Upload
john-brooks
View
674
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
MAKĠNE DĠNAMĠĞĠ
MAKĠNE
Kuvvete karşı direnç gösteren cisimlerin bileştirilmesiyle oluşan ve mekanik kuvvetlere belirli
bir hareket ile birlikte iş yapmasını sağlayan sistemlerdir.
Bu tanım sadece mekanik makineleri içerir (ısı makinelerini içermez!).
MEKANĠZMA
Mekanizma, kuvvet ve hareket iletimi için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla
birleştirilmesiyle meydana gelen bir sistemdir.
Makine: belirli bir amaç için üretilmiştir.
Mekanizma: genel amaçlıdır.
KĠNEMATĠK
Hareketi oluşturan nedenler (kuvvetler veya momentler) dikkate alınmadan mekanizmaların
hareketi inceleyen bilim dalıdır. Hareketin geometrisini inceler.
TEMEL KAVRAMLAR
KĠNEMATĠK ELEMAN
Bir rijit cismi diğer bir rijit cisme, bir birlerine göre bağıl hareket yapabilecek şekilde,
bağlamak için kullanılan rijit cismin bu kısmına kinematik eleman denir.
KĠNEMATĠK ÇĠFT (MAFSAL)
İki rijit cisim üzerinde bulunan kinematik elemanların yan yana getirilmesi ile oluşan
bağlantıdır.
MAFSALLARIN SINIFLANDIRILMASI
İki kinematik eleman arasında temas, mekanizmanın tüm hareketi süresince mevcut ise, bu tür
kinematik çiftlere, kapalı kinematik çift denir. Eğer temas bir kuvvetten dolayı ise, bu tür
kinematik çiftler, kuvvet kapalı olarak adlandırılır. Kinematik çiftlerin geometrik
şekillerinden dolayı aralarında temas devamlı sağlanıyor ise, bu tür kinematik çiftler şekil
kapalıdır. Şekil kapalı kinematik çiftlerde bir kinematik eleman diğerini sarar.
Açık kinematik çiftlerde kinematik elemanlar hareketin tümü boyunca temas
etmeyebilirler ve bu temas kontrol edilebilir.
Kapalı kinematik çiftler, ayrıca temas şekillerine göre basit veya yüksek kinematik
çift olarak sınıflandırılabilirler. Basit kinematik çiftlerde kinematik elemanlar bir yüzey
boyunca temas ederler. Bu durumda temas gerilimleri daha düşük olacaktır. Yüksek
kinematik çiftlerde ise temas, geometrik olarak bir nokta veya bir çizgi üzerindedir.
(Kuvvet
Kapalı)
(Şekil Kapalı)
YÜKSEK KİNEMATİK
ÇİFTLER
BASİT KİNEMATİK
ÇİFTLER AÇIK KİNEMATİK ÇİFT
2
SERBESTLĠK DERECESĠ
Serbestlik derecesi, bir cismin konumunu belirlemek için gerekli olan birbirinden bağımsız
parametre sayısıdır.
MADDESEL NOKTA için: Bir maddesel noktanın uzaydaki serbestlik derecesi, üçtür. Bu,
o cismin uzaydaki konumunun en az üç koordinatla (x, y ve z) belirlenebileceğini ifade eder.
Ayrıca, bu cismin üç ‘doğrultuda’ serbestçe hareket edebildiğinin bir ölçütüdür.
Düzlemde ise, maddesel noktanın hareket serbestisi ikidir. Üçüncü doğrultudaki hareketi
kısıtlanmıştır. Çünkü artık üçüncü boyuttaki hareket, cismin düzlemden ayrılmasını gösterir
ki bu düzlemsel değil uzaysal bir hareket olur.
RĠJĠT CĠSĠM için: Maddesel noktadan farklı olarak bir rijit cisim, kendi etrafında dönebilme
imkânına sahiptir. Dolayısıyla cismin konumuyla birlikte yönelimi de önem kazanır. Bu
yönelimi ifade etmek için de konum (x, y ve z) parametreleri yanında dönme miktarları (θx, θy
ve θz) da kullanılır.
Dolayısıyla bir rijit cismin uzaydaki serbestlik derecesi altıdır. Yine bu, cismin altı
doğrultuda serbestçe hareket edebildiğini gösterir.
Düzlemde bir rijit cisim ise, üç serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar iki öteleme (x ve y) ve
bir dönme (θz) şeklindedir. Diğer öteleme (z) ve dönmeler (θx ve θy) ise kısıtlanmıştır.
Yönelimin önemini anlamak için, yatay düzlemde kütleler arası uzunluğu L olan bir halteri
düşünelim. Bu halterin konumunu, yere sabit bir eksen takımına göre, halterin kütle
merkezinin orijine olan uzaklığı (xG ve yG) olarak düşünebiliriz. Fakat bu halterin sadece
x
y z
x
y
x
y z
θx
θy θz
x
y θz
3
konumunu gösterir yönelimini göstermez. Dolayısıyla halterin yönelimini, halter kolunun
pozitif x-ekseninden sağ el kuralına göre açısını (θ) ölçerek gösterebiliriz.
Bu durumda halterin hem konumu hem de yönelimi, üç parametrenin (xG, yG ve θ)
atanmasıyla belirlenmiştir. Bu işlem, birbirinden bağımsız üç parametre atanarak
gerçekleştirilmiştir.
Kısıt (Bağ) Denklemleri:
Halter probleminde aynı işlem, kütlelerin her birine ayrı ayrı parametreler (xA, yA ve xB, yB)
atanarak da gerçekleştirilebilirdi. Bu durumda, bu parametreler bir birinden bağımsız olmazdı.
Çünkü serbestlik derecesi bir birinden bağımsız atanan parametrelerin sayısı kadardır.
Böylece bu parametrelerin birbirlerinden bağımsız olmadıkları ortaya çıkar ki bu bağa, kısıt
denklemi denir.
Şekilden halterin boyunu, kütlelerin konumları cinsinden yazmak mümkündür: 22 )()( ABAB yyxxL
Bu bir kısıt (bağ) denklemidir ki atanan parametrelerin bir birinden bağımsız olmadığını
gösterir. Öyleyse, serbestlik derecesini (F)
mnF
x
y
O
A(xA,yA)
B(xB,yB)
L
Ar
Br
22 )()( ABAB yyxxL
x
y
O
A
B
(xG,yG)
θ L
Gr
4
şeklinde tanımlamak mümkündür. Burada n, atanan koordinat sayısını ve m ise kısıt denklem
sayısını göstermektedir. Bu bilgiler yukarıdaki halter problemine uygulanırsa;
Koordinat sayısı: 4n (xA, yA, xB, yB)
Kısıt denklem sayısı: 1m ( 22 )()( ABAB yyxxL )
Serbestlik derecesi: 314 mnF
Yine aynı sonuç (F = 3) bulunmuş olur.
MAFSALLARIN SERBESTLĠK DERECESĠ
Bir mafsalın (kinematik çiftin) serbestlik derecesi, o mafsalla birleştirilen cisimlerin bir
birlerine göre bağıl konumlarını belirlemek için kullanılması gerekli bağımsız parametre
sayısıdır. Kinematik çiftlerin serbestlik dereceleri ve bu serbestliklerin müsaade ettiği
hareketin yönü ve tipi (dönme veya öteleme), kinematik çiftleri birbirinden ayıran en önemli
özelliktir ve bu özellikler kinematik çiftlerin tiplerini belirlemekte kullanılır. Tablo I ve II’de
bu özelliklere göre sınıflandırılan mafsallar görülmektedir.
En genel uzayın serbestlik derecesi 6 olduğundan ve bir kinematik çiftin bu
serbestliklerden en az birini sınırlaması gerektiğinden, serbestlik derecesi en yüksek mafsalda
5 serbestlik bulunmalıdır (Tablo I). Ötelemeyi sınırlamadan dönme hareketlerini sınırlamak
mümkün değildir ve bu nedenle 5 serbestlik dereceli kinematik çiftte bir öteleme hareketi
sınırlandırılır.
Uzuv-Kinematik Zincir
Bir rijit cisim üzerinde kinematik çift oluşturan en az iki kinematik eleman var ise, bu cisme
uzuv denir. Uzuv ikiden fazla kinematik eleman ihtiva edebilir (fakat iki kinematik
elemandan az olamaz). Uzuvlar iki, üç, dört kinematik elemanlı olarak kinematik eleman
sayısına göre sınıflandırılabilir.
Birbirlerine kinematik çiftlerle bağlanmış uzuvlar bir zincir oluşturur. Bu zincire
Kinematik Zincir denir. Eğer kullanılan kinematik çiftlerin hepsi kapalı kinematik çift ise,
bu zincir "Kapalı kinematik zincir" dir, kinematik çiftlerden birisi açık ise "Açık kinematik
zincir" söz konusudur.
5
6
Bazı mafsal noktalarında ikiden fazla uzuv birbirine bağlı olabilir. Bu durumda o mafsalda
birleşen uzuv sayısının bir eksiği, mafsal derecesi olarak alınır ve o noktada mafsal derecesi
kadar mafsal olduğu kabul edilir (Alttaki şekli inceleyiniz). Not: Mafsal derecesi ile mafsal
serbestlik derecesi iki farklı kavramdır.
7
Kinematik zinciri oluşturan tüm uzuvların hareketi aynı düzlemde veya birbirlerine paralel
düzlemlerde ise, bu kinematik zincirler "Düzlemsel kinematik zincir" dir. Uzuvların
üzerinde bulunan noktaların tümü aynı merkezli küreler üzerinde hareket ediyor ise, "Küresel
kinematik zincir" dir. En genel zincir ise "Uzaysal kinematik zincir" dir.
Kinematik zincirde bulunan bir uzvun sabitleştirilmesi ile elde edilen sistem
mekanizmadır. Bu tanım mekanizma için önceden vermiş olduğumuz (mekanizma, kuvvet
ve hareket için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirildiği sistem) tanımından
farklı gibi görünür ise de, iki tanım da aynıdır.
MEKANĠZMALARIN SERBESTLĠK DERECELERĠ
Bir mekanizmanın serbestlik derecesi, bir mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu
belirlemek için gerekli olan parametre sayısıdır.
Örnek olarak dört döner mafsalla birbirlerine bağlı dört uzuvdan oluşan ve genellikle dört-
çubuk mekanizması olarak adlandırılan mekanizmayı ele alalım.
KAPALI KİNEMATİK
ZİNCİR
MEKANİZMA
YÖNLENDİRİLMİŞ
MEKANİZMA
MAKİNE
Bir uzvun tespit edilmesi
N tane uzvun tahriki
Belirli bir iş için kullanılması
8
İkinci bir örnek olarak yanda gösterilen beş
döner mafsallı beş uzuvlu mekanizmayı ele
alalım. tanımladığımızda A0AC0 üçgeni ile
ilgili gerekli bilgi elde edilmiş olur ise de,
kalan kısım ABCC0 bir dörtgen olup bu
kısmın belirlenebilmesi için bir yeni
parametre ( açısı) gerekecektir. Bu
durumda beş çubuk mekanizmasının tüm
uzuvlarının konumunu belirlemek için
gereken parametre sayısı 2 olduğundan,
serbestlik derecesi 2' dir.
Yukarıda gösterilmiş olan örneklerde belirtilen ve parametrelerinden farklı parametreler
de mekanizma uzuvlarının konumlarını belirlemek için kullanılabilir. Buna karşın
kullanılması gereken parametre sayısı belirlidir. Bir başka husus ise, genel olarak gerekli olan
parametre sayısının uzuvların boyutlarına bağlı olmamasıdır. Örneğin a2 boyutu 5 birim
yerine 4 birim olsa, dört çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi yine 1, beş çubuk
mekanizmasının serbestlik derecesi ise yine 2 olur.
Sonuç: Mekanizmaların serbestlik derecesi uzuv sayısına, mafsal sayısına ve mafsal
serbestlik derecesine bağlıdır, uzuv boyutuna bağlı değildir.
açısı değeri verildiğinde
her bir uzuv üzerinde iki
noktanın konumu {A0B0
(1 uzvu), A0A (2 uzvu),
AB (3 uzvu) ve BB0
(4 uzvu)} bulunabildiğine
göre, bu mekanizmada
bulunan tüm uzuvların
konumunu belirlemek için
sadece bir parametre
gerekmektedir. Öyle ise,
dört-çubuk
mekanizmasının
serbestlik derecesi 1' dir.
İkinci bir örnek olarak yanda gösterilen
beş döner mafsallı beş uzuvlu
mekanizmayı ele alalım.
tanımladığımızda A0AC0 üçgeni ile ilgili
gerekli bilgi elde edilmiş olur ise de, kalan
kısım ABCC0 bir dörtgen olup bu kısmın
belirlenebilmesi için bir yeni parametre
( açısı) gerekecektir. Bu durumda beş
çubuk mekanizmasının tüm uzuvlarının
konumunu belirlemek için gereken
parametre sayısı 2 olduğundan, serbestlik
derecesi 2' dir.
9
Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsalların
serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz.
Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım:
λ = Uzay Serbestlik Derecesi (Düzlemsel mekanizmalar için λ = 3; uzay için λ = 6)
ℓ = Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil)
j = Mekanizmada mafsal sayısı
fi = i mafsalının serbestlik derecesi
F = Mekanizma serbestlik derecesi
ℓ sayıda uzvun λ serbestlik dereceli uzayda herhangi bir kinematik çift ile birbirlerine
bağlanmadan durduklarını düşünelim. Bu durumda sabit uzuv hariç, diğer (ℓ -1) uzvun her biri
için λ sayıda parametre tanımlamamız gerekir (sabit uzva referans koordinat sistemi bağlı
olduğundan sabit uzvun konumu sabittir). Öyle ise hiç bir mafsal olmadığında uzuvların
konumu:
λ (ℓ -1) (1.1 a)
parametre ile belirlenecektir.
Şimdi mafsalları bir örnekle göz önüne alalım. Şekilde düzlemde hareket eden dört uzuv
gösterilmektedir. Bu uzuvlar arasında hiç bir bağlantı yok iken ve bir uzvunda gövde
olduğunu düşünülürse uzuvların konumunu belirlemek için 3*(4-1)=9 parametre gerekir. Bir
mafsal iki ötelenme serbestliğini kısıtlayarak sadece bir dönme serbestliği sağlar. Eğer 2 nolu
uzuv gövdeye (1 nolu uzuv) bir mafsal ile bağlanırsa 2 serbestlik kısıtlanacağından gövde
hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 9-2=7 parametre gerekli olur.
1
4 3
2
4
3
2
1
10
Eğer 3 uzvuda 2 uzvuna bir mafsal ile bağlanırsa bu mafsalda 2 serbestliği kısıtlayacağı için
gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 7-2=5 parametre gerekli olur.
Son olarak 4 nolu uzuv 3 nolu uzva ve gövdeye birer mafsal ile bağlanırsa bu iki mafsal
2*2=4 serbestliği kısıtlayacağı için gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için
5-4=1 parametre gerekli olur. Bu şekilde sadece döner mafsallar ile birbirlerine bağlanmış
dört uzuvlu bir mekanizmanın serbestliği bir olmuş olur.
Uzay serbestlik derecesi λ olan bir uzayda fi serbestliği olan bir mafsal, (λ - fi ) kadar hareket
serbestisini kısıtlar ve cisimlerin serbest olduğu duruma nazaran bu kadar parametreyi
tanımlamamız gerekmez. Eğer her bir mafsalın engellediği hareket serbestliği diğer mafsaldan
farklı ise, mekanizmada bulunan j mafsal ile uzuv hareketleri üzerine getirilecek olan toplam
sınırlama:
(1.1 b)
olacaktır. Bu durumda mekanizmada bulunan uzuvların konumlarını belirlemek için gereken
parametre sayısı, hiç bir mafsal olmadığında gereken parametre sayısından mafsalların
sınırladığı serbestliklerin çıkarılması ile elde edilir. Öyle ise:
F = Serbest uzuvlar için gerekli parametre sayısı (1.1a.) - Mafsalların getirdiği sınırlamalar (1.1b)
4
3
1
2
3
1
2
4
11
Veya
Son elde ettiğimiz bu denkleme "Mekanizma serbestlik derecesi denklemi" diyeceğiz. Serbestlik derecesi denklemi, birçok mekanizma için geçerli ise de bu denkleme
uymayan mekanizmalar da bulunmaktadır. Bunun nedeni bu denklemin elde edilişi sırasında
yapılmış olan varsayımlardır. Bu varsayımların en önemlisi mafsalların getirmiş olduğu
hareket sınırlamalarının birbirlerinden bağımsız olmasıdır. Ancak uzuv boyutlarının belirli
değerler alması durumunda bu varsayım geçerli olmayabilir ve mekanizma serbestlik derecesi
denklemi bazı mekanizmalar için doğru sonuçlar vermeyebilir. Bu özel durumları görmeden
önce denklemin geçerli olduğu mekanizmaların incelenmesinde yarar bulunmaktadır.
Mekanizma Örnekleri
MEKANİZMA ŞEKİL Serbestlik Derecesi Hesaplaması
Krank-Biyel
Mekanizması
Dört-Çubuk
Mekanizması
12
Planet dişli-
Kamalı kol
Vargel
Mekanizması
Uzaysal Dört-
Çubuk
Ayarlı Tahrik
Mekanizması
13
Kepçe
Mekanizması
Bir Mekanizmanın serbestlik derecesini belirlerken
Uzuv sayısını
Mafsal sayısını
Mafsal tiplerini
belirlememiz gerekecektir.
Uzuv Sayısını belirlerken bir uzvun birden fazla parça kullanılarak imal edilebileceğini
hatırlayalım. Eğer bir veya birkaç cisim arasında bağıl hareket yok ise, bu cisim kümesi tek
bir uzuvdur.
Mafsal sayısı ve tipini belirlerken temas sayısı ve şekli önemli değildir. Önemli olan husus
mafsal ile birleştirilen kinematik çiftler arasında bulunan bağıl harekettir.