Mapeo a una Mecánica Cuántica SUSY para la ecuación de ...raya/tesis/sortiz.pdf · del Oscilador Armónico Cuántico, el cual nos servirá como herramienta bási-ca para el desarrollo

Mapeo a una Mecánica Cuántica SUSY para la

ecuación de Dirac en el plano

Saúl Fernando Hernández Ortiz

25 de febrero de 2011

Agradecimientos

La elaboración de esta tesis, si bien ha requerido de esfuerzo y mucha dedi-cación, no hubiese sido posible su �nalización sin la cooperación desinteresadade todas y cada una de las personas que han sido un soporte muy fuerte enmomentos de angustia y desesperación. Por ello, es para mí un verdadero placerutilizar este espacio para ser justo y consecuente con ellas, expresándoles misagradecimientos.

Primero y antes que nada debo agradecer de manera especial y sincera alDr. Alfredo Raya por aceptarme para realizar esta tesis bajo su dirección. Suapoyo y con�anza en mi trabajo y su capacidad para guiar mis ideas ha sido unaporte invaluable, no solamente en el desarrollo de esta tesis, sino también en miformación académica. Le agradezco también el haberme facilitado siempre losmedios su�cientes para llevar a cabo todas las actividades propuestas duranteel desarrollo de esta tesis. Muchas gracias.

Le agradezco a la Dr. Gabriela Murguía por sus comentarios, sugerencias ytodo el apoyo otorgado para la realización de esta tesis. A los Drs. Alberto Men-doza, Eduardo Tututi, Fernando Ramírez y Jorge Aranda, por su disposiciónde revisar esta tesis en un período corto de tiempo, haciendo observaciones ycorrecciones de manera oportuna.

Agradecer hoy y siempre a mi familia que siempre se ha procurado de mibienestar, y esta claro que si no fuese por el esfuerzo realizado por ellos, mis es-tudios no hubiesen sido posibles. A mis padres, Isabel y Ramón, por su ejemplode lucha y honestidad; a mi tía Esperanza, por su tenacidad; a mis hermanos,por su paciencia y ejemplo de valentía... por ellos y para ellos.

A Karla, por ser la persona que ha compartido su tiempo a mi lado, porqueen su compañía las cosas malas se convierten en buenas, la tristeza se transfor-ma en alegría y la soledad no existe.

A mis compañeros, Cansino, Chino, Khepani, Lucas, Mendoza, Nazi, Pon-cho, Sedano, So�er y Tellez, por la paciencia, la comprensión y el apoyo que mehan dado. Gracias por brindarme su amistad durante estos años.

i

ii

A la Facultad de Cs. Físico-Matemáticas de la UMSNH por haber contribui-do a mi formación y por las facilidades y atenciones prestadas para la elaboraciónde este trabajo. Agradezco también a los profesores de esta institución por ha-berme soportado durante estos años.

Finalmente agradezco a todos aquellos que me han brindado su amistad y aquienes han ayudado directa o indirectamente a que está tesis pudiera realizarse,a quienes no menciono no por falta de memoria sino por falta de espacio.

Índice general

1. Introducción 1

2. Oscilador Armónico Cuántico 32.1. Construcción del Hamiltoniano Bosónico . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1. Funciones de Onda y Normalización . . . . . . . . . . . . 52.2. Oscilador Fermiónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.1. Funciones de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. Osilador Armónico Cuántico SUSY 103.1. Mecánica Cuántica Supersimétrica (SUSY-QM) . . . . . . . . . . 103.2. Oscilador Armónico SUSY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Ecuación de Dirac en (3+1) dimensiones 164.1. Ecuación de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2. Ecuación de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1. Las Matrices Gamma (γµ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2. Conservación de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3. Partícula en Reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4. Partícula en Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4.1. Normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5. Interpretación de las soluciones en términos del Espín. . . . . . . 23

5. Ecuación de Dirac en (2+1) dimensiones 265.1. Representación Irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1.1. Primera Representación Irreducible (A) . . . . . . . . . . 275.1.2. Segunda Representación Irreducible (B) . . . . . . . . . . 285.1.3. Interpetración de las Soluciones en términos del Espín . . 28

5.2. Representación Reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.2.1. Transformaciones Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2.2. Soluciones de la Representación Reducible y m0 . . . . . 33

6. Fermiones en Campos Magnéticos 366.1. Primera Representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.1. Niveles de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.2. Segunda Representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

ÍNDICE GENERAL iv

6.2.1. Niveles de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7. Teoría SUSY de Dirac 417.1. SUSY-QM vía la ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2. Representación Reducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2.1. Niveles de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3. Los Operadores Z± . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Conclusiones 48

Capítulo 1

Introducción

La ecuación de Dirac es una de las piedras fundamentales de la física contem-poránea. Esta ecuación de onda surge ante la necesidad de conciliar de maneraconsistente los postulados de la Relatividad Especial de Einstein por un ladocon la interpretación probabilística de la teoría de Schrödinger de la MecánicaCuántica por el otro, dando origen al moderno paradigma de la existencia de laAntimateria. Sus aplicaciones abarcan muchas áreas de la física, como la Físicade Partículas Elementales, Cosmología, Física Nuclear, Física del Estado Sólido,entre otras.

La estructura que posee esta ecuación de onda, postulada por el británicoPaul Adrian Dirac en 1927 y de quien toma su nombre, es interesante desde va-rios puntos de vista. Matemáticamente, dicha ecuación responde a la pregunta deencontrar un operador diferencial lineal de�nido en un cierto espacio, el llamadooperador de Dirac, cuyo cuadrado corresponde al operador de Laplace en dichoespacio. Desde el punto de vista físico, describe de manera adecuada la dinámicade los fermiones (partículas de espin 1/2), entre los que se incluyen los leptones ylos quarks, que son los componentes fundamentales de la materia de nuestro uni-verso.

En esta tesis, estudiamos varios aspectos de la ecuación de Dirac, restringien-do a los fermiones a moverse en una super�cie bidimensional [1]. Esto es más queuna simpli�cación teórica, basta con recordar que el Premio Nobel de Física de2010 fue otorgado a Andrei Geim y Konstantin Novoselov, quienes por primeravez aislaron muestras de grafeno [2]. Este es un cristal, formado por átomos decarbono, genuinamente bidimensional en el cual los portadores de carga se com-portan como fermiones de Dirac ultrarelativistas (no masivos). Consideramosel caso en que los fermiones no interactúan entre si pero que se mueven bajola in�uencia de un campo magnético uniforme alineado perpendicularmente asu plano de movimiento. Bajo estas condiciones, es sabido que la ecuación deDirac posee una estructura supersímetrica en el sentido de la Mecánica Cuántica(SUSY-QM)[3].

1

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2

En este contexto, en el Capítulo 2 de este trabajo resolveremos el problemadel Oscilador Armónico Cuántico, el cual nos servirá como herramienta bási-ca para el desarrollo de la tesis. Con la intención de encontrar un mapeo auna Mecánica Cuántica SUSY para la ecuación de Dirac [4, 5], resolvemos elproblema del Oscilador Armónico Cuántico SUSY en el Capítulo 3. Teniendoen mente el objetivo de resolver la ecuación de Dirac en el plano, es necesa-rio conocer la estructura e interpretación física de dicha ecuación en (3 + 1)dimensiones � 3 espaciales y 1 temporal �, tarea que se realiza en el Capítu-lo 4 para el caso de fermiones libres. Los resultados son trasladados al caso(2 + 1) dimensional en el Capítulo 5, enfatizando las similitudes y peculiria-des que se encuentran en el caso planar, entre las que se encuentran variasposibles representaciones inequivalentes de las matrices de Dirac y términosde masa que son sólo posibles de considerar en dos dimensiones espaciales [6].

En el Capítulo 6 son obtenidas las soluciones para el problema de fermio-nes cargados libres que se mueven en el plano bajo la in�uencia de un Campomagnético Uniforme. Este problema fue estudiado en [7] y [8] , con la intenciónde explorar diferentes métodos para resolver la Ec. de Dirac. Nosotros estudia-mos las ecuaciones de movimiento resultantes que son comparadas con las queresultan en el problema del Oscilador Armónico Cuántico de los Capítulos 2 y3. Mi contribución original en este trabajo consiste en implementar un mapeoa una Mecánica Cuántica SUSY del problema descrito en el Capítulo 6, de unamanera más sencilla e innovadora que explota las peculiaridades de la ecuaciónde Dirac en el plano,en particular de los términos de masa adicionales que pue-den considerarse en este caso, esto en el Capítulo 7. Las implicaciones de losresultados de este trabajo se presentan en el Capítulo 8, con el cual concluyeesta tesis.

Capítulo 2

Oscilador Armónico Cuántico

En este capítulo repasaremos aspectos importantes de la mecánica cuántica,así como también realizaremos un análisis a uno de los problemas fundamentalesy más importantes de la misma, el Oscilador Armónico. La discusión se puedeencontrar en libros de texto por ejemplo [9]. El Oscilador Armónico es de sumaimportancia, ya que supone una buena primera aproximación, para el estudiode cualquier sistema en el que exista un potencial que presente un minimo local.

2.1. Construcción del Hamiltoniano Bosónico

El Hamiltoniano, clásicamente es una función que describe el estado de unsistema mecánico y tiene la forma tipica[9]:

H =P 2

2m+ V (x). (2.1)

Una Cuantización es un procedimiento matemático que sirve para construirun modelo cuántico para un sistema físico a partir de su descripción clásica.La primera cuantización en mecánica cuántica es un procedimiento que asignaa una magnitud física un operador, obtenido por sustitución de las variablesdinámicas por operadores hermíticos, que actuán sobre estados en un espaciode Hilbert abstracto y promueve los paréntesis de Poisson a conmutadores entrelos operadores.

{A,H}pp →1

i~

[A, H

].

El operador hermítico corresponde a la observable de energía es

H |ψ〉 = E |ψ〉 . (2.2)

Nos interesa analizar las soluciones a esta ecuación para el potencial V (x) =1/2kx2, donde k es la constante elástica, es decir,

H =P 2

2m+

1

2kX2. (2.3)

3

CAPÍTULO 2. OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO 4

A partir de ahora trabajaremos en unidades naturales (~ = c = 1) y con laconvención 2m = 1, recordemos que k = ω2

/m, por lo que el Hamiltoniano (2.3)se reescribe como

H = P 2 +1

4ω2X2, (2.4)

donde ω es la frecuencia del oscilador. Para facilitarnos la descripción del pro-blema, redi�nimos las siguientes cantidades de modo que

H = Hω, P = ω12 p, X = ω−

12x.

Entonces se tiene que

H = p2 +x2

4. (2.5)

Introducimos los operadores de ascenso y descenso, también llamados operadoresde escalera

a =x

2+ ip, a† =

x

2− ip,

donde a y a† cumplen que: Usando queN = a†aOperador deNúmero

[a, a†

]= 1, [N , a] = −a,

[N , a†

]= a†.

Calculemos H en términos de los operadores aB , a†B (agregamos el subindice B

para referirnos a operadores Bosónicos):

a†BaB =(x

2− ip

)(x2

+ ip)

=x2

4+ p2 − 1

2,

aBa†B =

(x2

+ ip)(x

2− ip

)=x2

4+ p2 +

1

2,

=⇒ H = a†BaB +1

2ó H = aBa

†B −

1

2, (2.6)

por lo que la ecuación (2.5) se reescribe como(a†BaB +

1

2

)ψ = Eψ, (2.7)

o (aBa

†B −

1

2

)ψ = Eψ. (2.8)

Utilizando la de�nición del operador de número NB(NB ≡ a†BaB

), obtenemos(

NB +1

2

)ψ = Eψ, (2.9)

que es la conocida Ecuación de Schrödinger para el Oscilador Armónico Bosónico(ESOAB) con eigenvalor

En = n+1

2, (2.10)

donde n corresponde al eigenvalor del operador NB (NB |ψn〉 = n |ψn〉), quepuede tomar valores n = 0, 1, 2, . . .

En la teoría de muchos cuerpos re�eja el hecho de que en cada nivel deenergía se pueden acomodar un n número arbitrario de bosones.


2.1.1. Funciones de Onda y Normalización

Calculemos ahora las funciones de onda para la ESOAB. Partiendo del hechode que el estado base o estado de mínima energía |ψ0〉 debe satisfacer aB |ψ0〉 = 0(el operador aB ha �aniquilado� al estado base), se tiene que en la representaciónde coordenadas,

〈x|(x

2+ ip

)|ψ0〉 ⇒

x

2ψ0(x) + i

(−i ∂∂x

)ψ0(x) = 0 ⇒ −x

2ψ0(x) =

dψ0(x)

d x.

Resolviendo la ecuación diferencial,

ln (ψ0) = −x2

4+A′ ⇒ ψ0 = e−

x2

4 eA′,

∴ ψ0 = A0 exp

(−x

2

4

). (2.11)

El resto de los estados se obtienen aplicando el operador de ascenso〈x |ψ1〉 = 〈x| a†B |ψ0〉 ⇒ ψ1 = A′1

(x2ψ0 − i

(−i ∂∂x

)ψ0

),

= A′1A0

(x2 e− x2

4 − ddxe− x2

4

),

= A1

([x2 −

(− 2x

4

)]e−

x2

4

),

∴ ψ1 = A1 (x) e−x2

4 . (2.12)

〈x |ψ2〉 = 〈x| a†B |ψ1〉 ⇒ ψ2 = A′2(x2ψ1 − i

(−i ∂∂x

)ψ1

),

= A′2A1

(x2xe− x2

4 − ddx

(xe−

x2

4

)),

= A2

(x2

2 − x(−x2)− 1)e−

x2

4 ,

∴ ψ2 = A2

(x2 − 1

)e−

x2

4 . (2.13)

〈x |ψ3〉 = 〈x| a†B |ψ2〉 ⇒ ψ3 = A′3(x2ψ2 − i

(−i ∂∂x

)ψ2

),

= A′3A2

(x2

(x2 − 1

)e−

x2

4 − ddx

[(x2 − 1

)e−

x2

4

]),

= A3

(x3

2 −x2 − 2x−

(x2 − 1

) (−x2))e−

x2

4 ,

∴ ψ3 = A3

(x3 − 3x

)e−

x2

4 . (2.14)

Notemos que en las ecuaciones (2.12), (2.13) y (2.14) los polinomios que seencuentran entre paréntesis poseen una estrutura similar a los polinomios deHermite.1 Esto es, para n > 2, podemos expresar recursivamente estos polino-mios denotados por In (x) como,

In (x) = x In−1 (x)− (n− 1) In−2 (x) , (2.15)

1Relación de recurrencia de los Polinomios de Hermite: Hn (x) = 2xHn−1 (x) −2 (n− 1)Hn−2 (x) .


por lo que las funciones de onda del oscilador armónico son de la forma:

ψn = AnIn exp

(−x

2

4

). (2.16)

Procedamos a veri�car que los operadores aB , a†B están debidamente nor-

malizados. Sabemos que

aB |ψn〉 = Cn |ψn−1〉 ⇒ |ψn−1〉 =1

CnaB |ψn〉 ,

a†B |ψn〉 = Dn |ψn+1〉 ⇒ |ψn+1〉 =1

Dna†B |ψn〉 .

Además, la función de onda está debidamente normalizada, esto es, 〈ψn−1 |ψn−1〉 =1, entonces

1 =1

C2n

〈ψn| a†BaB |ψn〉 =1

C2n

〈ψn|N |ψn〉 =n

C2n

〈ψn |ψn〉 =n

C2n

∴ aB |ψn〉 =√n |ψn−1〉 . (2.17)

Análogamente, para a†B :

a†B |ψn〉 =√n+ 1 |ψn+1〉 . (2.18)

Ahora tenemos los elementos para calcular la constante de normalizacion An.Empecemos calculando A0

1 = 〈ψ0 |ψ0〉 =

∫ ∞−∞

A20

(e−

x2

4

)2dx =

∫ ∞−∞

A20

1√2ue−u du,

=⇒ u = x2

2

1 =(A2

0

)2

∫ ∞0

1√2u−

12 e−u du = A2

0

√2Γ

(1

2

)= A2

0

√2π,

∴ A0 = (2π)− 1

4 .

Para calcular An, recordemos que

ψn = An

(a†B

)ne−

x2

4 .

Usando quea†Bψn−1 =

√nψn,

es fácil veri�car que:

ψn = An√n!e−

x2

4 =⇒ 〈ψn |ψn〉 =

∫ ∞−∞

(An√n!)2 (

e−x2

4

)2dx


= n!A2n

(√2π)

=⇒ 1 = n!A2n

(√2π),

∴ An =1√

n!√

2π,

por lo que de la ecuación (2.16) �nalmente obtenemos que las funciones de ondadel Oscilador Armónico Bosónico propiamente normalizadas son:

ψn =1√

n!√

2πIn exp

(−x

2

4

). (2.19)

Sabemos que los bosones poseen ciertas propiedades que los caracterizancomo que poseen espin entero, que implica que no cumplen con el Principio deExclusión de Pauli. En la siguiente sección, analizaremos como es que en estaspropiedades recae la importancia de distinguir entre bosones y fermiones.

2.2. Oscilador Fermiónico

Para esta discusión seguiremos de cerca el razonamiento en [10]. De la rela-ción de conmutación que cumplen los operadores de escalera aB , a

†B obtenemos

que [aB , a

†B

]= 1 =⇒ a†BaB = aBa

†B − 1.

Entonces, H lo podemos expresar como:

H =1

2

(2a†BaB + 1

)=

1

2

(a†BaB + aBa

†B

).

Esta estructura simétrica, es re�ejo del hecho de lidiar con partículas bosóni-cas, por lo que en consecuencia los estados deben tener una estructura simétrica.

Los estados fermiónicos por otro lado son antisimétricos, por lo que, propo-nemos HF para el oscilador fermiónico:

HF =1

2

(a†FaF − aFa

†F

). (2.20)

Si aF y a†F fueran simétricos,([aF , a

†F

]= 1), la Ec. (2.20) quedaría

HF =1

2

(a†FaF −

(a†FaF + 1

))= −1

2

lo que implicaría que HF sería una constante por lo que no habría dinámica aso-ciada a este Hamiltoniano. Asumamos entonces que aF , a

†F satisfacen relaciones

de anticonmutación:

{aF , aF } = 0,{a†F , a

†F

}= 0,

{aF , a

†F

}={a†F , aF

}= 1. (2.21)


De�namos el operador de número fermiónico (NF ) como NF = a†FaF , de la Ec.(2.21) notemos

N 2F = a†FaFa

†FaF = a†F

(1− a†FaF

)aF ,

= a†FaF − a†Fa†FaFaF ,

⇒ N 2F = NF =⇒ NF (NF − 1) = 0,

por lo que los únicos eigenvalores posibles para el operador de NF son 1 y 0lo que es consistente con el principio de exclusión de Paulli. En la teoría demuchos cuerpos, esto implica que los estados fermionicos pueden estar desocu-pados (NF = 0) u ocupados por un sólo fermión (NF = 1) . Así la Ecuación deSchrödinger para el Oscilador Armónico Fermiónico (ESOAF) es, [10]

HFψ =

(NF −

1

2

)ψ = Eψ, (2.22)

cuyo estado base para la energía es:

NF |ψ0〉 = a†FaF |ψ0〉 ,

=⇒ HF |ψ0〉 =

(NF −

1

2

)|ψ0〉 = −1

2|ψ0〉 ,

∴ E0 = −1

2.

Es importante notar que el estado base del oscilador fermiónico es de signocontrario al del bosónico.

2.2.1. Funciones de Onda

Observemos que sólo modi�camos el álgebra de los operadores y no los ope-radores como tales, por lo que ψ0 y ψ1 se calculan de igual forma que en eloscilador bosónico.

〈x|(x

2+ ip

)|ψ0〉 ⇒

x

2ψ0(x) + i

(−i ∂∂x

)ψ0(x) = 0 ⇒ −x

2ψ0(x) =

dψ0(x)

d x.

Resolviendo la ecuación diferencial

ln (ψ0) = −x2

4+A′ ⇒ ψ0 = e−

x2

4 eA′,

∴ ψ0 = A0 exp

(−x

2

4

). (2.23)

calculemos el resto de los estados construyéndolos con el operador de ascenso|〈x|ψ1〉 = 〈x| a†B |ψ0〉 ⇒ ψ1 = A′1

(x2ψ0 − i

(−i ∂∂x

)ψ0

),


= A′1A0

(x2 e− x2

4 − ddxe− x2

4

),

= A1

([x2 −

(− 2x

4

)]e−

x2

4

),

∴ ψ1 = A1xe− x2

4 . (2.24)

por lo que

HF |ψ1〉 =

(NF −

1

2

)|ψ1〉 .

= NF |ψ1〉 −1

2|ψ1〉 ,

∴ HF |ψ1〉 =1

2|ψ1〉 .

Una vez analizadas las bases para la descripción del Oscilador ArmónicoCuántico y mostrado la importancia de distinguir entre bosones y fermiones,en el siguiente capítulo nos enfocaremos en buscar una forma de acoplar estososciladores de modo que encontremos una solución conjunta para los mismos.

Capítulo 3

Osilador Armónico CuánticoSUSY

En este cápitulo buscaremos realizar un simple mapeo a una SUSY (Su-persimetría) observando las relaciones de conmutación y anticonmutación quelos operadores bosónicos y fermiónicos cumplen. Seguiremos muy de cerca eltrabajo desarrollado en la Referencia [10, 11].

3.1. Mecánica Cuántica Supersimétrica (SUSY-QM)

Supersimetría (SUSY) surgió como una herramienta usada por los físicospara obtener una descripción uni�cada de todas las interacciones fundamenta-les de la naturaleza. SUSY relaciona grados de libertad bosónicos y fermiónicoscombiándolos en supercampos que proveen una descripción más elegante de lanaturaleza [11, 12, 13]. El álgebra asociada a SUSY es llamada super álgebra deLie que se cierra bajo relaciones de conmutación y anticonmutación [13]. Aun-que hasta la fecha no se ha encontrado evidencia experimental de la existenciade SUSY, en los últimos cincuenta años, las ideas de SUSY han simulado nuevosenfoques a distintas ramas de la física. Pero siendo optimistas, nos gusta pensarque la mitad del espectro SUSY ya ha sido descubierto.

En particular, SUSY-QM se desarrolló como un modelo de juguete para pro-bar la ruptura de la supersimetría, ya que es difícil de probar en las teorías decampo SUSY si la supersimetría esta rota o no [11]. De modo que esta nuevarama de la Mecánica Cuántica se entendió pronto como un tema interesante.Además si a una SUSY-QM se le hace la segunda cuantización , se obtiene unateoria de campo supersímetrica.

Ahora obtendremos un nuevo Hamiltoniano, que involucre operadores bosó-

10

CAPÍTULO 3. OSILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO SUSY 11

nicos y fermiónicos que obedezcan relaciones de conmutación y anticonmutaciónrespectivamente, partiendo del Hamiltoniano

H1 = p2 + V1 (x) ,

y en vez de empezar por un potencial dado V1 (x) y encontrar la función deonda, como lo hacemos tipicamente, podemos empezar con una función de ondaespecí�ca. Una vez conocida dicha función, podemos conocer el potencial V1 (x).

Sin pérdida de generalidad, podemos escoger el estado base de energía E(1)0 de

modo que

〈x|H1 |ψ0〉 = 0 |ψ0〉 ⇒ −d2ψ0(x)

dx2+ V1 (x)ψ0ψ0(x) = 0. (3.1)

Esto implica que

V1 (x) =ψ′′0ψ0,

lo que nos permite determinar el potencial a partir de la función de onda. Laventaja de elegir la función de onda del estado base es que no tiene nodos. Ahorafactorizemos el Hamiltoniano como sigue

H1 |ψ0〉 = A†A |ψ0〉 ,

donde

A =d

dx+W (x) , A† = − d

dx+W (x) ,

Esto nos permite identi�car

V1 (x) = W 2 (x)−W ′ (x) , (3.2)

que es conocida como la ecuación de Ricatti1. La cantidad W (x) es referidacomo el superpotencial en SUSY-QM [11]. La solución de W (x) en términos deψ0 se puede escribir como

W (x) = −ψ′0

ψ0.

Esta solución se obtiene mediante el hecho de que una vez que se cumplaAψ0 = 0, automáticamente se tiene que H1ψ0 = A†Aψ0 = 0.

Lo siguiente en la construcción de una teoría supersimétrica es de�nir eloperador H2 = AA†. Es fácil notar que este H2 es un Hamiltoniano pero co-rresponde a otro potencial

H2 = AA† = − d2

dx2+W 2 (x) +W ′ (x) .

1Decimos que una Ec. es de Ricatti si tiene la forma

y′ (x) + P (x) y2 +Q (x) y +R(x) = 0

para resolverla, se debe hacer la sustitución y = yp +1z, donde yp es una solución particular.


Llamemos

V2 (x) = W 2 (x) +~√2m

W ′ (x) . (3.3)

Los potenciales V1 (x) y V2 (x) son conocidos como compañeros supersimé-tricos. Ahora notemos que los eigenvalores de H1 y H2 son positivos o cero, yque para n > 0 se tiene que

H1ψ(1)n = A†Aψ(1)

n = E(1)n ψ(1)

n ⇒ H2

(Aψ(1)

n

)= E(1)

n

(Aψ(1)

n

). (3.4)

Análogamente para H2

H2ψ(2)n = AA†ψ(2)

n = E(2)n ψ(2)

n ⇒ H1

(A†ψ(2)

n

)= E(2)

n

(A†ψ(2)

n

). (3.5)

De las Ecs. (3.4) y (3.5) y del hecho de que E(1)0 = 0, es claro que las eigenfun-

ciones y los eigenvalores de H1y H2 están relacionados por

E(1)0 = 0, E(2)

n = E(1)n+1, (3.6)

ψ(2)n =

(E

(1)n+1

)− 12

Aψ(1)n+1, (3.7)

ψ(1)n+1 =

(E(2)n

)− 12

A†ψ(2)n . (3.8)

Notemos que el operador A(ó A†

)no sólo convierte una eigenfunción de H1

(ó H2) en una eigenfunción deH2 (ó H1) con la misma energía, sino que tambiéndestruye (ó crea) un nodo en la función de onda. Además, el estado base de lafunción de onda de H1 es aniquilado por el operador A, este estado no tienecompañero SUSY [12]. Por todo esto podemos notar que salvo por ψ(1)

0 el restode los estados son doblemente degenerados, como se muestra en la Figura 3.1.

La verdadera razón de la degeneración de los espectros de H1 y H2 se puedeentender más fácilmente de las propiedades de la álgebra SUSY. Es por eso quepodemos considerar una matriz SUSY Hamiltoniana de la forma

H =

(H1 00 H2

). (3.9)

Esta matriz es parte de un álgebra que contiene operadores bosónicos yfermiónicos con relaciones de conmutación y anticonmutación. Consideremoslos operadores

Q =

(0 0A 0

), (3.10)

Q† =

(0 A†

0 0

), (3.11)

en conjunto con H cumplen la siguiente superálgebra

[H, Q] =[H, Q†

]= 0, (3.12)


Figura 3.1: Niveles de energía de dos potenciales compañeros SUSY. Se muestrala acción de los operadores A y A†.

{Q,Q†

}= H, {Q,Q} =

{Q†, Q†

}= 0. (3.13)

del hecho de que Q y Q† conmuten con H se origina la degeneración del espectrode H1 y H2. Los operadores Q y Q† pueden interpretarse como operadores quecambian grados de libertad bosónica en fermiónica y visceversa. Usaremos comoejemplo el oscilador cuántico para clari�car esta idea.

3.2. Oscilador Armónico SUSY

Retomemos lo visto para el Oscilador Armónico Bosónico,

HB = NB +1

2,

y para el Oscilador Armónico Fermiónico,

HF = NF −1

2,[

aB , a†B

]= 1,

{aF , a

†F

}= 1,[

a†B , a†B

]= [aB , aB ] = {aF , aF } =

{a†F , a

†F

}= 0,

HBψ0 =1

2ψ0, HFψ0 = −1

2ψ0.

Consideremos un sistema que consiste en un Oscilador Armónico Bosónico-Fermiónico con la misma frecuencia ω [10, 11]

H = ωH = ω (HB +HF ) = ω

(NB +

1

2+NF −

1

2

),

∴ H = NB +NF . (3.14)


Ahora de�namos los estados para este nuevo hamiltoniano

|nB , nF 〉 = |nB〉 ⊗ |nF 〉 ,

por lo que podemos veri�car que los eigenvalores son

H |nB , nF 〉 = (NB +NF ) |nB , nF 〉 = (nB + nF ) |nB , nF 〉 , (3.15)

donde nB = 0, 1, 2 . . . y nF = 0, 1. Observemos que para el estado ψ0 = |0, 0〉 setiene que

H |0, 0〉 =

(1

2− 1

2

)|0, 0〉 = 0 |0, 0〉 ,

por lo tanto E0,0 = 0, que concuerda con lo descrito para H1 en la Ec. (3.1).También observemos de la Ec. (3.15) que para estados diferentes del base, lasenergías del sistema son doblemente degeneradas

H |nB , 1〉 = ((nB) + (1)) |nB , 1〉 y ((nB + 1) + 0) = H |nB + 1, 0〉 .

De�namos los operadores de carga Q y Q†

Q = a†BaF , Q† = aBa†F . (3.16)

Podemos veri�car que

[Q,H] =[a†BaF ,

(a†BaB + a†FaF

)],

= a†BaF

(a†BaB + a†FaF

)−(a†BaB + a†FaF

)a†BaF , Recordemos

[N, a] = −a[N, a†

]= a†=

[a†B ,NB

]aF + a†B [aF ,NF ] ,

= −a†BaF + a†BaF ,

∴ [Q,H] = 0. (3.17)

Análogamente para Q†

∴[Q†,H

]= 0, (3.18)

por lo que estos operadores de�nen cantidades conservadas del sistema y corres-ponden a los generadores de simetría en esta teoría. Podemos veri�car que{

Q,Q†}

={a†BaF , a

†FaB

},

= a†B

{aF , a

†F

}aB − a†F

[a†B , aB

]aF ,

= a†BaB + a†FaF , {Q,Q†

}= H. (3.19)

De las Ecs. (3.17), (3.18) y (3.19) se observa que estos operadores de�nen unaálgebra que considera tanto conmutadores como anticonmutadores. Dicha álge-bra se conoce como super álgebra de Lie. Esta de�ne la forma in�nitesimal de


las transformaciones supersimétricas.

Ahora analizemos como actúan los operadores de carga en los eigenestadosde energía del sistema,

[Q,NB] =[a†BaF , a

†BaB

]=[a†B ,NB

]aF ,

= −a†BaF ,∴ [Q,NB ] = −Q, (3.20)

[Q,NB] =[a†BaF , a

†FaF

]= a†B [aF ,NF ] ,

= a†BaF ,∴ [Q,NF ] = −Q. (3.21)

Análogamente para Q†[Q†,NB

]= Q†,

[Q†,NF

]= −Q†, (3.22)

Es decir que Q aumenta el número bosónico y disminye el fermiónico y Q† hacelo opuesto. Consideremos que

|nB , nF 〉 =

(a†B

)nB

√nB !

(a†F

)nF

|0, 0〉 .

Se tiene que

Q |nB , nF 〉 =

{ √nB + 1 |nB+1, nF−1〉 | nF 6= 0,

|0, 0〉 | nF = 0.(3.23)

Q† |nB , nF 〉 =

{ √nB |nB−1, nF+1〉 | nF 6= 0,

|0, 0〉 | nF = 0.(3.24)

Retomando lo visto al principio de este capítulo, el álgebra para los opera-dores Q y Q† coicide con la ya descrita, de modo que si proponemos que losoperadores aF y a†F tengan la estructura

aF =

(0 10 0

), a†F =

(0 01 0

),[aF , a

†F

]= σ3.

y además consideramos la Ec. (3.19) tenemos que

H =

(p2 +

x

4

2)I − 1

2σ3, (3.25)

o considerando aB = ip + W (x) donde W (x) = x/2 es el superpotencial en lateoría SUSY-QM por lo que el Hamiltoniano queda como

H =(p2 +W 2

)I −W ′σ3. (3.26)

Esta es la ventaja de SUSY-QM, en una descripción uni�cada se pueden des-cribir sistemas bosónicos y fermiónicos. Habiendo logrado un buen acoplamientode los Osciladores Fermiónicos y Bosónicos mediante SUSY, nos enfocaremosen el siguiente capítulo a resolver la ecuación de onda relativista, la llamadaEcuación de Dirac, que describe partículas fermiónicas con espín 1/2.

Capítulo 4

Ecuación de Dirac en (3+1)dimensiones

En Mecánica Cuántica Relativista, las partículas libres de espín 1/2 satisfacenla Ecuación de Dirac. En este capítulo, presentamos un análisis detallado deesta ecuación y sus soluciones en (3+1) dimensiones, con el objetivo de realizarcomparaciones con los resultados que se obtengan en el capítulo 5. Discusiónacerca de este tema se puede encontrar en [14, 15, 16].

4.1. Ecuación de Klein-Gordon

La energía de una partícula de masa m en ausencia de potenciales es

E =p2

2m, (4.1)

donde p es el momento lineal de la partícula. En Mecánica Cuántica, las obser-vables físicas se promueven a operadores diferenciales, como ya habíamos visto,(unidades naturales ~ = c = 1):

E → i∂

∂t, −→p = −i∇.

Entonces la Ec. (4.1) da lugar a la Ecuación de Schrödinger:

i∂ψ(~r, t)

∂t+ ~∇2ψ(~r, t)

2m= 0. (4.2)

Si consideramos la expresión relativista para la energía E2 = p2 +m2, e identi�-camos con los operadores correspondientes la nueva ecuación de onda relativistaes

− ∂2ψ(~r, t)

∂t2+∇2ψ(~r, t) = m2ψ(~r, t). (4.3)

16

CAPÍTULO 4. ECUACIÓN DE DIRAC EN (3+1) DIMENSIONES 17

Esta es la ecuación de Klein-Gordon. Podemos escribir esta ecuación en su formacovariante usando las siguientes de�niciones

∂µ = (∂t,−∇) , ∂µ = (∂t,∇) ,

e introduciendo el Operador D'Alambertiano

� = ∂µ∂µ =

∂2

∂2t−∇2,

de modo que podemos reescribir la ecuación de Klein-Gordon como:(�+m2

)ψ = 0. (4.4)

La ecuación relativista E2 = p2 +m2 sugiere que

E = ±√p2 +m2,

por lo que además de la solución de energía positiva, tenemos una de energíanegativa. Otro problema que tiene la Ec. de Klein-Gordon es que tiene densida-des de probabilidad positivas y negativas, esto debido a que el cuadrivector dedensidad de probabilidad es

jµ = (ψ?∂µψ − ∂µψ?ψ) ,

por lo que ρ = j0 es

ρ =

(ψ?∂ψ

∂t− ψ∂ψ

?

∂t

),

que puede ser negativa, por lo que no admite una interpretración en términosde probabilidades positivas. En la siguiente sección estudiaremos una de lassoluciones al problema de densidades de probabilidad negativas.

4.2. Ecuación de Dirac

En 1927, el físico Británico Paul Dirac propone una solución para el problemade densidades de probabilidad negativas. Él propone una ecuación lineal en laenergía [14]:

(~α · ~p+ βm) (~α · ~p+ βm) = E2,

donde β y ~α son objetos matriciales. Desarrollando la expresión

E2 = (αipi + βm) (αjpj + βm) ,

⇒ E2 = α2i p

2i + (αiαj + αjαi) pipj + (αiβ + αjβ) pim+ β2m2,

por lo que, para que esta expresión concuerde con E2 = p2 +m2 se requiere que:

{αi, αj} = 2δij , {αi, β} = 0 , β2 = 1. (4.5)


Las matrices de más baja dimensión que satisfacen (4.5) son las matrices 4× 4.Nosotros usaremos la representación de Dirac-Pauli, que es la usada con másfrecuencia

~α =

(0 ~σ~σ 0

), β =

(I 00 −I

),

donde ~σ son las matrices de Pauli:

σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

).

Entonces, el Hamiltoniano de Dirac queda como

Hψ = (~α · ~p+ βm)ψ. (4.6)

Esta ecuación se puede escribir de forma covariante, como veremos enseguida.

4.2.1. Las Matrices Gamma (γµ)

Con el objetivo de obtener la Ec. de Dirac en forma covariante, multiplique-mos la Ec. (4.6) por la izquierda por β, entonces obtenemos que

iβ∂ψ

∂t= −iβα · ∇ψ +mψ.

Podemos rescribir esta última en su forma covariante

(iγµ∂µ −m)ψ = 0, (4.7)

donde hemos introducdo las matrices de Dirac (γµ)

γµ = (β, βα) . (4.8)

Entonces la Ec. de Dirac (ED) en su forma covariante es

(i 6 ∂ −m)ψ = 0, (4.9)

ó(6 p−m)ψ = 0, (4.10)

donde estamos utilizando la notacion slash de Feynmann (6 p = γµpµ) .

4.2.2. Conservación de Corriente

El complejo conjugado de la ED es:

−i(γ0∂ψ

∂t

)†− i(γk

∂ψ

∂xk

)†−mψ† = 0.

Multiplicando la ecuación anterior por la derecha por γ0 se tiene que:

− i∂ψ∂t

†γ0γ0 − i∂ψ

†

∂xk(−γk

)γ0 −mψ† = 0, (4.11)


usando que γ0γk = −γkγ0 e introduciendo el operador adjunto ψ = ψ†γ0,tenemos que la Ec. (4.11) queda como

i∂µψγµ +mψ = 0. (4.12)

Ahora tenemos las herramientas necesarias para derivar la ecuación de conti-nuidad

∂µjµ = 0 (4.13)

multiplicando la Ec. (4.7) por la izquierda por ψ y la Ec. (4.12) por la derechapor ψ y sumándolas

ψγµ∂µψ + ∂µψγµψ = 0,

∂µ(ψγµψ

)= 0, =⇒ jµ = ψγµψ, (4.14)

que podemos considerar como la densidad de corriente eléctrica si insertamos lacarga, de acuerdo a la prescripción de Feynmann-Stückelberg [15]

jµ = −eψγµψ. (4.15)

por lo que la densidad de probabilidad ρ es:

ρ = ψ†ψ,

que es de�nido positivo, por lo que ya no hay con�ictos de interpretación. Ex-ploremos ahora el contenido físico de la ED.

4.3. Partícula en Reposo

Analizaremos primero la ED para el caso de una partícula que está en reposo.En este caso se puede escribir la ecuación como(

iγ0∂0 −m)ψ = 0. (4.16)

Proponemos una solución de la forma:

ψ (t) =

(ψa (t)ψb (t)

),

sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:[i

(I 00 −I

)∂0 −m

(I 00 I

)](ψa (t)ψb (t)

)= 0.

Comparando elementos matriciales, obtenemos las siguientes ecuaciones dife-renciales:

i∂

∂tψa = mψa, (4.17)

− i ∂∂tψb = mψb, (4.18)


cuyas soluciones son:

ψa (t) = ψa (0) e−imt, ψb (t) = ψb (0) eimt,

por lo que la solución en su forma compacta es:

ψ (t) =

(ψa (0) e−imt

ψb (0) eimt

).

Para t=0 tenemos que

ψ (0) =

(ψa (0)ψb (0)

).

Buscamos escoger 4 soluciones de modo que sean linealmente independientes:

Caso(1)

ψa (0) =

(10

)ψb (0) =

(00

) =⇒ ψ1 (0) =

1000

,

Caso(2)

ψa (0) =

(01

)ψb (0) =

(00

) =⇒ ψ2 (0) =

0100

,

Caso(3)

ψa (0) =

(00

)ψb (0) =

(10

) =⇒ ψ3 (0) =

0010

,

Caso(4)

ψa (0) =

(00

)ψb (0) =

(01

) =⇒ ψ4 (0) =

0001

.

En conclusión tenemos cuatro soluciones para la Ec. (4.16), las cuales son:

ψ1 (t) =

1000

e−imt, (4.19)

ψ2 (t) =

0100

e−imt, (4.20)


ψ3 (t) =

0010

eimt, (4.21)

ψ4 (t) =

0001

eimt, (4.22)

ψ1 y ψ2 son las soluciones de energía positiva y ψ3 y ψ4 son soluciones de energíanegativa.

4.4. Partícula en Movimiento

Para una partícula en movimiento se propone una solución del tipo:

ψ (x) = e−i(Et−~x·~p)u (p) , (4.23)

entonces de la Ec. (4.9) tenemos que:

∂µψ (x) = −ipµψ (x) ,

y como la exponencial nunca es cero, la ecuación de Dirac se puede expresar dela siguiente manera:

(γµpµ −m)u (p) = 0. (4.24)

Esta es la ecuación de Dirac en el espacio de momentos y u (p) se llama espinorde Dirac. Ahora, si sustituimos γµpµ = γ0p0 − ~γ · ~p y simpli�camos, llegamos ala siguiente expresión:(

E −m −~σ · ~p~σ · ~p −E −m

)(ua (p)ub (p)

)= 0,

donde hemos descompuesto el espinor en dos componentes. Esta se puede ex-presar como

(E −m)ua (p)− (~σ · ~p)ub (p) = 0,

(~σ · ~p)ua (p)− (E +m)ub (p) = 0, (4.25)

con

~σ · ~p = σ1px + σ2py + σ3pz =

(pz px − ipy

px + ipy −pz

).

Este sistema posee 4 soluciones linealmente independientes:

u(s) = N

(X (s)

~σ·~p|E|+mX

(s)

), E > 0,

u(s+2) = N

(−~σ·~p|E|+mX

(s)

X (s)

), E < 0,


donde hemos de�nido:

s = 1, 2 X (1) =

(10

)X (2) =

(01

).

Explicitamente las soluciones son:

ψ1 (x) = N

10pz

E+mpx+ipyE+m

e−ip·x = u1 (p) e−ip·x,

ψ2 (x) = N

01

px−ipyE+m−pzE+m


ψ3 (x) = N

pz

E−mpx+ipyE−m

10


ψ4 (x) = N

px−ipyE−m−pzE−m

01

e−ip·x = u4 (p) e−ip·x.

Con el objetivo de remover las soluciones de energía negativa, de�nimos

v1 (E, ~p) ≡ u4 (−E,−~p) , v2 (E, ~p) ≡ u3 (−E,−~p) ,

es decir,

v1 (p) = N

px−ipyE+m−pzE+m

01

, v2 (p) = N

pz

E+mpx+ipyE+m

10

.

Por lo tanto las cuatro soluciones de la ED se pueden escribir como:

ψ1 (x) = u1 (p) e−ip·x, (4.26)

ψ2 (x) = u2 (p) e−ip·x, (4.27)

ψ3 (x) = v2 (p) eip·x, (4.28)

ψ4 (x) = v1 (p) eip·x, (4.29)

todas las soluciones con energía positiva. Interpretamos estas soluciones de mo-do que u1y u2 corresponden al fermión mientras que v1 y v2 corresponden alanti-fermión. Aún hay una degeneración que debemos resolver. Las dos solucio-nes para cada caso representan a las dos direcciones que puede tener el espín dela partícula. A continuación calcularemos el valor de la constante N de norma-lización.


4.4.1. Normalización

Es fácil ver que u†rus = 0 si r 6= s. Ahora, si r = s se puede mostrar que

u†1u1 = N2(

1 0 pzE+m

px−ipyE+m

)10pz

E+mpx+ipyE+m

= N2

(1 +

p2

(E +m)2

),

=⇒ u†1u1 = N2 2E

E +m. (4.30)

Se obtiene el mismo resultado para r = s = 2. Estos resultados también severi�can fácilmente para v(s), por lo que podemos resumirlos como:

u†rus = N2 2E

E +mδrs, (4.31)

v†rvs = N2 2E

E +mδrs. (4.32)

Como ya habíamos visto en la Ec. (4.14), la densidad de probabilidad es:

ρ = j0 = ψγ0ψ = ψ†ψ, (4.33)

si ahora normalizamos considerando que hay 2E partículas por unidad de volu-men y efectuamos la integral sobre el volumen unitario V, obteniendo:∫

V

ρ dV =

∫ψ†ψ dV = u†u = 2E, (4.34)

usando la Ec. (4.26), concluimos que

2E = N2 2E

E +m,

por lo tanto, podemos escoger la constante de normalización N como

N =√E +m, (4.35)

ahora con la constante de normalización conocemos todos los elementos de lassoluciones a la ED. A continuación aclaramos la degeneración que había quedadopendiente.

4.5. Interpretación de las soluciones en términosdel Espín.

Anteriormente vimos que existen dos soluciones con energía E y dos solu-ciones con energía −E, por lo que existe una doble degeneración, de modo quedebe existir una observable h que conmute con H que la remueva.


Sabemos que el momento angular orbital angular se escribe como

~L = ~r × ~p.

Calculando el conmutador del Hamiltoniano con el momento angular[H, ~L

]=[γ0 (~γ · ~p+m) , ~r × ~p

],

resulta [H, ~L

]= iγ0 (~γ × ~p) .

Por lo tanto, el momento angular no es una cantidad que se conserve. Esto essorprendente, pues en la discusión siempre ha estado presente una invariancíabajo rotaciones. Si de�nimos el operador

~Σ =1

2

(~σ 00 ~σ

),

y calculamos el valor de su conmutador con el Hamiltoniano,[H, ~Σ

]=[γ0 (~γ · ~p+m) , ~Σ

],

obtenemos que [H, ~Σ

]= −iγ0 (~γ × ~p) .

Entonces si de�nimos el operador de momento angular total(~J)como ~J = ~L+~Σ

es fácil notar que el conmutador con el Hamiltoniano es:[H, ~J

]=[H, ~L+ ~Σ

]= 0,

por lo que este nuevo operador es una constante de movimiento, que identi�-caremos con el momento angular total. Interpretamos a ~Σ como el momentoangular intrínseco o espín de la partícula que satisface la ED.

De�nimos el operador de helicidad de la siguiente manera:

h = Σ · p =1

2

(σ · p 0

0 σ · p

).

Este operador representa la proyección del espín en la dirección del movimientode la partícula y quita la degeneración entre las dos soluciones de fermionesy las dos de anti-fermiones. Supongamos que la partícula se mueve sólo en ladirección z, podemos veri�car que:

hu1 (p) =1

2u1 (p) , hu2 (p) = −1

2u2 (p) ,

hv1 (p) = −1

2v1 (p) , hv2 (p) =

1

2v2 (p) .


Así, se observa que las 2 soluciones con energía positiva, u1 y u2 descríben lasdos posibles orientaciones de espin del electrón, mientras que v1 y v2 describenlas 2 orientaciones de espein del positrón.

En resumen, la Ec. de Dirac descríbe electrones y positrones con sus dosorientaciones de espin. En el siguiente capítulo estudiaremos la ED en un planoy compararemos los resultados con los de esta sección.

Capítulo 5

Ecuación de Dirac en (2+1)dimensiones

Nosotros vivimos en un mundo con 3 dimensiones espaciales y una tempo-ral pero existen varias problemas o teorías que son más sencillos de entenderen bajas dimensiones, es decir, restringir su dinámica a menos de cuatro di-mensiones. Los modelos teóricos 3-dimensionales son muy útiles para entenderfenómenos que ocurren en espacios planos, pero estos modelos teóricos, comoQED3 (Quantum Electrodynamics in (2+1) dimensions), son interesantes, nosólo porque facilitan su enseñanza, sino porque poseen una interpresanción física,que en algunos casos es de suma importancia. En este capítulo estudiaremos ala ED en un modelo 3-dimensional e interpretaremos las diferencias que surgen.Esta ec. se ha estudiado antes en distintos trabajos, por ejemplo [8, 1].

5.1. Representación Irreducible

La ecuación de Dirac en el plano, se obtiene de eliminar la tercera com-ponente espacial de la ecuación en (3+1) dimensiones, por lo que basta conmatrices 2× 2 para satisfacer las condiciones explicadas en (4.5), así que pode-mos construir esta representación utilizando las matrices de Pauli. Si hacemosesto, resulta que existen dos representaciones inequivalentes de las matrices γµ.

Se puede mostrar que en dimensiones impares arbitrarias el producto detodas las matrices gamma es proporcional a la matriz identidad, por lo que en(2+1) dimensiones se observa que:

P ≡ γ0γ1γ2 = ±i I .

Por lo tanto, una de las matrices γ puede escribirse en término de las otras.Proponemos γ2 como:

γ2 = ±iγ0γ1.

26


Así podemos escoger a las matrices γµ de la siguiente forma [7]:

γ0 = σ3 γ1 = iσ1, γ2 = iσ2, (5.1)

γ0 = σ3 γ1 = iσ1, γ2 = −iσ2. (5.2)

Si las dos representaciones son equivalentes matemáticamente, implica, físi-camente, que ambas dan la misma información del sistema, por lo que podemosutilizar cualquiera de las dos y obtener el mismo resultado. Si las representa-ciones no son equivalentes, es decir, que no podemos obtener una a partir detransformaciones elementales de la otra, la información física del sistema no es lamisma. A continuación veri�caremos la inequivalencia de las 2 representaciones.

5.1.1. Primera Representación Irreducible (A)

Partiendo de la representación dada en (5.1) analizaremos la ED. Nueva-mente proponemos una solución de la forma (4.23) y obtenemos en el espaciode momentos que:[(

E −m 00 −E −m

)−(

0 ipx + pyipx − py 0

)](ua (p)ub (p)

)= 0

de lo que resulta el sistema de ecuaciones

(E −m)ua (p)− (py + ipx)ub (p) = 0,

(py − ipx)ua (p)− (E +m)ub (p) = 0. (5.3)

Si escogemos ua = 1, entonces

ub =py − ipxE +m

,

mientras que si escogemos ub = 1, entonces

ua =py + ipxE −m

,

por lo que la solución propuesta toma la forma:

ψ1 (x) = N

(1

py−ipxE+m

)e−ip·x = u1 (p) e−ip·x, (5.4)

ψ2 (x) = N

( py+ipxE−m

1

)e−ip·x = u′1 (p) e−ip·x. (5.5)

Interpretando la solución u′1(p) para energía negativa como la antipartícula, conenergía positiva la segunda solución se de�ne como:

v1 (p) = u′1 (−E,−p) =

( py+ipxE+m

1

). (5.6)


Figura 5.1: Primera Representación

5.1.2. Segunda Representación Irreducible (B)

Para estudiar la representación dada en (5.2), es fácil, partiendo de las entra-das en la sección anterior, obtener las soluciones a esta representación, porquecambiar el signo de γ2 es equivalente que cambiar el signo de py. De modo quelas soluciones obtenidas son:

φ1 (x) = N

(1

−py−ipxE+m

)e−ip·x = w2 (p) e−ip·x, (5.7)

φ2 (x) = N

( −py+ipxE+m

1

)eip·x = s2 (p) e−ip·x. (5.8)

Para establecer que el contenido físico de estas soluciones es distinto al de lasEcs. (5.4) y (5.6) de la representación A, debemos escribir (5.7) y (5.8) en larepresentación A, lo que equivale a

ψ1 (x) = γ2φ1 (x) , ψ2 (x) = γ2φ2 (x)

u2 (p) =

( py+ipxE+m

1

), v2 (p) =

(1

py−ipxE+m

)En términos de estas funciones si podemos hacer comparaciones de las obser-vables físicas. ºEn la siguiente sección analizaremos la interpretación que da elespín a estas soluciones.

5.1.3. Interpetración de las Soluciones en términos del Es-pín

Como la partícula está sujeta a moverse únicamente en el plano, sólo existeuna componente de momento orbital angular que puede escribirse como:

L3 = xpy − ypx,


Figura 5.2: Segunda Representación

por lo que el conmutador de L3 con el Hamiltoniano es:

[H,L3] = −iγ0(γ1py − γ2px

).

Ahora, de�nimos el operador de momento angular intrínseco como

Σ3 =1

2γ0. (5.9)

Recordando que el momento angular total es J3 = L3 + Σ3 entonces el conmu-tador [H,J3] = 0 lo que implica que J3 es una cantidad conservada.

El operador Σ3 puede interpretarse como la helicidad, pues nos da la compo-nente del espín perpendicular al plano de movimiento. Como antes, supongamosque las componentes px y py son cero, se veri�ca entonces que:

Representación A

Σ3u1 (p) =1

2u1 (p) , Σ3v1 (p) = −1

2v1 (p) .

Representación B

Σ3u2 (p) = −1

2u2 (p) , Σ3v2 (p) =

1

2v2 (p) .

Lo que implica que los fermiones tiene sólo una orientación de espin y los anti-fermiones la otra. Para la primera representación los fermiones tienen una orien-tación de espín positiva (↑) y los anti-fermiones una orientación de espín negativa(↓), mientras que para la segunda representación los fermiones tienen una orien-tación de espín negativa (↓) y los anti-fermiones una orientación de espín positiva(↑) . Comparando estos resultados con los obtenidos en la sección (4.1.7), ob-servamos que para que estos concuerden se requiere de las dos orientaciones deespin para fermiones y anti-fermiones. En la siguiente sección buscaremos comoacoplar estas representaciones para tener un sistema similar de soluciones.


5.2. Representación Reducible

Habíamos visto que la dimensionalidad mínima que se necesita para cons-truir las matrices γ en (2 + 1) dimensiones es 2 × 2, pero podemos usar unarepresentación de matrices 4 × 4 para resolver la ED [8, 1]. De�nimos para larepresentación reducible las matrices:

γ0 =

(σ3 00 −σ3

), ~γ =

(i~σ 00 −i~σ

), (5.10)

donde ~γ contiene componentes γ1 y γ2 únicamente. Partiendo de la ED enel espacio de momentos, y descomponiendo el espinor en 2 biespinores de 2componentes cada uno, llegamos al sistema de ecuaciones:

(σ3E − i (σ1px + σ2py)−m)ua (p) = 0,

(−σ3E + i (σ1px + σ2py)−m)ub (p) = 0.

Es importante notar que estas ecuaciones no son acopladas, gracias a la estruc-tura diagonal de las matrices γµ. Escribimos ua (p) y ub (p) como

ua (p) =

(ua1 (p)ua2 (p)

), ub (p) =

(ub1 (p)ub2 (p)

), (5.11)

por lo que obtenemos el sistema de ecuaciones

(E −m)ua1 (p)− (py + ipx)ua2 (p) = 0,

(py − ipx)ua1 (p)− (E +m)ua2 (p) = 0,

− (E +m)ub1 (p) + (py + ipx)ub2 (p) = 0,

− (py − ipx)ub1 (p) + (E −m)ub2 (p) = 0.

Entonces tenemos cuatro soluciones linealmente independientes

ψ1 (x) =

1

py−ipxE+m

00


ψ2 (x) =

py+ipxE−m

100


ψ3 (x) =

001

py−ipxE−m



ψ4 (x) =

00

py+ipxE+m

1

e−ip·x = u4 (p) e−ip·x.

Como no son soluciones acopladas, podemos unir las soluciones dependiendo desu energía de la siguiente manera:

ψP (x) =

1

py−ipxE+mpy+ipxE+m

1

e−ip·x,

ψN (x) =

py+ipxE−m

11

py−ipxE−m

e−ip·x,

donde los subíndices P y N indican que se tratan de soluciones positivas ynegativas respectivamente. Cambiando ~p → −~p en las soluciones de energíanegativa, obtenemos que:

ψP (x) =

1

py−ipxE+mpy+ipxE+m

1

e−ip·x ≡ uP (p) e−ip·x ≡(ψaP (x)ψbP (x)

),

ψN (x) =

py+ipxE+m

11

py−ipxE+m

eip·x ≡ vN (p) eip·x ≡(ψaN (x)ψbN (x)

).

Estas soluciones se obtienen como resultado de fusionar los dos campos fer-miónicos de las dos representaciones irreducibles en uno solo. En este caso,además del término de masa usual de fermiones, puede aparecer un términoextra de masa que no es invariante bajo paridad ni inversión temporal. En lasiguiente sección analizaremos el origen y sus propiedades [17].

5.2.1. Transformaciones Quirales

Las simetrías son un aspecto fundamental para la descripción de cualquiersistema. El marco idóneo para el análisis de éstas es el formalismo del La-grangiano, donde las simetrías son transformaciones que dejan el Lagrangianoinvariante.


5.2.1.1. Lagrangiano de Dirac

Tanto en Mecánica Clásica, como en Mecánica Cuántica, podemos obtenerlas ecuaciones que rigen nuestros sistemas a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange,1 donde el Lagrangiano para el caso de la ED, es

LDirac = ψ (i 6∂−m)ψ. (5.12)

En el plano, el Lagrangiano puede ser sólo una copia del anterior, utilizando larepresentacion irreducible, mientras que para la representación reducible 4×4 delas matrices de Dirac, donde los espinores contienen información de dos camposfermiónicos, uno no puede trabajar con el Lagrangiano (5.12). Esto porque enel plano sólo se necesitan 3 matrices de Dirac para la dinámica, es decir, queexiste libertad para construir dos matrices que anticonmuten con γ0, γ1 y γ2,las cuales son:

γ3 =

(0 II 0

), γ5 = −i

(0 I−I 0

).

Esto implica que se pueden de�nir dos tipos de transformaciones Quirales:

ψ → ψ′ = eiαγ3ψ, (5.13)

ψ → ψ′ = eiβγ5ψ, (5.14)

dado que hay dos transformaciones quirales, se pueden de�nir dos tipos de tér-minos de masa, estos son:

mψψ, m0ψi

2

[γ3, γ5

]ψ = m0ψτψ. (5.15)

Este nuevo término en la literatura de materia condensada se conoce comotérmino de masa de Haldane [17]. Esto quiere decir que el Lagrangiano de Diracreducible es:

LDirac = ψ (i 6 ∂ −me −m0τ)ψ. (5.16)

Veamos las simetrías de los términos de masa en este Lagrangiano.

5.2.1.2. Simetrías

A partir de ahora, para referirnos a los términos de masa de (5.12) seguiremosla siguiente convención [17]:

Usual: Término de masa que acompaña a la bilineal ψψ.

Haldane: Término de masa que acompaña a la bilineal ψτψ.

1Ecuaciones de Euler-Lagrange:

∂µ

∂L

∂(∂µψ

)− ∂L

∂ψ= 0


En esta sección analizaremos solamente las Simetrías Discretas y Quirales [8].

Simetrías Quirales: El término usual no es invariante bajo las transforma-ciones Quirales (5.13) y (5.14), pero sí el término de Haldane.

Conjugación de Carga: El Lagrangiano reducible hereda su estructura delLagrangiano para (3+1), entonces ambos términos de masa son invariantesbajo C.

Paridad: El término usual es invariante bajo P, mientras que el términode Haldane viola esta simetría.

Inversión Temporal: El término usual es invariante bajo T , pero no eltérmino de Haldane.

CPT : El término de masa usual es invariante bajo C, P y T separadamen-te, por lo que lo es también CPT . El término de Haldane, por su parte,es invariante bajo la transformación conjunta PT , y por lo tanto CPT .

Podemos concluir que el Lagrangiano reducible, con el término usual y el términode Haldane, es invariante ante todas estas simetrías. Por lo que es importanteanalizar las soluciones del Hamiltoniano que se deriva de este Lagrangiano.

5.2.2. Soluciones de la Representación Reducible y m0

Al aplicar las Ecuaciones de Euler-Lagrange al Lagrangiano reducible, seobtiene que, el Hamiltoniano es:

(γµpµ −me −m0τ)u (p) = 0,

esto en el espacio de momentos. Si como antes descomponemos el espinor u (p)en dos biespinores, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(σ3E − i (σ1px + σ2py)− (me +m0))ua (p) = 0,

(−σ3E + i (σ1px + σ2py)− (me −m0))ub (p) = 0.

Nuevamente notemos que las ecuaciones no están acopladas. Esto es porqueahora tenemos las dos especies separadas. Escribamos ua y ub como en (5.5),entonces obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

(E −m+)ua1 (p)− (py + ipx)ua2 (p) = 0,

(py − ipx)ua1 (p)− (E +m+)ua2 (p) = 0,

− (E +m−)ua1 (p)− (py + ipx)ua2 (p) = 0,

− (py − ipx)ua1 (p)− (E −m−)ua2 (p) = 0,

donde usamosm+ = me +m0, m− = me −m0.

Las cuatro soluciones linealmente independientes, surgen de proponer los si-guientes casos :


Figura 5.3: Especies de fermiones

ua1 = 1 =⇒ ua2 =py−ipxE+m+

.

ua2 = 1 =⇒ ua1 =py+ipxE−m+

.

ub1 = 1 =⇒ ub2 =py−ipxE−m− .

ub2 = 1 =⇒ ub1 =py+ipxE+m−

.

Lo que implica que, explícitamente las soluciones a la ED con el nuevo términode masa son:

ψ1 (x) =

1

py−ipxE+m+

00


ψ2 (x) =

py+ipxE+m+

100

eip·x = v1 (p) e−ip·x,

ψ3 (x) =

001

py−ipxE+m−

eip·x = v2 (p) eip·x,

ψ4 (x) =

00

py+ipxE+m−

1


donde se observan soluciones para una especie de fermiones ligera y pesada.En el siguiente capítulo, aplicaremos lo estudiado en este capítulo para resolver


un problema fundamental en la Electrodinámica Cuántica (QED), donde nosenfocaremos en las diferencias que puedan existir al usar una representación uotra.

Capítulo 6

Fermiones en CamposMagnéticos

En este capítulo utilizaremos lo visto en el capítulo anterior para estudiarel movimiento de un fermión en presencia de un campo magnético uniforme.En otros trabajos, [8, 7], se han buscado métodos para obtener estas soluciones.Aquí veremos el tipo de ecuaciones de movimiento que se deben resolver.

6.1. Primera Representación

La Ecuación de Dirac en presencia de un campo magnético uniforme tienela siguiente forma:

(γµΠµ −m)ψ = 0, (6.1)

donde hemos utilizado la prescripción para sustitución minima Πµ → p − eAµpara incorporar los efectos del campo de manera que sea invariante de norma.Es de nuestro interés resolver la Ec. (6.1) para un campo magnético uniforme,por lo que proponemos un potencial Aµ, en la norma de Landau, donde tomala forma;

Aµ = (0,−yB, 0)

con el �n de estudiar un campo magnético perpendicular al plano. A continua-ción retomaremos lo visto en la subsección (5.1.1) donde usaremos la represen-tación dada en (5.1), la que llamaremos A, para encontrar la solución ψ para laEc. (6.1) que nos queda como:(

E −m − (iΠx + Πy)− (iΠx −Πy) − (E +m)

)(ψA1ψA2

)= 0,

de lo que resulta el siguiente sistema de ecuaciones:

(i (−i∂x + eyB) + py)ψA2 = (E −m)ψA1 , (6.2)

36

CAPÍTULO 6. FERMIONES EN CAMPOS MAGNÉTICOS 37

Figura 6.1: Campo Magnético Uniforme(∇× ~A

)(i (−i∂x + eyB)− py)ψA1 = − (E +m)ψA2 . (6.3)

Anticipando una solución del tipo onda plana proponemos

ψ(t, x, y) ∼ e(−iEt+ipx)φ(y),

al aplicarlo lo anterior en las ecuaciones (6.2) y (6.3) obtenemos que:

(i(p+ eyB) + py)φA2 = (E −m)φA1 , (6.4)

(i(p+ eyB)− py)φA1 = − (E +m)φA2 , (6.5)

proponemos el cambio de variable q = y + y0 donde y0 = p/eB, entonces setiene que:

(pq + ieBq)φA2 = (E −m)φA1 ,

− (pq − ieBq)φA1 = − (E +m)φA2 .

Al desacoplar este sistema lineal, obtenemos un sistema de ecuaciones de segun-do orden; (

−∂2q + (eB)2q2 − eB)φA1 =

(E2 −m2

)φA1 ,(

−∂2q + (eB)2q2 + eB)φA2 =

(E2 −m2

)φA2 .

dejando lo independiente de q del lado derecho, resulta lo siguiente(−∂2q +

1

4(2eB)2q2

)φA1 =

(E2 −m2 + eB

)φA1 , (6.6)(

−∂2q +1

4(2eB)2q2

)φA2 =

(E2 −m2 − eB

)φA2 . (6.7)

donde podemos identi�car las ecuaciones (6.6) y (6.7) con la Ecuación del Osci-lador Armónico (2.4) con frecuencia ω = 2eB, comparándolas con el eigenvalorde energía ε =

(n+ 1

2

)ω se concluye que [6]:

(n+

1

2

)2eB =

(E2 −m2 + eB

)=⇒ E1A

n = ±√

2neB +m2,


-6 -4 -2 2 4 6Η

2

4

6

8

10

jPAHΗL

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

-6 -4 -2 2 4 6Η

2

4

6

8

10

jNA HΗL

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

Figura 6.2: φA y sus eigenenergías para varios niveles de Landau

(n+

1

2

)2eB =

(E2 −m2 − eB

)=⇒ E2A

n = ±√

2(n+ 1)eB +m2.

Las soluciones correspondientes se pueden escribir como:

ψAP = Nn e−(i|En|t−ipx)

((|En|+m) I ′(n, p, y)

−√

2neB I ′(n− 1, p, y)

), (6.8)

ψAN = Nn e(i|En|t−ipx)

( √2neB I ′(n,−p, y)

(|En|+m) I ′(n− 1,−p, y)

). (6.9)

donde la primera corresponde a la solución para fermiones y la segunda a lasolución para anti-fermiones. Aquí los I ′n(n, p, y) vienen dados por

I ′n(n, p, y) =

(eB

π

)1/41√

2nn!In

(√eB(y − p

eB

))e−

eB2 (y− p

eB )2

,

I ′n(−1, p, y) = 0.

donde la última condición asegura la interpretación física correcta del nivel másbajo de Landau.

6.1.1. Niveles de Landau

Veamos ahora que sucede en el nivel más bajo de Landau. Si hacemos ennuestras soluciones n = 0 tenemos que;

ψAP = Nn e−(imt−ipx)− eB

2 (y− peB )

2(

10

),

ψAN =

(00

)


-6 -4 -2 2 4 6Η

2

4

6

8

10

jPBHΗL

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

-6 -4 -2 2 4 6Η

2

4

6

8

10

jNB HΗL

n=0

n=1

n=2

n=3

n=4

Figura 6.3: φB y sus eigenenergías para varios niveles de Landau

Esto quiere decir que en el nivel más bajo de Landau, sólo encontramos alfermión, el anti-fermión no vive en el nivel base. Veamos ahora que obtenemospara la segunda representación.

6.2. Segunda Representación

Para la segunda representación la que llamaremos B, usando lo visto parala primera representación, tenemos que las ecuaciones obtenidas son:(

−∂2q +1

4(2eB)2q2

)φB1 =

(E2 −m2 − eB

)φB1 , (6.10)(

−∂2q +1

4(2eB)2q2

)φB2 =

(E2 −m2 + eB

)φB2 . (6.11)

que nuevamente son del tipo Oscilador Armónico. Sus energías son, para φB1 ;

E1Bn = ±

√2(n+ 1)eB +m2, (6.12)

y para φB2 son;

E2Bn = ±

√2neB +m2. (6.13)

por lo que las soluciones correspondientes se escriben como:

ψBP = Nn e−(i|En|t−ipx)

(−√

2neB I(n, p, y)(|En|+m) I(n− 1, p, y)

), (6.14)

ψBN = Nn e(i|En|t−ipx)

((|En|+m) I(n,−p, y)√

2neB I(n− 1,−p, y)

). (6.15)

Nuevamente la primera corresponde a la solución para fermiones y la segundapara anti-fermiones.



Veamos ahora estas soluciones en el nivel más bajo de Landau. Con n = 0tenemos que las soluciones son:

ψBP =

(00

)

ψBN = Nn e(imt−ipx)+ eB

2 (y+ peB )

2(

10

),

Ahora tenemos sólo solución para anti-fermión, es decir, el fermión no vive en elnivel base. Esto es distinto a lo que obtuvimos en la primera representación don-de teníamos solución de fermión. La estructura de las ecuciones de movimientode tipo oscilador armónico, la existencia de un estado base no degenerado y elresto de los estados doblemente degenerados, nos sugiere una estructura SUSYde la ED.

En el siguiente capítulo veremos cómo mapear la Ec. de Dirac en el plano auna SUSY-QM.

Capítulo 7

Teoría SUSY de Dirac

En este capítulo introduciremos un mapeo a la Mecánica Cuántica SUSYpor medio de la ED al compararla con lo estudiado en la sección (3.1), paraposteriormente utilizar este mapeo en la solución del problema de un fermiónen presencia de un campo magnético. Para la representación irreducible, esto esun teoría conocida [3]. En este trabajo extenderemos esas ideas al caso reducible.

7.1. SUSY-QM vía la ED

Partiremos de la ED en (2+1) dimensiones en la primera representación;(γµpµ + iW (y)σ1 −m

)ψ = 0,

donde hemos introducido el término W (y), el cual tendrá la información delpotencial a estudiar. Descomponemos el espinor ψ en sus dos componentes, demodo que obtengamos:[

−(

− (E −m) ipx + py + iW (y)ipx − py + iW (y) E +m

)](ψ1

ψ2

)= 0, (7.1)

donde ψ1 y ψ2 son de la forma ψi(t, x, y) ∼ e(−iEt+ipx)φi(y). Entonces con lausual substitución px = −i∂x y py = −i∂y, la Ec. (7.1) se escribe como un parde ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas,

pφ2 − i∂yφ2 + iW (y)φ2 = (E −m)φ1, (7.2)

pφ1 + i∂yφ1 + iW (y)φ1 = −(E +m)φ2. (7.3)

Proponemos el cambio de variable W (y) = W (y) + p. Desacoplando las Ecs.(7.2) y (7.3) obtenemos un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden;

− ∂2yφ1 +[W 2 (y)−W ′ (y)

]φ1 = (E2 −m2)φ1, (7.4)

− ∂2yφ2 +[W 2 (y) +W ′ (y)

]φ2 = (E2 −m2)φ2. (7.5)

41

CAPÍTULO 7. TEORÍA SUSY DE DIRAC 42

Estas últimas son precisamente las Ecs. de Schrödinger para los compañerospotenciales supersimétricos [4],

V± (y) ≡W 2 (y)±W ′ (y) ,

donde W (y) se puede identi�car con el superpotencial, por lo que el Hamilto-niano SUSY queda como:

HA =

(H1 00 H2

)=(p2y +W 2 (y)

)I − σ3W ′ (y) .

Es fácil veri�car que los operadores de supercarga son:

QA = (py − iW (y))

(0 01 0

), (7.6)

Q†A = (py + iW (y))

(0 10 0

), (7.7)

que satifacen el álgebra de las Ecs. (3.12) y (3.13). Para la segunda representa-ción tenemos que[

−(

− (E −m) ipx − py + iW (y)ipx + py + iW (y) E +m

)](ψ1

ψ2

)= 0. (7.8)

De manera análoga que para la primera representación la Ec. (7.8) se puedeescribir como un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden;

− ∂2yφ1 +[W 2 (y) +W ′ (y)

]φ1 = (E2 −m2)φ1, (7.9)

− ∂2yφ2 +[W 2 (y)−W ′ (y)

]φ2 = (E2 −m2)φ2. (7.10)

Por lo que el Hamiltoniano SUSY queda como:

HB =

(H1 00 H2

)=(p2y +W 2 (y)

)I + σ3W

′ (y) .

Los operadores de supercarga son:

QB = (py + iW (y))

(0 01 0

), (7.11)

Q†B = (py − iW (y))

(0 10 0

), (7.12)

por lo tanto, observamos que lo que distingue el hamiltoniano de una represen-tación con el de la otra es el signo que acompaña a la matriz σ3.

HA(e− ↑ 0

0 e+ ↓

)←→

HB(e− ↓ 0

0 e+ ↑

)A continuación utilizaremos este mapeo para resolver el problema del Cap. 5para la representación reducible.


7.2. Representación Reducible

En esta sección extenderemos las ideas de SUSY-QM al caso de la ED redu-cible. Partimos de la Ec. de Dirac para la representación de matrices γµ dadaen (5.7). Utilizando nuevamente la sustitución minima:

(γµΠµ −me −m0τ)ψ = 0, (7.13)

descomponiendo el espinor de 4 componentes en biespinores, llegamos al siguien-te sistema de ecuaciones:

(σ3E − i(σ1Πx + σ2Πy)−m+)ψ+ = 0, (7.14)

(−σ3E + i(σ1Πx + σ2Πy)−m−)ψ− = 0. (7.15)

Resolvamos primero la Ec. (7.14) descompongamos el biespinor ψ+ en dos demodo que:

(i (px + eBy) + py)ψ+2 = (E −m+)ψ+

1 ,

(i (px + eBy)− py)ψ+1 = − (E +m+)ψ+

2 ,

que tienen la forma de las Ecs. (6.2) y (6.3), realizando el mismo análisis queen la sección 6.1 llegamos a:

(pq + ieBq)ψ+2 = (E −m+)ψ+

1 ,

(pq − ieBq)ψ+1 = (E +m+)ψ+

2 .

Identi�candoW (q) = 1/2 (2eB) q de las Ecs. (7.2) y (7.3), obtenemos el siguientesistema desacoplado;

− ∂2qφ+1 +[W 2 (q)−W ′ (q)

]ψ+1 = (E2 −m2

+)ψ+1 , (7.16)

− ∂2qφ+2 +[W 2 (q) +W ′ (q)

]ψ+2 = (E2 −m2

+)ψ+2 . (7.17)

Aquí, los potenciales compañeros supersimétricos son

V± =1

4(2eB)

2q2 ± eBq,

los cuales concuerdan con los vistos en el Cap. 2 para el Oscilador ArmónicoCuántico SUSY, en donde los operadores de carga son:

Q+ = (pq − ieBq)(

0 01 0

), (7.18)

Q†+ = (pq + ieBq)

(0 10 0

). (7.19)

Estos nos permiten cambiar entre estados ψ+1 ↔ ψ+

2 como en la �gura (7.1).Ahora resolvamos la Ec. (7.10). Nuevamente descompongamos el biespinor ψ−

de modo que:(i (px + eBy)− py)ψ−2 = (E −m−)ψ−1 ,


(i (px + eBy) + py)ψ−1 = − (E +m−)ψ−2 .

Análogamente a ψ+, obtenemos un sistema de ecuaciones de segundo orden quepodemos identi�carlo con el Oscilador Armónico Cuántico SUSY,

− ∂2qψ−1 +[W 2 (q) +W ′ (q)

]ψ−1 = (E2 −m2

−)ψ−1 , (7.20)

− ∂2qψ−2 +[W 2 (q)−W ′ (q)

]ψ−2 = (E2 −m2

−)ψ−2 , (7.21)

nuevamente identi�cando W (q) = 1/2 (2eB) q de las Ecs. (7.2) y (7.3). Entonceslos operadores de supercarga son:

Q− = (pq + ieBq)

(0 01 0

), (7.22)

Q†− = (pq − ieBq)(

0 10 0

). (7.23)

Los cuales nos permiten cambiar entre estados ψ−1 ↔ ψ−2 como en la �gura(7.1). Por lo que las soluciones a la Ec. (7.13) son:

ψ+1

00

= Nn e−(i|En|t−ipx)

(|En|+m+) I ′(n, p, y)

−√

2neB I ′(n− 1, p, y)00

, (7.24)

ψ+2

00

= Nn e(i|En|t−ipx)

√

2neB I ′(n,−p, y)(|En|+m+) I ′(n− 1,−p, y)

00

, (7.25)

00ψ−1

= Nn e−(i|En|t−ipx)

00

−√

2neB I(n, p, y)(|En|+m−) I(n− 1, p, y)

, (7.26)

00ψ−2

= Nn e(i|En|t−ipx)

00

(|En|+m−) I(n,−p, y)√2neB I(n− 1,−p, y)

. (7.27)

Ahora que tenemos nuestras soluciones veamos que interpretacion física pode-mos darles.


Ya que tenemos nuestras soluciones, analicemos sus expresiones en los di-ferentes niveles de Landau. Para n > 0, los niveles de energía son doblemente


degenerados, mientras que para n = 0 los dos estados son no degenerados y sonde la forma ψ+

1

00

= Nn e−(imt−ipx)− eB

2 (y− peB )

2

1000

,

00ψ−2

= Nn e(imt−ipx)+ eB

2 (y+ peB )

2

0010

.

Podemos ver entonces que en el nivel más bajo de Landau tenemos solución defermión pesado y de anti-fermión liguero. Esto es lo que físicamente esperábamosencontrar.

No existe razón alguna para suponer que los fermiones o anti-fermiones tie-nen un papel predominante respecto a sus contrapartes al elegir una represen-tación irreducible u otra para describir su movimiento. Sin embargo, es mejortrabajar siempre una representación reducible, que contiene todo el espectrode soluciones a la ecuación de Dirac y no sólo un sector. Lo interesante ahorasería encontrar dos operadores que nos permitan cambiar entre especies, es de-cir ψ+

1,2 ↔ ψ−1,2, para esto utilizaremos el lagrangiano como herramienta parafacilitarnos esta tarea.

7.3. Los Operadores Z±Esta sección expone la contribución original de este trabajo. La idea es usar

el Lagrangiano de Dirac �Reducible� para encontrar un operador invariante quenos permita distinguir entre las distintas especies de fermiones presentes. Eloperador que buscamos es el operador de proyección χ±1;

χ± =1

2(1± τ) ,

que nos permite análizar el Lagrangiano de modo que:

χ− (LDirac)χ+ = ψ+ (i 6 ∂ −m+)ψ+ + ψ− (i 6 ∂ −m−)ψ−,

donde ψ+y ψ− vienen dados por

ψ± = χ±ψ.

De modo que los dos operadores que nos permiten cambiar entre especies seránaquellos que cumplan las condiciones siguientes:

Z+ψ+(m+) = 0, Z−ψ−(m−) = 0, (7.28)

1χ+ + χ− = 1, χ2± = χ±.


Z+ψ−(m−) = ψ+(m−), Z−ψ+(m+) = ψ−(m+), (7.29)

[Z±, H] = 0. (7.30)

Podemos veri�car que estos operadores son:

Z− =

(0 0σ3 0

), Z+ =

(0 σ30 0

). (7.31)

Veri�quemos:

Z+ψ+(m+) = 0

Z+ψ+1 =

0 0 1 00 0 0 −10 0 0 00 0 0 0

(|En|+m+) I ′(n, p, y)

−√

2neB I ′(n− 1, p, y)00

= 0.

Z−ψ+(m+) = ψ−(m+)

Z−ψ+1 =

0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 −1 0 0

(|En|+m+) I ′(n, p, y)

−√

2neB I ′(n− 1, p, y)00

=

00

(|En|+m+) I(n,−p, y)√2neB I(n− 1,−p, y)

= ψ−2 .

[Z±, H] = 0

Z+H =

0 0 1 00 0 0 −10 0 0 00 0 0 0

m+ ipx + py 0 0ipx − py m+ 0 0

0 0 m− −ipx − py0 0 −ipx + py m−

HZ+ =

m+ ipx + py 0 0

ipx − py m+ 0 00 0 m− −ipx − py0 0 −ipx + py m−

0 0 1 00 0 0 −10 0 0 00 0 0 0

[Z+, H] =

0 0 m− −m+ 00 0 0 m− −m+

0 0 0 00 0 0 0

∴ [Z±, H] = 0 ⇐⇒ m− = m+

Estos operadores nos proporcionan una buena matriz de cambio de especies parael caso en el que el Lagrangiano no viola paridad, es decir cuando m0 = 0.


Figura 7.1: Diagrama de la acción de Z±

Capítulo 8

Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado las diferencias que surgen al estudiar a laEcuación de Dirac en el plano en comparación con lo que ocurre en (3 + 1)dimensiones. Las más importantes las enlistamos abajo:

Existen dos representaciones irreducibles inequivalentes para las matricesγµ.

En (3 + 1) dimensiones, existen 4 soluciones linealmente independientes.Las cuales se pueden indenti�car con; partícula (↑) , partícula (↓), anti-partícula (↑) y anti-particula (↓). Mientras que en el plano únicamenteexisten 2 soluciones linealmente independientes en la representación irre-ducible. Por lo que, el espectro de soluciones es incompleto hasta que seincluyan las 2 representaciones irreducibles.

En la representacion irreducible no se puede de�nir la simetría quiral por-que no existe una matriz 2× 2 que conmute con todas las matríces γµ.

Estas diferencias son la principal motivación para emplear una representaciónreducible que incluya las dos representaciones irreducibles. Usando esta repre-sentación reducible llegamos a las siguientes conclusiones:

El espectro de soluciones se completa, existen 4 soluciones con la mismainterpretación que se tiene en (3 + 1) dimensiones.

Se pueden de�nir no una, sino dos transformaciones quirales porque exis-ten 2 matrices

(γ3 y γ5

)que conmutan con todas las matrices γµ. Debido

a esto se pueden de�nir dos tipos de términos de masa distintos, por loque surgen dos especies de fermiones, una especie pesada y una ligera.

Ademas cada especie tiene sólo una orientación de espin para fermiones yuna para anti-fermiones, i.e.:

� Fermión con espin ↑ tendrá masa m+.

� Fermión con espin ↓ tendrá masa m−.

48

CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES 49

� Anti-fermión con espin ↑ tendrá masa m−.

� Anti-fermión con espin ↓ tendrá masa m+.

La manera usual de resolver el problema de los fermiones en presencia de un cam-po mágnetico uniforme es utilizar las soluciones del oscilador armónico cuántico.Lo novedoso de este trabajo es que hemos introducido una teoría SUSY comoherramienta matemática para solucionar dicho problema con grandes bene�cios.A continuación mencionaremos brevemente los más importantes:

Para el caso no masivo, observamos que el mapeo a SUSY-QM encajaperfectamente, ya que no hay nada que distinga entre soluciones de ψ+ yψ−.

Para el caso en el que m0 (masa de Haldane) es cero, la SUSY se rompesuavemente, pero si rede�nimos la E como

E2 = E2 −m2e

podemos quitar la ruptura de SUSY, de modo que sea un buen mapeo aSUSY-QM.

Para el caso en el que m0 6= 0, la SUSY se rompe fuertemente y no hayforma de componerla.

Podemos realizar operaciones entre los fermiones de la misma especie,

gracias a los operadores de supercarga(Q± y Q†±

)que surgen de esta

teoría.

Esta teoría SUSY nos permite distinguir fácilmente entre las solucionesde una especie u otra. Lo cual permitió innovar en la introducción de unnuevo operador (Z±) que permite realizar cambios entre especies. Esto esla contribución original de este trabajo.

En el caso del Grafeno, este operador nos permite cambiar entre las su-bredes de las redes cristalinas con forma de panal de abeja.

El próximo paso será introducir esta herramienta para otros potenciales yanalizar los nuevos operadores que puedan surgir, además de estudiar la accióndel operador Z± en sus soluciones. Esto para un futuro.

Bibliografía

[1] S. Moroz. Perturbative and non-perturbative aspects of QED3. Tesis, (NPI-CUP), (2007).

[2] K. S. Novoselov y A. K. Glein. Electric Field E�ect in Atomically thin

carbon �lms Science. J. 306. 5696 pp 666-669.

[3] M. Moreno y M. R. Méndez-Moreno, Procc. Workshop on Hihg-Energy, phe-

nomenology (1992) ed. M.A. Pérez y R. Huerta (Singapore: Word Scienti�c)pp 365-375

[4] P. Vahle, B. Ram, Introducing supersymetric quantum mechanics via the

Dirac equation. Am. J. Phys. 65, 112 (1997).

[5] S. Bruce. A supersymmetric Hamiltonian from minimal coupling. Am. J.Phys. 63. (1995) .

[6] G. Murguia, A. Raya, E. Reyes y A. Sánchez, The Electron Propagator in

External Electromagnetic Fields in low Dimensions Am. J. Phys. 78. 700(2010).

[7] Ma. de J. Anguiano y A. Bashir, Fermions in Odd Space-Time Dimensions:

Back to basics, Few Body Syst. 37, 71 (2005).

[8] E. D. Reyes, Inestabilidad del Vacio por Campos Electromagnéticos en Ba-

jas Dimensiones. Tesis, (PCF-UNAM), (2010).

[9] D. Gri�ths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentince Hall Inc.(1995).

[10] A. Das, Field Theory: A Path Integral Approach, World Scienti�c Publis-hing Compayny. (2006).

[11] F. Cooper, A. Khare y U. Sukhatme, Supersymmetry in Quantum Mecha-

nics, World Scienti�c Publishing Compayny. (2004).

[12] F. Cooper, A. Khare y U. Sukhatme. Supersymmetry and Quantum Me-

chanics. Phys. Rept. 251: 267-385 (1995).

50

BIBLIOGRAFÍA 51

[13] P. G. Freund. Introduction to Supersymmetry. Cambridge Monographs onMathematical Physics. (1986).

[14] D. Gri�ths, Introduction to Elementary Particles, Ed. WILEY-VCH(2008).

[15] F. Halzen, A. Martin, Quarks & Leptons: An Introductory Course in Mo-

dern Particle Physics, Ed, John Wiley & Sons Inc. (1984)

[16] J. Bjorken, S. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, Ed. McGraw-HillBook Company (196)4)

[17] F. D. M. Haldane, Model of a Quantum Hall E�ect without Landau Levels:

Condensed-Matter Realization of the �Parity Anomaly�, Phys. Rev. Lett.61, 2015 (1988).

Documents

Mapeo a una Mecánica Cuántica SUSY para la ecuación de ...raya/tesis/sortiz.pdf · del Oscilador Armónico Cuántico, el cual nos servirá como herramienta bási-ca para el desarrollo