Manualul Profesorului-grafuri Orientate

7/26/2019 Manualul Profesorului-grafuri Orientate

1/24


2/24

Grafuri orientate - Manualul profesorului Clasa a XI-a

- 2 -

Cuprins:

1.Terminologie

2.Structurgeneral2.1.

Obiective didactice2.2.

Coninut2.3.

Recomandri de structurare i predare

3.Obiecte de coninut - detaliere3.1.

M1 Noiuni introductive

3.2.

M2 Lan. Drum. Circuit.3.3.

M3 Graf parial. Subgraf.3.4.

M4 Graf orientat complet3.5.

M5 Graful turneu3.6.

M6 Test gril pentru evaluarea cunotinelor (1)3.7.

M7 Matrice asociate grafurilor orientate3.8.

M8 Algoritmul Roy Warshall3.9.

M9 Problema celebritii3.10.

M10 Test gril pentru evaluarea cunotinelor (2)3.11.

M11 Graf conex. Graf tare conex. Componente conexe3.12.

M12 Test gril pentru evaluarea cunotinelor (3)

4.Bibliografie


3/24


- 3 -

1. Terminologie

Butoane instructaj sunt amplasate n partea din dreapta-sus a ecranului i, atunci cnd sunt accesate, prezintpas cu pas,ntr-o fereastr de detaliu, instruciuni despre folosirea uneiaplicaii.

Butoane demonstraie sunt amplasate n dreptulenunurilor Teorem sau n dreptul unui rezultat, i i oferutilizatorului, ntr-o fereastr de detaliu, demonstraia teoremei,respectiv modul n care s-a ajuns la acel rezultat.

Butoane de reiniializare a animaiei / aplicaiei - - Prinapsarea lor se reiniializeazanimaia, respectiv aplicaia.

Butoane de validare Apar n aplicaii care necesitverificareasoluiei.

Butoane de generare aleatoare - - Generezn mod aleatorsoluii valide pentru problemele propuse.

Texte de reper reprezint simboluri graficeprezente intr-un text care, atunci cnd sunt accesate, prezintferestre de ajutor, in care se detaliazo anumitnoiune.

Ferestre detaliu sunt ferestre care oferinformaii suplimentaredespre o anumitnoiune. Exemplu :


4/24


- 4 -

2.Structura general

n acest capitol sunt prezentate obiectivele didactice care pot fiatinse utiliznd acest material. n finalul prezentrii sunt inclusecteva recomandri privind unele moduri n care ar putea fi

combinate aceste momente pentru a obine o lecie.

2.1. Obiective didactice

Obiectiv DetaliereObiective de referin

R1 Identificarea problemelor care pot fi rezolvate cu ajutorulteoriei grafurilor

R2 nsuirea i aprofundarea noiunilor teoretice ale teorieigrafurilor

R3 Urmrirea etapelor de realizare a unei aplicaii prin metodecaracteristice teoriei grafurilorObiective operaionale

OP1 nsuirea n mod corect a noiunilor nvate : graf orientat,gradul interior i gradul exterior al unui nod, mulimeasuccesorilor / predecesorilor unui nod, mulimea arcelor careies / intrdintr-un / ntr-un nod

OP2 Evidenierea corecta noiunilor de lan, drum, circuit ntr-ungraf orientat

OP3 Identificarea i construirea de grafuri pariale i subgrafuri alegrafurilor orientate

OP4 nsuseairea noiunii de graf completOP5 Construiasccorecta grafurilor complete, cu un numr dat denoduri

OP6 Exemplificarea noiunilor nvate folosind graful special - grafulturneu.

OP7 Evidenierea matricelor asociate grafurilor orientate iformularea de observaii pe marginea lor

OP8 nsuirea algoritmului Roy-Warshall pentru implementarea luiulterioarn aplicaii

OP9 Utilizarea proprietilor matricei de adiacani a matriceidrumurilor n rezolvarea aplicaiilor

OP10 Exemplificarea noiunilor de graf conex, componentconex,

graf tare conex i componenttare conexOP11 Analiza asemnrilor i deosebirilor care apar ntre noiunile degraf conex - graf tare conex, componenta conexcomponenta tare conex

OP12 Selectarea variantelor corecte i sargumentarea alegerii uneianumite formule n rezolvarea aplicaiilor

OP13 Analiza corecta fiecrei probleme i sdezvoltarea gndiriialgoritmice, capacitii de generalizare i problematizare.


5/24


- 5 -

2.2 Coninut

Se prezint lista obiectelor de coninut (notate cu M) icaracteristicile lor generale.

M2 Lan, Drum, CircuitObiective didactice OP2, OP13Timp de predare 20 minTip de interaciune cu

elevii

metode de comunicare oral: expunere,

conversaie, studiu de caz metode de aciune: exerciiul, nvarea

prin descoperire proceedee de instruire: explicatia n

etapa de comunicare; nvarea prindescoperire dirijat, inductiv,experimental; conversaia de consolidare

n etapa de fixare a cunotinelorDescriere descrierea noiunilor de lan, drum, circuit

ntr-un graf orientat evidenierea deosebirilor existente ntre

aceste noiuni

Cuvinte cheie drum, lan, circuit

M1 Noiuni introductiveObiective didactice OP1, OP13Timp de predare 15 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral: expunere,conversaie, studiu de caz

metode de aciune: exerciiul, nvareaprin descoperire

proceedee de instruire: explicatia netapa de comunicare; nvarea prindescoperire dirijat, inductiv,experimental; conversaia de consolidare

n etapa de fixare a cunotintelorDescriere descrierea prin exemple a noiunilor de graf

orientat, gradul unui nod (interior,exterior), mulinea succesorilor unui nod,mulinea predecesorilor unui nod, mulimeaarcelor

Cuvinte cheie graf orientat, gradul unui nod


6/24


- 6 -

M3 Graf parial, subgrafObiective didactice OP3, OP13Timp de predare 15 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral: expunere,conversaie, brainstorming

metode de aciune: exerciiul, nvarea

prin descoperire proceedee de instruire: conversaia de

consolidare, exerciiul de consolidareDescriere prezentarea noiunilor de graf parial i

subgraf analizarea modalitilor de obinere a

grafurilor pariale i a subgrafurilor pornindde la un graf dat

Cuvinte cheie graf parial, subgraf

M4 Graf orientat completObiective didactice OP4, OP5, OP13Timp de predare 20 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral:expunere, conversaie, studiu de caz


proceedee de instruire: conversaia deconsolidare, nvarea prin descoperiredirijat, inductiv, experimental, exerciiulde consolidare

Descriere descrierea noiunii de graf complet construirea tuturor grafurilor complete cu

un numr dat de noduri

Cuvinte cheie graf orientat complet

M5 Aplicaia (1) Graful turneuObiective didactice OP6, OP13Timp de predare 20 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral:expunere, conversaie, problematizare,studiu de caz


proceedee de instruire: conversaia deconsolidare, problematizarea prin creareade situaii problem, exerciiul deconsolidare

Descriere determinarea unui drum elementar caretrece prin toate nodurile grafului ntr-ungraf turneu

Cuvinte cheie graf turneu, drum elementar


7/24


- 7 -

M6 Test grilde evaluare a cunotinelor (1)Obiective didactice OP3, OP6, OP12Timp de predare 10 minTip de interaciune cuelevii

evaluare n formscrisprin intermediulcalculatorului

Descriere test grilcu itemi de tip asociere (pereche)

Cuvinte cheie graf parial, graf turneu

M7 Matrice asociate grafurilor orientateObiective didactice OP7, OP13Timp de predare 25 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral:expunere, conversaie


proceedee de instruire: conversaia deconsolidare, nvarea prin descoperire

dirijat, inductiv, experimental, exerciiulde consolidare

Descriere descrierea noiunilor de matricea deadiacen, matricea vrfuri arce, matriceadrumurilor

construirea acestor matriceCuvinte cheie matricea de adiacen, matricea vrfuri-arce,

matricea drumurilor

M8 Algoritmul Roy - WarshallObiective didactice OP8, OP13Timp de predare 25 minTip de interaciune cuelevii

metode de comunicare oral:expunere, conversaie, algoritmizarea


proceedee de instruire: algoritmizareaprin determinarea pailor secvenei Roy-Warshall, exerciiul de consolidare

Descriere descrierea algoritmului Roy-Warshall pentrudeterminarea matricei drumurilor

Cuvinte cheie algoritmul Roy-Warshall


8/24


- 8 -

M9 Aplicaie (2) - Problema celebritiiObiective didactice OP9, OP13Timp de predare 20 minTip de interaciune cuelevii


metode de aciune: exerciiul, nvarea

prin descoperire proceedee de instruire: conversaia de

consolidare, nvarea prin descoperiredirijat, inductiv, experimental, exerciiulde consolidare

Descriere prezentarea problemei de determinare apersoanei celebre dintr-un grup

Cuvinte cheie matricea de adiacen

M10 Test gril pentru evaluarea cunotinelor (2)Obiective didactice OP4, OP7, OP12Timp de predare 10 minTip de interaciune cuelevii


Descriere test grilcu itemi de tip asociere (pereche)Cuvinte cheie graf complet, matricea de adiacent, matricea

drumurilor

M11 Graf conex. Graf tare conex. Componente conexeObiective didactice OP10, OP11Timp de predare 15 minTip de interaciune cuelevii


metode de aciune: exerciiul, nvareaprin descoperire proceedee de instruire: conversaia de

consolidare, nvarea prin descoperiredirijat, inductiv, experimental, exerciiulde consolidare

Descriere descrierea noiunilor de graf conex, graftare conex

determinarea componentelor conexe si acomponentelor tare conexe;

Cuvinte cheie graf conex, graf tare conex, componentconex, componenttare conex

M12 Test gril pentru evaluarea cunotinelor (3)Obiective didactice OP10, Op11, OP12, OP13Timp de predare 10 minTip de interaciune cuelevii


Descriere test grilcu itemi de tip asociere (pereche)Cuvinte cheie graf conex, graf tare conex, componenttare

conx


9/24


- 9 -

2.2. Recomandri de structurare i predare

Plan de lecie 1 Timp: 1 or

Obiect de coninut Timp (min)M1 15M2 20M3 15


Obiect de coninut Timp (min)M4 20M5 20

M6 10


Obiect de coninut Timp (min)M7 25M8 25


Obiect de coninut Timp (min)M9 20 + implementarea

algoritmuluiM10 10


Obiect de coninut Timp (min)M7 25M11 15M12 10


10/24


- 10 -

3. Obiecte de coinut - detaliere

n continuare vom prezenta n detaliu modul de utilizare aelementelor din ferestrele leciei. (navigare, elemente specifice,funcionarea aplicaiilor, etc.). Subliniem c navigarea elementar

se face cu ajutorul butoanelor descrise n Cap. 1 Terminologie, alacestui manual. Nu ne vom referi la acestea dect spicuitiv.

3.1. Noiuni introductive

n acest obiect de coninut sunt prezentate noiunile introductivelegate de noiunea de graf orientat. De asemenea, este prezentatmodul n care se poate compune un graf orientat plecnd de la oserie de elemente ntre care se stabilesc relaii.

Pentru a trasa un arc n graf apsai cu mouse-ul mai nti peelementul iniial i apoi pe cel final.

Elemente ntrecare sestabilesc relaii

Graful orientatobinut

Mulimeanodurilor

Mulimeaarcelor


11/24


- 11 -

Pentru a aduga elemente apsai pe butonul .Pentru a terge ultimul element adugat apsai pe butonul .Prin apsare pe butonul se activeazmodul de tergere a arcelordintre noduri. Butonul devine . n acest mod se poate terge

orice arc, prin simpla apsare pe el.

n timp ce se definesc legturile ntre elemente se deseneaz igraful asociat corespunztor i se afieazmulimile nodurilor i aarcelor.n partea dreaptse pot testa noiunile teoretice explicate.

Tragei cu mouse-ul de una din literele ce semnificnoduri n graf i

aezai-o n oricare din csuele albe pentru a vizualiza rezultatulcorespunztor.

Litere caresemnificnoduri

Rezultat

Noiuneteoretic

Csualb


12/24


- 12 -

3.2. Lan. Drum. Circuit.

Fiecare dintre cele trei noiuni este prezentat separat. Seleciauneia dintre noiuni se face apsnd pe butonul corespunztor:

Prin apsare pe butonul se activeazmodul de tergere a arcelordintre noduri. Butonul devine . n acest mod se poate tergeorice arc, prin simpla apsare pe el.

Lan

Enunul problemei sugereaz faptul c trebuie s generai un lan.Pentru a face acest lucru, trebuie surmai urmtorii pai:

selectai nodul iniial, apsnd pe una dintre cldirile marcatede la A la K. Acesta va fi marcat automat drept nodul curent,prin colorarea cu rou a literei

selectai unul din arcele ce au la una dintre extremiti chiarnodul iniial de la pasul precedent. Dac arcul selectat estevalid, va fi acum marcat drept nodul curent cealaltextremitate a arcului

atunci cnd suntei mulumit de lanul generat, apsaibutonul de validare


13/24


- 13 -

Drum

Enunul problemei sugereaz faptul c trebuie s generai un lan.

Pentru a face acest lucru, trebuie surmai urmtorii pai: enunul problemei sugereaz faptul ctrebuie s generai un

drum. Pentru a face acest lucru, trebuie s urmai urmtoriipai

selectai unul din nodurile care sunt legate printr-un arc cunodul de la pasul anterior. Dac nodul selectat este valid,acesta va fi marcat drept nodul curent

atunci cnd suntei mulumit de lanul generat, apsaibutonul de validare

Circuit

Enunul problemei sugereaz faptul c trebuie s generai un circuit.Pentru a face acest lucru, trebuie surmai urmtorii pai:


14/24


- 14 -

selectai nodul iniial, apsnd pe una dintre cldirile marcatede la A la K. Acesta va fi marcat automat drept nodul curent,prin colorarea cu rou a literei

selectai unul din nodurile care sunt legate printr-un arc cunodul de la pasul anterior. Dac nodul selectat este valid,

acesta va fi marcat drept nodul curent atunci cnd suntei mulumit de lanul generat, apsai

butonul de validare

3.3. Graf parial. Subgraf.

Cele dounoiuni sunt prezentate separat. Selecia uneia dintre elese face apsnd pe butonul corespunztor:

Graf parial

Obinerea unui graf parial se face prin tergerea unuia sau maimultor arce ale grafului iniial.

Selectarea arcului care urmeaz a fi ters se face prin poziionareamouse-ului deasupra sa, moment n care arcul respectiv devine deculoare roie. tergerea propriu-zis se face apsnd pe arculselectat.


15/24


- 15 -

Subgraf

Obinerea unui subgraf se face prin tergerea unuia sau mai multornoduri ale grafului iniial.

Selectarea nodului care urmeaz a fi ters se face prin poziionareamouse-ului deasupra sa, moment n care nodul respectiv devine deculoare roie. tergerea propriu-zis se face apsnd pe nodulselectat.

3.4. Graf complet

n acest obiect de coninut este prezentat noiunea de grafcomplet. Se urmrete gsirea tuturor grafurilor complete ce se potforma cu trei noduri.

Zona de lucru Zona de salvare a soluiilor

Butoane deparcurgerea soluiilor


16/24


- 16 -

Pentru a trasa un arc n graf apsai cu mouse-ul mai nti pe noduliniial i apoi pe nodul final. Pentru a terge un arc al grafului, seapaspe nodul iniial i apoi pe cel final.

Dacgraful este complet, apsai pe butonul de validare pentru a-l

salva.

Pentru a reveni asupra unei soluii dejasalvate, apsai cu mouse-ul peptratul din partea dreapt ce conineimaginea acesteia. Se va deschide unmeniu n care avei posibilitatea salegei operaia dorit.

3.5. Graful turneu

n acest obiect de coninut este prezentatnoiunea de graf turneu,care este un caz particular de graf complet.

Problema care se pune este gsirea unui drum n graf care streacprin fiecare nod o singurdat.


17/24


- 17 -

Definirea drumului pe care l va parcurge cartea se face printrasarea arcelor ce l vor compune, care vor fi de culoare roie.Trasarea unui arc se face apsnd cu mouse-ul mai nti pe noduliniial i apoi pe nodul final.

Prin apsare pe butonul se activeazmodul de tergere a arcelordintre noduri. Butonul devine . n acest mod se poate tergeorice arc, prin simpla apsare pe el. Pentru revenirea la stareainiialse apas nco datpe acest buton. tergerea unui arc aldrumului duce la tergerea arcelor ce urmeazn continuarea sa ncompunerea drumului.

3.6. Test de evaluare a cunotinelor

Acest obiect de coninut conine un test gril cu rspunsuri de tipcomplement simplu, adicdoar o variantde rspuns corect.

Pentru a trece de la o problem la alta poziionai mouse-ul penumrul problemei dorite. Bifarea rspunsurilor se face prin

apsarea cu mouse-ul pe csua corespunztoare raspunsului dorit.Se poate reveni asupra rspunsului la oricare dintre ntrebri, attatimp ct nu s-a rspuns la toate ntrebrile.

Dup bifarea rspunsurilor pentru fiecare problem, n dreaptabutoanelor cu numrul problemelor vor aprea indicatori de validarea rspunsului:


18/24


- 18 -

pentru rspuns corect i pentru rspuns greit

Pentru a vedea rezolvarea apsai butonul Rezolvare. n loculvariantelor de rspuns ale fiecrei probleme vor aprea rezolvrile

corespunztoare. n partea din dreapta-jos a ferestrei va fispecificat rspunsul corect.

n locul butonului de rezolvare va aprea butonul napoi. Apsaiacest buton pentru ca n locul rezolvrilor sfie afiate din nouvariantele de rspuns.

3.7. Matrice asociate grafurilor orientate

n acest obiect de coninut sunt definite trei tipuri de matriceasociate grafurilor orientate: matricea de adiacen, matriceadrumurilor i matricea vrfuri arce.


19/24


- 19 -

Pentru a trasa un arc n graf apsai cu mouse-ul mai nti peelementul iniial i apoi pe cel final.

Pentru a aduga elemente apsai pe butonul .Pentru a terge ultimul element adugat apsai pe butonul .

Prin apsare pe butonul se activeazmodul de tergere a arcelordintre noduri. Butonul devine . n acest mod se poate tergeorice arc, prin simpla apsare pe el.Matricele asociate se actualizeaz la fiecare modificare fcut pegraf.

3.8. Algoritmul Roy-Warshall

n acest obiect de coninut este prezentat algoritmul Roy-Warshall,

un algoritm simplu de obinere a matricei drumurilor pornind de lamatricea de adiacen.

Apsai butonul pentru a porni execuia pas cu pas a

algoritmului. Apsai butonul pentru a opri execuia algoritmului.

Sgeata, mpreuncu dreptunghiul de culoare roie, indic linia irespectiv funcia care se execut la momentul curent.

Sgeataindic

liniacurent

Dreprunghiulindicfunciacurent

Elementulprelucrta la

momentulcurent

Prelucrricurente


20/24


- 20 -

3.9. Problema celebritii

n acest obiect de coninut este prezentat o aplicaie practic:problema celebritii.

Pentru a aduga elemente apsai pe butonul .Pentru a terge ultimul element adugat apsai pe butonul .

Stabilirea rspunsurilor la ntrebarea din enun se face prin

apsarea repetat cu mouse-ul pe zona de rspuns, reprezentatprin : . Rspunsul poate fi sau . n funcie de acesterspunsuri se formeaz graful corespunztor i matricea deadiacenataatacestuia.

Grafulasociat

RspunsuriMatricea deadiacen

asociatgrafului


21/24


- 21 -

3.10. Test de evaluare a cunotinelor (2)


Pentru a trece de la o problem la alta poziionai mouse-ul penumrul problemei dorite. Bifarea rspunsurilor se face prinapsarea cu mouse-ul pe csua corespunztoare raspunsului dorit.Se poate reveni asupra rspunsului la oricare dintre ntrebri, attatimp ct nu s-a rspuns la toate ntrebrile.


pentru rspuns corect i pentru rspuns greit

Pentru a vedea rezolvarea apsai butonul Rezolvare. n loculvariantelor de rspuns ale fiecrei probleme vor aprea rezolvrile

corespunztoare. n partea din dreapta-jos a ferestrei va fispecificat rspunsul corect.

n locul butonului de rezolvare va aprea butonul napoi. Apsaiacest buton pentru ca n locul rezolvrilor s fie afiate din nouvariantele de rspuns.


22/24


- 22 -

3.11. Graf conex. Graf tare conex. Componenteconexe

Iniial vaflai n modul "Adugare arce". Generarea de subgrafuri

ce au proprietile cerute se face astfel: se selecteaz mai nti(prin apsarea cu butonul mouse-ului) acele arce ale grafului caredorii s se gseasc n subgraf. Atunci cnd suntei mulumit desubgraful generat apsai butonul de validare pentru a vede ceproprieti are subgraful.

Prin apsare pe butonul se activeazmodul de tergere a arcelordintre noduri. Butonul devine . n acest mod se poate tergeorice arc, prin simpla apsare pe el.


23/24


- 23 -

3.12. Test de evaluare a cunotinelor (3)


Pentru a trece de la o problem la alta poziionai mouse-ul penumrul problemei dorite. Bifarea rspunsurilor se face prinapsarea cu mouse-ul pe csua corespunztoare raspunsului dorit.Se poate reveni asupra rspunsului la oricare dintre ntrebri, attatimp ct nu s-a rspuns la toate ntrebrile.


pentru rspuns corect pentru rspuns greit

Pentru a vedea rezolvarea apsai butonul Rezolvare. n loculvariantelor de rspuns ale fiecrei probleme vor aprea rezolvrilecorespunztoare. n partea din dreapta-jos a ferestrei va fispecificat rspunsul corect.

n locul butonului de rezolvare va aprea butonul napoi. Apsaiacest buton pentru ca n locul rezolvrilor s fie afiate din nouvariantele de rspuns.


24/24


4. Bibliografie

Atanasiu A.; Bazele informaticii, Universitatea dinBucureti, 1989

Livovschi L., Georgescu H.; Sinteza i analiza

algoritmilor, Editura tiinificsi Enciclopedic, Bucureti,1986

Tomescu I.; Probleme de combinatorici teoriagrafurilor, Editura Didactici Pedagogic, Bucureti, 1981

Tomescu I.; Ce este teoria grafurilor?, Editura tiinificiPedagogic, Bucureti, 1981

Ivac Cornelia, PrunMona; Bazele informaticii- Manual

pentru clasa a X-a, Editura Petrion, Bucureti

Knuth D. E;Tratat de programarea calculatoarelor.Algoritmi fundamentali, Editura Tehnic, 1974

Documents

Manualul Profesorului-grafuri Orientate