Mantıksal Tasarım

Mantıksal Tasarım – Prof.Dr. Ünal Yarımağan – HÜ Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

Bölüm 4 : Birleşimsel MantıkBölüm 4 : Birleşimsel Mantık

Mantıksal Tasarım



Sayısal devrelerin iki temel türü vardır.

1. Birleşimsel devre (combinational circuit)

2. Dizisel devre (sequential circuit)

4.1. Devre Türleri, Fiziksel Değişkenler, Mantık Türleri

x1 ® ® y1

x2 ® Birleşimsel ® y2

. Devre .

. .xn ® ® yk

y1 = f1(x1, x2, …. , xn)

y2 = f2(x1, x2, …. , xn)

……………………..

yk = fk(x1, x2, …. , xn) Dizisel devreler de kendi içinde ikiye ayrılır:

1. Zamanuyumlu dizisel devreler (synchronous sequential circuits)

2. Zamanuyumsuz dizisel devreler (asynchronous sequential circuits)



Zamanuyumlu Devre Çıkışı Örneği

Saat Vuruşu(Clock Pulse)

Giriş

ZamanuyumluÇıkış

Zamanuyumsuz Devre Çıkışı Örneği

Giriş

ZamanuyumsuzÇıkış



Fiziksel gerilim değerleri ile mantıksal 0 ve 1 değerleri arasındaki eşleme iki türlü yapılabilir: 1. Pozitif mantık : alçak gerilim değerine 0, yüksek gerilim değerine ise 1 mantıksal değeri eşlenir. 2. Negatif mantık: alçak gerilim değerine 1, yüksek gerilim değerine ise 0 mantıksal değeri eşlenir.

Pozitif ve Negatif Mantık

Gerilim(volt)

6 -

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 -

Yüksek Gerilim Değer Aralığı (Nominal 5 Volt) Mantıksal 1

Alçak Gerilim Değer Aralığı (Nominal 0 Volt) Mantıksal 0

Pozitif Mantık,

Örnek Değer Aralıkları



4.2. Geçitler ve Özellikleri

Mantıksal olarak AND, OR, NOT, NAND, XOR, .. gibi Boole işlemlerini gerçekleştiren sayısal devre elemenlarına geçit (gate) adı verilir. Geçitler sayısal devrelerin yapı taşları olarak düşünülebilir.

Sayısal devrelerde kullanılan başlıca geçitler aşağıdakilerdir:

a. Temel geçitler: AND (VE) geçidi

OR (YADA) geçidi

NOT (DEĞİL) geçidi

b. Diğer Geçitler: NAND (VE-DEĞİL) geçidi

NOR (YADA-DEĞİL)

XOR (EXCLUSIVE-OR, DIŞLAYAN-YADA) geçidi

XNOR (EQUIVALENCE, EŞDEĞERLİK) geçidi

c. Yükselteç: Fan-out değerini yükseltmek için kullanılan işlevsiz geçit

(Bkz Fan-out Değeri).



Geçitler İçin Kullanılan Gösterimler

aAND

bab

NOT a a'

aNAND b

(ab)’ = a’ + b’

aNOR

b (a + b)’ = a’b’

a'b + ab’ aXOR

b

ab + a’b’ aXNOR b

a a Yükselteç

aOR

ba + b



Üretim teknolojileri

RTL (Resistor – Transistor Logic)DTL (Diode – Transistor Logic)TTL (Transistor – Transisor Logic)

Standard TTL

Low-power TTL

High Speed TTL

Low-Power Shottky TTL

Advanced Shottky TTL

Advanced Low-Power Shottky TTL, …vb.

.......................................................................ECL (Emitter Coupled Logic)MOS (Metal – Oxid Semiconductor)CMOS (Complementary Metal – Oxid Semiconductor) .........................................................................................



Yayılma Gecikmesi (Propagation Delay) Bir geçidin yayılma gecikmesi, girişlerden birinde çıkışın değişmesini gerektiren bir değişiklik olduğunda, girişteki değişikliğin gerçekleştiği an ile çıkıştaki değişikliğin gerçekleştiği an arasındaki süredir.

Geçitlerin yayılma gecikmesinin tipik değerleri 100 ps (piko saniye) ile 100 ns arasında değişen değerlerdir (1 ps = 10-12 saniye, 1 ns = 10–9 saniye).

Zaman

: Yayılma Gecikmesi

x

y

NOT Geçidinin Yayılma Gecikmesi



Güç tüketimi Geçit başına tüketilen tipik güç değerlerinin 0,01 W – 0,1 mW arasında değiştiği söylenebilir.

Tekn-1 Tekn-2 Tekn-3Güç Tüketimi/Geçit 0,01 W 0,1 W 1 W

Yonga-1 (103 Geçit) 10 W 100 W 1 mW

Yonga-2 (106 geçit) 10 mW 100 mW 1 W

Yonga-3 (109 geçit) 10 W 100 W 1 kW

Kullanılan teknolojide geçit başına tüketilen gücün değerine göre, bir yonganın tüketeceği toplam güç örnekleri:



Yayılma Gecikmesi, Güç Tüketimi Çarpımı Yoğunluk ve güç tüketimi ilişkisi.

Yayılma gecikmesi (hız) ve güç tüketimi ilişkisi.

Yayılma gecikmesi, güç tüketimi çarpımı : tipik değerleri 0,01 – 10 pJ

Fan-out Değeri

Tipik değerler : 10-20

Fan-out değerini arttırmak için yükselteç (amplifier) geçitler kullanılır.

Besleme Gerilim Değeri

Teknolojiye göre değişir. Çok kullanılan değerler arasında 0-5V ve 0-12V sayılabilir.



4.3. Temel Geçitlerle Çözümleme ve Tasarım

4.3.1. Temel Geçitlerden Oluşan Devrelerin Çözümlenmesi

Temel Geçitlerden Oluşan Örnek Bir Devrenin Çözümlenmesi

a

b

c

f1

f2

y2

y1

y3

y5

y6

y4

y7 y8

y9



y6 = y1 + y3 = ab + c(a + b) = ab + ac + bc

y7 = y6’ = (ab + ac + bc)’ = (ab)’ (ac)’ (bc)’ = (a’ + b’)(a’ + c’)(b’ + c’) = a’b’ + a’c’ + b’c’

y8 = y4y7 = (a + b + c)(a’b’ + a’c’ + b’c’) = ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

y9 = y5 + y8 = abc + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

Sonuç: f1 = y6 = ab + ac + bc

f2 = y9 = abc + ab’c’ + a’bc’ + a’b’c

y1 = ab

y2 = a + b

y3 = cy2 = c(a + b)

y4 = y2 + c = a + b + c

y5 = cy1 = abc

a

b

c

f1

f2

y2

y1

y3

y5

y6

y4

y7 y8

y9



4.3.2. Temel Geçitlerle Devre Tasarımı

Devrenin gerçekleştireceği işlev ya da işlevlerin sözlü olarak tanımlanması.

Eğer sözlü tanımda belirtilmemisse, ya da sözlü tanım yeterince belirgin değilse,

devrenin giriş ve çıkışlarının, kullanılacak giriş ve çıkış değişkenlerinin ve

değişkenlerin anlamlarının belirlenmesi.

Çıkış işlevlerinin bulunması. Eğer devrenin gerçekleştireceği işlev basit ise, sözlü

tanımdan hareketle, çıkış işlevleri doğrudan yazılabilir. Eğer çıkış işlevlerini doğrudan

yazmak mümkün değilse, doğruluk çizelgesi, harita gibi araçlardan bir ya da birkaçı

kullanılarak çıkış işlevleri bulunur.

Çıkış işlevlerinin yalınlaştırılması ve istenilen biçime sokulması. Çıkış işlevlerinin

genellikle çarpımlar toplamı ya da toplamlar çarpımı biçimine sokulması istenir.

Eğer isteniyorsa, devre şemasının çizilmesi. Devre şeması kullanılacak geçit türüne

göre değişir. Bu nedenle, kullanılacak geçitlerin türüne göre, önce çıkış işlevlerinin

uygun biçime dönüştürülmesi gerekir.



Örnek: Dört üyeli bir kurulda, a, b, c ve d ile gösterilen kurul üyelerinin oylarının ağırlıkları, ortaklık payları ile orantılı olarak 2, 3, 4 ve 6’dır. Üyelerin oylarından kurul kararını (kabul/ret) elde etmeyi sağlayan birleşimsel devre tasarlanacak.

a ®b ® Birleşimsel ® y = f(a,b,c,d)

c ® Devre

d ®

Giriş (a, b, c, ve d) değerlerinin anlamı:

1 : Üye kabul oyu kullandı

0 : Üye ret oyu kullandı.

Çıkış (y) değerinin anlamı:

0 : Red kararı alındı

1 : Kabul kararı alındı

a b c d Kab Oyl. (2) (3) (4) (6) Ağ. Top.

y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6

0 0 0 1 0 4

0 0 0 1 1 10

1 0 1 0 0 3

0 0 1 0 1 9

1 0 1 1 0 7

0 0 1 1 1 13

1 1 0 0 0 2

0 1 0 0 1 8

1 1 0 1 0 6

0 1 0 1 1 12

1 1 1 0 0 5

0 1 1 0 1 11

1 1 1 1 0 9

1 1 1 1 1 15

1



Çıkış işlevi: f(a,b,c,d) = (3, 5, 7, 9, 11, 13, 14, 15)

Çıkış işlevinin harita yöntemiyle indirgenmesi:

ab cd 00 01 11 10 00 1

01 1 1

11 1 1 1

10 1 1

Çarpımlar toplamı biçiminde en küçük çıkış işlevi:

f(a,b,c,d) = ad + bd + cd + abc

Bu örnek için yukarıda sistematik yöntemle bulunan en küçük çıkış işlevini, düşünerek doğrudan yazmak da mümkündür.



Devre Şeması:

a

b

cd

y = ad + bd + cd + abc



Örnek: x3x2x1x0 onaltılı (hexa decimal) kod sözcüğünün çift eşlik bitini bulan

birleşimsel devreyi tasarlamaya çalışalım.

a ®b ® Birleşimsel ® y = f(a,b,c,d)

c ® Devre

d ®

Devrenin çıkış işlevini standart

çarpımlar toplamı biçiminde yazabiliriz.

f(x3,x2,x1,x0) = (1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14)



Çıkış İşlevinin harita yöntemiyle indirgenmesi:

ab cd 00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 1 1

10 1 1 Çıkış işlevi indirgenemez.

Çıkış işlevinin en küçük biçimi:

f(x3,x2,x1,x0) = x3’x2’x1’x0 + x3’x2’x1x0’ + x3’x2x1’x0’ + x3’x2x1x0 + x3x2’x1’x0’

+ x3x2’x1x0 + x3x2x1’x0 + x3x2x1x0’



4.4. NAND ve NOR Geçitleri ile Çözümleme ve Tasarım

+ 5 Volt

Çıkış

(y)

Girişler

a

b

c

Örnek Bir Geçit İçin Olası Bir Elekronik Şema

Fiziksel Değerlere Göre

Geçidin Giriş-Çıkış İlişkileri

a b c y

0 Volt 0 Volt 0 Volt 5 Volt










Geçidin Mantıksal Özellikleri

(Pozitif Mantığa Göre)

Geçidin Mantıksal Özellikleri

(Negatif Mantığa Göre)

a b c y

1 1 1 0

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

a b c y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

y = (abc)’ = a’ + b’ + c’

NAND Geçidi

y = (a + b + c)’ = a’b’c’

NOR Geçidi



NAND işlemi Birleşmeli Değildir

abc

y1 = ((ab)’c)’ = ab + c’

abc

y2 = (a(bc)’)’ = a’ + bc

y3 = (abc)’ = a’ + b’ + c’abc

y1 y2 y3



NAND ve NOR Geçitleri İçin Farklı Gösterimler

4.4.1. NAND ve NOR Geçitlerinden Oluşan

Devrelerin Çözümlenmesi

NAND Geçidi ab (ab)’

NOR Geçidiab

(a + b)’ab

a'b’

ab a' + b’



Devrenin çıkış işlevi

f(x1,x2)

= ((x1’ + x1x2) (x2’ + x1x2))’

= (x1’ + x1x2)’ + (x2’ + x1x2)’

= x1(x1x2)’ + x2(x1x2)’

= x1(x1’ + x2’) + x2(x’1 + x2’)

= x1x2’ + x2x1’

Devrenin gerçekleştirdiği

işlev

DIŞLAYAN-YADA (XOR)

işlevidir.

NAND Geçitleri ile örnek devre:

a) Devre Şeması (NAND Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x1

x2

f(x1,x2)

b) Devre Şeması (NAND Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1

x2

f(x1,x2)



NOR Geçitleri ile örnek devre:

y1 = (x4 + x1’x4’)(x4 + x2’x3’)

= x4 + x1’x2’x3’x4’

= x4 + x1’x2’x3’

y2 = (x4 + x1)(x4 + x2’x3’)

= x4 + x1x2’x3’a) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x4

x1

y1 =f1(x1,x2,x3,x4)

x3

x2

y2 =f2(x1,x2,x3,x4)

b) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x4

x1

y1 =f1(x1,x2,x3,x4)

x3

x2

y2 =f2(x1,x2,x3,x4)



Örnek: y = f(x1,x2,x3,x4,x5) = x1 + (x2 + x3’)(x4 + x3x5 )

işlevini gerçekleştiren devrenin NAND geçitleri ile oluşturulması

4.4.2. NAND ve NOR Geçitleriyle Devre Tasarımı

x1’

x2’

x3

y =f(x1,x2,x3,x4,x5)

x4'

x5

a ) Devre Şeması ( NAND Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1’

x2’

x3

y =f(x1,x2,x3,x4,x5)

x4'

x5

b ) Devre Şeması ( NAND Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)



y = f(x1,x2,x3,x4) = (x1 + x2x3)(x2 + x3’(x1 + x4))(x1 + x3’ + x4’)

işlevini gerçekleştiren devrenin NOR geçitleri ile oluşturulması

y =f(x1,x2,x3,x4)

a) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin İki Gösterim Kullanılarak)

x1

x2’x3’

x2

x3

x1

x4

x1

x3’x4’

x1

x2’x3’

x2

x3

x1

x4

y =f(x1,x2,x3,x4)

b) Devre Şeması (NOR Geçitleri İçin Tek Gösterim Kullanılarak)

x1

x3’x4’



4.5. İki ve Çok Düzeyli Devreler

ab

cd

ab + cd

İki Düzeyli AND-OR Devresi

ab

cd

(a+b)(c+d)

İki Düzeyli OR-AND Devresi

ab

cd

ab + cd

İki Düzeyli NAND-NAND Devresi

ab

cd

(a+b)(c+d)

İki Düzeyli NOR-NOR Devresi



ab

f(a,b,c,d) = ab + a’b’c’ + bcd + b’d’a'b’c’bcd

b'd’

ab

f(a,b,c,d) = ab + a’b’c’ + bcd + b’d’a'b’c’bcd

b'd’

Çarpımlar Toplamı Biçimindeki İşlevlerin İki Düzeyli AND-OR Devresi ile Gerçekleştirimi

Çarpımlar Toplamı Biçimindeki İşlevlerin İki Düzeyli NAND-NAND Devresi ile Gerçekleştirimi



a

y

ab

cd

y = ab + a’(b + c)d’1 0 1

1 0

0 1 0 1

0 1

1

0

0

Çok Düzeyli Devrelerde Gürültü



4.6. Birleşimsel Devre Örnekleri

4.6.1. Yarım-Toplayıcı (Half-Adder)

a b Doğruluk Çizelgesi

a b s c Çıkış İşlevleri:

c HA 0 0 0 0 s = ab’ + a’b

(elde) 0 1 1 0 = a b

1 0 1 0 c = ab

s (toplam) 1 1 0 1



4.6.2. Tam-Toplayıcı (Full-Adder) Doğruluk Çizelgesi

ai bi ai bi ci si ci+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

ci+1 FA ci 0 1 0 1 0

(çıkış eldesi) (giriş eldesi) 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

si (toplam) 1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Çıkış İşlevleri:

si = aibici + ai’bi’ci + ai’bici’ + aibi’ci’

ci+1 = aibi + aici + bici



4.6.3. Yarım-Çıkarıcı (Half-Substractor)

x y Doğruluk Çizelgesi

x y d b Çıkış İşlevleri:

b HS 0 0 0 0 d = xy’ + x’y

(ödünç 0 1 1 1 = x y

alınan) 1 0 1 0 c = x’y

d (fark) 1 1 0 0



4.6.4. Tam-Çıkarıcı (Full-Substractor) Doğruluk Çizelgesi

xi yi x i yi bi di bi+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 1

bi+1 FS bi 0 1 0 1 1

(çıkış ödünç (giriş ödünç ) 0 1 1 0 1

alınan) alınan) 1 0 0 1 0

di (fark) 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1 1 1 1 1


di = xiyibi + xi’yi’bi + xi’yibi’ + xiyi’bi’

di+1 = xi’yi + xi’bi + yibi



4.6.5. Eşlik Bit’i Üretimi

Doğruluk Çizelgesi

a b c p

0 0 0 0

a ® 0 0 1 1

b ® Birleşimsel ®p 0 1 0 1

c ® Devre 0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

p = abc + a’b’c + a’bc’ + ab’c’

p = a b c

Genelde n bit’lik x1x2x3….xn sözcüğünün çift eşlik bit’i:

p = x1 x2 x3 ….. xn olarak bulunur.



a ®b ® Birleşimsel ®y (0 : doğruc ® Devre 1 : yanlış)p ®

ab cp 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 y = a b c p

4.6.6. Eşlik Bit’iDenetimi Doğruluk Çizelgesi a b c p y

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0



4.6.7. İkiye Tümler Hesaplayan Devre

A = an-1an-2 … a1a0 n bit’lik ikili bir sayı olsun. A sayısının ikiye tümleri olan

B = bn-1bn-2 … b1b0 sayısını üreten devreyi tasarlamak istiyoruz: B = (A’)2

n bit’lik sözcükler üzerinde işlem yapan bu tür devreler genellikle çok karmaşıktır. Bu tür devreler genellikle bir bütün olarak tasarlanmaz. Devre modüler yapıda düşünülür ve devrenin bir modülü tasarlanır.

İkiye tümler algorilmasına göre, devrenin i. modülünün ai girişi ile bi çıkışı

arasındaki bağlantı aşağıdaki gibidir:

Eğer i. basamağın sağındaki basamaklarda hiç 1 yoksa: bi = ai

Eğer i. basamağın sağındaki basamaklarda en az bir tane 1 varsa: bi = ai’



ai


bi = ki’ai + kiai’

ki+1 Mi ki ki+1 = ki + ai

bi

an-1 an-2 ai a0

kn Mn-1 kn-1 Mn-2 kn-2 ….. ki+1 Mi ki …. k1 M0 k0

bn-1 bn-2 bi b0



4.6.8. BCD - Artık-3 Kod Dönüştürücü BCD Kod Söz. Artık-3 Kod Söz.

x3 ® ®y3 x3 x2 x1 x0 y3 y2 y1 y0

x2 ® Kod ®y2 0 0 0 0 0 0 1 1x1 ® Dönüştürücü ®y1 0 0 0 1 0 1 0 0x0 ® ®y0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 yi=fi(x3,x2,x1,x0) i = 3, 2, 1, 0 0 1 0 1 1 0 0 0 işlevleri eksik tanımlanmış 0 1 1 0 1 0 0 1

işlevlerdir. 0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 0 1 0 1 1 Çıkış İşlevleri: 1 0 0 1 1 1 0 0y3 = (5,6,7,8,9)+(10,11,12,13,14,15) 1 0 1 0 - - - -y2 = (1,2,3,4,9)+(10,11,12,13,14,15) 1 0 1 1 - - - -y1 = (0,3,4,7,8)+(10,11,12,13,14,15) 1 1 0 0 - - - -y0 = (0,2,4,6,8)+(10,11,12,13,14,15) 1 1 0 1 - - - - 1 1 1 0 - - - - 1 1 1 1 - - - -



y3 = x3 + x2x1 + x2x0

y2 = x2’x1 + x2’x0 + x2x1’x0’

y1 = x1’x0’ + x1x0

y0 = x0’

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1 1

01 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 Æ Æ

y2

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 Æ Æ

y1

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00 1 1

01 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 1 Æ Æ

y0

x3x2 x1x0

00 01 11 10 00

01 1 1 1

11 Æ Æ Æ Æ

10 1 1 Æ Æ

y3

Documents

Mantıksal Tasarım