MAKALAH

SISTEM KENDALI CLOSE LOOP

DISUSUN OLEH :

IQBAL FASYA

2212122002

PROGRAM STUDI S-1 TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS JENDRAL AHMAD YANI

BANDUNG

2012

KATA PENGANTAR

Dengan segala puji syukur alhamdulillah kami panjatkan kepada Allah swt,

yang telah memberi rahmat, hidayah serta inayahnya sehingga kami dapat

menyelesaikan makalah ini sebagai salah satu tugas dari mata kuliah sistem kendali.

kami selaku penulis berharap, makalah ini selain sebagai salah satu tugas

dari mata kuliah system kendali, semoga dapat juga bermanfaat serta menambah

ilmu bagi setiap pembaca pada umumnya dan khususnya bagi penulis sendiri.

Penulis sadar bahwa dalam penulisan makalah ini mungkin masih banyak

kekurangan dan kesalahan, oleh karena itu kritik serta saran saya sebagai penulis

mengaharapkan dari pembaca sekalian.

Bandung, 30 Desember 2012

Penyusun

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Sistem kendali atau sistem kontrol merupakan hal yang penting di era

teknologi informasi maupun di dunia industri yang modern ini. Proses produksi

dan manufacturing dituntut kestabilannya dan setiap perubahan dapat direspon

secara cepat dan real time. Di dalam dunia industri, dituntut suatu proses kerja

yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan produk dengan kualitas

dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah ditentukan.

Kegiatan pengontrolan dan monitoring yang biasa dilakukan manusia bisa

digantikan perannya dengan menerapkan prinsip otomasi. Kegiatan kontrol yang

dilakukan secara berulang-ulang, kekurang-presisi-an manusia dalam membaca

data, serta resiko yang mungkin timbul dari sistem yang dikontrol semakin

menguatkan kedudukan alat/mesin untuk melakukan pengontrolan secara

otomatis.

Piranti-piranti pengontrol otomatis ini sangat berguna bagi manusia. Apalagi

jika ditambah dengan suatu kecerdasan melalui program yang ditanamkan dalam

sistem tersebut akan semakin meringankan tugas-tugas manusia. Akan tetapi

secerdas apapun sebuah mesin tentu masih membutuhkan peranan manusia

untuk mengatur dan mengontrol piranti-piranti ini. Otomasi kontrol bukan untuk

menggantikan sepenuhnya peranan manusia, tetapi mengurangi peranan dan

meringankan tugas-tugas manusia dalam pengontrolan suatu proses.

Dengan adanya perkembangan teknologi, maka mata kuliah Analisis Sistem

Teknik Kendali (control automatic) memberikan kemudahan dalam :

1. Mendapatkan performansi dari sistem Dinamik,

2. Dapat mempertinggi kualitas produksi

3. Menurunkan biaya produksi,

4. Mempertinggi laju produksi,

5. Dan meniadakan pekerjaan- pekerjaan rutin yang membosankan, yang harus

dilakukan oleh manusia.

BAB II

PEMBAHASAN

II.1. Sistem Kontrol

Sejarah Perkembangan Teknik Kendali :

Perkembangan teknik kendali begitu sangat pesat dimulai dari :

1. Karya pertama dimulai abad 18, control automatic, governor sentrifugal, sebagai

pengatur kecepatan mesin uap oleh James Watt

2. Pada tahun 1922, control automatic pengemudi kapal laut oleh Minosky

3. Pada tahun 1932, Kestablilan system loop tertutupdan terbuka terhadap

masukkan tunak( steady state ) sinusoidal

4. Pada tahun 1934, Diperkenalkan istilah servomekanis untuk system control

posisi, dalam hal ini membicarakan desain servo mekanis relay dengan

masukkan yang berubah-ubah.

5. Selama dasawarsa 40 tahun hingga 50 tahun kemudian, metoda dalam system

desain system control linear berumpan balik benar-benar telah berkembang.

6. Pada tahun 1960 an, kemudian dikembangkan kedalam bentuk multimasukkan

/keluaran karena kompleknya “Plant” modern dan persyaratan yang keras pada

tingkat ketelitian.

Sistem kontrol adalah proses pengaturan ataupun pengendalian terhadap

satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga berada pada suatu

harga atau dalam suatu rangkuman harga (range) tertentu. Di dalam dunia industri,

dituntut suatu proses kerja yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan

produk dengan kualitas dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah

ditentukan. Otomatisasi sangat membantu dalam hal kelancaran operasional,

keamanan (investasi, lingkungan), ekonomi (biaya produksi), mutu produk, dll.

Ada banyak proses yang harus dilakukan untuk menghasilkan suatu produk

sesuai standar, sehingga terdapat parameter yang harus dikontrol atau di kendalikan

antara lain tekanan (pressure), aliran (flow), suhu (temperature), ketinggian (level),

kerapatan (intensity),dll. Gabungan kerja dari berbagai alat-alat kontrol dalam proses

produksi dinamakan sistem pengontrolan proses (process control system).

Sedangkan semua peralatan yang membentuk sistem pengontrolan disebut

pengontrolan instrumentasi proses (process control instrumentation). Dalam istilah

ilmu kendali, kedua hal tersebut berhubungan erat, namun keduanya sangat

berbeda hakikatnya. Pembahasan disiplin ilmu Process Control Instrumentation lebih

kepada pemahaman tentang kerja alat instrumentasi, sedangkan disiplin ilmu

Process Control System mengenai sistem kerja suatu proses produksi.

II.2. Prinsip Pengontrolan Proses

Ada 3 parameter yang harus diperhatikan sebagai tinjauan pada suatu sistem

kontrol proses yaitu :

- cara kerja sistem kontrol

- keterbatasan pengetahuan operator dalam pengontrolan proses

- peran instrumentasi dalam membantu operator pada pengontrolan proses

Empat langkah yang harus dikerjakan operator yaitu mengukur, membandingkan,

menghitung, mengkoreksi. Pada waktu operator mengamati ketinggian level, yang

dikerjakan sebenarnya adalah mengukur process variable (besaran parameter

proses yang dikendalikan).

Contohnya proses pengontrolan temperatur line fuel gas secara manual, proses

variabelnya adalah suhu. Lalu operator membandingkan apakah hasil pengukuran

tersebut sesuai dengan apa yang diinginkan. Besar proses variabel yang diinginkan

tadi disebut desired set point. Perbedaan antara process variabel dan desired set

point disebut error.

Dalam sistem kontrol suhu di atas dapat dirumuskan secara matematis:

Error = Set Point – Process Variabel

Process variabel bisa lebih besar atau bisa juga lebih kecil daripada desired

set point. Oleh karena itu error bisa diartikan negatif dan juga bisa positif.

II.3. Sistem Kontrol Otomatis

Suatu sistem kontrol otomatis dalam suatu proses kerja berfungsi

mengendalikan proses tanpa adanya campur tangan manusia (otomatis). Ada dua

sistem kontrol pada sistem kendali/kontrol otomatis yaitu :

A. Open Loop (Loop Terbuka)

Suatu sistem kontrol yang keluarannya tidak berpengaruh terhadap aksi

pengontrolan. Dengan demikian pada sistem kontrol ini, nilai keluaran tidak di

umpan-balikkan ke parameter pengendalian.

Gambar II.3.1. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Terbuka

Adapun keunggulan dan kerugiannya pada open loop adalah :

Keunggulannya:

- Konstruksinya sederhana

- Lebih murah dari system tertutup

- Tidak ada masalah dengan ketidakstabilan

- Ketelitian kerjanya ditentukan oleh kaliberasi

Kerugiannya:

- Gangguan dan perubahan kaliberasi, akan menimbulkan kesalahan,

sehingga keluaran tidak seperti yang dikehendaki.

- Untuk menjaga kualitas yang diperlukan pada keluaran diperlukan

kaliberasi ulang pada setiap waktu tertentu.

Contoh dari sistem loop terbuka adalah operasi mesin cuci. Penggilingan

pakaian, pemberian sabun, dan pengeringan yang bekerja sebagai operasi mesin

cuci tidak akan berubah (hanya sesuai dengan yang diinginkan seperti semula)

walaupun tingkat kebersihan pakaian (sebagai keluaran sistem) kurang baik akibat

adanya faktor-faktor yang kemungkinan tidak diprediksikan sebelumnya.. Diagram

kotak pada Gambar II.3.2 memberikan gambaran proses ini.

Gambar II.3.2 Operasi mesin cuci

B. Close Loop (Loop Tertutup)

Suatu sistem kontrol yang sinyal keluarannya memiliki pengaruh langsung

terhadap aksi pengendalian yang dilakukan. Sinyal error yang merupakan selisih

dari sinyal masukan dan sinyal umpan balik (feedback), lalu diumpankan pada

komponen pengendalian (controller) untuk memperkecil kesalahan sehingga nilai

keluaran sistem semakin mendekati harga yang diinginkan.

Adapun keunggulan dan kerugiannya pada close loop adalah :

Keunggulannya:

- Mampu untuk meningkatkan ketelitian, sehingga dapat terus

menghasilkan kembali inputnya.

- Dapat mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap

masukkan untuk perubahan cirri-ciri system.

- Mengurangi akibat ketidaklinearan dan distorsi.

Kerugiannya:

- Tidak dapat mengambil aksi perbaikan terhadap suatu gangguan

sebelum gangguan tersebut mempengaruhi nilai prosesnya.

Gambar II.3.3. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Tertutup

Input ( Masukkan ) : Rangsangan atau perangsangan yang diterapkan

ke suatu sistem pengendalian dari sumber energi,

biasanya agar menghasilkan tanggapan tertentu

dari system yang dikendalikan.

Output (keluaran) :Tanggapan sebenarnya yang diperoleh dari

sebuah sIstem pengendalian.

Plant ( Proses ) :Seperangkat peralatan yang terdiri dari atau

sebagian mesin yang bekerja secara bersama-

sama dan digunakan untuk suatu “ Proses”.

Proses :Merupakan suatu bagian operasi atau

perkembangan alamiah, yang berlangsung secara

kontinyu ( Continue ), yang ditandai oleh suatu

deretan perubahan kecil yang berurutan, dengan

cara yang relative tetap, untuk mendapatkan suatu

ahkiran yang dikehendaki.

Gangguan :gangguan bila ada, memungkinkan suatu sinyal

yang cendearung mempunyai pengaruh yang

merugiakan pada harga keluaran system.

PROSES"PLANT"

ELEMENTPENGUKUR

PENGONTROL

INPUT OUTPUT

GANGGUAN

Didalam analisis biasanya digambarkan sebagaimana diagram bolk /kotak sbb:

Gambar II.3.4 diagram bolk

Dimana :

R(s) = Input Laplace transform

C(s) = Output Laplace transform

G(s) = Transfer function forword element

H(s) = TF. Feedback element

E(s) = Error sinyal

II.4. Definisi Istilah

Ada beberapa definisi istilah yang sering dipakai antara lain :

a. Sistem (system) adalah kombinasi dari komponen-komponen yang bekerja

bersama-sama membentuk suatu obyek tertentu.

b. Variabel terkontrol (controlled variable) adalah suatu besaran (quantity) atau

kondisi (condition) yang terukur dan terkontrol. Pada keadaan normal merupakan

keluaran dari sistem.

c. Variabel termanipulasi (manipulated variable) adalah suatu besaran atau

kondisiyang divariasi oleh kontroler sehingga mempengaruhi nilai dari variabel

terkontrol.

d. Kontrol (control) – mengatur, artinya mengukur nilai dari variabel terkontrol dari

sistem dan mengaplikasikan variabel termanipulasi pada sistem untuk

mengoreksi atau mengurangi deviasi yang terjadi terhadap nilai keluaran yang

dituju.

G(s)

H(s)

R(s) E(s) C(s)

+ -

e. Plant (Plant) adalah sesuatu obyek fisik yang dikontrol.

f. Proses (process) adalah sesuatu operasi yang dikontrol. Contoh : proses kimia,

proses ekonomi, proses biologi, dll.

g. Gangguan (disturbance) adalah sinyal yang mempengaruhi terhadap nilai

keluaran sistem.

h. Kontrol umpan balik (feedback control) adalah operasi untuk mengurangi

perbedaan antara keluaran sistem dengan referensi masukan.

i. Kontroler (controller) adalah suatu alat atau cara untuk modifikasi sehingga

karakteristik sistem dinamik (dynamic system) yang dihasilkan sesuai dengan

yang kita kehendaki.

j. Sensor adalah peralatan yang digunakan untuk mengukur keluaran sistem dan

menyetarakannya dengan sinyal masukan sehingga bisa dilakukan suatu operasi

hitung antara keluaran dan masukan.

k. Aksi kontrol (control action) adalah besaran atau nilai yang dihasilkan oleh

perhitungan kontroler untuk diberikan pada plant (pada kondisi normal

merupakan variabel termanipulasi).

l. Aktuator (actuator), adalah suatu peralatan atau kumpulan komponen yang

menggerakkan plant.

Gambar II.4.1. memberikan penjelasan terhadap beberapa definisi istilah di atas.

Gambar II.4.1. Sistem Kontrol Secara Lengkap

Contoh dari system close loop banyak sekali, salah satu contohnya adalah

operasi pendinginan udara (AC). Masukan dari sistem AC adalah derajat suhu yang

diinginkan si pemakai. Keluarannya berupa udara dingin yang akan mempengaruhi

suhu ruangan sehingga suhu ruangan diharapkan akan sama dengan suhu yang

diinginkan. Dengan memberikan umpan balik berupa derajat suhu ruangan setelah

diberikan aksi udara dingin, maka akan didapatkan kesalahan (error) dari derajat

suhu aktual dengan derajat suhu yang diinginkan. Adanya kesalahan ini membuat

kontroler berusaha memperbaikinya sehingga didapatkan kesalahan yang semakin

lama semakin mengecil. Gambar II.4.2 memberikan penjelasan mengenai proses

umpan balik sistem AC ini.

Gambar II.4.2 Proses Umpan Balik Pendingin Udara (AC)

II.5. perancangan sistem kontrol umpan balik

Ada tiga hal yang diperlukan dalam perancangan sistem kontrol umpan balik :

• Respon transien

respon transien yaitu setiap system pengendalian/pengaturan diharapkan

mempunyai transient time (waktu untuk gejala peralihan ) sekecil mungkin,

artinya dapat proses sesingkat-singkatnya, sehingga harga keluarannya

sesuai dengan yuang diinginkan. Tetapim dengan transient time yang kecil,

keluaran dakan mempunyai simpangan dan atau osilasi yang besar dalam

menuju harga yana lebih besar ( semakin meningkat ).

• Stabilitas

Stabilitas merupakan spesifikasi sistem yang paling penting. Jika suatu sistem

tidak stabil, kinerja transien dan steady-state errors menjadi inti masalah.

Sistem yang tidak stabil tidak dapat didisain agar memiliki respon-transien

dan steady-state errors tertentu.

• steady-state error ( setelah wahtu gejala peralihan dianggap selesai ), disini

ada 2 hal yang sangat penting yaitu:

• Adanya kesalahan (steady state error ) ialah output yag sebenarnya

tidak sama dengan output yang diinginkan.

• Besarnya kesalahan steady state error dari kedua system tersebut

sangat dipengaruhi oleh “ type system” dan macam “input”

II.6. Analisis dan Disain Sistem Umpan-Balik

Umpan balik (feedback) membentuk topologi sistem kontrol seperti

ditunjukkan oleh gambar II.6.1. yang kemudian disederhanakan menjadi gambar

II.6.2.

Gambar II.6.1. Bentuk umpan balik pada topologi sistem control

Untuk sistem yang disederhanakan

gambar II.6.2. Topologi sistem kontrol umpan balik yang disederhanakan

dibawah ini adalah diagram blok sistem kontrol "closed loop" tereduksi.

gambar II.6.2. Sistem kontrol umpan balik tereduksi.

1. Interpretasi fungsi transfer closed-loop tergeneralisasi

Komponen persamaan (1) diinterpretasikan sebagai berikut :

Fungsi transfer G(s)H(s) dinamakan "fungsi transfer loop"

1 + G(s)H(s) = 0 dinamakan "persamaan karakteristik closed-loop" /

"closed

loop characteristic equation" (CLCE)

Gc(s) dinamakan "fungsi transfer closed-loop"

2. Umpan balik unity-gain

Bentuk kanonik dari "umpan balik unity-gain" ditunjukkan oleh gambar 2.1

gambar 2.1 Bentuk kanonik umpan balik unity-gain

Go(s) dinamakan "fungsi transfer open-loop".

Bandingkan dengan model terdahulu, H(s) =1, sehingga dari persamaan (1)

diperoleh :

3. Kinerja transien closed-loop

Gambar 3.1 berikut menunjukkan contoh mekanisme servo.

Gambar 3.1 contoh mekanisme servo

Untuk sistem diatas :

Terlihat bahwa fungsi transfer order-dua, yang dapat memiliki

beberapa bentuk peredaman, bergantung pada nilai K. Jika K berubah, pole

closed-loop bergerak menuju tiga bentuk perilaku, dari respon overdamped,

ke critically-damped, hingga underdamped.

• Pada K = 0, pole-pole akan sama seperti open-loop, yaitu p1,2 = 0,-a

(ditandai dengan s1 pada gambar 4.1)

gambar 4.1 Lokasi pole untuk sistem contoh

• Untuk 0 < K < a2/4, pole-pole terletak pada (ditandai dengan s2 pada gbr 4.1)

• Jika K naik, pole bergerak saling men-dekati di sepanjang sumbu-real dan

responnya adalah overdamped (meskipun rise- dan settling-time ber-kurang),

hingga kedua pole sampai pada p1,,2 = -a/2, ketika K = a2/4 dan responnya

adalah critically-damped (s3 pada gambar 4.1)

Jika K terus naik, pole menjadi bilangan kompleks, dengan bagian real

d = -a/2 dan bagian imajiner :

yang akan meningkat dari sisi ukuran, pada saat K naik (s4 pada gambar 6).

Bagian real akan bernilai konstan sementara rasio peredaman berkurang.

Jadi, %OS akan meningkat sementara nilai settling-time tidak mengalami

perubahan.

Hasil-hasil ini terangkum pada tabel berikut ini:

Contoh soal 1

Hitung Tp, %OS dan Ts untuk sistem kontrol umpan-balik pada gambar berikut

ini.

Jawab :

Contoh soal 2

Untuk sistem pada gambar di bawah ini, tentukan gain K yang diperlukan

untuk menghasilkan %OS sebesar 10%.

Jawab :

Catatan :

Untuk sistem ini, settling-time adalah Ts = 4/() = 4/(2.5) = 1.6 detik. Sistem

dengan settling-time yang lebih kecil tidak dapat didisain, karena bagian real

dari pole bernilai tetap dantidak dapat diatur melalui gain K. Diperlukan

komponen tambahan untuk memperoleh settling-time kurang dari 2 detik

4. Root-Locus

Kembali pada sistem di gambar 3.1. Sistem tersebut memiliki fungsi transfer

closed-loop :

Untuk overshoot sebesar 10%,

2n = 5, n = K1/2 , sehingga

Pada gambar 4.1 di bawah ini, diperlihatkan hasil plot dua "kurva" kontinu

melalui pole-pole untuk menunjukkan gerakan pole yang merupakan fungsi

kontinu dari K

gambar 4.1 Gerakan pole closed-loop pada system kontrol dengan fungsi

transfer : Go(s) = K / (s(s + a))

Kurva-kurva ini menggambarkan "locus" dari pole-pole closed-loop

pada saat K mengalami kenaikan. "Root Locus" ini dapat dibuat untuk semua

sistem yang fungsi transfer open-loop-nya diketahui.

Pembuatan root locus dengan menggunakan Matlab untuk sistem yang

memiliki fungsi transfer Go(s) = 1/s(s + 5) dan umpan balik unity-gain adalah

sbb. :

>> Go = tf([1],[1. 5. 0]) % Go(s) = 1/(s^2 + 5s) !

>> rlocus(Go)

Gambar 4.2 Hasil eksekusi pada Matlab.

II.7. Stabilitas closed-loop

Sistem kontrol closed-loop adalah stabil jika seluruh pole berada pada

bidang kiri

Contoh :

Tentukan stabilitas sistem kontrol closed-loop seperti pada gambar berikut ini.

Jadi :

Pole-pole dan zeros (akar-akar) dari persamaan karakteristik closed-loop (CLCE)

Jawab :Fungsi transfer closed-loop adalah

1. Instabilitas

Sistem dapat dinyatakan tidak stabil (instabil) jika fungsi transfernya paling

tidak memiliki satu pole di bidang kanan dan/atau pole dengan nilai > 1 pada

sumbuimajiner.

Contoh 1.1

Hitung kestabilan sistem kontrol closed-loop pada gambar berikut ini :

Karena terdapat dua pole pada bidang kanan, maka respon sistem instabil.

Jika terdapat dua atu tiga pole di sumbu imajiner, bentuk respon adalah :

Atn cos(t + ); n = 1,2, ... . Respon seperti ini juga terus membesar, karena

tn jika t

Pole-nya sekarang adalah : s = -3.087, +0.0434 j 1.505

Jawab :

Fungsi transfer closed-loop sistem :

1.2. Stabilitas Marginal

Sistem yang memiliki sepasang pole pada sumbu imaginer, atau pole tunggal

pada titik origin, disebut sebagai sistem stabil marginal. Sistem ini memiliki

respons natural yang terdiri dari osilasi tanpa redaman atau nilai konstan pada

t

2. Uji Stabilitas

Dalam sekilas, pengujian stabilitas sistem terlihat mudah, yaitu cukup melalui

pencarian lokasi pole fungsi transfer. Namun, kenyataannya tidak selalu mudah.

Contoh 2.1

Tentukan kestabilan sistem closed-loop pada gambar di bawah ini :

Menemukan lokasi pole sistem open-loop di sini bukan merupakan masalah.

Tapi tidak demikian dengan pole sistem closed-loop. Tidak ada cara analitis

yang bisa digunakan untuk mencari akar CLCE. Salah satu cara untuk

menyelesaikannya adalah dengan menggunakan algoritma "roots" yang ada

di Matlab. Cara lain untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan

menggunakan metode yang dinamakan "tes Hurwitz".

Jawab :Fungsi transfer closed-loop adalah :

3. Kriteria Hurwitz

Jika terdapat polinom karakteristik closed-loop dalam bentuk terfaktorisasi sbb

dengan pi adalah zero P(s) (yaitu akar CLCE). Jika seluruh pole berada di LHP

(left-half plane), maka faktornya akan memiliki bentuk (s + pi) (karena setiap pi

akan memiliki bagian real yang negatif). Dengan demikian, koefisien polinom

terekspansi hanya akan memiliki tanda positif. Hal ini tetap berlaku, walaupun

beberapa faktor pi merupakan bilangan kompleks.

Karena faktor kompleks selalu muncul dalam bentuk pasangan konyugasi, maka:

yang juga memiliki koefisien positif. Di sini tidak boleh ada koefisien yang hilang,

karena akan mengubah akar positif dan negatif, atau akar-akar pada sumbu

imajiner. Jadi, hal yang penting bagi suatu sistem untuk menjadi stabil adalah

seluruh koefisien CLCE-nya dalam bentuk sn,sn-1,...,s0 ada dan bernilai positif.

Dalam bentuk yang lebih formal :

Kriteria Hurwitz

Kriteria Hurwitz menyatakan bahwa sebuah sistem disebut instabil jika

terdapat banyak koefisien negatif atau koefisien hilang pada persamaan

karakteristik closed-loop. Uji stabilitas yang dinamakan Tes Hurwitz ini sangat

mudah untuk digunakan :

• s3 + 27s2 - 26s + 24 bersifat instabil karena koefisien salah satu sukunya

negatif.

• s3 + 27s2 + 26s bersifat instabil karena suku s0 nya hilang, tetapi

• s3 + 27s2 + 26s + 24 bisa jadi stabil

Permasalahan yang ada pada kriteria Hurwitz ini adalah sistem yang lolos uji

Herwitz belum tentu bersifat stabil, seperti contoh di atas. Dengan demikian Tes

Hurwitz efektif untuk mengidentifikasi sistem yang instabil, namun tidak cukup

untuk meng-identifikasi sistem yang stabil. Proses uji yang lebih efektif adalah

kriteria Routh-Hurwith, yang dinamakan Routh Test.

Metode ini menggunakan Routh Array yang berisi koefisien karakteristik polinom.

Untuk mengetahui stabilitas suatu sistem, kita tidak perlu mencari lokasi

aktual pole, namun cukup dengan melihat sign-nya, yang akan menunjukkan

apakah pole berada di RHP (right-half-plane) atau LHP (left-halp-plane).

Kriteria Hurwitz dapat digunakan untuk mengetahui instabilitas sistem, tapi tidak

cukup untuk memastikan stabilitas sistem. Kriteria Routh-Hurwitz adalah metode.

ang efektif untuk menguji kestabilan sistem. Kriteria ini juga dapat menunjukkan

jumlah pole pada RHP atau pada sumbu imajiner. Tes stabilitas yang handal

untuk segala bentuk kasus dapat digunakan dalam proses disain untuk

memastikan kestabilan sistem, misalnya untuk memantau kapan system mulai

tidak stabil jika gain terus ditingkatkan. Penggunaan tes stabilitas dalam disain

dinamakan disain untuk stabilitas relative.

4. Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz

4.1 Larik Routh (Routh Array)

Gambar berikut adalah sebuah sistem (sebagai contoh kasus) :

Persamaan karakteristik closed-loop-nya adalah:

Routh array adalah matriks dengan baris berjumlah n + 1, dengan n = order

persamaan.

Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi Routh array dengan mengisi dua

baris

pertama dengan koefisien polinom karakteristik sbb. :

1. Untuk baris s4, elemen pertamanya adalah a4, yaitu koefisien s4. Elemen

berikutnya adalah a2 dan elemen terakhir adalah a0. Jadi, baris pertama

adalah :

s4 : a4 a2 a0

Perhatikan bahwa pada langkah ini, s4 hanya diisi oleh koefisien genap,

karena n = 4 (genap). Jika n ganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil.

2. Untuk baris ke dua (s3), dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi

s3 : a3 a1 0

Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom.

Setelah inisialisasi selesai, diperoleh

matriks seperti di samping ini.

1. Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiri-

atas dari matriks. Matriks 2 x2 ini dinamakan matriks R1.

Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Array dinamakan b1, dimana

b1 = -det(R1)/R1(1,2)

dengan kata lain :

2. Elemen ke-2 dari baris ke-3, b2, dihitung dengan cara yang sama. R2 dibuat

dengan mengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara

elemen kolom-1 dibiarkan tetap.

3. Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya

elemen baris-3 diisi dengan nilai 0.

4. Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut

menunjukkan keseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array

Routh Array yang sudah terisi lengkap

4.2 Tes Routh-Hurwitz

Dengan kriteria Routh-Rouwitz dapat dilakukan pengujian terhadap

sistem, yang karakteristik closed-loop-nya telah lulus uji kriteria Hurwitz.

Kriteria Routh-Hurwitz :

Jumlah akar polinom karakteristik yang berada pada right-half-plane sama

dengan jumlah perubahan sign pada kolom pertama Routh Array

Contoh 4.2.1

Akan dilakukan uji kestabilan untuk sistem tergambar di bawah ini.

Jawab :

Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka sistem lulus tes Hurwitz.

Dilakukan pengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil

inisialisasi adalah sbb. :

Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan

suatu konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah.

Sebagai contoh, pada baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan

dengan mengalikannya dengan 1/10. Jadi :

Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya

sbb. :

Jadi matriksnya adalah

dan isi kolom ke-1 adalah

Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -72 ke

103). Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua pole pada RHP.

5. Kasus-kasus khusus

Dua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array

• Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array.

• Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol.

5.1 Nilai nol di kolom pertama

Jika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi

operasi "pembagian dengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris

berikutnya. Untuk menghindari-nya, digunakan satu nilai kecil e (epsilon)

sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama.

Contoh 5.1

Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loop sebagai

berikut.

Buatlah Routh-array sistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem

tersebut.

Jawab :

Polinom karakteristiknya adalah

sehingga Routh array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri. Pada

tabel kanan, terlihat hasil analisis perubahan sign.

Jika e dipilih bernilai +, akan

terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih bernilai - ,juga terdapat dua

perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah e dipilih bernilai+ atau -.

Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua pole pada RHP.

5.2 Seluruh elemen pada baris bernilai nol

Hal ini bisa terjadi untuk polinom genap

Contoh 5.2

Buat Routh array untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. :

Jawab :

Routh array dari sistem adalah :

Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemen

baris ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakan polinom

auksiliari Q(s), yang dibentuk dari baris sebelum baris nol, Q(s) = s4 + 6s2 + 8

Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s :

dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah

disederhanakan melalui pembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri

di bawah ini.

Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada

tabel kanan.

Terlihat tidak adanya perubahan sign pada Routh array. Jadi, sistem stabil.

5.2 Interpretasi baris nol

Baris nol akan muncul pada Routh array jika polinom genap murni merupakan

factor dari polinom karakteristik. Sebagai contoh, polinom s4 + 5s2 + 7 adalah

polinom genap murni, yang hanya memiliki pangkat genap untuk s. Polinom

genap memiliki akar-akar simetris terhadap sumbu imajiner. Beberapa kondisi

simetri dapat terjadi :

Ketiga kondisi di atas dapat meng-hasilkan polinom genap.

1. akar-akar real dan simetris terhadap sumbu imajiner (A)

2. akar-akar imajiner dan simetris terhadap sumbu real (B), atau

3. akar-akar bersifat kuadrantal (C)

Adalah polinom genap yang menimbulkan baris nol pada Routh array.

Dengan demikian, baris nol mengindikasikan adanya akar-akar simetris

terhadap origin.Beberapa akar dapat berada pada sumbu imajiner (simetri

jenis B). Sebaliknya,jika kita tidak mendapatkan baris nol, kemungkinan kita

tidak memiliki akar padasumbu j.

Karakteristik lain dari Routh array untuk kasus di atas yang masih perlu

diperta-nyakan adalah apakah baris sebelum baris nol mengandung polinom

genap, yangmerupakan faktor polinom asalnya. Pada contoh yang lalu,

polinom s4 + 6s2 + 8 adalah faktor dari polinom asal. Akhirnya, uji Routh, dari

baris yang mengan-dung polinom genap hingga baris terakhir, hanya menguji

pole pada polinom genap.Contoh berikut dapat menjelaskan hal ini.

Contoh 5.2

Hitung berapa pole yang berada pada RHP, LHP, dan di sumbu j untuk

sistem dengan fungsi transfer closed-loop sebagai berikut :

Jawab :

Dari persamaan dapat dibuat Routh array sbb.

Untuk mempermudah, baris s6 dikalikan dengan 1/10 dan baris s4 dikali 1/20.

Terdapat baris nol pada baris s3. Kembali ke baris s4, ekstraksi polinom genap

dan dibuat derivatifnya.

Baris nol diganti dengan 4, 6, 0 = 2, 3, 0 dan Routh array dapat dilengkapi :

Interpretasi

Kesimpulan yang bisa diambil adalah tidak ada perubahan sign dari baris s4

hingga s0 sehingga tidak ada pole pada RHP (berarti tidak ada pole pada

sumbu real dan kuadrantal).Tapi karena harus ada pole-pole yang simetris,

maka pasti ada 4 pole pada sumbu j. Akar lain bisa diperoleh dari baris lain

pada Routh array. Terdapat dua perubahan sign, yang berarti ada dua pole di

RHP. Dua pole lagi pasti ada di LHP.

6. Contoh Penggunaan Kriteria Routh-Hurwitz pada Disain Sistem

Kontrol

Contoh 6.1

Untuk sistem tertutup pada gambar di bawah ini, tentukan rentang nilai

parameter gain K, dimana sistem closed-loop bersifat stabil.

Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah

Jika K = 1386, maka baris s1 menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalah

Q(s) = 18s2 + 1386 dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array

barunya adalah :

Jika K diasumsikan positif, kita dapat menggunakan kriteria Routh Hurwitz untuk menentukan limit nilai K agar sistem stail. Tidak akan ada perubahan sign jikaK > 0 dan jika 1386 - K > 0, yaitu jika K < 1386. Jika K > 1386, akan ada dua perubahan sign, sehingga terdapat dua pole di RHP dan sistem jadi instabil

Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan sign dari s1 hingga s0,

sehingga pasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal.

Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di samping ini, fungsi trans-

fernya adalah :

Hitung gain pre-amplifier K dimana sistem closed-loop stabil.

Jawab : 0 < K < 2623.29

7. Stabilitas Relatif

Pengujian stabilitas sistem kontrol berdasarkan sejumlah parameter adalah

hal yang sangat penting. Namun dalam perancangan sistem kontrol,

stabilitas absolut bukan- lah sesuatu yang menarik. Pada contoh

sebelumnya, gain K maksimum yang diperoleh adalah 2623.29. Jika kita

menginginkan "margin of safety" (margin aman) untuk memastikan bahwa

sistem tidak akan pernah instabil. Sebagai contoh, untuk kasus di atas kita

bisa batasi gain K maksimum sebesar 2620.29, yang berarti kita

memberikan margin untuk gain sebesar 3. Gain margin (GM) adalah

contoh parameter disain yang memastikan telah tercapainya "stabilitas

relatif" dalam disain.

II.8 Steady-state errors

Kesalahan sistem (system error) :

untuk sistem kontrol umpan-balik didefinisikan sebagai selish antara

keluaran yang diharapkan (r(t)) dan keluaran aktuan (c(t)).

Steady-state error :

didefinisikan sebagai selisih antara keluaran yang diharapkan dan keluaran

actual pada t

Dari sejumlah sinyal uji (test input) untuk analisis sistem kontrol, yang telah

dibahas sebelumnya, yaitu impuls, step, ramp, parabola, dan sinusoidal,

akan digunakan tiga sinyal uji untuk menilai kinerja steady-state sistem

kontrol dan hubungannya dengan steady-state error. Ketiga sinyal input

tersebut adalah

• input step

• input ramp, dan

• input parabolik

Input Step

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan posisi yang konstan

dan sangat berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam

memposisikan dirinya relatif terhadap "target" stasioner, seperti satelit

geostasioner.

Input Ramp

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan kecepatan dan sangat

berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam melacak target

yangbergerak dengan kecepatan konstan. Sebagai contoh, pesawat ruang

angkasa yang bergerak dengan kecepatan konstan di orbit.

Input Parabolik

Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan akselerasi dan

pengujian kemampuan sistem kontrol untuk melacak obyek yang bergerak

dengan kece-patan berubah-ubah. Sebagai contoh, pelacakan peluru

kendali yang sedang terbang.

Karena yang menjadi perhatian di sini adalah selisih antara keluaran aktual

dan keluaran yang diharapkan setelah kondisi steady-state tercapai, kita

hanya dapat menghitung steady-state error sistem yang respon naturalnya

mencapai zero pada t

8.1 Bentuk-bentuk Steady-State Errors

Berikut ini akan diuraikan bentuk-bentuk steady-state error untuk input step

dan ramp.

Step Error

Observasi step error

• Pada kasus 1, e1() = 0 karena output 1 = input pada t = . Steady-

state error bernilai nol.

• Pada kasus 1, e2() 0 karena output 2 = input pada t . Steady

state error bernilai tidak nol.

Ramp Error

Observasi ramp error

• Pada kasus 1, e1() = 0. Steady-state error bernilai nol.

• Pada kasus 2, respon memiliki gradien yang sama, tetapi e2() 0

• Pada kasus 3, selisih berubah pada saat input berubah. Respon memiliki

gradient berbeda sehingga e3()

8.2 Perspektif diagram blok

Dengan definisi error sistem, kita dapa mengekspresikan error sistem

dalam bentuk varaiabel ter-transformasi (berguna dalam diagram blok) :

Untuk sistem kontrol umum, dimana fungsi transfernya adalah Gc(s), error

harus di-dapatkan melalui diagram blok seperti pada gambar berikut.

Gambar 1. Error untuk sistem closed-loop umum

Untuk sistem umpan-balik unity-gain (gambar 2), keluaran dari blok

penjumlah jelas merupakan error sistem E(s). Selanjutnya konsentrasi

akan diarahkan padapenurunan steady-state error untuk kasus khusus ini,

tetapi ini juga bersifat umum, karena bisa diaplikasikan pada rancangan

sistem lain Jika dalam steady-state c = r, maka error e() = 0.

Gambar 2. Error untuk sistem umpan-balik dengan unity-gain

Contoh 8.1

Gambar 3 menunjukkan sistem dengan gain pada forward loop.

Bagaimana steady- state error-nya untuk input step.

Gambar 3. Sistem closed-loop dengan gain dalam forward-loop

Jawab :

Digunakan input step r(t) = u(t), c(t) = Kc(t), sehingga steady-state error

0 jika c(t) 0. Semakin besar nilai K, semakin kecil steady-state error

(1/(1 + K)), tetapi tidak pernah menjadi nol. Dengan demikian, untuk

system dengan gain murni pada arah maju (forward), steady-state-error

tidak nol untuk input step.

Contoh 8.2

Integrator dalam forward-loop terlihat pada gambar 4. Tentukan steady-

state error-nya.

Gambar 4. Sistem closed-loop dengan integrator dalam forward loop

Jawab :

Digunakan input step. Steady-state-error sekarang bernilai nol. Ini karena

keluaranblok, c(t) = K e(t) dt, dapat bernilai bukan nol, meskipun

inputnya bernilai nol.Jika c(t) naik, c(t) = r(t) - c(t) turun. Jika c(t) = 0, masih

bisa terdapat ouput untukc(t) (K 0 dt = 0 + bil.konstan). Sebaliknya, jika

tidak ada error, integrator akanmembentuk lerengan naik dan turun (K a

dt = at + bil. konstan), meningkatkan c(t) yang kembali akan menurunkan

e(t) hingga nol.

Model motor yang paling sederhana adalah integrator. Jika diberikan

tegangan konstanakan terjadi perubahan posisi - dengan kecepatan

konstan. Jika tegangan dihilangkan, motor berhenti, tapi posisi akhirnya

tidak harus nol ! Meskipun demikian, jika sebuahmotor digunakan dalam

sistem closed-loop, ia akan berhenti pada nilai yang sama dengan

inputnya. Dengan demikian, sistem kontrol dengan integrator dalam

forward loop akan selalu memiliki steady-state error bernilai nol untuk

posisi.

8.3 Steady-State Error untuk sistem dengan umpan balik unity-gain

Di sini digunakan kembali sistem kanonik seperti pada gambar 1 di bawah

ini.

sehingga

Teorema Nilai-Akhir (final value theorem) menyatakan bahwa

Untuk sistem ini :

8.3.1 Input step

Dari persamaan 3, lims 0G0(s) adalah steady-state gain dari fungsi

transfer open-loop.Untuk mendapatkan steady-state step error sebesar

nol, diperlukan lims 0G0(s) = . Dengan demikian G0(s) harus memiliki

bentuk sbb.:

dimana jika s 0, penyebut akan bernilai nol sehingga G0(s) = .

Dengan demikian, untuk mendapatkan steady-state step error sebesar

nol, paling tidak harus ada satu pole pada origin s = 0 (yaitu n > 1).

Faktor s pada penyebut dari fungsi transfer open-loop

merepresentasikan integrator pada arah maju. Dengan demikian, untuk

mendapatkan steady-state step error sebesar nol, paling tidak kita harus

memiliki satu integrator di dalam fungsi transfer open-loop.

Jika tidak ada penyebut dengan faktor sn berarti n = 0 dan diperoleh

Untuk input step satuan (unity step input) r(t) = u(t), dimana :

u(t) = 1 untuk t > 0 = 0 di tempat lain

transformasinya adalah

yang bersifat

terhingga (finite) dan menghasilkan steady-state step error terhingga.

Untuk mendapatkan steady-state ramp error bernilai nol, lims 0sG(s) = .

Untuk itu, n > 2, sehingga paling tidak harus ada dua integrator di dalam

fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada satu integrator, n = 1, maka

yang bersifat terhingga dan oleh karena itu akan terdapat steady-state ramp

error yang terhingga.

Jika tidak ada integrator, maka n = 0 dan akan diperoleh :

sehingga

Untuk input r(t) = tu(t) dengantu(t) = t untuk t > 0 = 0 di tempat lain

8.3.2 Input Ramp

Sehingga kita mendapatkan steady-state velocity error tak terhingga

8.3.3 Input Parabolik

Untuk input parabolic dimana.

Agar steady-state parabolic error bernilai nol, lims0s2G0(s) = . Untuk itu, n

> 3.Berarti harus ada tiga integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika

hanya ada dua integrator, n = 2, terdapat steady-state parabolic error

terhingga. Jika n < 2, terdapat steady-state parabolic error tak hingga.

8.4 Definisi Konstanta Galat Statik dan Jenis Sistem

8.4.1 Konstanta Galat Statik (Static Error Constants)Dari perhitungan-

perhitungan di atas, kita dapatkan definisi steady-state error

untukgalat step, ramp, dan parabolik, sbb. :

Konstanta-konstanta di atas dapat bernilai nol, terhingga, atau tak

terhingga, tergantungpada sifat G0(s). Dalam kenyataannya, mereka

bergantung pada jumlah faktor s padapenyebut G0(s) atau jumlah integrator

pada alur maju. Berikut ini adalah konstantagalat statis (static error

constants).

8.4.2 Nomor jenis system

Perhatikan gambar di atas. Nomor jenis sistem didefinisikan berdasarkan

nilai n, yang berarti menurut jumlah integrator di dalam G0(s).

• Sistem dengan n = 0 dinamakan jenis 0• Sistem dengan n = 1 dinamakan jenis 1• Sistem dengan n = 2 dinamakan jenis 2• dst.Jelas bahwa nilai konstanta galat statis berhubungan dengan nomor jenis

sistem. Hubungan ini secara eksplisit digambarkan pada bagian berikut.

Nomor jenis sistem dan konstanta galat statisnya

Jenis sistem dan steady-state error

8.5 Spesifikasi Steady-State Error

Contoh 8.1

Tentukan spesifikasi Kv = 1000. Apa yang ditunjukkannya mengenai

sistem kontrol ?

Jawab :

1. Sistem stabil

2. Sistem tipe 1

3. Input sistem adalah ramp

4. Steady-state error-nya adalah 1/Kv per unit gradien ramp

Contoh 8.2

Untuk sistem kontrol azimuth antena berikut ini

1. Carilah steady-state error dalam K untuk input step, ramp, dan parabolik

2. Cari nilai K yang menghasilkan steady-state error 10%. Apakah sistem

stabil ?

Jawab :

1.

Sistem tipe 1,

berarti

2. Galat 10% berlaku untuk ramp. Jadi untuk galat 10% :

K = 257,9. Nilai ini berada dalam rentangan 0<K<2623,9. Sistem stabil

Pada bagian ini dibahas mengenai steady-state error untuk sistem

kontrol umpan-balik unity-gain. Dengannya kita dapat menentukan kinerja

lengkap dalam konteksi fungsi transfer open-loop. Ini dapat dilakukan

karena jumlah integrator dalam fungsi transfer open-loop berhubungan

dengan kinerja sistem. Selanjutnya dibuat Nomor Jenis Sistem yang

besarnya sama dengan jumlah integrator, dimana sifatnya terlihat di tabel

berikut.

Dengan konstanta galat statis : konstanta galat posisi Kp = G0(s)|s=0;

konstanta galat kecepatan Kv = sG0(s)|s=0; konstanta galat akselerasi

Ka = s2G0(s)|s = 0.

BAB III

Penutup

A. Kesimpulan

Dalam perancangan sistem kontrol, langkah pertama yang harus dilakukan

adalah menganalisa sistem yang akan dikontrol terlebih dahulu. Pembuatan

model yang lebih sederhana akan mempermudah kita dalam menganalisa sistem

tersebut. Kemudian pemodelan tersebut dapat kita nyatakan dalam suatu

persamaan matematis, sehingga aplikasi perhitungan matematis akan sangat

memungkinkan dalam menganalisa sistem tersebut.

Dalam perancangan sistem kontrol umpan balik Ada tiga hal yang diperlukan

dalam perancangan sistem kontrol umpan balik diantaranya :

Respon transien

Stabilitas

steady-state eror

Daftar Pustaka

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2042/Bab4_part3_Lec09.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2040/

Bab4_Part1_Eval_o_Sist_Res_lec050607.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2043/Bab5_Lec10.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2044/Bab6_Lec11.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2045/Bab6_part2_Lec12.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2046/Bab7_part1_Lec13.ppt

http://subali.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/2047/Bab7_part2_Lec14.ppt

http://kk.mercubuana.ac.id/files/14021-1-973447051328.doc

http://202.91.15.14/upload/files/4616_Pendahuluan.doc