Guía Docente

APUNTES MATEMÁTICA I

MTAN01

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2014

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CONTENIDO

PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………………..3

FUNDAMENTOS……………………………………………………………………………………......4

Currículo de Matemática I......................................................................................................................................4

Resolución de Problemas .......................................................................................................................................4

Fundamentos de la Matemática ..............................................................................................................................5

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS…………………………………………………………………………7

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .................................................................................................7

UNIDAD 2: ALGEBRA .................................................................................................................................... 20

UNIDAD 3: PROGRESIONES ........................................................................................................................ 20

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PRESENTACIÓN

Reconociendo los desafíos que la política de admisión inclusiva conlleva, INACAP se da a la tarea de

abordar la progresión académica de sus alumnos a través de intervenciones en el ámbito curricular y

cocurricular.

El Sistema de Apoyo a la Progresión Académica es una iniciativa que interviene distintos ámbitos del

problema, en particular establece propuestas en los tres vértices que sostienen el proceso de enseñanza-

aprendizaje: alumno, docente y currículo.

A la renovación curricular en proceso y la oferta de capacitación docente, la institución define una

intervención denominada acompañamiento de alumnos, que en el ámbito del apoyo académico establece

una serie de medidas, entre ellas la entrega de un material de apoyo al alumno de Matemática I.

El texto para Matemáticas I es una manera de llevar el currículo al discurso escolar de la institución y de

explicitar los aspectos declarados en los programas de asignatura, en especial los relacionados con la

resolución de problemas.

Es un material que puede permitir a los alumnos profundizar sus conocimientos y guiar al docente en la

interpretación del currículo, proveer de actividades y apoyar en general su labor de enseñanza.

Para aportar en la comprensión del tratamiento de los contenidos que propone el texto y los fundamentos

que lo sostienen, se presenta esta guía docente. En la primera parte se expondrán algunos fundamentos,

didácticos y epistemológicos que inciden la concepción de la enseñanza y aprendizaje que sustentan el

currículo y el texto de Matemática I. En la segunda parte se realizan sugerencias didácticas para el

tratamiento de cada una de las unidades. Finalmente, se muestra la distribución temporal sugerida para cada

tema.

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FUNDAMENTOS

Se reconoce que la tarea de enseñar matemática es casi tan compleja como la de aprender y que nuestros

docentes abordan esa difícil misión aportando todos sus conocimientos pedagógicos con entrega y

dedicación. Este reconocimiento, además de justo, es muy necesario, pues lo que se propone a

continuación no interviene en el ámbito pedagógico del profesor, sino en la reflexión epistemológica y

didáctica, sobre las que se sustenta el currículo de Matemática I y sus productos, en este caso el texto del

estudiante.

Currículo de Matemática I

Las Matemáticas I de INACAP son asignaturas que intentan desarrollar competencias básicas,

competencias genéricas y competencias específicas para la especialidad. En general, las asignaturas tienen

algunas unidades que intentan nivelar y otras que tributan a los requerimientos de conocimientos

matemáticos específicos de la especialidad, además del desarrollo de la competencia genérica de

“Resolución de Problemas”.

El programa de asignatura declara los contenidos y el nivel de dominio de la competencia genérica, pero

llevarlos al aula requiere comprender aspectos que el currículo no alcanza, ni puede, transparentar.

¿Qué significa desarrollar la competencia de resolución de problemas en Matemática? El programa no

puede responder, aún más, la misma noción de “problema” puede variar y con ello en la práctica tener

distintas interpretaciones de la competencia “resolución de problemas”.

Por otro lado, aunque el programa parezca tematizar la resolución de problemas y reducirla a una unidad,

su estatus en la matemática es transversal, la resolución de problemas es parte de la actividad matemática y

se desarrolla en paralelo a la obtención de conocimientos.

El texto propone un enfoque de resolución de problemas y delimita los propósitos de la unidad que lo

tematiza, además de vincular el aprendizaje de la matemática con la actividad de resolver problemas.

Resolución de Problemas

La importancia de la resolución de problemas en matemática ha aumentado en los últimos años. La OCDE

(2003) reconoce que aunque la adquisición de conocimientos específicos es importante, su aplicación en

contextos productivos depende del desarrollo de competencias más amplias. La prueba PISA, que elabora

la OCDE, centra su atención en evaluar la capacidad que tienen los alumnos en resolver problemas, al

momento de salir de la educación secundaria.

Recogiendo estas ideas, debemos sincerar un aspecto del aprendizaje: es iluso pensar que nuestros

estudiantes podrán aprender y recordar toda la matemática que necesitan en el ejercicio de su profesión,

más importante es que puedan adquirir habilidades que les permitan generar sus propios aprendizajes en el

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futuro. La resolución de problemas juega un rol fundamental en la posibilidad de los alumnos de

movilizar sus conocimientos matemáticos de forma funcional y aplicarlos en contextos profesionales.

El currículo de INACAP reconoce la importancia de las competencias transversales y asocia la resolución

de problemas a las Matemáticas I. Sin embargo, la resolución de problemas matemáticos es un tema mucho

más específico y con diversidad de enfoques.

Quizás uno de las prácticas más comunes es relacionar problemas con ejercicios de aplicaciones, que

aparecen al final del proceso de enseñanza, en un intento de justificar la matemática estudiada. Otras veces

los problemas se presentan al comienzo, con la intención de motivar el estudio de un tema, pero por lo

general son resueltos por el profesor y luego desaparecen de escena. En ambos casos el estudiante tiene

pocas posibilidades de enfrentarse a una genuina actividad de resolución de problemas, en la primera los

problemas de aplicación son en realidad ejercicios en contexto y en la segunda los problemas no los

resuelve el alumno, sino el profesor.

El texto intenta articular dos concepciones de la resolución de problemas. Por un lado se establece la

necesidad de trabajar con heurísticas generales (Pólya), que descomponen la resolución de problemas en

etapas, que aunque no siempre aseguran la resolución del problema si pueden ayudar a atacarlo. Por otro

lado, se adhiere al constructivismo, relacionando el aprendizaje de la matemática con la actividad de

resolver problemas, en un enfoque en el que la resolución de problemas no es solo una actividad donde

se aplican los conocimientos ya aprendidos, si no que puede ser en sí misma una instancia de generación de

conocimiento.

Fundamentos de la Matemática

El modelo constructivista de la resolución de problema tiene raíces epistemológicas, ligada a la relación de

la enseñanza y aprendizaje de la matemática con los fundamentos de la disciplina.

Es indudable que todos los profesores de matemática, actuamos y validamos las prácticas docentes de

acuerdo a los modelos que tenemos instalados en nuestro pensamiento. Funcionamos en base a un modelo

docente, que a su vez responde a un modelo epistemológico de la matemática. Para algunos la matemática

es una herramienta útil para las aplicaciones prácticas, para otros una disciplina formal que se justifica a sí

misma, lo que lleva a valorar algunos aspectos de la matemática en detrimento de otros.

Lo cierto es que la matemática como ciencia es una disciplina formal, compuesta de axiomas, definiciones y

teoremas, que deben ser demostrados usando el razonamiento lógico-deductivo. Algunos matemáticos

definen a su ciencia como “un juego formal desprovisto de significado”, en alusión a que en matemática no

tiene ninguna importancia la naturaleza de los objetos, si no como se relacionan entre sí, esto es las

estructuras matemáticas.

Sin embargo, esto es solo una parte de la “actividad matemática”. Toda la matemática se construye a partir

de la necesidad de resolver problemas, ya sean prácticos, científicos, artísticos, matemáticos o filosóficos.

La exposición prístina de la matemática formal solo es posible después de un proceso de inventiva

matemática, de experimentación, de ensayo y error, de conjeturas, etc., que es lo que nos hace comprender

y enunciar las propiedades matemáticas involucradas.

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La resolución de problemas es el primer eslabón en la construcción de la matemática y es esencial para dar

sentido a la actividad matemática en el aula. La inventiva y la intuición son aspectos que todo matemático

debió desarrollar para construir matemática, del mismo modo, vincular al alumno con una actividad

constante de resolución de problemas permitirá desarrollar habilidades esenciales para comprender y dar

sentido al estudio de la matemática.

Desde esta perspectiva aprender matemática va más allá de adquirir conocimientos específicos, se relaciona

con construir y desarrollar las ideas de esta disciplina, lo que implica hacer partícipe a los estudiantes

de los procesos implicados en la resolución de problemas y la construcción y desarrollo de su

conocimiento.

Esto no implica que la práctica de enseñanza se reduzca solo a la resolución de problemas, el trabajo de la

técnica es fundamental para adquirir destrezas operatorias, que se ponen en juego a su vez en la resolución

de problemas. El texto hace una diferencia entre ejercicios y problemas, pero propone que se trabajen

ambos.

Implementar actividades de resolución de problemas en aula requiere de una disposición distinta por parte

del profesor, donde el protagonismo lo asume el estudiante y a la situación problemática propuesta. El rol

del docente debe ser de mediar entre la actividad y el alumno, devolviéndoles constantemente la

responsabilidad de elaborar las estrategias de resolución. Se debe tener en cuenta cuando modificar las

variables didácticas de la situación para redirigir los intentos de los alumnos, sin que ello implique

mostrarles la respuesta. Se sugiere que el trabajo de resolución de problemas sea en grupo, ya que se

sustenta en la formulación y validación de las estrategias entre pares.

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SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

UNIDAD 1: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Páginas 6 - 20: Estrategias de Resolución

¿Qué es aprender matemática? (pág. 6)

Dado que la propuesta de resolución de problemas del texto se establece desde un paradigma de la

enseñanza distinto al que el estudiante puede estar habituado, es conveniente plantear una breve reflexión

sobre lo que es la matemática y lo que significa aprender matemática.

Se sugiere recoger las creencias de los estudiantes y discutir los problemas que esas concepciones pueden

tener. El objetivo es introducir la necesidad de mirar la actividad matemática, en sus procesos de

construcción y formalización, como modelo para su enseñanza-aprendizaje (pág. 6).

Es el momento de resaltar la importancia de la resolución de problemas en la matemática, comentando

como los problemas de distinta índole han dado origen al desarrollo de conceptos muy relevantes para la

matemática.

El texto propone el ejemplo del último teorema de Fermat, que refleja el espíritu incansable del matemático

por resolver problemas y como esta actividad permitió a su vez ampliar los dominios del conocimiento.

Para entenderlo se puede proponer a los alumnos encontrar ternas pitagóricas 2 2 2x y z , seguro

encontrar la de 3,4 y 5, el docente puede mostrar también la de 5, 12 y 13, luego puede preguntar si es

posible encontrar ternas similares para cubos 3 3 3x y z , luego extender el problema a su formulación

general.

¿Problema o ejercicio? (pág. 7)

Es probable que muchos alumnos solo se hayan visto enfrentados a ejercicios en su trabajo escolar. Es

necesario que reconozca un problema y lo diferencien de un ejercicio. Se sugiere discutir las diferencias y

plantear ejemplos. El texto propone el problema

Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines, tal como se muestra en la

siguiente figura:

8

a) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaños?

b) ¿Cuántos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaños?

La primera pregunta tiene el carácter de un ejercicio cuando se llega a plantear aritméticamente como la

suma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55 .

Pero la segunda pregunta, con los conocimientos de los alumnos de este curso, correspondería a un

problema:

1 2 3 100

Se sugiere plantear el problema y dejar que los alumnos (en grupo) formulen algunas estrategias, luego

comentarlas con el curso.

Aunque el texto expone varias soluciones al problema sería conveniente en este momento discutir el

problema fundamental para el alumno ¿cómo resolver problemas?

¿Cómo resolver problemas? (pág. 8-17)

Es necesario plantear la complejidad y las limitaciones que tiene intentar enseñar a resolver problemas. El

dilema constante entre los métodos generales y particulares y el equilibrio que se propone en el texto.

1. Es pertinente conocer los métodos generales de resolución de problemas, ya que aunque no

garantizan la solución de un problema, si pueden ayudar a atacarlo.

2. Las estrategias están muy ligadas al contenido matemático involucrado y la capacidad de

transferir esas estrategias a otros dominios depende de la experiencia con diversas situaciones en las

que la estrategia se aplicó. Es necesario revisar el contenido específico.

Se presenta el método de Pólya como modelo general:

1. Entender el problema

2. Diseñar un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución

Este método requiere de la metacognición de los alumnos, cuyo control y monitoreo de sus acciones puede

ser descrito en término de las preguntas necesarias para abordar cada paso del método. Se sugiere que el

profesor ayude a formular esas preguntas.

En matemática no hay solo una estrategia, pero en la medida en que el alumno es consciente de cómo un

método particular funcionó para un caso, puede intentar llevarlo a otro. La diversidad de situaciones y de

estrategias que puede conocer en una práctica continua de resolución de problema, permiten al alumno

configurar el abanico de experiencias, métodos y recursos con los cuales puede abordar un problema.

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Las estrategias que se plantean en el texto son:

1. Descomponer el problema en subproblemas.

2. Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.

3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

5. Buscar analogías.

6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un problema aritmético

representándolo geométricamente.

7. Búsqueda por ensayo y error.

8. Método algebraico.

9. Método gráfico.

En este punto el problema de las suma de los primeros 100 enteros positivos se vuelve a retomar, con la

intención no solo de resolverlo, sino de identificar los métodos que se están utilizando. El texto expone el

siguiente análisis que el profesor puede completar:

Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.

Agrupar en sumas parciales que sean más sencillas de calcular.

Si colocamos los números del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible buscar sumas parciales que sean

más simples de calcular. Por ejemplo, descomponiendo los números de cada fila en decenas y unidades, el

resultado de cada fila es un múltiplo de 100 más 55:

Hay otras configuraciones posibles para descomponer la suma en sumas parciales, es posible que sus

alumnos hayan encontrado alguna.

55

100 + 55

200 + 55

300 + 55

400 + 55

500 + 55

600 + 55

700 + 55

800 + 55

900 + 55

4500 + 550 = 5050

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10

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Estrategia 2: Resolver problemas más simples que sean de algún modo similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un número menor y establecer la analogía con el problema principal. Por ejemplo,

¿de qué otras maneras podemos sumar números del 1 al 10?

a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 veces 11

. 5 11 55

De la misma forma

1 2 3 98 99 100

50 veces 101

50 101 5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.

1 2 3 98 99 100

100 99 98 3 2 1

101 101 101 101 101 101

100 veces 101

Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado por 2, esto es

100 1015050

2

11

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema. Transferir el problema de un

dominio a otro.

Representar el problema geométricamente como un cálculo de área.

Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaños.

Con dos figuras iguales podemos formar un rectángulo

Con 6 peldaños se tiene un rectángulo de 6 7 , como la escalera es la mitad, debemos calcular la mitad del

área del rectángulo, es decir

6 721

2

Por tanto, con 100 peldaños se tendría un rectángulo de 100 101 y la cantidad de adoquines de la escalera

sería

100 1015050

2

Es conveniente que sean los alumnos los que identifiquen los métodos que utilizaron y los caractericen

según la definición propuesta o agreguen algún otro tipo de clasificación, si aplicaron otra estrategia.

También es necesario que el alumno reconozca como abordó cada uno de los pasos del método general de

Pólya, ¿qué hizo para entender el problema?, ¿cómo llegó a diseñar un plan?, ¿cómo ejecutó el plan? y

¿cómo verificó su solución?

6

7

12

Los problemas propuestos (pág. 18-20)

Se sugiere que algunos de los problemas propuestos para esta parte de la unidad se puedan abordar en la

sala de clase a modo de taller. Lo importante no es la solución que puede mostrar el profesor, sino las

estrategias que pueden construir los propios alumnos. En ese sentido el profesor podría provocar una

reflexión en sus alumnos sobre las heurísticas que utilizaron para resolver los problemas, de modo que el

estudiante no solo valore el resultado, además sea consciente de las estrategias que usó.

Páginas 21 - 33: Aritmética

La necesidad de profundizar en el estudio de la matemática

Uno de los aspectos que están considerados en el tratamiento de los contenidos de este texto es que el

estudiante no es una tabla rasa sobre la que se puede reescribir un conocimiento sin mayor dificultad. El

alumno tiene construido a priori un sistema de saberes, ideas y creencias que juegan a favor o en contra de

su aprendizaje.

Muchas veces el conocimiento aritmético de los alumnos está elaborado en base a creencias, que se ha

construido forzosamente, ante las falencias de una enseñanza basada en metáforas y reglas nemotécnicas,

que sus profesores han expuesto con la intención de simplificar la enseñanza, pero que no hacen otra cosa

más que ocultar la matemática.

Si no se enfrenta al alumno con los errores que provoca su sistema de creencias de los números, seguirá

funcionando de la misma manera. En este sentido, al comienzo del tema de aritmética se sugiere que el

profesor plantee algunas preguntas sobre el conocimiento aritmético de los alumnos y discutir la validez de

sus respuestas. Es posible que reciba las siguientes respuestas:

¿Qué es el cero?... El vacío, la nada.

¿Por qué menos por menos es más?... Porque el enemigo de mi enemigo es mi amigo.

¿Por qué el -5 es menor que el -2?... Porque está más lejos del cero.

¿Cuánto es 0/0?... 0 porque nada dividido en nada es 0. Si se simplifica es 1.

¿Cuánto es 02 ?... 2 porque 2 elevado a nada sigue siendo 2.

Etc.

El propósito es que el alumno, que cree saber lo que ya vio en la escuela, comprenda que necesita abordar

el estudio de la aritmética de forma más profunda.

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El paso de lo concreto a lo abstracto (pág. 21)

Uno de los obstáculos didácticos que dificultan la comprensión de la matemática es la tendencia a forzar

una comprensión puramente concreta de la matemática. En la escuela, particularmente en la básica se

insiste en mantener los modelos concretos, aún cuando en la etapa de la introducción de los números

negativos y del álgebra el alumno debe transitar hacia la abstracción.

Sin lugar a duda muchos de nuestros alumnos llegan con la idea de que la matemática debe ser siempre

concreta, una creencia que se debe derribar para avanzar en su aprendizaje. En la aritmética los naturales y

racionales están construidos sobre la base de referentes concretos, estatus que no comparten los números

negativos y que llevó a la matemática a convertirse en una ciencia abstracta. Es importante que los

estudiantes comprendan que no hay referente concreto para el producto de negativos, que solo se aceptan

para mantener la estructura de los números.

Los conjuntos y sistemas numéricos (pág. 22-33)

A partir de la revisión de los conceptos fundamentales de los naturales, enteros, racionales, irracionales y

reales, se sugiere destacar los aspectos teóricos que fundamentan el funcionamiento de los números,

reemplazar las respuestas ingenuas de los alumnos por respuestas matemáticas:

¿Por qué 6 es divisible por 3?, porque existe 2 tal que 6 3 2

¿Por qué 6 2 ? Porque existe 4 tal que 6 4 2

Etc.

Esto es fundamental puesto que el concepto de número es la base sobre la que se construye el resto de la

matemática.

En este sentido se debe hacer un intento para que los estudiantes comprendan lo esencial de las estructuras

algebraicas, comentando como el funcionamiento de los números, las operaciones, las reglas de signo, etc.

se deben a las propiedades definidas en los distintos sistemas numéricos.

Identificar los diferentes tipos de conjuntos que están contenidos en los reales (pág. 22-29)

En la construcción de los números reales, es importante comenzar con los números naturales, ya que en

ellos destacamos las propiedades que veremos rigen a todos los reales. Es importante hacer notar que en

los naturales solo existen 2 operaciones elementales (suma y multiplicación), ya que las restas y divisiones

no siempre se pueden hacer en el conjunto de los números naturales, operaciones que aparecerán de

manera natural al construir los números enteros y Racionales.

Es bueno mencionar con ejemplos que 3 − 5 = 3 + (−5) y entonces nos vemos en la necesidad de tener

este nuevo conjunto de números (llamados enteros) los cuales nos permitirán tener todos los opuestos o

inversos aditivos, y con ello una nueva propiedad en los números reales. A su vez, es importante hacer

notar que 3: 5 = 3 ∙ 5−1 o bien 3: 5 = 3 ∙1

5 de esta manera nace la necesidad de un nuevo conjunto

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numérico (llamados racionales) los cuales nos permiten tener todos los recíprocos o inversos

multiplicativos.

Una vez formados estos conjuntos, es importante dar a conocer que no todo número es racional, que hay

un conjunto especial, que no se forma como una división, esto son los irracionales. En el texto se da el

ejemplo de que √2 no es un racional, pero también es bueno dar a conocer que no solo las raíces

cuadradas son racionales, también lo son raíces de índice mayor, como por ejemplo √25

, y hacer notar que

todas las raíces provienen de una ecuación algebraica (polinomial). Cosa que no sucede con los números

trascendentales 𝜋 y 𝑒. Estos dos números nacen de otras situaciones.

Una vez claro todos estos conceptos, se construyen los reales y se dan sus propiedades y es bueno hacer

notar que estas son válidas para cualquier valor que asignemos.

Hay que hacer notar a los alumnos que −0 = 0, que el signo no influye en el neutro de la suma. Una

forma de probarlo es decir que 1 − 0 = 1 = 1 + 0 y por las leyes cancelativas se tiene lo pedido.

También es bueno hacer notar que 0𝑛 = 0 si 𝑛 > 0; y que 00 no está definido en los reales. Ya que

usando el concepto de potencias llegamos a una contradicción,

00 = 01−1 =01

01=

0

0= ∄

Tránsito de la aritmética al álgebra (pág. 30-31)

Se ha estudiado que algunas de las dificultades en el álgebra elemental tienen raíces profundas en el

tratamiento de la aritmética. Los problemas aritméticos por lo general, no exigen explicitar las operaciones,

ni los paréntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que se deben realizar las

operaciones, por lo que el alumno juzga el uso de paréntesis en aritmética como un mero

convencionalismo. Cuando el alumno pasa al álgebra, sigue pensando que los paréntesis son solo una

cuestión de forma, lo que lo lleva a cometer constantemente los mismos errores.

De la misma forma el signo igual en aritmética es utilizado para identificar la acción que lleva a un

resultado, recibe un tratamiento unidireccional, lo que lleva a los alumnos a realizar cálculos que están mal

escritos pero correctos en su resultado final.

21:3 7 8 15 2 30 25 5

Esto provoca que en las ecuaciones, el signo igual no sea visto como una equivalencia entre sus partes.

El texto propone trabajar situaciones que obligue al alumno, en el contexto de la aritmética, a explicitar el

uso de paréntesis.

Problema 6: Construye los dígitos del 0 al 9 utilizando sólo cuatro veces el número 4. Solo puede ocupar

las 4 operaciones aritméticas básicas. Considera los siguientes ejemplos:

15

0 4 4 4 4

4 41

4 4

En esta situación un alumno que no considere los paréntesis podría construir el 6 como

4 4: 4 4

El propósito del problema es que el alumno verifique si el uso de paréntesis es o no necesario, lo que

puede hacer con la ayuda de una calculadora científica, llevándolo a escribir los paréntesis cuando

corresponda.

Los problemas propuestos (pág. 32-33)

Se sugiere que algunos de los problemas propuestos para esta parte de la unidad se puedan abordar en la

sala de clase a modo de taller. Lo importante no es la solución que puede mostrar el profesor, sino las

estrategias que pueden construir los propios alumnos. En ese sentido el profesor podría provocar una

reflexión en sus alumnos sobre las heurísticas que utilizaron para resolver los problemas, de modo que el

estudiante no solo valore el resultado, además sea consciente de las estrategias que usó.

Páginas 33 - 37: Razones

De un punto de vista cognitivo, las estructuras aditivas preceden a las multiplicativas en el desarrollo del

pensamiento matemático, pero si no se provoca un tránsito que genere una ruptura y acomodación entre

ambas, el estudiante seguirá respondiendo con un razonamiento básicamente aditivo.

La introducción de la noción de proporcionalidad implica este cambio de estructuras, comenzando con el

concepto de razón, una forma de comparación relativa expresada en cociente, que se contrapone a la

comparación absoluta expresada a través de la diferencias entre dos cantidades. El texto propone contrastar

estas formas de comparación para reconocer el ámbito y la utilidad de las razones.

Proporción (pág. 38-43)

Se comienza tratando la proporción como igualdad de dos razones, dando énfasis a las proporciones

equivalentes:

a c d c

b d b a

a d b c

a b d b

c d c a

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De manera que el alumno comprenda que en un problema puede plantear una proporción de distintas

formas.

No se hace mención a la regla de tres, tratando de no algoritmetizar el tratamiento de la proporción. El

cálculo de la cantidad desconocida de una proporción se justifica con las propiedades de la igualdad.

Proporcionalidad (pág. 44-49)

De forma intuitiva los alumnos entienden que dos magnitudes son proporcionales si al aumentar (o

disminuir) una de ellas, un cierto número de veces, la otra también aumenta (o disminuye) el mismo

número de veces.

Sin embargo, se acostumbra a definir matemáticamente la proporcionalidad a través del cociente constante,

en una relación con la idea intuitiva del concepto que no resulta muy clara para el alumno.

Para lograr una comprensión más adecuada del concepto, se sugiere comenzar matematizando la noción

intuitiva de los alumnos. El texto propone encontrar los valores de dos variables proporcionales

multiplicándolas por los mismos factores (el doble, el triple, etc.):

Se puede proponer la construcción de una tabla con los valores de ambas variables:

y 6 12 18 24 30

x 5 10 15 20 25

Si sugiere al docente preguntar ¿qué otra relación existe entre las dos variables?, la idea es que los

estudiantes lleguen a visualizar que las cantidades cumplen la condición del cociente constante que

caracteriza a la proporcionalidad:

6 12 18 24 301 2

5 10 15 20 25,

y

x

De ahí es posible generalizar que x e y son proporcionales (o directamente proporcionales) si y solo si

yk

x , con k constante real.

17

La relación de proporcionalidad (pág. 49-54)

Para avanzar en el tratamiento de la proporcionalidad es necesario reconocerla como un tipo especial de

relación funcional entre variables. La idea fundamental es que el alumno se pregunte: si x e y son

proporcionales, ¿cómo se puede obtener el valor de y dado el valor de x?, ¿qué forma tiene la ecuación que

las relaciona?

Es necesario pasar de la proporcionalidad entendida como una covariación con cociente constante a una

relación de dependencia en que la constante es un factor:

yk y kx

x

Lo que permite modelar la proporcionalidad a través de una ecuación lineal: dos variables x e y son

proporcionales si existe una constante 0k , tal que

y kx

Por cierto que el alumno debe percibir la utilidad de este cambio de enfoque, para ello el texto propone

situaciones de proporcionalidad, que con el tratamiento aritmético de la regla implicaría plantear un gran

número de proporciones, que con el uso de la ecuación lineal se reduce a evaluar en cada uno de los

valores de x. Una de estas situaciones se muestra en la sección de ejercicios y problemas propuestos (pág.

108):

El tratamiento aritmético implicaría plantear y resolver tantas proporciones como valores están

involucrados en el problema, lo que claramente resulta ineficiente como estrategia de solución.

Por su lado, el tratamiento algebraico se reduce a encontrar la ecuación y evaluar en los distintos valores:

18

Usando los valores del enunciado 133

0,2665

k , luego la ecuación de proporcionalidad es

0,2y x

Reemplazando en la ecuación por cada una de las medidas de la herramienta se obtiene la solución:

0,2 330 66

0,2 200 40

0,2 350 70

y

y

y

Proporcionalidad inversa (pág. 54-57)

Tanto en este documento como en el texto se habla de intencionalmente proporcionalidad para referirse a

la proporcionalidad directa. Esto ocurre porque la proporcionalidad inversa es un tipo más de

proporcionalidad directa.

En efecto, que y sea inversamente proporcional a x, significa que y es (directamente) proporcional a 1

x,

por tanto debe existir 0k tal que

1y k

x

En resumen, la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe 0k tal que

ky

x

Lo relevante es que el alumno entienda que la proporcionalidad inversa corresponde a un tipo de

proporcionalidad directa, pero que constituye un tipo de relación distinta entre las variables. Que para

encontrar la constante basta multiplicar una par de valores de ambas variables k x y (producto

constante) y que encontrar el valor de y implica dividir la constante por su respecto valor de x.

Proporcionalidad compuesta (pág. 58-61)

El tratamiento usual de la proporcionalidad compuesta es llevar los valores a tablas y según sea el caso,

multiplicar o dividir en ciertas direcciones, un tratamiento que prioriza los recursos algorítmicos por sobre

la comprensión y justificación matemática del tema.

El grado de algebrización de la proporcionalidad directa e inversa que se propone en el texto, permite

formular la proporcionalidad compuesta a través de un modelo matemático, que tiene la lógica descrita

para ambos casos: interviene una constante, multiplicada por las variables directamente proporcionales y

dividida por las variables inversamente proporcionales. Esto es:

19

Si la variable y es directamente proporcional a las variables 1 2, ,..., nx x x e inversamente proporcional

a las variables 1 2, ,..., mz z z , entonces existe 0k tal que

1 2

1 2

n

m

k x x xy

z z z

La constante se encuentra reemplazando en la ecuación los valores dados en el enunciado, veamos uno de los ejemplos del texto

2. Veinte obreros pintan una muralla de 60 mt2 en 18 minutos. ¿Cuántos obreros se necesitan para pintar 36 mt2 en 12 minutos? La tabla se usa solo para ordenar la información.

N S M

Nº de obreros Superficie Nº de minutos

20 60 18

36 12

Como N es directamente proporcional con S e inversamente proporcional con M se tiene kS

NM

El valor de k se es 60

20 618

kk

La ecuación queda completamente determinada por 6S

NM

Al reemplazar por los valores respectivos se tiene 6 36

1812

N

Páginas 65 - 71: Porcentajes

En el tema de porcentajes también se propone hacer evolucionar el concepto desde su tratamiento como proporción con un término igual a 100, hasta la aplicación de factores decimales. Se sugiere que el profesor proponga situaciones de porcentajes en que el planteamiento de las proporciones resulte ineficiente, de manera que la aplicación de factores se juzgue como una herramienta útil para este tipo de problemas. El texto expone el siguiente problema:

Problema 15: En una ciudad de 120.000 habitantes el 65% trabaja, de este grupo el 80% son hombres, de

ellos el 20% gana el sueldo mínimo, de los cuales el 5% a cambiado de trabajo en el último año. ¿A cuántas

personas corresponden?

En vez de plantear 4 proporciones se puede resolver multiplicando por las respectivas expresiones

decimales

0 05 0 20 0 80 0 65 120000 624, , , ,

20

Páginas 71 - 75: Planteamiento de Ecuaciones

En esta sección se busca encontrar métodos que le permitan al estudiante establecer ecuaciones, es importante notar que todos los pasos puestos en el texto son meramente consejos. No es una regla, ya que sería imposible encasillar a todos los problemas de una misma manera.

UNIDAD 2: ÁLGEBRA

Páginas 78 - 129: Lenguaje Algebraico

El sentido del estudio del álgebra elemental (pág. 78-79)

El enfoque predominante del álgebra escolar prioriza el dominio de reglas de manipulación algebraica,

haciendo que el estudiante perciba al álgebra elemental solo como un asunto de reglas sintácticas, sin

sentido ni utilidad práctica. Generalmente, se intenta suplir esta falta de sentido tratando de instalar la idea

de su utilidad futura, sin embargo, resulta muy difícil sostener el estudio de esta materia en abstracto,

obviando o postergando la razón de ser del álgebra elemental.

La matemática por la matemática no tiene sentido para nuestros alumnos, el estudio y desarrollo del álgebra

elemental se debe fundamentar en su utilidad como herramienta para describir y resolver

problemas. En este sentido adherimos al enfoque planteado por Gascón (2010): “el álgebra elemental

debe ser entendido como un instrumento genérico de modelización, que antes de ser tematizada como

objeto explícito de estudio, debe utilizarse para profundizar el estudio de organizaciones matemáticas

previamente construidas”.

Pero esto implica un cambio en los objetivos a trazar en el tema. Más que observar el dominio de las reglas

de manipulación algebraica, estamos interesados en que el estudiante logre usar el álgebra para modelar las

situaciones problemáticas que se le presentan. Es importante tener en cuenta que este cambio implica un

giro en los objetivos de evaluación.

Lograr que los alumnos perciban la utilidad del álgebra elemental no es un asunto declarativo, muchos de

los problemas que le presentamos a nuestros alumnos, incluso con planteamientos algebraicos, no

requieren de este conocimiento, pueden ser resueltos de forma aritmética o por ensayo y error. Se necesita

plantear situaciones en que el marco de resolución aritmético resulte insuficiente y requiera de

conocimientos algebraicos para su solución. El texto propone el siguiente problema:

Problema 1:

a) Un corredor se encuentra a 10 metros de la partida y avanza 3 metros por segundo. Un segundo

corredor que está a 2 metros de la partida recorre 5 metros cada segundo, ¿cuánto tiempo pasa para que

ambos corredores se encuentren?

b) Supongamos que en el problema anterior el primer corredor se encontraba a 93 metros de la partida y el

segundo a 45 metros de la partida, ¿cuánto tiempo pasa para que se encuentren?

21

La primera parte del problema no es necesario aplicar álgebra, se puede resolver por distintos métodos.

Se sugiere al profesor recoger y mostrar las distintas estrategias que pueden realizar sus alumnos. Por

ejemplo una búsqueda exhaustiva de la solución:

Seg. Distancia Corredor 1

Distancia Corredor 2

0 10 2 1 13 7 2 16 12 3 19 17 4 22 22

Los corredores se encuentran a los 4 segundos

Sin embargo, cuando el alumno intente aplicar las mismas estrategias a la segunda parte del problema se

dará cuenta que resultan inadecuadas o muy extensas de tratar. Sentirá la necesidad de profundizar en el

álgebra que le permita resolver esta u otras situaciones. En este caso plantear la ecuación permite resolver

el problema:

93 3 45 5

93 45 5 3

48 2

24

x x

x x

x

x

Pero más que resolver la ecuación, sobre la cual el alumno tiene un conocimiento más o menos adquirido,

la dificultad real del alumno, sobre la que debemos poner toda nuestra atención, es su capacidad para

expresar simbólicamente una situación. Por eso, antes de entrar a revisar los métodos para resolver

ecuaciones o manipular las expresiones algebraicas, es fundamental que el alumno adquiera un lenguaje

algebraico. No se debe asumir que el estudiante puede traducir un enunciado a su formulación simbólica,

para la mayoría de nuestros alumnos este es el mayor problema que tienen con el álgebra.

Significados de la letras en álgebra (pág. 80-94)

En el ámbito escolar es común justificar el paso de la aritmética al álgebra sugiriendo que la primera trata

con números y la segunda con números y letras, sin entrar en más detalle sobre los significados que pueden

asumir los literales. Esto provoca que muchos alumnos crean que el único significado de un literal es el de

incógnita, generando una dificultad que les impide avanzar en su comprensión del lenguaje algebraico.

La capacidad para expresar simbólicamente una situación depende en gran medida de la comprensión de

los distintos significados de los literales.

El texto comienza planteando la diferencia entre el uso como “etiquetas” que algunos alumnos suelen dar a

las letras y el significado de variable. Se sugiere que el docente permita una reflexión entre sus alumnos al

respecto, a través de preguntas como ¿Qué significado puede tener la expresión 3m?

Los alumnos que respondan: 3 metros, 3 manzanas o 3 minutos, usan las letras como etiquetas de las

palabras sobre las que se describe su número. Es importante corregir esta concepción y llevarlos a

22

plantearse situaciones con la letra m como variable como por ejemplo: 3 veces el número de metros, 3

veces el peso de las manzanas o 3 veces el tiempo utilizado.

Luego es posible plantear situaciones de traducción al lenguaje algebraico en el que intervengan variables,

(ejemplo pág. 133).

Es recomendable que el docente introduzca situaciones en las que es posible interpretar el significado de

los literales de acuerdo a la expresión en que están contenidas, por ejemplo:

Problema 2: La siguiente figura muestra las dimensiones de una pieza metálica.

¿Qué representan las siguientes expresiones? ¿Qué función cumplen los literales en cada una de ellas?

a) 24 2r

b) 24 2 40r

c) 24 2r P

El objetivo es que el alumno comprenda que un literal representa a un número, pero algunas veces a un

número desconocido (incógnita) o a cualquier número (variable). En la primera expresión la letra

representa a una variable (número generalizado), en la ecuación que viene después la letra representa una

incógnita (valor desconocido) y en la tercera es una variables que depende de otra a través de una relación

funcional.

Profundizar en la comprensión de los significados y contextos de uso de los literales ayudará al alumno a

representar adecuadamente una situación en lenguaje algebraico.

Páginas 95 - 129: Manipulación Algebraica

El texto se plantea dos objetivos en el estudio del álgebra, ambos fundamentales:

1. Ser capaz de expresar a través de símbolos las relaciones y procesos involucrados en una

situación.

2. Alcanzar una destreza que permita manipular las expresiones simbólicas, transformarlas en

otras equivalentes, que resulten más útiles para resolver el problema planteado.

El primer punto permite tener control sobre el significado de las expresiones algebraicas que se construyen,

pero sin la habilidad de manipularlas el trabajo algebraico resulta infructuoso. Profundizar en el trabajo de

la técnica es esencial, sin embargo este debe surgir de la necesidad de resolver determinados problemas

matemáticos o extramatemáticos.

10

r

r

3 3 4 4

23

Por ejemplo, la factorización es un tema que tiene su razón de ser en la posibilidad de resolver

ecuaciones de segundo grado, desvincularla de esto y tratarla en abstracto no permite al alumno entender

su utilidad.

Páginas 130 - 141: Ecuaciones de primer grado

La idea de este contenido es interpretar los distintos tipos de ecuaciones y como enfrentar de una mejor

manera todo este trabajo de plantear y resolver los problemas. Es importante dar ejemplos en donde la

manera de resolución no sea única. Que existan diferentes formas de establecer la misma ecuación

dependiendo de la interpretación que tome el alumno.

Páginas 141 - 149: Sistema de ecuaciones

Se establecen distintos tipos de métodos para poder resolver un sistema de ecuaciones, dentro de los que se

destacan los de Igualación, Reducción y Sustitución. Todos métodos idénticos. Es importante hacer notar

al alumno que estos métodos entregan el mismo resultado y que su uso depende más bien del tipo de

ecuación al que se enfrente.

Páginas 149 - 155: Ecuaciones de segundo grado

Aquí se da a conocer la solución general de una ecuación de segundo grado, aprovechando también el

hecho de la factorización. Es bueno que siempre se busque una factorización antes que aplicar la fórmula

para encontrar la solución a la ecuación de segundo grado. Ya que esto nos permite ahorrar tiempo y

evitar cometer errores al momento de hacer los reemplazos en la formula.

Páginas 156 - 166: Intervalos e Inecuaciones

En estos contenidos se aclaran las ideas de intervalos y de desigualdades. Relacionándolas y determinando

que son el mismo concepto. Es importante también notar que en las desigualdades las propiedades son las

mismas que en los números reales. Salvo al multiplicar por números negativos (menores que cero). Donde

el signo de la desigualdad cambia.

Páginas 167 - 180: Sistemas de Inecuaciones

Se busca que el alumno refuerce los conceptos de inecuaciones presentando el caso en donde hay una

desigualdad y una igualdad, y luego el caso de dos desigualdades. Es importante hacer notar que en el caso

de dos desigualdades hay un conjunto solución y es bueno realizar la gráfica para ver de manera más clara

cuál es la región que es solución al sistema.

24

UNIDAD 4: PROGRESIONES

Páginas 290 - 305: Sucesiones

Páginas 290 - 291: Búsqueda de una sucesión

El Problema 1, Nos muestra un gran ejemplo de sucesiones en donde

debemos ser capaces de encontrar un patrón o regla que nos permita la

construcción de las figuras, sin la necesidad de armar o hacer la figura que

nos piden. Así, En la secuencia, ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la

cuarta figura? ¿Cuántos palitos de fósforos conforman la figura nº50?

Vale la pena rehacer el ejemplo con los alumnos para que sepan encontrar

patrones no solo en este tipo de figura.

Páginas 291 - 304: Construcción de una sucesión

Es importante saber cómo se construye una sucesión, cuál es su término general, su antecesor, su sucesor,

cuál es su patrón genérico, etc. Por ello debemos identificar cada coeficiente con la posición adecuada. Es

por ello que debemos colocar

𝑎𝑛 ∈ ℝ, ∀ 𝑛 ∈ ℕ

Donde n es el sub-índice de la sucesión (que indicara la posición).

Es importante distinguir entre los tipos de sucesiones que podemos encontrar. Ya sean formadas de

manera recursiva, por su término general o bien por un patrón dado.

Necesitamos hacer diferencia entre sucesiones acotadas y no acotadas, monótonas y no monótonas y

convergentes y no convergentes. Para ello es importante hacer este estudio, aprovechando lo visto en

funciones. Ya que una sucesión es una función pero solo analizada en los naturales.

Páginas 306 - 305: Sumatorias

Usualmente los estudiantes no han visto el concepto de una sumatoria, por lo que es esencial ilustrar con

ejemplos como se van formando las sumatorias, Un buen ejemplo es del pequeño Gauss con la suma de

los primeros 100 naturales.

Cuando se ilustren las propiedades de las sumatorias es importante dar a conocer una variedad de ejemplos,

donde el alumno pueda observar que el patrón es similar y que los sub-índices deben ser los adecuados

para que esta tenga resultado, por ejemplo

25

∑ 3𝑘 − 2𝑝

10

𝑘=1

=

Donde se aprecia que la letra 𝑘 es la variable, mientras que la letra 𝑝 es una constante.

Página 312: Sumas Notables

El docente debe dar énfasis en que algunas de las demostraciones son intuitivas, y otras requieren más

trabajo. Así, la sumatoria 1 es muy sencilla de probar, pero en cambio las 2, 3 y 4 requieren un trabajo

mayor.

Páginas 318 - : Progresiones

Páginas 318 - 322: Progresiones Aritméticas

En este concepto hay varias propiedades que nos permiten enfrentar mejor el concepto de una sucesión, y

con esto, trabajar de manera más general. Es importante que el docente haga la similitud entre una sucesión

y una P.A, ya que esto generalmente aclara muchas dudas que pudieran haber quedado en las sucesiones.

Páginas 325 - 331: Progresiones Geométricas

Aquí es importante hacer notar cuando una P.G, puede ser convergente o no, y hacer mención de que las

P.G, también se conocen como series Geométricas y que estas juegan un rol fundamental en el Cálculo

Diferencial, es importante que el docente de a conocer la similitud de una sucesión con una P.G, y también

que sucede con su convergencia cuando 𝑟 < 1.