Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1 Manuel Mazo Quintas Daniel Pizarro Pérez Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá

Manuel Mazo,Daniel Pizarro . Departamento de Electrónica 1

Manuel Mazo QuintasDaniel Pizarro Pérez

Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá.Email:[email protected],[email protected]

VISIÓN POR COMPUTADOR


ContenidoContenido

Tratamiento de imágenes: Dominio de la frecuencia y del espacio.

Tratamiento de imágenesTratamiento de imágenes

Dominio de la frecuencia

Dominio del espacio


Alternativas de procesamiento de Alternativas de procesamiento de imágenesimágenes

Dominio del espacio

Dominio de la frecuencia (transformada de Fourier, del Coseno, wavelet, etc)

f(u,v)F{f(u,v)}

F(p.q)H(p,q)

G(p.q)=F(p,q).H(p,q)F-1{G(p,q)}

g(u,v)

f(u,v)

h(u,v)g(u,v) = f(u,v)*h(u,v)

u,v: coordenadas espaciales (plano imagen) p, q: frecuencias espaciales (frecuencia en la dirección de u y v respectivamente). h(u,v): respuesta al impulso (respuesta a un punto de luz intenso caracterizado por la función delta de Dirac. H(p,q): Función de transferencia del filtro. *: operador convolución


Convolución espacialConvolución espacial

f(u,v)h(u,v)

g(u,v) = f(u,v)*h(u,v)

g u v h u v f u v f i j h u i v jji

( , ) ( , ) * ( , ) ( , ) ( , )= = − −∑∑•La respuesta al impulso h(u,v), se suele aproximar por funciones reducidas (3x3 componentes, frecuentemente).•Estas funciones reducidas se suelen denominar “máscaras”.•Los valores que toman cada una de las componentes de la “máscara”, dependerán de la función a realizar (filtro paso bajo, filtro paso alto, etc).•En la figura se muestra una “máscara de 3x3 con valores: h(-1,-1), h(0,-1),h(1,-1), h(-1,0), h(0,0),h(1,0), h(-1,1),h(0,1),h(1,1)

•Tamaños típicos de máscaras: = 33, 5 5, 77, 9 9, 1111.•Dimensiones máscaras: números impares (lo que hace que exista un pixel central)

v

u

h(0,0)

h(-1,-1) h(0,-1) h(1,-1)

h(-1,0)

h(-1,1)

h(1,0)

h(0,1) h(1,1)


p1·pixel(1)

p2·pixel(2)

p3·pixel(3)

p4·pixel(4)

p5·pixel(5)

p6·pixel(6)

p7·pixel(7)

p8·pixel(8)

p9·pixel(9)

Imagen desalida

p1= h(-1,1), p4= h(0, -1), p7=(1,-1)

p2= h(-1, 0), p5= (0, 0), p8=(1,0)

p3= h(-1,1), p6=(0,1), p9=(1,1)

p1

12

3

45

6

78

9

Imagen deentrada

Máscara de 3x3

p2

p3

p4

p5

p6

p7

p8

p9

u

v

h(u,v)


El proceso se repite para todos los puntos de la imagen

p pixel i

pvalor pixel en la imagen de salida

ii

ii

⋅==

=

∑

∑

( )( )1

9

1

9 5



Tamaño de imagen = M N Tamaño de máscara = mxn Tamaño de la convolución = [M- m +1][ N-n+1]

S h i jmxnj

n

i

m

===∑∑ ( , )11

g u vS

f i j h u i v j f u v h u vmxn ji

( , ) [ ( , ) ( , )] ( , ) * ( , )= ⋅ − − ==−=−∑∑1

1

1

1

1

u

v

h(0,0)

h(-1,-1) h(0,-1) h(1,-1)

h(-1,0)

h(-1,1)

h(1,0)

h(0,1) h(1,1)


Ejemplo de convoluciónEjemplo de convolución Filtro paso bajoFiltro paso bajo

h u v( , )

/ / /

/ / /

/ / /

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

1 9 1 9 1 91 9 1 9 1 91 9 1 9 1 9

19

1 1 11 1 11 1 1

f(u,v)

g u v h u v f u vS

f i j h u i v jmxn ji

( , ) ( , ) * ( , ) ( , ) ( , )= = − −∑∑1

g(u,v)


´¿Qué sucede con los puntos de borde ´¿Qué sucede con los puntos de borde de la imagen?de la imagen?

La solución a los píxeles de borde pueden ser varias:

1. Pasar la máscara por todos los píxeles de la imagen, excepto por los de bordes (esto hace que la imagen de saliada sera más reduciada en tamaño: Si tamaño de imagen original: MxN y tamaño máscara nxn, el tamaño de al imagen de salida es: [M-(n-1)]x[N-(n-1)].

2 Añadiendo filas y columnas en los bordes de la ímagen con píxeles del mismo valor de intensidad que los de las filas y columnas de borde. Si la máscara es de nxn el número de filas y columnas a añadir será (n-1).

3 Rellenar con ceros a las filas y columnas fuera de la imagen.

La solución más frecuente es la 1


Transformada de Fourier Transformada de Fourier

F p q f u vN

f u v j up vq N

p q Nv

N

u

N

( , ) { ( , )} ( , )exp( ( ) / )

, , , ,.....

=ℑ = − +

= −=

−

=

−

∑∑1

2

01 2 10

1

0

1

π

f u v F p qN

F p q j up vq N

u v Nq

N

p

N

( , ) { ( , )} ( , ) exp( ( ) / )

, , , ,....,

=ℑ = +

= −

−

=

−

=

−

∑∑1

0

1

0

112

0 1 2 1

π

f(u,v)F{f(u,v)}

F(p.q)H(p,q)

G(p.q)=F(p,q).H(p,q)F-1{G(p,q)}

g(u,v)

p, q: frecuencias espaciales


Muestreo grueso: 20 puntos por fila y 14 por columna

Muestreo fino: 100 puntos por fila y 68 por columna

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Inté

rval

o d

e m

ues

treo

Cada punto rojo corresponde a una muestra

Transformada de FourierTransformada de FourierResolución espacial (recordatorio)Resolución espacial (recordatorio)



• Obsérvese el entorno de la valla

Intervalo de muestreo

100 100 100

100 100 100

100 100 100

100 100 100

100 100 100

100 100 100

100 100 100

100 100 100

40 40 40 40 40 40

40 40 40 40 40 40

40 40 40 40 40 40

40 40 40 40 40 40

Zona clara Zona oscura

! No se detecta la valla !



Anterior Intervalo de muestro

40 100 10040 40

40 100 10040 40

40 100 10040 40

40 100 10040 40

Ahora se puede ver la valla

¿Cuál es la diferencia entre la situación anterior y la atual?

Nuevo Intervalo de muestro

• Obsérvese el entorno de la valla



• Considerando la estructura repetitiva de la valla

Intervalo de muestreo

Caso 1: S1= dEl intervalo de muestreo es igual al tamaño de la estructura que se repite

Ausencia de Valla

Caso 2: S2 = d/2 El intervalo de muestreo es la mitad de la estructura que se repite

Presencia de Valla

S1

S2

d



x(t)

t

Señal analógica de banda limitada (B)

f-B B

X(f)

x(n)=x(nT)

nT

X(f/fs)

-fs fs/2 fsf

1/T=fs2B

X(f/fs)

-fs fs/2 fsf

x(n)=x(nT)

nT

1/T=fs<2B

señal Componentes espectrales


Transformada de FourierTransformada de FourierRelación: resoluciones espacial-frecuencialRelación: resoluciones espacial-frecuencial

Δu

Δv

Δp

Δq

p

q

Imagen original Espectro imagen original

Imagen muestreadaEspectro imagen muestreada

ΔΔ

ΔΔ

pN u

qN v

= =1 1

,

La resolución frecuencial enlas frecuencias p y q será tanto mayor cuanto más información visual NΔu y

NΔv esté disponible


Transformada de FourierTransformada de FourierRelación: resoluciones espacial-frecuencialRelación: resoluciones espacial-frecuencial

Las máximas frecuencias calculables serán:

Las máximas frecuencias computables en las dos dimensiones espaciales de una imagen digital son inversamente proporcionales a las correspondientes resoluciones espaciales.

O lo que es lo mismo “para poder evaluar una determinada frecuencia máxima de una imagen digital es preciso muestrear la imagen continua con una resolución espacial mínima que sea igual a la inversa de la frecuencia máxima de interés”

p N pN

N u

q N qN

N v

max

max

( )

( )

= − =−

= − =−

11 1

11 1

ΔΔ

ΔΔ


Transformada de FourierTransformada de FourierEjemplosEjemplos

Tu= 16 píxeles

f(u,v): variación sinusoidal en u

Tu= 4 píxeles

|F(p,q) |


Transformada de FourierTransformada de FourierEjemplosEjemplos

f(u,v) F(p,q)


Transformada de FourierTransformada de FourierPropiedadesPropiedades

Traslación

Rotación

u r v r sen p q sen

f u v f r F p q F w

f r F w

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅= =

+ ⇔ +

cos , , cos ,( , ) ( , ), ( , ) ( , )

(( , ) ( , )

θ θ ω φ ω φθ φ

θ θ φ θ0 0Rotando f(u,v) un ángulo θ0 se rota

F(p,q) el mismo ángulo


Transformada de FourierTransformada de FourierPropiedadesPropiedades

Valor medioValor medio

Nf u v

FN

f u v

Valor medoN

Fv

N

u

N

u

N

v

N

=

=

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

==

−

=

−

=

−

=

−

∑∑

∑ ∑

1

0 01

10 0

20

1

0

1

0

1

0

1

( , )

( , ) ( , )

( , )

Laplaciana

f u v f u vf

u

f

v

f u v p q F p q

( , ) ( , )

{ ( , )} ( ) ( ) ( , )

→ ∇ = +

ℑ ∇ ⇔ − +

22

2

2

2

2 2 2 22

∂∂

∂∂

π

Escalado

a f u v a F p q f au bvq

abF p a q b⋅ ⇔ ⋅ ⇔( , ) ( , ), ( , ) ( / , / )


Transformada de FourierTransformada de FourierFiltro paso bajoFiltro paso bajo

H p qsi D p q D

si D p q D( , )

( , )

( , )=

≤>

⎧⎨⎩

10

0

0

H p qD p q D n( , )

[ ( , ) / ]=

+1

1 02

H(p,q)

q

p

1

D0D0

H(p,q)

D(p,q)/D00

1

F. P. Bajo

Filtro de Butterworth

D0 = frecuencia de corte


Transformada de FourierTransformada de FourierFiltro paso altoFiltro paso alto

H(p,q)

D(p,q)D0

1

0

H(p,q)

D(p,q)/D0

H p qsi D p q D

si D p q D( , )

( , )

( , )=

≤>

⎧⎨⎩

01

0

0

H p qD D p q n( , )

[ / ( , )]=

+1

1 02

Filtro de Butterworth

D0 = frecuencia de corte


Transformada del cosenoTransformada del coseno

Transformada del coseno: Para una imagen de NxN

Como se puede ver, utiliza, al igual que la transformada de Fourier, funciones base sinusoidales. La diferencia está en que aquí las funciones base no son complejas.

Se utiliza ampliamente para la compresión de imágenes, en particular en el método Joint Photographic Experts Group (JPEG).

C p q p q f u vu p

N

u q

Np q N

v

N

u

N

( , ) ( ) ( ) ( , ) cos( )

cos( )

; , , , ,...=+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = −

=

−

=

−

∑∑α απ π2 1

22 12

0 1 2 10

1

0

1

α α( ), ( ),

, , ,....

p qN

para p q

Npara p q N

==

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

10

21 2 1


JPEG (Joint Photographic Experts Group)JPEG (Joint Photographic Experts Group)

• Es el estandar de compresión con perdidas más extendido.

• La compresión se consigue cuantificando los coeficientes de la DCT

• Se consiguen muy buenos resultados con imágenes naturales.

Bloque DCTBloque DCTBloque Pixel 8x8

Bloque Pixel 8x8

CuantificadorCuantificador Cod Binario

Cod Binario

01000111000100011100DCT 8x8 Basis



• La cuantificación se realiza con un salto variable en función de la frecuencia.

• Se penalizan altas frecuencias a las que el ojo humano es menos sensible.

• La matriz de cuantificación establece un nivel para cada elemento de salida 8x8 de la DCT.



1121 bytes 1736 bytes 2862 bytes

5271 bytes 8046 bytes 192 Kbytes



En el tratamiento de imágenes es frecuente que las matrices base se representen como imágenes, llamadas las imágenes base, donde se utilizan diferentes valores de gris para representar los diferentes valores en las matrices base.

q

p

0

0

1

1

2

2

3

3



La transformada inversa viene dada por:

dondeα(p) y α(q) responden a las expresiones dadas en la transparencia anterior.


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets Es una transformada de duración limitada que tiene valor medio cero. Mientras que la transformada de Fourier permite la descomposición de la señal en ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. La transformada wavelet consiste en representar cualquier función arbitraria “f” como una superposición de un conjunto de wavelets o funciones base. La transformada wavelet de una señal “f” unidimensional es la familia de coeficientes C(a,b):

Los índices a, b se asocian con el escalado y la posición de la señal. De la ecuación anterior se deduce que esta transformada se define como la suma sobre todo el intervalo de la señal multiplicada por las versiones escaladas y trasladadas de la función wavelet. Multiplicando cada coeficiente por la apropiada wavelet escalada y trasladada se obtienen las wavelets que componen la señal original.

C a b f xa

x b

adx a R y b R R conjunto numeros reales( , ) ( ) ; { } ( )=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ∈ − ∈

−∞

∞+∫

10ψ


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets Obtención de coeficientes C(a,b)Obtención de coeficientes C(a,b)

Tramo n

Señal

Wavelet

(a1,b) Paso1 Paso2 ...........Paso n

Desplazamiento de la wavelet entre cada tramo de la señal

Tramo 1

C12C12 C1n

Esc

alad

o d

e w

avel

et

Wavelet

(a2,b)

Señal

Paso1 Paso2...........

Paso nDesplazamiento de la wavelet entre cada tramo de la señal

Tramo 1´

C21C22 C2n

Tramo n´

Repetir para todos los escalados


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets Obtención de coeficientes C(a,b)Obtención de coeficientes C(a,b)

En el caso discreto (TDW- Transformada Discreta Wavelets-) se elige un subconjunto de escalas y posiciones. El análisis resulta más sencillo si ambas son potencia de 2.

Para el caso bidimensional la familia de wavelets viene dada por.

10 0

1 2

1 1

1

2 2

21 2

21 2 1 2a a

x b

a

x b

ax x x R a a b y b Rψ

− −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ∈ > > ∈, ; ( , ) , , ,

C a b C j k f x g x con a b k j N k Z

Z numeros enteros y N numeros naturales

j kx Z

j j( , ) ( , ) ( ) ( ); , , ,,= = = = ∈ ∈∈∑ 2 2


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets

Una forma sencilla para implementar la TDW cuando escalas y posiciones son potencia de 2, fue propuesta por Woods y O´Neill (1986) y Mallat (1989), mediante el uso de filtros.

Para muchas señales, el contenido en baja frecuencia es la parte más importante porque proporciona a la señal su identidad (caso de imágenes), y el contenido en alta frecuencia matiza este contenido.

En el caso de una imagen, un filtro paso bajo suaviza la imagen (pero se sigue viendo), pero un filtro paso alto extrae bordes (deja de verse el contenido).

Por ello se habla de descomposición de la señal en componentes (a) aproximación de baja frecuencia y (b) detalle de la señal.

El resultado de descomponer la señal de entrada en versiones paso bajo y paso alto, se conoce generalmente como sub-bandas.

Cada sub-banda se puede seguir descomponiendo por el mismo procedimiento. De esta manera se dice que la TDW descompone una señal de entrada en un

cierto número de bandas de frecuencia.


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets Aplicación en imágenesAplicación en imágenes

Cuando se trata de imágenes, esta transformada descompone la imagen original en cuatro imágenes submuestreadas o diezmadas.

En imágenes, el submuestreo se realiza cada dos píxeles. El resultado consta de:

Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso alto tanto en la dirección vertical como horizontal.

Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso alto en la dirección vertical y paso bajo en la horizontal

Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso bajo en la dirección vertical y paso alto en la horizontal.

Una imagen que ha sido filtrada mediante un filtro paso bajo tanto en las dos direcciones.

Esta transformada se implementa típicamente en el dominio espacial utilizando filtros de convolución 1-D. Estos filtros deben ser de reconstrucción perfecta (entre otras, esto supone que cualquier distorsión introducida por la transformada directa, debe ser cancelada por la inversa)


..

Entre los filtros propuestos (vectores base) están los de Daubechies y el de Haar.

Una vez elegidos los vectores base para las respectivas operaciones paso bajo/paso alto se obtiene la TDW a través de los siguientes pasos:

Haar

Paso Bajo

Paso Alto

Daubechies

: [ , ]

: [ , ]

; :

[ , , , ]

[ , , , ]

1

21 1

1

21 1

1

4 21 3 3 3 3 3 1 3

1

4 21 3 3 3 3 3 1 3−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− − + +

− − + − + −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪




1. Realizar la convolución de las filas con el filtro paso bajo y guardar los resultados.

2. Realizar la convolución de las columnas con el filtro paso bajo, a partir de los resultados del paso 1. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos; esto genera una versión que se denomina paso bajo/paso bajo de la imagen.

3. Realizar la convolución del resultado del paso con un filtro paso alto en las columnas. Obtener una imagen reducida tomando sólo yn píxel de cada dos, obteniendo ahora una imagen paso bajo/paso alto.

4. Realizar la convolución de la imagen original con un filtro paso alto en las filas y guardar resultado.

5. Realizar la convolución del resultado del paso 4 con un filtro paso bajo en las columnas. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos, obteniendo una imagen paso alto/paso bajo.

6. Realizar la convolución de las columnas del resultado del paso 4 con el filtro paso alto. Obtener una imagen reducida tomando sólo un píxel de cada dos, obteniendo una imagen paso alto/paso alto.


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets AAlgoritmo de filtrado por filas y columnaslgoritmo de filtrado por filas y columnas

2 1

2 1

1 2

1 2

1 2

1 2

PBD

PAD

PBD

PBD

PAD

PAD

Columnas

Columnas

Filas

Filas

Columnas

Columnasf

f1

f4

f3

f2

x : convolución con el filtro X de las filas de la entrada

filas

x : convolución con el filtro X de las columnas de la entrada Columnas

: submuestreo de columna, mantener las pares2 1

: submuestreo de fila, mantener las pares1 2

Quadrature Mirror Filterbanks (QMF)


Transformada de WaveletsTransformada de Wavelets EjemploEjemplo

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0 7 21 36 5 0 2 8

35 7 8 9 2 10 6 57

6 4 134 14 8 16 3 85

9 2 191 205 219 11 3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

PBD 2 1

2 1 5 0

7 8 10 6

134 16 3

191 219

. .

. .

. .

. .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

PBD

15 35

7 0 11 0

150 19 0

230 27 0

135 155

. .

. .

. .

. .

. .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

1 2

7 0 11 0

230 27 0

. .

. .

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Ejemplo que muestra la descomposición pasa bajo/paso bajo, para la imagen original “f”

“f”filas columnas

f1

De forma similar se pueden obtener f2, f3, y f4

− −− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −− −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−4 4

4 4

1 1

1 1

2 3

6 016e

f2 f3 f4(BB)(BA) (AB) (AA)

Paso bajo/paso Bajo =BB, paso bajo/paso alto= BA, paso alto/paso bajo =AB, paso alto/paso alto = AA


Transformada inversa de WaveletsTransformada inversa de Wavelets

f xK

C a ba

x b

a

dadb

aK es una cons te que depende de

Caso discreto f x C j k x

RR

j kk Zj Z

( ) ( , ) ; tan

: ( ) ( , ) ( ),

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=

∫∫∑∑

+

∈∈

1 12

ψψψ ψ

ψ

Haar

Paso Bajo

Paso AltoDaubechies

: [ , ]

: [ , ]; :

[ , , , ]

[ , , , ]

1

21 1

1

21 1

1

4 21 3 3 3 3 3 1 3

1

4 21 3 3 3 3 3 1 3−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

+ + − −

− − + + − −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

2 11 2

PBI

PAI

PBI

PBI

PAI

PAI

Columnas

Columnas

Filas

FilasColumnas

Columnas f

f1

f4

f3

f2

1 2

1 2

1 2

2 1

+

2 1 :extender imagen, dada una imagen con m columnas, insertar m-1 columnas de ceros entre las m columnas dadas

1 2 :extender imagen, dada una imagen con n filas, insertar n-1 filas de ceros entre las n filas dadas


Transformada inversa de WaveletsTransformada inversa de WaveletsEjemploEjemplo

35 35 55 55

35 35 55 55

115 115 135 135

115 115 135 135

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

4 9 0 7 8

4 9 0 7 8

16 3 0 19 0

16 3 0 19 0

. .

. .

. .

. .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

PBI 2 14 9 7 8

4 9 7 8

16 3 19 0

16 3 19 0

. .

. .

. .

. .

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

PBI

7 0 11 0

0 0

230 27 0

. .

. .

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 2

7 0 11 0

230 27 0

. .

. .

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

Subimagen resultante

filas columnas

f1(BB)


Transformada de HotellingTransformada de Hotelling(Análisis de Componentes Principales –PCA-)(Análisis de Componentes Principales –PCA-)

Si disponemos de un conjunto de M imágenes de dimensión NxN, el vector imagen de una imagen genérica “k”es:

Por tanto, una imagen se representa como un vector columna de N 2 componentes. Este espacio le denominaremos “espacio de imagen”.

I I I I I I I I Ik k k kN

linea

k N k N k N

linea

k N xN k N

linea N

T= + + − +[ , ,...., , ..., ,........, ,...., ]( ) ( ), ( ) [( ) ] [ ]1 2

1

1 2 2 1

2

1 1 2

6 74 4 84 4 6 74 4 4 44 84 4 4 4 4 6 74 4 4 84 4 4

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

IN N x N N x

M

M

M

MN N x

1

11

12

1 1

2

21

22

2 1

1

2

12 2 2 2 2 2

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

... ; ... ; ......., ...



Para estos M vectores de imagen, la estimación del vector media es:

Por tanto, cada imagen Ik difiere de la media en k=Ik-ψ.

ψ

ψψ

ψ

= = =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=

+ + +

+ + +

+=∑E I

MI

M

I I I

I I I

I I

kk

M

N N x

M

M

N N

[ ].

.

................

................

....................................

( ) (

1 1

1

1

2

1

11 21 1

12 12 2

1 2

2 2

2 2 ) ( )......

.

+ +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟I

M N 2

1

11 1

12 1

1

11

12

1 1

1 1

2 2

1

2

12 2 2 2 2 2 2 2

=

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

−

−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

I

I

I

I

I

IN N N N x

M

M

M

MN N

M

M

MN N x

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

... ...; ...........

... ...



Imagen 1 (I1)

Imagen 2 (I2)

Imagen 3 (I3)

Imagen 4 (I4)

Media

2



C E I IM

I IM M

AAAT

kk

M

kT T

k kk

MT T= − − = − ⋅ = =

= =∑ ∑{( )( ) } ( ) ( )ψ ψ ψ ψ

1 1 1

1 1

La matriz de las i, i = 1,2, ..., M, la identificaremos por A:

Para la matriz de imágenes diferencia, la estimación de la matriz de covarianza viene dada por:

CA es una matriz simétrica de dimensiones N2xN2 .

A M N xM=[ , ,......, ] 1 2 2

C

C C C

C C C

C C C

A

N

N

N N N N N x N

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

11 12 1

12 22 2

1 2

2

2

2 2 2 2 2 2

.....

......... .... .... ....

.....



Dado que CA es simétrica y real, siempre se puede encontrar un conjunto de N2 autovectores ortogomales.

Los autovalores y autovectores de CA vienen dados por:

Por tanto llamando U a los autovectores de CA (ordenando en orden creciente al valor de los autovalores), entonces:

λ λ λ λ

λ

I C autovalores

C u u i N autovectores u u

A N

A i i i i jj

N

− = →

= ⋅ = → = ==

∑

0

1 2 1

1 2

2 2

1

2

2

: , , .....,

; , ,...., ,

U

u

u

u

u u u

u u u

u u u

u

u

u

T

N N xN

N

N

N N N N N N

N=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

→→

→

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

> > >

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1 1

2 2

1 2

2 2 2

2

2

2 2 2 2 2 2

2...

..

.... .. .. ..

..

; .. ; ....

λλ

λ

λ λ λ



Suponiendo la siguiente transformación

Espacio imagenEspacio transformadoΩ = ⋅U AT

A Ω

Ω Ω Ω Ω

Ω Ω ΩΩ Ω Ω

Ω Ω Ω

= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

[ , ,......, ]

...

...

... ... ... ....

...

1 2

11 21 1

12 22 1

1 2

2

2 2 2

M N xM

M

M

N N MN



Dado que la media de los vectores Ω resultantes de la transformación es cero:

Puesto que los autovectores de U constituye un conjunto ortonormal, la matriz U es una matriz diagonalizante de CA.

En consecuencia CΩ es una matriz diagonal, y sus elementos a lo largo de la

diagonal principal son los autovalores de CA (CΩ y CA tienen los mismos

autovalores y autovectores)

C EM M M

U A U AM

U AA U U C UT

k kk

MT T T T T T T T

AΩ Ω Ω Ω Ω Ω Ω= = = ⋅ = = ==∑{( )( ) } ( ) ( )( )

1 1 1 11

C

N

Ω =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

λλ

λ

1

2

0 00 00 00 0 0 2

......

............. .....



En la transformación directa se realiza la operación.

La reconstrucción de las imágenes (teniendo presente que U-1=UT)

Y finalmente Ii se obtiene como.

Ω

Ω Ω

= ⋅

↓

= = ⋅−

U A

A U U

T

T( ) 1

Ω = ⋅ →U A matriz de N xMT 2

I Columna i de Ai = +[ _ ] ψ



Si de los M autovalores de CA (o CΩ) λ1> λ2> …>λK >…> λM se pueden despreciar algunos de ellos, por ejemplo los inferiores a λK, entonces quedrán los autovectores asociados a los K autovalores, y en consecuencia:

La obtención de las imágenes de partida a partir de ΩK viene dado por:

Se puede demostrar que el error que se comete entre viene dado por:

Lógicamente si K=N2 entonces 2=0

ΩK KTU A matriz de ensiones KxM= ⋅ → dim

$

$ [ _ $]

A U

I columna i de A

K K

i

= ⋅

= +

Ω

ψ

λ λ λ2

1 1 1

2 2

= − == = = +

∑ ∑ ∑jj

N

jj

K

jj K

N



Para calcular los autovalores y autovectores de AAT, reduciendo el proceso de cálculo, se puede proceder como sigue:

La matriz AAT es de dimensiones N2xN2 y ATA es de MxM (siendo M el número de imágenes, y frecuentemente M<<N2). Dado que:

Por tanto, para el cálculo de los autovalores y autovectores de AAT (que hemos denominado por λi , i) se procede de la siguiente manera: Obtener los M autovalores y autovectores de ATA, i y i :

Obtener los autovectores de AAT a partir de:

A A A A A A AA A ATi i i

Ti i i

Ti i i = ⋅ → = ⋅ → = ⋅( ) ( ) ( ) ( )

u A i Mi i ik kk

M

= = ==∑ 1

1 2; , ...,

λ λ λ

I A A

A A

TM M

Ti i i M

− = → = = =

= →

0 1 1 2 2

1 2

, ,.......,

, ,.......,



Distancia a la media

1=1-(N2x1)

Imagen M

Imagen 1

I1

(N2x1)

Imagen M

I1

I2

I3

IM

1

M

32

Imagenmedia

(N2x1)

[ ]A M N xM= Φ Φ Φ1 2 2, ,......,

CM

AAT =

1Covarianza

K autovaloresmayores

λ1, λ2, … , λK

K autovectoresasociados

UKT=[u1, u2, … , uK]T

ΩK KTU A= ⋅

Espacio transformado

$A U K K= ⋅Ω

$ [ _ $]I columna i de Ai = +ψ



Imagen 1

I1

(N2x1)

Imagen M

I1

I2

I3

IM

Nº de datos: MxN2

Espacio transformado

Coeficientes de ΩK : KxM

Coeficientes de UK:N2xK

Coeficientes de ψ:N2x1

=Nº de datos: N2x(K+1)+KxM

Diferencia: (M-K-1)N2-KxM

Espacio original


Ejemplo PCAEjemplo PCAImágenes originalesImágenes originales

Autovalores:0 0.04228E8,0.9486E8, 1.5601E8,4.6721E8


Ejemplo PCAEjemplo PCAImágenes recuperadasImágenes recuperadas

Original recuperada con 3 autove. recuperada con 1 autove.










Ejemplo PCAEjemplo PCAImágenes originalesImágenes originales

Autovalores:00.3993E71.0604E71.4405E7 4.2507E7













Transformada de Walsh-HadamardTransformada de Walsh-Hadamard

A diferencia de las de Fourier y Coseno, las funciones base no son sinusoidales, sino rectangulares o cuadradas con picos de 1.

Para una imagen de NxN esta transformada viene dada por:

Donde N=2n.

El exponente de (-1) se realiza en base 2 y bi(u) se calcula considerando u como un número binario y encontrando el i-ésimo bit.

( )[ ]

WH p qN

f u vv

N

u

N b u c p b v c qi i i ii

n

( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )

= −=

−

=

− +

∑∑ =

−

∑11

0

1

0

10

1



¿Cómo se obtiene bi(u) y bi(v)?

Por ejemplo: n=4 (N=16) y u=2u(2=0010, por tanto b0(u)=0, b1(u)=1 b2(u)=0 y b3(u)=0.

xn-1 xn-2 xn-3 ……… x3 x2 x1 x0

Representación binaria de u con n bits (x=0,1)

bn-1(u) bn-2(u) bn-3 (u) ……… b3 (u) b2 (u) b1 (u) b0 (u)

xn-1 xn-2 xn-3 ……… x3 x2 x1 x0

Representación binaria de v con n bits (x=0,1)

bn-1(v) bn-2(v) bn-3 (v) ……… b3 (v) b2 (v) b1 (v) b0 (v)



¿Cómo se obtienen los valores de ci(u) y ci(v)?

La transformada de Walsh-Hadamard no es una transformada de frecuencia, ya que las funciones base no exhiben el concepto de frecuencia de una manera sinusoidal.

En este tipo de funciones se utiliza el número de cambios de signo, que da un idea de la frecuencia. El número de cambios de signo se denomina secuencia.

c u b u

c u b u b u

c u b u b u

c u b u b u

n

n n

n n

n

0 1

1 1 2

2 2 3

1 1 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

.

( ) ( ) ( )

== += +

= +

−

− −

− −

−

c v b v

c v b v b v

c v b v b v

c v b v b v

n

n n

n n

n

0 1

1 1 2

2 2 3

1 1 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

.

( ) ( ) ( )

== += +

= +

−

− −

− −

−



En la figura se muestran las imágenes base para la transformada de Walsh-Hadamard con N=4. Cada bloque consta de 4x4 elementos, correspondientes a la variación de u y v de 0 a 3. El origen de cada esquina se sitúa en la parte superior izquieda. Los blancos se corresponden a +1 y los negros a -1

q

p



La transformada inversa de Walsh-Hadamard es:

Esta transformada presenta una secuencia creciente a partir del origen, al igual que la del seno lo hace con la frecuencia.

[ ] ( )[ ]

WH WH p q f u vN

WH p qv

N

u

N b u c p b v c qi i i i

i

n

−

=

−

=

− +

= = −∑∑ =

−

∑1

0

1

0

111

0

1

( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( )

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Manuel Mazo,Daniel Pizarro. Departamento de Electrónica 1 Manuel Mazo Quintas Daniel Pizarro Pérez Departamento de Electrónica. Universidad de Alcalá