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Aula 2: Funções . Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Aula 2 – p.1/57

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Aula 2: Funções .

Margarete Oliveira Domingues

PGMET/INPE

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Definição e representação

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Função

Definição:

Uma função

de um conjunto�

em um conjunto

,��� � � �

é uma correspondência que associa a cadaelemento � � �

um único elemento � � �

.

O elemento � é chamado imagem de � por

, e denota-se� � � � .

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Função

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Conj. Imagem

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Função Injetora

��� � ��� , então� � � � � � ��� �

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Função Sobrejetora

Imagem é o próprio contradomínio

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Função Bijetora

Injetora e sobrejetora

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Exemplos

� � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � ����

� � � � � � ���

� �

� � � � � � � � ��

� � � � � ��

� � � �� � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � ���� � �

� � �

� � � �

� � �

� � � �

� � � � �

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Esboço de algumas funções

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Esboço de algumas funções

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Limitantes

Se M é um limitante superior � � � ��� � � � �

Se m é um limitante inferior � � � � � � � � � �

� � � é limitada � �� � � ��� em um intervalo.

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Seqüências

Seqüências são um conjunto de muitos númerosarranjados podendo ou não exibir determinadospadrões.

Uma seqüência de números reais é uma função��� � � �

. Ou seja, uma seqüência pode serdenotada por

� � ��

� ��

� � �� � � ou

��� �

.

Exemplo

A seqüência de números

��

��

�� �

�� é representada com

a notação

��

�� �

.

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Funções Contínuas

Seja

� � ��� � � � � � e/ou

� �.

Definição:��� � � �

e � � �

, diz–se que

�é contínua em � � para

qualquer � � � dado, existir um� � � ;

� � ��

� � � � � � � � � � � �

��� � � �

é contínua em um ponto � � �

se, e somente se,para toda sucessão

� � �em

� � � � � � � � para toda seqüência � � � �

em que � � � �

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Funções Contínuas

Se � �

e

é contínua em

,

é dita contínua àdireita.

Se � � e

é contínua em �,�

é dita contínua àesquerda.

não é contínua à esquerda em � �

.

��� ��� � � ��

� � �

�� se � �

�� se � � �

é contínua à esquerda em � �

.� � � � ��

� � � �� se � � �

� �

� se � � �

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Funções contínuas(Operações)

Sejam

�� �� � � �

função contínuas em um ponto � � �

.Então:

� � � é contínua em �;

�� � é contínua em �;

Se

� � � � � � � � �

,então a função

� � � � � é contínuaem �;

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Máximo e Mínimo

Se ��� é um ponto de un intervalo tal que

máximo absoluto � � � �� � � � � � � � �

mínimo absoluto � � � � � � � � � � � � �

Se isso é válido apenas em uma vizinhança

� � � � � �

� � � é dito ter um máximo relativo

� � � é dito ter um mínimo relativo

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Máximo e Mínimo

Seja

�� � ��

� � � �

uma função real contínua definidaem um intervalo fechado

� ��

� �

. Então,�

assume ummáximo e um mínimo em [a,b].

Seja

�� � ��

� � � �

uma função contínua em umintervalo fechado

� ��

� �

. Então,

é limitada.

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Funções monótonas

Seja

��� � � �

, para � � � ��� tem–se que

é dita monótona crescente se� � � � � � ��� �

é dita monótona decrescente se

� � � � � � ��� �

é dita monótona não–decrescente se

� � � ��� � ��� �

é dita monótona não–crescente se

� � � � � � �� �

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Funções monótonas

Ex: Funçõesmonótona crescentemonótona não–decrescente

ba

f(x)

x

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Funções inversas

Definição:Se � é uma função de �, denotada por

� � � , então, � éuma função de � denotada por � � �

� � �

Troca-se o � por � pode–se considerar � � �� � �

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Funções inversas

Ramo Principal:Se

� � � é uma função de valor simples,� �� � � pode ser

uma função de valores múltiplos. Cada coleção dessesvalores múltiplos é chamada de ramo. Ex:

� � � � � � � � � �� �, que é uma função de

múltiplos valores, desde que para cada � em �� �� �

existem muitos valores de �.

� � � �� � �

� �� �

� � � � �� �

� �� .

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Funções Compostas

Se

é uma função

em

e � é uma função de

em

,então a função composta �� �

é uma função de

em

,definida por

�� � � � � � � � � �� � � � ��

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Tipos de Funções

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Funções Polinomiais

Funções polinomiais tem a forma

� � � �� � � � �� � � �� ��� � � � � � �

� � � � �

em que ��� � � � � � � são constantes e � é um inteiro positivochamado de grau do polinômio se � � � �

.

O Teorema fundamental da álgebraToda a equação polinomial

� � � �

possui pelo menosuma raiz.Se o grau de um equação é � � raízes

(contando as raízes repetidas de mutiplicidade � como �

raízes)

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Funções Lineares

��� � � �

definidas por

� � � � � � ��

para todo �� ��

� � �

.

Dada uma reta

em um plano coordenado

�� � � , ela é o

gráfico de uma função linear se não for paralela ao eixo �;caso contrário, a equação de retas paralelas ao eixo � seria

da forma � �.

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Funções algébricas

Funções algébricas � � � � satisfazem equações daforma

�� � � � � � �� � � � � �� �� � � � � � �

� � � � � � � � � �

em que �� � �� � � � � � � � � são polinômios em �.função racional algébrica

� � � �� � �

função irracional algébrica

Em analogia com números reais:

polinômios correspondem aos números inteiros

funções racionais aos números racionais

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Funções Transcendentais

Definição:Funções que não são algébricas

Função exponencial:

� � � � �� � � ���

.

Função logarítmica:

� � � � � ���

�� � � ��

Funções trigonométricas

Funções trigonométricas inversas

Funções hiperbólicas definidas em termos deexponenciais

Funções hiperbólicas inversas e seus valoresprincipais

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Características de funções

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Esboço de algumas funções

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Limite

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Limite

Seja uma função

��� � � �

,

� � �

, e um ponto � nãonecessariamente pertencente a

. Supõem–se que existaum número

� � �

tal que

� � � se aproxima de

, quando �

se aproximar de �, com � � �. Quando isto acontecerdiz–se que

é o limite de

, em �, e escreve–se:

�� �

� ��

� � � �

ou� � � � �� com � � ��

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Limite (Definição)

Dados uma função

��� � � �

e um ponto de acumulação

� de

, diz-se que um número

é limite de

�em �, e

escreve–se:

�� �

� ��

� � � �

ou

� � � � �� com � � ��

quando vale a seguinte condição:Para todo � � � , existe

� � � � � � tal que:

� � ��

� � � � � � � � � � � ��

Não importa quão pequeno seja o número � � � dado; se

�� � � ��

� � � �

, é sempre possível encontrar

� � � � � �

de modo que essa relação seja válida. Aula 2 – p.32/57

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� � � �� ��

� �� � � � �

� � � � � � ��

�� � � ��

� � � �

.

�� �

� ��

�� ��

� �� � � � �

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Propriedades

Sejam

�� � � ��

� � � �

e

�� � � �� � � � �

�� � � �� � � � � � � � � �

�� � � ��

� � �� � �

�� � � �

Se uma função não é localmente limitada no ponto �, então

não existe

�� � � ��

� � � . Por outro lado, sendo

� � � local-

mente limitada em �, não se pode dizer que o limite em �

exista.

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Continuidade

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Definição

Uma função

é contínua em um ponto � significa que

� � �

existe e que

leva pontos próximos de� � � .

Uma função

� � � � �

é contínua em um ponto � � �

se,dado um � � � , existe um

� � � tal que

� � ��

� � � � � � � � � � � ��

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Condições de continuidade

Se o domínio de

for um intervalo,

� �� � � , � � �

� � �

existe

�� � � ��

� � �

�� � � ��

� � � � � �

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Ex.

� � � � � e � � � � � são contínuas em qualquer ponto

� � �

.

� � � � �� são contínuas em

�� � � , para �� � � �

.

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Derivada

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Derivada

De um ponto de vista geométrico o conceito de derivadaestá relacionado com o de tangência.

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Ponto de vista da Dinâmica

Derivada como taxa de variação

A velocidade escalar (instantânea) é uma derivada.

A aceleração

Isto é, a medida da evolução de uma grandeza quando uma

outra, da qual ela depende, varia..A velocidade, por exem-

plo, é a taxa de variação do espaço com relação ao tempo.

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Definição

Seja

��� � � �

e � um ponto acumulação de

�. A função�

é derivável em � se existir o limite

� � � � �� �

� ��

� � � � � �

� �

em que

� � � � é chamado de derivada de

em �. Há váriasnotações para derivadas, sendo � � � � têm–se porexemplo,

� �� � � � ��� �

� ��� �

� ��������� �

� �� ��

� �� �

�������� �

�� �

� � ��

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Funções deriváveis (Operações)

Seja

��� � � �

, �� � � �

e � um ponto no interior de

.

� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �

� � � �� � � � � �

Se f e g são deriváveis em � e � � � � �

, então

� � � éderivável em � e

� � � � � � � � � � � � � �

� � � � � �

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Seja

��� � � �

uma função definida num intervalo

, a qual

é derivavél no interior de�

. Se existir um máximo local em

um ponto � � �

, então� � � � �

.

Aula 2 – p.44/57

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Regra da cadeia

Sejam

�� � � �

e �� � � �

duas funções reais definidasem intervalos

��

, respectivamente, tais que

� � � � �

e� � � é um ponto interior de

e

seja derivável no ponto �.Então, a função composta �� ��� � � �

é deriváveis em c evale a fórmula

�� � � � � � �� � � � � � � �

Aula 2 – p.45/57

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Teorema do valor médio

Seja

��� � ��

� � � �

uma função contínua definida numintervalo fechado

� ��

� �

. Supõem–se que�

seja derivávelno intervalo aberto

��

� �

. Então existe � � ��

� �

, tal que

� � � � � � � � � �

� � �

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Taylor

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Fórmula de Taylor

Seja

��� � ��

� � � �

uma função contínua definida numintervalo fechado

� ��

� �

. Supõem–se as derivadas� �� ��

� �� ��

� � � �� � � � � � � �

existam e sejam contínuas em

� ��

� �

.Seja � um ponto qualquer fixado em

� ��

� �

Então, para cada� � � ��

� �

, � � �, existe um ponto�

entre � e � tal que:

� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� � � � � �� �

� � � � � � � ���

� � ��

� � � � �

� � � �� � � � � � � � ���

Para � �essa fórmula expressa o Teorema do valor mé-

dio.Aula 2 – p.48/57

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Polinômio de Taylor

Uma idéia básica em análise numérica é a de usarfunções simples, usualmente polinômios, paraaproximar uma dada função.

O problema é achar um polinômio

o qual concordacom uma função

e algumas de suas derivadas deordem � em um ponto

�dado.

Aula 2 – p.49/57

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Polinômio de Taylor

Pode ser provado que se

é uma função com derivada deordem � em um ponto

, então, existe um único polinômio�

de grau

� � o qual satisfaz as � � � relações

� � � � � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

A solução dessas relações é o polinômio de Taylor,

� � � �

� �� � � �

� �

� � � ��

Aula 2 – p.49/57

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Erro

O erro dessa aproximação é dado por� � � � � � � � � � . Se

possuir derivadas contínuas deordem � � � em algum intervalo contendo

, então paracada � no intervalo o erro pode ser expresso como

� � � � � � �� �� �

� � � � �

� � � � ���

em que

�� � � �.

Aula 2 – p.50/57

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Método de Newton-Rapson

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Idéias

proposto Isaac Newton em 1687

sistematizado por Joseph Rapson em 1690.

Combina: linearização e iteração.

Na linearização procura–se substituir uma certavizinhança de um problema complicado por umaaproximação linear ( Taylor )

Processo iterativo, ou aproximações sucessivas,consiste na repetição sistemática de um procedimentoaté que seja atingido o grau de aproximação desejado.

Aula 2 – p.52/57

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Método (idéias)

Aula 2 – p.53/57

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Método

a linearização consiste em substituir a curva � � � �

por retas tangentes a essa curva.

Seja �� uma aproximação inicial da raiz, a primeiraaproximação é uma reta tangente a esse ponto. Oponto em que essa reta intercepta o eixo � é obtidoum novo valor de � � � . Repete-se o processo.

Aula 2 – p.54/57

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(Cont.)

� � � � �

� �� �

�� ��� � � �� �

reorganizando os termos

��� �� � �� �

� � �� �

na próxima iteração��� ���

� ��� �� � �� ��

Aula 2 – p.55/57

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Posto isto, tem–se que

� � �� � � � � ��

� � � �� � ���

��

� � � �

Aula 2 – p.56/57

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Fim do TOMO II

Aula 2 – p.57/57