Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO
SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN
(SNNA)
PROYECTO DE AULA DE MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS SIN DIFICULTADES, IGUAL DE SENCILLAS COMO LO ES SONREÍR
AUTORES:
Briones Cruz Miriam Estefanía
Gavilanes Chuqui Nubia Geoconda
Mendoza Menéndez Lady Janeth
Merchán Espinoza Meiby Mariel
Olivo Rojas José Gregorio
Solórzano Burgos Gina Grisely
ÁREA:
EDUCACION, COMERCIO Y ADMINISTRACIÓN
DOCENTE:
ING. ROBIN ANGUIZACA
PERÍODO: Abril - Agosto del 2013
MILAGRO – ECUADOR
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Suma.- Es una expresión que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).
Resta.- Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).
Ejercicio Paso a Paso
De: x5 - 30x3y2 +40xy4 +y5 restar la suma de: -4x4y +13x2y3 -9xy4 con: -6x5 +8x3y2
+xy4 -2y5.
1er Paso: Efectuar y ordenar la suma, por lo tanto que los términos semejante
queden en columna.
2do Paso: Indicar la resta del ejercicio.
(x5 -30x3y2 +40xy4 +y5 ) - (-6x5 -4x4y +8x3y2 +13x2y3 -8xy4 -2y5)
(x5 -30x3y2 +40xy4 +y5 ) +6x5 +4x4y -8x3y2 -13x2y3 +8xy4 +2y5)
3er Paso: Efectuar y ordenar la resta. Dejando el minuendo con sus signos y
luego escribimos el sustraendo cambiándole de signo a todos los términos; por lo
tanto que los términos semejantes queden en columna.
Indicar la respuesta del ejercicio.
-4x4y +13x2y3 -9xy4
-6x5 +8x3y2 +xy4 -2y5
-6x5 -4x4y +8x3y2 +13x2y3 -8xy4 -2y5
+6x5 +4x4y - 8x3y2 -13x2y3 + 8xy4 + 2y5
+x5 -30x3y2 +40xy4 + y5
+7x5 +4x4y -38x3y2 -13x2y3 +48xy4 + 3y5
+7x5 +4x4y -38x3y2 -13x2y3 +48xy4 + 3y5 R//
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Multiplicación.- Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades
llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada
producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el
multiplicador es respecto de la unidad positiva.
División.- Es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos
factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Ejercicio Paso a Paso
Multiplicar: -2ab +3bc – 8a2c con 16ab2c3 y luego dividir con 8bc.
1er Paso: Efectuar la multiplicación (en forma horizontal).
2do Paso: Indicar la división del ejercicio:
3er Paso: Efectuar la división:
(-32a2b3c3 +48ab3c4 -128a3b2c4) / 8abc
-32a2b3c3 +48ab3c4 -128a3b2c4 8abc 32a2b3c3
+48ab3c4
-48ab3c4
-128a3b2c4
+128a3b2c4
-4ab2c2 +6b2c2 -16a2bc3
(-2ab +3bc – 8a2c) * (16ab2c3)
= -32a2b3c3 +48ab3c4 -128a3b2c4
Explicación: Dividir -32a2b3c3 / 8abc y esto es igual a -4ab2c2. Este primer
término del cociente se lo multiplica por cada uno de los términos del divisor: (-
4ab2c2)*(8abc) esto es igual a 32a2b3c3. Luego se escribe este término debajo de
su semejante en el dividendo y lo reducimos. Y se baja el otro término +48ab3c4 y
lo dividimos para 8abc y da como resultado: +6b2c2. Este segundo término del
cociente se lo multiplica por cada uno de los términos del divisor: (+6b2c2)*(8abc)
esto es igual a -48ab3c4. Se escribe este término debajo de su semejante en el
dividendo. Y luego se baja el último término del dividendo -128a3b2c4 lo dividimos
para 8abc que es igual a -16a2bc3. Y por último, este tercer término del cociente
se lo multiplica por 8abc esto es igual a +128a3b2c4.
Se realiza dicha operación y en este caso como residuo queda 0. Y como cociente de dicho ejercicio es: -4ab2c2 +6b2c2 -16a2bc3.
FACTOR COMÚN
1-. Descomponer en factores a + 2ª a2 + 2a Primero observamos que contienen el Factor común a
2-. Escribimos el factor común a como a ( a + 2 ) coeficiente de un paréntesis; y dentro del Paréntesis escribimos los coeficientes de dividir así a2 / a = a y 2ª / a =2 y tendremos
FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTOS DE TERMINOS
1-.Para descomponer este ejercicio encontramos 2ax + 2bx – ay + 5a – by + 5bque hay 3 términos que tienen el factor común a y tres términos que contienen el factor común b.
2-. Agrupamos en un paréntesis los tres primeros (2ax– ay+ 5a) + (2bx – by+5b) Términos Seguido de los otros tres términos Precedidos del signo + porque el tercer termino es de signo +.
3-. De tal manera que los términos agrupados tengan dentro del paréntesis algún factor comúny procedemos a dividir, luego de sacar el factor a ( 2x-y+5) +b (2x-y+5)común de cada grupo, deben ser exactamente iguales de no ser así no es posible la expresión dada de descomponer este método.
4-. Se expresa el resultado en 2 paréntesis así. ( a+b ) ( 2x-y+5 )
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
1-. Se extrae la raíz cuadrada la primer término 4x2 +12xy2 + 9y4
Y tercer termino del trinomio y se separan estas raíces x el signo del segundo termino 2x 3y2
2-. El binomio así formado, que es la raíz 2(2x) (3y2) Cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado (2x+3y2)
DIFERENCIA DE CUADRADO PERFECTOS
1-. Se extrae la raíz cuadrada al primero y al (81a4 – 16)Segundo termino y se multiplica la suma de estasraíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del 9a2 4 primero y segundo termino.
2-. Al descomponer las raíz cuadrada de el primer termino y el segundo obtendremos:
(9a2+4) (9a2-4)3-. Al hallar sus raíces se expresan entre 2 paréntesisEl primero con el signo + y el segundo con el signo -
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION
1-. Vemos si este es trinomio cuadrado perfecto, m4 - 17m2 +16sacando la raíz cuadrada del primer y del tercer termino y luego el doble producto de estas raíces m2 4es:
2(m2)(4) = 8m2
Entonces este trinomio no es trinomio cuadrado Perfecto
2-.para que sea cuadrado perfecto hay que lograr m4 - 17m2 +16que el segundo término 17m2 se convierta en 8m2 +9m2 -9m2
lo cual se consigue sumándole 9m2 pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma ( m4 - 8m2 +16 ) -9m2
cantidad que se suma -9m2 y tenemos. ( m2 -4 ) -9m2
3-. Luego factoramos el trinomio cuadrado perfecto
4-. Factoramos la diferencia de cuadrados (m2 -4 +3m) (m2 -4 -3m) R.
TRINOMIO DE LA FORMA DE LA FORMA ax2 +bx + c
6x2 - 7x - 3
1-. Se descompone en dos paréntesis en el que
El primer término de cada factor será la raíz ( 6x – 9 ) (6x + 2 )cuadrada De 6x2 es decir 6x así.
2-. Luego vemos 2 números cuya diferencia sea el segundo término 7, cuyo producto resulte del la multiplicación del 1er y 3er termino 18 y tendremos.
3-. Como multiplicamos el trinomio dado por 6 2 3 3 1Ahora tenemos que dividir por 6 pero como ( 6x – 9 ) (6x + 2 )Ninguno es divisible, tenemos que descomponer 2 * 3Y procedemos a simplificar.
4-. Luego se expresa así. ( 2x – 3 ) ( 3x + 1 ) R.
EL CUBO PERFECTO DE UN BINOMIO
1-. La expresión tiene cuatro términos 64x3 + 240x2y +300xy2 +125y3
y sacamos la raíz cubica de 64x3 que es4x y la raíz cubica de 125y3 que es 5y. 4x 5y
2-. El triple producto del cuadrado de la primera raíz por la segunda se obtiene 3(4x)2 (5y) = 240x2y R.el segundo término.
3-. El triple producto de la primera raíz por el cuadrado de la segunda raíz obtenemos el 3(4x) (5y)2 = 300xy2 R.tercer término .
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS
1-. La suma de sus raíces cubicas es el cuadrado (x6 + b9)De la primera raíz, menos el producto de las 2 raíces, Mas el cuadrado de la segunda raíz. =(x2 + b3) [(x2) – (x2) (b3) + (b3) ]
=(x2 + b3) (x4 - x2b3 + b6) R.
2-. La diferencia de sus raíces cubicases el (a3 + 8)cuadrado de la primera raíz mas el producto de las 2 raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. =(a + 2) [(a2) + (a) (2) + (2)2 ]
=( a + 2) (a2 – 2a + 4) R.
SUMA O DIFERENCIADE 2 POTENCIAS IGUALES
(m8- n8)1-. Los términos dados deben tener exponentes mayores a 2 e iguales,si esta precedido por el signo – todos van + =(m-n)(m7+m6n+m5n2+ m4n3+ m3n4+ m2n5+ mn6+n7) R. y sus raíces mientras el primer termino disminuye el segundo aumenta
2-. Al expresar con el signo mas + (a5 + b5)Si intercalan con el signo – y se produce la misma regla de la suma
=(a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b3) R.
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
√ 3 a−7 /2b8
a2/3b−1/2∙√4 a−10 b6 ∙
1
a−3/2b3
Como tienen la misma base se aplica la división de monomios y se procede a restar:
√3a−25 /6b17 /2 .2a−5−b3 .a3/2b−3
Multiplicamos cada uno de los términos y nos damos cuenta que es una multiplicación de bases iguales por lo que procede a sacar el producto de la parte literal, se coloca la misma base y se suma los exponentes:
√6a−23/3b17/2
Como no hay raíz de 6 lo convertimos en fracción:
(6 a−23/3b17/2 )1/2
De ahí multiplicamos la fracción fuera del paréntesis con lo que está en el interior y este sería el resultado .
a−23
6 b174 √6
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea racional .
√10−√ab√5a−√2b
Primero racionalizamos el denominador lo pasamos igual al numerador y denominador con signos diferentes:
√10−√ab√5a−√2b
∙ √5a+√2b√5a+√2b
=¿
Luego pasamos a multiplicar y verificamos si hay un caso de factorización:
√10−√ab√5a−√2b
∙ √5a+√2b√5a+√2b
=(√10−√ab ) (√5a+√2b )
(√5a )²−(√2b ) ²
Ahora procedemos a realizar el ejercicio:
√10−√ab√5a−√2b
∙ √5a+√2b√5a+√2b
=(√10−√ab ) (√5a+√2b )
(√5a )²−(√2b ) ²=
(√10 .√5 a )+(√10 .√2b )−(√ab .√5a )−(√ab−√2b )5b−2b
Descomponemos los términos y lo ponemos en una sola raíz:
√2.5 .5a+√2.5 .2b−√ab .5a−√ab .2b
Ahora multiplicamos los números con la misma base:
√2.25a+√2b .5−√a ².5b−√a .2b ²
Luego sacamos la raíz y procedemos a sacar su respectiva respuesta .
5√2a+2√5b−a√5b−b√2a
Simplificación de fracciones
Es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí.
Cuando los términos de una fracción son primos entre sí, la fracción es irreducible
y entonces la fracción esta reducida a su más simple expresión o a su mínima
expresión.
Simplificación de fracciones con expresiones algebraicas simples
x
x2−x−6− 1x+2- 2
x−3=
Para simplificar esta fracción simple PRIMERO:
Facturamos el trinomio de la forma x2+bx+c que tenemos allí x2−x−6.
Se lo descompone en dos binomios ( ) ( ) cuyo primer término es la raíz
cuadrada de x2 osea x=(x ) (x ) en el primer binomio después de x se pone el
signo del segundo término del trinomio (x- ).En el segundo binomio, después de
x, se pone es signo que resulta de la multiplicación del signo de –x por el signo de
-6 y se tiene que – por – da+ osea:
x2−x−6 =(x- ) (x+ )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos diferentes buscamos dos
números que cuya resta sea 1 y cuyo producto sea6. Esos números son 3y2,
luego:
x2−x−6. = (x-3) (x+2) SEGUNDO
Se busca el máximo común múltiplo (m.c.m) entre:
(x-3) (X+2)(X+2)(x-3) y este es (x+2) (x-3)Dividimos (x-3)(x+2) para (x-3)(x+2) y nos da 1 y esto lo multiplicamos
por x= x, colocamos el mismo signo (-) y seguimos dividiendo (x-3)(x+2)
para (x+2) y nos da (x-3) por -1= (x+3) colocamos el signo (-) y dividimos (x-3)(x+2) para (x-3) y nos da (x+2) por 2= 2(x+2) y multiplicamos 2
por x= 2x y 2 por 2= 4 y eso es igual a -2x-4
x
x2−x−6− 1x+2- 2
x−3 = x−x+3−2 x−4( x+2 ) ( x−3 )
A continuación simplificamos x con –x y nos da como resultado 0, el 3 con el -4 colocamos el signo del mayor y restamos, -1 y el -2x lo dejamos igual porque no tenemos con que simplificar, entonces la respuesta es:
−2x−1(x+2)(x−3)
//Simplificación de fracciones complejas
3−11x
+ 6
x2
3+ 4x− 4x2
Efectuamos el numerador le sacamos el m.c.m entre 1-x-x2 el cual es x2
Y multiplicamos x2por 3 = 3x2
x2Dividido para x =x por -11 es igual -11xx2 Dividido para x2=1 por 6= 6Nos queda
3x2−11 x+63 x2 en el numerador.
Efectuamos el denominador sacamos el m.c.m entre 1-x-x2 el cual es x2 y
Multiplicamos x2por 3 = 3x2
x2Dividido para x = x por +4 es igual a 4xx2Dividido para x2= 1 por -4= -4Nos queda 3x2+4 x−4
x2
Realizamos el trinomio de la forma ax2+bx+cque tenemos allí.
3 x2−11 x+6 Lo descompongo en dos binomios y lo factorizo, busco un número
que multiplicado me dé como resultado 18 y sumado 11 siendo estos números 9 y 2 lo dividimos para 3 que es el valor de a y simplifico.
3 x2−11 x+6 = (3x−9 ) (3x−2 )3
=( x−3 ) (3x−2 )
Realizamos el mismo procedimiento en el denominador.
3 x2+4 x−4= (3x+6 ) (3 x−2 )3
=( x−2 ) (3 x−2 )
Y simplificamos términos semejantes.
( x−3 ) (3x−2 )( x+2 ) (3 x−2 )
Y de esta manera obtenemos la respuesta la cual es:
( x−3 )( x+2 )
//
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
UNA ECUACION LINEAL O DE PRIMER GRADO, CORRESPONDE AL TIPO MÁS SIMPLE DE ECUACION, PUDIENDO SER REDUCIDA A UN PREDICADO DE LA FORMA: p(x): ax+b=0
5 (3 x+1 )4
−6 x−13
=−9x16
+2 (9 x+5 )
8=¿
Destruimos paréntesis:
15x+54
−6 x−13
=−9 x16
+ 8 x+108
=¿
Sacamos el máximo común denominador:
180x+60−96 x−1648
=−27 x+108 x+6048
=¿
Luego eliminamos los denominadores y solo nos queda los numeradores:
180 x+60−96x+16=−27 x+180 x+60
Dejamos la parte literal de un lado y la numérica en otro lado:
180 x−96 x+27 x−180 x=60−60−16
Eliminamos términos semejantes:
180 x−96 x+27 x−180 x=60−60−16
−96 x+27=−16
Y nos queda:
−69 x=−16
Despejamos "X”; y como el -69x está multiplicando pasa a dividir al -16:
X=−16−69
ECUACIONES CUADRATICAS O DE SEGUNDO GRADO
UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO ES AQUELLA QUE SE PUEDE REPRESENTAR CON UN PREDICADO DE LA FORMA: p(x):ax2+bx+c=0
EL LARGO DE UNA SALA RECTANGULAR ES 3 METROS MAYOR QUE SU ANCHO. SI AUMENTAMOS EN 3 METROS EL ANCHO Y EL LARGO EN 2 METROS, EL AREA SE DUPLICA. HALLAR EL AREA ORIGINAL DE LA SALA .
X= ancho de la sala
El largo es de 3 metros mayor que el ancho
X+3= largo de la sala.
El área de un rectángulo es la multiplicación de ambas expresiones.
Entonces:
X(x+3)= área de la sala
Las condiciones del problema dice que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, por lo que queda es:
X+3= nuevo ancho de la sala
X+5= nuevo largo de la sala. Por lo tanto (x+3) (x+5); la nueva área es el doble de la primera (2 veces) así que planteamos la ecuación:
(X+3)(X+5)=2x(x+3)
X2+5x+3x+15=2x2+6x
X2+5x+3x+15+2x2-6x=0
-X2+2x+15=0
Aplicamos “FORMULA GENERAL”
ax2+bx+c=0
x=−b±√b2−4ac
2a=x=
−2±√22−4(−1)(15)2(−1)
=x=−2±√4+60
−2=
−2±√4+60−2
=x=−2±√64
−2=
−2±8−2
El largo de la sala es de x+3= 8m; así que el área original era de 8m.5m= 40m2.
INECUACIONES DE 1ER GRADO
Para resolver este tipo de ecuaciones tenemos que hallar el valor de la incógnita que satisfaga la inecuación.
3x-5 - x- 6 < 1 una vez que tenemos la inecuación procedemos a resolverla
1ro: observamos el denominador para ver si tenemos factor común: en este caso si lo hay que es el # 12 porque es divisible para 4, ponemos raya de fracción y el denominador:
12
X ₁=−2+8−2
= 6−2
=−3 X ₂=−2−8−2
=−10−2
=5
2do: procedemos a dividir 12/4 = 3 que multiplica (3x-5) y lo mismo hacemos con
el siguiente término
3(3x-5) -x+6 < 1
3ro: luego multiplicamos los términos: y observamos que el # 12 está dividiendo
pasa al otro lado a multiplicar.
3(3x-5) -x+6 < 1
12
9x-15-x+6 < 12
4to: observamos los términos semejantes e independientes y procedemos a
removerlos
Ejemplo: 9x - x = 8x
- 15+ 6 = - 9 porque ponemos el signo del número mayor
9x-15-x+6 < 12
8x-9 <12
5to: dejamos en un lado las x y al otro lado los términos independientes y como el # 9 tiene signo negativo lo pasamos al otro lado con signo positivo.
8x <12+9 = 8x < 21
6to: despejamos x y el 8 que vemos que está multiplicando pasa a dividir
X < 21
8
7mo: nuestra ecuación queda resuelta de la siguiente manera:
3x-5 - x- 6 < 1
4 12
3(3x-5) -x+6 < 12
12
9x-15-x+6 < 12
8x-9 <12
8x <12+9
X < 21
8
8vo: luego procedemos a realizar nuestro gráfica: como nos está diciendo que
–x es menor de 21 entonces nuestra grafica parte:
8
- ∞ ∞
Nuestro ap. (x) es: -x, 21
8
.
INECUACIONES DE 2do GRADO
7x + 21x -28 una vez dada la ecuación procedemos a resolverla
1ro: tenemos que darnos cuenta que caso de inecuación tenemos en este caso tenemos una inecuación cuadrática que la podemos resolver por medio de la formula general.
x=−b±√b2−4ac2a
2do: remplazamos los valores en la formula general, sacando los valores de a, b,
c.
a=7 x=−21±√212−4 (7 )−(28)
2(7 )
b=21
c=-28
3ro: una vez que tenemos remplazado los valores desarrollamos lo que tenemos dentro de la raíz, que nos queda 35: multiplicamos lo que tenemos en el denominador que es 7x2=14 y eso lo ubicamos debajo de la raya de fracción.
x=−21±3514
4to: sacamos los valores de x1 que lo hacemos de la siguiente manera
x=−21+35
14= 14/14 = 1
5to: luego sacamos también los valores de x2 y lo hacemos de la misma manera:
x=−21−3514
= - 56 /14 = -4 en este caso sumamos
6to: una vez que ya tengo los valores de x1 y x2 nos queda expresado de la
siguiente manera
X<1
X<-4
7mo: procedemos a realizar la gráfica de la siguiente manera: como tenemos x1
positivo y tenemos x2 -4 significa que el valor se ubicara en la recta en el lado
negativo y graficaremos así:
(-x,-4) (-4,1) (1,X) x
-x
-4 1
8vo: ubicamos los intervalos de solución
9no: una vez ya graficado procedemos a verificar los intervalos:
(-x,-4)
X=-2
(x.-2) (x+1) = - este valor si cumple
10: verificamos el siguiente de la misma manera:
(1, X)
X=
(X+3) (X+1) = + no corresponde
11: entonces finalmente nuestro ap. (x) es: (-4,1)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS – DIAGRAMA DE VENN
De un grupo de 1352 turistas que visitan México se encuentra que:
*935 de ellos visitaron las momias de Guanajuato *955 el museo de antropología *925 las pirámides de Teotihuacán * 35 fueron a las pirámides, pero no al museo ni a Guanajuato *80 fueron al museo, pero no a las pirámides ni a Guanajuato *120 estuvieron en Guanajuato pero no fueron ni a las pirámides ni al museo *590 estuvieron en Guanajuato y Teotihuacán *350 estuvieron en los 3 lugares.
Indique cuantas de estas personas asistieron a : a) exactamente a uno de estos lugares: R= 235 b)exactamente a 2 lugares R= 765 c)al menos a un lugar R=1350 d)cuando mucho a 2 lugares R= 1002 e)a lo más a uno de los lugares R=237
Algunas frases se refieren a varias zonas del diagrama, pero siempre se puede encontrar alguna que indique con certeza que número va en una sola zona de éste. Llamo "zona" a cada una de esas partecitas en que quedan divididos los conjuntos.
CÓMO COMPLETAR EL DIAGRAMA DE VENN:
PASO 1Voy a llamar G al conjunto de los visitantes a Guanajuato, P al conjunto de los que fueron a las pirámides, y M al de los que fueron al museo.
La primera frase, por ejemplo, no sirve para saber con exactitud con qué número llenar una zona. Porque el conjunto G está dividido en 4 partecitas, y no podemos saber cuántos de esos 935 visitantes van en cada una de esas partecitas.
Lo mismo pasa con la segunda frase, que se refiere a todo el conjunto M, y con la tercera frase, que se refiere al conjunto P. Esas frases nos dan el total que hay en los conjuntos, pero no en cada pedacito, así que para empezar no nos van a servir.
En cambio la cuarta frase: "35 fueron a las Pirámides, pero no al Museo ni al Guanajuato", me está diciendo que en la zona del conjunto P que no se cruza con ninguno de los otros conjuntos, va el número 35. Así que puedo empezar poniendo ese número:
G M U
120 80
35 P
PASO 2
Luego, con la quinta frase: "80 fueron al Museo, pero no a las Pirámides ni a
Guanajuato", pasa lo mismo: Me dice que en la zona de M que no se cruza con los
otros conjuntos, va el número 80.
Seguido Ponemos el 120. Porque la frase: "120 estuvieron en Guanajuato, pero
no fueron a las Pirámides ni al Museo, me está diciendo que en la zona del
conjunto G que no se cruza con los otros conjuntos, van 120 personas.
A continuación puse el 350. Porque usé la frase: "350 estuvieron en los tres
lugares". Eso me dice que hay que poner 350 personas en la zona donde se
cruzan (intersectan) los 3 conjuntos.
G M
350
240
P
Después puse el 240. Porque la frase que dice: "590 estuvieron en Guanajuato y
en Teotihuacán", me está indicando que en la intersección de los conjuntos G y P, hay en total 590 personas. Pero ya puse 350 en una de esas partes. Así que en la otra, van:590 - 350 = 240 personas.
ACONTINUACION UN DIAGRAMA DE ESA INTERSECCION
G M
350 Intersección entre G y P
P
590-350
En la parte pintada de celeste es donde van las personas que fueron a Guanajuato y a Teotihuacán VEN QUE SON 2”ZONAS”en una ya teníamos el 350 y la frase dice que en total allí van 590 personas entonces en la zona de la izquierda van 590-350= 240
PASO 3
Si me van siguiendo numero por número, ya tiene que tener puesto el 120, el 240 y el 350 además de 80 y 35. Entonces puedes observar que el conjunto G queda una sola zona vacía y resulta que la primera frase “935 visitaron las momias de Guanajuato” me está diciendo que el total del conjunto G tiene 935 personas. Es decir que, en la única zona de G que quedó vacía, tenemos que poner: 935 - 350 - 120 - 240 = 225 personas.
G 80 M 935-350-120-240= 225 personas 120 225
350
240 300
35 P
Pero ahora puedes ver una sola zona vacía del conjunto M y la segunda frase que dice “955” fueron al Museo de antropología", me está indicando que en total hay 955 personas en M. Entonces, en la única zona vacía de M deben ir: 955 - 225 - 350 - 80 = 300.
955-225-350-80= 300
Ya los 3 conjuntos quedaron llenos, pero la frase: "925 estuvieron en la Pirámides de Teotihuacán", me sirve para confirmar si todo va bien: La suma de las 4 zonas en que está dividido el conjunto P, debe dar 925.
Sumo: 240 + 350 + 300 + 35 = 925. Está bien.
350
240 300 conjunto P
35
PASO 4
Lo único que falta ver es si va algo por afuera de los conjuntos. Esa zona representa a los turistas que no visitaron ninguno de los 3 sitios. Como al comienzo del ejercicio dice que son 1352 turistas, veamos cuántos turistas hay entre todos los conjuntos.
G 80 M U 120 225
350
240 300
35 P 2
120+225+350+240+300+35+80= 1350
Los que visitaron algunos de los sitios. Son solo 1350 pero en total eran 1352 quiere decir que hay algunos que no fueron a ningún sitio.
1352-1350 = 2 Por eso va el número 2 por fuera de los conjuntos
RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS
Una vez que tienes lleno el diagrama completo con los números que van en cada zona (tenlo siempre a la vista) puedes contestar todas las preguntas.
1.-¿Cuántas personas asistieron exactamente a uno de esos lugares?
Esas personas son 120+80+35=235 (fíjate donde están los números en el diagrama) porque si solo asistieron a un lugar tienen que estar en las zonas de cada conjunto que no se cruza con ningún otro. Asistieron a G(120) solo M(80) o solo P(35) POR ESO ES LA SUMA DE ESOS NUMEROS.
2.-¿Cuántos asistieron exactamente a 2 lugares?
Eso está representado en las partes donde se cruzan los conjuntos de a 2, pero no la zona donde cruzan los 3, porque dice “exactamente” los números que hay en la zona son: 240+225+300=765
3.-¿Cuántas asistieron al menos a un lugar?
“Al menos a un lugar” significa que fueron a uno, 2 o los 3 lugares. Son todas las personas que están dentro de los conjuntos. Ya está hecha la cuenta anteriormente 1350
4.-¿Cuántos mucho a 2 lugares?
Se refiere a las que fueron a un lugar, a 2 lugares, o a ninguno esas son todas la 1352 personas menos las que están en la intersección de los 3 conjuntos es decir (350) porque esas fueron a los 3 lugares. Entonces son: 1352-350= 1002
5.-A lo más (o a la suma) a uno de los lugares:
Son las que fueron a un solo lugar, o a ninguno. En la pregunta 1°) vimos cuantas fueron exactamente a un solo lugar 235 y a ninguno fueron 2(las que están por fuera d elos conjuntos). Así que son: 235+2= 237
DOMINIO DE UNA FUNCION
f (x)= 2x−1
Primero tenemos que ver hay denominadores con variables; y como no hay; por lo tanto x-1 debe ser desigual de cero:
x−1≠0⇒ x≠1 Después tenemos que ver si hay radicales pares con variables; y
como no hay; sólo tenemos una condición para el dominio:
Domf ( x ): x∈ℜ; x≠1
(−∞,1)∪(1 ,∞)
SEA “F” UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL f(x). EL CONJUNTO POR EL CUAL SE ENCUENTRA DEFINIDA, CONSTITUYE EL DOMINIO DE LA FUNCION. ESTE
CONJUNTO SE REPRESENTA SIMBOLICAMENTE POR: dom f dominio de una función.
-∞ )1( +∞
RANGO DE UNA FUNCION
f ( x )= x
x+4PARA DETERMINAR EL RANGO:
f ( x )= xx+4
⇒ y= xx+4
y= xx+4
⇒ y ( x+4 )=x :Pasando el denominador a multiplicar a “y”
y ( x+4 )=x⇒ yx+4 y=x :En este caso tenemos una variable “x” en cada miembro de la igualdad, por lo tanto los agrupamos en un solo lado pasando la “x” de la derecha para el miembro izquierdo con signo contrario.
yx−x+4 y=0⇒ yx−x=−4 y :Pasamos 4 ypara el otro lado consigo contrario.Ahora corresponde obtener el factor común entre los términos de la izquierda:
x ( y−1 )=−4 y :Para dejar despejada la “x”, debemos pasar dividiendo
( y−1 ) :
x=−4 y
y−1
Teniendo la función expresada en la variable “y”, luego vemos si hay denominadores con variables; en este caso el
denominador es ( y−1 ) , por lo tanto: y−1=0
y−1≠0⇒ y≠1
Luego vemos si hay radicales pares con variables; en este caso no hay por lo tanto sólo tenemos una condición para el rango:
rgf (x ) : y∈ℜ−{1 }
SEA “F” UNA FUNCION DE UNA VARIABLE REAL f(x). EL CONJUNTO DE TODAS LAS IMÁGENES DE LOS ELEMENTOS DEL DOMINIO, CONSTITUYE EL RANGO DE LA FUNCION. ESTE CONJUNTO SE REPRESENTA SIMBOLICAMENTE POR: rg f
rango de una función
-∞ ) 0 ( +∞
FUNCIONES LINEALES
Se dice que son funciones lineales, porque la gráfica es una línea recta .
Ejemplo:
Y= 2x-1
*Primero le proponemos valores a X ( positivos y/o negativos ) asi .
X Y
-2
-1
0
1
2
Luego en la ecuación Y= 2x-1 le remplazamos el valor de X así .
Ahora procedemos a resolver la ecuación de la siguiente manera .
X Y
-2
-1
0
1
2
2(-2)-1=
2(-1)-1=
2 (0)-1=
2 (1)-1=
2 (2)-1=
X Y
-2
-1
0
1
2
2(-2)-1= -5
2(-1)-1=-3
2 (0)-1= -1
2 (1)-1= 1
2 (2)-1= 3
Ultimo paso graficamos en el plano cartesiano .
Una vez ya realizado el plano cartesiano nos damos cuenta que si cumple la función lineal .
ECUACIÓN DE LA RECTA
Ejercicio Paso a Paso
Encontrar la pendiente y la ecuación de los puntos: A (3, -2) y B (-2, 7).
1er Paso: Identificar lo que pide el problema en este caso determinar la pendiente
con los puntos: A (3, -2) y B (-2, 7).
2do Paso: Como todos sabemos para determinar la pendiente la fórmula es:
3er Paso: Escogemos el punto A como punto inicial a la x1= 3; y1= -2. Y punto final al B donde -2= x2 y 7 es a y2.
7 – (-2)M=
M=- x1
y2 - y1
4to Paso: Ahora respetando los signos queda así:
5to Paso: Como ya tenemos la pendiente, lo que sigue es encontrar la ecuación de la recta. La fórmula del Punto Pendiente es: y – y1 = m (x – x1).
Recordemos que y los puntos x1, y1 lo escogemos de cualquier punto, ya
Sea del punto A o del punto B, al final sale el mismo resultado.
En este caso escodemos el punto A (3, -2).
Ahora resta sustituirla y quedaría así:
y – y1 = m (x – x1)
= y – (-2) = -
9−5 (x – 3).
= y + 2 = -
9−5 (x – 3).
= 5 (y + 2) = -9 (x – 3)
= 5y + 10 = -9x + 27
= 5y + 9x = 27 -10
= 5y +9x = 17
O se iguala a 0 y queda así: 5y +9x -17 = 0
6to Paso: Ahora dejaré la comprobación con el punto B (-2, 7), para que vean que queda exactamente igual cogiendo cualquier de los 2 puntos:
y – y1 = m (x – x1)
-2 - 3M=
2M=
-5
9
-2 - 3 -X1
M= 9-5
= y - 7 = -
9−5 (x – (-2))
= y - 7 = -
9−5 (x + 2)
= 5 (y - 7) = -9 (x + 2)
= 5y – 35 = -9x - 18
= 5y + 9x = 35 -18
= 5y +9x = 17 O se iguala a 0 y queda así: 5y +9x -17 = 0
7mo Paso: Se verifica si se obtiene el mismo resultado los puntos A y B.
A (3, -2) = 5y +9x -17 = 0
B (-2, 7) = 5y +9x -17 = 0
8Vo Paso: La respuesta del ejercicio es igual que la pendiente de la recta es
9−5
Y la ecuación de la recta es a 5y +9x -17 = 0
Rectas paralelas
Determine si la recta que pasa por los puntos P (1,5) y Q (-2 ,1) es paralela a la recta que pasa por los puntos M (10,7) y N (7,3)
Una vez que nos dan ambos puntos procedemos a resolverla
P (1,5) Q (-2,1)
M (10,7) N (7,3)
1ro: ponemos la fórmula que es x=y2− y 1x2−x1
para sacar la pendiente
2do: remplazamos la formula con los primeros 2 puntos que nos dan : (1,5) ( -2,1) en la parte de arriba podemos ubicar los valores de x1,y1,x2,y2 para no confundirnos ; en este caso a mi 1er pendiente le llamaremos m1, y ponemos
x=y2− y 1x2−x1
m= 1−5−2−1
=−4−3
=43
Y como nos da 2 signos negativos aplicamos la ley de los signos y nos queda la respuesta positiva
3ro: procedemos con el mismo procedimiento a realizar el siguiente punto:
P (10,7) Q (7,3) m= 3−77−10
=−4−3
= 43
4to: una vez que tenemos las pendientes de ambos puntos observamos: que ambas pendientes sean iguales es decir:
m 1=m2
4 = 4
3 3
En este caso las pendientes si son iguales por lo tanto si son rectas
Paralelas y para comprobarlo
Procedemos a graficarla
5to: en un lado del plano ubicamos los valores positivos y en el otro lado los valores negativos como vamos a ver en la siguiente en el siguiente ejemplo:
(+)
(-)
6to: procedemos a graficar el 1er punto en el plano P (1,5) Q (-2,1) ubicando los valores positivos y negativos tanto para x como para y.
.
.
Hemos obtenido .
El 1er punto
Hemos obtenido
Graficamos el 2do punto
El segundo punto
Por lo tanto si es una recta paralela
Rectas perpendiculares
Determine si la recta que pasa por los puntos P (-2,3) y Q (3 ,5) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos M (2,-1) y N (-4,14)
Una vez que nos dan ambos puntos procedemos a resolverla
P (-2,3) Q (3,5)
R (2,-1) S (-4,14)
1ro: ponemos la fórmula que es x=y2− y 1x2−x1
para sacar la pendiente .
2do: remplazamos la formula con los primeros 2 puntos que nos dan : P(1,5) Q ( -2,1) en la parte de arriba podemos ubicar los valores de x1,y1,x2,y2 para no confundirnos ; en este caso a mi 1er pendiente le llamaremos m1, y ponemos
x=y2− y 1x2−x1
m= 3−5−2−3
=−2−5
=25
Y como nos da 2 signos negativos aplicamos la ley de los signos y nos queda la respuesta positiva
3ro: procedemos con el mismo procedimiento a realizar el siguiente punto:
R (2,-1) S (-4,4)
m=−1−142+4
=−156
En este caso la respuesta la
Respuesta será negativa .
4to: una vez que tenemos las pendientes de ambos puntos observamos: que ambas pendientes son diferentes la cual nos tiene que dar como resultado - 1.
Entonces tendremos: m1 = m2= -1
2 - 15 = -1
5 6
Simplificamos ambas fracciones y nos queda -1, y si nos queda m1 es -1 y m2 es -1
Entonces salen iguales a,-1, concluimos que las 2 rectas son perpendiculares
Y para comprobarlo procedemos a graficarla de la siguiente manera:
5to: en un lado del plano ubicamos los valores positivos y en el otro lado los valores negativos como vamos a ver en el siguiente ejemplo:
6to: procedemos a graficar el 1er punto en el plano P (-2,3) Q (3,5) ubicando los valores positivos y negativos tanto para x como para y.
.
Hemos obtenido
El 1er punto
. Hemos obtenido
El segundo punto .
Esta es una recta perpendicular porque ambas rectas se interceptan y forman un Angulo de 90
Estos puntos que nos dieron si nos prueba que su grafica si es una recta perpendicular .
SISTEMAS DE 3 ECUACIONES CON 3 INCOGNITAS
Ejercicio Paso a Paso
Método de igualación
3x+2y-p=12
4x-3y+3p=19
2x+4y+4p=20
1: Elija unas de las incógnitas y la despejamos en las 3 ecuaciones
x= 12-2y+p x= 19+3y-3p x=20-4y-4p
3 4 2
2: De las ecuaciones tenemos que elegir 2 de cualquiera ecuación y las igualamos por ejemplo: yo voy a elegir la primera:
12-2y+p = 19+3y-3p
3 4
(12-2y+p)+4 = (19+3y-3p) +3
48-8y+4p=57+9y-9p
-17+13p = 9
Vemos que, al igualarlos nos quedaron solo 2 incógnitas, finalmente despejamos una de ellas (en este caso vamos vamos a elegir P), a este resultado lo denominamos A.
Después tomamos la ecuación que no había utilizado en este caso la 3ra y la igualamos con alguna de las otras dos ecuaciones y tomamos la 1ra
20-4y-4p = 12-2y+p
2 3
(20-4y-4p) x3 = (12-2y+p) x2
60-12y-12p = 24-4y+2p
60-24 = -4y+2p+12y+12p
36 = 8y+14p
Nuevamente nos quedan 2 incógnitas, de ellas despejamos la misma que despejamos anteriormente (P) y a su resultado lo denominamos B.
1 2
P=9+17y
13
3 -1
P=9+17y
13
Igualamos A con B Y de esa manera, obtenemos el valor de y.
9+17y 36-8y
13 14
(9+17y)+14 = (36-8y) +13
126+ 238y = 468-10y
342y = 342
y = 342 y= 1
342
Para obtener el valor de P, remplazamos en la y por el valor hallado en la ecuación A y la ecuación B en este casos elegiremos la (B).
36-8Y=P
14
36-8(1) = P
14
36-8/4 = P = 28/4=P
Finalmente , para obtener el valor de x , remplazamos la (y) y la por sus valores en cualquiera de las 3 ecuaciones iniciales ( utilizamos la 1ra ecuación )
x = 12-2y+p
x = 12-2(1)+2
x = 12-2+2
x = 12
3
x = 4
MÉTODO DE REDUCCIÓN
-2x +4y -3z = 67
3x -2y -2z = 19
x –y +z = -20
1er Paso: Elegimos las primeras ecuaciones:
-2x +4y -3z = 67
3x -2y -2z= -6
2do Paso: Buscamos un número para poder eliminar las “y” en este caso es “2”
-2x +4y -3z = 67
(2) 3x -2y -2z = -6
-2x +4y -3z = -67
6x -4y -4z -= -12
4x // -72 = 55 R//
Hemos eliminado los valores de “y”
3er Paso: De las tres ecuaciones elegimos”2” (cualquiera):
Nosotros elegimos la 1ra y 3era
-2x +4y -3z = 67
x –y +z = -20
4to Paso: Como en la primera agrupación eliminamos los valores de “y” en la segunda agrupación también eliminaremos los valores de “y” .En este caso seria “4”
-2x +4y -3z = 67
(4) x –y +z = -20 procedemos a multiplicar
-2 +4y -3z = 67
4x -4y +4z = -80
2x // +z = -13 R// Hemos eliminado los valores de “y”
5to Paso: Tomamos las ecuaciones resultantes de las dos agrupaciones realizadas anteriormente. Las cuales son:
2x +z = -13
4x +7z = 55
Y procedemos a eliminar los de valores de z y en este caso multiplicaremos la primera ecuación por 7.
(7) 2x +z = -13 y procedemos a multiplicar
14x -7z = -91
4x -7z = 55
18x // = -36 R// Y despejamos x
x = -36 x=-2
18 y simplificamos
6to Paso: Como ya tenemos el valor de x ahora buscaremos el valor de z y tomamos la ecuación resultante de la segunda agrupación
2x +z = -13
2(-2) +z = -13
-4 +z = -13
z = -13
Hemos encontrado el valor de z
7mo Paso: Para encontrar el valor de “y” tomaremos una de las ecuaciones planteadas al inicio del ejercicios:
En este caso elegimos la tercera ecuación la tercera ecuación la cual es:
x –y +z = -20 y reemplazamos los valores de x y z encontrados anteriormente
-2 –y +z = -20
-y = -20 +9 +2
-y = -9
x=-2
z = -9
Hemos encontrado el valor de Y
Estos son los valores de “x”, “y”,”z” encontrados por medio del método de reducción.
x = -2
y = 9
z =-9
Método de Sustitución
x+ y+ z= 4 x-2y+3z=13 x+3y+4z=11
y = 9
1
2
3
*Se despeja una variable de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.
x+ y+ z= 4
x=4-y-z
*Sustituimos la expresión anterior en las otras ecuaciones del sistema, agrupamos
términos y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.* x-2y+3z=13 sustituimos la x
4-y-z-2y+3z=13
-3y+2z=9
* x+3y+4z=11 4-y-z+3y+4z=11
2y+3z=7
*Lo resolvemos por el método de igualación; Despejamos la z de ambas ecuaciones.
z:9+3 y
2=7−2 y
3
3(9+3y)=2(7-2y)
27+9y=14-4y
9y+4y=14-27
13y=-13
y=13
−13 = y= -1 obtenemos el valor de y.
z= 9+3(−1)
2=
9−32
=62=3
z=3 obteniendo el valor de z.
*Sustituimos los dos valores obteniendo en x=4-y-z
x= 4+1-3
x=2 obteniendo el valor de X
MATRICES
+4X+7Y+5Z = -2
+6X+3Y+7Z=+6
+X-Y+9Z=-21
Buscamos los determinantes de los valores X Y Z
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Elegimos el primer número de la primera fila y columna y luego que lo escogemos eliminamos los números restantes de la primera fila y columna .
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Con los determinantes restantes lo que hacemos es multiplicar diagonalmente y precedido por el signo menos (-) en medio de los 2 terminos
3 7 = 3 * 9 = 27 27 – ( - 7)=
-1 9 = -1 * 7 = -7 27 + 7 = 34
Luego tomamos el 7 y eliminamos la primera fila con la segunda columna en forma de T
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Con las determinantes restantes, lo que hacemos es, multiplicar diagonalmente y precedido con el signo menos (-) en medio de los términos .
6 7 = 6 * - 9 = -56 -56 – 7 = -63
1 9 = 1 * 7 = 7
Por ultimo escogemos el 5 y eliminamos la primera fila y tercera columna .
4 7 5
6 3 7
1 -1 9
Escogemos los determinantes restantes y procedemos a multiplicar diagonalmente y precedido con el signo menos (-) en medio de los términos .
6 3 = 6 * -1 = -6 -6 – 3 = -9
1 -1 = 3 * 1 = 3
Elegimos el 4 y la determinante 34 lo multiplicamos = 136 elegimos el 7 y el -63 multiplicamos = -329 Elegimos el 5 y el -9 multiplicamos = -45 Sumamos todos los valores 136 – 329 – 45 = -238
Y por lo tanto la determinante es = -238
Para encontrar el valor de X divide la matriz reemplazando los valores de la incógnita X por el resultado de la determinante de la matriz
Procedemos a ubicar los valores dados en sus respectivas letras
X Y Z B
4 7 5 -2
6 3 7 6
1 -1 9 -21
Aquí los valores de b empiezan siguiendo los valores de X
-2 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 2 -7 + 5
-21 -1 9 -1 9 21 9 -21 -2
X = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
5
X= -2 (27+7) -7 (54+147) +5 (-6+63) = -68-1407 -285 = - 1190 (X= 5) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 -238
1
Encontramos x que es igual a 5
Luego los valores de B van en la segunda fila reemplazando los valores de Y
Aquí los valores de b empiezan siguiendo los valores de X
4 -2 5 6 7 6 7 6 6
6 6 7 4 +2 + 5
1 -21 9 -21 9 1 9 1 -21
Y = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
Y= -4 (54+147) +2 (54-7) +5 (-126-6) = 804+94-660 = - 238 (Y=1) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 -238
Y es igual a 1
Y por último los valores de Z son reemplazados por los valores de b en la tercera columna .
4 7 -2 3 6 6 6 6 3
6 3 6 4 -7 -2
1 -1 -21 -1 -21 1 -21 1 -1
Z = =
4 7 5 3 7 6 7 6 3
6 3 7 4 -7 + 5
1 -1 9 -1 9 -1 9 1 -1
3
Z= 4 (-63+6) -7 (-126-6) -2 (-6-3) = 228+924+18 = 714 (Z=-3) R.
4 (27+7) -7 (54-7) +5 (-6-3) 136 -329 – 45 - 238
1
El valor de Z es igual a -3
Entonces, los valores son:
X = 5
Y = 1
Z = -3
DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA
LA DISTANCIA DE UN PUNTO P Y UNA RECTA R LONGITUD DEL SEGMENTO CONOCIDO COMO RECTA PROSIBOLA DE LA RECTA QUE ES
PERPENDICULAR A LA RECTA R:ax+¿by+c =0 Y LA UNE AL PUNTO P(X1,Y1).
PUEDE CALCULARCE ASI:d ( p→l)=|ax+by+c|
√a2+b ²
CALCULA LAS ECUACIONES DE LA RECTA QUE TIENEN LA PENDIENTE -3 Y EQUIDISTAN EN DOS UNIDADES DEL PUNTO (-4,7).
Primero vamos a reconocer los puntos: P=(-4,7)
Buscaremos el otro punto de “X” y “Y” utilizando los siguiente formula:
Con esta fórmula reemplazamos los datos obtenidos:X= ‐4 Y=7 m= -3Y1-y0= m(x1-y0)Y-7= -3(x-(-4))Y-7= -3(x+4)Y-7= -3x-12 encontramos la ecuacióny= -3-12+7
Como ya encontramos la ecuación verificamos los puntos:
L1: Y= -3X-5
L2: Y= -3X+P como ambos tienen la misma pendiente por lo tanto buscaremos el otro valor de L2 “P”.
Escogemos el punto L2: Y= -3X+P con esta ecuación la igualaremos a “0”. L2: Y= -3X+P
3x+y-p=0
Para calcular la ecuación de la recta debemos ver si la ecuación esta ordenada de esta manera ax+by+c; luego sacamos los valores de a= 3 b=1 c= -p con estos datos llevamos la fórmula de la ecuación de la recta es la siguiente:
d ( p→l )=|3 (−4 )+1 (7 )+(−p )|√32+12
=d ( p→l )=|−12+7−p|√9+1
=d ( p→l)=|−12+7−p|
√10
Y1-Y0= m(x1-y0)
Y= -3x-5
d ( p→l)=|ax+by+c|
√a2+b ²
Con esta fórmula reemplazamos los valores ya obtenidos .
Y como en el ejercicio dice que equidistan en 2 unidades realizamos lo siguiente:
2=|−12+7−p|
√10
2=|−5−p|
√10 como √10
esta dividiendo pasa a multiplicar
2√10= │-5-p│ como tenemos valo absoluto eliminamos y nos queda:
-5-p=±2√10 siempre en valor absoluto ca a tomar valores positivos y negativos .
-p=2*(3.16)+5 -P=-2*(3.16)+5
-p=6.32+5 -P=-6,32+5
-p=11,32 R// -P=-1,32 R//
Entonces el valor de “P” puede ser 11,32 O -1,32
EJERCICIOS ADICIONALES
1 Suma Y Resta De Polinomios.*Restar la suma de 2a3+7a2b con 3ab2−6a2b+b3 de la suma de 74ab2−1
2a3 con 9b3−8
3a2b+ 5
6 a3 =[(7
4ab2−1
2a3 ¿+ (9b3−8
3a2b+ 5
6a3)¿-[(2a3+7a2b¿ + (3ab2−6a2b+b3 ¿]
[4ab2-1/2 a3+9b3-8/3a2b+5/6a3] - [2a3+7a2b+3ab2-6a2b+b3]7/4ab2-1/2a3+9b3-8/3a2b +5/6a3-2a3-7a2b-3ab2+6a2b-b3
Como valor positivo
Como valor positivo
-5/4ab2-5/3a3+8a3-11/3a2 b //
Multiplicación y división de polinomios
(x3-11+8)(x-2) = x4-2x3-11x2+30x-16 =
(x2+3x-2) x2+3x-2
x4-2x3-11x2+30x-16 x2+3x-2
-x4-3x3+ 2x2 x2-5x+6
// -5x3- 9x2+30x
+5x3+15x2-10x
// +6x2+20x-16
-6x2-18x +1
// +2x -4
3. Factorización4x4-4x2y2-4x3y+4xy3+y2x2-y4(4x4-4x2y2) + (-4x3y+4xy3) + (y2x2-y4)4x2(x2-y2) -4xy(x2-y2) +y2(x2-y2)(x2-y2) (4x2-4xy+y2)(x+y)(x-y) (2x-y)2 //
4.Potencia y Radicación
√x5 √x3
√ x4 =[ x5 [ x3 ] 12 ] 1
3
x24
=[ x5 x32 ] 1
3
x2 = x5 ( 1
3)x❑
32 ( 1
3 )x2 =
x35 x6
3
x2 =x3
5 x21
x2=x3
5 x21 x−2=
x53+
12−2 x
(5 ) (2 )(3)(1)(3)(2)
−2=x10+3
6−
2 (6 )6
=x116 //
5. Racionalización
10
√3 x+5+√x−3∗√3x+5−√x−3
√3x+5−√x−3=
10∗¿¿=
10∗(√3x+5−√x−3)3 x+5−x+3
=10∗(√3 x+5−√ x−3)
2 x+8=
10∗(√3x+5−√x−3)2(x+4)
=5(√3 x+5−√ x−3)
x+4 //
6. Simplificación de fracciones con expresiones algebraicas Simples.
x
x2−x−6− 1x+2- 2
x−3 =
x(x−3)(x+2)
− 1x+2
− 2x−3
= x−x+3−2 x−4( x+2 ) ( x−3 )
= −2x−1(x+2)(x−3)
//
7. Simplificaciones de fracciones Complejas
3−11x
+ 6
x2
3+ 4x− 4x2
=
x2(3−11x
+ 6
x2)
x2(3+ 4x− 4x2 )
=3x2−11 x+63 x2+4 x−4
=(3 x−2)(x−3)(3 x−2)(x+2)
= x−3x−2
Ecuaciones de primer grado
32x+1
− 5x−2= x−3
(2 x+1)(x−2)3(x-2)-5(2x+1)=x-33x-6-10x-5=x-3-7x-x=-3+6+5 -8x=8 8x=-8 X=−8
8 X=-1Ecuaciones de segundo grado
8 ( x−6 )+(12−x)( x+6)(x+6)(x−6) = ( x−6 )(x+6)
(x+6)(x−6)= 8 x−48+12 x−72−x2−6x(x+6)(x−6) = ( x−6 )(x+6)
(x+6)(x−6)=-x2+14 x+24=x2−36
−x2−x2+14 x+24+36=02x2+14 x+60=0
A=2 x=−b±√b2−4ac2a
B=14 x=−14±√142−4 (−2 )−60
2(2)
x=−14±√196+4804
x=−14±√6764 x1=3
A=2
B=14
C=60
x=−14±264 x2=-10
10. Inecuaciones de Primer Grado
3x−54
− x−612
<1 3 (3 x−5 )−x+6
12<1
9x-15-x+6<128x-9<12 -∝
8x<12+9X<128
∝218
(−∝ , 218 )
11. Inecuaciones de Segundo Grado
4 x2+12 x+9≥0
x=−4 ±√122−4 (4 ) (9 )
2 (4 ) =
x=−4 ±√144−1448
=x=−4 ±√08
= −48 = −1
2
X1=−12
X2=−12
−∝ −12 0
CONJUNTOS
1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.
Ejemplo
A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10}
AB={3,4,5,7,8,9,10}
A=4
B=12
C=9
∝
U
Ab
2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B.
Ejemplo:
A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}
A B={9, 11}
3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A y que están en el universo.
Ejemplo:
U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}
Ac= {1,2,5,8,9,10}
4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.
Ejemplo:
C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}
C - D = {x, y, u}
U
A ) B
)
AAA
Ac U
A
U
A B
FUNCIONES LINEALES
Ejemplo:
Y= x-1
Procedimiento :
GRAFICAMOS
X Y
-2
-1
0
1
2
(-2)-1=-3
(-1)-1=-2
(0)-1=-1
(1)-1=0
(2)-1=1
CONCLUSIÓN
Queda concluido que el trabajo en grupo fue importante por la posibilidad de
compartir y apoyarnos entre nosotros, así mismo, la socialización del trabajo
realizado fue clave para establecer comparaciones y llegar a acuerdos entre
todos, aplicando todos los métodos aprendidos en la asignatura de matemáticas,
llegando a la conclusión que si desarrollamos un ejercicio debemos realizarlo por
el método más fácil y adecuado para así conseguir una respuesta correcta.
Concluimos que para un resultado más concreto y preciso de los problemas
debemos tener cierta técnica desconcentración y entendimiento del mismo para su
resolución .
