METODE RUNGE-KUTTA

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Metode Numerik

Dosen Pengampu: Drs. Rochmad, M.Si

Disusun oleh:

Fauziah Putri Sasmitoasih 4150408004

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2010

KATA PENGANTAR

Pertama-tama saya mengucapkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas

berkah dan rahmat-Nya sehingga saya dapat menyusun laporan tugas metode numerik ini

dengan lancar.

Tugas ini disusun dalam rangka memenuhi salah satu persyaratan mata kuliah Metode

Numerik yang merupakan mata kuliah yang harus ditempuh guna mendapatkan gelar

kesarjanaan S1 pada Jurusan Matematika,Prodi Matematika,Fakultas MIPA,Universitas Negeri

Semarang.

Tugas Metode numerik ini bertujuan untuk mempelajari tentang metdode runge-kutta

beserta rumus dan aplikasi serta contohnya.

Saya menyadari bahwa laporan Tugas ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu,

saya mengharapkan kritik,saran maupun sumbangan pendapat yang sifatnya membangun dari

para pembaca demi peningkatkan laporan ini di kemudian hari. Saya berharap semoga laporan

ini dapat bermanfaat, baik bagi saya maupun para pembaca sekalian.

Semarang, Desember 2010

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Sampai sekarang pengolahan persamaan differensial dipusatkan pada penentuan

penyelesaian dari persamaan differensial. Secara lebih khusus metode kita ini

memberikan bentuk atau formula penyelesaian. Sebagai contoh misalnya persamaan

diffrensial y +y= mempunyai bentuk penyelesaian berbentuk y=C1 sin x+C2cos x.

Namun sering kali penyelesaiannya tidak segampang seperti contoh diatas. Dalam

hal dimana penyelesaian dinyatakan dalam fungsi seperti ex , sin x , atau cos x yang

relative sederhana pun ketepatan nilai numerisnya dari y dapat menyebabkan beberapa

masalah dalam perhitungan.

Dan apabila kita dapat mengingak dalam pelajaran kalkulus banyak kita temukan

fungsi yang tidak mempunyai anti-turunan dank arena itu mustahil untuk menyatakan

intergral tak tertentu fungsi-fungsi ini menjadi bentuk dalam fungsi-fungsi elementer.

Dalam konteks ini yang sama ini ada banyak persamaan differensial yang mustahil

diperoleh bentuk penyelesaiannya. Dalam kasus semacam ini kita “selesaikan”

persamaan differensial itu dengan menerapkan metode numeris tertentu.

Pada saat ini banyak metode numeris yang dapat digunakan dalam menyelesaikan

persamaan differensial seperti :

1. Metode Euler.

2. Metode Deret Taylor.

3. Metode Runge-kutta.

4. System persamaan Differensial orde satu dan Penerapannya.

Untuk metode euler masih dapat ditemukan kekurangannya yaitu seperti adanya

kesalahan pemotongan atau kesalahan pendiskritan. Dan pada umumnya penambahan n

(pengecilan jarak) mengurangi kesalahan pemotongan. Tetapi kesalahan jenis lain disebut

kesalahan pembulatan cenderung menjadi lebih berarti bila h menjadi lebih kecil.

Untuk metode taylor sebenarnya tingkat ketelitiannya lebih dari metode euler

namun hanya bisa sampai deret taylor orde-2.dan semakin tinggi orde_nya makin sulit

perhitungannya. Oleh karena itu Metode runge-kutta yang dapat menyajikannya.

Dalam pemberian hampiran taylor kita tuliskan :

y ( x0+h ) ≈ y ( x0)+ f ( x0 , y 0) h+ [f x ( x0 , y0 )+ f y ( x0 , y0 ) . f ( x0 , y0 ) ] h2

2.

Hampiran taylor orde tiga juga akan mempunyai tambahan suku-suku :

{f xx ( x0 , y0 )+2 f xy ( x0 , y 0) . f ( x0 , y0 )+ f yy ( x0 , y0 ) [ f ( x0 , y0 ) ]2+ f x ( x0 , y0 ) . f y ( x0 , y0 )+ [f y ( x0 , y0 ) ]2 f ( x0 , y0 ) } h3

6.

Berdasarkan pengetahuan yang kita tentang deret taylor dari kalkulus kita tau

bahwa ketelitian dari hampiran kita membaik sesuai dengan banyaknya suku yang

digunakan. Sebaliknya semakin banyak suku yang digunakan maka semakin sulit

perhitungannya. Oleh sebab itu dengan adanya metode runge-kutta akan mempermudah

menghitung hampiran orde banyak.

Oleh karena itu untuk mengerjakan hampiran orde banyak cenderung memilih

menggunakan metode runge-kutta. Dan menghitung hampiran orde banyak dengan teliti

adalah kelebihan dari metode Runge-kutta.

B. Rumusan Masalah.

Namun perhitungan runge-kutta secara manual juga sangat melelahkan sebab

membutuhkan cara yang cukup banyak. Oleh sebab itu saya berinisitif untuk membuat

perhitungan metode runge-kutta dalam bentuk program “turbo pascal” agar

pengerjaannya lebih mudah.

Sehingga dapat ditulis masalah yang timbul adalah :

1. Perhitungan secara manual yang masih terlalu sulit.

2. Banyaknya cara yang harus ditempuh dalam menggunakan cara metode

runge-kutta secara manual.

3. Kurang teliti apabila dikerjakan secara manual.

4. Banyaknya bentuk atau model dalam pengerjaan metode runge-kutta ini.

C. Pembatasan Masalah.

Dari sekian masalah yang timbul saya berinisatif untuk membuat program untuk

metode runge-kutta orde-4 dengan bahasa pemograman “turbo pascal”. Saya mengambil

yang orde ke-4 sebab yang perhitungannya lebih rumit bila dibandingkan dengan metode

runge-kutta orde lainnya.

Selain itu saya mengambil orde 4 ini sebab agar tidak terjadi kesalahan

penghitungan dan tidak terjadi kesalahan pembulatan. Sehingga hasil dalam

penghitungannya akan menjadi lebih akurat.

BAB II

ISI

A. Metode Runge-Kutta.

Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau dengan menggunakan interval x yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan. Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi nilai y (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.

Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:

y i + 1= y i+ Φ ( xi , y i , Δx) Δx (8.19)

dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval.

Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:

Φ=a1 k1+a2 k2+ .. .+an kn (8.20)

dengan a adalah konstanta dan k adalah:

k1 = f (xi, yi) (8.21a)

k2 = f (xi + p1x, yi + q11 k1x) (8.21b)

k3 = f (xi + p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (8.21c)

⋮

kn = f (xi + pn – 1x, yi + qn – 1, 1 k1x + qn – 1, 2 k2x + + qn – 1, n – 1 kn – 1x) (8.21d)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai k mempunyai hubungan berurutan.

Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalam persamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.

Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.

1) Metode Runge-Kutta Order 4

Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebih tinggi. Metode ini mempunyai bentuk:

y i + 1= y i+16(k 1+ 2 k2+ 2 k3+ k 4 ) Δx

(8.33a)

dengan:

k 1= f ( x i , y i ) (8.33b)

k 2= f ( x i+12

Δx , y i+12

k 1 Δx) (8.33c)

k 3=f ( x i+12

Δx , y i +12

k2 Δx ) (8.33d)

k 4=f ( xi+ Δx , y i + k3 Δx) (8.33e)

Contoh soal:

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dydx

= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5 .

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah Δx=0,5 . Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian:Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.

k 1= −2 (03 )+ 12(02)− 20(0 ) + 8,5 = 8,5.

k 2= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 , 21875 .

k 3= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 ,21875 .

k 4= −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20(0,5 ) + 8,5 = 1 , 25 .

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):

y (0,5 )= 1 + [ 16( 8,5 + 2( 4 , 21875) +2 (4 , 21875 ) + 1 ,25 ]0,5 = 3 ,21875 .

Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode

I X YE

EULER HEUN POLIGON RALSTON RUNGE-KUTTA

Y t (%) Y t (%) Y t (%) Y t (%) Y t (%)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

1.00000

3.21875

3.00000

2.21875

2.00000

2.71875

4.00000

4.71875

3.00000

1.00000

5.25000

5.87500

5.12500

4.50000

4.75000

5.87500

7.12500

7.00000

-

63.11

95.83

130.99

125.00

74.71

46.88

50.99

133.33

1.00000

3.43750

3.37500

2.68750

2.50000

3.18750

4.37500

4.93750

3.00000

-

6.80

12.50

21.13

25.00

17.24

9.38

4.64

0.00

1.00000

3.27734

3.10156

2.34766

2.14063

2.85547

4.11719

4.80078

3.03125

-

1.82

3.39

5.81

7.03

5.03

2.93

1.74

1.04

1.00000

3.27734

3.10156

2.34766

2.14063

2.85547

4.11719

4.80078

3.03125

-

1.82

3.39

5.81

7.03

5.03

2.93

1.74

1.04

1.00000

3.21875

3.00000

2.21875

2.00000

2.71875

4.00000

4.71875

3.00000

-

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

B. Mengerjakan Metode Runge-kutta dengan Program Turbo Pascal

Sebelum mengerjakan dengan program haruslah kita mengerti tentang tata cara

pembuatannya terlebih dahulu. Sehingga yang perlu dilakukan adalah menampilkan

algoritma dan flowchart atau diagaram alur terlebih dahulu.

Maka :

1. Algoritma

a. Tentukan soal yang akan di kerjakan.

b. Masukkan kedalam rumus yang telah ditentukan dalam hal ini gunakan

rumus metode runge-kutta orde 4.

c. Memasukkan nilai x0,xn,h,dan nilai y

d. Lalu telah diolah dalam program.

e. Cetak program.

2. Flowchart (diagram alur).

MULAI

MASUKKAN

NILAI AWAL

X,Y,H,XN

HITUNG

H = (B-X)/N

CETAK

X,Y

HITUNG :

k 1=f ( x i , y i )

k 2=f ( x i+12

Δx , y i+12

k 1 Δx)

(8.33c)

C. Menampilkan Program.Soal :

HITUNG :

k 1=f ( x i , y i )

k 2=f ( x i+12

Δx , y i+12

k 1 Δx)

(8.33c)

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dydx

= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5 .

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah Δx=0,5 . Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian :

Dan apabila program ini di run maka yang akan muncul adalah :

D. Membandingkan program dengan cara manual

Cara Manual

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dydx

= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5 .

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah Δx=0,5 . Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian:Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2, k3 dan k4.

k 1= −2 (03 )+ 12(02)− 20(0 ) + 8,5 = 8,5.

k 2= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 , 21875 .

k 3= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 ,21875 .

k 4= −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20(0,5 ) + 8,5 = 1 , 25 .

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):

y (0,5 )= 1 + [ 16( 8,5 + 2( 4 , 21875) +2 (4 , 21875 ) + 1 ,25 ]0,5 = 3 ,21875 .

Tabel 8.4. Perbandingan penyelesaian persamaan dengan berbagai metode

I X YE

EULER HEUN POLIGON RALSTON RUNGE-KUTTA

Y t (%) Y t (%) Y t (%) Y t (%) Y t (%)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

1.00000

3.21875

3.00000

2.21875

2.00000

2.71875

4.00000

4.71875

3.00000

1.00000

5.25000

5.87500

5.12500

4.50000

4.75000

5.87500

7.12500

7.00000

-

63.11

95.83

130.99

125.00

74.71

46.88

50.99

133.33

1.00000

3.43750

3.37500

2.68750

2.50000

3.18750

4.37500

4.93750

3.00000

-

6.80

12.50

21.13

25.00

17.24

9.38

4.64

0.00

1.00000

3.27734

3.10156

2.34766

2.14063

2.85547

4.11719

4.80078

3.03125

-

1.82

3.39

5.81

7.03

5.03

2.93

1.74

1.04

1.00000

3.27734

3.10156

2.34766

2.14063

2.85547

4.11719

4.80078

3.03125

-

1.82

3.39

5.81

7.03

5.03

2.93

1.74

1.04

1.00000

3.21875

3.00000

2.21875

2.00000

2.71875

4.00000

4.71875

3.00000

-

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

0.00

Cara program :

Sehingga dari 2 buah cara yang digunakan kesimpulannya adalah :

“Hasil perhitungannya menemukan hasil yang sama juga lebih akurat

ketika menggunakan pemograman pascal, sebab caranya lebih mudah

dan hasilnya lebih cepat didapatkan dan jelas lebih akurat,selain itu

dengan menggunakan program maka kesalahan yang ditimbulkan akan

lebih bisa diminimalisir.”

BAB III

SARAN

Penggunaan menggukana program computer lebih akurat dan lebih mudah

penggunaannya sehingga hasil yang didapat pun lebih valid dari pada pengerjaan secara

manual. Dan hasil yang didapat dari kedua cara pengerjaan itu pun sama sehingga tidak

perlu khawatir dalam menggunakan program pascal dalam menghitung metode runge-

kutta orde 4 dan orde lainnya.

PENUTUP

Demikianlah yang dapat saya sampaikan dalam laporan tugas metode numerik ini

mengenai metode Rung-kutta. Dan apabila masih banyak kesalahan saya ucapkan banyak kata

maaf serta terimakasih kepada pembaca atas waktunya membaca tulisan dari laporan saya ini

dan bila masih banyak kesalahan saya haturkan banyak kata maaf.

Semarang,Desember 2010

Penyusun

DAFTAR PUSTAKA

Ladas/finzio.Santoso,Widiarti.1988.Persamaan Differensial Biasa dengan Penerapan

Modern.Jakarta: Erlangga.

Irfan_Metode_numerik,pdf.

www.thesatya.com

Google.com.