ELEMENTI ZA PRENOS SNAGE

Elektromotori imaju veliku ugaoni brzinu obrtanja, oni obezbeđuju snagu u vidu obrtnog momenta relativno male veličine i velike brzine rotacije. U tim uslovima motori optimalno rade i njihova konstrukciona rešenja su racionalna. Smanjenjem brzine obrtanja znatno se povećavaju gabariti motora. Ekonomski i tehničko opravdano rešenje je da se razlike u parametrima koje daje motor i onih koje su potrebne premoste posredstvom prenosnika. Prenosnici-mašinski podsistemi ili komponente koje čine funkcionalno povezan skup elemenata za prenošenje i za transformaciju mehaničke energije i drugi mašinski sistemi i elementi namenjeni za izvršavanje sporednih i pomoćnih funkcija. Transformišu ulaznu ugaonu brzinu, izraženu brojem obrtaja koji dolazi od motora nul u izlazni broj obrtaja u jedinici vremena niz koji odgovara potrebama funkcionisanja radnog dela mašine.

Radni prenosni odnos: izl

ul

nni =

Usled međusobnog trenja delova prenosnika, deo mehaničke energije koja se prenosi prelazi u toplotu. Mehanička energija na izlazu je manja od mehaničke energije na ulazu. Snaga na ulazu Pul je veća od snage na izlazu Pizl.

Stepen iskorišćenja prenosnika: ul

kul

ul

izl

PPP

PP −

==η Pk-snaga gubitaka

Dobra strana mehaničkog prenosnika je što je stepen iskorišćenja prenosnika veoma blizak 1. Otpor koji se može savladati raspoloživom snagom P određen je veličinom

obrtnog momenta:ωPT =

iPP

P

P

TT

izl

ul

ul

izl

ul

ul

izl

izl

ul

izl ⋅=⋅== ηωω

ω

ω

ulizl TiT ⋅⋅= η Reduktor (i>1)-Smanuje ugaonu brzinu, povećava obrtni moment. Ugaona brzina se smanjuje od ulazu ka izlazu iz prenosnika. Što je ugaona brzina manja veći je obrtni moment koji se može savladati istom snagom.

Multiplikator (i<1)-Povećava ugaonu brzinu od ulaza ka izlazu i samim tim smanjuje obrtni moment. Obrtni moment na ulazu je manji od obrtnog momenta na izlazu. Menjački prenosnici-varijatori (i je promenljivo)

4

3

2

1

4

1

nn

nn

nni

nn

izl

ul ⋅=== n2 i n3 se nalaze na istom vratilu.

nizl

ul iiinn

⋅⋅⋅= ...21

Kinematski prenosni odnos (u>1) Uvek je veći od jedinice i definiše se odnosom većeg i manjeg prečnika tela koja su u dodiru. Vrste mehaničkih prenosnika

1. Frikcioni parovi 2. Zupčasti parovi 3. Kaišni parovi 4. Lančani parovi

FRIKCIONI PAROVI Osnovni uslov je da je sila trenja µF veća od obimne sile koja će se javiti u radu.

TFF >µ Provera stepena sigurnosti protiv proklizavanja

µ

µ

µ

µµ

tn

t

n

t

FSF

FF

FF

FFS

⋅=

⋅===

][

Za prenošenje opterećenja potrebno je obezbediti dovoljnu

normalnu silu Fn, koja dodatno opterećuje vratila i ležaje. Karakteristike frikcionih parova su:

• Prenose male snage u odnosu na svoje gabarite • U toku rada prisutno je proklizavanje usled preopterećenja, elastično i

kinematsko klizanje • Proklizavanje usled peopterećenja ima ulogu osigurača od preteranog

naprezanja materijala

KINEMATIKA FRIKCIONIH PAROVA

Predstavljamo frikcioni par kao kruto telo.

u

rr

rr

==

⋅=⋅

1

2

2

1

2211

ωω

ωω

uar

urarra

+=

+=

+=

1

)1(

1

1

21

uaur

uur

rrra

+=

+=+=

1

)1

()1(

2

2

2

12

Tačka A je trenutna osa relativnih brzina za frikcioni par. Trenutna osa opisuje aksoid.

222

111

ωω⋅=

⋅=

rvrv

urr

rrVVrVrV

==

⋅=⋅

=

⋅=

⋅=

1

2

2

1

2211

21

222

111

ωω

ωω

ωω

uOAOA

OAr

OAr

==⋅⋅

=

⋅=

⋅=

1

2

1

2

2

1

11

22

sinsin

sinsin

sin

sin

δδ

δδ

ωω

δ

δ

Kinematska površina je zamišljena kriva na kojoj su obimne brzine obe tačke jednake.

KINEMATSKO KLIZANJE

Radi smanjnenja potrebne sile pritiska jednog točka na drugi dodirne površine mogu biti u obliku žlebova međutim tada nastaje nepoželjna pojava kinematskog klizanja.

urr

vvrvrv

==

=

=

=

1

2

2

1

21

222

111

ωω

ωω1

2

rru =

1

)1

()1(

1

)1()1(

2

2

2

12

1

1

1

21

12

−=

−=−=

−=

−=−=

−=

uaur

uur

rrra

uar

urrrra

rra

)1

(2

)1

1(2

22)

2()

2()

2()

2(

11

111111

11112211

uul

ul

ulrlr

ulurlrlrlrVkl

+⋅=+⋅

⋅=

=⋅⋅

+⋅−⋅+⋅=⋅−⋅−⋅+=⋅−−⋅+=

ωω

ωωωω

ωωωω

Dolazi do odstupanja radnih površina u odnosu na kinematske.

ELASTIČNO KLIZANJE

Elastično klizanje nastaje u slučaju deformabilnih radnih organa. Usled opterećenja dolazi do elastičnih deformacija. Na pogonskom točku razlikujemo zonu pritisnutih i zategnutih vlakana. Posmatrano na tačku ulaska u spregu. Kod gonjenog točka posmatranog u odnosu na tačku A imamo zonu zategnutih vlakana odnosno pritisnutih pri izlasku gonjenog točka iz kontakta. Na osnovu iznetih tvrdnji proizlazi da dolazi do relativnog pomeranja vlakna pogonskog u odnosu na gonjeni koja je posledica promena karaktera opterećenja na jednom

odnosno na drugom točku.

Točkovi se oblažu gumom da bi se dobio veći koeficijent trenja. Poželjan je veliki modul elastičnosti jer tada pri istoj sili dolazi do manjih deformacija u odnosu na materijal sa manjim modulom elastičnosti čime se smanjuje elastično klizanje. (Klizanje dovodi do povećanja prenosnog odnosa). Hercovi obrasci

21

21

21

21

max

2

418,0

rrrrr

EEEEE

rbEFp

+⋅

=

+⋅

=

⋅⋅

⋅=

FRIKCIONI VARIJATORI

Karakteristika varijatora je promenljiv prenosni odnos

1

2

1

2

1

2

2

1

2211

222

111

sinsin

sinsin

δδ

δδ

ωω

ωωωω

=⋅⋅

===

⋅=⋅

⋅=

⋅=

JJu

rr

rrrVrV

A

A

Primena frikcionih parova:

1. Ne zahteva tačnost prenošenja prenosnog odnosa 2. Nisu pogodni za prenošenje velikih snaga

Materijal Potrebno je da materijal ima veliki modul elastičnosti kako bi deformacije bile male. Potreban je veliki koeficijent trenja kako bi se mogla primeniti manja normalna sila. Ovo su međusobno suprotni zahtevi. Jedna od kombinacija je

Kaljeni čelik sa kaljenim čelikom. Modul elastičnosti je veliki i ima veliku otpornost na habanje ali je koeficijent trenja mali. Pri podmazivanju koje ima ulogu hlađenja ovaj koeficijent postaje još manji. Veći točkovi se mogu izrađivati od sivog liva.

ZUPČASTI PAROVI

Podela: Zasniva se na obliku kinematskih površina. Kinematske povšine se predstavljaju posredstvom odgovarajućih aksoida koji se kotrljaju jedan po drugom bez klizanja. Podela prema aksoidima:

1. Cilindrični 2. Konusni 3. Hiperbolični

uar

urarra

w

w

ww

+=

+⋅=

+=

1

)1(

1

1

21

uaur

uur

ura

rra

w

ww

ww

+=

+⋅=+⋅=

+=

1

)1

()11

(

2

22

21

Kinematske kružnice predstavljaju karakteristiku zupčastog para jer su funkcija osnog rastojanja i kinematskog prenosnog

odnosa.

2222

1111

ww

ww

pzdOpzdO⋅=⋅=

⋅=⋅=

ππ

Korak na kinematskoj kružnici je lučno rastojanje između istoimenih profila zubaca.

uzz

dd

zz

dd

w

w

w

w

==

=

1

2

1

2

2

1

2

1

OSNOVNI ZAKONI SPREZANJA

CNCN

COCO

CNCN

COCO

NONO

NONO

rrVV

rVrV

yy

AA

yA

YA

2211

2211

1

2

1

2

11

22

2

1

222111

222111

2211

222

111

coscoscoscos

ωω

ωω

ωω

ωω

ψωψωψψ

ωω

=

=

===

⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅

⋅=

⋅=

21 cc vv = -tačka C je trenutni pol relativnih brzina

Brzina klizanja pogonskog zupčanika u odnosu na gonjeni

)ωPC(ωV 21kl +=

+=+−+=−−+=

−=

−=−=

PCPCPCCNPCCNPCCNPCCNV

PNPNV

rrVVV

kl

kl

yyAAkl

212221112211

2211

2221112211

)()(

sinsinsinsin

ωωωωωωωω

ωω

ψωψωψψ

Zaključak: Brzina klizanja je proporcionalna zbiru ω1 i ω2 i rastojanju od kinematskog pola. U trenutnom polu relativnih brzina brzina klizanja je 0. Zbog čega je klizanje važno? Važno je zbog energetskih gubitaka Pri prolasku kroz trenutni pol brzina, brzina klizanja menja smer.

Rezime: Da bi se ostvarilo sprezanje zupčanika profili zubaca u svakoj trenutnoj tački dodira moraju imati zajedničku tangentu. Da bi se ostvarilo konstantno prenošenje kretanja sa pogonskog na gonjeni zupčanik komponente obimnih brzina u trenutnoj tački dodira moraju biti istovetne. Vn1=Vn2. U tački C se ostvaruje kotrljanje bez klizanja, odnosno tačka C je

trenutni pol relativnih brzina, odnosno kinematski pol.

COCO

1

2

2

1 =ωω

Tačka C je definisan presekom dodirnice profila i osnog rastojanja za dati zupčasti par.

EVOLVENTNI PROFIL

AB=CB, A=B u početnom trenutku Evolventa predstavlja krivu liniju koju opisuje bilo koja tačka tangente na osnovnu kružnicu pri kotrljanju bez klizanja. S obzirom da se ostvaruje kotrljanjem bez klizanja BCAB = .

NAPADNI UGAO PROFILA

rb-prečnik osnovne kružnice CB-radijus krivine Napadni ugao profila u nekoj proizvoljnoj tački dodira može se definisati kao ugao između napadne linije profila i tangente na kružnicu kroz posmatranu tačku dodira.

yy

yyy

yb

bby

rBCABr

BDABrDA

ααα

ααθ

α

θ

−=

−=

⋅==

−==

taninv

tan

tan

t

OSNOVNA ZUPČASTA LETVA –ZUBČANICA-

Spoljašnje i unutrašnje ozubljenje. z=beskonačno – zupčasta letva

ππ⋅=

⋅=⋅=

⋅=

mp

zmzpd

zpO

m-modul πpm =

Definisanje zupčaste letve

αcos⋅= nb pp

mn – modul u normalnoj ravni, sa povećanjem ugla αn se povećava nosivost. Ugao je obično oko 20o. Sprezanje cilindričnih zupčastih parova može se predstaviti posredstvom odgovarajućih kinematskih cilindara. Za spoljašnji zupčasti par ose obrtanja su paralelne a smerovi obrtanja zupčanika suprotni. Kod unutrašnjeg zupčastog para smerovi obrtanja zupčanika su istovetni. U specijalnom slučaju (granični slučaj) kada poluprečnik zupčanika sa unutrašnjim ozubljenjem teži ∞, dobija se specijalni slučaj sprezanja kod kojeg se zupčanik sa unutrašnjim ozubljenjem može zameniti sa odgovarajućom ravni, a obrtno kretanje zubčanika sa unutrašnjim ozubljenjem, translatornim kretanjem odgovarajuće ravni. Mehanički model se predstavlja cilindrom i ravni koja tangira cilindar. Pri tome se ostvaruje kotrljanje bez klizanja cilindra po ravni.

zmzpddzpO ⋅=⋅=⇒⋅=⋅=π

π

Podeoni krug je karakteristika zupčanika zmd ⋅= p – korak na podeonom krugu, lučno rastojanje susednih istoimenih bokova merenih duž podeone kružnice u čeonoj ravni

m – modul zupčanika u čeonoj ravni, osnovni parametar veličine zubaca i zupčanika preko kog se određuju sve ostale dimenzije

LUČNA DEBLJINA ZUBACA NA PODEONOM KRUGU

)tan2

2(tan2

2απαπ xmxmms +⋅=+⋅=

Položaj srednje linije profila u odnosu na podeoni pravac, definisan je pomeranjem profila (xm) koji predstavlja algebarsku vrednost. Pri odmicanju zupčaste letve u odnosu na osu obrtanja zupčanika (xm>0), a pri primicanju je (xm<0).

VEZA IZMEĐU KORAKA NA OSNOVNOJ I PODEONOJ KRUŽNICI

αcos⋅= ppb

LUČNA DEBLJINA ZUBCA NA KRUGU PROIZVOLJNOG POLUPREČNIKA

r – poluprečnik podeone kružnice 2r=mz Interesuje nas koliko je sY

)invinv2

(2)inv(2

inv2 y

YYyyy

y

y

rss

rs

ααγαλγ

αλ

−+=−=

+=

Predhodna formula predstavlja lučnu dužinu zubca na proizvoljnom mestu.

Specijalni slučajevi

)inv2

(

inv y

α

θα

+=

=

=

=

rsds

dd

ss

bb

by

by

Pojava šiljatog zubca za slučaj da je sY=0

αα

αα

αα

inv2

inv

0invinv2

)invinv2

(0

0

y

y

+=

=−+

−+=

=

rs

rs

rsd

s

y

y

y

Određuje se napadni ugao na temenoj kružnici koji odgovara sY=0, dobija se xmax – maksimalni koeficijent pomeranja.

MERA PREKO ZUBACA

Zašto je bitno: Bitno je zbog kontrole tačnosti izrade zubčanika. Mera preko zubaca predstavlja rastojanje raznoimenih bokova zubaca mereno duž zajedničke tangente osnovnog kruga preko određenog broja zubaca (merni broj zubaca).

bbw spzW +−= )1(

wz - merni broj zubaca Mera preko zubca je kumulativna veličina i sastoji se od (zw-1) osnovnog koraga i jedne lučne debljine zubca na osnovnoj kružnici. Mera preko zubaca koristi se i za izbor bočnog zazora. Aog

AodW -uvek se daje negativno

PODSECANJE PROFILA

)cos()( min αbrrmymx −−⋅=⋅ Zupčasta letva se koristi za definisanje oblika. Evolventni profil definisan je od osnovne kružnice zupčanika. Pri izradi zupčanika mora se voditi računa o položaju zupčaste letve u odnosu na zupčanik. Položaj zupčaste letve definisan je tačkom A (prelaz pravolinijskog i zaobljenog dela zupčaste letve). Tački A odgovara tačka N koja predstavlja početnu tačku evolventnog profila zubca. Ovde je uzpostavljena koincidencija između tačke A i tačke N. Položaj zupčaste letve u odnosu na podeonu pravu definisan je pomeranjem (x◦m)min, koje odgovara graničnom slučaju ispravnog definisanja evolventnog profila zupca. Ako bi smo išli sa manjom vrednošću pomeranja, tačka A definisala bi profil zupca iz unutrašnjosti osnovnog kruga (trohoida). U početnoj tački na osnovnom krugu ove dve krive nemaju zajedničku tangentu. Zubac je podsečen i to je negativna pojava.

α

ααα

2

2

2

min

sin2

y

sin )cos1(

)cos()(

⋅⋅−⋅=

−⋅=

−⋅−⋅=

=⋅−−⋅=⋅

zmm

rmyrmy

rrmymx b

zmr

zpr

zpdrrb

⋅=

⋅=

⋅=⋅

⋅=

2

2

cos

π

πα

α2min sin

2⋅−=

zyx

Analizom za slučaj da je xmin=0; y=1; α=20o z=17 Ako je broj zubaca manji od 17 a nema pomeranja profila dolazi do podsecanja.

Može se ići sa većim vrednostima koeficijenta pomeranja. Podsecanje se može izbeći i izborom ugla osnovne zupčaste letve.

SPREZANJE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA

Uvodi se nova veličina αW, ugao dodirnice profila.

Zadnja formula je ista kao za remeni prenosnik. 221121

1

2

2

1

2211

222111

2211

coscos

coscos

bbnn

b

b

bb

yyyy

y

rrVVrr

rr

rr

VV

⋅=⋅==

=

⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅

⋅=⋅

ωωωω

ωω

αωαω

αα

Na osnovu izvedenog proizilazi analogija između kretanja bilo koje tačke jednog kraka remena ukrštenog remenog prenosnika i tačke profila spregnutog profila zubca u pravcu dodirnice profila. Pri tome prečnici remenica su istovetni sa odgovarajućim prečnicima osnovnih kružnica spregnutih zupčanika. U proizvoljnim tačkama dodira nisu jednaki αY1 i αY2, međutim za slučaj sprezanja u trenutnom relativnom polu brzina ugao između napadne linije profila i tangente na kinematsku kružnicu je istovetan i naziva se ugao dodirnice profila αW.

OSNO RASTOJANJE

www

bbww

zzmrrrrrraαα

αα

α coscos

2)(

coscos

)(cos

2121

2121

+=⋅+=

+=+=

Ako je wαα = 2121 rrrra ww +=+= - kinematske i podnožne kružnice se poklapaju

UGAO DODIRNICE PROFILA

2w121

2211

e www

wwwww

sesesesp

==

+=+=

21 www ssp += Hoćemo da nađemo wαinv

ααα

ααπ

ααπ

ααααπ

invtan2inv

))(invinv(

))1)(invinv((

invinvinvinv

21

21

21w21

2

2

1

11

w2

22w

1

11

1

1

+⋅++

=

+−++

=

+−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

zzxx

zzm

ss

uuds

dsz

dsd

dsd

zd

w

w

www

Ako je zbir pomeranja profila x1+x2=0 ugao dodirnice je αw=α Ako je zbir pomeranja profila x1+x2>0 αw>α i obrnuto

INTERFERENCIJA PROFILA

ra1 i ra2 su poluprečnici temenih kružnica

Interferenca predstavlja preklapanje aktivnih putanja. Aktivna dužina dodirnice profila predstavlja geometrijsko mesto tačaka u odnosu na nepokretni koordinatni sistem. Početna i krajnja tačka aktivne dužine dodirnice definiše se presekom dodirnice profila i odgovarajućih temenik kružnica. Proces sprezanja ostvaruje se tako što se vrh profila zupca na temenoj kružnici gonjenog zupčanika dodiruje sa odgovarajućom tačkom na podnožju profila zupca pogonskog zupčanika. U toku dodirnog perioda tačke na profilu zupca pogonskog zupčanika dolaze u kontakt sa odgovarajućim tačkama gonjenog zupčanika. Sprezanje jednog para profila zubaca završava se u trenutku kada se vrh profila zubca temene kružnice pogonskog zupčanika dodiruje sa odgovarajućom tačkom na podnožju zubca gonjenog zupčanika. Na ovaj način definisan je istovremeno i period sprezanja jednog para zubaca zupčanika.

AKTIVNA DUŽINA DODIRNICE

wbaba

wwwbaba

wwwwbaba

arrrrl

rrrrrr

rrrrrr

CNNACNNACACAAAl

α

α

αα

sin

)(sin

sinsin

2

2

2

2

2

1

2

1

21

2

2

2

2

2

1

2

1

21

2

2

2

2

2

1

2

1

2221112121

−−+−=

+−−+−=

−−−+−=

=−+−=+==

ra2max određen je iz uslova sprezanja vrha profila temene kružnice i tačke N1 na osnovnoj kružnici pogonskog zupčanika. Za slučaj da je ra2 veće od ra2max vrh profila zupca na gonjenom zupčaniku ulazi u unutrašnjost osnovnog kruga pogonskog zupčanika što predstavlja negativnu pojavu (zbog trohoide jer evolventa i trohoida nemaju zajedničku tangentu).

DODIRNI LUK PROFILA

Dodirni luk profila odgovara luku za koji se profil zubca pogonskog zupčanika obrne od trenutka dodira prve do poslednje tačke na profilu zubca. Dodirni luk može se predstaviti na kinematskoj kružnici i definisati posredstvom odgovarajućeg ugla.

ww r

grg αα θθ =⇒⋅= αg - luk na kinematskom krugu

Ovom uglu odgovara i luk na osnovnoj kružnici

b

b

rg

=θ

STEPENI SPREZANJA PROFILA

Stepen sprezanja profila definiše se kao odnos aktivne dužine dodirnice profila i koraka na osnovnoj kružnici:

bpl

=αε Kreće se u intervalu između 1 i 2

1=αε - samo par zubaca u vezi (jednoparna veza) 2,1=αε - dva para zubaca u sprezi ali je dominantna jednoparna veza 8,1=αε - dva para zubaca u sprezi i dominantna je dvoparna veza

CILINDRIČNI ZUPČASTI PAROVI

U ravni koja tangira osnovni cilindar posmatramo pravu liniju koja gradi ugao βB sa izvodnicom osnovnog cilindra. Prilikom kotrljanja bez klizanja svaka tačka ove prave opisuje po jednu evolventu. Pri tome ove evolvente neće biti opisane istovremeno kao što je slučaj kod cilindričnih pravozubih zupčanika već će jedna u odnosu na drugu biti ugaono pomerene. Skup evolventa obazuje helikoidnu evolventnu površ. Presek ove helikoidne površi i cilindra prečnika dY čija se osa poklapa sa osom osnovnog cilindra daju kružnu zavojnicu. Pri tome se može uspostaviti veza između hoda i nagiba odnosno ugla između tangente na zavojnicu i izvodnicu cilindra.

r

r

Y

Yyy

dddLL

dβπ

βπ

βππ

βtantantan

tan =⋅

=⋅

=⇒⋅

=

dd b

b ⋅= ββ tantan

αcos⋅= rrb αββ costantan ⋅=b

dyπ

L

β

Kod zupčanika sa pravim zubcima profili zubčanog profila osnovne zupčaste letve poklapa se sa standardnim profilom pošto su čeone linije osnovne zupčaste letve paralelne sa osom osnovne zupčanice. Kod zupčanika sa kosim zubcima to nije slučaj pošto se ravan upravna na ose obrtanja spregnutih zubčanika, koja definiše profil zubca , ne poklapa sa ravni koja je usmerena na bok zubca zupčaste letve. Sada ćemo ustanoviti vezu između ove dve ravni.

βcos⋅= tn pp

βππ cos⋅= tn mm βcos

nt

mmm ==

βαα

costan

tan nt =

minminmin )cos

()()(

coscos

coscos

222

β

ββ

ββ

nttt

nt

ntttnn

nt

ntttnn

mxmxmx

XX

mXmXmX

YY

mYmYmY

⋅=⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅=⋅

⋅=

⋅=⋅=⋅

cosβXX minntmin ⋅= Na osnovu ovoga proizilazi da su cilindrični zupčanici sa kosim zubcima u povoljnijem položaju u odnosu na zupčanike sa pravim zubcima sa aspekta podsecanja zato što do podsecanja dolazi pri nižim vrednostima koeficijenta pomeranja odnosno manjim brojem zubaca.

Da bi se izmerila mera preko zubaca širina zubčanika mora biti veća od bW βsin⋅ . Stepen sprezanja profila

βαγ εεε += gde su:

αε - stepen sprezanja profila

βε - stepen sprezanja bočnih linija

pb

pgpl

b

βε

ε

ββ

α

tan⋅==

=

TOLERANCIJE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA

gWA

dAwW 1

21 - gornje i donje odstupanje bokova zubaca preko mere zubaca. Odstupanja moraju da budu u minusu, a osno rastojanje u plusu

a – osno rastojanje Izraz za bočni zazor

WaAAA

j WW +⋅⋅⋅+++−

=∆ αβα

tan2coscos

)(21

A – odstupanje osnog rastojanja (uvek u plusu) Bočni zazor mora da pokupi sve greške i deformacije usled zagrevanja zubčanika. Moramo predvideti i Tev – toleranciju evolvente i Tβ – toleranciju bočne linije. Pri izradi zupčanika treba voditi računa o bočnom zazoru koji se kontroliše preko mere preko zubaca.

OPTEREĆENJE ZUBČANIKA

POSMATRANJE CILINDRIČNIH ZUPČANIKA SA KOSIM ZUPCIMA

IZRAZ ZA ODREĐIVANJE OPTEREĆENJA ZUPČANIKA

2

2

1

121

wwtwtw r

TrTFF ===

βα

η

tan

tan

22

22

121212

⋅=

⋅=

⋅⋅=

twa

twtwr

FFFF

iTT

ODREĐIVANJE MERODAVNOG OPTEREĆENJA ISTOVREMENO SPREGNUTIH

ZUPČANIKA

Želimo da proverimo zapreminsku čvrstoću sa radnog aspekta:

• Površinska čvrstoća • Zapreminska čvrstoća

FAKTOR RASPODELE OPTEREĆENJA NA ISTOVREMENO SPREGNUTE

PAROVE ZUBACA

βαγ εεε += Mehanički model bez greške koraka

FFFcc

ccc

ccc

FccF

ccFccF

FFFcc

FccF

BA

B

BA

A

BABBBB

BAAAAA

BA

BABA

BA

21

2

1

)(

ξξ

ξ

ξ

δ

δ

δδ

δδδ

+=

=+

=+

+⋅=⋅=

+⋅=⋅=

+=

+=⇒⋅+=

==

Uticaj greške koraka profila Grešku koraka profila označićemo: 0>−=∆ OpOgO PPP

)(5,0)(5,0

)(

)(

12

∆⋅−=

∆⋅+=

==

+∆⋅−

⋅=∆−⋅=⋅=

+∆⋅+

⋅=⋅=⋅=

+∆+

=⇒∆−⋅+=

+=

∆−=

=

−=∆

cFFcFF

ccccc

cFcccF

cccFcccF

cccFcccF

FFF

PP

B

A

BA

BA

ABBBBB

BA

BAAAAA

BA

BBBA

BA

B

A

bb

δδ

δδ

δδ

δδδδ

Između tačaka B1 i D1 (vidi donju sliku) je samo jedan par zubaca u sprezi. Višezubno sprezanje ide u delu od E1 do D1 i od E2 do D2.

Opterećenje jednog para zubaca menja se u toku dodirnog perioda i zavisi od toga da li je samo taj para zubaca u sprezi ili je u sprezi još jedan par zubaca (dvostruka sprega) ili više pari zubaca (višestruka sprega). Kako se menja opterećenje? Opterećenje se menja u zavisnosti od broja pari zubaca u sprezi i veličine greške koraka istovremeno spregnutih bokova zubaca. U zavisnosti od intenziteta opterećenja i veličine greške koraka zavisi karakter raspodele opterećenja. Ukoliko je opterećenje veće i greška koraka profila mala utoliko je ravnomernija raspodela opterećenja.

RASPODELA OPTEREĆENJA DUŽ ZUBCA U SPREZI

Opterećenje duž bokova spregnutih zubaca u prvom približenju može se smatrati linijskim. Zakon raspodele o linijskom opterećenju na prvom mestu zavisi od odstupanja pralelnosti izvodnica spregnutih zubaca, kao i od odstupanja položaja spregnutih zubčanika.

Zadnji slučaj položaja zupčanika je najnepovoljniji. Uticaj greške pri izradi zupčanika:

ββ yfff HmaB −+=

Bf - ukipni ugib

βy - veličina ugiba usled razrađivanja

Slika iznad prikazuje dodir u tačci koji je nepovoljan. Prenošenje opterećenja po celoj dužini boka izazvanog prenošenje izuzetno velikog opterećenja i relativno malog odstupanja paralelnosti izvodnica spregnutih bokova:

Prva slika je kada je naleganje bliže idealnom. Primenjuje se korekcija faktorom βHK za bok i βFK za koren. Faktor se naziva Faktor trenutne raspodele duž

trenutne linije dodira.

FAKTORI UNUTRAŠNJIH SILA

U zavisnosti od učestalosti obrtanja zupčanika i broja zubaca zupčanika može se odrediti frekvencija ulaska i izlaska iz sprege. Istovremeno ovom frekvencijom definisana je primopredaja opterećenja sa jednog zupčanika na drugi.

π2r

r

mcf

znf

⋅=

⋅=

rm - redukovana masa

rf - rezonantna frekvencija c - krutost zubaca u tački sudara Faktor unutrašnjih dinamičkih sila

KA – faktor neravnomernosti opterećenja prenosnika, ovaj faktor zavisi od pogonske radne mašine

PROMENLJIVOST OPTEREĆENJA

NAPONI NA BOKOVIMA ZUBACA CILINDRIČNOG ZUPČANIKA

bEFn

H ⋅⋅

=ρ

σ 418,0 - Hercov obrazac

WWWWb rrrrr

αααα

ρρρρρ

coscos

coscos 1111

21

21

=⇒⋅=⋅=

+=

ααρ

ααααααρ

costan

costansincoscos

sin

22

1111

⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅=⋅=

WW

WWW

WWW

r

rrr

uu

d WWW

1tancos

2111

121

+=+=

ααρρρ

uu

bdFzz

uu

bdFE

EEEEE

rTFF

tHEHC

t

wH

www

twn

1

1tancos

2175,0

2coscos

1

12

21

21

+⋅

⋅=

+=

+=

==

σ

αασ

αα

u - kinematski prenosni odnos u≥1

w

b

tH

E

z

Ez

αβ

α tancos2

cos1

175,0

=

= - faktor modula elastičnosti i oblika zubca respektivno

βαβεσ HHVAt

HEH KKKKdb

Fzzzz ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=1

α

ββ

αε ε

εεε

+−−

= )1(3

4z - faktor stepena sprezanja zubaca ako je 1<βε

αε ε

1=z - faktor stepena sprezanja zubaca ako je 1>βε

ββ cos=z - faktor uticaja nagiba zubaca

STEPEN SIGURNOSTI BOKA ZUBCA SH [ ]

[ ]H

MHH

H

MHH

S

S

σσσσ

22

11

=

=

PITING – zamaranje povšinskog sloja

Vz - uticaj brzine kretanja

Rz - uticaj hrapavosti

Wz - uticaj tvrdoće

Xz - uticaj apsolutne veličine

NAPON U PODNOŽJU ZUBACA ZUPČANIKA

'oα - napadni ugao na vrhu profila

nnanFa mfFhFM ⋅⋅=⋅= 'cos' α

nf - faktor visine profila zubca

n

tn

nsf

ns

on

n

ts

FF

mfbsbW

ff

mbF

WM

α

αασσ

cos

66

cos'cos6

222

2

=

⋅⋅=

⋅=

⋅⋅⋅

⋅=⇒=

[ ] XWRvLNHMH zzzzzzz ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= σσσ lim

αα

cos'cos6

2

s

onFa f

fy ⋅⋅=

n

tSaFaFa mb

Fyy⋅

⋅⋅=σ

Say - faktor koncentracije napona

Fay - faktor oblika profila zubca

βαβεσ FFVAn

tsaFaFa KKKK

mbFyyyy ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= - izraz za cilindrične zupčanike sa kosim z.

[ ] XRRTNStFMF yyyyyy ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= δσσσ lim

RTy - uticaj hrapavosti podnožnog zubca zupčanika

STy - koncentracija napona

Ny - uticaj vremenske izdržljivosti

σy - uticaj radne izdržljivosti

Ry δ - uticaj korekcije s obzirom na razliku osetljivosti na koncentraciju napona

Xy - uticaj razlike u veličini zupca

KONUSNI ILI KONIČNI ZUPČASTI PAROVI

A1

2

R

[ ][ ]

21

1

2

2

1

2211

222

111

21ln

22

11

sinsin

0sinsinsinsin

0,

,

ωωω

δδ

ωω

δωδωδωδω

ω

ω

−=

=

=−

⋅=

⋅=

=−=

=

=

rel

n

n

nnre

RRRVRV

VVVRV

RV

2

2

2

1

21 90

ωωω

δδ

+=

=Σ=+

rel

o

o9021 ≠Σ=+ δδ - slučaj u slici 2

[ ])cos(2

)(180cos2

2122

21

2

212122

21

2

Σ++=

+−−+=

ωωωωωδδωωωωω

rel

rel

U grupi koničnih zupčanih parova spadaju zupčanici čije se ose seku. Vektor relativne ugaone brzine jednog zupčanika u odnosu na drugi određen je izrazom:

21 ωωω −=rel

Za trenutnu osu relativno kretanje jednog zupčanika u odnosu na drugi za proizvoljno izabranu tačku A koja se nalazi na rastojanju R važi sledeći izraz:

[ ][ ]RV

RV

,

,

22

11

ω

ω

=

=

Da bi se ostvarilo kotrljanje bez klizanja jednog zupčanika u odnosu na drugi komponenta relativne normalne brzine jednaka je 0:

021 =−= nnrel VVV

Na osnovu gornjeg izlaza proizilazi prenosni odnos:

1

2

2

1

sinsin

δδ

ωω

=

rel

rel

DOPUNSKI KONUS Prostorno sprezanje konusa zupčastih parova može se pojednostaviti tako što se za posmatrani konusni zupčasti par odredi ekvivalentan cilindrični zupčasti par.

21

2

22

1

11

2

22

1

11

cos

cos

cos1

2

cos1

2

vvv

v

v

ev

ev

rra

zz

zz

dr

dr

+=

=

=

==

==

δ

δ

δ

δ

Povlačenjem normala na izvodnice kinematskih konusa definišu se izvodnice dopunskih konusa. Vrh dopunskih konusa nalazi se na osama obrtanja.

DIMENZIJE KONUSNIH ZUPČANIKA

Prema obliku bočnih linija konusniparovi mogu biti:

1. Sa pravim zupcima 2. Sa kosim zupcima 3. Sa lučnim zupcima

OPTEREĆENJE KONIČNIH ZUPČANIKA

Aksijalna sila deluje od kinematskog konusa u pravcu ose. Normalna sila deluje na zajedničku izvodnicu i razlaže se na aksijalnu i radijalnu silu.

δαδα

δ

α β

sintan

costan2sin

222

coscos

21

21

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅−=

⋅−

⋅=

⋅=

=

nta

ntr

mm

mmmt

n

tn

FFFF

bmd

dT

dT

dTF

FFn

NAPON

βαβεσ HHVAm

tHEH KKKK

uu

dbFzzzz ⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅⋅=12

- napon na boku

βαβεσ FFVAm

tSaFaF KKKK

mbFyyyy ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= - napon u korenu

[ ]

[ ]F

MFF

H

MHH

S

S

σσσσ

1

1

=

=

HIPERBOLIČNI ZUPČASTI PAROVI

Pužasti parovi

U pužaste parove spadaju zupčanici čije se ose mimoilaze, a nisu paralelne. Kinematske površine su jednograni hiperboloidi sa grlom na mestu najmanjeg osnog rastojanja. Komponente obimne brzine u ravni upravnoj na trenutnu osu su istovetne (ostvaruje se kotrljanje bez klizanja), a u pravcu ose su različite što znači da se ostvaruje klizanje. Za razliku od cilindričnih zupčanih parova koje karakteriše klizanje po visini zupca, hiperboloidne zupčaste parove karakteriše klizanje u pravcu linije dodira. Posledica klizanja je habanje boka zubca i smanjenje stepena iskorišćenja. Podela pužastih parova ostvarena je prema obliku podnožne i temene površine malog zupčanika-puža, koji ima oblik sličan navoju. Za slučaj da su podnožna i temena površina delovi cilindra, tada su podnožna i temena površina pužnog točka delovi kružnog torusa, pa ovaj zupčasti par spada u grupu cilindričnih zupčastih parova. U ovom slučaju podnožna i temena površina pužastok točka prilagođena je obliku podnožne i temene površine puža. Za slučaj da su temena i podužna povšina delovi kružnih torusa, tada ovaj zupčasti par spada u grupu globoidnih zupčastih parova.

GEOMETRIJA CILINDRIČNIH ZUPČASTIH PAROVA

S obzirom da se ostvaruje kotrljanje bez klizanja podeonog kruga (pužastog točka) po podeonoj pravoj puža, tada važi relacija:

πmpp == 21

1p - aksijalni korak na podeonoj pravi puža

2p - podeoni korak na podeonom krugu

mqmzdd

LmzL

mm

mm ⋅==⇒=

⋅⋅=

γππ

πγ

π

tantan 1

m

zqγtan1= - pužni broj

mxddzmd

m ⋅⋅+=

⋅=

21

22

22

2221 xzqmdda ++

=+

=

PRENOSNI ODNOS

Pužasti par karakteriše kotrljanje bez klizanja podeonog kruga po podeonoj pravoj.

1

2

2

1

2211

222

22

22

1111

21

22

2

zz

nn

pznpzn

znpzmndV

pznLnVVV

=

⋅⋅=⋅⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅==

⋅⋅=⋅=

=

πω

Prenosni odnos određen je odnosom broja zubaca spregnutih zupčanika i ne može se izraziti preko prečnika odgovarajućih podeonih krugova pošto se podeoni cilindri kotrljaju jedan po drugom bez klizanja

ππγ

πργ

γη

m

a

mm

ta

m

m

dpz

dL

mppp

11

21

tan

)tan(tan

⋅==

⋅===

+=

dm

Lm

)tan(tan

12

121212

2

22

1

11

ργγη

η

η

η

+=

⋅⋅=

=

=

m

m

mt

mt

iTTdTF

dTF

NAPONI

32

aTKzz A

EH

⋅⋅= ρσ

ρz - zavisi od dužine i oblika trenutne linije dodira

ez - faktor elastičnosti [ ] limHSVLhMH zzzz σσ ⋅⋅⋅⋅=

Lz - zavisi od uslova podmazivanja

Vz - zavisi od brzine klizanja

sz - uzima se za određen dimenzije

mKL

VVγcos

1= 22

2

mbFYK tA

F ⋅⋅⋅

=τ [ ] NLFMF Y⋅= limττ

Y - faktor oblika bokova zubaca

limFτ - određen je za 6103 ⋅=Σn i 1=NLy - faktor vremenske izdržljivosti