BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kimia kuantum adalah sebuah aplikasi mekanika kuantum pada ilmu kimia.

Dengan bantuan kimia kuantum, kita dapat memahami dan memprediksi struktur, sifat

dan mekanisme reaksi dari berbagai bahan. Penjelasan perilaku elektron pada atom

dan molekul dalam kaitannya dengan kereaktifan adalah salah satu terapan kimia

kuantum. Kimia kuantum terletak di perbatasan antara kimia dan fisika, dan

sumbangan yang berarti telah dicapai oleh ilmuwan dari kedua bidang tersebut. Tanpa

kimia kuantum, kesamaan sifat unsur-unsur dalam satu golongan maupun periode

belum dapat dijelaskan. Begitu juga dengan bagaimana letak atom-atom dalam satu

molekul (struktur molekul). Kimia kuantum juga dapat menjelaskan apakah suatu

reaksi dapat berlangsung atau tidak, ataupun memerlukan bantuan katalis dalam

kondisi terentu.

Menjelang akhir abad ke Sembilan belas semakin tampak bahwa mekanika

klasik atau mekanika kuantum mampu menjelaskan banyak fakta eksperimen yang

menyangkut perilaku sistem yang berukuran atom. Di tahun 1900, dalam penurunan

dari persamaan yang betul bagi intensitas radiasi berbagi frekuensi dari suatu rongga,

Planck mengandaikan bahwa radiasi elektro maknetik adalah terkuantisasi. Gagasan

Planck mengenai kuantisasi ini digunakan oleh Einsten pada tahun 1905 untuk

mengaitkan efek fotolistrik secara gemilang. Di tahun 1913 de Broglie menggunakan

gagasan kuantisasi energi untuk mendapatkan ungkapan bagi panjang gelombang

suatu electron yang mengalami percepatan dalam medan listrik. Di tahun 1926

Schrodinnger dan Heisenberg secara terpisah mengembangkan mekanika kuantum.

Mekanika kuantum telah menjadi sangat penting untuk mengerti kimia.

Dalam makalah ini akan ditinjau mengenai penerapan mekanika kuantum pada

sistem-sistem sederhana, termasuk atom hydrogen, yang dapat ditangani secara eksak

dan pada atom-atom dengan banyak electron yang penyelesaian analitiknya tak dapat

diperoleh.

1

1.2 Dasar Pemikiran

Tidak terbantahkan lagi, bagi seorang sarjana Teknik Kimia penguasaan akan

kimia kuantum ini mutlak diperlukan. Mengingat pentingnya cabang ilmu kimia

kuantum tersebut, dan dengan tanggung jawab pembuatan paper dan presentasi

mengenai kimia kuantum yang diberikan, maka disusunlah paper ini.

1.3 Tujuan

Adapun tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut

1.

2

BAB 2

PEMBAHASAN

Teori Kuantum

Teori  kuantum merupakan gagasan paling cemerlang yang pernah dibuat manusia.

Teori ini berhasil menjelaskan ribuan gejala fisika: susunan berkala unsur-unsur dan

terjadinya reaksi kimia, kerja laser, mikrochip, kestabilan dna, penembusan partikel alfa ke

inti atom. Teori kuantum tidak terjangkau intuisi dan menentang pikiran lazim. Konsepnya

disejajarkan dengan filsafat timur, malah dipakai untuk meneliti rahasia kesadaran,

kehendak bebas, dan paranormal, Teori kuantum tak pernah gagal Teori ini sangat

matematis Gagasannya sama sekali mengubah cara kita memandang realitas. Ilmuan yang

berpengaruh yaitu NEWTON sehingga teori ini lebih dikenal dengan HUKUM II

NEWTON atau HUKUM GERAK NEWTON.

Hukum ini menjelaskan pergerakan suatu materi baik translasi, rotasi ataupun

vibrasi. Namun faktanya, teori ini gagal menjelaskan pergerakan elektron disebabkan oleh

massa yang dimilikinya sangat kecil hingga dapat dianggap tidak berpengaruh (me = 9,

109. 10-31 kg). Pada perkembangan selanjutnya, seorang ilmuan Fisika yang berasal dari

Prancis “Louis de Brouglie” berusaha menjelaskan alasan tingkatan energi yang dimiliki

elektron. Ia berpendapat bahwa jika cahaya yang merupakan gelombang memiliki sifat

partikel seperti yang telah dijelaskan Max Plank – Einstein pada fenomena radiasi benda

hitam, maka partikel juga dapat berperilaku seperti gelombang. Teori ini dikenal dengan

nama “Dualisme Gelombang-Partikel”

3

Berkenaan dengan “Dualisme Gelombang-Partikel” yang berlaku pada elektron,

Werner Heisenberg ahli Fisika asal jerman berpendapat bahwa posisi dan momentum

elektron tidak mungkin dapat ditentukan bersamaan dengan ketelitian tinggi. Pendapat ini

kemudian dikenal dengan “Prinsip ketidakpastian Heisenberg”. prinsip inilah yang

dijadikan dasar pemikiran  munculnya teori Mekanika Kuantum.

2.1 Radiasi Rongga

Benda hitam adalah benda ideal yang mampu menyerap atau mengabsorbsi

semua radiasi yang mengenainya, serta tidak bergantung pada frekuensi radiasi

tersebut. Bisa dikatakan benda hitam merupakan penyerap dan pemancar yang

sempurna. Benda hitam pada temperatur tertentu meradiasi energi dengan laju lebih

besar dari beanda lain. Model yang dapat digunakan untuk mengamati sifat radiasi

benda hitam adalah model rongga.

Distribusi kerapatan tenaga spektral eksperimental :

Teori Rayleigh-Jeans

Reyleigh dan Jeans menggunakan pendekatan fisika klasik untuk menjelaskan

spektrum benda hitam, karena pada masa itu fisika kuantum belum diketahui.

Mereka meninjau radiasi dalam rongga bertemperatur T yang dindingnya adalah

pemantul sempurna sebagai sederetan gelombang elektromagnetik berdiri. Rumus

Rayleigh-Jeans

4

Hukum radiasi planck

Planck menemukan rumus dengan menginterpolasikan rumus wein dan rumus

Rayleigh-Jeans dengan mengasumsikan bahwa terbentuknya radiasi benda hitam

adalah dalam paket-paket energi. Konsep paket energi atau energi terkuantisasi ini

merupakan hipotesis Max Planck yang merupakan rumus yang benar tentang

kerapatan energi radiasi benda hitam.

Gagasan awal Planck:

1. Ada sekumpulan osilator listrik dalam dinding rongga yg bergetar maju

mundur karena rangsangan panas

2. Harus ada semua frekuensi yg mungkin

3. Jika suhu makin tinggi maka osilator bergetar kian cepat sehingga frekuensi

rata-rata naik sampai tercapai kesetimbangan termal.

Planck mencoba melihat hubungan entropi dan peluang menurut Boltzmann.“Tapi,

Planck menolak asumsi terjadinya fluktuasi.

Gagasan Planck:

1. Persamaan statistik: untuk menghitung entropi

2. Keadaan: entropi harus maksimum

Teknik menghitung: untuk menentukan peluang w

Untuk menghitung peluang variasi susunan yg mungkin, Planck mengiris-iris

energi osilator menjadi keping-keping yg sangat kecil. Jadi, energi totalnya E = N

e, dengan N banyaknya keping, e keping energi sebarang.

Maklumat Postulat Planck

Pokoknya ya, nilai e = h f , harus terbatas dan nilai h tidak boleh nol.

Pengirisan energi ini menyebabkan energi radiasi harus tidak kontinyu. Tapi,

Planck tak punya alasan teoretis untuk konsep ini. Ya sudah, ini dianggap sebagai

postulat. Jika  postulat ini kelak terbukti sahih, maka osilator menyerap dan 5

memancarkan nergi secara tidak kontinyu, dalam satuan  e = h f. Ini disebut sebagai

kuanta energi. Pada f tinggi, kuanta energinya  e = h f sangat besar, sehingga hanya

sedikit getaran yang tereksitasi, sehingga osilator tertekan, sehingga radiasi turun

menuju nol pada f tinggi.

Teori Foton

Foton atau kuanta merupakan paket-paket energi diskrit pada radiasi

elektromagnetik. Tiap energi pada foton tergantung pada frekuensi f . Sebuah foton

akan bergerak dengan kecepatan cahaya, jika foton bergerak dibawah kecepatan

tersebut maka foton tidak ada. Foton hanya memiliki energi kinetik dan massa

diamnya adalah nol. Sedangkan momentumnya :

2.2 Spektrum Garis

Spektrum garis adalah spektrum yang tersusun oleh garis - garis putus yang

berhubungan dengan panjang gelombang tunggal dari suatu pancaran atau serapan

radiasi. Jika radiasi rongga adalah sinambung, jenis – jenis spektra lain

mengandung garis – garis. Hal – hal yang tidak dapat diterangkan oleh teori klasik.

Frekuensi dari garis garis spektrum dapat dihitung dengan mengambil selisih dari

besaran – besaran yang disebut suku. Berbagai macam garis dapat dihitung dengan

mengambil selisih antara sejumlah kecil harga – harga suku. Pada tahun 1885

balmer menemukan bahwa panjang gelombang (lamda) dari garis – garis dalam

daerah tampak dari spektrum pancaran atom hidrogen dapat diungkapkan oleh

suatu hubungan yang sederhana yang dapat ditulis sebagai.

dengan n2 suatu bilangan bulat yang lebih besar dari 2 dan R tetapan rydberg =

109677,58 cm-1 . harga R dapat ditenetukan secara teliti sekali karena sangat

tingginya ketelitian dalam pengukuran dari panjang gelombang garis – garis

spektrum.

6

Kebalikan dari panjang gelombang diberikan dengan dan disebut sebagai

angka gelombang dimana biasanya dinyatakan dalam cm-1. Perlu diperhatikan

bahwa persamaan 8.6 bahwa n2 tak dapat dikurang dari 2, karena akan menjadi

bilangan negatif yang tidak ada artinya, dan tidak juga dapat sama dengan 2 karena

akan menjadi nol. Tetapi bila n2 cukup besar pertambahan lebih lanjut hanya

menambah sedikit sekali dan, selagi n2 menuju tak hingga, akan mendekati ¼

R sebagai suatu limit. Keberhasilan rumus balmer mendorong penelitian lebih

lanjut dengan deret – deret lain yang kemudian ditemukan dalam spektrum atom

hidrogen yang dapat diungkapkan dalam persamaan.

Dengan n1 juga bilangan bulat. Deret dengan n1 = 1 (deret lyman) terletak di ultra

violet dengan n1 = 3 (deret paschen), 4 (deret brackett), atau 5 (deret pfund)

terletak didaerah infra merah. Adalah penting untuk diperhatikan bahwa tiap garis

dalam spektrum dapat diungkapkan sebagai selisih dari dua “suku” R/n1 dan R/n2.

Spektrum atom – atom lain lebih rumit, tetapi secra umum didapatkan bahwa

adalah mungkin untuk mengunkapkan garis – garis spektrum sebagai selisih dari

nilai – nilai suku . konsep dapat cepat dimengerti melalui penerapan dari azas

kekekalan energi yang mensyaratkan bahwa :

Dengan E2 energi dari atom atau molekul sebelum memancarkan suatu foton hv

dan E1 energi setelah pemancaran. Persamaan ini adalah dasar dari segala jenis

spektroskopi.

Pada tahun 1913 bohr meninggalkan mekanika klasik dengan mengandaikan

bahwa atom hidrogen momentum sudut dari elektron di lintasan hanya dapat

mengambil harga harga yang merupakan kelipatan bulat dari suatu kuantum

momentum sudut yang besarnya h, disebut sebagai h coret yang sama dengan h/

7

2pi. Bohr mengandaikan bahwa suatu elektron dalam suatu lintasan tak

memerlukan sifat seperti itu tetapi apapun juga bohr telah dapa menurunkan suatu

ungkapan yang benar bagi tingkat energi atom serupa hidrogen ( yaitu atom – atom

dengan satu elektron ). Ia juga dapat menghitung ukuran dari atom – atom serupa

hidrogen ; jari – jari dari lintasan terdalam dari atom hidrogen sebagai 0,0529 nm.

Tingkat energi elektronik dalam atom hidrogen, dihitung menurut teori bohr

degambarkan secara ringkas di gambar 8.3. garis garis deret lyman dihasilkan oleh

elektron – elektron yang meloncat dari lintasan dengan bilangan kuantum 2, 3,

4 ...... ke lintasan terendah yang diperbolehkan (n1 = 1). Garis –garis deret balmer

dihentikan oleh elektron – elektron yang jatuh dari lintasan lebih besar kelintasan

kedua (n1 = 2), dan sebagainya . angka gelombang v dari suatu garis dalam

spektrum dapat diperoleh dengan mengurangkan harga – harga di bagian kanan

bagi kedua tingkat energi yang bersangkutan. Dengan demikian garis kedua dari

deret balmer disebabkan oleh suatu elektron yang jatuh dari lintasan keempat yang

kedua da angka gelombangnya ialah 27420 – 6855 = 20565 cm-1 .

Gambar 2 deret balmer dari garis – garis dalam spektrum pancaran atom hidrogen.

Panjang gelombang yang diberikan dalam manometer ( 1 nm = 10-9 m).

8

Gambar 2 Tingkat energi bagi atom hidrogen dihitung dari teori Bohr. Potensial

pengionan dibahas di sub-bab 2.21.

2.3 Hubungan De Broglie

Berdasarkan peristiwa efek fotolistrik dari Einstein, yang kemudian

didukung dengan percobaan yang dilakukan oleh Compton telah membuktikan

tentang dualisme (sifat kembar) cahaya, yaitu cahaya bisa berkelakuan sebagai

gelombang, tetapi cahaya juga dapat bersifat partikel. Pada tahun 1924 Louise de

Broglie mengemukakan pendapatnya bahwa : cahaya dapat berkelakuan seperti

partikel, maka partikel pun seperti halnya electron dapat berkelakuan seperti

gelombang

Gambar 4.1 Skema Percobaan Louise de Broglie

Sebuah foton dengan frekuensi f memiliki energi sebesar hf  dan memiliki

momentum p = , karena c = f λ, maka momentum foton dapat dinyatakan p = hf/c

sehingga panjanggelombang foton dapat dinyatakan λ = h/p. Untuk benda yang

bermassa m bergerak dengan kecepatan memiliki momentum linier sebesar mv

maka panjang gelombang de Broglie dari benda itu dinyatakan dengan persamaan

9

Untuk menguji hipotesis yang dilakukan oleh Louise de Broglie pada tahun 1927,

Davisson dan Germer di Amerika Serikat dan G.P. Thomson di Inggris secara

bebas meyakinkan hipotesis Louise de Broglie dengan menunjukkan berkas

elektron yang terdifraksi bila berkas ini terhambur oleh kisi atom yang teratur dari

suatu kristal. Davisson dan Germer melakukan suatu eksperimen dengan

menembakkan elektron berenergi rendah yang telah diketahui tingkat energinya

kemudian ditembakkan pada atom dari nikel yang diletakkan dalam ruang hampa.

Berdasarkan hasil pengamatan Davisson dan Germer terhadap elektron-elektron

yang terhambur ternyata dapat menunjukkan adanya gejala interferensi dan difraksi.

Dengan demikian hipotesis de Broglie yang menyatakan partikel dapat berkelakuan

sebagai gelombang adalah benar.

Percobaan Davisson dan Germer.

Jika partikel berlaku sebagai gelombang, harus dapat ditunjukkan bahwa partikel

dapat menimbulkan pola-pola difraksi seperti halnya pola-pola difraksi pada

gelombang. Pada tahun 1927 Davisson dan Germer memilih elektron sebagai

partikel untuk menguji hipotesa de Broglie. Elektron-elektron diperoleh dari

filamen yang dipijarkan, kemudian elektron-elektron itu dipercepat dalam medan

listrik yang tegangannya 54 Volt. Setelah dipercepat elektron-elektron memiliki

energi kinetik.

Ek = 54 eV = 54 . 1,6 .10 –19 Joule

Momentum elektron :

10

Untuk memperoleh pola difraksi diperlukan kisi-kisi yang lebar celahnya kira-kira

sama dengan panjang gelombang yang akan diuji. Sebab jika celah terlampau lebar,

tidak menimbulkan gangguan pada gelombang, dan jika kisi terlampau sempit,

pola-pola difraksi sukar teramati. Kisi-kisi yang tepat untuk memperoleh pola

difraksi gelombang elektron adalah kisi yang terjadi secara alamiah yakni celah-

celah yang berada antara deretan atom-atom kristal bahan padat, dalam hal ini

dipergunakan kisi kristal nikel. Hasil percobaan Davisson dan Germer

menunjukkan bahwa elektron-elektron dapat menimbulkan pola-pola difraksi. Kini

tidak disangsikan lagi bahwa apa yang kita kenal sebagai materi dapat pula

menunjukkan sifat gelombang, tepat seperti yang diramalkan oleh de Broglie.

Hipotesis de Broglie mendorong tafsiran bahwa gelombang elektron

didifraksikan oleh target sama seperti sinar X didifraksikan oleh bidang-bidang

atom dalam kristal. Dari beberapa percobaan yang dilakukan pada akhirnya terbukti

bahwa eksperimen Davisson dan Germer merupakan bukti langsung dari hipotesis

de Broglie mengenai sifat gelombang benda bergerak. Komplikasi lainnya timbul

dari interferensi antara gelombang yang didifraksi oleh keluarga lain dari bidang

Bragg yang membatasi terjadinya maksimum dan minimum yang menjadi hanya

kombinasi tertentu dari energi elektron dan sudut datang sebagai pengganti dari

setiap kombinasi yang memenuhi persamaan Bragg : .

2.4 Azas Ketidaktentuan Heisenberg

Berangkat dari sebuah pernyataan seorang ilmuwan Perancis Marquis de

Laplace pada awal abad ke-19, bahwa alam semesta bersifat deterministik. Laplace

menyarankan seharusnya ada seperangkat hukum-hukum ilmiah yang akan terjadi

dalam alam semesta, dengan cukup mengetahui keadaan lengkap alam semesta

pada satu waktu. Bahkan ia mengandaikan adanya hukum-hukum serupa yang

mengatur semua hal lain, termasuk tabiat manusia.

Hal ini mendorong seorang ilmuwan Jerman Werner Heisenberg  untuk

merumuskan asas ketidakpastiannya (1926 M) yang mempunyai implikasi yang

sangat signifikan terhadap cara manusia memandang dunia. Sebelum itu, seorang

ilmuwan Jerman lain,Max Planck  (1858-1947 M), mengemukakan Teori Kuantum

(1900) yang menjelaskan laju pemancaran radiasi dari dalam benda panas dengan 11

sangat memuaskan. Max Planck mengemukakan, bahwa cahaya, sinar-X dan

gelombang-gelombang lain tidak dapat dipancarkan dengan laju sewenang-wenang

(arbitrer), melainkan hanya dalam paket-paket tertentu yang disebutnya kuantum

(jamak: kuanta). Lebih dari itu, tiap kuantum mempunyai kuantitas energi tertentu,

yang makin besar dengan makin tingginya frekuensi, sehingga pada frekuensi yang

cukup tinggi pemancaran sebuah kuantum tunggal menuntut energi yang lebih

besar daripada yang tersedia. Jadi radiasi pada frekuensi tinggi akan dikurangi dan

laju hilangnya energi benda itu akan terhingga.

Teori kuantum inilah yang kemudian berimplikasi pada lahirnya asas

ketidakpastian Heisenberg. Menurut Heisenberg, untuk memprediksikan posisi dan

kecepatan sebuah partikel di masa depan, orang harus mampu mengukur posisi dan

kecepatannya di masa kini dengan tepat. Cara yang jelas adalah dengan menyinari

partikel itu. Beberapa gelombang cahaya akan dihamburkan oleh partikel itu dan

hamburannya ini akan menyatakan posisinya. Namun posisi suatu partikel tidak

akan mampu ditetapkan dengan lebih tepat daripada jarak antara puncak gelombang

cahaya. Jadi diperlukan cahaya dengan gelombang pendek agar lebih cermat dalam

mengukur posisi partikel tersebut. Menurut hipotesis kuantum Planck, cahaya tidak

dapat digunakan dengan kuantitas sewenang-wenang kecilnya, cahaya bisa

digunakan dalam sekurang-kurangnya satu kuantum. Kuantum ini akan

mengganggu partikel itu dan mengubah kecepatannya sehingga kecepatannya itu

tidak bisa diprediksikan. Lebih dari itu makin tepat posisi suatu partikel diukur,

makin pendek gelombang cahaya yang diperlukan. Hal ini akan mengakibatkan

makin tinggi energi suatu kuantum tunggal, sehingga makin parah kecepatan

partikel itu terganggu. Dengan kata lain, makin tepat posisi partikel itu diukur,

maka makin kurang tepat pula untuk mengukur kecepatannya, demikian juga

sebaliknya. Heisenberg menunjukkan bahwa ketidakpastian posisi partikel kali

ketidakpastian kecepatan kali massa partikel tidak pernah dapat lebih kecil daripada

suatu kuantitas tertentu, yang disebut tetapan planck. Lagi pula batas ini tidak

bergantung pada cara pengukuran posisi atau kecepatan partikel, atau pada tipe

partikel: asas ketidakpastian Heisenberg adalah sifat mendasar yang tidak dapat

dihindari dari dunia ini.

12

Asas ketidakpastian mengisyaratkan berakhirnya impian Laplace akan suatu

teori sains, suatu model alam semesta yang sama sekali bersifat deterministik: pasti

orang tidak dapat meramalkan masa depan peristiwa-peristiwa dengan eksak jika

orang bahkan tidak dapat mengukur keadaan masa kini alam semesta dengan

cermat. Hingga kemudian pada dasa warsa 1920-an Heisenberg, Erwin

Schrödinger, dan Paul Dirac, mereka merumuskan kembali mekanika kuantum,

yang didasarkan pada asas ketidakpastian. Dalam teori ini, partikel tidak lagi

mempunyai posisi dan kecepatan yang terumus dengan baik dan terpisah, yang

tidak dapat diamati. Sebagai gantinya, partikel itu mempunyai keadaan kuantum

yang merupakan gabungan dari posisi dan kecepatan.

Pada umumnya mekanika kuantum tidak memprediksikan suatu hasil

tunggal yang terpastikan untuk suatu pengamatan. Sebagai gantinya, mekanika

kuantum memprediksikan sejumlah hasil yang berlainan yang mungkin dan

mengatakan bagaimana peluang hasil ini benar-benar didapatkan. Dengan kata lain,

jika orang melakukan pengukuran yang sama terhadap sejumlah besar sistem yang

serupa, yang masing-masing berawal dengan cara yang sama, ia akan mendapatkan

hasil pengukuran sebesar A dalam sejumlah kasus, B dalam sejumlah kasus lain,

dan seterusnya. Orang dapat memprediksikan kira-kira berapa kali hasil itu akan A

atau B, namun ia tidak dapat memprediksikan hasil khas dari suatu pengukuran.

Oleh karena itu, mekanika kuantum mengemukakan suatu unsur ketidakpastian

atau keacakan yang tidak dapat dihindari ke dalam sains. Teori ini mengalami

kesuksesan yang luar biasa. Ia mendasari hampir semua sains dan teknologi

modern. Hanya gravitas dan struktur skala besar alam semesta yang merupakan

daerah-daerah sains fisika yang belum dimasuki mekanika kuantum.

Prinsip Ketidakpastian (Uncertainty Principle) Heisenberg menyatakan

bahwa adalah (hampir) tidak mungkin untuk mengukur dua besaran secara

bersamaan, misalnya posisi dan momentum suatu partikel. Dia menyimpulkan

suatu keterbatasan dalam menentukan posisi  dan momentum elektron dalam atom.

Maksud dari azas ketidakpastian yaitu, apabila suatu percobaan di tujukan untuk

menentukan posisi elektron dalam atom maka ketidakpastian momentumnya

(kecepatan) semakin besar, dan sebaliknya. Berkaitan dengan dualisme sifat

13

elektron, Werner Heisenberg menyimpulkan suatu keterbatasan dalam menentukan

posisi dan momentum elektron dalam atom, yang dikenal sebagai Asas

Ketidakpastian (Uncertainty Principle) pada tahun 1927. Heisenberg merumuskan

Asas Ketidakpastian di Institut Niels Bohr di Copenhagen, sambil berpikir

membuat fondasi matematika untuk Teori Atom Mekanika Kuantum. Saat

pengajaran di Chicago, Heisenberg merumuskan teorinya sebagai berikut:

Δ x . Δ p  ≥ h

Keterangan :

Δ x = ketidakpastian posisi 

Δ p = ketidakpastian momentum

h = tetapanPlanck (6,63 x 10-34 J s)

Menurut Heisenberg, tidaklah mungkin menentukan posisi dan momentum elektron

secara bersamaan dengan ketelitian tinggi. Jika suatu eksperimen dirancang untuk

menentukan posisi elektron, maka ketidakpastian momentum elektron akan

semakin besar (penentuan momentum menjadi tidak akurat). Jika suatu eksperimen

dirancang untuk menentukan momentum elektron, maka ketidakpastian posisi

elektron akan semakin besar (penentuan posisi menjadi tidak akurat). Hal ini dapat

diatasi jika pengamatan dilakukan oleh 2 orang secara bersamaan. Orang pertama

merancang eksperimen untuk menentukan posisi elektron, dan orang kedua

merancang eksperimen untuk menentukan momentum elektron yang sama. 

2.5 Persamaan Schrodinger

Persamaan Schrodinger diajukan pada tahun 1925 oleh fisikawan Erwin

Schrodinger (1887-1961). Persamaan ini pada awalnya merupakan jawaban dari

dualitas partikel-gelombang yang lahir dari gagasan de Broglie yang menggunakan

persamaan kuantisasi cahaya Planck dan prinsip fotolistrik Einstein untuk

melakukan kuantisasi pada orbit elektron. Selain Schrodinger dua orang fisikawan

lainnya yang mengajukan teorinya masing-masing adalah Werner Heisenberg

dengan Mekanika Matriks dan Paul Dirac dengan Aljabar Kuantum. Ketiga teori ini

merupakan tiga teori kuantum lengkap yang berbeda dan dikerjakan terpisah namun

14

ketiganya setara. Teori Schrodinger kemudian lebih sering digunakan karena

rumusan matematisnya yang relatif lebih sederhana. Meskipun banyak mendapat

kritikan persamaan Schrodinger telah diterima secara luas sebagai persamaan yang

menjadi postulat dasar mekanika kuantum.

Persamaan Schrodinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika

kuantum – seperti halnya hukum gerak kedua yang merupakan persamaan pokok

dalam mekanika Newton – dan seperti persamaan fisika umumnya persamaan

Schrodinger berbentuk persamaan diferensial. Persamaan Schrödinger merupakan

fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informasi tentang perilaku

gelombang dari partikel. Suatu persamaan differensial akan menghasilkan

pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum

.

Menurunkan Persamaan Schrodinger

Kondisi dualisme partikel adalah saat partikel diperlakukan sebagai gelombang

Misalkan :  .

Lihat persamaan gelombang yang kita kenal :

Kemudian persamaan momentum :

Maka persamaan gelombang diatas dapat kita modifikasi menjadi :

Kemudian mari lihat modifikasi rumus energi kinetik :

15

Dengan hukum kekekalan momentum : E=K+V atau K=E-V maka :

Sehingga persamaan gelombang dapat kembali dimodifikasi menjadi :

Kali ini, dengan

(karena fungsi gelombang).

Maka,

(melalui penurunan 2 kali terhadap t dari fungsi gelombang, lihat catatan

sebelumnya).

Maka didapatlah persamaan gelombang atau persamaan Schrodinger menjadi :

dimana :

m = massa partikel

E = Energi total partikel

V = Energi potensial partikel

16

Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan

Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut :

1. Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu

fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi

2. Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-

kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal

yang tidak dapat diterima.

3. Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu.

Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait

dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan

ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.

4. Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan

berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.

5. Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab

kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.

2.1 Partikel Dalam Suatu Kotak Satu-Dimensi

Marilah kita menyelesaikan persamaan Shrödinger bebas waktu ??ψ = Eψ

untuk sebuah partikel dengan massa m yang terkurung pada daerah (0 < x < L) pada

sumbu-x (kotak satu dimensi). Hamiltonian untuk sistem ini dituliskan sebagai

berikut

U(x) adalah energi potensial dari sistem yang dipelajari. Pembatasan terhadap

gerakan partikel dilakukan pada U(x) dengan ketentuan sebagai berikut (Gambar

1.13)

17

(1.43)

Perlakuan ini secara alami akan menuju pada ketidakmungkinan untuk menemukan

partikel di luar kotak. Jika ψ(x) ≠ 0 pada U(x) = +∞, maka kedua sisi pada

persamaan ??ψ = Eψ akan divergen.

Gambar 1.13 Energi potensial U(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu

dimensi.

Karena U(x) = 0 di dalam kotak, persamaan gelombang ??ψ = Eψ akan menjadi

bentuk yang sangat sederhana yaitu

(1.44)

dimana

(1.45)

Solusi umum dari persamaan (1.44) telah diketahui dengan baik dan dituliskan

sebagai berikut

18

(1.46)

Substitusi dari ekspresi ini pada sisi kiri persamaan (1.44) akan menghasilkan suku

di sisi kanan.

Agar dapat mengambil makna atau interpretasi fisis dari ψ(x) dalam

persamaan (1.46) dalam konteks teori kuantum , kita harus memperhatikan sifat

kontinyu dari fungsi gelombang. Dalam kasus ini, ψ(x) harus kontinyu pada kedua

sisi kotak (x = 0 dan x = L). Dengan demikian, kondisi berikut harus diperlukan.

Pada perbatasan kotak (x = 0),

dan pada perbatasan kotak yang lain (x = L),

(1.47)

(1.48)

Karena nilai yang mungkin untuk nilai eigen energi E tidak muncul, kita harus

melakukan klasifikasi atas kasus-kasus yang mungkin sebagai berikut.

1. (E < 0)

Dari persamaan (1.45) κ adalah murni bilangan imajiner, dan kerenanya suku

dalam tanda kurung pada sisi kiri persamaan (1.48) tidak dapat sama dengan

nol. Ini akan mengakibatkan a + b = 0 dan kemudian ψ(x) = aeikx + be

&minusikx = 0 untuk seluruh nilai x (0 < x < L). Jelas, ini tidak konsisten

dengan dengan asumsi kita tentang partikel dalam kotak.

2. (E = 0)

Dari persamaan (1.45) κ = 0 dan ψ(x) = a + b = 0 untuk seluruh x (0 < x < L).

Ini juga tidak sesuai dengan asumsi dari partikel dalam kotak.

3. (E > 0)

Dalam kasus ini κ > o dan karenanya suku dalam kurung pada sisi kiri di

persamaan (1.48) dapat menjadi sama dengan 0. Kondisi ini dapat dinyatakan

sebagai

19

(1.49)

Perlu dicatat bahwa e2ikL = 1 adalah untuk κ yang merupakan bilangan bulat sem

barang. Dengan demikian nilai-nilai untuk κ (κ > 0) yang mungkin harus memenuhi

kondisi berikut

(1.50)

Dengan memasukkan nilai κ ke dalam persamaan (1.45), kita akan mendapatkan

nilai-nilai yang mungkin untuk energi E dengan nilai integer n.

(1.51)

Ini adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada

dalam sebuah kotak satu dimensi. Untuk energi yang bernilai lain selain yang

diberikan pada persamaan (1.51), tidak ada solusinya. Munculnya tingkat-tingkat

energi yang bersifat diskrit adalah sebuah konsekuensi dari kuantisasi energi.

Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan bilangan bulat positif n.

Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan disebut sebagai

bilangan kuantum.

Fungsi gelombang yang berkorespondensi dengan tingkat-tingkat energi Eω, dapat

ditentukan melalui persamaan (1.46), (1.47) dan (1.50).

Di sini, rumus eiθ = cos θ + i sin θ digunakan dan 2ai ditulis sebagai c. Nilai dari c

ditentukan melalui persyaratan normalisasi.

20

Nilai dari integral terakhir adalah L/2 dan c2 ·(L/2) = 1. Dengan demikian maka c =

√2/L, dan kita memperoleh solusi di dalam kotak sebagai berikut.

Tingkat energi En dan fungsi gelombang ψn(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah

kotak satu dimensi dengan panjang L ditunjukkan pada Gambar 1.14.

Tingkat energi terendah dengan bilangan kuantum n = 1 adalah keadaan

dasar dari sebuah partikel dalam kotak. Probabilitas untuk menemukan partikel

yang terbesar adalah pada posisi di tengah kotak dan kemudian menurun jika

bergeser ke arah sisi-sisi kotak. Dalam dunia makroskopik, kita dapat meletakkan

sebuah partikel di mana saja di dalam sebuah kotak. Akan tetapi di dalam dunia

kuantum, hanya probabilitas saja yang dapat ditentukan. Hal sangat aneh adalah

energi tingkat dasar E1 = h 2/8mL2 > 0 adalah lebih besar dari energi potensial yang

ada dalam kotak tersebut U = 0. Dalam sebuah sistem makroskopik, keadaan energi

minimum dari sebuah partikel adalah keadaan keadaan di mana tidak ada gerak dan

energi akan sama dengan energi potensial minimum Umin (dalam kasus ini Umin =

0). Fakta yang menyatakan bahwa E1 − Umin > 0 menunjukkan bahwa sebuah

partikel dapat bergerak dengan energi sebesar E1 − Umin, bahkan pada temperatur

absolut nol di mana tidak ada energi yang dapat dipindahkan dari sistem lagi.

Karenanya energi sebesar E1 − Umin disebut sebagai energi titik-nol (zero-point

energy) dan gerakan pada keadaan dasar disebut sebagai gerakan titik-nol (zero-

point motion). Dalam dunia makroskopik, masa dari materi m, dan panjang dari

kotak L adalah sangat besar dan karenanya energi sebesar E1 = h2/8mL2 dapat

dikatakan sangat kecil. Ini akan menyebabkan bahwa energi titik-nol dan gerakan

titik-nol dalam dunia makroskopik dapat diabaikan. Nilai diskrit yang definit hanya

diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal

ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi

diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau

sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m da n L yang sangat besar.

Sebagaimana dapat dilihat pada fungsi gelombang pada gambar 1.14, terdapat

beberapa posisi di mana tidak ada probabilitas untuk menemukan partikel dalam

21

keadaan tereksitasi, meskipun partikel tersebut bergerak dalam kotak. Posisi

geometris di mana ψ = 0 disebut sebagai sebuah noda. Jumlah dari noda-noda

dalam kotak adalah n-1, yang akan meningkat dengan meningkatnya bilangan

kuantum n. Gelombang dengan noda yang banyak secara umum memiliki energi

yang lebih besar. Sifat ini perlu dicatat dan diingat dan ini akan sangat berguna

untuk memahami sifat dari gelombang elektron yang bergerak dalam materi.

Gambar 1.14 Tingkat-tingkat energi En = h2/8mL2 dan fungsi gelombang ψn(x)

untuk partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

Contoh 1.11. Tunjukkan hubungan berikut akan terjadi di antara fungsi gelombang

ψn(x) dan ψm(x) untuk sebuah partikel dalam sebuah kotak satu dimensi.

δ nm adalah Kronecker delta di mana akan sama dengan 1 jika n = m dan 0 jika n ≠

m.

(Jawaban) :

22

Fungsi gelombang dengan bilangan kuantum n dalam sebuah kotak ( 0 < x < L)

dengan panjang L diberikan oleh persamaan

(1.52)

Untuk posisi di luar kotak ψn(x) = 0 . Marilah kita menyebutkan integral yang

menjadi masalah sebagai Inm.

Rumus penjumlahan sudut untuk fungsi trigonometri

akan menghasilkan

Dengan demikian

Inm = I(−) − I(+)

Disini

Dengan menuliskan θ = πx/L dan dengan menggunakan dθ = (π/L)dx , kita akan

memperoleh

23

Ketika (n ± m) tidak sama dengan 0,

Ketika (n − m = 0),

Karenanya,

1. Untuk n = m, Inm = 1 − 0 = 1 dan

2. Untuk n ≠ m, Inm = 0 − 0 = 0, dengan menggunakan delta Kronecker, kita

akan memperoleh Inm = δnm.

Integral dari contoh ini dengan n = m adalah kondisi normalisasi, dengan

diberikan bahwa fungsi gelombangnya telah dinormalisasi terlebih dahulu. Untuk n

≠ m, integralnya akan sama dengan 0, di mana dua fungsi gelombangnya dikatakan

saling ortogonal dan memenuhi sifat ortogonalitas.

2.2 Partikel Dalam Satu Kotak Tiga-Dimensi

24

BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. De Broglie menyatakan bahwa partikel-partikel seperti electron, proton dan netron

mempunyai sifet dualisme, yakni gelombang dan partikel. Ini adalah dasar dari

asas saling melengkapi yang mengatakan bahwa gambaran lengkap dari suatu

kesatuan fisika seperti foton atau elektron tidak dapat diungkapkan secara

tersendiri dalam perilaku partikel saja atau gelombang saja.

2. Asas ketidakpastian Heisenbergmengatakan bahwa tidak ada satupun percobaan

yang dapat dilakukan sedemikian rupa sehingga memberikan ketidakpastian di

bawah batas-batas. Hubungan-hubungan ini memberikan suatu taksiran

ketidakpastian minimum yang dapat diperoleh dari beraneka percobaan,

pengukuran kedudukan dan momentum sebuah partikel akan memberikan sebaran

nilai selebar Δx dan Δ .

3. Sebuah paket gelombang dapat dipandang sebagai superposisi sejumlah besar

gelombang, yang berinterferensi secara maksimum disekitar partikel, sehingga

menghasilkan sebuah gelombang resultan dengan amplitudo yang lebih besar.

Sebaliknya pada tempat yang jauh dari partikel, mereka berinterferensi secara

minimum, sehingga gelombang resultannya memiliki amplitudo yang lebih kecil

pada tempat dimana partikelnya kita perperkirakan tidak ditemukan.

4. Pengukuran amplitudo gelombang deBrogli (sebuah partikel) pada sembarang titik

berkaitan dengan probabilitas untuk menemukan partikel yang bersangkutan pada

titik tersebut. Analogi dengan fisika klasik, bahwa intensitas sebuah gelombang

berbanding lurus dengan kuatdrat amplitudonya, maka probabilitas ini juga

berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo gelombang deBroglie.

5.

25

26