan
komputer. Dalam soal satu dimensi kita dapat memanfaatkan teknik grafik untuk
menentukan distribusi suhu transien. Metode ini berdasarkan pada pemilihan
parameter berikut:
2
2
x
(32)
Sehingga suhu pada setiap node pada tambahan waktu ialah rata-rata
aritmetik dari suhu node-node di sebelahnya pada waktu. Rata-rata aritmetik itu
sangat mudah menyusunnya dalam grafik. Nilai1p
mT didapat dengan menarik garis
lurus antara1
1
p
mT dan1p
mT . Jadi, untuk menentukan distribusi suhu dalam benda
padat sesudah waktu tertentu, benda padat itu dibagi-bagi atas jenjang-jenjang
tambahan x. Kemudian, dengan menggunakan persamaan (32), ditentukan nilai
. Nilai ini , jika dibuat untuk keseluruhan waktu memberikan jumlah tambahan
waktu yang diperlukan untuk menyusun distribusi suhu. Konstruksi grafik ini
diulangi sampai didapatkan distribusi suhu akhir. Biasanya jumlah tambahan waktu
ini tidak merupakan bilangan bulat, dan dalam hal itu mungkin perlu melakukan
interpolasi antara dua tambahan terakhir untuk mendapatkan distribusi suhu akhir.
Diberikan sebuah contoh untuk menunjukkan metode diatas di mana diberikan
distribusi suhu awal, dan konstruksinya dilakukan untuk empat tambahan waktu.
Suhu batas dijaga pada satu nilai tetap selama proses pendinginan yang ditunjukkan
Untuk satu dimensi
Untuk dua dimensi
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
16/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 15
pada contoh ini. Perhatikan bahwa konstruksi mendekati distribusi suhu garis-lurus
keadaan-tunak dengan pertambahan waktu.
Apabila terdapat kondisi batas konveksi, konstruksi pada batas harus disesuaikan
sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut :
hk
TT
x
T w
dinding
(33)
Antara suhu Tm+1 dan suhu lingkungan T ditarik suatu garis lurus. Perpotongan
garis ini dengan pemukaan menentukan suhu permukaan pada suatu tertentu.
Konstruksi yang demikian digunakan untuk setiap tambahan waktu untuk
menentukan suhu permukaan. Jika suhu ini sudah didapatkan, konstruksi untuk
menentukan suhu dalam benda padat itu berlangsung seperti diuraikan di atas.
Misalnya diberikan contoh konstruksi untuk soal kondisi batas konveksi dengan
empat tambahan waktu. Dalam contoh ini suhu pada muka kanan dan suhu
lingkungan T dijaga tetap. Jika suhu lingkungan berubah menurut waktu, menurut
suatu pola yang diketahui, maka hal ini dapat dengan mudah dimasukkan ke dalam
konstruksi dengan memindahkan titik T ke atas atau ke bawah sebagaimana
dikehendaki. Dengan cara yang sama dapat pula kita memperhitungkan koefisien
perpindahan-kalor yang berubah, yaitu dengan mengubah nilai k/h, menurut suatu
variasi tertentu dan memindahkan titik lingkungan ke dalam atau ke luar pada jarak
yang diperlukan.
Penghalusan dari metode grafik Schmidt khususnya mengenai teknik untuk
memperbaiki ketelitian pada batas baik untuk kondisi batas konveksi maupun
kondisi batas lain. Ketelitian metode ini meningkat apabila kita menggunakan
tambahan x yang lebih kecil, tetapi hal ini memerlukan tambahan waktu yang lebih
banyak untuk mendapatkan distribusi suhu sesudah waktu tertentu.
Soal Perhitungan
1. Sebuah bola kuarsa-lebur mempunyai difusivi tas termal 9,5x10-7m2/s, diameter 2,5cm, dan konduktivitas termal 1,52 W/m
oC. Bola tersebut mu la-mula berada pada
suhu seragam 25oC, dan secara tiba-tiba diberi li ngkungan konveksi dengan suhu
200oC. Diketahui koefisien perpindahan kalor konveksi sebesar 110 W/m
oC.
a. H itunglah suhu pada pusat bola setelah 4 meni t.
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
17/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 16
Diketahui:
Suhu pada pusat bola setelah waktu tertentu dapat ditentukan dengan
menggunakan sistem kapasitas kalor tergabung maupun dengan pengaplikasian
bagan Heissler dengan memperhatikan kondisi batas konveksinya.
Untuk dapat menggunakan sistem kapasitas kalor tergabung harus memenuhi
persyaratan Bi < 0,1. Berdasarkan perhitungan
( )
[( )]
disimpulkan bahwa sistem tidak dapat disederhanakan menggunakan analisis
kapasitas kalor tergabung. Maka digunakan bagan Heissler untuk
menyelesaikannya. Bagan Heissler hanya dapat digunakan apabila Fo > 0,2.
Berdasarkan perhitungan
maka dapat digunakan bagan Heissler untuk menyelesaikan permasalahan di atas.
Suhu pada pusat bola cukup ditentukan dengan menggunakan satu bagan saja.
Bagan yang digunakan adalah bagan Heissler untuk mencari suhu pusat bola, jari-
jari ro(Gambar 4-9, Holman:1988). Dengan Fo=1,4592 dan
didapatkan 0,04, yaitu hasil penarikan garis horizontal dari titik pertemuan Fo
dengan 1/Bi seperti pada gambar berikut.
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
18/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 17
Gambar 9 Penentuan suhu dengan menggunakan bagan Heissler (Holman, 1988)
Jadi suhu di pusat bola adalah 193oC.
b. Dapatkah sistem di atas dianggap sebagai sistem dengan kapasitas kalortergabung?
Untuk dapat menggunakan sistem kapasitas kalor tergabung harus memenuhipersyaratan Bi < 0,1. Berdasarkan perhitungan
( )
[( )]
disimpulkan bahwa sistem tidak dapat disederhanakan menggunakan analisis
kapasitas kalor tergabung.
c. Metode penyelesaian mana yang pal ing tepat untuk soal di atas?
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
19/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 18
Penyelesaian yang paling tepat untuk soal di atas adalah dengan menggunakan
bagan Heisler. Hal ini dikarenakan soal nomor 1 tidak memenuhi angka Biot yang
disarankan untuk menggunakan sistem kapasitas kalor tergabung (lebih dari 0,1).
Apabila kita menggunakan bagan Heisler, didapatkan angka Fourier yang
memenuhi kriteria (lebih dari 0,2).
Maka, kita dapat menggunakan metode bagan Heissler untuk menyelesaikan soal
nomor 1.
2. Sepotong beton yang cukup tebal berada pada suhu seragam 30oC. Untuk mengujiketahanan bahan tersebut, dilakukan dengan menaikkan suhu permukaannya
menjadi 2 kal i l ipat semula secara tiba-tiba.
a. Metode apakah yang Anda gunakan untuk menyelesaikan problem di atas?Permasalahan di atas pada dasarnya bertujuan untuk menguji ketahanan bahan.
Terkait dengan suhu, sifat yang diuji kemungkinan adalah kemampuan beton
bertahan dalam suhu tinggi. Meskipun permukaan luar tiba-tiba dinaikkan hingga
dua kali lipat, suhu di bagian kedalaman tertentu tidak serta-merta menjadi dua kali
lipat juga mengingat terjadi perpindahan kalor konduksi tak tunak. Untuk itu perlu
diketahui suhu di bagian dalam beton dalam waktu tertentu setelah diberi perlakuan
demikian sehingga pada akhirnya dapat disimpulkan ketahanan beton terhadap
suhu.
Beton pada kasus di atas cukup tebal, sehingga prinsip kondisi batas konveksi
dengan bagan Heisler tidak bisa diaplikasian untuk soal di atas. Hal ini dikarenakan
salah satu prinsip digunakannya bagan Heisler adalah untuk plat yang ketebalannya
kecil sekali dibanding dengan dimensi lainnya. Oleh karena itu pencarian distribusi
suhu menggunakan aliran kalor transien dalam benda padat semi tak berhingga.
Waktu untuk kondisi awal dan kondisi batas > 0.
Soal di atas dapat diselesaikan dengan teknik transformasi Laplace.
Penyelesaiannya menggunakan persamaan sebagai berikut:
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
20/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 19
Dengan menggunakan persamaan di atas, dapat diketahui suhu beton sebagai
fungsi waktu dan posisi. Apabila kita mengambil suatu titik kedalaman sebagai
acuan dan memasukkan waktu yang berbeda-beda ke dalam persamaan di atas,
dapat diketahui perubahan suhu seiring berjalannya waktu pada kedalaman
tertentu.
b. Jelaskan dasar Anda dalam memil ih metode tersebut.Pada dasarnya tinjauan mengenai suhu pada waktu tertentu dan posisi tertentu
dapat dilakukan dengan menggunakan beberapa metode, misalnya menggunakan
analisis sistem kalor tergabung atau kondisi batas konveksi dengan bagan Heissler.
Namun, analisis sistem kapasitas kalor tergabung menuntut ketebalan yang sangat
kecil agar hasilnya akurat, demikian pula dengan penggunaan bagan Heissler di
mana ketebalan harus kecil sekali dibandingkan dimensi lainnya.
Plat dengan panjang dan lebar tidak terlalu besar dibandingkan ketebalannya
sebenarnya dapat ditinjau dengan menggunakan sistem dimensi rangkap. Akan
tetapi pada kasus ini tidak diperlukan tinjauan menggunakan dua dimensi
mengingat hanya diperlukan perubahan suhu pada kedalaman tertentu saja, dan
bukan pada titik dengan koordinat tertentu.
Berdasarkan dasar-dasar tersebut, maka problem di atas disimpulkan lebih baik
diselesaikan dengan menggunakan persamaan Laplace.
c. Gambarkan grafik distr ibusi suhu sebagai f ungsi waktu pada kedalaman 1 cm,selama proses penguj ian berlangsung.
Diketahui: Selanjutnya data-data di atas dimasukkan ke dalam persamaan Laplace,
menghasilkan
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
21/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 20
Tabel 1 Data perhitungan distribusi suhu
[oC]
[oC]
[s]
[oC]
60 -30
0.5 1.889822365 30.22579
1 1.33630621 31.76345
1.5 1.091089451 33.68468
2 0.944911183 35.44348
5 0.597614305 41.94074
10 0.422577127 46.50292
20 0.298807152 50.17811
30 0.243975018 51.90209
40 0.211288564 52.95262
50 0.188982237 53.6780460 0.17251639 54.21751
70 0.159719141 54.63891
80 0.149403576 54.97986
100 0.133630621 55.5032
150 0.109108945 56.32112
200 0.094491118 56.81084
250 0.084515425 57.14583
300 0.077151675 57.39348
350 0.071428571 57.58615400 0.06681531 57.74157
450 0.062994079 57.87038
500 0.05976143 57.9794
600 0.054554473 58.15509
850 0.045834925 58.44951
1000 0.042257713 58.57037
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
22/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor |Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 21
Berdasarkan hasil plot grafik distribusi suhu sebagai fungsi waktu pada
kedalaman 1 cm, diketahui bahwa pada titik tersebut suhu baru akan mencapai
60oC pada waktu tak hingga. Peningkatan suhu dengan sangat drastis terjadi pada
detik-detik awal, kemudian gradiennya turun yang menunjukkan bahwa
perpindahan kalor tidak secepat sebelumnya.
Terkait dengan ketahanan bahan yang diuji, selama pemanasan awal tidak
langsung melebihi kapasitas tertinggi bahan, beton tersebut tidak akan cepat rusak
karena dibutuhkan waktu cukup lama untuk memanaskan bagian dalamnya. Selama
waktu tenggang tersebut tindakan-tindakan pencegahan terhadap kerusakan masih
dapat dilakukan.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 200 400 600 800 1000 1200
Suhu(oC)
Waktu (s)
Grafik Distribusi Suhu sebagai Fungsi
Waktu pada Kedalaman 1 cm
7/22/2019 Makalah Kelompok: Pemicu 2 Perpindahan Kalor 2012
23/23
PERPINDAHAN KALOR [MAKALAH PEMICU II]
Kelompok 3 Perpindahan Kalor | Perpindahan Kalor Konduksi Tak Tunak 22
DAFTAR PUSTAKA
Holman, J. P. 2010.Heat Transfer Tenth Edition. UK: McGraw-Hill.
Kreith, Frank. 1997.Prinsip-prinsip Perpindahan PanasEdisi 3. Jakarta: Erlangga.
Mc.Adams, William. 1958.Heat Transmission. Singapore: McGraw-Hill.