MAP 311 - ALEATOIRE - cmap.polytechnique.frbenaych/pres_MAP311_05052011.pdfLes probabilités Une théorie mathématique pour quantiﬁer le HASARD. Fondamentale dans de nombreux domaines

MAP 311 - ALEATOIRE

5 mai 2011

Introduction aux Probabilités

Figure: Georges de La Tour (1593-1652), le Tricheur à l’as decarreau, 1635

Les probabilités

Une théorie mathématique pour

quantifier le HASARD.

Fondamentale dans de nombreux domaines d’applications:Physique (physique quantique, physique des particules)Informatique et Réseaux de télécommunicationsTraitement du signal, de la paroleBiologie, EcologieMédecine, Imagerie médicaleEconomie, Finance, Assurance.

Les probabilités




Les probabilités




Les probabilités




Les probabilités




Les probabilités




Modélisation, Abstraction, Simulation

Les probabilités sont en lien étroit avec la vie quotidienne.

Innombrables situations où le hasard intervient, de naturestrès différentes: nécessité d’une abstractionmathématique pour donner un cadre général d’étude.

Le modèle probabiliste

Les probabilités vont être utilisées à des fins numériques:Méthodes de Monte-Carlo

Efficaces en grande dimension (mathématiquesfinancières, météorologie)résultats très rapides (en temps réel)Simulation de phénomènes irréguliers.

Modélisation, Abstraction, Simulation

Les probabilités sont en lien étroit avec la vie quotidienne.

Innombrables situations où le hasard intervient, de naturestrès différentes: nécessité d’une abstractionmathématique pour donner un cadre général d’étude.

Le modèle probabiliste

Les probabilités vont être utilisées à des fins numériques:Méthodes de Monte-Carlo

Efficaces en grande dimension (mathématiquesfinancières, météorologie)résultats très rapides (en temps réel)Simulation de phénomènes irréguliers.

Un défi de l’homme face au divin: la théorie des probabilités amis beaucoup de temps à émerger.

Très certainement d’origine arabe: az-zahr: le dé.

En Inde, 4ème siècle, existence d’une science du dé etconnaissance de ses rapports étroits avec une évaluationde type sondage. (Le Mahabharata )

En Europe, aux 16-17èmes siècles, émergence d’unescience du jeu de dé. Cardan, Kepler, Galilée.Théorie rigoureuse: Pascal.

Résolution de controverses juridiques (Fermat, Leibniz).

Autre impulsion motivée par des problèmes d’assurance(tables de mortalité et rentes viagères).

Développement des Statistiques: outil puissant pour lesorganismes de décision...

Les développements mathématiquesLes probabilités sont un outil privilégié de modélisation descomportements humains, mais deviennent aussi un grandchamp de développement des Mathématiques.

19ème siècle et début 20ème siècle: Essor desprobabilités grâce aux méthodes d’analyse.

Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).

A partir du 20ème siècle: Etude de phénomènes aléatoiresqui évoluent au cours du temps. Processus de Markov

Problèmes de Physique statistique, Mouvement Brownien,

Problèmes de démographie. Processus de branchement,Processus de Poisson.

Théorie statistique, biométrie.

Les développements mathématiquesLes probabilités sont un outil privilégié de modélisation descomportements humains, mais deviennent aussi un grandchamp de développement des Mathématiques.

19ème siècle et début 20ème siècle: Essor desprobabilités grâce aux méthodes d’analyse.

Calcul intégral et différentiel (Laplace, Gauss)Théorie de la mesure (Borel, Lebesgue).

A partir du 20ème siècle: Etude de phénomènes aléatoiresqui évoluent au cours du temps. Processus de Markov

Problèmes de Physique statistique, Mouvement Brownien,

Problèmes de démographie. Processus de branchement,Processus de Poisson.

Théorie statistique, biométrie.

Aujourd’hui...

Le modèle probabiliste actuel: Kolmogorov - 1933.Calcul stochastique: Itô, Doeblin, à partir de 1945.

Les probabilités interviennent dans de nombreuxdéveloppements mathématiques récents.L’Ecole Française de Probabilités est très active: MédailleFields 2006, Wendelin Werner.Les probabilités ne sont pas enseignées en classespréparatoires scientifiques: raisons historiques.

Cours de tronc commun ALEATOIRE (L’acquisition desbases en Probabilités)Quelques exemples....

Aujourd’hui...




Aujourd’hui...




Marche aléatoire et mouvement brownien

Marche erratique sur la droite réelle: on avance ou l’on reculed’autant, avec même probabilité, à chaque pas de temps

Figure: marche aléatoire en dimension 1

Vu d’une échelle plus macroscopique

Figure: marche aléatoire en dimension 1

Encore plus...

Figure: mouvement brownien en dimension 1

Trajectoires aléatoires

Réalisons plusieurs simulations:

2

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0



3

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5



4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0



5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5



8

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−3.5

−3.0

−2.5

−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5



10

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0



20

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−2.0

−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

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30

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−2.0

−1.5

−1.0

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0.0

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50

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−3

−2

−1

0

1

2

3

La loi normale, loi de Gauss, courbe en cloche

Répartition des valeurs au temps t = 1 approchée par lacourbe de Gauss: fonction de densité au temps 1.

Loi normale: une loi universelle

Le mouvement brownien

Modélisation de phénomènes aléatoires continus (entemps) aux mouvements très erratiques (nondérivables).Objet probabiliste fondamental aux propriétésinnombrables et magiques.Prototype d’un modèle fractal.Utilisé pour des applications dans de très nombreuxdomaines.R. Brown 1850: particules de pollen en suspension dans l’eau.A. Einstein 1905: trajectoire des atomes soumis à des chocs.L. Bachelier 1900: modélisation des prix d’actifs boursiers.

La fonction de densité du mouvement brownien estsolution de l’équation de la chaleur.

Lien fort entre Probabilités et Equations aux Dérivéespartielles...

Exemple: modélisation stochastique en finance

Figure: Evolution du NASDAQ

Description probabiliste des marchés

Les fluctuations des cours de bourse ne sont pasprévisibles.

Présentent des régularités probabilistes qui peuventêtre modélisées et utilisées pour

Estimer et limiter les risques d’une activité financière(trading, gestion du portefeuille);

Valoriser les produits derivés (options).

Equation différentielle stochastique:

dXt = b(Xt)dt + σ(Xt)dBt .

Options: assurance contre une mauvaise évolution descours

Option d’achat: Droit d’échanger des Dollars contre desEuros dans trois mois à un cours fixé aujourd’hui

Le prix d’une option vérifie une equation aux derivéespartielles, similaire à l’équation de la chaleur.

Finance et environnement: le marché des permis de CO2Le prix du droit à polluer fluctue de manière aléatoire.

Questions: formation des prix ? impact sur les émissions deCO2 et sur le renouvellement des technologies ?

Modélisation probabiliste et écologie

"After years, I have deeply regretted that I did not proceed far enoughat least to understand something of the great leading principles ofmathematics: for men thus endowed seem to have an extra-sense".Charles DARWIN, Uses and abuses of Mathematics in Biology(1887).

b

b

b

b b

b b

b

b

b b b

b

X0 = 1

X1 = 2 X2 = 4

X3 = 6

.

processus debranchement

Aléatoire et biodiversité

Comportement de la population en temps long: explosion,stabilité ou extinction?

Si la population s’éteint, quel est le temps moyend’extinction?

Espèces en voie d’extinction: de grosses fluctuationsaléatoires de la taille de la population au cours du temps.

Ecologie: Plusieurs espèces cohabitent et sont encompétition pour les ressources.

Aura-t-on coexistence de toutes les espèces ou disparitionde certaines d’entre elles?

Environnement aléatoire: Effet d’un climat fluctuant surl’écologie.

Matrices Aléatoires

Soit M une matrice symétrique de taille n × n dont les entréessont des variables aléatoires de loi normale (courbe de Gauss).

Exemples de motivations:

Propriétés génériques des valeurs propres, spectred’opérateur, zéros de la fonction Zéta de Riemann.

Matrices de covariance (mathématiques financières):M = X X ∗, où X modélise les rendements de n actions surp jours.

Quand n→∞, la plus grande valeur propreconvenablement renormalisée est distribuée suivant uneautre loi universelle: la loi de Tracy-Widom. (1993).

Les fluctuations de la position des voitures dans unembouteillage suivent la même loi.

Les fluctuations du front pour un feu de forêt suivent aussicette loi.

Les probabilités utiles pour résoudre un problèmedéterministe

Le problème du voyageur de commerce

Un voyageur de commerce doit visiter N = 100 villes.

Comment choisir le chemin le plus court pour les visiter touteset revenir au point de départ?

De nombreuses applications. (Optimisation de trajectoires demachines-outils, tracé de structure, trajets des postiers, trajetsdes camions-poubelles).

Les chemins sont caractérisés par les segments quijoignent les villes deux à deux.

Il y a (N − 1)! = 99! ∼ 4,6× 10155 circuits possibles! (Plusque le nombre d’atomes dans tout l’univers connu!)

Impossible de trouver exactement le meilleur circuit.

Ce qui peut paraître un paradoxe:On va fabriquer un algorithme aléatoire pour converger vers lecircuit optimal

L’algorithme de Recuit Simulé

L’algorithme choisit au hasard deux segments

Si les segments sont croisés, il les décroise.

Sinon,il ne fait rien avec une grande probabilité,il les recroise avec une petite probabilité.

L’algorithme choisit de se tromper de temps en temps pouréviter de se faire piéger dans un minimum local.

Théorème: Si la probabilité de “recroiser” décroîtsuffisamment lentement vers 0, l’algorithme converge versle circuit optimal.

Pour commencer à comprendre ce type de phénomènes:Rendez-vous au cours de tronc commun

Aléatoire

le 20 mai.

Mathématiques AppliquéesVous avez vu l’analyse numérique et les probabilités mais il y abeaucoup d’autres sous-disciplines des mathématiquesappliquées:

optimisation,statistiques,automatique,traitement du signal,recherche opérationnelle...

Dans tous les cas vous trouverez les trois étapes des mathsapplis:

1 Modélisation2 Analyse théorique3 Simulation numérique

Les Mathématiques Appliquées à l’X: Année 2

MAP 431, Analyse numérique et optimisation (18blocs): Modélisation des problèmes complexes, résolutionnumérique, optimisation, travaux pratiques (G. Allaire, F.Alouges, P.-L. Lions)

MAP 411, Modélisation mathématique (9 blocs) : Uneinitiation plus légère du même thème (P.-L. Lions)

MAP 432, Promenade aléatoire (9 blocs): chaînes deMarkov, algorithmes stochastiques, martingales (N. Touzi)

MAP 433, Introduction aux méthodes statistiques (9blocs): Statistique inférentielles, estimateurs et tests,méthodes asymptotiques (M. Hoffmann)

Les MODAL

Réaliser un projet de modélisation et simulation sur un thèmede mathématiques appliquées.

compréhension des enjeux de sorte à se poser lesbonnes questions.

développer des outils de simulation.

Autonomie et initiatives.

Démarche d’expérimentation: décomposer le problèmeen plusieurs étapes intermédiaires, avant de parvenir àune version aboutie.

Savoir mesurer les améliorations, les apports,comparaison numérique.

Masters et DoctoratL’année 3 est aussi un M1: master 1ère année.Programme de MAP: Un grand spectre de coursproposés.Ecosciences (avec Ecologie et Economie).QEF (avec Economie).

Année 4: plusieurs masters M2 possibles.

Doctorat: formation par la créativité, la confrontation auxquestions ouvertes ou aux choix d’hypothèses.Le PhD devient le niveau international de recrutementdes cadres supérieurs

La recherche: métiers académiques (universités et grandsinstituts de recherche) mais AUSSI dans les centres derecherche et innovations des entreprises.

C’est la clé de l’innovation et de la création technologique.

Le DEPMAPP et le CMAPAssistante du département: Nathalie Hurel.

Le département et le laboratoire de recherche (Centre deMathématiques appliquées) sont intimement liés.

Site web: http://www.cmap.polytechnique.fr/

L’excellence dans la recherche est la garantie de laqualité de l’enseignement (standard mondiald’évaluation).

Tous les enseignants (46) sont des chercheurs:enseignants-chercheurs.Prix scientifiques, édition de journaux scientifiques,conseillers scientifiques, consultants...Pierre-Louis Lions: lauréat de la médaille Fields.

Recherche et InnovationLa recherche d’aujourd’hui est l’innovation technologique dedemain !

Nombreux contrats industriels, créations de start-up.5 chaires d’enseignement-recherche: partenariatsentre les équipes de recherche et l’entreprise.En Mathématiques et Mathématiques Appliquées: lafondation Jacques Hadamard.

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Inauguration: 17 et 18 mai: un grand pas pour le CampusParis Saclay.

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