Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Marija Kovacevic
A R H I M E D
VELIKI PRIMIJENJENI MATEMATICAR
U STAROJ GRCKOJ
Diplomski rad
Osijek, 2012.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Marija Kovacevic
A R H I M E D
VELIKI PRIMIJENJENI MATEMATICAR
U STAROJ GRCKOJ
Diplomski rad
Mentor:
doc. dr. sc. Tomislav Marosevic
Osijek, 2012.
Sadrzaj
1. Uvod 3
1.1. Arhimedova biografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Sacuvana djela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Matematicki doprinosi 9
2.1. Izracunavanje broja π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Arhimedova spirala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Mehanicka metoda za izracunavanje povrsina . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Povrsina odsjecka parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Teziste tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6. Volumen kugle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. Mehanicka trisekcija kuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8. Povrsina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Brojanje pijeska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Ostali radovi 21
3.1. Arhimedov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Arhimedov vijak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Parabolicna zrcala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Arhimedov utjecaj u 16. stoljecu 24
4.1. Gvido Ubaldi del Monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Simon Stevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3. Razvoj strojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4. Niccolo Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5. Giambattista Benedetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6. Giambattista della Porta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Literatura 30
2
1. Uvod
1.1. Arhimedova biografija
Arhimed (287.-212. g.pr.Kr.) se rodio u Sirakuzi na otoku Siciliji. Njegov je otac, astronom
Fidije, bio rodak s vladarom Sirakuze Hierom. Arhimed je studirao u Aleksandriji gdje je
upoznao matematicara Eratostena s kojim se i poslije dopisivao. Prvi su njegovi radovi bili
iz mehanike (statike). U matematickim se radovima cesto oslanjao na mehaniku, posebice
na zakon poluge, koji je koristio pri rjesavanju mnogih matematickih zadataka.
Slika 1. Arhimed
Arhimedovi su glavni rezultati u mehanici vezani za zakon poluge, za teziste tijela
i poznati Arhimedov zakon plivanja. Pored toga dao je znacajne rezultate kao inzenjer,
konstruktor mehanizama, mehanickih uredaja i vojnih oruzja. Znacajne je doprinose dao
i razvoju matematike.
U Grckoj je postojala razlika izmedu teorije i primjene. Obican racun, koji se koristio
u trgovini, zvao se logistika i bio je izvan zanimanja grckih znanstvenika. Arhimed je
logistiku primijenio u fizici i dao novo tumacenje zakona poluge.
Vec je i Aristotel u svojoj Fizici objasnio neke fizikalne pojave. Zakon je poluge
objasnio rotacijom nejednakih krakova poluge oko oslonca za koje kruzni lukovi koje
opisuju krajnje tocke poluge imaju razlicite polumjere. Zbog toga je za kruzni luk veceg
polumjera staza bliza prirodnom gibanju, koje je vertikalno i pravocrtno, pa je zbog toga
3
i potrebna manja sila. Na osnovi toga je tvrdio da su utezi u ravnotezi, ako su obrnuto
razmjerni s njihovim udaljenostima od uporista (oslonca).
Dokaz je bio spekulativan, kvalitativan i nije bio zasnovan na mjerenju. Razvojem
tehnike u prvi su plan dosli problemi statike. Tehnika gradenja i vojna tehnika bile su u
svezi s pojmovima ravnoteze i tezista. U osnovi navedenih tehnika bila je poluga i na njoj
zasnovani mehanizmi, koji su omogucavali podizanje veceg tereta uz uporabu manje sile.
Otuda je i nastao naziv mehanika, koja je znacila orude, uredaj, pa i kazalisni stroj. U
tijeku mnogih stoljeca ona je smatrana znanoscu o jednostavnim mehanizmima. U osnovi
tih mehanizama bila je teorija poluge, koju je Arhimed izlozio u radu O ravnotezi ravnina.
Arhimed je zasnivao teoriju poluge na aksiomima:
1. Jednaki tereti na jednakim udaljenostima su u ravnotezi, dok na nejednakim udal-
jenostima nisu u ravnotezi, vec preteze onaj teret koji je na vecoj udaljenosti.
2. Ako se teretima koji su u ravnotezi na jednoj strani pridoda neki teret, tada oni
nisu u ravnotezi, vec ce prevagnuti onaj teret kojem je dodan neki teret.
3. Isto tako, ako se na jednoj strani oduzme dio tereta, poluga nece biti u ravnotezi, a
prevagnut ce ona strana na kojoj nije nista oduzeto.
Navedeni aksiomi su provjereni iskustvom.
Polazeci od navedenih aksioma Arhimed je poopcavanjem i mjerenjem konacno dokazao
da su tereti na poluzi u ravnotezi na udaljenostima, koje su obrnuto razmjerne s tezinama.
Ako je poluga ucvrscena u sredini i ako su jednaki utezi postavljeni na krajevima i treci u
sredini, sustav je zbog simetrije u ravnotezi. Ako se na desnoj strani poluge uteg s kraja
i onaj treci u sredini premjeste na polovicu desnog kraka poluge, tad je sustav ponovno u
ravnotezi. To znaci da uteg na lijevoj strani udaljen dvije jedinice udaljenosti od oslonca
drzi ravnotezu dvama utezima, koji su udaljeni za jednu jedinicu. U izvodenju je, slicno
kao i Tales u matematici, Arhimed cesto koristio pojam simetrije.
Koja je razlika izmedu Aristotelova i Arhimedova pristupa pri tumacenju poluge? Kao
sto je vec receno Aristotelov pristup je bio kvalitativan, dok je Arhimed pri izvodenju za-
kona poluge koristio kvantitativne iznose i logisticke pojmove. Sve je zasnovao na iskustvu
i zakon se poluge mogao izraziti i matematicki. Arhimedov rad O ravnotezi ravnina ima
znacajke Euklidove aksiomatike. Naime, Arhimed je iz jednostavnih aksioma mehanike,
koji su zasnovani na mjerenju, izvodio slozene tvrdnje. Uz Arhimedovo se ime vezivala i
izjava:
“Dajte mi cvrstu tocku u prostoru i dici cu citavu Zemlju.”
4
Slika 2. “Dajte mi cvrstu tocku u prostoru i dici cu citavu Zemlju.”
Osim zakona poluge u navedenoj je knjizi Arhimed odredio tezista trokuta, paralel-
ograma, trapeza i segmenta parabole. Pretpostavio je da je pojam tezista poznat i na
pocetku knjige je naveo aksiome o tezistu. Definiciju tezista nije dao, medutim, njegovu
definiciju nalazimo mnogo kasnije u jednom radu Pappusa. Arhimed je vrlo slicno postu-
pao i u djelu O tijelima koja plivaju. U tom je radu Arhimed dao poznati zakon, kojeg
danas nazivamo Arhimedovim zakonom, a osnovni je zakon hidrostatike.
Prema legendi poticaj je dobio od vladara Sirakuze Hiera koji mu je dao zadatak da
ispita je li mozda kovac koji je iskovao zlatnu krunu pridodao i jeftinijeg srebra. Arhimed
je mogao tocno izvagati krunu, ali nije znao kako joj odrediti obujam. Prema legendi
Arhimed se dosjetio kako odrediti obujam nekog nepravilnog tijela, kao sto je kruna, kad
je ulazio u kadu u javnom kupalistu. Naime, iz pune se kade kad se u vodu stavi neko
tijelo, voda prelijevala i trebalo je odrediti obujam te vode. U legendi se navodi da je,
kad je to shvatio, istrcao iz kupalista vicuci “heureka”, tj. otkrio sam. Usporedivao je
tezine razlicitih tijela, a istog obujma. Nije uveo pojam specificne tezine, naime Grci nisu
koristili razlomke, nego su sve izrazavali razmjerima. U 17. stoljecu istim se pitanjem bavio
i Dubrovcanin Getaldic, a ta su razmatranja vodila do pojma specificne tezine. Medutim,
poticaj da dode do zakona, koji danas zovemo Arhimedovim, mogao je biti i drugaciji.
Sirakuza je bio grad koji je imao brodogradiliste. Plivanje brodova rjesavano je
prakticno, a teorijsko je tumacenje moglo za Arhimeda biti poticaj. Iz legende slijedi
da je Arhimed do zakona dosao rjesavajuci zadatak u svezi sa zlatnom krunom. No, za
taj zadatak nije bio potreban Arhimedov zakon, nego samo mogucnost odredivanja obu-
jma i tezine krune i zlata. Stoga je vjerojatno da je Arhimedov motiv bio dublji, te da
ga nije samo zanimao uvjet plivanja, nego i pitanja u svezi sa stabilnom ravnotezom ti-
jela koja plivaju, a koja su razlicitog geometrijskog oblika. Rad O tijelima koja plivaju
Arhimed je zapoceo s vaznom tvrdnjom da “povrsina svake tekucine, koja miruje, ima
5
oblik kugle, kojoj se srediste podudara sa sredistem Zemlje”. Zatim je dokazao da se ti-
jelo jednake specificne tezine s tekucinom (pojam specificne tezine nije uveo te on kaze
“tijelo u ravnotezi s tekucinom”) uranja u tekucinu toliko da mu se povrsina podudara
s povrsinom tekucine. Lakse se tijelo uranja toliko da obujam tekucine, koji odgovara
potopljenom dijelu tijela, ima jednaku tezinu kao cijelo tijelo. Logickim je rasudivanjem
dosao do formulacije koja sadrzi njegov zakon. Navest cemo samo 7. stavak:
“Tijelo teze od tekucine, stavljeno u tu tekucinu, bit ce potopljeno u tu tekucinu do
samog dna, i u tekucini je lakse toliko kolika je tezina tekucine koja ima obujam jednak
obujmu uronjenog tijela.”
U ostalim je stavcima Arhimed raspravljao o uvjetima ravnoteze tijela koja plivaju,
a imaju razlicite oblike. Dalji je razvoj statike i hidrostatike nastavljen tek krajem 16. i
pocetkom 17. stoljeca u radovima Stevina, Galileija, Pascala i drugih.
Arhimed je bio i vrlo znacajan inzenjer staroga vijeka. Bio je dvorski inzenjer (na
dvoru vladara Sirakuze Hiera), konstruktor razlicitih mehanizama i uredaja, a posebice
ratnih mehanizama. Konstruirao je vijak poznat kao Arhimedov vijak, koji je sluzio za
podizanje vode pri navodnjavanju. Za podizanje tereta konstruirao je sustav kolotura,
koji se naziva Arhimedovo koloturje. Mnogo je vremena utrosio na vojne zadatke. Na to
je bio prisiljen polozajem Sirakuze. Predosjecao se vojni sukob s Rimom. U planovima
obrane vojna je tehnika zauzimala znacajno mjesto. Pod rukovodstvom Arhimeda gradani
Sirakuze su nacinili vise raznih vojnih strojeva za razlicita djelovanja. Prema izvjestajima
razlicitih autora pokusaj rimskog zapovjednika Marcela da se suprotstavi ratnoj tehnici
Arhimeda pretrpio je poraz. Ipak, Arhimedovi su izumi bili preuvelicavani, npr. da je
konstruirao zeljeznu ruku koja preko zidina grada prevrce neprijateljske brodove, ili da je
pomocu udubljenog sfernog zrcala zapalio jedra neprijateljskih brodova.
Slika 3. Arhimedovova pogibija.
6
Prema legendi poginuo je crtajuci u pijesku svoje krugove za vrijeme napada rimske
vojske na Sirakuzu. Navodno se suprotstavio rimskom vojniku rijecima “Ne diraj moje
krugove!” (Noli turbare circulus meos!), a ovaj ga je ubio, jer su te rijeci vrijedale pobjed-
nika.
1.2. Sacuvana djela
Arhimed je svoja djela napisao na dorijskom grckom, dijalektu koji se govorio na Sirakuzi.
Nisu sva napisana djela sacuvana, te se za neke od njih zna da su postajala samo iz referenci
drugih, kasnijih, autora. Djela je skupio bizantski arhitekt Izidor iz Mileta (oko 530 po.
Kr.), dok su komentari Arhimedovih djela, koja je napisao Eutocijus u 6. stoljecu, pomogla
da djela postanu poznatija sirem auditoriju. Arhimedova djela je na arapski preveo Tabit
ibn Kura u 9. stoljecu, a na latinski Gerard iz Kremone u 12. stoljecu. Tijekom renesanse,
djela su mu prvi put tiskana u Baselu 1544. godine.
O ravnotezi ravnina (dva toma)
U prvoj knjizi s 15 propozicija i 7 postulata, te u drugoj s 10 propozicija Arhimed
objasnjava zakon momenta.
Kvadratura parabole
U djelu koje se sastoji od 24 propozicije, Arhimed dokazuje na dva nacina da je povrsina
zatvorena s parabolom i pravcem jednaka 43povrsine trokuta kojega cini tetiva i vrh koji
se nalazi na paraboli.
O sferi i valjku (dva toma)
Djelo sadrzi rezultat na koji je Arhimed bio najponosniji – o vezi sfere i opisanog joj
valjka. Volumen sfere je 43πr3, dok je volumen valjka 2πr3. Povrsina sfere je 4πr2, dok je
povrsina valjka 6πr2. Volumen sfere je 23volumena valjka. Sliku sfere upisane u valjak je
Arhimed dao uklesati na svoj nadgrobni spomenik.
O spiralama
Djelo sadrzi 28 propozicija o onome sto danas zovemo Arhimedova spirala.
O konoidama i sferoidima
U djelu s 32 propozicije je Arhimed racunao povrsine i volumene dijelova konusa, sfera i
paraboloida.
O plovecim tijelima (dva toma)
U prvom dijelu Arhimed izrice zakon o ravnotezi fluida i dokazuje da voda zauzima
sferni oblik oko centra gravitacije. U drugom dijelu izracunava ravnotezni polozaj di-
jelova paraboloida, sto je vjerojatno idealizacija oblika dna broda, jer se dijelovi tijela
7
nalaze ispod povrsine vode, a dio iznad povrsine.
O mjerenju kruznice
Ovo kratko djelo sadrzi svega 3 propozicije, a napisano je u obliku korespodencije s Dosite-
jem s Pelusije. U drugoj propoziciji Arhimed pokazuje da je broj π veci od 22371
i manji
od 227. Druga aproksimacija se koristila kroz srednji vijek, a i danas se koristi kada je
potrebna gruba aproksimacija.
Brojanje pijeska
U ovom djelu je Arhimed izbrojao broj zrnaca pijeska koliko stane u svemir. Knjiga
spominje heliocentricni sustav kao i ideje o velicini Zemlje i njenoj udaljenosti od drugih
tijela. Koristeci sustav brojeva temeljen na mirijadama (mirijada je 10 000), Arhimed je
zakljucio da je broj zrna pijeska u svemiru 8 · 1063.
Kako ih drugi autori spominju, zna se da su izgubljena sljedeca djela: Poliedri, O
polugama, Princip, O tezistu, Kalendar.
8
2. Matematicki doprinosi
2.1. Izracunavanje broja π
U euklidskoj geometriji se broj π definira kao omjer opsega i promjera kruznice
π =O
2r.
Najranije aproksimacije su bile vrlo netocne. Primjerice, u Bibliji (vidi [5]) stoji:
“Tada od rastaljene kovine izli more koje je od ruba do ruba mjerilo deset lakata; bilo je
okruglo naokolo, pet lakata visoko, a u opsegu, mjereno vrpcom, imalo je trideset lakata.”
(1 Kr 7:23) odakle slijedi da je
π =O
2r=
30
10= 3.
Koristeci Eudoksovu metodu ekshaustije, koja je na stanoviti nacin integracija, Arhi-
med je dosao na ideju da broj π aproksimira upisivanjem i opisivanjem pravilnih mno-
gokuta u i oko kruznice, dupliranjem njihovih stranica, pocevsi sa sesterokutom.
Ilustrirat cemo Arhimedovu metodu (vidi [7]) postupkom za upisani sesterokut i
dvanaesterokut.
Slika 4. Upisan pravilan sesterokut i dupliranje stranica radi dobivanja dvanaesterokuta.
Pravilni sesterokut upisan u kruznicu ima stranicu duljine jednake polumjeru kruznice,
odnosno 12, pa je prva donja aproksimacija broja π
π ≈6 · 1
2
1= 3.
9
Dupliranjem broja stranica, na slici naznaceno isprekidanom crtom, u kruznicu up-
isujemo 12-erokut. Izracunajmo duljinu stranice tog 12-erokuta, na slici oznacenu s x.
Kako tocka T raspolavlja stranicu pravilnog sesterokuta, to je po Pitagorinom poucku
|ST | =
√(1
2
)2
− |TA|2 =
√(1
2
)2
−(1
4
)2
=
√3
4,
te je, kako je |TA′| = 12− |ST | = 1
2−
√34, opet po Pitagorinom poucku
x =√|TA′|2 + |TA|2 =
√√√√(1
2−
√3
4
)2
+
(1
4
)2
=
√1
2−
√3
4
pa je nova donja aproksimacija za π omjer opsega pravilnog 12-erokuta i promjera kruznice,
odnosno
π ≈12 ·
√12−
√34
1≈ 3.105829.
Analogno se postupa i s opisanim sesterokutom, dvanaesterokutom. . . cime se do-
bivaju gornje aproksimacije broja π. Sve aproksimacije do 96-erokuta, dokle je stigao
Arhimed, su prikazane u tablici gdje n oznacava broj stranica upisanog ili opisanog
pravilnog mnogokuta, π′ donju aproksimaciju, tj. aproksimaciju upisanim mnogokutom,
a π′′ gornju aproksimaciju.
n π′ π′′
6 3 3.4641
12 3.1058 3.2154
24 3.1326 3.1599
48 3.1394 3.1461
96 3.1410 3.1428
Dosavsi do pravilnih 96-erokuta, Arhimed je zakljucio da je
310
71< π < 3
1
7.
Arhimed je bio svjestan da bi upisivanjem i opisivanjem veceg broja poligona dobio bolju
aproksimaciju.
2.2. Arhimedova spirala
Arhimedova spirala je putanja tocke koja se krece jednoliko po pravcu koji jednoliko rotira
oko polazista te tocke. Prema tome je njena polarna jednadzba
r = aφ
2π
10
gdje je a udaljenost tocke od polazista O nakon jednog punog okreta. Arhimed je izracunao
da povrsina dijela te spirale koji nastaje tokom jednog punog okreta iznosi a2π3, odnosno
iznosi trecinu kruga.
Promotrimo sliku
Slika 5. Arhimedova spirala
Podijelimo puni kut na n dijelova i promatramo upisane odnosno opisane kruzne
isjecke (OAB i OCD na slici). Neka je S zbroj svih povrsina upisanih kruznih isjecaka,
a S ′ zbroj svih povrsina opisanih kruznih isjecaka. Kruzni isjecak OAB ima povrsinu
jednaku pola radijusa rA puta duljina luka AB. Kako je
φA =2iπ
n, rA = a
φA
2π=
ai
n,
a duljina luka AB iznosi rA∆φ, ∆φ = 2πn
(za i = 0, 1, . . . , n− 1) imamo da je ta povrsina
jednakaπ
n·(ia
n
)2
pa je
POAB =rA · rA∆φ
2=
1
2
(a · in
)2
· 2πn
=πa2
n3· i2,
odnosno
S =n−1∑i=0
π
n
(ia
n
)2
=πa2
n3
n−1∑i=0
i2 =πa2
n3· (n− 1)n(2n− 1)
6<
πa2
3.
Analogno je
S ′ =n∑
i=1
π
n·(ia
n
)2
=πa2
n3· n(n+ 1)(2n+ 1)
6>
πa2
3.
Kako je
S < P < S ′
i
S <πa2
3< S ′
za sve n, slijedi da je (jer je S ′ − S = πa2
nsto tezi k nuli kada n → ∞) trazena povrsina
P =πa2
3.
11
2.3. Mehanicka metoda za izracunavanje povrsina
U starom je vijeku bilo poznato da ce vaga, kojoj na lijevoj strani na udaljenostima
d1, d2,. . . , dn od sredista stavimo utege masa m1, m2,. . . , mn, a na desnoj strani na
udaljenostima d′1, d′2,. . . d
′k od sredista utege masa m′
1, m′2,. . . , m
′k biti u ravnotezi ako
vrijedin∑
i=1
dimi =k∑
i=1
d′im′i.
Slika 6. Kako je 2 · 2 + 4 · 2 = 1 · 3 + 3 · 3, to je vaga u ravnotezi.
Tu je cinjenicu Arhimed iskoristio za racunanje povrsina nekih ravninskih likova.
Ilustrirat cemo metodu na primjeru racunanja povrsine lika
A = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2},
odnosno lika kojega omeduje parabola y = x2 i os x na podrucju od x = 0 do x = 1.
Na negativni dio osi x nanesemo trokut B definiran s
B ={(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 0,
x
2≤ y ≤ −x
2
}.
Trokut B ima teziste u tocki T (−23, 0).
Slika 7. Izracunavanje povrsine ispod parabole mehanickom metodom
Odaberimo tocku x0 ∈ ⟨−1, 0⟩. Tada pravac x = x0 presijeca trokut B u duzini
duljine |x0|, sto je isto kao kad bi u tocki x0 bila smjestena masa |x0|, pa bi bilo
x0 · x0 = x20 = 1 · x2
0
12
gdje desnu stranu intepretiramo kao da je u tocki P (1, 0) postavljena masa x20. Ako sada
postavimo masu m(A) u tocku P , a masu m(B) u tocku T , onda je
1 ·m(A) =2
3·m(B)
odakle, zbog m(B) = 12, dobivamo
m(A) =1
2· 23=
1
3.
2.4. Povrsina odsjecka parabole
Povrsinu odsjecka parabole je Arhimed izracunao na sljedeci nacin koristeci ovo svojstvo
parabole (vidi sliku 8): ako tangenta AB dira parabolu u tocki P , a tetive A1B1, A2B2,
A3B3,. . . su paralelne tangenti, tada polovista tih tetiva, tocke C1, C2, C3, . . . leze na
jednom pravcu koji je paralelan s osi parabole i prolazi tockom P .
Slika 8. Polovista tetiva paralelnih s tangentom leze na pravcu.
Nadalje vrijedi|A1C1|2
|PC1|=
|A2C2|2
|PC2|=
|A3C3|2
|PC3|= . . . (1)
Promatrajmo sada odsjecak parabole omeden lukom parabole APB i tetivom AB
(vidi sliku 9). Tetivu AB nazivamo osnovicom, a diraliste P tangente zovemo vrhom.
Tocka C je poloviste osnovice. Prema svojstvu (1) pravac PC paralelan je s osi parabole.
U odsjecak parabole upisemo trokut APB, a oko nje opisemo paralelogram ABMN .
13
Slika 9.
Kako je povrsina trokuta jednaka polovini povrsine paralelograma, ona je veca od
polovine povrsine odsjecka, a zbroj povrsina preostalih dvaju odsjecaka iznad tetiva AP
i BP manji je od polovine povrsine cijelog odsjecka. Ako dalje na isti nacin upisemo
dva trokuta u preostale odsjecke, zbroj njihovih povrsina bit ce veci od polovine zbroja
odsjecaka kojima su upisani, a zbroj povrsina cetiri odsjecka koja preostanu nakon drugog
upisivanja trokuta biti ce manji od jedne cetvrtine povrsine citavog odsjecka. Ako jos jed-
nom ponovimo upisivanje, preostat ce osam jos manjih odsjecaka kojima ce zbroj povrsina
biti manji od jedne osmine citavog odsjecka, itd. Produzimo li postupak, u odsjecak je
moguce upisati takav mnogokut da povrsina koja preostane izvan mnogokuta bude po
volji mala.
Raspolovimo duzinu AC tockom D i povucimo njome paralelu DE sa CP (vidi sliku
10).
Slika 10.
Neka je zatim EF paralelno s AB. Dokazimo da vrijedi
|PC| = 4
3|ED|. (2)
Prema (1) imamo da je |AC|2|PC| = |EF |2
|PF | . Kako je |AC| = 2|EF |, tada je |PC| = 4|PF |,|FC| = |ED| = 3|PF | iz cega izlazi (2).
14
Promatrajmo sada trokute AEP i PKB (vidi sliku 11). Povrsina trokuta APB je
osam puta veca od povrsine svakog od njih. Pravac ED raspolavlja tetivu AP u tocki L
jer je paralelan s CP , a takoder raspolavlja i AC. Vrijedi |PC| = 2|LD|, pa iz (2) slijedi
3|LD| = 2|ED|, a odatle
|LD| = 2|EL|. (3)
Odatle zakljucujemo da vrijedi P△ADL = 2P△AEL.
Slika 11.
Analogno zakljucujemo da vrijedi P△DLP = 2P△LEP , a iz tih dviju jednakosti je
P△ACP = 2P△ADP = 4P△AEP i konacno P△ABP = 8P△AEP . Analogno se dokazuje da je
P△ABP = 8P△PKB.
Nastavljamo postupak upisivanja trokuta. Povrsinu prvog trokuta obiljezimo s P1,
zbroj povrsina trokuta upisanih u drugoj iteraciji s p2, u trecoj s p3 i tako redom. Dobivamo
beskonacni niz:
p1, p2, p3, . . .
pri cemu je svaki sljedeci clan cetverostruko manji od prethodnog, tj. vrijedi
pn+1 =1
4pn. (4)
Koristeci (4) imamo
4(p1 + p2 + p3 + . . .+ pn) = 4p1 + 4(p2 + p3 + . . .+ pn) = 4p1 + (p1 + p2 + . . .+ pn−1)
odakle slijedi
4(p1 + p2 + p3 + . . .+ pn−1) + 4pn = 4p1 + (p1 + p2 + . . .+ pn−1)
i konacno
3(p1 + p2 + p3 + . . .+ pn−1) + 4pn = 4p1
15
odakle, dijeljenjem s 3, izlazi
p1 + p2 + p3 + . . .+ pn−1 +4
3pn =
4
3p1. (5)
Sada se moze dokazati da je povrsina odsjecka P = 43p1. Pretpostavimo suprotno, tj.
da je ili P > 43p1 ili da je P < 4
3p1.
Neka je P > 43p1. Primjetili smo da mozemo ponavljati proces upisivanja trokuta dok
ne dobijemo po volji mali ostatak. Izaberimo n tako da vrijedi da je ostatak manji od
P − 43p1, tj. P − (p1 + p2 + . . .+ pn) < P − 4
3p1, no to je u kontradikciji s (5).
S druge strane pretpostavimo da je P < 43p1. Kako clanovi niza teze nuli, mozemo
izabrati n takav da vrijedi 43pn < 4
3p1 − P . Koristeci (5) dobit cemo da je P < p1 + p2 +
. . .+ pn sto je nemoguce.
Time je dokazano da je
P =4
3p1.
2.5. Teziste tijela
Za teziste trokuta Arhimed je pokazao da se nalazi na sjecistu tezisnica na iduci nacin:
dovoljno je pokazati da je teziste na bilo kojoj tezisnici. Pretpostavimo da teziste T nije
na tezisnici AD. Tada se nalazi lijevo ili desno od nje, npr. desno. Duzinu DC uzastopno
raspolavljamo i ucrtavamo tezisnici paralelne pravce kao na slici
Slika 12. Teziste trokuta.
sve dok se T ne nade desno od neke od pruga. Recimo da je za to trebalo n koraka. To
znaci da je DC podijeljena na n dijelova te da je |DE| = |DC|n
. Dopunimo sad sliku tako
da trokut bude rastavljen na sukladne paralelograme i dva tipa trokuta:
16
Slika 13. Teziste trokuta.
Tada je povrsina trokuta 1A6 jednaka zbroju povrsina trokuta 123 i 456. Svi trokuti
na lijevoj strani su medusobno sukladni, a isto tako i desno. Sad Arhimed koristi dvije
cinjenice:
1. teziste paralelograma je sjeciste njegovih dijagonala;
2. teziste proizvoljnog lika je teziste skupa tezista likova na koje smo taj lik rastavili
(tvrdnja slijedi iz principa poluge).
Neka je sada O teziste skupa paralelograma sa slike. Ono se nalazi na AD, jer su svi
paralelogrami sukladni i lijevo od AD ih ima koliko i desno. Neka je R teziste skupa svih
trokutica. Tada mora biti T ∈ OR. Kako se povrsina skupa svih trokutica prema povrsini
cijelog trokuta odnosi kao 1 : n, a povrsina skupa svih paralelograma se prema povrsini
cijelog trokuta ABC onda odnosi kao (n− 1) : n, slijedi da je
|OT | : |TR| = 1 : (n− 1).
Ako je sada S sjeciste pravca OTR s p (paralela s AD povucena kroz C) slijedi da je
|OT | : |TS| > |DE| : |EC| = 1 : (n− 1) = |OT | : |TR|.
Dakle je |TS| < |TR| sto je nemoguce, jer bi to znacilo da se teziste R skupa trokutica
koji je lijevo od p nalazi desno od p.
2.6. Volumen kugle
Uz izracunavanje povrsine kruga sigurno najpoznatiji Arhimedov rezultat je odredivanje
volumena kugle. Tu se osobito ocituje Arhimedova kombinacija eksperimentalnog pristupa
s egzaktnom provjerom putem ekshaustije. Opisat cemo “eksperimentalni” dio. Neka su
dani valjak radijusa r i visine 2r, uspravni stozac radijusa 2r i visine 2r te kugla radijusa
r. Jos u Euklidovim Elementima mogu se naci volumeni prva dva tijela (VV i VS = 13VV ).
17
Arhimed pokazuje da je volumen kugle VK jednak 23volumena valjka. Rezultat je opisan
u djelu O kugli i valjku.
Pojednostavljeno receno, ta se tri tijela postavljaju tako da budu u ravnotezi te se
promatraju njihovi presjeci ravninama paralelnima bazi na istoj visini (zapravo, gledaju
se vrlo tanki reznjevi izmedu po dvije takve ravnine, s tim da se pretpostavlja da su
reznjevi dovoljno tanki da ih mozemo smatrati uspravnim valjcima). Ako je ∆x debljina
takvog reznja i on se nalazi na visini x od dna tijela,
Slika 14. Izvod volumena kugle
onda
- rezanj kugle ima volumen π(2r − x)x∆x;
- rezanj valjka ima volumen πr2∆x;
- rezanj stosca ima volumen π(2r − x)2∆x.
Promatrajuci sad momente tih reznjeva oko tezista u kojem su tijela objesena, Arhimed
dobiva da je kombinirani moment reznjeva kugle i stosca jednak cetverostrukom momentu
odgovarajuceg reznja valjka. Kad se usporede svi reznjevi na svim mogucim visinama x
(sto odgovara integraciji od 0 do 2r njihovih povrsina) dobivamo da je
2r(VK + VS) = 4rVV
odakle slijedi
VK + VS = 2VV ,
pa je, jer je visina tijela 2r
VK = 2VV − VS = 2 · r2π · 2r − 1
3(2r)2π · 2r = 4r3π − 8
3r3π =
4
3r3π,
odnosno, volumen kugle je
VK =4
3r3π.
18
2.7. Mehanicka trisekcija kuta
Ako je zadan kut CAB, nacrta se kruznica sa sredistem A koja prolazi kroz B i C. Iz C
se povuce pravac koji sijece pravac BA u E, a kruznicu u F , s tim da se taj pravac bira
tako da bude |EF | jednak radijusu kruga.
Slika 15. Arhimedova mehanicka trisekcija kuta
Iako neizvedivo ravnalom i sestarom, taj se uvjet u praksi lako postize. Ako je AX
radijus paralelan s EC, onda je XAB trecina kuta CAB.
Da bi dokazali navedeno, podignimo okomicu na pravac EF , te sjeciste oznacimo s
C ′. Ocito je ∠XAB = ∠EAF , te, jer je trokut △CAF jednakokracan ∠CAC ′ = FAC ′.
Slika 16. Arhimedova mehanicka trisekcija kuta
Kako je ∠XAB = ∠EAF i ∠CAC ′ = 90◦ − ACC ′, to dalje vrijedi
∠XAB + ∠XAC + ∠CAC ′ + ∠FAC ′ + ∠EAF = 180◦,
odnosno
2∠XAB + 2∠CAC ′ + ∠CAX = 180◦
2∠XAB + 2(90◦ − ∠ACC ′) + ∠CAX = 180◦
2∠XAB − 2∠ACC ′ = −∠CAX
Nadalje, kako je ∠XAB = 12∠ACC ′, to je dalje
2∠XAB − 4∠XAB = −∠CAX,
odakle slijedi
∠XAB =1
2∠CAX
sto je trebalo dokazati.
19
2.8. Povrsina trokuta
U izgubljenom Arhimedovom radu O cetverokutu i krugu (za postojanje toga rada se zna
jer ga spominju Arapi u svojim prijevodima) Arhimed je otkrio da se povrsina trokuta
moze izracunati formulom
P =√s(s− a)(s− b)(s− c), s =
a+ b+ c
2.
Ta je formula danas poznata pod imenom Heronova formula, jer ju je Heron Aleksandrijski,
koji je djelovao 2 stoljeca kasnije, cesto koristio u svom radu.
2.9. Brojanje pijeska
U svom djelu Brojanje pijeska Arhimed je razmatrao pojam beskonacnosti, odnosno pred-
stavljanje beskonacno velikih brojeva. Naime, zanimao se koliko je zrnaca pijeska potrebno
da se popuni svemir. Za izracun je koristio sustav brojeva kojega je predlozio u Osnovama
aritmetike, a koje je nazivao oktadama. Jedna oktada se sastojala od mirijade mirijada,
gdje je jedna mirijada broj 104, pa je oktada 108 odnosno stotinu milijuna. Nakon sto bi
presao oktadu, brojanje bi krenulo ispocetka s tim da je te jedinice smatrao jedinicama
vise vrste, tako da je brojeve od 108 +1 do 1016 zvao drugom oktadom, itd. sve dok ne bi
dostigao oktadu oktada, sto iznosi (108)108= 108·10
8, sto naziva prvim periodom.
Tijekom tog brojanja, Arhimed je otkrio i pravilo za mnozenje potencija kojima je
baza 10:
10a · 10b = 10a+b.
Da bi izracunao broj zrnaca pijeska, Arhimed je morao odrediti velicinu svemira. Da
bi je odredio, koristio se sljedecim pretpostavkama:
1. opseg Zemlje nije veci od 300 mirijade stadija, gdje je stadij priblizno 185 metara,
sto je priblizno 5 · 105 km;
2. Mjesec nije veci od Zemlje, a Sunce nije vise od 30 puta vece od Mjeseca;
3. kutni promjer Sunca je nesto veci od 200-tog dijela pravog kuta.
Iz tih podataka je Arhimed izracunao da promjer svemira nije veci od 1014 stadija, odnosno
priblizno 2 godine svjetlosti, te da ne treba vise od 1063 zrnaca pijeska da ga se ispuni.
20
3. Ostali radovi
3.1. Arhimedov zakon
Najpoznatija anegdota o Arhimedu je kako je otkrio na koji nacin izmjeriti volumen
nepravilnog tijela. Kralj Hieron II. posumnjao je da se prilikom izrade krune umjesto
cistog zlata koristila i odredena kolicina jeftinijeg srebra, te zatrazio od Arhimeda da
utvrdi je li to tako. Arhimed je dugo razmisljao o problemu i dosjetio se rjesenju kada
je usao u kadu. Primijetio je da se razina vode dignula, te je zakljucio da bi to mogao
iskoristiti ne bi li dobio volumen krune.
Prica o zlatnoj kruni se ne pojavljuje niti u jednom poznatom Arhimedovom djelu,
stovise, sumnja se u njenu vjerodostojnost, jer za takav postupak mjerenje u ono doba
nije bilo dovoljno precizno. Arhimed je na gore opisani nacin dosao do osnovnog pojma
hidrostatike koji se danas zove Arhimedov zakon, a glasi: “tijelo teze od tekucine, stavljeno
u tu tekucinu, bit ce potopljeno u tu tekucinu do samog dna, i u tekucini je lakse toliko
kolika je tezina tekucine koja ima obujam jednak obujmu uronjenog tijela.”
3.2. Arhimedov vijak
Arhimedov vijak je naprava koja se cesto tijekom povijesti upotrebljavala za premjestanje
vode u kanale za natapanje.
Slika 17. Arhimedov vijak
21
Premda se pripisuje Arhimedu, postoji i teorija po kojoj su za ovaj izum zasluzni
stanovnici Babilona prije Arhimeda, a postoji i pretpostavka da su se cuveni vrtovi Ba-
bilona natapali uz pomoc ovog tipa sisaljke. Osim toga, Arhimedov vijak je jedna od prvih
poznatih sisaljki koje se spominju.
Stroj je jednostavne konstrukcije, sastoji se od vijka smjestenog unutar cijevi. Vijak
se okrece pokretan vjetrenjacom ili snagom covjeka ili stoke. Okretanjem vijka, tekucina
se giba po obodu vijka prema gore, sve dok ne dode do vrha, gdje se izlijeva iz cijevi
prema krajnjem odredistu. Pozeljno je da izmedu vijka i cijevi bude sto manji prostor,
kako bi se smanjilo propustanje. Gubici su takoder manji ako je brzina vrtnje veca.
Izvedba Arhimedovog vijka moze biti na dva nacina. Kod prve izvedbe se vijak okrece
unutar cijevi koja je staticna, a kod druge se vijak i cilindar okrecu zajedno, te ne postoji
relativno gibanje izmedu vijka i cijevi. Povijesni izvori govore o upotrebi drugog sustava
u starom vijeku u Grckoj i Rimu, a postoje i naznake da se upotrebljavao u Babilonu za
vrijeme Nabukodonozora II.
3.3. Parabolicna zrcala
Lucijan, povjesnicar iz 2. st., napisao je da je tijekom bitke za Sirakuzu Arhimed unistio
neprijateljske brodove vatrom, a stoljecima kasnije se u pricu dodaje i detalja da je to
uradio koncentrirajuci suncevu svjetlost na brodove pomocu parabolicnih zrcala.
U dva navrata se pokusalo rekonstruirati dogadaj. Prvi puta 1973. godine kada je
grcki znanstvenik Ioannis Sakkas sa 70 ogledala velicine 1.5 sa 1 metar pokusao zapaliti
brod udaljen 50 metara. Kada su ogledala tocno fokusirana, doslo je do zapaljenja. Drugi
puta je pokusano 2005. godine na MIT-u sa 127 ogledala velicine 30×30 cm na drvo
udaljeno 30 m.
Slika 18. Arhimed usmjerava suncevu zraku na brod
22
Zakljucak oba pokusa bio je da Arhimed nije mogao tako sto uraditi, jer je potrebna
velika tocnost u fokusiranju sunceve zrake. Isto tako, s obzirom na stanje ondasnje tehno-
logije, ogledala koja bi mogli izraditi su mogla biti od uglacana bakra, koji pak nema
visok stupanj odbijanja.
23
4. Arhimedov utjecaj u 16. stoljecu
U vrijeme renesanse pojavio se interes za proucavanje starogrckih djela koja su postala
dostupna u originalu i u boljim prijevodima od onih koja su u Europu dosla preko
Arapa. Naime, profesori europskih sveucilista poceli su proucavati i prevoditi originalne
grcke tekstove. Pronalaskom tiska pojavila se mogucnost tiskanja prevedenih knjiga sto
je omogucilo da one dodu do veceg broja citatelja.
Vec je u 15. stoljecu Muller (Regiomontanus) prevodio i objelodanio rukopise Apo-
lonija, Herona i Arhimeda. Poticaj je dobio od svog ucitelja Peuerbacha, koji je zapoceo
prevoditi Ptolomejevu astronomiju, a Regiomontanus je dovrsio prijevod.
16. je stoljece bilo stoljece ponovnog otkrivanja antickog nasljeda. Frederigo Com-
mandino (1509.-1575.) je preveo i izdao djela Euklida, Arhimeda, Herona i Pappusa.
Arhimed je postao uzorom za one koji su se bavili fizikom.
4.1. Gvido Ubaldi del Monte
Talijanski je matematicar i fizicar Gvido Ubaldi del Monte (1545.-1607.) bio ucenik Com-
mandina. Postao je poznat po Knjizi o mehanici, koja je bila objelodanjena 1577. godine.
Ta je knjiga povezala rezultate mehanike (statike) starog i srednjeg vijeka. U knjizi je
izlozio radove svojih prethodnika i nasao uvjet ravnoteze za savijenu polugu. Nije znao da
je to vec rijesio Leonardo da Vinci. Ubaldi del Monte je uveo u uporabu termin moment,
koji je cesto kasnije koristio i Galilei, a koji je otprilike odgovarao suvremenom pojmu
moment sile. Ubaldi del Monte je utvrdio da za ravnotezu na poluzi vaznu ulogu imaju sila
i okomica spustena iz tocke oslonca na pravac djelovanja sile. Produkt ovih dvaju faktora
nazvao je momentom. Uvjet ravnoteze na poluzi je dao u obliku jednakosti momenata.
4.2. Simon Stevin
Dosljedan Arhimedov sljedbenik u 16. stoljecu bio je nizozemski matematicar i fizicar
Simon Stevin (1548.-1620.). Nove rezultate iz statike nalazimo u njegovoj knjizi Nacela
statike, objelodanjenoj 1586. godine. Na naslovnoj je stranici nacrtan presjek trostrane
24
prizme (kosina) koju obavija lanac (ogrlica) nacinjen od kuglica. Iznad crteza pise (u
prijevodu na hrvatski jezik): “Cudo je i nije cudo”.
Slika 19. Simon Stevin i naslovnica njegove knjige
Kosina je na crtezu nacrtana u obliku pravokutnog trokuta s horizontalnom hipotenuzom.
Dio lanca, koji obavija vecu katetu, ima vecu duljinu i veci broj kuglica od onog koji se
nalazi na manjoj kateti. Veci dio ima vecu tezinu, pa na osnovi toga tezina lanca, koja
pripada vecoj kateti preteze, pa lanac prelazi u gibanje. No, jer se slika rasporeda kuglica
pri tome ne mijenja, to se gibanje mora produziti u beskonacnost. Vjecno gibanje (per-
petuum mobile) Stevin smatra nemogucim, pa na osnovi toga zakljucuje da su djelovanja
tezina kuglica na obje katete jednaka. Dio lanca koji visi ispod kosine ne igra nikakvu
ulogu, jer je potpuno simetrican. Ako odrezemo ogrlicu na krajevima prizme, ravnoteza
se “zbog simetrije” nece poremetiti. Na osnovi toga je zakljucio da su tereti na kosini u
ravnotezi, ako su proporcionalni s duljinama stranica trokuta. Ako sad okrenemo trokut
da lezi na jednoj od kateta, kao na slici, tad sila koja drzi ravnotezu teretu na kosini,
prema teretu se odnosi kao visina kosine prema njenoj duljini, tj.
F : G = h : l.
Sila je toliko puta manja od tezine tereta, koliko je puta visina kosine manja od njene
duljine. Tako je rijesen problem ravnoteze na kosini koji nije uspio rijesiti Arhimed, a ni
kasniji arapski nastavljaci.
Stevin je shvatio vektorski karakter sile i prvi je nasao pravilo za geometrijsko zbra-
janje sila. Razmatrajuci razlicite lance na trokutima, Stevin je zakljucio da, ako su tri sile
paralelne sa stranicama trokuta i ako su njihovi moduli proporcionalni s duljinama tih
stranica, da su sile u ravnotezi. Iz toga je rezultata slijedio zakon paralelograma sila, koji
je bio temelj daljnjoj izgradnji statike, a kasnije i uvodenju pojma vektora. U navedenom
radu raspravljao je i o tezistu.
25
Posebice je vazan dio Stevinove rasprave posvecen hidrostatici. Za neku tekucinu,
koja se nalazi u posudi, Stevin je dokazao da je svaki njen dio u ravnotezi. Ako u mislima
izdvojimo neki obujam unutar te tekucine i zamislimo da on nije u ravnotezi, vec da se
npr. spusta, tad bi se i obujam tekucine koji bi dosao na njegovo mjesto, takoder spustao.
Tad bi nastalo vjecno strujanje, a to je nemoguce. Slicno kao i kod ravnoteze na kosini
Stevin i ovdje koristi tvrdnju da je nemoguce vjecno gibanje, pa je tekucina u ravnotezi.
Za proucavanje uvjeta ravnoteze tekucine Stevin je koristio svoje ”nacelo skrucivanja”
tekucine. Ravnoteza nije poremecena, ako bi se jedan dio tekucine skrutnuo, sacuvavsi
istu tezinu i obujam (pa i gustocu). Na osnovi toga je nacela dokazao Arhimedov zakon.
Ako zamislimo, da se u mirnoj tekucini jedan njen dio skrutne, bez promjene tezine ili
obujma, onda se zbog toga raspored tlakova tekucine na to novo kruto tijelo ne bi nista
promijenio, ostala bi ravnoteza. Zato je razlika hidrostatickih tlakova (sila) uvis i na dno
F2 − F1 (uzgon) na to tijelo jednaka tezini skrutnutog tijela, odnosno tezini istisnute
tekucine.
Slicno je dokazao i hidrostaticki paradoks. Ako zamislimo da se sva tekucina u posudi
skrutne, osim samo malog dijela tekucine koja se nalazi iznad povrsine na dnu i u cijevi
proizvoljnog oblika koja se proteze od dna pa sve do povrsine, tad se pritisak na dno nece
promijeniti i ostat ce isti kao da na povrsinu dna djeluje stupac tekucine istog presjeka kao
sto je dno. Stevin je dokazao na osnovi logickog zakljucivanja, a zatim potvrdio i pokusom,
da je tlak tekucine na dno posude odreden povrsinom dna i visinom stupca tekucine i da
ne zavisi o obliku posude. Taj je hidrostaticki paradoks znatno kasnije ponovno otkrio
Pascal, koji nije znao za ovaj Stevinov rad. Kao prakticar, graditelj brodova, Stevin je
razmotrio uvjete plivanja tijela, racunao je tlak tekucine na stijenke bokova i rjesavao
pitanja znacajna za gradnju brodova.
U svojim je radovima Stevin, ne samo dostigao Arhimedove rezultate, vec ih je i dalje
unaprijedio. Sa Stevinom je zapocelo novo razdoblje u povijesti statike i hidrostatike.
Nazalost, taj je Stevinov rad u 16. stoljecu bio gotovo nepoznat siroj javnosti, jer ga je
Stevin objelodanio na malo poznatom flamanskom jeziku.
4.3. Razvoj strojeva
Razvojem proizvodnje bile su sve vece potrebe za rudama. Zbog toga se otvaraju novi
rudnici, no velik je problem bila voda koja je onemogucavala rad u rudnicima i koju je
trebalo ukloniti. U 16. su stoljecu konstruirane sisaljke za crpljenje vode. Za crpljenje vode
s vece dubine od 10 metara postavljene su sisaljke na vise katova. Iako konstruktori nisu
26
imali teoriju, oni su koristili iskustvo i pisali knjige o strojevima, a da nisu znali osnovne
fizikalne zakone. Koristili su polugu, kolo na vretenu, zupcanik, svrdlo, klin i kosinu. Cilj
im je bio da s malim naporom misica proizvedu jak ucinak.
4.4. Niccolo Tartaglia
Objasnjenje leta npr. izbacene strijele zadovoljavalo je u tijeku mnogih stoljeca, sve dok se
nije pojavilo vatreno oruzje. Istrazivanje je leta topovskih granata pokazalo da objasnjenje
po kojem strijelu gura zrak ne zadovoljava i da je ono mnogo slozenije. Prema Aristotelu
putanja izbacenog tijela (hitac) se sastoji iz tri dijela: prvi dio putanje je pravac koji s
horizontom zatvara neki kut, drugi dio putanje je kruzni, dok je treci dio putanje vertikalni
pravac, tj. pravac slobodnog pada.
Slika 20. Niccolo Tartaglia
Takav stav je vrijedio sve do 1546. godine. Tada je talijanski matematicar Niccolo
Tartaglia (1500.-1557.) utvrdio da putanja leta topovske granate nije izlomljena crta, kako
su to tvrdili peripateticari, vec da je putanja na cijelom putu krivocrtna. On je takoder
pronasao, da je najveci domet hitca pri izbacivanju pod kutom od 45◦ prema horizontu.
Time je postavio osnove balistike. Ipak se jos Tartaglia nije mogao potpuno osloboditi od
peripatetickih stavova, te je smatrao da se utvrdene cinjenice mogu objasniti mijesanjem
prirodnog i nasilnog gibanja.
4.5. Giambattista Benedetti
U 16. je stoljecu doslo do obnavljanja pojma impetusa. Tartagliain je ucenik Giambattista
Benedetti (1530.-1590.) svoje djelo Razlicita matematicka i fizikalna razmisljanja objelo-
27
danio 1585. godine. Nije radio na sveucilistu te je mogao slobodnije kritizirati Aristotela
i njegovu prirodnu filozofiju, a velicati Arhimeda.
Obnovio je model impetusa prema kojem tijelo zbog djelovanja sile dobiva impetus
koji ostaje pohranjen u tijelu i zbog kojeg tijelo produzava gibanje s dobivenom brzinom.
Svojim je stavovima Benedetti utjecao na tada mladog Galileija. U raspravi je o impetusu
Benedetti uocio njegovo odrzanje. Tako je isticao da, kad bi svaki dio mlinskog kamena
bio slobodan, njegov impetus ga ne bi naveo na rotaciju. Zapazio je ustrajnost gibanja,
no zanemario je svezu impetusa s kolicinom gibanja, koja je kod Buridana bila jasnija.
Pobijao je tvrdnju peripateticara da se brzina tijela pri slobodnom padu povecava zbog
toga sto se tijelu povecava tezina. U objasnjavanju ubrzanja kod slobodnog pada koristio
je Buridanov impetus.
Benedetti je pobijao i Aristotelovu tvrdnju da je nemoguc vakuum. Po Aristotelovoj
dinamici brzina tijela je obrnuto razmjerna s otporom i bila bi beskonacna kad ne bi bilo
otpora. Benedetti je tvrdio da je brzina razmjerna s razlikom gustoce tijela i gustoce sred-
stva kroz koje se tijelo giba: “Brze gibanje u nekom sredstvu nije prouzrokovano razlikom
tezine brzeg tijela nad sporijim (tijela imaju isti oblik), vec specificnom razlikom tijela u
odnosu na sredstvo kroz koje se gibaju”.
Benedetti je raskinuo s Aristotelovim pojmom apsolutne tezine i lakoce i uveo po-
jam relativne tezine i lakoce. Za njega su sva tijela teska, a svako tijelo moze biti teze
ili lakse ovisno o sredstvu u kojem se nalazi. Time je on zamijenio Aristotelove kvalitete
s Arhimedovim kvantitetama. Kod njega ocito dolazi do prijelaza na motrenje kvanti-
tativnih promjena i to postaje glavno obiljezje proucavanja prirode. Mjerenje je postalo
nacelo novoga doba, a to je bio put prema Newtonovoj fizici.
4.6. Giambattista della Porta
O magnetima je raspravljao talijanski znanstvenik Giambattista della Porta (1538.-1615.).
Bio je prvi koji je svoj rad o magnetima zasnivao na malo poznatom Maricurtovom radu,
a ponegdje je i nesto dodao. Prvi je uocio da privlacenje i odbijanje magneta djeluje kroz
razlicite tvari, ali ne i kroz zeljezo. Predlagao je da se djelovanje magnetske sile mjeri
vagom. Prvi je koristio zeljeznu piljevinu da bi dobio sliku magnetskih sila. Koliko se
do tada malo znalo o magnetima svjedoci i njegova tvrdnja da “bijeli luk ne djeluje na
magnet”.
Porta je 1558. godine na otvor tamne komore stavio sabirnu lecu i ukazao na analogiju
tamne komore i oka. Otvor je tamne komore imao ulogu zjenice oka. Medutim, prema
28
njemu, slika ipak nastaje na ocnoj leci kao na zastoru. Kod sfernih je zrcala uocio da
postoji tocka (zariste zrcala) u kojoj se, poslije odbijanja od zrcala, sijeku sve zrake
svjetlosti. Tu tocku je nazvao tockom u kojoj se okrece slika. Pronasao je da se ta tocka
nalazi na polovici polumjera zrcala. U radu je kritizirao istrazivace sto se nisu bavili
lecama. U knjizi izdanoj 1593. godine raspravljao je o lomu svjetlosti i naveo rezultate
proucavanja leca. Tu su objelodanjeni prvi crtezi u kojima se prati put zrake svjetlosti u
leci.
29
Literatura
[1] Archimedes
en.wikipedia.org/wiki/Archimedes
[2] The Sand Reckoner,
en.wikipedia.org/wiki/The_Sand_Reckoner
[3] Archimedes Discovers the Volume of a Sphere,
physics.weber.edu/carroll/archimedes/method1.htm
[4] Bruckler F. M., Povijest matematike 1, Odjel za mtematiku, Osijek, 2007
[5] Biblija, Stari i Novi zavjet, (Urednici: Dr. Jure Kastelan i Dr. Bonaventura Duda),
Krscanska sadasnjost, Zagreb, 2003.
[6] Faj Z., Pregled povijesti fizike, Odjel za fiziku, Osijek, 1998.
[7] Loy J., Pi, www.jimloy.com/geometry/pi.htm
[8] The MacTutor History of Mathematics archive
www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/
[9] Rac-Marinic-Kragic E.,Kako je Arhimed racunao povrsinu odsjecka parabole, Matem-
atika i skola br. 50, 2009.
[10] Znam S. i dr., Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.
30
Zivotopis
Rodena sam 29. 05. 1976. godine u Osijeku. Zavrsila sam osnovnu skolu “A. Harambasic”
u Donjem Miholjcu. Nakon osnovne skole upisujem Ekonomsku skolu u Osijeku, i zavr-
savam ju 1994. godine. Nakon mature upisujem se na Odjel za matematiku u Osijeku,
smjer profesor matematike i informatike. Udana sam i imam dvoje djece.
Radila sam 2 godine u Osnovnoj skoli A. Harambasic u Donjem Miholjcu i 2 godine
u Osnovnoj skoli Hrvatski sokol u Podgajcima Podravskim.
31
Sazetak
U ovom radu bavimo se Arhimedom, velikim primijenjenim matematicarem u staroj
Grckoj i njegovim povijesnim doprinosima u znanosti, napose u matematici.
U prvom poglavlju je navedena Arhimedova biografija te popis poznatih djela, sacuvanih
ili izgubljenih.
Drugo poglavlje sadrzi nesto detaljniji pregled Arhimedovih matematickih otkrica.
U trecem poglavlju su ukratko opisana neka druga Arhimedova otkrica.
U zadnjem cetvrtom opisan je njegov utjecaj na neke znanstvenike potkraj srednjeg
vijeka, u razdoblju renesanse.
32
Summary
In this paper we deal with Arhimed, the great mathematician in ancient Greece and its
historical contributions to science, especially in mathematics.
In first chapter is Arcihmed biography together with list of his works, both known
and lost.
In second chapter is given explanation of his mathematical inventions.
In third chapter is basic review of his other works, and fourth chapter is about his
influence to scientists in 16. century.
In the last fourth chapter describes the impact of some scientists at the Middle Ages,
the Renaissance period.
33
