Manuscrito - SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

7/22/2019 Manuscrito - SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA

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SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMASELCTRICOS DE POTENCIA

Elaborado por:

Ing. Rodmy Miranda Ordoez

La Paz, Marzo de 2009


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SISTEMASDECONTROLAPLICADOASISTEMASDEPOTENCIA

RODMY MIRANDA ORDOEZ 2

INDICE GENERAL

1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL ............................................................... 31.1. INTRODUCCIN ..................................................................................................................... 31.2. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL ................................................................... 31.3. SISTEMA NO REALIMENTADO ............................................................................................. 41.4. SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO ........................................................................... 41.5. CONCEPTO DE REALIMENTACIN...................................................................................... 51.6. PROBLEMAS RESUELTOS .................................................................................................... 61.7. PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................. 6

2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ....................................................................................... 82.1. INTRODUCCIN ..................................................................................................................... 82.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................................ 82.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................................... 82.4. TEOREMA DEL VALOR FINAL ............................................................................................... 92.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE .......................................................................... 92.6. PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................... 10

3. MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DINMICOS .................................................... 113.1. CONCEPTOS SOBRE MODELOS MATEMTICOS ............................................................ 11

3.2. TCNICAS DE LINEALIZACION Y NORMALIZACION ........................................................ 113.2.1. LINEALIZACION DE SISTEMAS DINMICOS NO LINEALES .................................... 113.2.2. NORMALIZACIN ......................................................................................................... 133.2.3. Criterios que deben tomarse en cuenta para la normalizacion del sistema .................. 13

3.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y SU TRATAMIENTO ............................................................. 133.3.1. CONCEPTO ................................................................................................................... 133.3.2. BLOQUE FUNCIONAL .................................................................................................. 143.3.3. SUMADOR O COMPARADOR ..................................................................................... 143.3.4. FLUJO DE SEAL ......................................................................................................... 15

3.4. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUE ................................................................... 153.5. MODELADO EN ESPACIOS DE ESTADOS ......................................................................... 16

3.5.1. REPRESENTACIN DE ESPACIO DE ESTADO ........................................................ 163.5.2. EL CONCEPTO DE ESTADO ....................................................................................... 16

3.5.3. PUNTOS DE EQUILIBRIO (O SINGULARIDADES) ..................................................... 163.6. PROBLEMAS PROPUESTOS ............................................................................................... 174. ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA .................................................................... 21

4.1. INTRODUCCIN ................................................................................................................... 214.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN .......................................................................................... 214.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN ...................................................................................... 214.4. PARMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA ............................. 224.5. PROBLEMAS DE ANLISIS ................................................................................................. 234.6. Problemas propuestos ........................................................................................................... 28

5. Acciones bsicas de control ................................................................................................. 315.1. INTRODUCCIN ................................................................................................................... 315.2. CONTROLADORES .............................................................................................................. 315.3. EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE ELDESEMPEO DE UN SISTEMA. ................................................................................................. 315.4. CONTROLADORES HIDRULICOS..................................................................................... 33

5.4.1. CONTROLADOR INTEGRAL ........................................................................................ 335.4.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL ............................................................................. 34

5.5. REGLAS DE SINTONIZACIN PARA CONTROLADORES PID ......................................... 345.6. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR ..................................................................................... 355.7. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH ........................................................................... 365.8. PROBLEMAS DE ANLISIS ................................................................................................. 365.9. Problemas de anlisis ............................................................................................................ 43


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1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE CONTROL

1.1. INTRODUCCIN

El control automtico ha desempeado un papel muy importante en el avance de la ingeniera y laciencia desde principios del siglo XX. En el rea de electricidad, la habilidad de un sistema depotencia de mantener la estabilidad, depende de diversos controladores disponibles paraamortiguar las oscilaciones electromecnicas producidas por un desbalance de potencia activa y/oreactiva, razn por la cual el estudio y diseo de sistemas de control es muy importante en laoperacin de sistemas elctricos.

Como los avances en la teora y la prctica del control automtico proporcionan los medios paraconseguir un comportamiento ptimo de los sistemas dinmicos, mejorar la productividad,simplificar el trabajo de muchas operaciones manuales repetitivas y rutinarias, as como de otrasactividades, la mayora de los ingenieros deben tener un buen conocimiento de este campo.

1.2. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE CONTROL

El control de una variable de proceso requiere de una estructura que incluye cuatro elementos(Proceso o Planta, Equipo de Medicin o Sensor, Controlador, Elemento de Control Final o

Actuador) conectados de tal manera que se establece un flujo de informacin que si es recirculadase describe como un lazo de control retroalimentado (Feedback). Si el controlador desarrolla suaccin sin alimentarse de la informacin que se observa en la variable de proceso, se dice que esun control anticipatorio (Feedforward).

Figura 1.1. Esquema General de un Sistema de Control

A continuacin se listan algunos trminos utilizados en la teora de sistemas de control.

Sistema: Combinacin de elementos ordenados que actan conjuntamente y cumplen undeterminado objetivo. Es un modelo de un dispositivo o de un conjunto de ellos existentes en elmundo real (sistema fsico). En general, el estudio de sistemas fsicos consta de cuatro partes:modelaje, descripcin matemtica, anlisis y diseo.

Proceso: Es un desarrollo natural progresivamente continuo, marcado por una serie de cambiosgraduales que se suceden uno al otro en forma relativamente fija y que conducen a un resultado o

Proceso oPlanta Equipo deMedicin

ControladorEquipo deActuacin

Seal de Seal de

Seal deSeal de

SealManipulada

Seal deSalida


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propsito determinados [Diccionario Merriam-Webster]. Un proceso es cualquier sistema que sedesea controlar.

Planta: Planta se denomina a cualquier equipo. Por convencin se le llamar planta a cualquierequipo fsico que ha de ser controlado. Una planta es grupo de sistemas a controlar, de forma quela planta tambin puede ser definida como un proceso cuando se controla un solo sistema.

Perturbacin: Es una seal que tiende a afectar adversamente el valor de la salida de un sistema.La presencia de estas seales en un sistema en mayor o menor grado, es lo que justifica el uso deredes de realimentacin y sobre todo de reguladores.

Salida: Variable de inters que se desea mantener dentro de un rango determinado, incluso ante laafluencia de perturbaciones.

Referencia: Entrada del sistema. Seal de mando directamente utilizable por el sistema, y queindica al controlador el valor deseado de la salida del sistema.

Controlador o Regulador: Parte del sistema que mantiene la salida dentro de un mbitopermitido, con variaciones muy lentas y pequeas (o sin variaciones) respecto a la referencia, estoa pesar de la presencia de perturbaciones.

Actuador: Amplificador y muchas veces transductor, que permite el acople entre la seal de salidadel controlador (seal de baja potencia) con la variable manipulada de la planta.

1.3. SISTEMA NO REALIMENTADO

Es aquel que utiliza un controlador (un sistema) en cascada con el sistema a ser controlado (plantao proceso) para obtener la respuesta deseada, como se muestra en la Fig. 1.2.

Figura 1.2. Sistema de Control en Lazo Abierto

1.4. SISTEMA DE CONTROL REALIMENTADO

Es aquel que utiliza una medida de la salida actual para compararla con la respuesta deseada,como se muestra en la Fig. 1.3. Un sensor o transductor es un dispositivo que convierte una seala otra, generalmente elctrica. Ejemplos: potencimetros, tacogeneradores, termocuplas,termistores, presstatos, flotadores, etc.

Figura 1.3. Sistema de Control en Lazo Cerrado

Comparador Controlador Actuador Planta

Transductor

r e u c

p

Controlador PlantaSalidaEntrada

Valor Deseado


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r: seal de referenciae: seal de erroru: seal de actuacin o variable de controlc: seal de salidap: seal de perturbacin o ruido

1.5. CONCEPTO DE REALIMENTACIN

El conocimiento del modelo matemtico del sistema sobre el que se debe tomar una decisin paragobernar su funcionamiento, no es suficiente para la toma de esta decisin. Se requiere ademsinformacin sobre lo que, de una forma intuitiva de momento se puede denominar estado actual delmismo.

Considere una persona que debe realizar su recorrido habitual desde su domicilio al trabajo en suautomvil, definiendo como proceso el llevar el vehculo desde el domicilio al trabajo. En estesentido, el conductor representara desde su posicin de gobierno de la conduccin del automvil alcontrolador del proceso y los objetos existentes a lo largo del camino como ser otros vehculos,seales de trnsito, transentes, etc., se convierten en perturbaciones en el proceso. El conductorllevara adelante el proceso solamente si advierte los obstculos en el camino valindose para estode sus ojos, que le permiten tener informacin sobre el estado actual del automvil y lograr de esta

forma la toma de decisin adecuada para evitar los obstculos. Por lo sealado, los ojos delconductor representan la realimentacin necesaria para lograr un grado de eficacia en el procesode llevar el vehculo al lugar de destino.

Un sistema de control realimentado o en lazo cerrado, se conoce como un sistema de controlautomtico.

La Figura 1.4, es un diagrama de bloques de un sistema de control industrial que consiste de uncontrolador automtico, un elemento de control final, un proceso y un sensor (elemento demedicin). Es un lazo cerrado donde la variable de salida del proceso se mide y retroalimenta alcontrolador quien determina el error de dicha medida con su valor de referencia y genera unaaccin que ejecuta el elemento de control final para ajustar la variable de control al valor deseado.

Figura 1.4. Sistema de Control en Lazo Cerrado

ControladorEquipo

deActuacin

Proceso

Sensor

Error Salida+

-

Referencia


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1.6. PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sealar los componentes que forman la estructura del sistema de control de la siguiente figura.

Figura E1.1. Sistema de Control en Lazo Abierto

El sistema de control en lazo abierto de una lavadora, tiene como seal de entrada o referencia elgrado de limpieza deseada, y como seal de salida el grado de limpieza actual. El controlador y laplanta corresponden al equipo de lavado lavadora. Debido a que la operacin de la lavadora sedefine en base a un tiempo determinado, la maquina no mide efectivamente que la seal de salida,que es la limpieza de la ropa.

1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Sealar los componentes que forman la estructura de los sistemas de control presentados acontinuacin.

a. Sistema de Control Manual


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b. Sistema de Control en Lazo Cerrado de un sistema trmico

c. Sistema de Control en Lazo Cerrado multivariable


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2. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2.1. INTRODUCCIN

La transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadasintegrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellinentre otras. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones diferencialeslineales y ecuaciones integrales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posibleconvertir muchas funciones comunes tales como las funciones senoidales, selenoidalesamortiguadas y funciones exponenciales en funciones algebraicas de una variable s compleja.

Una ventaja del mtodo de la transformada de Laplace es que permite el uso de tcnicas graficaspara predecir el desempeo del sistema, sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales delsistema.

2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definimos:

f(t) funcin del tiempo t tal que f(t)=0, para t0 es:

12 La transformada de Laplace de cualquier funcin f(t) se encuentra multiplicando f(t) por eintegrando este producto desde t=0 a t=. Sin embargo una vez que conocemos el mtodo paraobtener la transformada de Laplace, no es necesario obtener cada vez la transformada de Laplacef(t). Es posible usar tablas de transformadas de Laplace (En el anexo 1, se presenta un resumende las principales transformadas de Laplace).

2.3. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

A continuacin se presentan algunas propiedades ms usadas de la transformada de Laplace,donde se considera f(t) y g(t) cuentan con transformada de Laplace.

Teorema de Linealidad:


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Teorema de Convolucin

Primer Teorema de Traslacin:

Teorema de la Derivada

0 0

Teorema de la Integracin

2.4. TEOREMA DEL VALOR FINAL

El teorema del valor final relaciona el comportamiento en el estado estable de f(t) con elcomportamiento de sF(s) en la vecindad de s=0. Sin embargo este teorema se aplica si y solo si

existe lim (lo que significa que f(t) se asienta en un valor definido para t). Si todos lospolos de sF(s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, existe

lim. Pero si

F(s) tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho del plano s, f(t) contendr funcionesde tiempo oscilantes o exponencialmente crecientes respectivamente y lim no existira. Elteorema de valor final no se aplica en tales casos.

lim lim El teorema de valor final plantea que el comportamiento en estado estable de f(t) es igual que elcomportamiento de sF(s) alrededor de s=0. Por lo tanto, es posible obtener f(t) en t= directamentede F(s).

2.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LA PLACE

Un mtodo conveniente de obtener la transformada de Laplace es usar una tabla de transformadasde Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que reconozca deinmediato en la tabla. Si una transformada especifica F(s) no se encuentra en la tabla, puedeexpandirse en fracciones parciales y escribir en trminos de funciones simples de s para lascuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace.

En la expansin de F(s)=B(s)/A(s) en fracciones parciales es importante que la potencia ms altade s en A(s) sea mayor que la potencia ms alta de s en B(s). Si tal no es el caso, el numeradorB(s) debe dividirse entre el denominador A(s) para producir un polinomio s adems de un residuo(un cociente de polinomios en s, cuyo numerador sea un grado menor que el denominador).


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1. Hallar la Transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a)s40s22s

160s32s67s43s2)s(F

23

234

b)

2s2ss1

)s(F2

c)

3s1ss

2s5)s(F

2

d)

2s1s

3s)s(F

e)

2s1s7s9s5s

)s(F23

f) 5s2s

12s2)s(F 2

2. Resolver mediante Laplace las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:

a) 3)t(x;0)0(x;0)t(x6)t(xdt

d3)t(x

dt

d2

2

b) b)t(x;a)0(x;0)t(x2)t(x

dt

d3)t(x

dt

d2

2

c) 0)t(x;0)0(x;3)t(x5)t(x

dt

d2)t(x

dt

d2

2

3. Sea un vehculo submarino no pilotado (UFSS, Unmanned Free-Swimming Submersible). La

funcin de transferencia que relaciona su ngulo de cabeceo, (s), con el ngulo de timne(s) es:

Utilizando la transformada inversa de Laplace, encontrar la expresin analtica de la respuestatemporal del ngulo de elevacin (t) a una entrada escaln unitario en el ngulo del timne(t).

)01.02.0()2(

)5.0(1.0

)(

)(2

sss

s

s

s

e


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3. MODELOS MATEMTICOS DE SISTEMAS DINMICOS

3.1. CONCEPTOS SOBRE MODELOS MATEMTICOS

Para generar un modelo matemtico, es necesario cumplir con una etapa previa, denominada

etapa de cualificacion del fenmeno. Cualificar un fenmeno no es otra cosa que explicar y/oentender cualitativamente lo que est sucediendo. Una vez consolidado la etapa de cualificacindel fenmeno, viene la etapa de cuantificacin que no es otra cosa que ponerle nombre y apellido alos fenmenos producidos. El resultado de este proceso nos genera el concepto "modelomatemtico" (generar ecuaciones).

Un modelo matemtico se puede definir como la ecuacin o conjunto de ecuaciones diferencialesque cuantifican la dinmica o movimiento de un sistema.

Los modelos matemticos pueden explicitarse tanto en el dominio del tiempo como en el dominiode la frecuencia:

a. Dominio del tiempo

Ecuaciones integro-diferencialesIndices de comportamientoEspacio de estado

b. Dominio de la frecuencia

Diagramas de bloqueFlujos de senales

3.2. TCNICAS DE LINEALIZACION Y NORMALIZACION

3.2.1. LINEALIZACION DE SISTEMAS DINMICOS NO LINEALES

Consideremos un sistema no lineal con una entrada y una salida, como se presenta en la figura 1:

x y

Cuyo modulo matemtico, esta dado por la ecuacin:

y = f(x)

Donde:

x es la seal de entrada del sistema en el dominio del tiempo.y es la seal de salida del sistema en el dominio del tiempo.

Para linealizar el sistema, se requiere realizar algunas consideraciones:

SISTEMA


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a) El modelo linealizado debe ser un modelo lo ms preciso y exacto posible. Exacto en suestructura. Preciso en los resultados que se desean obtener, como producto de sudinmica.

b) Se debe establecer, un nuevo punto de comportamiento o funcionamiento, que establezcala base necesaria para generar el modelo lineal, debe definirse lo ms prximo posible alpunto definido como comportamiento o funcionamiento real del sistema.

De lo sealado considerando:

(x, y) punto real de funcionamiento., nuevo punto de funcionamiento. 0 (valor muy pequeo).Si desarrollamos: y = f(x) mediante la serie de Taylor para un el nuevo punto de funcionamiento,tenemos la siguiente expresin:

11!

12!

13!

Aplicando el criterio de: 0, los trminos elevados a potencias iguales o mayores a 2en la ecuacin anterior, sern iguales a cero. Asimismo, considerando las siguientes relaciones:

La expresin de y linealizada ser:

(1)

Para un sistema no lineal cuya salida y es una funcin de dos entradas x1 y x2 de forma similar alo sealado anteriormente se tendr lo siguiente:

, Linealizando se tiene:

(2)Donde:

,

; ;


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3.2.2. NORMALIZACIN

Es muy comn en la prctica encontrarse con sistemas de control que se encuentran conformadospor un conjunto de subsistemas de naturaleza diferente. Por ejemplo, si hablamos o hacemosmencin a un sistema de control de velocidad para un motor de corriente continua, vamos a poderobservar que el mismo est conformado por otro sistema cuyas naturalezas difieren entre s

(naturaleza elctrica, mecnica, electrnica, etc.). Si hacemos referencia a las unidades que semanejan dentro de este sistema de control vamos a poder ver que estas difieren unas de las otras.Esto implica que los sistemas no tienen las mismas unidades.

En este sentido, resulta de suma importancia el de uniformizar de alguna manera las unidades quese manejan en el sistema. La tcnica utilizada con este propsito se denomina normalizacion desistemas.

Se genera una unidad estandar denominada "por unidad - porcentual", se definen:

- Unidad de referencia (unidad base)- Unidad real

- Unidad o valor nominal Vn, es una cantidad constante independiente del tiempo, valormximo permisible.

- Unidad real V(t), unidad o valor instantneo, dependiente del tiempo que muestra ladinmica del sistema en un tiempo determinado.

Definimos al valor normalizado como: .. Este valor es una magnitud adimensional.

3.2.3. Criterios que deben tomarse en cuenta para la normalizacion del sis tema

a) Identificados los valores instantneos o reales que deben formar parte de la dinmica delsistema, debe establecerse una base de datos de todos los posibles valores nominales quese pueden obtener dentro del comportamiento del sistema.

b) En funcin de lo establecido dentro del modelo matemtico que cuantifica la dinmica delsistema (que puede estar compuesto por una o ms ecuaciones) se determinan lasecuaciones normalizadas.

3.3. DIAGRAMAS DE BLOQUES Y SU TRATAMIENTO

3.3.1. CONCEPTO

Es un modelo de carcter grafico, mediante el cual se representa las partes componentes de unsistema de control y su relacionamiento de seales bsicamente est conformado por treselementos:

a) El bloque funcionalb) El sumador o comparadorc) Un flujo de seales


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3.3.2. BLOQUE FUNCIONAL

Es el elemento grfico del diagrama de bloques, que representa dentro del mismo a los elementos,o en su caso subsistemas de un determinado sistema y/o sistema de control. Se puede representara travs de un rectngulo, con un denominativo especifico.

F(s) = Funcin de transferencia (Denominativo).

Como se puede observar el denominativo es una funcin en el dominio de la frecuencia,comnmente denominada funcin de de transferencia.

Se define a una funcin de transferencia como la relacin que existe (cociente) entre la seal desalida y la seal de entrada de un determinado sistema, en el dominio de la frecuencia y paracondiciones inciales y/o de frontera nulas.

En trminos generales si consideramos que el modelo matemtico en el dominio del tiempo est

dado por la ecuacin diferencial:

En donde C(t) es la salida del sistema y R(t) es la entrada. Aplicando la transformada de Laplace ala ecuacin anterior y considerando las condiciones inciales igual a cero, el sistema en el dominiode la frecuencia ser:

Por definicin, la funcin de transferencia H(s) del sistema ser:

Hs CsRs

3.3.3. SUMADOR O COMPARADOR

Se define como aquel elemento abstracto en algunos casos suceptibles a una interpretacin fsica

de un diagrama de bloques que nos permite representar el producto o la suma de dos o ms dedos seales. Se utiliza generalmente cuando no existe ningn vnculo de carcter estructural entredos o ms seales.

F(s)


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x1(s) y1(s)

x2(s) y2(s)

x3(s) y3(s) En forma general:

De forma similar para el producto de funciones:

3.3.4. FLUJO DE SEAL

Es un elemento de un diagrama de bloques que tiene la funcin de vincular de una u otra manera alos bloques funcionales, comparadores y/o sumadores de un determinado sistema. En estesentido, se encuentra explicito la dinmica o movimiento del sistema.

Flujo de seal

La obtencin de un diagrama de bloques establece los siguientes pasos a seguir:

a) En el sistema dinmico a analizar, identificar cual ser la seal de entrada y la seal desalida. Esto ser definido en base a lo que se quiere obtener del sistema de control.

b) Una vez que se han identificado las seales de entrada y salida, se debe establecer lasecuaciones que gobiernan la dinmica del sistema. Para esto es adecuado escribir unaecuacin integro-diferencial por cada subsistema que forma parte del sistema dinmico aanalizar.

c) Mediante la transformada de Laplace, llevar todas las funciones en el dominio del tiempo aldominio de la frecuencia. Cada ecuacin integro-diferencial en el dominio del tiempo,transformada en una ecuacin algebraica en el dominio de la frecuencia debe representarun bloque funcional.

d) Utilizando flujos de seales, comparadores y/o sumadores vincular en forma lgica todoslos bloques funcionales del sistema dinmico utilizando las seales de salida de unsubsistema como una seal de entrada para otro subsistema. Es necesario que lasseales de entrada y salida del sistema dinmico correspondan a las seales de entrada ysalida del conjunto de bloques funcionales que forman la funcin de transferencia delsistema dinmico.

3.4. ALGEBRA DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUE

H1(s) H2(s)


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Consiste en reducir un diagrama de bloques en un solo bloque funcional con una sola entrada ysalida. Para este propsito es importante generar algunos criterios bsicos de reduccin dediagramas de bloque sencillos.

3.5. MODELADO EN ESPACIOS DE ESTADOS

La teora de control moderna contrasta con la teora de control convencial en que la primera seaplica a sistemas con entradas y salidas mltiples, que pueden ser lineales o no lineales, en tantoque la segunda solo se a aplica a sistemas lineales con una entrada y salida invariantes en eltiempo. Asimismo, la teora de control moderna es esencialmente un enfoque en el dominio deltiempo, en tanto que la teora de control clsico es un enfoque en el dominio de la frecuencia.

3.5.1. REPRESENTACIN DE ESPACIO DE ESTADO

El comportamiento de un sistema dinmico como el de un sistema elctrico de potencia, puede serdescrito mediante un conjunto de n ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden de lasiguiente forma:

, , . , ; , , . , ; 1,2, ,

Donde n es el orden del sistema y r es el nmero de entradas. Esto puede ser escrito en lasiguiente forma usando notacin vector-matriz:

,,Donde:

El vector columna x es referido como vector de estado, y sus elementos xi como variables deestado. El vector columna u es el vector de entradas del sistema. Estas son las seales externasque influencian el funcionamiento del sistema. El tiempo es denotado por t, y la derivada de unavariable de estado x con respecto al tiempo es denotado porx .3.5.2. EL CONCEPTO DE ESTADO

El estado de un sistema representa la cantidad mnima de informacin acerca del sistema encualquier instante t0 que es necesario para que su comportamiento futuro pueda ser determinadosin necesidad de saber entradas anteriores a t0.

Las variables de estado pueden ser cantidades fsicas en un sistema, como el ngulo, velocidad,

voltaje, o pueden ser variables matemticas abstractas asociadas con las ecuaciones diferencialesque describen la dinmica del sistema. La seleccin de las variables de estado no es nica. Estono significa que el estado del sistema en cualquier tiempo no es nica; solamente que el significadode representacin de la informacin de estado no es nica. Cualquier conjunto de variables deestado que nosotros escojamos producir la misma informacin acerca del sistema.

3.5.3. PUNTOS DE EQUILIBRIO (O SINGULARIDADES)


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Los puntos de equilibrio son aquellos donde todas las derivadas x, x , . ,x son simultneamentecero. El equilibrio o punto de singularidad debe satisfacer la ecuacin:

0Donde: x0 es el vector de estado x en el punto de equilibrio.

Un sistema lineal tiene un solo estado de equilibrio (si la matriz del sistema es no singular). Parasistemas no lineales puede existir ms de un punto de equilibrio.

Los puntos de singularidad son verdaderamente caractersticos del comportamiento de la dinmicadel sistema y por lo tanto se puede conocer acerca de la estabilidad desde su naturaleza.


1. Reducir el siguiente diagrama de bloques a un solo bloque Y/R

2. Encontrar la funcin de transferencia VL(s)/V(s) del circuito elctrico mostrado en la figura, en

torno al punto de equilibrio i = i0 = 14.78 A. La resistencia elctrica rnl es no lineal, con unarelacin tensin-corriente definida por ir = 2 e0.1 Vr. Se supone que las seales aplicadas sonpequeas.

3. El circuito equivalente de la maquina sincrnica de polos lisos para estudios de estabilidad decentrales termoelctricas se presenta en la siguiente figura, y las ecuaciones que gobiernan sufuncionamiento se detallan lneas abajo.a. Determinar el diagrama de bloques que representa al modelo de este generador

sincrnico.

G1 G2 G3

H3

H1

H2

YR

+

+

v(t)

vL(t)L=1H

20V

rnl

i(t)


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b. Considerando un sistema lineal, determinar las ecuaciones de estado y surepresentacin en espacios de estado.

A continuacin se presenta un sumario de las ecuaciones de la mquina sincrnica, como unconjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, con el tiempo (t) en segundos, elngulo del rotor () en radianes elctricos, y todas las otras cantidades en por unidad.

Ecuaciones de movimiento

ro

rDeM

r

t

KTTHt

2

1

Donde:o = 2o rad elctricos/s r = desviacin de velocidad del rotor en p.u.

Ecuaciones de los circuitos en el rotor

qqo

q

qqo

q

ddo

d

fdfdofd

adu

fdofd

iRt

iRt

iRt

iREL

R

t

22

2

11

1

11

1

Las corrientes del rotor estn dadas por:

d ad q aq


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aqq

q

q

aqq

q

q

add

d

d

adfd

fd

fd

Li

Li

Li

Li

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Los enlaces de flujo mutuo del eje directo y del eje de cuadratura son:

d

d

fd

fd

dadsadLL

iL1

1"

q

q

q

q

qaqsaqLL

iL2

2

1

1"

donde:

dfdads

ads

LLL

L

1

111

1"

qqaqs

aqs

LLL

L

21

111

1"

Donde Lads y Laqs son valores saturados de las inductancias mutuas de los ejes directo y decuadratura y se calculan mediante:

aqusqaqs

adusdads

LKL

LKL

Ksd y Ksq son calculados como una funcin del enlace de flujo del entrehierro at.

Ecuaciones del voltaje del estator


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Sin tomar en cuenta los transitorios del estator

tt

qd

, ni tampoco la variacin de la

velocidad

o

, como se sugiere en la referencia 1, el voltaje del estor puede ser escrito de

la siguiente manera:

qddqaq

dqqdad

EiXiRe

EiXiRe

''''

''''

Con:

d

d

fd

fd

adsq

q

q

q

q

aqsd

LL

LE

LLLE

1

1

2

2

1

1

''''

''''

El par momento del entrehierro ( eT ) requerido para la solucin de la ecuacin de oscilacin

es:

daqqade iiT


21/44



4. ANLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA

4.1. INTRODUCCIN

Para el anlisis analtico de los sistemas de control, se utilizan seales de prueba tpicas, talescomo: escaln, rampa, parbola, impulso, senoidales, etc. Ya que con dichas seales es posiblerealizar con facilidad anlisis matemtico y experimental de los sistemas de control.La forma de la entrada a la que el sistema estar sujeto con mayor frecuencia bajo una operacinnormal determinara cul de las seales de entrada tpicas se debe usar para analizar lascaractersticas del sistema.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: respuesta transitoria yrespuesta en estado estable. Para mayor comprensin definiremos algunos conceptos.Estabilidad Absoluta: Es la caracterstica ms importante del comportamiento dinmico de unsistema de control, es decir si el sistema es estable o inestable. Un sistema ser estable si suspolos simples se encentran en el semiplano izquierdo del plano complejo.

Estabilidad relativa: Es la estabilidad o respuesta transitoria, es decir la que va de un estado iniciala un estado final. Esta respuesta transitoria, se debe a que la salida del sistema cuando est sujetoa una entrada, no sucede a la entrada de inmediato, debido a que todo sistema de control fsicoimplica un almacenamiento de energa.

Error en estado estable: Es la diferencia entre la salida y la entrada de un sistema. Este error indicala precisin del sistema.

4.2. SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Dominio del tiempo (t): Su ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento del sistema es deorden 1.

Dominio de la frecuencia (s): El polinomio caracterstico de la funcin de transferencia del sistemaes de grado 1.

4.3. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

(t): El modelo matemtico del sistema tiene una ecuacin diferencial de orden 2.(s): El polinomio caracterstico de la funcin de transferencia del sistema es de grado 2. La funcinde transferencia de un sistema de segundo orden, puede ser representado en forma general como:

22

2

2)(

)(

nn

n

sssR

sC

donde:

n , es la frecuencia natural no amortiguada.

, factor de amortiguamiento relativo del sistema.

El comportamiento dinmico de este tipo de sistema se describe a continuacin en trminos de n

y . Si 0


22/44



sobreamortiguados corresponden a >1. La respuesta de los sistemas crticamente amortiguados

y sobreamortiguados no oscila. Si =0, la respuesta transitoria no se amortigua.

4.4. PARMETROS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA DE UN SISTEMA

Es una caracterstica que defina la respuesta transitoria de un determinado sistema. Estos

parmetros son:

Tiempo de retardo (td): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez lamitad del valor final.

Tiempo de levantamiento (tr): es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90% odel 0 al 100% de su valor final.Tiempo pico (tp): es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico delsobrepaso.

Sobrepaso Mximo (Mp): es el valor pico mximo de la curva de respuesta, medido a partir de launidad.

Tiempo de asentamiento (ts): es el tiempo que se requiere para que la curva de respuestaalcance un rango alrededor del valor final del tamao especificado por el porcentaje absoluto delvalor final (por lo general de 2 a 5%) y permanezca dentro de este rango.

Los parmetros de la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden a causa de unaentrada escaln unitario, puede ser calculada por las siguientes ecuaciones:

Time (sec.)

Amplitude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Especificaciones de la respuesta transitoria

c(t)

+/-0.02

Mp

tptr

ts

td


23/44



n

ts

eMp

dtp

4

)1/(2

......(1)

Nota.- tS , es considerado con el criterio de 2%.

4.5. PROBLEMAS DE ANLISIS

1. Un termmetro requiere de 1 minuto para alcanzar el 98% del valor final de la respuesta a unaentrada escaln. Suponiendo que el termmetro es un sistema de primer orden, encuentre laconstante de tiempo. Si el termmetro se coloca en un bao, cuya temperatura cambia enforma lineal a una velocidad de 10/min, Cunto error muestra el termmetro? Determina larespuesta del sistema para una entrada impulso unitario.

Solucin. Un sistema trmico de primer orden puede ser representado, como:

1

1

)(

)(

TssR

sC

Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es 1/s, sustituyendo R(s)=1/s,en la anterior ecuacin, tenemos:

)2...)/1(

111

1

1)(

TsssTssC

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin (2), obtenemos:

Ttetc

/1)( para t>=0

Segn el problema, para t=60s, c(t)=0.98, reemplazando los valores numricos a c(t), hallamos T:T = 15,337

b) Para una entrada rampa, con pendiente 10, representamos la velocidad de 10/min. Latransformada de Laplace de una funcin rampa de pendiente 10 es 10/s 2 , remplazandoR(s)=10/s2, obtenemos:

)3.......

1

110

10

1

1)(

2

22

Ts

T

s

T

ssTs

sC

Tomando la transformada inversa de Laplace de la ecuacin (3), obtenemos:

)(10)( /TtTeTttc , para t>=0

De este modo la seal de error e(t) es:


24/44



)1(10)(

)()()(

/TteTte

tctrte

Conforme t tiende a infinito, la seal de error es: Te )( La representacin del sistema en MATLAB, es:

Programa 1_1

%- - - - r espuest a escal n uni t ar i o- - - -%1. I nt r oduci r el numerador y denomi nador%del si st emanum=[ 0 1] ;den=[ 15. 337 1] ;%2. Det ermi nando l a r espuest a a una%ent r ada escal n uni t ar i ost ep( num, den)%2. 1. dando un f ormato a l a gr af i cagr i dt i t l e( ' Respuest a escal n uni t ar i o de G( s) =1/ ( Ts+1) ' )pause

%3. Encont r amos l a respuest a y el err or a una%ent r ada r ampa%3. 1. cambi ando l a f unci n de t r ansf erenci a del si st ema%de manera de ut i l i zar el comando st ep, par a obtener una%f unci n rampa

num1=[ 0 0 10] ;den1=[ 15. 337 1 0] ;t =0: 0. 8: 80; %Especi f i camos l os punt os a eval uar en l a gr af . c=st ep( num1, den1, t ) ;%3. 2. Al gr af i car l a cur va de l a respuesta rampa, aadi mos l a%ent r ada r ( t ) =10t .pl ot ( t , c, ' o' , t , 10*t , ' - ' )%agr egamos ret i cul a, t i t ul o y et i quet as x y y.gr i dt i t l e( ' Curva de respuest a rampa de G( s) ' )

Step Response

Time (sec.)

Amplitude

0 15 30 45 60 75 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1From: U(1)

To:Y(1)


25/44



xl abel ( ' t Seg. ' )yl abel ( ' Ent r ada y Sal i da' )%el err or sere=10*t ( 1, 100) - c( 100, 1)

2. Considere el sistema mecnico de la figura 1, suponga que el sistema est inicialmente enreposo y que en t=0 se pone en movimiento mediante una fuerza impulso unitario. Obtenga unmodelo matemtico para el sistema. Despus encuentre el movimiento del sistema.

Solucin. El modelo matemtico para este sistema ser:

)(tkxxm

Tomando la transformada de Laplace de ambos miembros de est ultima ecuacin, y considerandolas condiciones iniciales igual a cero, la posicin de la masa ser:

kmssX

2

1)(

La posicin de la masa en el dominio del tiempo se obtiene aplicando la transformada inversa deLaplace a X(s):

tm

ksen

mktx

1)(

0 10 20 30 40 50 60 70 800

100

200

300

400

500

600

700

800

Curva de respuest a rampa de G(s )

t Seg.

EntradaySalida


26/44



La oscilacin es un movimiento armnico simple. La amplitud de la oscilacin es mk/1 .

3. La figura 2a muestra un sistema vibratorio mecnico. Cuando se aplica al sistema una fuerzade 2lb (entrada escaln), la masa oscila como se aprecia en la figura 2b. Determine m, b y kdel sistema a partir de est curva de respuesta. El desplazamiento x se mide a partir de la

posicin de equilibrio.

Solucin. La funcin de transferencia de este sistema es:

kbsmssP

sX

2

1

)(

)(

Dado que:

ssP

2)(

el valor en estado estable de x es:

ftkkbsmss

sssXxss

1.02

)(

2lim)(lim)(

200

Por tanto:K = 20 lbf/ft

De la figura 2(b) , podemos ver que Mp = 9.5% corresponde a =0.6. El tiempo pico tp se obtiene

mediante:

nn

pt

8.01 2

La curva experimental muestra que tp = 2 s. Por tanto.

]/[96.1 sradn

Dado que mmkn /20/2 , obtenemos:


27/44



][1662.520

2lbslugsm

n

Despus b se determina a partir de:

]/[2.122.5*96.1*6.0*22 ftslbmb fn

El programa 1_2, muestra la representacin del sistema en MATLAB:

Programa 1_2%r espuest a escal n de un si st ema de segundo orden%G( s) =1/ ( ms2+bs+k)%1. I nt r oduci r el numerador y denomi nador del si st ema%medi ant e el uso de var i abl esm=5. 2; b=12. 2; k=20;num=[ 0 0 2] ; %l a entr ada es P( s) =2/ sden=[ m b k] ;%2. Det ermi nando l a r espuest a a una

%ent r ada escal n uni t ar i ost ep( num, den)%2. 1. dando un f ormato a l a gr af i cagr i dt i t l e( ' Respuest a escal n uni t ari o de G( s) =2/ ( ms2+bs+k) ' )xl abel ( ' t Seg. ' )yl abel ( ' x( t ) ' )

4. Un diagrama de bloques simplificado representa el control de velocidad de un generadorhidrulico alimentando una carga aislada como se muestra en la figura. La turbina estrepresentada por el modelo clsico y el gobernador por una ganancia Kg=1/R. El generadorest representado en trminos de la inercia combinada del rotor del generador y la turbina. SiTw=2s, Tm=10s, y Kd=0, determine (i) El valor mnimo de el amortiguamiento R para el cul lavelocidad del gobernador es estable, (ii) el valor de R para el cul la accin del controlador escrticamente amortiguado, (iii) el valor de R de manera de obtener un sobrepaso mximo de10% en 0.3s.

t Seg.

x(t)

Respuesta escaln unitario de G(s)=2/(ms2+bs+k)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12From: U(1)

To:Y(1)


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Solucin. La ecuacin caracterstica de el sistema en lazo cerrado es:

012910(10

01

10

1

1

211

2

sRRs

Rss

s

(i) Para que el sistema sea estable, las races de la ecuacin caracterstica tienen que estar en ellado izquierdo de el plano complejo s. En el caso de una ecuacin cuadrtica, una condicinnecesaria y suficiente es que todos los coeficientes de la ecuacin sean positivos. Por lo tanto:

10R>0 R>0y10R-2>0 R>0.2

El valor ms pequeo de R que resulta en una respuesta estable es 0.2 20%

(ii) Para una amortiguamiento critico

0)10(4210 2 RR

Resolviendo el sistema

0536.0746.0

2

1

RR

Con R1=0.746 obtenemos el amortiguamiento critico y respuesta estable. Y R2=0.0536 es menorque el valor limite de 0.2, por lo tanto no corresponde a una respuesta estable.

4.6. Problemas propuestos

1. Considere el sistema de la figura 3. Un servomotor de cd controlado por armadura, maneja unacarga formada por el momento de inercia Jl. El par que desarrolla el motor es T. Eldesplazamiento angular del motor y del elemento de carga son m y , respectivamente. La

relacin de engranes es n=/ m . Obtenga la funcin de transferencia )(/)( sEis .Determine valores numricos del sistema de manera de obtener un respuesta con unsobrepaso de 15% para un tiempo pico de 0.5s, debido a una entrada escaln. Obtenga larespuesta en Matlab de dicho sistema.

Ref.Vel.

dWdPm-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

1/R

Gain


29/44



2. La figura 4 muestra un sistema que consiste en 4 unidades de 555 MVA, 24 kV, 60 Hz cadauna. Los valores pasivos que se muestran en la figura estn en por unidad sobre una base de2220 MVA, 24 kV (referidos al lado de baja tensin, del transformador elevador).

El objetivo de este ejemplo es de analizar las caractersticas de estabilidad del sistema lineal cercadel punto de operacin en estado estable, seguido de la perdida del circuito 2. Las condiciones deposfalla del sistema sobre la misma base son:

P = 0.9; Q = 0.3 (sobreexcitado); Et = 1/36 ; Eb = 0.995/0

Los generadores pueden ser modelados como un generador equivalente representado por elmodelo clsico con los siguientes parmetros expresados en por unidad sobre la misma base:

Xd = 0.3; H = 3.5 MW*s/MVA

a) Escriba las ecuaciones de estado linealizadas de el sistema. Determine si el sistema es estableo no, halle la frecuencia natural no amortiguada, amortiguada, el coeficiente relativo deamortiguamiento, para cada uno de los siguientes valores de coeficiente de amortiguamiento (entorque pu/velocidad pu):

(i) Kd=0 ; (ii) Kd=-10; (iii) Kd=10

b) Para el caso con Kd=10, determine la respuesta en el tiempo si en t=0, 5 y .0 Obtenga est respuesta en Matlab.


30/44



3. Para que valores de g, el sistema realimentado mostrado en el siguiente diagrama es estable.

4. Determinar los valores de k que hagan que el siguiente sistema sea estable.

X(s) Y(s)

g

1

(s+3)(s+1)

G(s)

X(s) Y(s)

k

s

1

(s+1)

G(s)1

1

(s+1)G(s)


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5. Acciones bsicas de control

5.1. INTRODUCCIN

Un controlador real automtico compara el valor real de la salida de una planta con la entrada dereferencia (valor deseado), determina la desviacin y produce una seal de control que reducir ladesviacin a cero a un valor pequeo.

5.2. CONTROLADORES

Los controladores industriales se clasifican de acuerdo con sus acciones de control, como:

1. De dos posiciones o de encendido y apagado2. Proporcionales3. Integrales4. Proporcionales integrales

5. Proporcionales derivativos6. Proporcionales integrales derivativos

de acuerdo con el tipo de energa que utilizan en su operacin, como neumticos, hidrulicos electrnicos.

El controlador detecta la seal de error, que por lo general est a un nivel de potencia bajo, y laamplifica a un nivel lo suficientemente alto. La salida del controlador se alimenta a un actuador, talcomo un motor o una vlvula neumtica, un motor hidrulico, o un motor elctrico. (El actuador esun dispositivo de potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la seal decontrol, a fin de que la seal de salida se aproxime a la seal de referencia.)

5.3. EFECTOS DE LAS ACCIONES DE CONTROL INTEGRAL Y DERIVATIVO SOBRE ELDESEMPEO DE UN SISTEMA.

Accin de control integral . En el control proporcional de una planta, cuya funcin de transferenciano posee un integrador 1/s, hay un error de estado estable, o desplazamiento (offset), en larespuesta para una entrada escaln. Tal offset se elimina si se incluye la accin del control integralen el controlador.

Ejemplo 3.1. Como ejemplo analizaremos la accin de control integral, sobre un sistema de primerorden (planta).

Primero obtendremos la respuesta para un cambio escaln unitario en la entrada al sistema de lafigura E3.1(a), el cul tiene un controlador proporcional.

R(s) C(s)E(s) R(s) C(s)E(s)

Figura E3.1

(a)

K

controlador

proporcional

K

scontrolador

integral

1

T.s+1

Planta1

1

T.s+1

Planta

(b)


32/44



La funcin de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y R(s) es:

KTs

K

sR

sC

1)(

)(

Ya que la entrada es un escaln unitario R(s)=1/s. La respuesta C(s) ser:

tT

K

eK

Ktc

T

Ks

sK

K

KTsssC

1

11

)(

1

11

11

11)(

(3.1)

De acuerdo con esto observamos que, conforme t tiende a infinito, el valor de c(t) tiende a K/(1+K).

Por lo tanto el error e(t) = r(t)-c(t), en estado estable ser:

1

1)(

K

eess

Ahora mostraremos que tal error se elimina si se incluye en el controlador una accin de controlintegral, como se muestra en la figura E3.1(b).

La funcin de transferencia en lazo cerrado entre C(s) y R(s) es:

KTss

K

sR

sC

)1()(

)((3.2)

El error en estado estable para la respuesta escaln unitario se obtiene aplicando el teorema delvalor final del modo siguiente:

0

11

)(2

00limlim

ss

ss

ss

e

KsTs

K

ssssEe

Por lo visto, el control integral elimina el error en estado estable.

Accin de cont rol der ivativa. Una ventaja de usar un control derivativo es que responde a la

velocidad del cambio del error y produce una correccin significativa antes de que la magnitud delerror se vuelva demasiado grande. Por tanto, el control derivativo prev el error, inicia una accincorrectiva oportuna y tiende a aumentar la estabilidad del sistema. Este modo no se emplea solo,se usa junto con una accin proporcional o proporcional-integral.

Caractersticas de la accin de control proporcional-integral-derivativa PID. El controladorPID tiene varias funciones importantes: suministra una retroalimentacin, tiene la habilidad de


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eliminar el error de estado estable a travs de la accin integral, se puede anticipar a posiblesfallas a travs de la accin derivativa.

Como se indico anteriormente, los controladores pueden clasificarse como: neumticos, hidrulicos electrnicos. A continuacin describiremos algunos controladores hidrulicos y obtendremos surepresentacin, como funcin de transferencia.

5.4. CONTROLADORES HIDRULICOS

5.4.1. CONTROLADOR INTEGRAL

Flujo de aceite: )()/( stskgq (1)

Desplazamiento del pistn = )/()()( 32 mKgmAmy (2)Igualando 1 y 2

yAtq (3)

Suponemos que el flujo de aceite (q) es proporcional al desplazamiento x de la vlvula pilotoKxq (4)

reemplazando en la ecuacin 2 y aplicando la transformada de La Placa se obtiene:

s

K

sX

sY i)(

)((5)

Donde:A

KKi (6)

La ecuacin (6), representa la expresin matemtica de un integrador, por lo que el mecanismovlvula piloto servomotor acta como un controlador integral.

x

y

I II

Servomotor

Ace ite apresin

VlvulaPiloto

DrenajeDrenaje


34/44



5.4.2. CONTROLADOR PROPORCIONAL

PKa

b

sE

sY

)(

)(

A continuacin mostramos una aplicacin de esto:

Controlador de velocidad mecnico-hidrulico

En unidades antiguas, la funcin del gobernador es realizada usando componentes hidrulicos ymecnicos, como se muestra en la figura

5.5. REGLAS DE SINTONIZACIN PARA CONTROLADORES PID

El proceso de seleccionar los parmetros del controlador que cumplan con las especificaciones dedesempeo se conoce como sintonizacin del controlador. A continuacin mostraremos las reglasde sintonizacin de Zeigler-Nichols.

Primer Mtodo: La respuesta de la planta a una entrada escaln unitario se obtiene de maneraexperimental

Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva derepuesta escaln puede tener la forma de S. Si la respuesta de la planta al escaln no tiene laforma de S no debe aplicarse el mtodo.

Transient droopadjuster

Needlevalve

Compensating dashpot

Fast Slow

Speed droop

Pilotservo

Pilotvalve

Relayvalve

Gate servomotor

a

b

g

dSpeeder rod

Fkyballs

Speed adjustment

x

y

I I I

Servomoto r

A cei te apresin DrenajeDrenaje

b

a

e


35/44



En este caso, la funcin de transferencia se aproxima mediante un sistema de primer orden:

Ts

Ke

sU

sYLs

1)(

)( Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti, y Td, de acuerdo con las formulas queaparecen en la siguiente tabla.

Tipo deControlador

Kp Ti Td

P T/L 0PI 0.9T/L L/0.3 0

PID 1.2T/L 2L 0.5LTabla1

Segundo Mtodo . En el segundo mtodo usamos solo la accin de control proporcional, como seve en la figura, se busca el valor de KP con el cual se obtiene oscilaciones sostenidas a la salida.El valor de KP para el cual oscila se denomina ganancia critica (KCR) y el perodo de oscilacin TCR.

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti, y Td, de acuerdo con las formulas queaparecen en la siguiente tabla.

Tipo deControlador

Kp Ti Td

P 0.5Kcr 0PI 0.45Kcr Pcr/1.2 0PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

Tabla 2

5.6. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

La respuesta de un sistema de orden superior est compuesta de varios trminos que contienenlas funciones simples encontradas en las respuestas de los sistemas de primer y segundo orden.El sistema es estable si todos los polos se encuentran en el semiplano izquierdo del planocomplejo s.

La curva de respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma del nmero de curvasexponenciales y curvas senoidales amortiguadas.

R(s) C(s)E(s)Kp

controladorproporcional

1

T.s+1

Planta

Plantau(t) y(t)


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Polos dominantes en lazo cerrado. Si los cocientes de las partes reales de los polos en lazocerrado son superiores a 5 y no hay ceros cerca, los polos en lazo cerrado ms cercanos al eje jwdominarn el comportamiento de la respuesta transitoria, debido a que corresponden a lostrminos de la respuesta transitoria que disminuyen lentamente.Un par polo-cero cercanos entre si se cancelarn efectivamente uno al otro.

5.7. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH

El criterio de estabilidad de Routh nos dice si existe no races inestables en la ecuacincaracterstica, sin tener que obtenerlas en realidad.

El procedimiento es el siguiente:

Escriba el polinomio en s en la forma siguiente:

)13......(0....... 11

10

nn

nnasasasa

donde los coeficientes son reales y an0

Si alguno de los coeficientes es cero negativo, ante la presencia de al menos un coeficientepositivo, hay una raz races imaginarias o que tiene partes reales positivas. En tal caso elsistema no es estable.

Si todos los coeficientes son positivos, ordene los coeficientes del polinomio como sigue:

10

321

2

531

1

420

ds

bbbs

aaas

aaas

n

n

n

Los coeficientes b1,b2,etc, se evalan del modo siguiente:

1

5041

2

1

30211

a

aaaab

a

aaaab

La evaluacin de las b continan hasta que todas las restantes son cero. Se sigue el mismo patrnde multiplicacin cruzad de los coeficientes de los reglones anteriores al evaluar las c, d, etc.

Este criterio tiene una utilidad limitada, ya que no sugiere como mejorar la estabilidad relativa nicomo estabilizar un sistema inestable. Sin embargo es posible determinar los efectos de cambiaruno o dos parmetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad.

5.8. PROBLEMAS DE ANLISIS


37/44



1. El diagrama de bloques de la figura 3.1., muestra un sistema de control de velocidad de unacentral hidrulica alimentando una carga aislada. En el cul el miembro de salida del sistemaesta sujeto a una perturbacin de par. Utilice los valores numricos del problema de anlisis 4,para analizar la respuesta de este sistema para un par de perturbacin escaln unitario.Suponga que la entrada de referencia es cero.

Solucin. En ausencia de un par de perturbacin, la variacin de la velocidad de salida es cero. Lafigura 3.2 es un diagrama de bloques modificado, conveniente para el anlisis presente.

La funcin de transferencia en lazo cerrado es:

sT

sT

RsT

sP

s

M

L

21

11

1

)(

)(

Para un par de perturbacin escaln unitario, la variacin de la velocidad de salida en estadoestable es:

R

sT

sT

RsT

ssLimssLim

SS

M

ssSS

21

11

11)()(

00

Ref.Vel.

dW

dPm

dPl

Figura 3.1

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

1/R

Gain

dW

dPm

-dPl

Figura 3.2

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s

Generador

1/R

Gain


38/44



2. A partir de este anlisis concluimos que, si se aplica un par de perturbacin escaln almiembro de la salida del sistema, se producir una velocidad de error tal que el par en el rotordel generador resultante cancelara exactamente el par de perturbacin. En el sistemaconsiderado en el ejemplo anterior, determine un controlador capaz de eliminar el error develocidad producido por el par de perturbacin.

Solucin. Si elegimos un controlador conveniente cuya funcin de transferencia sea GC(s), comose observa en la figura 3.3

En ausencia de la entrada de referencia, la funcin de transferencia en lazo cerrado es:

sT

sTsGcsT

sP

s

M

L

21

1)(

1

)(

)(

Para un par de perturbacin escaln unitario, la variacin de la velocidad de salida en estadoestable es:

)0(

1

21

1)(

11)()(

00

Gc

sT

sTsGcsT

s

sLimssLim

SS

M

ss

SS

Para satisfacer el requerimiento de :0)(

debemos seleccionar Gc(0)=. Esto se logra si elegimos:

s

KsGc )(

Una accin de control integral elimina el offset desplazamiento. Sin embargo este controladorpresenta un problema, debido a que la ecuacin caracterstica tendr races imaginarias partesreales positivas segn el criterio de Routh.

Ref.Vel.

dW

dPm

dPl

Figura 3.1

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador


39/44



Un mtodo para estabilizar un sistema como este es agregar un modo proporcional al controlador,o elegir:

s

KKsGc P )(

3. Con la ayuda del criterio de Routh. Determine el rango de valores de K y Kp del controlador del

sistema anterior.

Solucin. La ecuacin caracterstica del sistema es:

0)2()210(10

0)()(2

23

23

KKKsKss

KKTKsTKTssTT

PP

PPM

M

El arreglo de coeficientes de Routh es:

Ks

K

KKKKs

KKs

KKs

P

PPP

P

P

0

1

2

3

210

)304()210()210(

0)2(10

Para la estabilidad es necesario que:

0

0210

)304()210(

0210

K

K

KKKK

K

P

PPP

P

Resolviendo el sistema de desigualdades:

P

PP

P

K

KKK

K

430

)210(0

5

Si consideramos que:KP = 4 ; K debe ser menor que 0.57.

Aplique una de las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols para la determinacin de los valoresdel controlador PI del ejemplo anterior. A continuacin obtenga una curva de respuesta escalnunitario y verifique si el sistema diseado exhibe un sobrepaso mximo aproximado de 35 %. Siesto no es as realice una sintonizacin fina para lograrlo.

Solucin. Debido a que la planta tiene un integrador, usamos el segundo mtodo de las reglas desintonizacin de Ziegler-Nichols. Estableciendo Ti igual a infinito, de manera que el controlador soloser representado por la ganancia Kp.

La funcin de transferencia en lazo cerrado, que relaciona la variacin de velocidad de la salida y lareferencia de entrada del diagrama de bloques de la figura es:


40/44



)1(2

)1()()(

2sTKs

TTsT

sTKsRs

P

M

M

P

El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilacinsostenida se obtiene de la siguiente manera:

0)210(10

0)(2

2

2

PP

PPM

M

KKss

KTKTssTT

Para la estabilidad solo es necesario que todos los cocientes sean positivos en una ecuacincuadrtica. Por lo tanto:

0

0210

P

P

K

K

Encontramos que ocurrir una oscilacin sostenida si: KP=5. Por lo tanto la ganancia critica es:KCR=5.

Con KP=KCR, la ecuacin caracterstica se vuelve:

0510 2 s

Para encontrar la frecuencia de oscilacin sostenida, sustituimos s = jw en la ecuacincaracterstica, del modo siguiente:

0510

05)(10

2

2

j

A partir de lo cul encontramos que la frecuencia de oscilacin sostenida es:

5.0

10

52

El periodo de oscilacin sostenida es:

8858.82

CRP

De acuerdo con la tabla 2, los valores para un controlador PI se calculan como sigue:

R(s)dW(s)dPm

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador


41/44



4048.72.1

25.245.0

CRi

CRP

PT

KK

Por tanto la funcin de transferencia del controlador PI es:

s

ssGc

ssTKsGc

i

P

30386.025.2)(

30386.025.2

11)(

El controlador tiene un polo en el origen y un cero en s = -0.135. La figura siguiente muestra eldiagrama de bloques del sistema.

A continuacin, examinemos la respuesta escaln unitario del sistema.La funcin de transferencia en lazo cerrado es:

30386.064228.15.510

30386.05.464228.1

)(

)(23

2

sss

ss

sR

s

La respuesta escaln unitario de este sistema se obtiene fcilmente con Matlab. Vase programa3_4.

Programa 3_4%r espuest a escal n uni t ari o%1. I nt r oduci r el numerador y denomi nador del si st emanum=[ 0 - 4. 5 1. 64228 0. 30386] ;den=[ 10 5. 5 1. 64228 0. 30386] ;%2. Det ermi nando l a r espuest a a una%ent r ada escal n uni t ar i ost ep( num, den)%2. 1. dando un f ormato a l a gr af i cagr i d ont i t l e( ' Respuest a escal n uni t ar i o' )xl abel ( ' t Seg. ' )yl abel ( ' Ampl i t ud' )

R(s)

dW(s)

dPm

-2s+1

s+1

Turbina

1

10s

Generador

2.25s+0.30386

s

Controlador PI


42/44



La figura presenta la curva de respuesta escaln unitario. El sobrepaso mximo ed deaproximadamente 87% demasiado elevado. Se reducen los parmetros del controlador medianteun sintonizado fino. Dicha sintonizacin se hace en computadora. Si conservamos Kp=2.25 ymoviendo el cero del controlador PI a (s = -0.01), es decir usando el controlador PI:

s

ssGc

0225.025.2)(

El sobrepaso mximo en la respuesta escaln unitario se reduce a aproximadamente 18%, comose muestra en la figura.

Si la ganancia proporcional Kp se incrementa a 2.8, sin modificar la ubicacin del cero, es decirusando un controlador:

t Seg.

Amplitud

Respuesta escaln unitario

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1

1.5

2From: U(1)

To:Y(1)

t Seg.

Amplitud


0 50 100 150-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2From: U(1)

To:Y(1)


43/44



s

ssGc

028.08.2)(

La velocidad de respuesta se incrementa, pero el valor del sobrepaso tambin aumenta aaproximadamente 36%, como se observa en la figura.

5.9. Problemas de anlisi s

1. Escriba un programa en Matlab, para obtener en forma grfica las respuesta de la variacin dela velocidad angular debido a una perturbacin escaln unitario de los problemas de anlisis 1y 2. Con R = 0.5, y los valores de Kp y K segn se describi en el problema de anlisis 3.

2. Determine el rango de valores de K para la estabilidad de un sistema de control con

realimentacin unitaria cuya funcin de transferencia en lazo abierto es:

)2)(1()(

sss

KsG

3. Demuestre que la funcin de transferencia del controlador proporcional hidrulico que semostr anteriormente es:

PKa

b

sE

sY

)(

)(

4. Considere el sistema de control de la figura 3.9.1., en el cul se usa un controlador PID, para

controlar el sistema. El controlador PID tiene la funcin de transferencia.

sT

sTKsGc d

i

P

11)(

t Seg.

Amplitud


0 50 100 150-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 From: U(1)

To:Y(1)


44/44


Figura 3.9.1Aplique una de las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols para la determinacin de los valoresdel controlador PID, de este sistema. A continuacin obtenga una curva de respuesta escalnunitario y verifique si el sistema diseado exhibe un sobrepaso mximo aproximado de 30 %. Siesto no es as realice una sintonizacin fina para lograrlo.

5. Considere el sistema de control de la figura 3.9.2. Usando las reglas de sintonizacin deZiegler-Nichols, determine los valores de Kp, Ti y Td. Se pretende que el sobrepaso mximo enla respuesta escaln unitario sea aproximadamente de 25%.

6. Escriba un programa en Matlab que realice la integracin del mtodo explicito de Runge-Kuttade segundo orden. Y permita la simulacin de una falla trifsica en un sistema generador-barrainfinita. Como el analizado en clases.

R(s)dW(s)dPm

-Tws+1

Tw/2.s+1

Turbina

1

Tm.s+Kd

Generador

Gc(s)

Controlador

Figura 3.9.2

10

(s+5)(s+1)PID

PID Controller

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Manuscrito - SISTEMAS DE CONTROL APLICADO A SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA