Manual Transformadas de

Laplace y ecuaciones

diferenciales con Matlab Luis Enrique Herrera / Unitropico

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas es la

forma más común para encontrarla. Para comprender mejor desarrollaremos el

siguiente ejercicio:

Tenemos la siguiente función f(t)

Para realizar la transformada Laplace de forma manual entonces nos dirigimos a

las tablas de la transformada y buscamos el que satisface la función dada:

Escogemos la función resaltada la cual es:

Convirtiendo f(s) a f(t) nos daría como resultado:

Por lo tanto en nuestra ecuación original tendríamos el 10 que multiplica el valor

de la ecuación de la función de transferencia que encontramos con nuestra tabla,

para el caso del -4 que tiene como exponente se convertiría en nuestra a de la

función de transferencia f(s) y ω será el equivalente del valor 5 en la función.

Si utilizamos matlab 5.3 obtendríamos el siguiente procedimiento

Primero declaramos a t como una variable de sistema utilizando el comando syms:

Pasamos a declarar la función f(t):

» f= 10*exp (-4*t)*cos (5*t)

f = 10*exp (-4*t)*cos (5*t)

» Cargamos la respuesta a una variable por defecto la cual es ans (answer) y con el

comando laplace ( ) encontramos nuestra f(s)

» ans = laplace(f)

ans =

10*(s+4)/((s+4)^2+25)

»

Con el comando pretty ( ans) conseguimos dar un resultado de una forma más

entendible y nos quedara de la siguiente manera:

Observamos que el valor que se obtuvo utilizando tablas es igual al valor obtenido

con matlab solo no queda realizar el producto del valor que nos arroja.

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Para encontrar la transformada inversa de Laplace existe un método denominada

fracciones simples el cual se realiza por medio de matlab y una formula la cual es:

SOLUCION CON FRACCIONES SIMPLES

La otra forma que podemos utilizar es encontrándola por medio de la función

ilaplace ( ) la cual nos realiza los procedimientos internamente y nos muestra el

resultado

Solución con fracciones simples y el uso del comando [r p k]= residue (num,den)

usando matlab

Tenemos la función f(s)

Lo primero que tenemos que hacer es determinar nuestro den y nuestro num lo

cual lo realizamos de la siguiente forma:

» num = conv([10 20],[1 4]) num = 10 60 80 » den = conv([1 4 3],[1 10 25]) den =

1 14 68 130 75 » Estos den y num se crean dependiendo del grado del exponente que se tenga, es

decir si el numerador o denominador tiene el grado de exponente mayor el inverso

numerador o denominador tiene que tener el mismo tamaño y se le asigna un 0 en

el lugar correspondiente, para nuestro ejemplo no se requiere utilizar ceros ya que

los grados de exponentes en numerador como en el denominador son iguales y

además utilizamos el comando conv para resolver los productos de manera

directa

.

Luego ejecutamos el comando [r p k]=residue (num,den)

» [r,p,k] = residue (num,den) r = -2.1875 3.7500 1.2500 0.9375 p = -5.0000 -5.0000 -3.0000 -1.0000 k = [] » Teniendo los valores encontrados podemos hallar nuestras fracciones simples las

cuales nos quedarían así :

Ahora con la fórmula de la transformada inversa de Laplace podemos hallar

nuestra f(t)

Entonces:

Con matlab y el uso del comando ilaplace ( ) el procedimiento a realizar es el

siguiente:

Declaramos s como variable del sistema

» syms s

»

Pasamos a declarar la nuestra función f(s):

» f = (10*s^2+60*s+80)/(s^4+14*s^3++68*s^2+130*s+75) f = (10*s^2+60*s+80)/(s^4+14*s^3+68*s^2+130*s+75) »

Ejecutamos nuestro comando ilapace ( ) y le cargamos el resultado a la variable

por defecto ans (answer)

» ans = ilaplace(f)

ans = 5/4*exp(-3*t)+15/16*exp(-t)+15/4*t*exp(-5*t)-35/16*exp(-5*t) »

Realizamos las divisiones de los fraccionarios del resultado y procedemos a

comparar y los ordenamos:

Comprobamos que los resultados son iguales tanto, el obtenido con fracciones

simples como el obtenido con el comando ilaplace.

DESARROLLO DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DE

TRANSFORMADA LAPLACE

Tenemos como ecuación diferencial

Donde

Desarrollamos esa ecuación diferencial normalmente por lo tanto

Encontramos dos números que multiplicados den 4 y sumados entre si me de 4

Encontramos 2 raíces las cuales son

Como tenemos 2 raíces diferentes tomamos la ecuación

Tomamos las condiciones iniciales cuando

Cuando tenemos:

Donde: = 5

Para el caso de las ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace

se obtiene la solución completa (La solución complementaria y la solución

particular) el método clásico requiere la evaluación de las constantes a partir de

las condiciones iniciales, sin embargo en el método de la transformada de

Laplace no existe este requerimiento por que las condiciones iniciales, se

sustituyen automáticamente, si todas las condiciones iniciales son cero, se

obtienen simplemente sustituyendo:

Tenemos la ecuación diferencial

Las formulas de la transformada de Laplace son:

Aplicamos en la ecuación diferencial y reemplazamos iniciales de

Sacamos factor común de x(s) y tenemos:

Ahora por medio de fracciones simples resolvemos en matlab:

» num=[0 2 9] num = 0 2 9

» den= [1 4 4] den = 1 4 4 » [r,p,k]= residue (num,den) r = 2 5 p = -2 -2 k = [] »

Donde:

Finalmente aplicamos la formula de la transformada inversa de Laplace y

tenemos:

Podemos observar que es igual la solución en el método de productos y el

resultado con matlab.