MAKALAH

TURUNAN

Disusun oleh:

Agusman Bahri

A1C214027

Dosen Pengampu:

Dra. Irma Suryani, M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI

2015

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya

atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah

Turunan ini hingga selesai.

Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu

Dra. Irma Suryani, M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Bahasa Indonesia

yang telah memberi arahan dan bimbingan kepada penulis untuk menyusun

makalah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman yang

telah memberikan doa, motivasi, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat

terselesaikan.

Penulis menyadari makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi

penulisan maupun materi penyampaiannya. Dengan menyadari hal tersebut maka

penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan

selanjutnya. Namun demikian, penulis berharap makalah ini dapat berguna dan

bermanfaat dalam menambah wawasan dan pengetahuan bagi berbagai pihak yang

membutuhkan.

Jambi, Mei 2015

Penulis

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ......................................................................................ii

DAFTAR ISI ......................................................................................................iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ........................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................2

1.3 Tujuan Penulisan .....................................................................................2

1.4 Manfaat Penulisan ...................................................................................2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Defenisi Turunan .....................................................................................3

2.2 Aturan Pencarian Turunan ................................................................................ 5

2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta ...................................................................... 5

2.2.2 Turunan Fungsi Identitas ........................................................................ 5

2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat ......................................................................... 6

2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta ................................................................. 6

2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih .......................................................... 7

2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi ......................................................... 7

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan .............................................................................................10

3.2 Saran ........................................................................................................11

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari

struktur, perubahan, dan ruang secara informal. Dan dapat pula disebut sebagai

ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat

memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui

abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan

masalah. Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari pada saat kita mau

mengatur uang belanja bagi ibu rumah tangga, uang saku anak-anak, mengatur

uang kiriman bagi anak kost, dan lain-lain secara tidak langsung semuanya

merupakan bagian dari Matematika, yang mana hal itu membutuhkan suatu

pemecahan masalah. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat dicari solusinya

dengan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tidak dipungkiri bahwa

Matematika hanya sebatas ilmu yang dipelajari untuk itu. Padahal jika ditelaah

lebih mendalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu:

dalam Fisika, Kimia, Biologi, juga dalam bidang ilmu sosial, dan lain-lain.

Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematika yang

mempelajari tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian tingkat

perubahan (pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva) dan pencarian area

yang terletak di bawah kurva. Dan di dalam Kallkulus terdiri dari beberapa

materi, diantaranya adalah konsep Turunan (Derivatif). Turunan (derivatif)

tidak lain merupakan hasil dari suatu proses pendiferensialan atau diferensiasi

dari suatu fungsi. Jadi, turunan erat sekali hubungannya dengan diferensial.

Jika kita ingin menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu

dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Dan hasil yang

diperoleh dari proses pendiferensilan itu disebut turunan (derivatif). Diferensial

membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan

perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.

2

1.2 Rumusan Masalah

Dari beberapa uraian di atas tulisan ini secara khusus akan membahas

tentang.

1. Apakah yang dimaksud dengan turunan?

2. Notasi apa yang digunakan untuk menyatakan suatu turunan?

3. Bagaimana cara untuk menentukan turunan dari suatu fungsi?

4. Aturan-aturan apa saja yang terdapat dalam diferensiasi?

1.3 Tujuan Penulisan

Dari rumusan masalah di atas penulisan makalah ini mempunyai tujuan

sebagai berikut.

1. Mengetahui defenisi turunan.

2. Mengetahui macam-macam notasi yang dapat digunakan untuk

menyatakan turunan dari suatu fungsi.

3. Mengetahui cara menentukan turunan dari suatu fungsi.

4. Mengetahui Aturan-aturan yang digunakan dalam diferensiasi.

1.4 Manfaat Penulisan

Penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sebagai referensi

untuk mempelajari ilmu matematika tentang diferensial (turunan) yang

merupakan salah satu materi dari suatu cabang ilmu matematika kalkulus. Bagi

pelajar sekolah menengah, materi turunan ini akan dipelajari pada kelas XI,

jadi makalah ini juga dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sebagai

bahan acuan untuk pelajaran diferensial.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Defenisi Turunan

Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat

yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan

fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli

matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu

alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Menurut Stewart (2001: 146) turunan merupakan perkembangan dari

kecepatan dan kemiringan garis singgung, turunan dapat digunakan untuk

memecahkan persoalan yang menyangkut laju perubahan dan hampiran fungsi.

Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi = () pada interval

< < + , sehingga nilai fungsi berubah dari () sampai dengan

( + ).

Perubahan rata-rata nilai fungsi terhadap pada interval

< < + adalah (+)()

(+)=

(+)()

. Jika nilai makin kecil maka

nilai lim0

(+)()

disebut laju perubahan nilai fungsi pada = . Limit

ini disebut turunan atau derivatif fungsi pada = .

lim0

(+)()

disebut turunan fungsi di yang ditulis dengan notasi

(), sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut:

X

Y

+

( + )

() ( + ) ()

= ()

Gambar 2.1 Grafik fungsi ().

4

Menurut Purcell, dkk. (2004: 111) jika limit memang ada, dikatakan

bahwa terdiferensiasikan di . Pencarian turunan disebut diferensiasi; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus

diferensial.

Contoh 2.1 Jika () = 13 6. Tentukanlah nilai (4)

Peneyelesaian

(4) = lim0

((4) + ) (4)

= lim

0

(13((4) + ) 6) (13(4) 6)

= lim0

13(4) + 13 6 13(4) + 6

=

13

= 13

Dalam pencarian nilai turunan suatu fungsi, kita akan selalu melibatkan

penggunaan limit, sebagaimana dijelaskan oleh Purcell, dkk. (2004: 112)

sebagai berikut.

Pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu

hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju

nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasil bagi ini sehingga

dapat mencoret faktor dari pembilang dan penyebut, lalu kita dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.

Turunan dari suatu fungsi () atau terhadap dapat dinyatakan dalam

salah satu simbol berikut:

= () =

=

=

() = = lim

0

Penjelasan

Turunan harus disebutkan secara lengkap turunan terhadap terlebih

jika variabel bebas yang mungkin bukan hanya .

Turunan dapat dianggap sebagai diferensial variabel tak bebas dibagi

diferensial variabel bebasnya.

disebut turunan atau . disebut diferensial dari yang

artinya perubahan kecil mendekati nol dari .

() = lim0

( + ) ()

5

2.2 Aturan Pencarian Turunan

Dalam pencarian nilai turunan dari suatu fungsi, terdapat beberapa aturan

yang telah dikembangkan untuk pencarian turunan tanpa menggunakan

defenisi secara langsung. Rumus-rumus ini sangat menyederhanakan tugas

pendiferensialan.

2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta

Fungsi konstanta () = mempunyai grafik fungsi berupa garis

mendatar = , yang memiliki kemiringan 0, sehingga kita harus mempunyai

() = 0.

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

= lim0

0 = 0

Contoh 2.2.1

7 = 0

25 = 0

27 = 0

2.2.2 Turunan Fungsi Identitas

Jika () = , maka () = 1

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

+

= lim

0

= lim0

1 = 1

Contoh 2.2.2

25 = 25

= 25 1 = 25

27 = 27

= 27 1 = 27

() = 0

() = 1

6

2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat

Jika () = , dengan bilangan bulat positif, maka () = 1

Bukti:

() = 0

( + ) ()

= 0

(+)

= 0

+ 1+

(1)

2 22+ . +1+ 2

= 0

[1+

(1)

2 2 ++2 + 1]

= lim0

[1 + (1)

2 2 + + 2 + 1]

Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai

sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila

mendekati nol. Jadi

Contoh 2.2.3

3 = 331 = 32

28 = 28281 = 327

2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta

Turunan dari konstanta dikali fungsi adalah sama dengan konstanta dikali

turunan fungsi tersebut, hal ini sebagaimana dikatakan oleh Stewart (2001:

168) bahwa

pada waktu fungsi baru dibentuk dari fungsi lama dengan cara

penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian, turunan

dapat dihitung dalam bentuk turunan fungsi yang lama.

Khususnya rumus berikut yang mengatakan bahwa turunan

konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi

tersebut

Jika () = (), maka () = ().

() = 1

7

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

( + ) ()

= lim0

[( + ) ()

] = lim

0[( + ) ()

]

= ()

Untuk contoh turunan kelipatan konstanta dapat dilihat pada contoh 2.2.2

2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih

Jika () = () (), maka () = () (), dengan syarat

dan dapat didiferensialkan (mempunyai turunan).

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

[( + ) ( + )] [() ()]

= lim0

[( + ) ()

( + ) ()

]

= lim0

( + ) ()

lim

0

( + ) ()

= () ()

Contoh 2.2.5

[122 + 3 6] =

122 +

3

6 = 24 + 3

2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi

Turunan Hasil Kali

Jika () = ()(); dan keduanya dapat didiferensialkan maka

() = ()() + ()()

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

( + )( + ) ()()

() =

()

[() + ()] =

() +

()

8

Agar dapat menghitung limit ini, kita akan memisahkan fungsi dan seperti

pada bukti turunan penjumlahan. Kita dapat mencapai pemisahan ini dengan

mengurangkan dan menambahkan suku ( + )() pada pembilang:

() = lim0

( + )( + ) ( + )() + ( + )() ()()

= lim0

[( + )( + ) ()

+ ()

( + ) ()

]

= lim0

( + ) lim0

( + ) ()

+ lim

0() lim

0

( + ) ()

= ()() + ()()

Contoh 2.2.6.1

Tentukanlah turunan dari [(27 + 2)]

misal () = () = 1, dan () = 27 + 2 () = 27

[()()] = ()() + ()()

[(27 + 2)] = (27) + (27 + 2)(1) = 27 + 27 + 2

[(27 + 2)] = 54 + 2

Turunan Hasil Bagi

Jika () =()

(); dan keduanya dapat didiferensialkan maka

() =()()()()

[()]2

Bukti:

() = lim0

( + ) ()

= lim

0

( + )( + )

()()

= lim0

( + )() ( + )(()

( + ) ()

Kita dapat memisahkan dan dalam ungkapan ini dengan cara

mengurangkan dan menambahkan suku ()() pada pembilang:

[()()] = ()

() + ()

()

9

() = lim0

( + )() ()() + ()() ( + )(()

( + ) ()

= lim0

()( + ) ()

()( + ) ()

( + )()

=lim0

()lim0

( + ) () lim0

()lim0

( + ) ()

lim0

( + )lim0

()

=()() ()()

[()]2

Contoh 2.2.6.2

(27 + 2)

misal () = 27 + 2 () = 27 dan () = () = 1

[()

()] =

()() ()()

[()]2

(27 + 2)

=

(27) (27 + 2)(1)

2=

27 27 2

2

(27 + 2)

=

2

2

[()

()] =

()

() ()

()

[()]2

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. Turunan merupakan limit dari perbandingan perubahan nilai terhadap

perubahan nilai dimana perubahan nilai mendekati 0. Turunan dari

suatu fungsi pada dapat dinyatakan dalam bentuk rumus berikut:

() = lim0

( + ) ()

2. Dalam turunan terdapat beberapa macam notasi penulisan untuk

menyatakan turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikut:

= () =

=

=

() = = lim

0

3. Turunan dapat ditentukan dengan cara mengambil limit dari suatu hasil

bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Kita dapat

menyederhanakan hasil bagi ini sedemikian rupa sehingga kita dapat

mencoret faktor pembilang dan penyebut yang mendekati nol, lalu kita

dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.

4. Dalam turunan terdapat beberapa aturan turunan yang merupakan

pengembangan dari penggunaan defenisi umum turunan sehingga tidak

lagi melibatkan penggunaan limit. Beberapa aturan-aturan turunan

diantaranya adalah sebagai berikut:

Turunan Fungsi Konstanta

= 0

Turunan Fungsi Identitias

= 1

Turunan Fungsi Pangkat

= 1

Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta

() =

()

11

Turunan Penjumlahan dan Selisih

[() ()] =

()

()

Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi

Turunan hasil kali

[() ()] =

()() + ()

()

Turunan hasil bagi

[()

()] =

()

() ()

()

[()]2

3.2 Saran

Dalam penulisannya makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi untuk

mempelajari diferensial. Makalah ini berisi tentang pengertian difererensial

dan beberapa aturan turunan. Namun aturan-aturan turunan yang ada di dalam

makalah ini belumlah lengkap, aturan-aturan turunan yang terdapat di dalam

makalah ini hanyalah beberapa aturan dasar yang dirasa penting untuk

dipelajari oleh pembaca. Penulis menyadari bahwa pada makalah ini masih

banyak terdapat kekurangan oleh karena itu penulis sangat mengharapkan

kritik dan saran dari pembaca sehingga penulis dapat memperbaiki kekurangan

pada makalah ini sehingga dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi

penulis sendiri.

DAFTAR PUSTAKA

Degeng, I.W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Diferensial & Aplikasinya.

Jakarta: Graha Ilmu

Purcell, E.J. dkk. 2004. Kalkulus Jilid I, Edisi 8. Jakarta: Erlangga

Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas

XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Stewart, James. 2001. Kalkulus Jilid I, Edisi 4. Jakarta: Erlangga