MAKALAH

INDUKSI MATEMATIK

DISUSUN OLEH:

SHIMA REGYARNI

H12114305

UNIVERSITAS HASANUDDIN TAHUN AJARAN 2015

KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur saya ucapkan kepada Allah SWT yang telah

memberi rahmat serta ridho-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan

tugas makalah ini dengan baik dan selesai dengan tepat waktu. Tak lupa

saya ucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu

saya menyelesaikan makalah ini baik itu dosen pemberi tugas maupun

sumber-sumber yang menjadi bahan referensi saya. Makalah ditujukan

untuk memenuhi tugas yang ada. Seperti halnya saya hanya manusia

biasa tempat dimana ada kesalahan-kesalahan, maka dari itu saya

mohon maaf apabila ada kesalahan maupun kekurangan dalam makalah

ini lagi. Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk pengetahuan kita.

Makassar , maret 2014

Penulis

i

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.....................................................................................................................i

DAFTAR ISI................................................................................................................................ ii

BAB I.........................................................................................................................................1

1.1 Latar Belakang................................................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah..........................................................................................................1

1.3 Tujuan............................................................................................................................1

BAB II........................................................................................................................................2

2.2 penggunaan induksi matematika dalam soal................................................................6

BAB III.......................................................................................................................................8

3.1 Kesimpulan.....................................................................................................................8

ii

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar BelakangDalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang

melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan atau deret. Bentuk umum dari pola keteraturan tersebut membutuhkan perumusan yang sahih. Untuk itu, sebagai salah satu alat bukti, pada makalah ini dibahas tentang pengertian induksi matematika dan contoh-contoh penggunaannya. Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk merumuskan bentuk umum dari suatu pola yang diamati, seperti barisan dan deret, yang terapannya banyak dijumpai di bidang premi asuransi, bunga berbunga, integral tertentu, dan iterasi.

1.2 Rumusan Masalah1. Apa yang dimaksud dengan induksi matematika ?2. Bagaimana penggunaan induksi matematika dalam soal?

1.3 Tujuan1. Mahasiswa mampu menjelaska pengertian induksi matematika2. Mahasiswa mampu menggunakan induksi matematika

1

BAB IIPEMBAHASAN

2.1 Pengertian Induksi MatematikInduksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah

pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama,

yaitu 1+2+…..+n, adalah sama dengan n(n+1)2

. Untuk membuktikan bahwa

pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa

jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1+1)2

= 1. Jadi pernyataan tersebut adalah

benar untuk n = 1.2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan dengan cara:

- { Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu

1 + 2 + ….. + k =k (1+1)2

- { Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu

1 + 2 + … + k + (k + 1) =k (k+1)2

+ (k + 1)

2

- { Dengan menggunakan manipulasi aljabar, diperolehk (k+1)2

+ (k + 1) = k (k+1)2

+2 (k+1)2

= (k+1)(k+2)

2

= (k+1 )(( k+1 )+1)

2

- { Dengan demikian

1 + 2 +…..+ k + (k + 1) = (k+1 )(( k+1 )+1)

2- Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebutberlaku untuk setiap bilangan asli n. Secara formal Induksi Matematika ini bisa didefinisikan sebagai berikut.

Defenisi Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yangbisa benar atau salah. Misalkan1. P(1) benar.2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar.Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkan Langkah 2 disebutdengan Langkah Induktif.Jika pada Langkah Induktif yang diasumsikan adalah pernyataan P(i) benar untuk setiap bilangan i ≤ n, maka perumusan induksi matematika seperti ini disebut Bentuk Kuat Induksi Matematika.

Induksi matematika adalah salah satu dari lebih teknik bukti yang baru-baru ini berkembang di sejarah matematika. Hal ini digunakan untuk memeriksa dugaan tentang hasil dari proses yang terjadi berulang-ulang dan sesuai dengan pola yang pasti. Kami memperkenalkan teknik dengan contoh. Beberapa orang mengklaim bahwa Amerika Serikat sen adalah suatu koin

3

kecil yang seharusnya dihapuskan. Mereka menunjukkan bahwa sering orang yang menjatuhkan sepeser sen di tanah bahkan tidak repot-repot untuk mengambilnya. Orang lain berpendapat bahwa menghapuskan penny akan tidak memberikan fleksibilitas yang cukup untuk harga barang dagangan. Apakah harga yang masih bisa dibayar dengan perubahan yang tepat jika sen dihapuskan dan koin lain senilai 3c diperkenalkan?

Jawabannya adalah bahwa satu-satunya harga yang tidak bisa dibayar dengan perubahan yang tepat adalah 1c,2c,4c,and 7c. Dengan kata lain, Setiap nilai dari sen yang paling kecil 8c dapat dihasilkan menggunakan 3c dan 5c. lebih formal:Untuk setiap bilangan bulat n ≥ 8, n sen dapat dihasilkan menggunakan 3c dan 5c koin. Yang lebih formal:Untuk semua bilangan bulat n ≥8, P(n) adalah benar, dimana P(n) adalah kalimat “n sen dapat di hasilkan menggunakan 3c dan 5 sen koin”.Kamu dapat mengeceknya bahwa P(n) adalah benar untuk berberapa nilai dari n, seperti pada table dibawah ini.

Number of Cents

How to Obtain It

8c 3c + 5c9c 3c+ 3c + 3c10c 5c + 5c

11c 3c + 3c + 5c12c 3c + 3c + 3c +

3c13c 3c + 5c + 5c14c 3c + 3c + 3c +

5c15c 5c + 5c + 5c16c 3c + 3c + 5c +

5c17c 3c + 3c + 3c +

3c + 5c

4

Kasus-kasus yang ditunjukkan dalam tabel memberikan bukti induktif untuk mendukung klaim bahwa P (n) adalah benar untuk umum n. Memang, P (n) benar untuk semua n ≥ 8 jika, dan hanya jika, memungkinkan untuk terus mengisi tabel untuk nilai-nilai sewenang-wenang besar n. baris k pada tabel memberikan informasi tentang cara mendapatkan kc menggunakan 3c dan 5c koin. Untuk melanjutkan tabel ke baris berikutnya, petunjuk harus diberikan tentang bagaimana untuk mendapatkan (k + 1) c menggunakan 3c dan 5c koin. Rahasianya adalah untuk mengamati bahwa jika kc dapat diperoleh menggunakan setidaknya satu 5c koin, maka (k + 1) c dapat diperoleh dengan mengganti 5c koin dengan dua 3c koin, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.2.1.

Jika, di sisi lain, kc diperoleh tanpa menggunakan 5c koin, maka 3c koin yang digunakan eksklusif. Dan karena total setidaknya 8c, tiga atau lebih 3c koin harus disertakan. Tiga dari 3c koin dapat diganti dengan dua 5c koin untuk mendapatkan total (k + 1) c, seperti ditunjukkan pada Gambar 5.2.2. Struktur argumen di atas dapat diringkas sebagai berikut: Untuk menunjukkan bahwa P (n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 8, (1) menunjukkan bahwa P (8) adalah benar, dan (2) menunjukkan bahwa kebenaran dari P (k + 1) berikut perlu kebenaran dari P(k) untuk setiap k ≥ 8. Setiap argumen dari bentuk ini adalah argumen dengan induksi matematika. Secara umum, induksi matematika adalah metode untuk membuktikan bahwa properti yang didefinisikan untuk bilangan bulat n adalah benar untuk semua nilai n yang lebih besar dari atau sama dengan beberapa bilangan bulat awal.

5

berikutnya meminta bukti formula yang terkenal dan penting dalam matematika-rumus untuk jumlah urutan geometris. Dalam urutan geometris, setiap

2.2 penggunaan induksi matematika dalam soal

Soal 2.1Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwan! ≥ 2n-1

untuk setiap n = 1; 2; ……jawaban:1. Akan ditunjukkan bahwa n! ≥ 2n-1 benar untuk n = 1. Jelas sekalibahwa 1! = 1 ≥ 1 = 20= 2n-1

2. Asumsikan bahwa n! ≥ 2n-1 adalah benar untuk n = k. Akan ditunjukkan bahwa n! ≥ 2n-1 juga benar untuk n = k + 1, yaitu (k + 1) ≥2(k+1)-1

(k + 1)!=(k+1)¿)! ≥(k+1)( 2(k-1))!

≥ 2. 2(k-1)

=21+(k-1)

= 2(k+1)-1

6

Terbukti bahwa (k+1) ≥ 2(k+1)-1 . Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa

n! ≥ 2n-1 untuk setiap n = 1; 2; ….

Soal 2.2Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5n- 1 dapat dibagi4 untuk setiap n = 1; 2;….Jawaban:1. Akan ditunjukkan bahwa 5n- 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Jelas sekali bahwa 51 - 1 = 5 - 1 = 4 habis dibagi 4.2. Asumsikan bahwa 5n- 1 habis dibagi 4 untuk n = k, yaitu 5k- 1 habisdibagi 4. Akan ditunjukkan bahwa 5n- 1 juga habis dibagi 4 untukn = k + 1, yaitu 5k+1- 1 habis dibagi 4.

5k+1- 1 = 5. 5k- 1= (1 + 4) .5k- 1= 5k + 4. 5k - 1= (5k- 1)+ 4. 5k

Berdasarkan asumsi, 5k- 1 habis dibagi 4. Sedangkan 4. 5k juga habis dibagi 4. Dengan demikian 5k+1- 1 habis dibagi 4. Karena Langkah Dasar dan Langkah Induktif terbukti, maka dapat disimpulkan bahwa 5n- 1 dapat dibagi 4 untuk setiap n = 1; 2; …..

Soal 2.3 Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio r≠1 dan u1 = a adalah

arn−1r−1

. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika!

Jawaban:Jumlah n suku pertama deret geometri dengan rasio r≠1 dan suku ke-1 aadalah

Sn = a + ar + ar2 + · · · + arn-1

1. Pangkal: Untuk n = 1,

Sn = S1 = a = ar1−1r−1

= a rn−1r−1

2. Induksi hipotesa:

a + ar + ar2 + · · · + arn−1 = Sn = a rn−1r−1

,

sehinggaSn+1 = a + ar + ar2 + · · · + ar(n+1)-1

7

= arn−1r−1

+ ar(n+1)-1

= ar−1

¿¿(n+1)-1(r-1))

= ar−1

¿ (n+1)-1)

Terbukti bahwa (k+1) ¿ar−1

¿(n+1)-1) benar. maka dapat disimpulkan bahwa Jumlah

n suku pertama deret geometri dengan rasio r≠1 dan u1 = a adalah a rn−1r−1

.

BAB IIIPENUTUP

3.1 Kesimpulan1. Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah

pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli.

2. dibuktikan dengan 2 langkah yaitu,

1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.

2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,

maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.

3.2 Saran

Mencoba mempelajari contoh-contoh soal mengenai induksi matematik

8