MalMalá Skála,á Skála, 2007 2007

Alternativní přístup vAlternativní přístup v QCD QCD aanalnalýze strukturní funkce ýze strukturní funkce

fotonufotonu

Jiří Hejbal

Fyzikální ústav AVČR, Praha

Cíle prezentaceCíle prezentace

• AnalAnalýza strukturní funkceýza strukturní funkce fotonu fotonu F F22

• Evoluční rovnice pro partony ve fotonuEvoluční rovnice pro partony ve fotonu

• ZávěrZávěr

• Koncept struktury fotonu v QCDKoncept struktury fotonu v QCD

• Konvenční přístupKonvenční přístup

• Alternativní přístupAlternativní přístup

• Numerické výsledkyNumerické výsledky

Koncept struktury Koncept struktury fotonufotonu

Koncept struktury fotonu je založen na principech kvantové teorie Koncept struktury fotonu je založen na principech kvantové teorie pole. V rámci tohoto popisu lze foton vnímat jako částicipole. V rámci tohoto popisu lze foton vnímat jako částici fluktuující v rozličných (virtuálních) stavech částic např. leptonů,fluktuující v rozličných (virtuálních) stavech částic např. leptonů, kvarků, Wkvarků, W±± bosonů, hadronů apod. bosonů, hadronů apod.

Studium struktury reálných fotonů lze provádět na základě informacíStudium struktury reálných fotonů lze provádět na základě informacío srážkách eo srážkách e++ e e-- nebo e nebo e±± p. Ve všech těchto případech vzniká z p. Ve všech těchto případech vzniká z elektronového nebo pozitronového paprsku proud „skoro“ reálnýchelektronového nebo pozitronového paprsku proud „skoro“ reálnýchfotonů. V jistém přiblížení lze s takovými fotony zacházet jako s fotonů. V jistém přiblížení lze s takovými fotony zacházet jako s reálnými.reálnými.

Koncept struktury Koncept struktury fotonufotonu

Diagram popisující srážku e±e-

Struktura fotonu v QCDStruktura fotonu v QCD

Při popisu struktury fotonu vycházíme z formalismu Při popisu struktury fotonu vycházíme z formalismu distibučních distibučních funkcífunkcí partonů v hadronech v rámci QCD partonů v hadronech v rámci QCD

Fyzikální význam distribuční funkce:Fyzikální význam distribuční funkce:Buď Buď ffii(x(x, Q, Q22)) distribu distribuční funkce příslušná ční funkce příslušná ii-tému druhu partonu. -tému druhu partonu.

Potom Potom ffii(x(x, Q, Q22)dx)dx p představuje počet ředstavuje počet partonů partonů ii-t-tého druhu nesoucí ého druhu nesoucí

frakci celkové hybnosti hadronu mezi frakci celkové hybnosti hadronu mezi xx a a x+dx a x+dx a mající virtualitu mající virtualitu nejvýšenejvýše Q Q22..

EvoluEvolučníční rovnicerovnice

kdekde

NSNSqNSNS qPk

Md

Mxdq

2ln

),(

GPPkMd

MxdqGqqq

2ln

),(

GPPkMd

MxdGGGGqG

2ln

),(

fn

iii MxqMxqMx

1

,),(),(),(

fn

iiiiNS MxqMxqeeMxq

1

222 ,),(),(),(

2224 6,6 eneen ffNS

Systém nehomogenních evolučních rovnicSystém nehomogenních evolučních rovnic::

)(

2

)()(

2

)(),( )2(

2

)1( xCM

xCM

MxC GSS

G G

Evoluční rovniceEvoluční rovnice

)(

2

)()(

2

)()(

2),( )2(

2)1()0( xk

Mxk

MxkMxk

qqq

SSq

)(

2

)()(

2

)(

2),( )2(

2)1( xk

Mxk

MMxk

G

SG

SG

)(

2

)()(

2

)()1(),( )2(

2

)1( xCM

xCM

xMxC qSS

q q

……aa

Strukturní funkce fotonuStrukturní funkce fotonu

)(2

)(),()(),()(),(),(1 2222222

2 xCexCQxGexCQxexCQxqQxFx NSGqqNS

Non-singletNon-singlet SingletSinglet GluonGluon FotonFoton

příspěvekpříspěvek

)(

2

)()(

2

)(),(),( )2(

2

)1()0( xCM

xCM

MxCMxC SS

)(

2

)()(

2

)(),( )1(

2)0( xP

MxP

MMxP ij

SSij ij

Větvící funkceVětvící funkce

Koeficientní funkceKoeficientní funkce

)(2

1

)(

2)(

)(1

)(

4),(

)0(

0

)0(

020

2

22

nP

nk

Q

Q

QQnq

S

S

SPL

Řešení evolučních rovnicŘešení evolučních rovnic

Pointlike Pointlike řešenířešení

)(2

1

)(

2)(

)(1

)(

4),(

)0(

0

)0(

020

2

22

nP

nk

Q

Q

QQnq

S

S

SPL

U

QS

2

)(1

2

)()(

2)(

2)(

11 )0()0(

0

1)1()0(

)(/2 )0(0 nUknknk

nPL nP

LOLONN

Pointlike Pointlike řešenířešení NLONLO

ULQ

ULQ nPnP

SS)()0()0/2()()0()0/2(

2

)(

2

)( 20

2

)()/2(

20

22

)0(0

)(

)(),(

nP

S

SHAD Q

QQnq

),( 20Qnqhad

HadronHadronovéové řešenířešení LOLONN

),(),(),( 222 QxqQxqQxq HADPL

)()()()()( yzxyBzAdydzxBxA

)()()()(1

0

1 nBnAxBxAxn

Konvoluce

přejde v součin

NSNSqNSNS qPk

Md

Mxdq

2ln

),(

GPPkMd

MxdqGqqq

2ln

),(

GPPkMd

MxdGGGGqG

2ln

),(

)()(ln

),(2

nqnPkMd

MndqNSNSqNS

NS

GPPkMd

MndqGqqq

2ln

),(

GPPkMd

MndGGGGqG

2ln

),(

1

0

1 )()( xAxdxnA n

Mellinova Mellinova transformace: transformace:

)0(

2

C

),(1 2

,2 QxFx LO

)0(

2

C

),( 2Qx2e

)()(2

)( )1(2

xCxGQ

GS

)()(2

)( )1(2

xCxQ

qS

)()(2

)( )1(2

xCxqQ

qNSS

),( 2QxqNS ),( 2QxqNS

),( 2Qx

KonvenčníKonvenční přístuppřístup

),(1 2

2 QxFx

)()(2

)( )1(2

xCxqQ

qNSS

)()(2

)( )1(2

xCxQ

qS

)()(2

)( )1(2

xCxGQ

GS

)1(2

22

)(

C

QS

Leading orderLeading order

Next to leading orderNext to leading order

),(1 2

,2 QxFx NLO

2e

2e

),(1 2

,2 QxFx NNLO

Next-to-next to leading orderNext-to-next to leading order

LOF

x ,2

1

)1(2

22

)(

C

QS

KonvenčníKonvenční přístuppřístup

ShrnutíShrnutí: : konvenční přístup je založen na následujících předpokladechkonvenční přístup je založen na následujících předpokladech::

• souvisí s stejně jako v hadronovém případě

• jsou rešení evolučních rovnic obsahující pouze a

NapříkladNapříklad čistěčistě QED QED veličinaveličina C C(0)(0)

jeje součástísoučástí řádu až řádu až NLO!NLO!

LOF ,2

),( 2Qxq

),( 2QxqLO)0(

qk )0(qP

• To vede k míchání členů řáduTo vede k míchání členů řádu a a v rozvoji poruchové QCD v rozvoji poruchové QCD

),(),(1 22

,2 QxqQxFx LOLO

S

)0()1(2,2 22

),(1

CCqqQxF

x qS

NLO

• NavícNavíc, , konzistencekonzistence s požadavkem nezávislosti s požadavkem nezávislosti FF22 na faktorizační škále vyžaduje abyna faktorizační škále vyžaduje aby: :

)/(),( 2S

PLLO OQxq

PřipomeňmePřipomeňme,, že pokud že pokud SS 00 při pevnémpři pevném M M00,, tak: tak:

20

2)0(

0 ln)(2

),,(M

MxkMMxq NS

PLNS

!!

),(),(1 22,

,2 QxqQxFx

PLPLLO NS

)()(

2

)( )1(2

xCxqQ

qPLSNS

)0(

2

C

AlternativAlternativní formulacení formulace

Alternativní přístup je založen naAlternativní přístup je založen na::

• ssystematicystematickémkém odděleníoddělení čistěčistě QCD e QCD efektůfektů od efektůod efektů mající původ v mající původ v QED,QED, které vede k jednoznačné definicikteré vede k jednoznačné definici konceptůkonceptů “leading” a “next-to-leading” “leading” a “next-to-leading”

• faktufaktu, , že fotonovéže fotonové distribuční funkce jsou úměrnédistribuční funkce jsou úměrné

Mužeme tedy konstatovat, že vMužeme tedy konstatovat, že v LO LO sese alternativ alternativníní přístuppřístup lišíliší od konvenčníhood konvenčního::

• přítomnostípřítomností fotonových koeficientních funkcífotonových koeficientních funkcí C C(0)(0) a a CC

(1)(1)

• přítomnostípřítomností konvolucekonvoluce kvarkové koeficientní funkcekvarkové koeficientní funkce C Cqq(1)(1) ss q qPLPL(x,Q(x,Q22))

• faktem, žefaktem, že k kqq(1)(1) je součastíje součastí evoluční rovniceevoluční rovnice propro q qPLPL(x,Q(x,Q22))

)()(2

)( )1(2

xCxqQ

qPLS

)0(

2

C

)1(2

2

)(

2

CQS

)1(2

2

)(

2

CQS

),( 22 Qxqe PL

• , , vstupující skrzevstupující skrze konvoluci skonvoluci s , , má kvantitativně stejný tvarmá kvantitativně stejný tvar jakojako )1(

qC )1(qC

• V oblastiV oblasti x>0.85 x>0.85 dominuje negativní příspěvek dominuje negativní příspěvek . . Ten je navíc posílenTen je navíc posílen negativnímnegativním příspěvkempříspěvkem v oblasti blízkov oblasti blízko x=1 x=1)1(

C )1(C

)0(C )0(C

• a a přinášejí numericky důležitý kladný příspěvek přinášejí numericky důležitý kladný příspěvek až do až do x = 0.85x = 0.85)1(C )1(C

Altenativní přístupAltenativní přístup

Pointlike Pointlike strukturní funkcestrukturní funkce PLF ,2 PLF ,

2

• Členy Členy ~ ~ představují důležitý představují důležitý kladný příspěvekkladný příspěvek propro x>0.65 x>0.65

)0(C )0(C

qq

)1(qk )1(qk

)1(qk )1(qk

Numerické rozdílyNumerické rozdíly konvenčního a alternativníhokonvenčního a alternativního přístupupřístupu ve srovnáníve srovnání s chybami experimentálních dats chybami experimentálních dat

SrovnáníSrovnání

2F2FGlobální analýzaGlobální analýza struturní funkce fotonustruturní funkce fotonu

• využívávyužívá FFNS FFNSCJKLCJKL model (3 a model (3 aktivní kvarkyktivní kvarky, , =313 MeV)=313 MeV)

• 182 182 experimentálních datexperimentálních dat

• dosaženodosaženo 2 2 = 321/18= 321/1822

),,,(ˆ

4),( 2

02

20

Qxff

Qxfhad

AlternativAlternativně ně 321 0.899 1.236 3.103 321 0.899 1.236 3.103

Konvenčně Konvenčně 357 1.726 0.465 0.127357 1.726 0.465 0.127

PParametrizacearametrizace::

Global analysis Global analysis

Global analysis Global analysis

ShrnutShrnutíí

• Byl navržen alternativní způsob QCD analýzyByl navržen alternativní způsob QCD analýzy

• Byl prokázán významný numerický rozdíl mezi oběma přístupy analýzyByl prokázán významný numerický rozdíl mezi oběma přístupy analýzy

• Byla provedena globální analýza strukturní funkce v LOByla provedena globální analýza strukturní funkce v LO2F2F

2F2F

• Dalším krokem je provést globalní analýzu v NLO. Ta vyžaduje Dalším krokem je provést globalní analýzu v NLO. Ta vyžaduje zahrnutí členů vyšších řádů, které jsou v současnosti znamé, anebo ze zahrnutí členů vyšších řádů, které jsou v současnosti znamé, anebo ze známých veličin zjistitelnéznámých veličin zjistitelné