Upload
saleterzic
View
194
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERZITET U NOVOM SADU TEHNI^KI FAKULTET “MIHAJLO PUPIN” ZREWANIN
Du{ko Leti}
Mala zbirka zadataka iz operacionih istra`ivawa
(neautorizovana predavawa)
Zrewanin, 2004.
Dr Du{ko Leti}, vanr. prof. Tehni~kog fakulteta “Mihajlo Pupin” u Zrewaninu. _______________________________________________________________________________________________________________________________________
MALA ZBIRKA ZADATAKA IZ OPERACIONIH ISTRA@IVAWA
Izdava~: Tehni~ki fakultet “Mihajlo Pupin” , Zrewanin, \. \akovi}a bb. Tel. 023/550-515, 550-519, Faks. 023/550-520. e-mail: [email protected] Glavni i odgovorni urednik: Dr Mom~ilo Bjelica, red. prof, dekan TF “M. Pupin” u Zrewaninu.
Sadr`aj Str. 1. Grafi~ka metoda linearnog programirawa ................................................1 2. Linearno programirawe Simpleks ...........................................................11 3. Dualni model linearnog programirawa ...................................................18 4. Transporni problem ...................................................................................22 5. Mre`no planirawe .....................................................................................36 6. Upravqawe zalihama ..................................................................................46 Literatura .........................................................................................................52
Predgovor
Mala zbirka zadataka iz operacionih istra`ivawa je pisana prema nastavnom planu i programu Tehni~kog fakulteta “Mihajlo Pupin” u Zrewaninu, za sve profile u kojima je zastupqen predmet Operaciona istra`ivawa. U woj su prezentovana odabrana poglavqa sa zadacima i slo`enijim primerima re{enim ru~nim postupcima. Ve}i deo zbirke kao i cela kwiga istih autora Operaciona istra`ivawa, dati se u elektronskoj formi, na kompakt disku. Autori se zahvaquju recenzentima na korisnim sugestijama pri redakciji ovog pomo}nog uxbenika.
09. 10. 2007. Autori
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
1
GM Н аћи мин имал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:
)(min)( 21 XFxxXF →+= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,8014,02,0 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,10028,014,0 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,12525,025,0 21 ≥⋅+⋅ xx (4) ,601,04,0 21 ≥⋅+⋅ xx ,01 ≥x ,02 ≥x
кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е и из р ачу н ати н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Гр афички пр е дставити поступак е кстр е мизације . Решење: а) Фу н кције огр ан иче њ а се могу пр е дставити и у е квивал е н тн им облицима:
(1) ,174000400
21 ≥+xx
(2) ,17250075000
21 ≥+xx
(3) ,1500500
21 ≥+xx
(4) ,1600150
21 ≥+xx
или као (1) ,4000710 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,5000147 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,50021 ≥+ xx (4) .6004 21 ≥+⋅ xx
Оптимал н е вр е дн ости н ал аз е се у пр е се цима је дн ачин а (као гр ан ице обл асти допустивих р е ш е њ а) (1) и (3) (р е ш е њ е *X ), и је дн ачин а (2) и (3), н а осн ову кога сл е ди р е ш е њ е **X .
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
2
⇒∩ )3()1(
≈
=
==
33,33367,166
310003500
*2
*1*
xx
XX C ,
⇒∩ )3()2(
≈
=
==
27,21471,285
7150072000
**2
**1**
xx
XX D .
За ове вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
5007
15007
2000)( *2
*1
* =+=+= xxXF или 5003
10003
500)( **2
**1
** =+=+= xxXF .
Д акл е : 500)()()()(min ****** ==== XFXFXFXF .
Остал а р е ш е њ а ***X могу се пр е дставити лин е ар н ом комбин ацијом ве ктор а *X и **X :
⋅−+
⋅= **
2
**1
*2
*1*** )1(
xx
xx
X αα , где је пр е тпостављ е н скал ар 10 ≤≤ α .
б) Гр афик р е ш е њ а лин е ар н ог пр огр амир ањ а пр е дстављ е н је н а сл. 1.
Сл. 1
x1
x2
3 5 6-2
1
3
4
4
-1 0 21
(1)
8
2
7
-2
-1
F(X)= 0
x103
6
8
(2)
(3)
7
(4)
minxF(X)= 500
5 Oblast D
x103
C
B
A
E
D
XC =X*
XD =X**
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
3
GM Н аћи максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:
)(max22)( 21 XFxxXF →⋅+⋅= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,82 21 ≤⋅+ xx (2) ,121 ≤+− xx (3) ,02 21 ≥⋅+− xx .
(4) ,32 2 ≥⋅ x (5) ,0, 21 ≥xx
кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е и колико из н оси н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума? б) Д а ли је р е ш е њ е оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума 21 84)( xxXF ⋅+⋅= чију максимал н у вр е дн ост тр е ба н аћи? в) Којој н е је дн ачин и тр е ба пр оме н ити сме р , па да буде ∞=)(max XF (у одн осу н а поче тн и моде л ). Решење: а) Посл е постављ ањ а свих огр ан иче њ а ф ор мир ан о је з аје дн ичко подр учје тј. обл аст допустивих р е ш е њ а D (сл. 1). Сл. 1
(4)
x1
x2
1 3 5 6 7 8-1-2-3
-2
2
3
6
-1
5
2 40
4
1
9
(1)
(3)
(2)
D
A B
C
D
2 .x1 +2 .x
2 =0
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
4
Оптимал н о р е ш е њ е постићи ће се у тачки која пр ипада з аје дн ичком подр учју , а чије је н ор мал н о р астојањ е од пр аве 0)( =XF максимал н о. За пр аву 022)( 21 =⋅+⋅= xxXF која пр е дстављ а ф у н кцију кр ите р ијума, пр и пр ол аску кр оз коор дин атн и поче так, н ајве ће н ор мал н о р астојањ е од пр аве има тачка C са коор дин атама C(4, 2).
Д акл е оптимал н о р е ш е њ е чин е вр е дн ости:
=
==
24
*2
*1*
xx
XX C .
Максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси: 1222)( *
2*1
* =⋅+⋅= xxXF Сл. 2
б) Ре ш е њ е је оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума 21 84)( xxXF ⋅+⋅= , је р обе збе ђује њ е н у максимал н у вр е дн ост. М е ђутим, у том сл учају , постојаће бе скон ачн их оптимал н их р е ш е њ а, з ато ш то се гр афик ф у н кције кр ите р ијума покл апа са пр авом која одговар а огр ан иче њ у (1). Тада се могу два р аз личита базичн о могућа р е ш е њ а у е кстр е мн им тачкама: C и D пр огл асити оптимал н им (сл. 2). Пр во оптимал н о базичн о р е ш е њ е пр е у зима коор дин ате тачке C(4, 2), а др уго тачке D(2, 3). Оба оптимал н а р е ш е њ а обе збе ђују истове тн у максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума, која из н оси 32.
(4)
x1
x2
1 3 5 6 7 8-1-2-3
-2
2
3
6
-1
5
2 40
4
1
9 (1)
(3)
(2)
D
A B
C
D
4 .x1 +8 .x
2 =32
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
5
в) Ако се пр вој н е је дн ачин и ,82 21 ≤⋅+ xx пр оме н и сме р у супр отн и, тако да буде ,82 21 ≥⋅+ xx он да се р ан ије з атвор е н о з аје дн ичко подр учје пр е твар а у отвор е н о (сл. 3).
Сл. 3
У том сл учају н е постоји кон ачн о оптимал н о р е ш е њ е , па је з а +∞=+∞= 21 , xx максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума +∞=)(XF .
(4)
x1
x2
3 5 6 7 8-1-2
-2
2
3
6
-1
5
2 40
4
1
9
(1)
(3)
(2)
D
C
D
1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
6
GM Н аћи максимал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:
)(max42)( 21 XFxxXF →⋅+⋅= у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) ,421 ≥+ xx (2) ,03 21 ≤+⋅− xx (3) ,22 21 ≥⋅+− xx .
(4) ,12 ≥x 01 ≥x ,
кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е и колико из н оси н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума? б) Д а ли је р е ш е њ е оптимал н о и з а ф у н кцију кр ите р ијума
21 3)( xxXF ⋅+−= чију вр е дн ост тр е ба н аћи? в) Пр ош ир ити моде л са огр ан иче њ е м 821 ≤+ xx и пр он аћи оптимал н о р е ш е њ е . Решење: а) Оптимал н о р е ш е њ е чин е поме н љ иве чије су вр е дн ости +∞=+∞= 21 , xx , а максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је +∞=)(XF .
Сл. 1
A
B
(2)
(1)(4)
x1
x2
3 5 6-1-2
-2
2
3
6
5
2 4
4
0
1
1
2 .x1 +4 .x
2 =0
(3)
D
-1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
7
б) Н аве де н о оптимал н о р е ш е њ е обе збе ђује максимал н у вр е дн ост вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума у бе скон ачн ости +∞=⋅+−= 21 3)( xxXF , ш то се може виде ти н а сл. 2. Уколико су кое фиције н ти у з н е поз н ату у ф у н кцији кр ите р ијума р аз личитог сме р а, гр афик ф у н кције кр ите р ијума ће , пр и пр ол аску кр оз коор дин атн и поче так, се ћи пр ви и тр е ћи квадр ан т. Тада гр афик ф у н кције кр ите р ијума тр е ба у даљ авати од коор дин атн ог поче тка дуж он е којој одговар а позитиван кое фиције н т (у з дату н е поз н ату у ф у н кцији кр ите р ијума) ако тр е ба пр он аћи максимал н у , одн осн о дуж осе којој одговар а н е гативан кое фиције н т ако се тр ажи мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума.
Сл. 2 в) Ако се моде л пр ош ир и пе тим огр ан иче њ е м ,821 ≤+ xx тада се добија з атвор е н о з аје дн ичко подр учје (сл. 3). Оптимал н о р е ш е њ е се постиже у е кстр е мн ој тачки D(2,6), ш то з н ачи да он о из н оси
=
=
62
*2
*1*
xx
X ,
док је максимал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума под а) 28)( * =XF , под б) 16)( * =XF .
A
B
(2)
(1)(4)
x1
x2
3 5 6-2
2
6
5
2 4
4
0
1
1
(3)
-1
F(X)= -x1+3.x2= 0
D
3
-1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
8
Сл. 3 GM Н аћи мин имал н у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума:
)(min1212)( 21 XFxxXF →⋅+⋅=
у з сл е де ћа огр ан иче њ а: (1) 12021,03,0 21 ≥⋅+⋅ xx (2) 15042,021,0 21 ≥⋅+⋅ xx (3) 5,187375,0375,0 21 ≥⋅+⋅ xx (4) ,9015,06,0 21 ≥⋅+⋅ xx ,01 ≥x ,02 ≥x
кор иш ће њ е м гр афичке ме тоде лин е ар н ог пр огр амир ањ а. а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е и из р ачу н ати н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Гр афички пр е дставити поступак е кстр е мизације .
A
B
(2)
(1)(4)
x1
x2
3 5 6-2
-2
2
6
5
2 4
4
0
1
1
(3)
-1
3
7 8
8
D
C
(5)
2 .x1 +4 .x
2 =28
-x1+3.x 2=167
D
-1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
9
Решење: а) Фу н кције огр ан иче њ а се могу пр е дставити и у е квивал е н тн им облицима:
(1) ,174000400
21 ≥+xx
(2) ,17250075000
21 ≥+xx
(3) ,1500500
21 ≥+xx
(4) ,1600150
21 ≥+xx
или као (1) ,4000710 21 ≥⋅+⋅ xx (2) ,5000147 21 ≥⋅+⋅ xx (3) ,50021 ≥+ xx (4) .6004 21 ≥+⋅ xx
Оптимал н е вр е дн ости н ал аз е се у пр е се цима је дн ачин а (као гр ан ице обл асти допустивих р е ш е њ а) (1) и (3) (р е ш е њ е *X ) и је дн ачин а (2) и (3), н а осн ову кога сл е ди р е ш е њ е **X .
⇒∩ )3()1(
≈
=
==
33,33367,166
310003500
*2
*1*
xx
XX C ,
⇒∩ )3()2(
≈
=
==
27,21471,285
7150072000
**2
**1**
xx
XX D .
За ове вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
60007
1500127
200012)( *2
*1
* =⋅+⋅=+= xxXF или
60003
1000123
5001244)( **2
**1
** =⋅+⋅=⋅+⋅= xxXF ,
дакл е : 6000)()()()(min ****** ==== XFXFXFXF .
Остал а р е ш е њ а ***X могу се пр е дставити лин е ар н ом комбин ацијом ве ктор а *X и **X :
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
10
⋅−+
⋅= **
2
**1
*2
*1*** )1(
xx
xx
X αα , где је пр е тпостављ е н скал ар 10 ≤≤ α .
б) Гр афик р е ш е њ а лин е ар н ог пр огр амир ањ а пр е дстављ е н је н а сл. 1.
Сл. 1
Гр афи к функци ја ли неар но г
пр о гр ами р ања
LP Пр име н ом Си мплекс ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а који се састоји од: ф у н кције тр ош кова: )(max987)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅=
и сл е де ћих (1) 2600382
15321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx
огр ан иче њ а: (2) 2500763 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx
(3) 27008295 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .
а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих.
x1
x2
3 5 6-2
1
3
4
4
-1 0 21
(1)
8
2
7
-2
-1
F(X)= 0
x103
6
8
(2)
(3)
7
(4)
minxF(X)= 6000
5 Oblast D
x103
C
B
A
E
D
XC =X*
XD =X**
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
11
Решење:
p Поставка Си мплекс моде л а
p Пр ва ите р ација
p Д р у га ите р ација
C 7
Xb0XbCb Xb1
8
Xb2
9
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
θ = X0 / Xb3
0 X4 2600 7,5 8 3 1 0 0 866,67
0 X5 2500 3 6 7 0 1 0 357,14
0 X6 2700 5 4,5 8 0 0 1 337,5
Fj - cj 0 -7 -8 -9 0 0 0 -
X3
X6
maxST-0
C 7
Xb0XbCb Xb1
8
Xb2
9
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
θ = X0 / Xb2
0 X4 1587,5 5,63 6,31 0 1 0 -0,38 251,49
0 X5 137,5 -1,38 2,06 0 0 1 -0,88 66,67
9 X3 337,5 0,63 0,56 1 0 0 0,13 600
Fj - cj 3037,5 -1,38 -2,94 0 0 0 1,13 -
X2
X5
maxST-1
C 7
Xb0XbCb Xb1
8
Xb2
9
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
θ = X0 / Xb1
0 X4 1166,67 9,83 0 0 1 -3,06 2,3 118,64
8 X2 66,67 -0,67 1 0 0 0,48 -0,42 -100
9 X3 300 1 0 1 0 -0,27 0,36 300
Fj - cj 3233,33 -3,33 0 0 0 1,42 -0,12 -
X1
X4
maxST-2
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
12
p Тр е ћа ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :
]0;0;0;36,181;76,145;64,118[],,,,,[ *6
*5
*4
*3
*2
*1
* == xxxxxxX б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
81,3628)()(max * == XFXF /н ј/.
Н апом ена: Н е гативн е θ вр е дн ости у кон тр ол н ој кол он и н е у зимати у обзир , ве ћ само ве ће вр е дн ости од н у л е . LP Пр име н ом Си мплекс ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а који се састоји од: ф у н кције тр ош кова: )(max243)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅= и сл е де ћих (1) 15005 321 ≤+⋅+ xxx огр ан иче њ а: (2) 3000832 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx (3) 2000236 321 ≤⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .
C 7
Xb0XbCb Xb1
8
Xb2
9
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
7 X1 118,64 1 0 0 0,1 -0,31 0,23
8 X2 145,76 0 1 0 0,07 0,28 -0,27
9 X3 181,36 0 0 1 -0,1 0,04 0,13
Fj - cj 3628,81 0 0 0 0,34 0,39 0,66
maxST-3
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
13
а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих. Решење:
p Поставка Си мплекс моде л а
p Пр ва ите р ација
p Д р у га ите р ација
C 3
Xb0XbCb Xb1
4
Xb2
2
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb2
0 X4 1500 1 5 1 1 0 0 300
0 X5 3000 2 3 8 0 1 0 1000
0 X6 2000 6 3 2 0 0 1 666,67
Fj - cj 0 -3 -4 -2 0 0 0 -
X2
X4
maxST-0
C 3
Xb0XbCb Xb1
4
Xb2
2
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb1
4 X2 300 0,2 1 0,2 0,2 0 0 1500
0 X5 2100 1,4 0 7,4 -0,6 1 0 1500
0 X6 1100 5,4 0 1,4 -0,6 0 1 203,7
Fj - cj 1200 -2,2 0 -1,2 0,8 0 0 -
X3
X6
maxST-1
C 3
Xb0XbCb Xb1
4
Xb2
2
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb3
4 X2 259,26 0 1 0,148 0,222 0 -0,037 1750
0 X5 1814,81 0 0 7,037 -0,444 1 -0,259 257,89
3 X1 203,70 1 0 0,259 -0,111 0 0,185 785,71
Fj - cj 1648,15 0 0 -0,63 0,556 0 0,407 -
X3
X5
maxST-2
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
14
p Тр е ћа ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :
]0;0;0;89,257;05,221;84,136[],,,,,[ *
6*5
*4
*3
*2
*1
* == xxxxxxX /ком/. б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси
53,1810)()(max * == XFXF /н ј/.
LP Пр е ду з е ће пр оизводи тр и пр оизвода н а тр и маш ин е . Опе р ацион а вр е ме н а /мин /ком/ з а р е ализацију поје дин их пр оизвода, капаците ти маш ин а /мин / и је дин ичн е це н е добити /н ј/ком/, дате су у сл е де ћој табе ли.
C 3
Xb0XbCb Xb1
4
Xb2
2
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
4 X2 221,05 0 1 0 0,232 -0,021 -0,032
2 X3 257,89 0 0 1 -0,063 0,142 -0,037
3 X1 136,84 1 0 0 -0,095 -0,037 0,195
Fj - cj 1810,53 0 0 0 0,516 0,089 0,384
maxST-3
Proizvodi
MasineKapaciteti
masina /min/
Kapacitetimasina /min/P1 P2 P3
M1 2 4 14800
4800
M2 4 3 25600
5600
M3 5 1 32400
2400
Jedinicnadobit /nj/kom/
Jedinicnadobit /nj/kom/ 16
1620
2016
16 --
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
15
Одр е дити максимал н у добит која се оствар у је пр одајом пр оизвода као и н ајбољ и (оптимал н и) одн ос асор тиман /количин а. Решење:
p Поставка Си мплекс моде л а Фу н кција тр ош кова: )(max)(0162016)( 654321 XFxxxxxxXF →++⋅+⋅+⋅+⋅= (1) 480042 4321 ≤++⋅+⋅ xxxx систе м огр ан иче њ а: (2) 5600234 5321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx (3) 240035 6321 ≤+⋅++⋅ xxxx )6,1;0( =≥ jx j .
p Пр ва ите р ација
C 16
Xb0XbCb Xb1
20
Xb2
16
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb2
0 X4 4800 2 4 1 1 0 0 1200
0 X5 5600 4 3 2 0 1 0 1866,67
0 X6 2400 5 1 3 0 0 1 2400
Fj - cj 0 -16 -20 -16 0 0 0 -
X2
X4
maxST-0
C 16
Xb0XbCb Xb1
20
Xb2
16
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb3
20 X2 1200 0,5 1 0,25 0,25 0 0 4800
0 X5 2000 2,5 0 1,25 -0,75 1 0 1600
0 X6 1200 4,5 0 2,75 -0,25 0 1 436,36
Fj - cj 24000 -6 0 -11 5 0 0 -
X3
X6
maxST-1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
16
p Д р у га ите р ација
p Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :
=
=
055,1454
036,43691,1090
0
*6
*5
*4
*3
*2
*1
*
xxxxxx
X /ком/.
p Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
28800)()(max * == XFXF /н ј/.
LP Пр е ду з е ће пр оизводи тр и пр оизвода н а тр и маш ин е . Опе р ацион а вр е ме н а /мин /ком/ з а р е ализацију поје дин их пр оизвода, капаците ти маш ин а /мин / и је дин ичн е це н е пр одаје /н ј/ком/, дате су у сл е де ћој табе ли.
C 16
Xb0XbCb Xb1
20
Xb2
16
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
20 X2 1090,91 0,091 1 0 0,273 0 -0,091
0 X5 1454,55 0,455 0 0 -0,636 1 -0,455
16 X3 436,36 1,636 0 1 -0,091 0 0,364
Fj - cj 28800 12 0 0 4 0 4
maxST-2
Proizvodi
MasineKapaciteti
masina /min/
Kapacitetimasina /min/P1 P2 P3
M1 10 4 51500
1500
M2 7 2 4450
450
M3 4 4 2610
610
Jedinicnadobit /nj/kom/
Jedinicnadobit /nj/kom/ 20
2015
1515
15 --
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
17
Одр е дити максимал н у добит која се оствар у је пр одајом пр оизвода као и н ајбољ и (оптимал н и) одн ос асор тиман / количин а. Решење:
p Поставка Си мплекс моде л а (1) 15005410 4321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , са систе мом огр ан иче њ а (2) 450427 5321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , (3) 610244 6321 ≤+⋅+⋅+⋅ xxxx , )6,1;0( =≥ jx j , и ф у н кцијом тр ош кова )(max)(0151520)( 654321 XFxxxxxxXF →++⋅+⋅+⋅+⋅=
p Пр ва ите р ација
C 20
Xb0XbCb Xb1
15
Xb2
15
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb1
0 X4 1500 10 4 5 1 0 0 150
0 X5 450 7 2 4 0 1 0 64,29
0 X6 610 4 4 2 0 0 1 152,5
Fj - cj 0 -20 -15 -15 0 0 0 -
X1
X5
maxST-0
C 20
Xb0XbCb Xb1
15
Xb2
15
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb2
0 X4 857,14 0 1,14 -0,714 1 -1,43 0 750
20 X1 64,28 1 0,29 0,57 0 0,143 0 225
0 X6 352,86 0 2,86 -0,286 0 -0,571 1 123,5
Fj - cj 1285,7 0 -9,29 -3,57 0 2,86 0 -
X2
X6
maxST-1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
18
p Д р у га ите р ација
p Тр е ћа ите р ација
p Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је
]0;0;745;33,48;33,128;0[],,,,,[ *6
*5
*4
*3
*2
*1
* == xxxxxxX /ком/.
p Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси
2650)()(max * == XFXF /н ј/.
DM Пр име н ом Си мплекс ду ал н е ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а з а: ф у н кцију кр ите р ијума: )(min605070)( 321 XFxxxXF →⋅+⋅+⋅= и скуп (1) 6500755 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx огр ан иче њ а: (2) 70004615 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx
(3) 50006425
321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx
(4) 2500542 321 ≥⋅+⋅+⋅ xxx ( ; , )x jj ≥ =0 1 3 .
C 20
Xb0XbCb Xb1
15
Xb2
15
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
0 X4 745 1 0 0 1 -1 -0,5
15 X3 48,33 1,67 0 1 0 0,33 -0,167
15 X2 128,33 0,167 1 0 0 -0,167 0,33
Fj - cj 2650 7,5 0 0 0 2,5 2,5
maxST-3
C 20
Xb0XbCb Xb1
15
Xb2
15
Xb3
0
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
X0 / Xb3
0 X4 716 0 0 -0,6 1 -1,2 -0,4 -1193,3
20 X1 29 1 0 +0,6 0 0,2 -0,1 48,33
15 X2 123,5 0 1 -0,1 0 -0,2 0,35 -1235
Fj - cj 2432,5 0 0 -4,5 0 1 3,25 -
X3
X5
maxST-2
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
19
а) Одр е дити оптимал н о р е ш е њ е з а н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих. Решење:
p Поставка ду ал н ог Си мплекс моде л а
са ду ал н ом ф у н кцијом огр ан иче њ а (1) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 7025,7155 4321 yyyy 705,7155 54321 =++⋅+⋅+⋅ yyyyy (2) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 504465 4321 yyyy 504465 64321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ yyyyy (3) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 605647 4321 yyyy 605647 74321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ yyyyy
и ду ал н ом ф у н кцијом кр ите р ијума )7,1;0( =≥ iyi
)(max)(02500500070006500)( 7654321 YyyyyyyyY Φ→++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=Φ .
p Пр ва ите р ација
BT 6500
Yb0YbBbT Yb1
7000
Yb2
5000
Yb3
2500
Yb4
0
Yb5
0
Yb6
Yb0 / Yb2
0 y5 70 5 15 2,5 2 1 0 4,667
0 y6 50 5 6 4 4 0 1 8,333
0 y7 60 7 4 6 5 0 0 15
Φi - BiT 0 -6500 -7000 -5000 -2500 0 0 -
Y2
Y5
maxST-0
0
Yb7
0
0
1
0
BT 6500
Yb0YbBbT Yb1
7000
Yb2
5000
Yb3
2500
Yb4
0
Yb5
0
Yb6
Yb0 / Yb1
7000 y2 4,667 0,333 1 0,167 0,133 0,067 0 14
0 y6 22 3 0 3 3,2 -0,4 1 7,333
0 y7 41,333 5,667 0 5,333 4,467 -0,267 0 7,294
Φi - BiT 32666,6 -4166,7 0 -3833,3 -1566,6 466,67 0 -
Y1
Y7
maxST-1
0
Yb7
0
0
1
0
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
20
p Д р у га ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥−Φ T
ii B з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је :
[ ] [ ]6,171724,88003,73606,270*7
*6
*5
*4
*3
*2
*1
* == xxxxxxxX
одн осн о:
[ ] [ ]294,7118,0000235,20*7
*6
*5
*4
*3
*2
*1
* == yyyyyyyY . б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума )(YΦ из н оси:
)()( ** YXF Φ= или
8,63058)(max)(min =Φ= YXF . DM Пр име н ом Си мплекс ду ал н е ме тоде р е ш ити моде л лин е ар н ог пр огр амир ањ а з а: ф у н кцију кр ите р ијума: )(min432)( 4321 YyyyyY Φ→+⋅+⋅+⋅=Φ и скуп (1) 400358 4321 ≥+⋅+⋅+⋅ yyyy огр ан иче њ а: (2) 250562 4321 ≥⋅+⋅++⋅ yyyy (3) 2202345 4321 ≥⋅+⋅+⋅+⋅ yyyy
(4) 2505436 4321 ≥⋅+⋅+⋅+⋅ yyyy )4,1;0( =≥ iyi . а) Како гл аси оптимал н о р е ш е њ е з а н ајмањ у вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума. б) Одр е дити вр е дн ости ве ш тачких пр оме н љ ивих.
BT 6500
Yb0YbBbT Yb1
7000
Yb2
5000
Yb3
2500
Yb4
0
Yb5
0
Yb6
7000 y2 2,235 0 1 -0,147 -0,129 0,088 0
0 y6 0,118 0 0 0,176 0,835 -0,259 1
6500 y7 7,294 1 0 0,941 0,788 -0,047 0
Φi - BiT 63058,8 0 0 88,235 1717,6 270,59 0
maxST-2
0
Yb7
-0,059
-0,529
0,176
735,29
x1* x2
* x3*x4
* x5* x6
* x7*
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
21
Решење:
p Поставка ду ал н ог Си мплекс моде л а
са ду ал н ом ф у н кцијом огр ан иче њ а: (1) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 26528 4321 xxxx 26528 54321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ xxxxx (2) ⇒≤⋅+⋅++⋅ 3345 4321 xxxx 3345 64321 =+⋅+⋅++⋅ xxxxx (3) ⇒≤⋅+⋅+⋅+⋅ 44363 4321 xxxx 44363 74321 =+⋅+⋅+⋅+⋅ xxxxx (4) ⇒≤⋅+⋅+⋅+ 1525 4321 xxxx 1525 84321 =+⋅+⋅+⋅+ xxxxx
и ду ал н ом ф у н кцијом кр ите р ијума: )8,1;0( =≥ jx j
)(max)(0250220250400)( 87654321 XFxxxxxxxxXF →+++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
p Пр ва ите р ација
C 400
Xb0XbCb Xb1
250
Xb2
220
Xb3
250
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb1
0 X5 2 8 2 5 6 1 0 1/4
0 X6 3 5 1 4 3 0 1 3/5
0 X7 4 3 6 3 4 0 0 4/3
Fj - cj 0 -400 -250 -220 -250 0 0 -
X1
X5
maxST-0
0
Xb7
0
Xb8
0 0
0 0
1 0
0 0
0 X8 1 1 5 2 5 0 0 10 1
C 400
Xb0XbCb Xb1
250
Xb2
220
Xb3
250
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
Xb0 / Xb2
400 X1 1/4 1 1/4 5/8 3/4 1/8 0 1
0 X6 7/4 0 -1/4 7/8 -3/4 -5/8 1 -7
0 X7 13/4 0 21/4 9/8 7/4 -3/8 0 3/7
Fj - cj 100 0 -150 30 50 50 0 -
X2
X8
maxST-1
0
Xb7
0
Xb8
0 0
0 0
1 0
0 0
0 X8 3/4 0 19/4 11/8 17/4 -1/8 0 3/190 1
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
22
p Д р у га ите р ација а) Оптимал н о р е ш е њ е )0( ≥− jj cF з а н ајве ћу вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума је
]0,1946,
1934,0,0,0,
193,
194[],,,,,,,[ *
8*7
*6
*5
*4
*3
*2
*1
* == xxxxxxxxX ,
одн осн о ]19
3500,19
1395,0,0,19600,0,0,
19875[][ *
8*7
*6
*5
*4
*3
*2
*1
* == yyyyyyyyY .
б) Н ајве ћа вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси
)()( ** XFY =Φ , тј.
68,12319
2350)(max)(min ≈==Φ XFY .
TP Че тир и пр е ду з е ћа P jj ( , )= 1 4 з а потр е бе пр оизводњ е тр ош е је дн ор одн е ме те р ијал е из
че тир и скл адиш та )4,1( =iS i пол упр оизвода. Капаците ти скл адиш та /ком/, дн е вн е потр е бе пр оизводњ е /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у н ар е дн ој табе ли.
y5* y6
* y7* y1
* y2* y3
*
C 400
Xb0XbCb Xb1
250
Xb2
220
Xb3
250
Xb4
0
Xb5
0
Xb6
400 X1 4/19 1 0 21/38 10/19 5/38 0
0 X6 34/19 0 0 18/19 -10/19 -12/19 1
0 X7 46/19 0 0 -15/38 -56/19 -9/38 0
Fj - cj 2350/19 0 0 1395/19 3500/19 875/19 0
maxST-2
0
Xb7
0
Xb8
0 -1/19
0 1/19
1 -21/19
0 600/19
250 X2 3/19 0 1 11/38 17/19 -1/38 0 0 4/19
y4*y8
*
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
23
а) Одр е дити оптимал н и тр ан спор т пол упр оизвода из скл адиш та у пр е ду з е ћа да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење:
1) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а.
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u3=0.
c11=u1+v1=3 a u1=3-v1=3-2=1 c33=u3+v3=2 a v3=2 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-(-4)=5 c43=u4+v3=1 a u4=1-v3=1-2=-1 c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-10=-4 c44=u4+v4=9 a v4=9-u4=9-(-1)=10. c31=u3+v1=2 a v1=2
P4 (260)P4 (260)
150 150
S4 (320)S4 (320)
Preduzeca Skladista
S1 (270)5
P1 (450)
2703
P2 (150)
2
P3 (230)
6S2 (300)
10
1501 36
S3 (200)
3
7 20
2
8
210 2101
1802
Si
Pj
5
110 1109
P4 (260)P4 (260)
150 150
S4 (320)S4 (320)
Preduzeca Skladista
S1 (270)5
P1 (450)
2703
P2 (150)
2
P3 (230)
6S2 (300)
10
1501 36
S3 (200)
3
7 20
2
8
210 2101
1802
Si
Pj
+θ
−θ
+θ
min TP-0
−θ
+θ5
110 1109 −θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
24
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=2-1-5=-4 d32=c32-u3-v2=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=10-1-2=7 d34=c34-u3-v4=5-0-10=-5 d14=c14-u1-v4=5-1-10=-6 a x14=θ =20 d41=c41-u4-v1=3-(-1)-2=2 d21=c21-u2-v1=6-(-4)-2=8 d42=c42-u4-v2=8-(-1)-5=4. d23=c23-u2-v3=3-(-4)-2=5
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=3460 /н ј/
2) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u1=0.
c11=u1+v1=3 a v1=3 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-3=-1 c14=u1+v4=5 a v4=5 c43=u4+v3=1 a v3=1-u4=1-4=-3 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-1=0 c44=u4+v4=9 a u4=9-v4=9-5=4. c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-5=1
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=2-0-0= 2 d33=c33-u3-v3=2-(-1)-(-3)=6 d13=c13-u1-v3=10-0-(-3)=13 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-5=1 d21=c21-u2-v1=6-1-3=2 d41=c41-u4-v1=3-4-3=-4 a x41=θ =90 d23=c23-u2-v3=3-1-(-3)=5 d42=c42-u4-v2=8-4-0=4. d32=c32-u3-v2=7-(-1)-0=8
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=3340 /ком/.
P4 (260)P4 (260)
20 20
150 150
S4 (320)S4 (320)
Preduzeca Skladista
S1 (270)5
P1 (450)
2503
P2 (150)
2
P3 (230)
6S2 (300)
10
1501 36
S3 (200)
3
7 2
8
230 2301
2002
Si
Pj
+θ
min TP-1
−θ
+θ
5
90 909 −θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
25
3) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c11=u1+v1=3 a u1=3-v1=3-3=0 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-3=-1 c14=u1+v4=5 a v4=5-u1=5-0=5 c41=u4+v1=3 a v1=3-u4=3-0=3 c22=u2+v2=1 a v2=1-u2=1-1=0 c43=u4+v3=1 a v3=1-u4=1-0=1. c24=u2+v4=6 a u2=6-v4=6-5=1
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c21-u1-v2=2-0-0=2 d33=c33-u3-v3=2-(-1)-1=2 d13=c13-u1-v3=10-0-1=9 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-5=1 d21=c21-u2-v1=6-1-3=2 d42=c42-u4-v2=8-0-0=8 d23=c23-u2-v3=3-1-1=1 d44=c44-u4-v4=9-0-5=4. d32=c32-u3-v2=7-(-1)-0=8
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(2))=2980 /н ј/.
Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.
=
=
0230090000200
1500150011000160
*44
*43
*42
*41
*34
*33
*32
*31
*24
*23
*22
*21
*14
*13
*12
*11
*
xxxxxxxxxxxxxxxx
X /ком/.
Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
2980)()()(min )2(* === XFXFXF /н ј/. Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе :
48029803460)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.
P4 (260)P4 (260)
110 110
150 150
S4 (320)S4 (320)
Preduzeca Skladista
S1 (270)5
P1 (450)
1603
P2 (150)
2
P3 (230)
6S2 (300)
10
1501 36
S3 (200)
90 903
7 2
8
230 2301
2002
Si
Pj
min TP-2
5
9
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
26
TP Че тир и пр е ду з е ћа P jj ( , )= 1 4 з а потр е бе пр оизводњ е тр ош е је дн ор одн е мате р ијал е из
че тир и скл адиш та )4,1( =iS i пол упр оизвода. Капаците ти скл адиш та /ком/, дн е вн е потр е бе пр оизводњ е /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у н ар е дн ој табе ли.
а) Одр е дити оптимал н и тр ан спор т пол упр оизвода из скл адиш та у пр е ду з е ћа да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење: 1) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c11=u1+v1=1 a v1=1-u1=1-(-7)=8 c42=u4+v2=9 a v2=9 c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-9=-7 c43=u4+v3=1 a v3=1 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-9=-9 c44=u4+v4=7 a v4=7. c32=u3+v2=4 a u3=4-v2=4-9=-5
P4 (200)P4 (200)
S4 (880)S4 (880)
Preduzeca Skladista
S1 (560)8
P1 (340)
3401
P2 (1100)
2202
P3 (380)
5S2 (230)
6
2300 35
S3 (350)
6
3504 7
300 3009
380 3801
10 2
200 2007
min TP-0
P4 (200)P4 (200)
S4 (880)S4 (880)
Preduzeca Skladista
S1 (560)8
P1 (340)
3401
P2 (1100)
2202
P3 (380)
5S2 (230)
6
2300 35
S3 (350)
6
3504 7
300 3009
380 3801
10 2
200 2007
+θ −θ
+θ−θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
27
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d13=c13-u1-v3=6-(-7)-1=12 d31=c31-u3-v1=10-(-5)-8=7 d14=c14-u1-v4=8-(-7)-7=8 d33=c33-u3-v3=7-(-5)-1=11 d21=c21-u2-v1=5-(-9)-8=6 d34=c34-u3-v4=2-(-5)-7=0 d23=c23-u2-v3=3-(-9)-1=11 d41=c41-u4-v1=6-0-8=-2 a x41=θ =300 . d24=c24-u2-v4=5-(-9)-7=7
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=6660 /н ј/. 2) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c11=u1+v1=1 a u1=1-v1=1-6=-5 c41=u4+v1=6 a v1=6 c12=u1+v2=2 a v2=2-u1=2-(-5)=7 c43=u4+v3=1 a v3=1 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-7=-7 c44=u4+v4=7 a v4=7. c32=u3+v2=4 a u3=4-v2=4-7=-3
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d13=c13-u1-v3=6-(-5)-1=10 d31=c31-u3-v1=10-(-3)-6=7 d14=c14-u1-v4=8-(-5)-7=6 d33=c33-u3-v3=7-(-3)-1=9 d21=c21-u2-v1=5-(-7)-6=6 d34=c34-u3-v4=2-(-3)-7=-2 a x34=θ =40 d23=c23-u2-v3=3-(-7)-1=9 d42=c42-u4-v2=9-0-7=2. d24=c24-u2-v4=5-(-7)-7=5
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума, у овом сл учају , из н оси: F(X(1))=6060 /н ј/.
min TP-1
P4 (200)P4 (200)
S4 (880)S4 (880)
Preduzeca Skladista
S1 (560)8
P1 (340)
401
P2 (1100)
5202
P3 (380)
5S2 (230)
6
2300 35
S3 (350)
300 3006
3504 7
9
380 3801
10 2
200 2007
+θ
+θ
+θ−θ
−θ
−θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
28
3) Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-9=-7 c41=u4+v1=6 a v1=6 c22=u2+v2=0 a u2=0-v2=0-9=-9 c43=u4+v3=1 a v3=1 c32=u3+v2=4 a v2=4-u3=4-(-5)=9 c44=u4+v4=7 a v4=7. c34=u3+v4=2 a u3=2-v4=2-7=-5
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d11=c11-u1-v1=1-(-7)-6=2 d24=c24-u2-v4=5-(-9)-7=7 d13=c13-u1-v3=6-(-7)-1=12 d31=c31-u3-v1=10-(-5)-6=9 d14=c14-u1-v4=8-(-7)-7=8 d33=c33-u3-v3=7-(-5)-1=11 d21=c21-u2-v1=5-(-9)-6=8 d42=c42-u4-v2=9-0-9=0. d23=c23-u2-v3=3-(-9)-1=11
Фу н кција кр ите р ијума из н оси F(X(2))=5980 /н ј/.
Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.
=
=
16038003404003100002300005600
*44
*43
*42
*41
*34
*33
*32
*31
*24
*23
*22
*21
*14
*13
*12
*11
*
xxxxxxxxxxxxxxxx
X /ком/.
Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума, у том сл учају , из н оси:
5980)()()(min )2(* === XFXFXF /н ј/. б) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 68059806660)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.
min TP-2
P4 (200)P4 (200)
40 40
S4 (880)S4 (880)
Preduzeca Skladista
S1 (560)8
P1 (340)
1
P2 (1100)
5602
P3 (380)
5S2 (230)
6
2300 35
S3 (350)
340 3406
3104 7
9
380 3801
10 2
160 1607
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
29
TP Н а осн ову поче тн ог базичн ог допустивог р е ш е њ а тр ан спор та р обе из )3,1( =iFi
ф абр ика у )5,1( =jPj пр одавн ица одр е дити: а) Оптимал н о р е ш е њ е тр ан спор та пр оизвода из ф абр ика у пр одавн ице . б) Н ајбољ и тр ан спор т пр е дставити путе м матр ице р е ш е њ а. ц) Утвр дити смањ е њ е у купн их тр ош кова тр ан спор та кр ајњ е г у одн осу н а поче тн о р е ш е њ е тр ан спор та.
Капаците ти ф абр ика /ком/, дн е вн е потр е бе пр одавн ица /ком/, ш е ма тр ан спор та и је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ дати су у пр е тходн ој табе ли. Решење: а) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u2=0.
c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-7=-3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-1)=2 c21=u2+v1=7 a v1=7 c34=u3+v4=3 a u3=3-v4=3-4=-1 c23=u2+v3=3 a v3=3 c35=u3+v5=2 a v5=2-u3=2-(-1)=3. c24=u2+v4=4 a v4=4
P4 (60)P4 (60)
30 30
F4 (120)F4 (120)
Prodavnice
Fabrike
F1 (20)7
P1 (70)
204
P2 (40)
2
P3 (30)
4F2 (110)
5
8 30
3 50
7
2
40 401 4
30 303
P5 (50)P5 (50)
6
5
50 502
P4 (60)P4 (60)
30 30
F4 (120)F4 (120)
Prodavnice
Fabrike
F1 (20)7
P1 (70)
204
P2 (40)
2
P3 (30)
4F2 (110)
5
8 30
3 50
7
2
40 401 4
30 303
P5 (50)P5 (50)
6
5
50 502
min TP-0
−θ +θ
+θ −θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
30
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj. d12=c12-u1-v2=2-(-3)-2=3 d22=c22-u2-v2=8-0-2=6 d13=c13-u1-v3=5-(-3)-3=5 d25=c25-u2-v5=5-0-3=2 d14=c14-u1-v4=7-(-3)-4=6 d31=c31-u3-v1=2-(-1)-7=-4 a x31=θ =30 d15=c15-u1-v5=6-(-3)-3=6 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-3=2.
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=3+5-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=870 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u2=0.
c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-7=-3 c31=u3+v1=2 a u3=2-v1=2-7=-5 c21=u2+v1=7 a v1=7 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-5)=6 c23=u2+v3=3 a v3=3 c35=u3+v5=2 a v5=2-u3=2-(-5)=7. c24=u2+v4=4 a v4=4
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=2-(-3)-6=-1 d22=c22-u2-v2=8-0-6=2 d13=c13-u1-v3=5-(-3)-3=5 d25=c25-u2-v5=5-0-7=-2 a x25=θ =20 d14=c14-u1-v4=7-(-3)-4=6 d33=c33-u3-v3=4-(-5)-3=6 d15=c15-u1-v5=6-(-3)-7=2 d34=c34-u3-v4=3-(-5)-4=4.
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=3+5-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=750 /н ј/.
P4 (60)P4 (60)
60 60
F4 (120)F4 (120)
Prodavnice
Fabrike
F1 (20)7
P1 (70)
204
P2 (40)
2
P3 (30)
4F2 (110)
5
8 30
3 20
7
30 302
40 401 4 3
P5 (50)P5 (50)
6
5
50 502
min TP-1
−θ+θ
+θ −θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
31
Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u2=0.
c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-5=-1 c31=u3+v1=2 a v1=2-u3=2-(-3)=5 c23=u2+v3=3 a v3=3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-3)=4 c24=u2+v4=3 a v4=4 c35=u3+v5=2 a u3=2-v5=2-5=-3. c25=u2+v5=5 a v5=5
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=2-(-1)-4=-1 a x12=θ =20 d21=c21-u2-v1=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=5-(-1)-3=3 d22=c22-u2-v2=8-0-4=4 d14=c14-u1-v4=7-(-1)-4=4 d33=c33-u3-v3=4-(-3)-3=4 d15=c15-u1-v5=6-(-1)-5=2 d34=c34-u3-v4=3-(-3)-4=2.
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=3+5-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=710 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е тр е ће ите р ације
P4 (60)P4 (60)
60 60
F4 (120)F4 (120)
Prodavnice
Fabrike
F1 (20)7
P1 (70)
204
P2 (40)
2
P3 (30)
4F2 (110)
5
8 30
37
50 502
40 401 4 3
P5 (50)P5 (50)
20 20
6
5
30 302
min TP-2
−θ+θ
+θ −θ
P4 (60)P4 (60)
60 60
F4 (120)F4 (120)
Prodavnice
Fabrike
F1 (20)7
P1 (70)
4
P2 (40)
202
P3 (30)
4F2 (110)
5
8 30
37
70 702
20 201 4 3
P5 (50)P5 (50)
20 20
6
5
30 302
min TP-3
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
32
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u2=0.
c12=u1+v2=2 a u1=2-v2=2-4=-2 c31=u3+v1=2 a v1=2-u3=2-(-3)=5 c23=u2+v3=3 a v3=3 c32=u3+v2=1 a v2=1-u3=1-(-3)=4 c24=u2+v4=4 a v4=4 c35=u3+v5=2 a u3=2-v5=2-5=-3. c25=u2+v5=5 a v5=5
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d11=c11-u1-v1=4-(-2)-5=1 d21=c21-u2-v1=7-0-5=2 d13=c13-u1-v3=5-(-2)-3=4 d22=c22-u2-v2=8-0-4=4 d14=c14-u1-v4=7-(-2)-4=5 d33=c33-u3-v3=4-(-3)-3=4 d15=c15-u1-v5=6-(-2)-5=3 d34=c34-u3-v4=3-(-3)-4=2.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(2))=690 /н ј/.
б) Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.
=
=3000207020603000000200
*35
*34
*33
*32
*31
*25
*24
*23
*22
*21
*15
*14
*13
*12
*11
*
xxxxxxxxxxxxxxx
X /ком/.
Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
690)()()(min )2(** ==⋅== ∑ XFxcXFXFij
ijij /н ј/.
ц) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 180690870)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/. TP Че тир и компан ије )4,1( =jK j сн абде вају се је дн ор одн им мате р ијал ом из че тир и
скл адиш та )4,1( =iM i . Ре су р сн и капаците ти компан ија и скл адиш та /ком/, је дин ичн и тр ош кови тр ан спор товањ а cij /н ј/ком/ и ш е ма тр ан спор та и су дати у н ар е дн ој табе ли.
K4 (140)K4 (140)
40 40
M4 (200)M4 (200)
Kompanije
Materijali
M1 (260)15
K1 (90)
4
K2 (310)
12
K3 (220)
8M2 (170)
2203
1706 27
M3 (130)
90 906
1303 4
10 104 10
5 5
100 1001
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
33
а) Одр е дити н ајбољ у р асподе л у р е су р са из скл адиш та у компан ије да би се мин имизир али у купн и тр ош кови тр ан спор товањ а. б) Тр ан спор тн и пр обл е м р е ш ити у одн осу н а тр е н у тн о стањ е тр ан спор та. Кван тификовати е ф е кте пр е дл оже н их изме н а тр ан спор та. Решење: а) Ш е ма тр ан спор та н а осн ову поче тн ог р е ш е њ а
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c13=u1+v3=3 a v3=3-u1=3-14=-11 c41=u4+v1=6 a v1=6 c14=u1+v4=15 a u1=15-v4=15-1=14 c42=u4+v2=4 a v2=4 c22=u2+v2=6 a u2=6-v2=6-4=2 c44=u4+v4=1 a v4=1. c32=u3+v2=3 a u3=3-v2=3-4=-1
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d11=c11-u1-v1=4-14-6=-16 a x11=θ =40 d31=c31-u3-v1=5-(-1)-6=0 d12=c12-u1-v2=12-14-4=-6 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-(-11)=16 d21=c21-u2-v1=7-2-6=-1 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-1=5 d23=c23-u2-v3=2-2-(-11)=11 d43=c43-u4-v3=10-0-(-11)=21. d24=c24-u2-v4=8-2-1=5
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(0))=3350 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е пр ве ите р ације
min TP-0
K4 (140)K4 (140)
40 40
M4 (200)M4 (200)
Kompanije
Materijali
M1 (260)15
K1 (90)
4
K2 (310)
12
K3 (220)
8M2 (170)
2203
1706 27
M3 (130)
90 906
1303 4
10 104 10
5 5
100 1001
+θ−θ
+θ−θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
34
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је u4=0.
c11=u1+v1=4 a u1=4-v1=4-6=-2 c41=u4+v1=6 a v1=6 c13=u1+v3=3 a v3=3-u1=3-(-2)=5 c42=u4+v2=4 a v2=4 c22=u2+v2=6 a u2=6-v2=6-4=2 c44=u4+v4=1 a v4=1. c32=u3+v2=3 a u3=3-v2=3-4=-1
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=12-(-2)-4=10 d31=c31-u3-v1=5-(-1)-6=0 d14=c14-u1-v4=15-(-2)-1=16 d33=c33-u3-v3=4-(-1)-5=0 d21=c21-u2-v1=7-2-6=-1 d34=c34-u3-v4=5-(-1)-1=5 d23=c23-u2-v3=2-2-5=-5 a x23=θ =50 d43=c43-u4-v3=10-0-5=5. d24=c24-u2-v4=8-2-1=5
Ре ш е њ е је баз н о допустиво и н е де ге н е р исан о је р је : m+n-1=4+4-1=7=b=7.
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(1))=2710 /н ј/. Ре з у л тати пр име н е МОД И ме тоде посл е др уге ите р ације
min TP-2
K4 (140)K4 (140)
M4 (200)M4 (200)
Kompanije
Materijali
M1 (260)15
K1 (90)
904
K2 (310)
12
K3 (220)
8M2 (170)
1703
1206
5027
M3 (130)
6
1303 4
60 604 10
5 5
140 1401
min TP-1
K4 (140)K4 (140)
M4 (200)M4 (200)
Kompanije
Materijali
M1 (260)15
K1 (90)
404
K2 (310)
12
K3 (220)
8M2 (170)
2203
1706 27
M3 (130)
50 506
1303 4
10 104 10
5 5
140 1401
+θ
−θ +θ
−θ +θ
−θ
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
35
p Је дн ачин е баз н их це н а cij=ui+vj. Усваја се да је v2=0.
c11=u1+v1=4 a v1=4-u1=4-7=-3 c32=u3+v2=3 a u3=3 c13=u1+v3=3 a u1=3-v3=3-(-4)=7 c42=u4+v2=4 a u4=4 c22=u2+v2=6 a u2=6 c44=u4+v4=1 a v4=1-u4=1-4=-3. c23=u2+v3=2 a v3=2-u2=2-6=-4
p Је дн ачин е н е баз н их е л е ме н ата - диф е р е н цијал а dij=cij-ui-vj.
d12=c12-u1-v2=12-7-0=5 d33=c33-u3-v3=4-3-(-4)=5 d14=c14-u1-v4=15-7-(-3)=11 d34=c34-u3-v4=5-3-(-3)=5 d21=c21-u2-v1=7-6-(-3)=4 d41=c41-u4-v1=6-4-(-3)=5 d24=c24-u2-v4=8-6-(-3)=5 d43=c43-u4-v3=10-4-(-4)=10. d31=c31-u3-v1=5-3-(-3)=5
Фу н кција кр ите р ијума из н оси: F(X(2))=2460 /н ј/.
Како је 0≥ijd , сл е ди да је у пр е тходн ој табе ли р е ш е њ е оптимал н о, тј.
=
=
140060000130005012000170090
*44
*43
*42
*41
*34
*33
*32
*31
*24
*23
*22
*21
*14
*13
*12
*11
*
xxxxxxxxxxxxxxxx
X /ком/.
Мин имал н а вр е дн ост ф у н кције кр ите р ијума из н оси:
2460)()()(min )2(** ==⋅== ∑ XFxcXFXF ijij
ij /н ј/.
б) Уш те де у погл е ду тр ош кова из н осе : 89024603350)()()( )2()0( =−=−=∆ XFXFXF /н ј/.
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
36
MP Обликовати мр е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е з а потр е бе р е ализације је дн ог пр оје кта чији је р е досл е д активн ости (у вр е ме н ским је дин ицама /вј/) и догађаја дат у табе ли.
Пор е д тога пр ор ачу н ати сл е де ће вр е ме н ске пар аме тр е : а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости. б) Кр итичн е путе ве и пр ви субкр итичн и пут. в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима. Решење: а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости.
p Н ајр ан ија вр е ме н а активн ости: ijij ttt += )0()0( /вј/.
p Н ајкасн ија вр е ме н а активн ости: ijji ttt −= )1()1( /вј/. б) Кр итичн и путе ви и пр ви субкр итичан пут у мр е жн ом дијагр аму CPM
p Кр итичн и путе ви у М Д
:1π 1922070048054)( 211 =+++++=+++++= PLSISC ttttttt π /вј/,
:2π 19266601254)( 2 =+++=+++= RJFC ttttt π /вј/.
p С убкр итичн и пут у М Д
:Sπ 18466283654)( =+++=+++= RKGCS ttttt π /вј/.
Akt
ivno
sti
Akt
ivno
sti Te
kuce O
znak
eR
elac
ije
Prethodneaktivnosti
Trajanje [vj]aktivnosti
Trajanje [vj]aktivnosti
A
1-2
-
3232
C
1-3
B
1-4
- -
2424 5454
D
2-5
A
3030
F
3-6
E
4-7
B C
1616 1212
G
4-8
C
3636
I
5-10
H
6-9
D C,E
2626 4848
J
7-11
F
6060
L
8-11
K
10-12
G H,I
2828 7070
M
9-12
I
5454
P
11-12
N
12-13
J,K
L,M,N
3232 2020
RR
11-13
11-13
J,K
J,K
6666
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
37
Сл. 1 в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима.
p В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима: )0()1(iii ttt +=∆ /вј/
p Укупн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима: ijijij tttU −+=∆ )0()1( /вј/
0 0
32 46
54 54
A (32)
24 38
54 54
B (24) E (16)
F (12)C (54)
1
2
3
4
6
62 76
D (30) 5
66 66
7
H (26) 10
9 12 P (20) 13M (54)
J (60)
L (70)
S1 (0)
11 R (66)
N (32)
S2 (0)
G (36) 90 98
8
I (48)
K (28)
102 102
102 102
172 172 192 192
126 126
∆ti [vj]∆ti [vj]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1313Dogadjaj (i)
00 1414 1414 00 1414 00 00 88 00 00 00 00 00
∆Uij [vj]∆Uij [vj]
1-2 1-3 1-4 2-5 3-6 4-7 4-8 5-10 6-9 7-11 8-11 10-12 9-12 11-12 12-1311-13
11-13Relacije (i-j)
1414 1414 00 1414 1414 00 88 1414 00 00 88 00 1616 1414 00 00
ti
0 ti1
i-j (tij) tj
0 tj1
Legenda:i j
Kriticni put (aktivnosti)
Fiktivne aktivnosti
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
38
MP Обликовати мр е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е з а потр е бе р е ализације одр е ђе н ог пр оје кта чији је р е досл е д активн ости (у вр е ме н ским је дин ицама /вј/) и догађаја дат у табе ли.
Пор е д тога пр ор ачу н ати сл е де ће вр е ме н ске пар аме тр е : а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости. б) Кр итичн е путе ве и пр ви субкр итичан пут у мр е жн ом дијагр аму . в) Одр е дити вр е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима. Решење: а) Н ајр ан ија и н ајкасн ија вр е ме н а р е ализације поје дин их активн ости.
p Н ајр ан ија вр е ме н а активн ости: ijij ttt += )0()0( /вј/.
p Н ајкасн ија вр е ме н а активн ости: ijji ttt −= )1()1( /вј/. б) Кр итичн и путе ви и пр ви субкр итичн и пут у мр е жн ом дијагр аму CPM
p Кр итичн и путе ви у М Д
:1π 961035024027)( 211 =+++++=+++++= PLSISC ttttttt π /вј/,
:2π 963330627)( 2 =+++=+++= RJFC ttttt π /вј/.
p С убкр итичн и пут у М Д
:Sπ 9233141827)( =+++=+++= RKGCS ttttt π /вј/.
Aktiv
nost
iA
ktiv
nost
i Teku
ce Ozn
ake
Rel
acije
Naredneaktivnosti
Trajanje [vj]aktivnosti
Trajanje [vj]aktivnosti
A
1-2
A,B,C
--
C
1-3
B
1-4
D E
1616 1212
D
2-5
F,G,I
2727
F
3-6
E
4-7
H I
1515 88
G
4-8
J
66
I
5-10
H
6-9
K L
1818 1313
J
7-11
L,M
2424
L
8-11
K
10-12
N,R
N,R
3030 1414
M
9-12
P
3535
P
11-12
N
12-13
P P
2727 1616
RR
11-13
11-13
-
1010
-
-
--
3333
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
39
Сл. 1 М р еж ни д и јагр ам CPM ст р укт ур е в) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима и у купн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима.
p В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(iii ttt +=∆ /вј/.
p Укупн е вр е ме н ске р е з е р ве у активн остима ijijij tttU −+=∆ )0()1( /вј/.
0 0
16 23
27 27
A (16)
12 19
27 27
B (12) E (8)
F (6)C (27)
1
2
3
4
6
31 38
D (15) 5
33 33
7
51 51
H (13) 10
51 51
9 86 86
12 96 96
P (10) 13M (27)
J (30)
L (35)
S1 (0)
63 63
11 R (33)
N (16)
S2 (0)
G (18) 45 49
8
I (24)
K (14) ti
0 ti1
i-j (tij) tj
0 tj1
Legenda:i j
Kriticni put (aktivnosti)
Fiktivne aktivnosti
∆ti [vj]∆ti [vj]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1313Dogadjaj (i)
00 77 77 00 77 00 00 44 00 00 00 00 00
∆Uij [vj]∆Uij [vj]
1-2 1-3 1-4 2-5 3-6 4-7 4-8 5-10 6-9 7-11 8-11 10-12 9-12 11-12 12-1311-13
11-13Relacije (i-j)
77 77 00 77 77 00 44 77 00 00 44 00 88 77 00 00
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
40
MP Н а осн ову мр е жн ог дијагр ама PDM стр у кту р е (сл. 1) обликовати моде л CPM стр у кту р е . Пор е д тога:
a) И звр ш ити пр ор ачу н р е з у л ту ју ћих активн ости мр е жн ог дијагр ама у дан има. b) Утвр дити кр итичн и пут у мр е жн ом дијагр аму и из р ачу н ати вр е ме н ске р е з е р ве у
догађајима. В р е ме н ски ин те р вали активн ости из р аже н и су у дан има.
Сл. 1 М р еж ни д и јагр ам PDM ст р укт ур е Решење:
p М р е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е
Сл. 2 М р еж ни д и јагр ам CPM ст р укт ур е
A16
B9
C11
D13
E7
F13
G18
H12
I15
J2
K10
L10
M11
N6
R8
T14
0 0
16 16
11 11
A (16)
9 13
24 28
B (9) I (15)
F (13)C (11)
1
2
3
4
6
29 29
H (12) 9
24 37
7
S1 16 16
5
E (7)
29 29
8
D (13)
39 39
10
L (10)
J (2)
G (18) K (10)
M (11) 45 45
11N (6) T (14)
S2
45 51
12 R (8)
59 59
13
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
41
a) Кр итичн и путе ви у мр е жн ом дијагр аму
:1π 59)()( 111 =+++++=⇒−−−−− TNLDA ttttstttTNLDSA π /дан /,
:2π 59)( 2 =++++=⇒−−−− TNKGC ttttttTNKGC π /дан /.
p М р е жн и дијагр ам PDM стр у кту р е
b) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(iii ttt −=∆ /дан /
000)0(1
)1(11 =−=−=∆ ttt 02929)0(
8)1(
88 =−=−=∆ ttt
01616)0(2
)1(22 =−=−=∆ ttt 02929)0(
9)1(
99 =−=−=∆ ttt
4913)0(3
)1(33 =−=−=∆ ttt 03939)0(
10)1(
1010 =−=−=∆ ttt
01111)0(4
)1(44 =−=−=∆ ttt 04545)0(
11)1(
1111 =−=−=∆ ttt
01616)0(5
)1(55 =−=−=∆ ttt 64551)0(
12)1(
1212 =−=−=∆ ttt
42428)0(6
)1(66 =−=−=∆ ttt 05959)0(
13)1(
1313 =−=−=∆ ttt .
132437)0(7
)1(77 =−=−=∆ ttt
A16
B9
C11
D13
E7
F13
G18
H12
I15
J2
K10
L10
M11
N6
R8
T14
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
42
MP За пол аз н е податке дате у табе ли (Т-1) и н а дијагр аму (сл. 2). а) Кон стр уисати осн овн и, а з атим и кон ачн и мр е жн и дијагр ам PERT. б) Одр е дити оче киван о вр е ме и одговар ају ће де вијације сваке активн ости з а сл учај симе тр ичн е b-р асподе л е . в) Пр ор ачу н ати вр е ме н ске р е з е р ве : sk, ak и bk (активн ости К), да би се пр е ко те активн ости одвијао кр итичн и пут истог н ивоа кр итичн ости као з а ве ћ пр е тходн о у твр ђе н и кр итичн и пут н а осн ову пр огр е сивн ог пр ор ачу н а. г) Одр е дити оче киван е вр е ме н ске р е з е р ве у догађајима. д ) Одр е дити ве р оватн оћу р е ализације активн ости у мр е жн ом дијагр аму з а пл ан ир ан о вр е ме од Tp= 96 дан а. е) Отвр дити пл ан ир ан о вр е ме р е ализације је дн ог кр итичн ог пута, ако се изве сн ост њ е гове р е ализације смањ ује з а 30% у одн осу н а пр ор ачу н ату ве р оватн оћу из пр е тходн е тачке (под е).
О сно вни пар амет р и д и јагр ама PDM
Сл. 1 Ди јагр ам PDM ст р укт ур е
A D I
B E
F
G
H
J
K
C
Pesimisticka vremena bijPesimisticka vremena bij
Tekuce aktivnosti /dan/ A
15Optimisticka vremena aij
2121
B
30
3030
C
25
4545
D
44
5656
E
11
1313
F
30
3030
G
19
2121
H
25
2525
I
13
3131
J
20
2020
KK
??
??
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
43
а) М р е жн и дијагр ам CPM стр у кту р е
p Ал те р н ативн е оз н аке активн ости
б) Оче киван а вр е ме н а и стан дар дн е де вијације активн ости
p Пр огр е сивн и пр ор ачу н CPM дијагр ама
A D I
B E
F
G
H
J
K
C
1
A
2 5D
3B 6F
4 7
C
H
S1
E
8J
K
I
G
0
18
35
A (18)
30
60
B (30) F (30)
H (25)C (35)
1
2
3
4
6
68
D (50) 5
60
7
E (12)
90
8
I (22)
K (?)
J (20)
G (20)S1 (0)
1
0
10/3
1/3
0 σK = ?
0 0
32
1/3
Tekuce aktivnosti /dan/ A
1-2Alternativne oznake
B
1-3
C
1-4
D
2-5
E
3-5
F
3-6
G
3-7
H
4-7
I
5-8
J
6-8
K
7-8
Tekuce aktivnosti A
18Ocekivana vremenateij /dan/
B
30
C
35
D
50
E
12
F
30
G
20
H
25
I
22
J
20
K
?
1Stand. devijacije /dan/ 0 10/3 2 1/3 0 1/3 0 3 0 ?
1Varijanse /dan2/ 0 100/9 4 1/9 0 1/9 0 9 0 ?
*
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
44
в) Пр ор ачу н вр е ме н ских пар аме тар а: sk, ak и bk (активн ости К)
p Кр итичн и путе ви у мр е жн ом дијагр аму
:1π 90)( 1 =++=⇒−− IDA tetetetIDA π /дан /
:2π 90)( 2 =++=⇒−− KHC tetetetKHC π /дан / p И сти н иво кр итичн ости у М Д подр аз уме ва:
је дн аке кр итичн е путе ве )()( 21 ππ tt = , тј.
30=−−++=⇒++=++ HCIDAKKHCIDA tetetetetetetetetetetete /дан /
и је дн аке вар ијан се , одн осн о де вијације кр итичн их активн ости )()( 21 πσπσ = , тј.
14941)( 2221
2 =++=++= IDA σσσπσ /дан 2/
те је : 74,314)()( 12
1 ≈== πσπσ /дан /
p Пр ор ачу н стан дар дн е де вијације активн ости К
222222222222HCIDAKKHCIDA σσσσσσσσσσσσ −−++=⇒++=++ ,
из че га сл е ди: 7,19/260910014)( 221
2 ≈=−−=−−= HCK σσπσσ /дан /
p С име тр ичн а b-р асподе л а активн ости tij подр аз уме ва да је :
264 ijijijijij
ij
babmate
+=
+⋅+= , и де вијација
6)( 2
ijijij
ab −=σ ,
из че га сл е де тр аже н а вр е ме н а:
9,247,13303 =⋅−=⋅−= KKK tea σ /дан /,
1,357,13303 =⋅+=⋅+= KKK teb σ /дан /.
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
45
p Пр ор ачу н ат мр е жн и дијагр ам PERT г) В р е ме н ске р е з е р ве у догађајима )0()1(
iii ttt −=∆ /дан /
0)0(1
)1(11 =−=∆ ttt 0)0(
5)1(
55 =−=∆ ttt
0)0(2
)1(22 =−=∆ ttt 10)0(
6)1(
66 =−=∆ ttt
10)0(3
)1(33 =−=∆ ttt 0)0(
7)1(
77 =−=∆ ttt
0)0(4
)1(44 =−=∆ ttt 0)0(
8)1(
88 =−=∆ ttt . д ) В е р оватн оћа оствар е њ а пр оје кта з а Tp= 96 дан а, у зимајући у обзир само у тицаје кр итичн их путе ва: 1π и 2π .
%)52,94(9452,0)6,1(74,3
9096)(
)()(
1
11 ==
−=
−= PPtTpPP
πσπ
π
%)52,94(9452,0)()( 21 == ππ PP .
е) Д а би се з а је дан кр итичн и пут смањил а изве сн ост њ е гове р е ализације у из н осу од DP=30%, у одн осу н а постоје вр е ме , Tp ће из н осити:
%52,643052,94)()( 1
' =−=∆−= PPzP π , те сл е ди 38,06452,0)(' ≈⇒= zzP
одн осн о 65,90907,138,0)()()(
)(11
'
1
1'
=+⋅=+⋅=⇒−
= ππσπσ
π tezTpteTpz /дан /.
0 0
18 18
35 35
A (18)
30 40
60 70
B (30) F (30)
H (25)C (35)
1
2
3
4
6
68 68
D (50) 5
60 60
7
E (12)
90 90
8
I (22)
K (30)
J (20)
G (20)S1 (0)
1
0
10/3
1/3
0 σK = 1,7
0 0
32
1/3
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
46
UZ За сл учај да је потр ажњ а з а з алихама ве ћа (мањ а) од р е гу л ар н о (р е довн о) н е бављ е н е количин е из р ачу н ати: а) Оптимал н и обим q* потр ажњ е з а з алихама у току вр е ме н ског пе р иода t као и оптимал н и обим з алиха p* у истом вр е ме н ском ин те р вал у t. И з тих р аз л ога из р ачу н ати ин те р ве н тн у количин у ∆q*. б) Оптимир ати ин те р вал н и цикл у с t (вр е ме изме ђу пр е тходн е и н ар е дн е се р ије ), као и бр ој пор у џбин а у току вр е ме н а τ =12 /ме с/ (365 дан а), ако су дати сл е де ћи подаци: Q = 8105000 /ком/ - у купн а потр ажњ а у току годин е , k1 = 75 /н ј/ком/ме с/ - је дин ичн и тр ош кови одр жавањ а з алиха, k2 = 135 /н ј/ком/ме с/ - тр ош кови који се јављ ају у сл е д н е р авн оме р н ог испор учивањ а (н е з адовољ авају ће потр ажњ е ) з алиха, k0= 7000 /н ј/ - фиксн и тр ош кови н абавке је дн е се р ије . в) Одр е дити потр е бн у количин у p и ∆q, ако је количин а q = 2000 /ком/, а у купн и тр ош кови з алиха у н овим у сл овима из н осе F = 1200000 /н ј/. Остали пар аме тр и остају исти као под б). г) Гр афички пр е дставити сл учај под в).
Решење: а) Оптимал н е вр е дн ости з алиха
36,18762
2
21
1
0* =+
⋅⋅⋅⋅
=k
kkk
Qkq
τ /ком/ и 23,1206
2
21
2
1
0* =+
⋅⋅⋅⋅
=kk
kk
Qkp
τ /ком/.
p Оптимал н е вр е дн ости ин те р вал н е количин е
13,670*** =−=∆ pqq /ком/.
p Мин имал н и у купн и тр ош кови
43,10856102),(),(min21
210
** =+
⋅⋅⋅⋅⋅==kk
kQkkpqFpqF τ /н ј/.
p Пр ове р а у купн их тр ош кова з а пр ор ачу н ате оптимал н е вр е дн ости з алиха
43,10856102
)(2
),( *
2**
2*
2*
1*0** =⋅
⋅−
⋅+⋅⋅
⋅+⋅= ττqpqk
qpk
qQkpqF /н ј/.
б) Оптимал н и цикл у с кон ве р товањ а з алиха 214,0** =⋅= qQ
t τ /год/ (78,3 дан а).
p Оптимал н и цикл у с р е гу л ар н е н абавке : 138,0**
**1 =⋅= t
qpt /год/ (50,3 дан а).
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
47
p Оптимал н и цикл у с потр ош њ е ин те р ве н тн е н абавке 077,0*1
**2 =−= ttt /год/.
(или 27,9 дан а).
p Оптимал н и бр ој се р ија годиш њ е 96,55** ==
tn τ /се р /.
в) Потр е бн а количин а з алиха з а н ове у сл ове
p Ако је (н е оптимал н а) количин а з алиха з а се р ију q=2000 /ком/ и у купн и тр ош кови
F=1200000 /н ј/, сл е ди
2,1
2
2
2
10 02
)(2
pFqpqk
qpk
qQk ⇒=−⋅
⋅−
⋅+⋅⋅
⋅+⋅ ττ .
p Посл е р е ш авањ а квадр атн е је дн ачин е 2,1
2 0929250162063,0 ppp ⇒=+⋅−⋅ .
могуће н ар у џбин е из н осе : 74,8631 =p /ком/ или 69,17072 =p /ком/.
p С л е ди да је ин те р вал н а количин а у овим у сл овима је дн ака
26,113611 =−=∆ pqq /ком/ или 31,29222 =−=∆ pqq /ком/.
p Ц икл у с р е гу л ар н е н абавке из н оси 093,0111 =⋅= t
qpt /год/.
p Ц икл у с потр ош њ е ин те р ве н тн е н абавке је
122,01121 =−= ttt /год/, или 183,0212 =⋅= t
qpt /год/, одн осн о: 031,01222 =−= ttt /год/.
г) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а упр ављ ањ а з алихама
Сл. 1 Ди јагр ами т о ко ва зали ха за д ве вар и јант е мо д ела
p 1
q t11 t12
t
vreme
kolic
ina
. . . . . .t11
11 pqq −=∆
p 2
q
t21 t22
t
vreme
kolic
ina
. . . . . .
t21
22 pqq −=∆
1 21 2
prvi slucaj drugi slucaj
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
48
UZ Н а осн ову моде л а з алиха р е су р са са р е довн ом н абавком пр ор ачу н ати: а) Оптимал н у количин у q* која би обе збе дил а н е пр е кидн у кон ве р зију з алиха у је дн ој се р ији. б) Оптимал н и вр е ме н ски пе р иод тр ош е њ а з алиха t* и бр ој се р ија n*. в) Количин у пор уче н их з алиха по се р ији, ако се у купн и тр ош кови могу тол е р исати до гр ан ице која је з а p =13% ве ћа од н ивоа мин имал н о потр е бн их тр ош кова з алиха. г) У ком одн осу стоје добије н е количин е з алиха као и одговар ају ће се р ије у одн осу н а оптимал н у количин у , одн осн о оптимал н у се р ију . д ) Д ати гр афичку пр е з е н тацију добије н ог н уме р ичког р е ш е њ а з алиха.
По лазни пар амет р и : Пл ан ир ан а у купн а количин а з алиха з а τ = 1 годин у дан а (365 дан а) је Q = 3400 /ком/, док су тр ош кови н абавке по се р ији k0 = 23 /н ј/. С пе цифичн и тр ош кови чувањ а н абављ е н их з алиха из н осе k1 = 6,4 /н ј/ком/. Решење: а) Оптимал н а количин а н ар у чивањ а
32,15614,6
34002322
1
0* =⋅
⋅⋅=
⋅⋅⋅
=τk
Qkq /ком/.
б) Оптимал н и бр ој се р ија у току годин е је
75,2132,156
3400*
* ===qQn /се р /год/.
p Оптимал н и цикл у с кон ве р товањ а з алиха
046,075,21
1*
* ===n
t τ /год/ или 8,16* =t /дан /.
p Мин имал н и тр ош кови кон ве р товањ а з алиха из н осе
48,100012
32,1564,632,156
3400232
)(*
1*0* =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅= τqk
qQkqF /н ј/, или
48,1000340014,62322)()(min 10
* =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅== QkkqFqF τ /н ј/. в) Пове ћањ а у купн их тр ош кови з алиха
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
49
54,113032,156)13,01()(min)1(1 =⋅+=⋅+= qFpF /н ј/.
p Н ова је дн ачин а тр ош кова з алиха је
.012
012 0
2110 =⋅+⋅−⋅⋅⇒=−⋅⋅+⋅ QkqFqkFqk
qQk ττ
p Посл е ср е ђивањ а добија се квадр атн а је дн ачин а облика
⇒=+⋅−⋅ 07820054,11302,3 2 qq
из које сл е ди 2,1
2
2,1 2,32782002,3454,1130)54,1130( qq ⇒
⋅⋅⋅−±−−
= /ком/.
г) Н ове количин е з алиха
p Ре ш авањ е м квадр атн е је дн ачин е добијају се два р е ш е њ а:
39,941 =q /ком/ и 91,2582 =q /ком/.
p Одн оси количин а з алиха су :
47,353,845,293
1
2 ===qqu одн осн о 259:157:95:: 2
*1 =qqq .
д ) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а токова н абавке и тр ош е њ а з алиха
Сл. 1 Ди јагр ам т о ка о пт и мални х зали ха
q*
τ= 1 god
vreme
kolic
ina
n*=21,75 /ser/god/
t* t* t*
. . . . . .
. . . . . .
1 2 3 21 22
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
50
UZ Н а осн ову моде л а з алиха са р е гу л ар н ом и ин те р ве н тн ом н абавком пр ор ачу н ати: а) Оптимал н и опе р ативн и (у купн и) и се р ијски вр е ме н ски пе р иод тр ош е њ а (чувањ а) з алиха. б) Оптимал н о потр е бн у количин у q* која би обе збе дил а н е сме тан у кон ве р зију з алиха у је дн ој се р ији. в) Оптимал н а количин а p* која се ствар н о н абављ а з а је дн у се р ију . г) И н те р ве н тн о н абављ е н у количин у з алиха по се р ији ∆q*. д ) Оптимал н и бр ој се р ија n* . е) В р е ме чувањ а р е гу л ар н е и ин те р ве н тн е количин е з алиха по се р ији. ж ) Д ати гр афичку пр е з е н тацију добије н ог р е ш е њ а путе м “те сте р астог” дијагр ама.
По лазни пар амет р и : Мин имал н и у купн и тр ош кови з алиха из н осе : minF(q,p) = 180000 /н ј/, пл ан ир ан а у купн а количин а з алиха Q = 65000 /ком/, тр ош кови н абавке по се р ији су k0 = 1750 /н ј/. С пе цифичн и тр ош кови чувањ а р е гу л ар н о н абављ е н их з алиха из н осе k1 = 280 /н ј/ком/, док су тр ош кови чувањ а ин те р ве н тн о н абављ е н их з алиха ве ћи з а pk = 32 % од k1. Решење: а) Оптимал н и опе р ативн и вр е ме н ски пе р иод кон ве р товањ а з алиха
p Тр ош кови чувањ а ин те р ве н тн о н абављ е н е количин е з алиха
6,369280)32,01()1( 12 =⋅+=⋅+= kpk k /н ј/ком/.
p Како је ⇒+
⋅⋅⋅⋅⋅=21
2102),(min
kkkQkkpqF τ
894,0650006,36928017502
)6,369280(1800002
)(),(min 2
210
212
=⋅⋅⋅⋅
+⋅=
⋅⋅⋅⋅+⋅
=⇒Qkkk
kkpqFτ /год/.
б) Оптимал н е вр е дн ости потр е бн их з алиха
88,12636,369
6,369280894,028065000175022
2
21
1
0* =+
⋅⋅
⋅⋅=
+⋅
⋅⋅⋅
=k
kkk
Qkq
τ /ком/.
в) С твар н о н абављ е н е количин е з алиха з а је дн у се р ију
1,7196,369280
6,36988,126321
2** =+
⋅=+
⋅=kk
kqp /ком/.
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
51
г) Оптимал н е вр е дн ости ин те р ве н тн е н абавке
78,5441,71988,1263*** =−=−=∆ pqq /ком/. д ) Оптимал н и бр ој се р ија по опе р ативн ом пе р иоду
43,5188,1263
65000*
* ===qQn /се р /.
е) В р е ме кон ве р товањ а р е гу л ар н е и ин те р ве н тн е количин е з алиха
p В р е ме кон ве р товањ а је дн е се р ије з алиха
017,043,51
894,0*
* ===n
t τ /год/ (6,35 дан а).
p Пар цијал н а вр е ме н а кон ве р товањ а з алиха
01,0**
**
1 =⋅= tqpt /год/ (3,61 дан ) и 007,0*
1**
2 =−= ttt /год/ (2,74 дан ).
ж ) Гр афичка ин те р пр е тација моде л а упр ављ ањ а з алихама
Сл. 1 Ди јагр ам т о ка о пт и мални х зали ха
p*
q* t*1 t*2
t*
kolic
ina
. . . . . .
*** pqq −=∆
vreme1 2
t*1 t*1 t*2
t*
τ*
. . . . . . 52
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
52
LITERATURA [ 1] Brandenberger, J., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, (Prevod), Institut za Konrad, R., nau~no-tehni~ku dokumentaciju i informaciju i Institut za
organizaciju rada i automatizaciju poslovawa, Beograd, 1967. [ 2] Burton, V.D., OPERACIONA ISTRA@IVAWA U ISTRA@IVAWIMA
I RAZVOJU, (Prevod Zbornika radova) “Savremena administracija” , Beograd, 1968. [ 3] Cvetkovi}, D., TEORIJA GRAFOVA I WENA PRIMENA, Nau~na kwiga, Beograd, 1986. [ 4] Cvetkovi}, D., KOMBINATORNA OPTIMIZACIJA, Kova~evi}-Vuj~i}, V., Matemati~ka teorija i algoritmi, “DOPIS” , Beograd, 1996. (redaktori) [ 5] Cvjeti~anin, D., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Ekonomski fakultet, Beograd, 1990. [ 6] ^omi}, I., LINEARNO PROGRAMIRAWE (Matemati~ke metode u
tehnici), Nau~na kwiga, Beograd, 1989. [ 7] ^upi}, M., SAVREMENO ODLU^IVAWE (Metode i primena), Tumma Rao, V.M., Nau~na kwiga, Beograd, 1991. [ 8] Dantzig, G, B., LINEAR PROGRAMMING AND EXTENSIONS, Princeton University Press, Princeton, New Yersey, 1963. [ 9] Jovanovi}, T., PRIMENA TEHNIKE MRE@NOG PLANIRAWA, Jovanovi}, P., Ma{inski fakultet, Beograd, 1990. \or|evi}, P., [ 10] Kantorovi~, L.V., EKONOMSKI RA^UN OPTIMALNOG KORI[]EWA
RESURSA, (prevod sa ruskog), “Cekade” , “Ekonomska biblioteka” , Zagreb, 1985.
[ 11] Kr~evinac, S., ALGORITMI I PROGRAMI IZ OPERACIONIH (i drugi) ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1983. [ 12] Kun, L., PRIMENA ISTRA@IVAWA OPERACIJA, Ma{inski fakultet, Novi Sad, 1973. [ 13] Leti}, D. OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Jevti}, V. Tehni~ki fakultet “M.Pupin” , Zrewanin, 2004. [ 14] Martinovi}, M., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, Institut za Stevanovi}, D., organizaciju rada i automatizaciju poslovawa, Beograd, 1969. [ 15] Muniti}, A., KOMPJUTERSKA SIMULACIJA UZ POMO] SISTEMSKE
DINAMIKE, Brodogra|evna industrija “Split” Split, 1990. [ 16] Opricovi}, S., OPTIMIZACIJA SISTEMA, Gra|evinski fakultet u Beogradu, “Nauka” , Beograd, 1992. [ 17] Petri}, J., OPERACIONA ISTRA@IVAWA I i II, Nau~na kwiga, Beograd, 1989. [ 18] Petri}, J., MRE@NO PLANIRAWE I UPRAVQAWE, (i drugi) Informator, Zagreb, 1983. [ 19] Petri}, J., OPERACIONA ISTRA@IVAWA I i II, [arenac, L., (Zbirka re{enih zadataka), Nau~na kwiga, Beograd, 1992. Koji}, Z., [ 20] Petrovi}, R., SPECIJALNE METODE U OPTIMIZACIJI SISTEMA, Tehni~ka kwiga, Beograd, 1977. [ 21] Radulovi}, A., TEHNIKA MRE@NOG PLANIRAWA, Radojevi}, M., Nau~na kwiga, Beograd, 1988. [ 22] Sazdanovi}, S., LINEARNO PROGRAMIRAWE, Nau~na kwiga, Beograd, 1988.
М ала зби р ка зад ат ака и з о пер аци о ни х и ст р аж и вања ________________________________________________________________________________
53
[ 23] Stani}, J., UVOD U TEORIJU TEHNOEKONOMSKE OPTIMIZACIJE, Ma{inski fakultet, Beograd, 1988. [ 24] Stanojevi}, R., OPTIMIZACIJA ZALIHA SIROVINA U SERIJSKOJ
PROIZVODWI, Ekonomski institut, Beograd, 1995. [ 25] Stanojevi}, R., METODA SIMPLEKS, ZBIRKA RE[ENIH PRIMERA, Institut “Bra}a Kari}” , Beograd, 1996. [ 26] Stojanovi}, D., EKONOMSKO MATEMATI^KI METODI I MODELI, Ekonomski fakultet, Beograd, 1990. [ 27] Todorovi}, O., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, DIGP “Prosveta” , Ni{, 1992. [ 28] Tourki, M., STOHASTI^KI PROCESI I MODELI PROGRAMIRAWA
U EKONOMIJI, Savremena administracija, Beograd, 1986. [ 29] Uro{evi}, J., PRIMAVERA-UPRAVQAWE PROJEKTIMA UZ POMO] Dra{ki}-Ostoji}, J., RA^UNARA, Institut za nuklearne nauke “B. Kidri~” -Vin~a, Beograd, 1991. [ 30] Vujo{evi}, M. OPERACIONA ISTRA@IVANJA, Izabrana poglavlja,
Fakultet organizacionih nauka, Beograd, 1999. [ 31] Vujo{evi}, M., METODE OPTIMIZACIJE - Mre`ni, lokacijski i Stanojevi}, M., vi{ekriterijumski modeli, “DOPIS” , Beograd, 1996. Mladenovi}, N., [ 32] Vukadinovi}, S., MATEMATI^KO PROGRAMIRAWE, Cveji}, S., Univerzitet u Pri{tini, Pri{tina, 1996. [ 33] Vukadinovi}, S., METODE MONTE KARLO, Popovi}, J., Saobra}ajni fakultet, Beograd, 1992. [ 34] Winston, L.W., OPERATIONS RESEARCH, Applications and Algorithms, Indiana
University, Duxbury Press, Belmont, California, 1994. [ 35] Winston, L.W., USER’S GUIDE FOR LINDO AND LINGO, OPERATIONS RESEARCH Roe, A., INTRODUCTION TO MATHEMATICAL PROGRAMMING:
Applications and Algorithms, Indiana University, Duxbury Press, Belmont, California, 1997.
[ 36] Ze~evi}, T., OPERACIONA ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1974. [ 37] * * * * * * * RE^NIK IZ OPERACIONIH ISTRA@IVAWA, Nau~na kwiga, Beograd, 1985. [ 38] * * * * * * * STEP BY STEP MICROSOFT PROJECT 98, Published by Microsoft Press, Catapult, Redmon, Washington, USA, 1997. [ 39] * * * * * * * USING MICROSOFT PROJECT 98, (Special edition), QUE Corporation, Indianapolis, Indiana, USA, 1997. [ 40] * * * * * * * YUGOSLAV JOURNAL OF OPERATIONS RESEARCH, Volume 1-7, YUJOR Editor Office, University of Belgrade, Faculty of Organizational Sciences, Beograd , 1991-1997. [ 41] * * * * * * * YUPMA ‘98, Zbornik radova II internacionalnog simpozijuma iz
Project Management-a (Nove metode i tehnike), Zlatibor, 1998.