Master Thesis 2003

5/11/2018 Master Thesis 2003 - slidepdf.com

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ELISEU LEANDRO MAGALHÃES MONTEIRO

MODELAÇÃO NUMÉRICA DA SOLIDIFICAÇÃO EM FUNDIÇÃO

Tese submetida à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para a obtenção do grau de Mestre.

UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO

2003



Agradecimentos

O autor deseja expressar os seus agradecimentos a todas as pessoas que directa ou

indirectamente possibilitaram a realização deste trabalho, em especial ao Professor Abel

Rouboa (UTAD) e Professor Caetano Monteiro (UM), pela disponibilidade que

manifestaram em esclarecer as minhas dúvidas e pelos seus oportunos comentários a

este trabalho.

Não posso também deixar de expressar os meus agradecimentos à UTAD, em particular

ao departamento de Engenharia Mecânica, pelo apoio logístico.

Aos meus familiares e amigos pelo incentivo por sempre acreditarem na conclusão bem

sucedida deste trabalho.

ii



Resumo

O objectivo central desta dissertação consiste na aplicação do método dos volumes

finitos à modelação da solidificação em fundição em moldação metálica, usando

coordenadas curvilíneas generalizadas.

As peças de geometria complexa constituem parte substancial do universo das peças

obtidas por fundição, cujo sucesso de produção é em grande parte determinado pela

mesma geometria. Esta afecta não só as condições de solidificação, mas também o

próprio arrefecimento. Por estes motivos a sua modelação assume primordial

importância com vista a eliminar, ou pelo menos reduzir, a necessidade de introduzir

correcções na moldação por defeito de projecto, o que pode por em causa a viabilidade

económica da produção.

A modelação da solidificação em fundição encerra dois níveis de complexidade:

primeiro, a complexidade inerente aos fenómenos físicos envolvidos, e, segundo, a

complexidade de geometrias que os produtos fundidos geralmente apresentam. Para

descrever a evolução dos parâmetros termodinâmicos envolvidos neste fenómeno, é

necessário recorrer à equação diferencial da difusão, definindo as adequadas condições

iniciais e de fronteira, e então desenvolver um código numérico capaz de reproduzir

fielmente a transferência de calor entre peça, moldação e meio ambiente.

A utilização de coordenadas curvilíneas, transformando um domínio real de geometria

arbitrária num domínio computacional rectangular e único, permite uma certacomodidade na programação, apesar de aumentar a complexidade matemática do

modelo.

Afim de confirmar a validade do modelo numérico desenvolvido, este foi comparado

com soluções analíticas conhecidas em problemas de geometria simples, e no caso de

geometrias complexas foi feita comparação com resultados numéricos utilizando o

método das diferenças finitas e dados experimentais.

iii



Dos resultados obtidos pode-se concluir que o método dos volumes finitos se adapta de

modo bastante satisfatório ao rigor que se impõe na descrição de fenómenos complexos

em domínios de geometria complexa.

iv



Abstract

The main objective of the present Thesis is to develop an appropriate numerical

simulation of the solidification in castings, using the finite volume method with

formulation in generalise curvilinear coordinates.

Generally, the shapes produced in foundry industries are characterized by their complex

geometries. The production success is linked with the degree of shape geometry

complexity. This not only affects the solidification conditions but also the cooling. For

these reasons, it is important to reduce the amount of additional work needed to correct

the defects of the shape after cooling.

The simulation of the solidification process has two complexity levels: first, the

complexity of the heat transfer phenomenon, and, second, the complexity of the cast part

geometry. In order to develop a numerical code that allows describing the evolution of

heat parameters during this phenomenon, it is necessary to solve a heat conservation

differential equation using adequate boundary and initial conditions.

The complex geometry induces difficulties to obtain the numerical solution of those

differential equation using orthogonal coordinates. To overcome these difficulties, the

curvilinear formulation and an appropriate finite volume method are used. The validity

of the developed numeric model is confirmed by its comparison with experimental data

and numerical results using other approaches.

The Finite Volumes Method revealed to be well adapted to describe such complex

phenomena in complex geometry, which characterize the generality of the casting

practice cases.

v



Résume

L'objectif central de cette dissertation consiste en l'application de la méthode des

volumes finis, au modelage de la solidification dans le moulage métallique, utilisant des

coordonnées curvilignes généralisées.

En général, les pièces de géométries complexes constituent une partie substantielle des

pièces obtenues par moulage, dont le succès de la production est en grande partie

déterminé par la complexité de leurs géométries. Elle affecte non seulement les

conditions de solidification, mais aussi le refroidissement lui-même. Pour ces raisons, il

est important de réduire le travail supplémentaire qui consiste à corriger les défauts du

moulage. En effet, cette réduction nous permet d’économiser dans le coût de la

production des pièces moulées.

La modélisation de la solidification comporte deux niveaux de complexité :

premièrement, la complexité des phénomènes physiques, et, en second, la complexité de

la géométrie de produit fondu. Afin de développer un code numérique qui permet de

décrire l’évolution des paramètres thermodynamiques de ce phénomène, il est

nécessaire de résoudre l’équation différentielle de la conservation de l’énergie, en

utilisant la définition de la condition initiale et des conditions aux limites.

La complexité de la géométrie de la pièce rend très difficile la résolution de l’équation

différentielle. L'utilisation des coordonnées curvilignes est nécessaire ainsi que leurstransformation d’un domaine réel (géométrie complexe) vers un domaine de calcul

(géométrie rectangulaire). Ceci permet un confort dans la programmation, malgré

l’augmentation de la complexité mathématique du modèle.

Afin de valider le code développé utilisant un nouveau solveur, la confrontation avec les

résultats expérimentaux et numériques (utilisant la méthode des différences finies) a été

mise en évidence.

vi



Les résultats obtenus permettent de déduire que la méthode des volumes finis s'adapte

de manière satisfaisante à la description de phénomènes complexes dans des domaines

de la géométrie complexe.

vii



Lista de símbolos

Romanos

A matriz de coeficientes

a difusividade (m2/s)

ar

vector genérico

B matriz de termos independentesC matriz de pré-condicionamento

C p capacidade térmica mássica (J/kg ºC)

ds superfície elementar (m2)

F fluxo líquido através da fronteira do volume de controlo

f componente vectorial da difusão de calor

f s fracção sólida

h coeficiente Newtoniano de transferência de calor (W/m ºC) J Jacobiano da transformação

J 0 função de Bessel do primeiro grau de primeira ordem

J 1 função de Bessel do primeiro grau de segunda ordem

k condutibilidade térmica (W/m ºC)

L matriz triangular inferior

M matriz produto ( LU )

n

r

vector normal a superfície do volume de controloO termos da série de Taylor de ordem superior a dois

Q matriz de termos independentes

q fonte de calor gerada por mudança de fase (W/m3)

R Resíduo

r raio (m)

S superfície (m2)

t tempo (s)

viii



U matriz triangular superior

ur

vector velocidade (m/s)

x, y eixos do sistema cartesiano de coordenadas (m)

Y matriz de coeficientes

Gregos

α factor peso

β factor de relaxação

∆h f calor latente de transformação de fase (J/kg)

∆t incremento de tempo (s)

δ actualização do erro de convergência

ε erro de convergência

φ temperatura (ºC)

λ factor interpolador

ν valor próprio

θ variável genérica

ρ massa volúmica (Kg/m³)

Γ fronteira genérica de um domínio

∂ designação de derivada parcial

µ zeros das funções de Bessel do primeiro grau e primeira ordem

ψ vector próprio

∆ designação para variação discreta

∇

operador Nablaξ,η eixos do sistema de coordenadas curvilíneas

Índices

a ambiente

E Este

f fusão

ix



i,j coordenadas computacionais

k número da iteração

l líquido ou liquidus

m moldação

N Norte

NE Nordeste

NN Norte-Norte

NNW Nor-noroeste

NW Noroeste

n iteração temporal

nb nós vizinhos

P nó central de um volume de controlo

S Sul

SE Sudeste

SS Sul-Sul

SSE Su-sueste

SW Sudoeste

s sólido, solidus ou metal solidificadoW Oeste

x



Lista de figuras

Figura1.1 – Curvas de arrefecimento de um corpo metálico.......................................................................................... 3

Figura 1.2 – Mecanismo de formação de rechupes....................................................................................................................... 4

Figura 1.3 – Zonas de formação de rechupes numa peça.................................................................................................... 5

Figura 2.1 – Discretização de uma geometria de forma arbitrária..................................................................... 20

Figura 2.2 – Fronteiras entre domínios........................................................................................................................................................ 21

Figura 2.3 – Fronteiras virtuais................................................................................................................................................................................ 21

Figura 2.4 – Domínios compostos...................................................................................................................................................................... 22

Figura 2.5- Interpolação linear e bilinear transfinita............................................................................................................... 24

Figura 2.6 – Volume de controlo 2D.............................................................................................................................................................. 30

Figura 2.7 – Matrizes L, U e M do método SIP............................................................................................................................. 46

Figura 3.1 – Malha cartesiana.................................................................................................................................................................................... 58

Figura 3.2 – Isotérmicos da solução numérica e analítica (Olson e Schultz).................................... 58

Figura 3.3 – Comparação entre solução analítica e numérica (domínio rectangular)...........59



Figura 3.6 – Variação do parâmetro β na formulaçaõ de Richtmayer e Morton........................60

Figura 3.7 – Malha curvilínea e corresponde malha computacional.............................................................. 63

Figura 3.8 – Isotérmicos da solução analítica e numérica (domínio circular).................................. 64

Figura 3.9 – Comparação entre solução analítica e numérica (domínio circular)......................64

Figura 3.10 – Diferença de temperatura para 2 critérios de paragem distintos............................... 66Figura 4.1 – Balanço térmico num elemento infinitesimal........................................................................................... 69

Figura 4.2 – Variação da fracção sólida com a temperatura....................................................................................... 70

Figura 4.3 – Secção transversal do conjunto peça/moldação..................................................................................... 80

Figura 4.4 – Divisão da secção transversal do conjunto peça/moldação.................................................. 80

Figura 4.5 – Divisão do conjunto peça/ moldação em 17 sub-domínios .................................................. 81

Figura 4.6 – Malha do conjunto peça/moldação............................................................................................................................ 81

Figura 4.7 – Organograma do código desenvolvido................................................................................................................ 84

xi



Figura 4.8 – Campo de temperaturas inicial (1º e 2º abordagens)...................................................................... 86

Figura 4.9 – Campo de temperaturas inicial (3º abordagem)..................................................................................... 86

Figura 4.10 – Campo de temperaturas - conjunto 0.25 s (1º abordagem)............................................... 87

Figura 4.11 – Campo de temperaturas decorridos 2 s (1º abordagem)........................................................ 88

Figura 4.12 – Campo de temperaturas - conjunto 4 s (1º abordagem)......................................................... 88


Figura 4.14 – Campo de temperaturas da peça 6 s (1º abordagem)................................................................. 89

Figura 4.15 – Campo de temperaturas da moldação 6 s (1º abordagem)................................................. 89




Figura 4.19 – Campo de temperaturas- conjunto 12 s (2º abordagem)....................................................... 92

Figura 4.20 – Campo de temperaturas- conjunto 14,8 s (2º abordagem)................................................. 93

Figura 4.21 – Campo de temperaturas da peça 14.8 s (2º abordagem)....................................................... 93

Figura 4.22 – Campo de temperaturas da moldação 14.8 s (2º abordagem)....................................... 94


Figura 4.24 – Campo de temperaturas - conjunto 4 s (3º abordagem)......................................................... 95Figura 4.25 – Campo de temperaturas - conjunto 8 s (3º abordagem)......................................................... 95

Figura 4.26 – Campo de temperaturas - conjunto 12 s (3º abordagem)..................................................... 96


Figura 4.28 – Campo de temperaturas da peça 14.9 s (3º abordagem)....................................................... 96

Figura 4.29 – Campo de temperaturas da moldação 14.9 s (3º abordagem)....................................... 97

Figura 4.30 – Variação da fracção sólida nos diferentes sub-domínios da peça........................... 98

Figura 5.1 – Localização dos termopares na moldação.................................................................................................. 101Figura 5.2 – Comparação entre os resultados experimentais e numéricos........................................ 102

Figura 5.3 – Comparação entre os resultados experimentais e numéricos........................................ 103



xii



Lista de Tabelas

Quadro 1.1 – Comparação entre métodos: experimental, teórico e numérico..................................... 7

Quadro 3.1 – Áreas e volumes em 2D utilizadas no método dos volumes finitos.....................56

Quadro 3.2- Coeficientes Anb do modelo da condução em domínio rectangular ......................... 56

Quadro 3.3 – Coeficientes A P e Q P (domínio rectangular)............................................................................................ 56

Quadro 3.4 – Coeficientes Anb para o modelo da condução em geometria circular .................62

Quadro 3.5 – Coeficientes A P e Q P (domínio circular)........................................................................................................ 62

Quadro 3.6 – Performance de vários métodos iterativos………………………………………………..........................65

Quadro 4.1 – coeficientes Anb do modelo da solidificação............................................................................................. 75

Quadro 4.2 – Coeficientes A P e Q P (modelo solidificação).......................................................................................... 75

Quadro 4.3 – Propriedades físicas dos materiais da moldação e da peça................................................ 78

Quadro 4.4 – Coeficientes de transferência de calor nas diferentes interfaces............................... 78

Quadro 4.5 – Software comercial......................................................................................................................................................................... 82

Quadro 5.1 – Erro médio das diferentes abordagens do problema da solidificação...........109

xiii



Índice

Agradecimentos............................................................................................................................................................................................................................... ii

Resumo......................................................................................................................................................................................................................................................... iii

Abstract......................................................................................................................................................................................................................................................... v

Résume.......................................................................................................................................................................................................................................................... vi

Lista de símbolos..................................................................................................................................................................................................................... viii

Romanos.............................................................................................................................................................................................................................. viii

Gregos.......................................................................................................................................................................................................................................... ix

Índices.......................................................................................................................................................................................................................................... ix

Lista de figuras............................................................................................................................................................................................................................... xi

Lista de tabelas........................................................................................................................................................................................................................... xiii

Índice........................................................................................................................................................................................................................................................... xiv

Capítulo I – Introdução...................................................................................................................................................................................................... 1

I. Introdução.............................................................................................................................................................................................................................................. 1

II. Motivação........................................................................................................................................................................................................................................... 2

III. Estado da arte.............................................................................................................................................................................................................................. 7

IV. Objectivo....................................................................................................................................................................................................................................... 16

V. Plano....................................................................................................................................................................................................................................................... 16

Capítulo II – Técnicas numéricas para a resolução de equações diferenciais...................18

I. Introdução.......................................................................................................................................................................................................................................... 18

II. Discretização do espaço............................................................................................................................................................................................ 19

II.1. Domínios compostos................................................................................................................................................................................ 20

II.2. Geração da malha por interpolação algébrica.................................................................................................... 23

II.3. Método dos volumes finitos.......................................................................................................................................................... 25

II.3.1. Aproximação de integrais de superfície................................................................................................ 29

xiv



II.3.2. Aproximação de integrais de volume....................................................................................................... 31

II.3.3. Técnicas de interpolação.............................................................................................................................................. 32

II.4. Discretização em problemas transitórios................................................................................................................... 34

II.5. Aproximação numérica de derivadas.............................................................................................................................. 37

II.6. Resolução de sistemas de equações lineares........................................................................................................ 39

II.6.1. Eliminação de Gauss.......................................................................................................................................................... 39

II.6.2. Factorização LU........................................................................................................................................................................ 41

II.6.3. Métodos iterativos.................................................................................................................................................................. 42

II.6.3.1. Método de Jacobi............................................................................................................................................... 46

II.6.3.2. Método de Gauss-Seidel......................................................................................................................... 46

II.6.3.3. Método de Stone................................................................................................................................................. 47

III. Conclusão..................................................................................................................................................................................................................................... 52

Capítulo III – Formulação matemática da transferência de calor....................................................... 54

I. Introdução.......................................................................................................................................................................................................................................... 54

II. Condução de calor em domínio rectangular ............................................................................................................................... 54

III. Condução de calor em domínio circular ........................................................................................................................................ 61

IV. Conclusão..................................................................................................................................................................................................................................... 66

Capítulo IV – Simulação numérica da solidificação em fundição.......................................................... 68

I. Introdução.......................................................................................................................................................................................................................................... 68

II. Modelo matemático......................................................................................................................................................................................................... 68

III. Discretização........................................................................................................................................................................................................................... 74

IV. Condições iniciais e de fronteira............................................................................................................................................................... 76

V. Domínio de cálculo.......................................................................................................................................................................................................... 80VI. Estrutura do código desenvolvido........................................................................................................................................................... 81

VII. Apresentação e discussão dos resultados................................................................................................................................... 86

VII.1 – Campo de temperaturas inicial na moldação............................................................................................. 86

VII.2 – Resultados considerando transferência de calor por condução...................................... 88

VII.3 – Resultados considerando transferência de calor Newtoniana parcial...................91

VII.4 – Resultados considerando transferência de calor Newtoniana........................................... 95

VIII. Conclusão............................................................................................................................................................................................................................... 99

xv



Capítulo V – Validação do modelo numérico....................................................................................................................... 101

I. Introdução...................................................................................................................................................................................................................................... 101

II. Comparação entre dados experimentais e numéricos............................................................................................... 102

III. Conclusão................................................................................................................................................................................................................................. 111

Capítulo VI – Conclusões e perspectivas de trabalhos futuros............................................................... 112

I. Conclusões................................................................................................................................................................................................................................... 112

II. Perspectivas de desenvolvimentos futuros................................................................................................................................ 115

Referências....................................................................................................................................................................................................................................... 116

xvi



Capítulo I

Introdução

I. Introdução

Os processos de produção de peças utilizando a solidificação de metais em cavidades com

forma adequada têm sido aplicados há milénios pelo homem. Como exemplos históricos

podem ser citadas as ferramentas e peças ornamentais fundidas há cerca de 4000 anos pelos

egípcios e assírios, as moedas e obra de arte chinesas de há 3000 anos atrás e as esculturas

gregas de grandes dimensões fundidas há 2500 anos. Naturalmente esses processos foram

desenvolvidos empiricamente através de tentativa e erro, e esse tipo de desenvolvimento no

campo da fundição, persistiu de um modo geral, até há bem pouco tempo. No entanto, acrescente utilização dos processos de fundição na produção de peças de maior precisão e

em maiores quantidades e, sobretudo o emprego cada vez maior da automação nesses

processos, tem exigido o desenvolvimento de métodos de análise mais elaborados, que

levem a um controlo mais preciso dos mesmos.

A técnica da fundição pode ser explicada do seguinte modo: provoca-se a fusão do metal

com que se enche de seguida cavidades, ditas moldações, cuja forma corresponde à forma

negativa do objecto que se pretende obter. O metal ao solidificar conserva a forma da

cavidade, embora a peça que se obtém comporte igualmente alguns apêndices,

nomeadamente: o ou os canais de enchimento, os alimentadores e os canais de evacuação

1



Capítulo I – Introdução

de ar. O metal que solidifica nestes canais será posteriormente separado da peça

propriamente dita, na operação de rebarbagem [1].

Actualmente, o processo de fundição é utilizado em larga escala e coloca ao Homem umnovo desafio – a sua viabilidade económica. Esta pode ser comprometida se não se

projectar correctamente a moldação responsável pela qualidade do produto final.

A solução de problemas reais de engenharia através de técnicas numéricas é actualmente

uma realidade tanto ao nível académico quanto industrial. A crescente evolução dos

computadores tem possibilitado que problemas cada vez mais complexos possam ser

resolvidos através de técnicas numéricas. Outro factor que também contribuiu para esta

tendência está relacionado com os custos de projecto. Os computadores modernos além decada vez mais poderosos são cada vez menos dispendiosos. Hoje é possível que todo o

desenvolvimento de um problema numérico seja criado num microcomputador, cujo custo é

muito baixo, deixando apenas as grandes simulações, com malhas refinadas, para as

estações de trabalho. Alguns problemas podem até mesmo serem resolvidos no próprio

microcomputador em que o código foi desenvolvido.

Ainda com relação a factores económicos, é importante salientar que actualmente já é

possível substituir horas de experimentação em laboratório a custos altíssimos por

simulação em computador, diminuindo enormemente os custos de projecto, e deixando os

testes de laboratório apenas para refinamentos, ou para a modelação de problemas que

ainda não possuam uma formulação matemática satisfatória.

II. Motivação

O fenómeno físico da solidificação constitui a principal vantagem da fundição, porque o

metal líquido permite que com pouco esforço seja possível dar a forma desejada aos metais

e é amplamente determinada quer por factores dinâmicos quer por factores termodinâmicos

[2].

2




O aquecimento de um metal sólido provoca o aumento da amplitude de vibração dos

átomos seus constituintes, até que se dá o colapso da estrutura sólida. Em condições

isobáricas, este colapso ocorre a uma temperatura específica para cada elemento – a

temperatura de fusão. A esta temperatura, a massa do elemento passa do estado sólido aoestado líquido à medida que se vão quebrando as ligações com os vizinhos, características

do estado sólido. A energia necessária para provocar a inviabilidade destas ligações

constitui uma propriedade intrínseca de cada elemento, designada por calor latente.

A transferência de calor entre um corpo a temperatura elevada e o meio em que está

inserido realiza-se a uma velocidade que depende das características de ambos, de forma

que a temperatura do corpo tende para a temperatura do meio em que se encontra imerso

(figura 1.1a).

b a c

T e m p e r a t u r a

Tempo

L í q u i d o

Líquido+

Sólido

Tempo


S ó l i d o

Líquido+

Sólido L í q u i d o


Tempo

S ó l i d o

Figura 1.1 – Curvas de arrefecimento mostrando a evolução da temperatura de um corpo metálico aarrefecer em condições de equilíbrio, em três casos diferentes:

a) Se não ocorrer mudança de estado durante o arrefecimento.

b) Ocorrência de mudança de estado que produz um patamar à temperatura a que se dá a transição,no caso de se tratar de um metal puro.

c) No caso de uma liga metálica, a ocorrência de mudança de estado pode produzir não um patamar

mas apenas duas inflexões: a primeira indicando o início, solidus, e a segunda o fim, liquidus, da

solidificação.

No caso de um metal puro em arrefecimento a partir do estado líquido em condições de

equilíbrio, ocorre solidificação da massa metálica a temperatura constante. A curva de

arrefecimento de um corpo nestas condições apresenta então um patamar como indicado

pela figura 1.1b, à temperatura a que líquido e sólido coexistem, o que significa que o metal

solidifica a uma velocidade que corresponde à capacidade de absorção do calor latente pela

3




sua vizinhança. A temperatura do metal só baixará quando toda a massa metálica tiver

passado ao estado sólido.

No caso do corpo ser constituído por uma liga metálica, ao contrário do que acontece paraum metal puro, a solidificação não ocorre geralmente a temperatura constante, porque os

cristais que se formam não têm a mesma composição que o líquido donde são originários

[1]. De forma a equilibrar o desvio de composição de cristais formados, a composição do

líquido altera-se ao longo do processo, e, como líquidos de composição diferente podem

iniciar a solidificação a temperaturas distintas (figura 1.1c), a temperatura de solidificação

vai baixando à medida que a composição do líquido se vai alterando.

Durante a solidificação, o metal sofre uma variação de volume designada contracção desolidificação, e corresponde à assunção de uma estrutura mais organizada e compacta. A

solidificação progride a partir das paredes da moldação, mantendo-se o metal no estado

líquido durante mais tempo no interior das paredes maciças da peça. Se a liga tiver um

intervalo de solidificação muito estreito, a solidificação pode estar efectivamente terminada

nas partes finas e a contracção, na parte central da peça que já não é alimentada, dar origem

à formação de vazios na peça, designados por rechupes (figuras 1.2 e 1.3).

a b c

Figura 1.2 - Mecanismo de formação de rechupes como resultado da variação de volume mássico durante o

processo de solidificação.

a) A massa de metal solidifica sem que o avanço da solidificação seja observável do exterior;b) O avanço da solidificação provoca o abaixamento do nível do líquido;

c) No final da solidificação o rechupe não é visível do exterior.

As variações bruscas de espessura provocam ainda descontinuidade na contracção no

estado sólido. Desta situação resulta, sobretudo em moldação metálica, um campo de

tensões residuais que pode provocar distorções ou mesmo rupturas e fendas na peça.

4




F igura 1.3 - Zonas de formação de rechupes numa peça.

A condutibilidade térmica do metal constituinte da moldação é normalmente elevada e da

ordem de grandeza da do metal vazado, pelo que a sua solidificação é muito rápida.

Quando o vazamento do metal líquido é feito por gravidade, o metal pode solidificar em

percentagens consideráveis antes do término do enchimento. Uma forma de acautelar o

interromper do enchimento por solidificação extemporânea é fazer o vazamento com a

moldação quente, mas à mais baixa temperatura compatível com o bom enchimento da

moldação. Desta forma, a contracção do metal na fase líquida é reduzida ao mínimo, e a

moldação aquecida permite um trajecto mais longo do metal antes que aconteça qualquer

interrupção do fluxo por estrangulamento do escoamento.

O ciclo de produção de uma peça por vazamento em moldação metálica começa com a

moldação fechada pronta para receber o metal líquido e termina com a moldação fechada

pronta para o próximo vazamento. Para garantir a reprodutibilidade, é conveniente que a

moldação se encontre em condições térmicas idênticas, antes de cada vazamento.

Se a cadência de produção baixar, a temperatura da moldação irá baixar e alterar as

condições de solidificação. Inversamente, se a cadência aumenta, a temperatura da

moldação aumenta, criando-se o efeito oposto. Para se variar a cadência de produção terá

que se intervir nas características de escoamento de calor, para e na moldação.

5




A moldação metálica tem, portanto, uma primordial importância na transferência de calor.

Mas o campo de temperaturas na moldação também não é uniforme, e varia com o tempo.

A sua variação é devida ao arrefecimento progressivo do metal na sua cavidade, à

contracção da peça no estado sólido e também às irregularidades de espessura da peça e da própria moldação, que afectam a difusão do calor.

O comportamento térmico do conjunto é ainda afectado pelo deslocamento entre a peça e a

moldação, pela utilização de pinturas de protecção e isolamento térmico e pelo

aquecimento ou arrefecimento propositado de zonas específicas da moldação.

Tradicionalmente, os problemas físicos são resolvidos quer por métodos analíticos quer por

métodos experimentais, entretanto, a constante evolução do computador tornou viável umterceiro método – a aproximação numérica. No entanto, o método experimental continua a

ter grande importância, principalmente quando os fenómenos envolvidos são de grande

complexidade, mas a tendência para o uso dos métodos numéricos tem vindo a aumentar

devido à fiabilidade dos resultados e baixo custo quando comparados com os métodos

experimentais. No quadro 1.1 faz-se uma discriminação das vantagens e desvantagens

destes três métodos.

A sugestão aqui dada não é fazer crer que o método numérico substitua totalmente os testes

experimentais como meio de reunir informação para um determinado projecto, mas uma

certeza podemos ter, os métodos computacionais serão utilizados com mais frequência no

futuro. Naturalmente certos fenómenos físicos possuem uma complexidade de tal ordem

que se continuará a necessitar da execução de determinados testes de confirmação

experimental, mas mesmo nestes casos, a simulação numérica pode ser usada no sentido de

reduzir o número de condições a experimentar.

A abordagem analítica do problema encontra grandes dificuldades devido à complexidade

do fenómeno da solidificação. O método experimental tem como principal óbice os seus

custos que é, precisamente, o que se pretende reduzir. A alternativa que os métodos

numéricos proporcionam, encontra também dificuldades, que se prendem com a

6




multiplicidade e complexidade de geometrias obtidas por fundição, e com a disponibilidade

e fiabilidade de dados físicos de caracterização dos materiais e fenómenos envolvidos [1].

Quadro 1.1 – Comparação entre métodos: experimental, teórico e numérico.

MÉTODO VANTAGENS DESVANTAGENS

Equipamento necessário

Custos de operação

Dificuldades de mediçãoExperimental Realista

Problemas de escala

Restrito a geometrias simples

Teórico

Informação global do problema,

geralmente em termos de

expressões matemáticas Restrito, em geral, aos problemas lineares

Capacidade para tratar problemas

não lineares

Erros de truncatura

Capacidade para tratar problemas

físicos complexos

Problemas em estabelecer as condições de

fronteira Numérico

Permite obter a evolução temporal

da variável dependenteCustos de computação

A principal razão pela qual se recorre, cada vez mais, à simulação computacional das

transformações que ocorrem no metal ao arrefecer, de modo a detectar possíveis erros de

concepção da moldação é essencialmente a viabilidade económica da produção.

III. Estado da arte

De um modo geral, apesar de haver alguns trabalhos anteriores, o início de estudos

sistemáticos de análise do fenómeno da solidificação deu-se na primeira metade do século

7




XX, e a sua frequência tem aumentado desde então. Esses trabalhos têm visado, através de

uma análise teórico/experimental dos processos de solidificação, obter com maior precisão,

parâmetros que actuam efectivamente na transformação líquido/sólido, com o objectivo de

se exercer um maior controlo sobre a estrutura interna e, consequentemente, sobre osdefeitos e propriedades das peças obtidas através desses processos.

É sabido que a simulação numérica é já uma ferramenta importante de suporte dos

processos industriais de fundição. O objectivo da simulação é retirar o máximo de

informação da dinâmica da solidificação. Como já foi referido na secção anterior o

arrefecimento e consequente mudança de fase do metal líquido, é um fenómeno complexo,

não apenas devido aos modos de transferência de calor existentes, mas também devido à

geometria das peças, normalmente complexa.

Kothe et al , refere que num cenário típico de enchimento duma moldação, estão presentes

pelo menos quatro meios separados por interfaces: o material da cavidade (moldação); o ar,

ou um gás inerte; o metal líquido de enchimento da moldação; e o metal solidificado,

subsequente ao enchimento da moldação à medida que o arrefecimento progride [4].

A transferência de calor em fundição está longe de ser um problema estacionário, até pelo

carácter discreto da forma de produção desta tecnologia. O líquido vazado na moldação

arrefece em contacto com as paredes desta. Entretanto, há diferentes obstáculos entre o

metal líquido e o ambiente para o qual é escoado o calor: a interface moldação/ambiente, a

moldação propriamente dita; a interface metal/moldação, o metal sólido, a interface metal

sólido/metal líquido e o metal líquido [1].

O problema é complexo, em particular para a maioria das geometrias que interessam em

fundição, pelo que a sua descrição matemática, quando viável, pode envolver expressões degrande complexidade.

O fenómeno da solidificação em fundição é descrito através da equação da difusão de calor,

cuja forma diferencial é a seguinte [1, 5:7]:

8




( )( ).

pC k q

t

ρ φφ

∂= ∇ ∇ +

∂& (1.1)

ou usando o muito popular modelo da entalpia [8:14],

( )( ).

H k q

t

ρφ

∂= ∇ ∇ +

∂& (1.2)

onde representa o calor gerado no elemento, H a entalpia e ρ, C q& p e k são características

físicas do material: massa volúmica, capacidade térmica mássica e condutibilidade térmica,

respectivamente. Uma outra forma desta equação é fornecida por Knoll et al . onde o índice

s denota fase sólida e o índice l denota fase líquida, é o vector velocidade [13,14]. l ur

( )( )( ) .l l l

H h u k

t

ρρ φ

∂+ ∇ − ∇ ∇ =

∂r

0 (1.3)

A massa volúmica da mistura é definida por:

l s s s f f ρρρ )1( −+= (1.4)

e a entalpia da mistura por,

l l s s s s h f h f H ρρρ )1( −+= (1.5)

e as entalpias de fase são dadas pelas seguintes expressões:

, s p sh C φ= (1.6)

,l p l h C hf φ= + ∆ (1.7)

onde f s representa a fracção sólida e ∆hf o calor latente de fusão.

9




De forma a facilitar o desenvolvimento dos modelos numéricos para a descrição do

fenómeno da solidificação as características físicas ρ , C p e k do metal e da moldação são

assumidas como constantes [1,5:14].

Como se sabe a mudança de fase de qualquer metal ou liga metálica não é instantânea. Esta

mudança de fase ocorre a uma taxa que depende do equilíbrio de fases do material a

solidificar.

No caso de um metal puro, ou de uma liga de composição eutética, em arrefecimento a

partir do estado líquido em condições de equilíbrio, ocorre solidificação da massa metálica

a temperatura constante. A curva de arrefecimento de um corpo nestas condições apresenta

então um patamar como indicado pela figura 1.1b, à temperatura a que líquido e sólido

coexistem, o que significa que o metal solidifica a uma velocidade que corresponde à

capacidade de absorção do calor latente pela sua vizinhança. Este tipo de problema é

denominado na literatura pelo problema de Stefan [7,13:17], cuja solução analítica pode ser

consultada em [17].

Para uma liga metálica, a solidificação não ocorre em geral a temperatura constante,

(figura 1.1c). A taxa de arrefecimento pode ser expressa em função da fracção efectiva de

material sólido, a fracção sólida f s, da massa volúmica do material ρ, e da variação da

entalpia na transformação de fase ∆h f , (calor latente) [1]. Juric e Tryggvason [7] e mais

recentemente Voller [8] usaram a função δ(x-x f ) que é não nula apenas na interface

sólido/líquido, isto é, quando x = x f , para descrever o termo fonte da equação da energia.

À temperatura constante φm a fracção sólida é uma função da entalpia de acordo com a

seguinte relação.

(1 ) p m s H C f hf φ− = − ∆ (1.8)

A fracção sólida pode então ser obtida através da equação da energia igualando o termo

transitório da temperatura a zero dado que a temperatura é constante e igual à temperatura

10




de fusão. A temperatura pode ser calculada como uma função da entalpia T=τ(Η), da

seguinte forma:

( ) 0)( =

∂∂

∂∂−

∂∂

x H

xk

t H τ

ρ (1.9)

Para um metal puro a função τ(Η), é definida da seguinte forma:

, ;

( ) ,

( ) / .

p p m

m p m p

f p p m f

H C H C

H C H

H h C H C h

φ

τ φ φ φ

φ

<

= ≤ ≤ − ∆ > + ∆

;m f C h+ ∆ (1.10)

que contempla a relação existente entre a temperatura e a entalpia para um metal puro.

Para o caso de uma liga binária que solidifique num intervalo de temperaturas, a função

τ(Η), é um pouco mais complexa. Assumindo uma relação linear entre as propriedades

temperatura e entalpia vem que:

l l f C mT T += (1.11)

onde T f é a temperatura de fusão para um metal puro, ml é o declive da linha de liquidus e

C l é a concentração de metal líquido. Assumindo equilíbrio termodinâmico na interface

sólido-líquido resulta na seguinte relação para a concentração de metal solidificado na

interface,

C s =γ C l (1.12)

onde γ é o coeficiente de repartição de material sólido e líquido na interface. Usando um

modelo à escala local (zona bifásica) C l é definido como uma função da fracção sólida.

11




C l = G (f s ) (1.13)

Neste estudo foram utilizados dois modelos locais: no primeiro assume-se completa difusão

do soluto no líquido e difusão nula do mesmo no sólido (assunção de Scheil), o segundo

modelo é sustentado pela regra da alavanca no qual é considerado difusão completa do

soluto em ambas as fases. Para uma liga binária estas assunções resultam nas seguintes

expressões para a fracção sólida:

(1 )

1.0 f l

s

f

f

γφ φ

φ φ

− − −

= − − (1.14)

para a assunção de Scheil, e

11.0

1 ) f l

s

f

f φ φ

φ φ γ

− = − − −

(1.15)

para a regra da alavanca.

A função da temperatura para uma liga binária com transformação eutéctica pode, então ser apresentada como,

,

,

, ;

, (( )

( (1 ) ) / , (1 )

.( ) / , ;

p p eut

eut p eut p eut s eut f

s f p p eut s eut f p l f

f p p l f

H C H C

C H C f h H

H f h C C f h H C h

H h C H C h

φ

φ φ φτ

φ φ

φ

<

≤ ≤ + − ∆=

− − ∆ + − ∆ ≤ ≤ + ∆ − ∆ > + ∆

1 ) ;

; (1.16)

onde φeut é a temperatura do ponto eutéctico.

Como é sabido grande parte dos fenómenos físicos são regidos matematicamente por

equações ou sistemas de equações diferenciais que devem ser respeitadas em todo o domínio

e por um conjunto de condições de fronteira e/ou condições iniciais eventualmente também

12




descrito por um sistema de equações diferenciais. Quando um esquema numérico é aplicado

a estas equações diferenciais, o domínio computacional é subdividido em pontos, volumes

ou elementos, pertencentes a uma malha e as equações são discretizadas e resolvidas em

função dessa malha.

A resolução analítica de uma equação de diferenciais parciais só é possível em casos

particulares. Daí a necessidade de reformulação do problema, dando-lhe uma forma

puramente algébrica. Esta operação, designada por discretização, consiste na substituição do

problema contínuo por um problema discreto aproximado.

Para a discretização do espaço, Monteiro [1] utilizou o método das diferenças finitas em

coordenadas generalizadas para poder modelar as geometrias complexas normalmente presentes em fundição. Para a discretização do tempo usou a formulação explícita de Euler.

A definição das geometrias complexas proposta passa pela sua divisão em troços de

geometria mais simples, pelo estabelecimento de malhas curvilíneas em cada troço, pela

definição das interacções a respeitar entre os diferentes troços, o que constitui a

discretização da geometria em causa.

Gong et al. [9,10], Comini et al. [12], Sarler e Alujevic [15] utilizaram o método doselementos finitos como método de discretização, tendo, este último, sujeitado o seu modelo

matemático a vários tipos de condições de fronteira distintos:

o Dirichlet- onde a variável dependente assume um valor específico, por exemplo,

uma fronteira isotérmica [3];

o Neumann - derivada de valor específico da variável dependente, por exemplo, uma

fronteira adiabática [3];

o Robbin – trata-se de uma combinação dos dois tipos de condições de fronteira

anteriores, por exemplo, um fluxo convectivo [3].

As incógnitas H (entalpia) e φ (temperatura) são discretizadas da seguinte forma:

13




∑=

=n

i

ii t H z y x N H 1

)(),,( (1.17)

1

( , , ) ( )n

i ii

N x y z t φ φ=

=

∑ (1.18)

onde N i são as funções de forma.

As n equações podem então ser escritas na forma matricial seguinte,

[M] {V H } + [K] {T} ={F} (1.19)

onde:

dV N N M e

V jiij ∑∫ = ρ (1.20)

∑∫ ∑∫ +

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

ee S ji

V

ji ji jiij dS N hN dV

z

N

z

N

y

N

y

N

x

N

x

N k K (1.21)

dS T N hdV N Q F ee S

f iV

ii ∑∫ ∑∫ += (1.22)

A derivada em ordem ao tempo é discretizada utilizando uma formulação implícita com

três níveis de tempo.

[ ]{ } [ ]{ } { } F T T T K V M nnn

H =+−+++ −+ 11 )25.0()5.0( βββ (1.23)

A equação resultante da discretização é não linear o que motivou o desenvolvimento de um

novo método de quadratura com apenas um ponto. Este método aplicado aos problemas não

lineares reduz em quase dois terços o tempo de computação e com precisão próxima dos

esquemas de quadratura de quatro pontos.

14




Por fim o método dos volumes finitos utilizado por, Voler [8], Knoll et al. [13,14],

Ambrosi e Preziosi [18,19] e Fabbri [20]. As derivadas de φ no domínio computacional são

aproximadas para a face Este do volume de controlo da seguinte forma:

( ) E W

φφ φ

ξ∂

≈ −∂

(1.24)

( )1

4ne se N NE S SE

φφ φ φ φ φ φ

η∂

≈ − ≈ + − −∂

(1.25)

onde foram assumidos espaçamentos computacionais unitários (∆ξ = ∆η=1).

Uma forma de evitar as restrições em termos de passo de tempo a utilizar (estabilidade), éutilizar formulações implícitas para a discretização temporal em detrimento das explícitas.

Quando em presença de geometrias complexas o uso de coordenadas curvilíneas permite

descrever através de um reduzido número de volumes de controlo os seus contornos, no

entanto, aumenta a complexidade matemática do modelo. A molécula computacional passa

a ser de nove pontos em contraste com os 5 pontos das malhas cartesianas. È, no entanto,

possível utilizar os métodos de resolução de equações lineares desenvolvidos para as

malhas cartesianas escrevendo-se o sistema de equações em duas parcelas:

A B Qφ φ + = (1.26)

onde a matriz A contém os coeficientes ortogonais e a matiz B os coeficientes não

ortogonais.

O sistema de equações (1.26) é, então, resolvido utilizando o chamado deferred correction

scheme, seguinte [21]:

old A Q Bφ φ = − (1.27)

15




onde é a solução da iteração anterior.old φ

Como se pode constatar podem ser utilizados diferentes métodos de discretização para

discretizar as equações que regem o fenómeno da solidificação. No entanto, uma análiseatenta de cada situação poderá ser determinante para a escolha do método que permitirá

obter melhores resultados ou maior comodidade de programação.

IV. Objectivo

O objectivo principal desta tese consiste no desenvolvimento de um software em linguagem

FORTRAN para simular numericamente a solidificação em moldação metálica, usando o

método dos volumes finitos e coordenadas curvilíneas generalizadas.

V. Plano

Parece neste momento perfeitamente claro que o ponto de partida na realização deste

trabalho terá de ser a análise dos fenómenos de transferência de calor que ocorrem no

escoamento de calor desde o metal em arrefecimento até ao meio ambiente, e por este facto

se dedicou as secções anteriores à análise das transformações que ocorrem nos metais e

ligas metálicas ao arrefecerem desde o estado líquido. Na secção anterior procurou-se dar

uma ideia, embora sucinta, do trabalho realizado por alguns investigadores na área da

modelação numérica do fenómeno da solidificação dos metais, onde ficou bem patente a

necessidade de encontrar uma formulação matemática capaz de descrever o fenómeno de

forma clara.

Como os fenómenos físicos da natureza são regidos por equações diferenciais, e só em

casos excepcionais estas se pode resolver analiticamente, a alternativa passa pelo uso dos

métodos numéricos sobre os quais se debruçará o segundo capítulo.

16




Com o intuito de testar o modelo numérico desenvolvido, este vai ser comparado com

soluções analíticas conhecidas. Numa primeira abordagem será comparada a solução

analítica proposta por Olson e Schultz para a condução de calor num corpo bidimensional

utilizando coordenadas cartesianas. Numa segunda abordagem será efectuado o mesmo tipode comparação, mas, agora, utilizando um domínio não rectangular de modo a testar o

código desenvolvido em coordenadas curvilíneas. Este será o assunto do terceiro capítulo.

Devido ao facto das peças obtidas por fundição serem na sua maioria de geometria

complexa, torna-se necessário recorrer a uma transformação de coordenadas que

aumentando a complexidade do problema do ponto de vista matemático, facilita a

programação a realizar em linguagem FORTRAN, mormente porque para diferentes

geometrias o domínio computacional será o mesmo. Este constitui um dos assuntos do

quarto capítulo juntamente com a aplicação do código desenvolvido para uma geometria

complexa concreta.

O modelo numérico a desenvolver terá necessariamente de ser validado. Essa validação

será efectuada no quinto capítulo onde se faz a comparação com resultados experimentais e,

também, com resultados numéricos utilizando o método das diferenças finitas.

No sexto e último capítulo, são apresentadas as principais conclusões deste trabalho e,

ainda, perspectivas de desenvolvimentos futuros.

17



Capítulo II

Técnicas numéricas de resolução de equações diferenciais

I. Introdução

Grande parte dos fenómenos físicos são regidos matematicamente por equações ou

sistemas de equações diferenciais que devem ser respeitadas em todo o domínio e por um

conjunto de condições de fronteira e/ou condições iniciais eventualmente também

descrito por um sistema de equações diferenciais. A resolução analítica de uma equação de diferenciais parciais só é possível em casos

particulares. Daí a necessidade de reformulação do problema, dando-lhe uma forma

puramente algébrica. Esta operação, designada por discretização, consiste na substituição

do problema contínuo por um problema discreto aproximado.

A operação de discretização permite, portanto, a conversão de um modelo contínuo num

modelo discreto aproximado. Como consequência deste processo, o modelo matemático

contendo equações com derivadas parciais pode em geral ser convertido num outro

contendo equações diferenciais ordinárias ou apenas equações algébricas.

Para se recorrer aos métodos numéricos é também necessário representar adequadamente

a geometria, o que se consegue fazendo a escolha de um número finito de nós

computacionais, supostos representativos de todo o domínio, onde irá ser determinada a

solução numérica.

Quando os domínios, físico e computacional, forem idênticos, por exemplo um

rectângulo, não é necessário qualquer transformação, mas no caso de geometrias físicas

18



Capítulo II – Técnicas numéricas de resolução de equações diferenciais

complexas, a transformação pode provocar modificações drásticas quer nas equações

constitutivas do fenómeno físico quer nas condições de fronteira associadas.

Para solucionar este problema podemos recorrer às técnicas de transformação decoordenadas, relativamente comuns, mas nem sempre é possível descrever

convenientemente um domínio irregular através desta técnica.

A descrição dos contornos das formas geométricas complexas constitui uma grande

dificuldade se pretendermos utilizar malhas cartesianas ortogonais. Esta dificuldade não

se coloca se definirmos malhas de forma livre, cuja utilização facilita a discretização

computacional e possibilita a aplicação de algoritmos genéricos a geometrias complexa.

Uma das formas de conseguir o que acima se disse é dividir a geometria complexa em

troços de geometria mais simples, pelo estabelecimento de malhas curvilíneas em cada

um desses troços e pela definição adequada da interacção entre os mesmos.

II. Discretização do espaço

A definição de coordenadas curvilíneas de forma generalizada, cada vez mais presentes

nos métodos numéricos, permite a transformação de um domínio de forma arbitrária

num domínio de forma rectangular [22:25]. Deste modo, para estabelecer um sistema de

coordenadas curvilíneas apenas se terá que definir as relações funcionais ξ(x,y) e η(x,y)

que aplicam um domínio geométrico qualquer num rectângulo.

Na figura 2.1 representa-se um domínio de forma arbitrária, bem como a definição dos

sentidos de variação das coordenadas curvilíneas.

Um ponto qualquer do interior do domínio será definido pelas coordenadas curvilíneas

(ξ,η), estabelecidas em função da sua posição real e das regras impostas para a

construção das linhas de coordenada invariante.

Os pontos no interior ficarão localizados pela intersecção de linhas coordenadas que

ligam os pontos correspondentes em fronteiras opostas [23].

19




J

ξ

(a) (b)

ξ I 0

0

η

η

(x,y) η

(x,y) ξ

(c)

(x,y) η

(x,y) ξ

(x,y) η (x,y) ξ

ξ

η

x

Figura 2.1 – Discretização de uma geometria de forma arbitrária.

Especificadas as coordenadas curvilíneas sobre as fronteiras (figura 2.1a), o passo

seguinte é escrever de forma adequada o domínio no interior do sistema (figura 2.1b).

Ao estabelecer uma relação biunívoca entre a posição de todos os pontos assim

definidos, e os pontos de uma malha arbitrariamente rectangular, o domínio regular que

fica disponível é a imagem computacional (figura 2.1c) da geometria real, que permite a

transposição do problema real e o desenvolvimento da solução neste domínio.

II.1. Domínios Compostos

No caso do estudo de peças para fundição, estão envolvidas geralmente regiões que,além de apresentarem formas geométricas distintas, também têm características físicas

diferentes. Nestes casos será necessário ter em atenção alguns aspectos relativos ao

contacto entre as diferentes sub-regiões.

Em primeiro lugar, considere-se que o domínio circular da figura 2.2 constitui a secção

recta de uma barra cilíndrica. A obtenção da peça exige a existência de uma moldação,

cuja secção recta poderá ser a coroa circular limitada pelas circunferências Γ1

e Γ2,

20




representada na figura 2.2 A sua transformação num rectângulo pode ser conseguida

seccionando o domínio físico pelo segmento AB, assim criando as fronteiras virtuais AB

e CD, de acordo com o procedimento ilustrado na figura 2.3.

1 Γ

1Γ2Γ

(a) (b)

Figura 2.2 – A curva Γ1 que define o contorno exterior da secção transversal de uma barra cilíndrica

(a), define também o contorno interior da parede da moldação que permite a sua produção (b), e

estabelece a fronteira entre ambos os domínios. A curva Γ2 que define o contorno exterior da

secção transversal da parede da moldação estabelece a fronteira com o ambiente.

A

(a) (b)

B

D

C

(c)

A B

D

C A B

Figura 2.3 - A transformação do sub-domínio constituído pela moldação num domínio rectangular pode

ser feita pela definição de uma fronteira virtual AB ligando as fronteiras constituídas por Γ1 e Γ2.

A fronteira virtual AB desdobra-se em duas fronteiras (b) para definir o domínio computacional (c).

O domínio de cálculo básico para este caso poderá ser definido criando uma sequência

de dois meios que podem apresentar, e normalmente apresentam, diferentes

características físicas, com fronteira para o exterior e com interface de contacto entre si.

21




22

Na figura 2.4 mostra-se o aspecto computacional que o conjunto peça-moldação pode

apresentar, e as conexões que é necessário estabelecer entre as fronteiras reais ou

virtuais dos domínios definidos.

Figura 2.4 - Conjunto peça-moldação. Geração de malha no metal (a), criação de quatro fronteirasvirtuais no domínio constituído pela moldação (b). No domínio computacional, (c), cada

sub-domínio gerado apresenta a forma rectangular.

Mesmo que o domínio computacional não constitua um polígono de quatro lados, pode

ser dividido em blocos desse tipo, como se mostra na figura 2.4.

O domínio computacional compreenderá uma colecção de blocos rectangulares, em que

a identificação dos pontos pode ser feita utilizando valores inteiros sucessivos para cada

linha coordenada de cada bloco. Assim as coordenadas de cada ponto serão r(i,j), com

(i,j) indicando a posição (ξ,η) no domínio transformado [23].

As fronteiras no domínio computacional podem corresponder quer a fronteiras físicas

reais, quer a cortes do domínio físico homogéneo, realizados por conveniência de

procedimento.

A

(a) (b)

B

D

C

(c)

G

E

F

C

G

E F

A

B

D

C

G

E

F

A B

D

H G

E F




II.2. Geração da malha por interpolação algébrica

A determinação das posições nodais no interior de um domínio pode ser conseguida

interpolando algebricamente valores definidos numa fronteira para o interior dodomínio.

A primeira fase da colocação de pontos no domínio passa pelo estabelecimento de

pontos nas suas fronteiras, de acordo com uma distribuição adequada.

O espaçamento dos pontos sobre a curva não tem que ser necessariamente uniforme.

Pode, em determinadas situações, ser vantajoso que haja espaçamentos diferentes em

extremidades ou em troços diferentes da mesma curva. Uma das vantagens desta

situação pode ser a redução global do número de nós, conseguida com o aumento do

espaçamento em zonas cuja descrição pode ser feita com menor densidade de pontos.

No entanto, é necessário ter em atenção que variações bruscas desse espaçamento

podem inviabilizar o cálculo da derivada local, devido à condição de continuidade [23].

Após a definição das quatro fronteiras que definem o contorno de um domínio, faz-se a

colocação dos nós em cada uma, de forma a garantir o mesmo número de nós ( n para adirecção e m para a direcção η) em fronteiras opostas, e também a distribuir

adequadamente a posição dos mesmos em cada fronteira.

ξ

Uma interpolação algébrica de Lagrange, pode ser aplicada a todas as linhas

coordenadas. Numa primeira aproximação pode fazer-se a interpolação ao longo de ξ j

entre os pares de valores que as funções xk (ξi,ξ j ) tomam em fronteiras ξi opostas. Uma

interpolação destes valores pode ser feita recorrendo a uma função linear do tipo,

( )1

1

j j f

n

ξξ

−=

− (2.1)

resultando na malha que se apresenta na figura 2.5a, e obtém-se a seguinte expressão

para a função xk (ξi,ξ j ):

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1

, ,1 1

i j j i j i

k k x f x f xξ ξ ξ ξ ξ ξ= + − ,k n (2.2)

23




Desta forma, as posições determinadas para os extremos em que ξi=1 e ξi=m só

coincidem com posições sobre as fronteiras ξ j efectivas, ξ j=1 e ξ j=n, se estas forem

rectilíneas no domínio real.

A diferença entre estas posições pode ser calculada para cada nó destas fronteiras como

segue:

j

k

j

k

j

k x x ξξξ ,1,1,1 12 −= x (2.3)

( ) ( ) ( ) j

k

j

k

j

k m xm xm x ξξξ ,,, 12 −= (2.4)

Estas diferenças podem ser interpoladas para todo o domínio, obtendo-se, para cada ponto do interior, o valor da diferença entre as posições determinadas e as desejadas

[23]:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2, 1, 1i j i j i j

k k x f x f x mξ ξ ξ ξ ξ ξ= + − 2 ,k (2.5)

(a) (b)

Figura 2.5 - Interpolação linear (a), Interpolação bilinear transfinita (b).

Para se conseguir o objectivo referido, basta então subtrair às posições determinadas na

interpolação linear, as diferenças interpoladas para cada ponto interior, para se obter umconjunto de posições que respeitam em todas as fronteiras a geometria real do domínio

(figura 2.5b).

( ) ( ) ( ) ji

k

ji

k

ji

k x x x ξξξξξξ ,,, 21 −= (2.6)

24




II.3. Método dos volumes finitos

Tal como foi referido no primeiro capítulo qualquer método de discretização pode ser

utilizado para discretizar a equação que rege o fenómeno da solidificação; no entanto,uma análise atenta de cada situação poderá ser determinante para a escolha do método

que permitirá obter resultados ou mais comodidade de programação.

i) O método das diferenças finitas tem como ponto de partida a escrita das equações

constitutivas do fenómeno físico na forma diferencial. O domínio de cálculo é

representado por uma malha de pontos. Em cada ponto da malha, as equações

diferenciais são aproximadas por substituição das derivadas por termos que são função

dos valores nodais da variável dependente que pretendemos conhecer. O resultado é uma

equação algébrica para cada nó da malha onde aparecem como incógnita, o valor da

variável dependente nesse ponto e num determinado número de nós vizinhos.

A aproximação da primeira e segunda derivada são realizadas com base na expansão em

série de Taylor das variáveis em relação às coordenadas. Quando necessário, estes

métodos são também usados para determinar o valor das variáveis noutros locais além

dos pontos da malha, o que acontece no caso da interpolação.

Em malhas regulares, o método das diferenças finitas é de implementação simples e

bastante preciso.

As desvantagens deste método residem no facto das leis de conservação não serem

respeitadas a não ser que se tenham precauções especiais. Também o facto das restrições

às geometrias simples é uma grande desvantagem tendo em conta que a grande parte dos

problemas de interesse prático não ocorrem nesse tipo de geometria.

ii) No método dos elementos finitos o domínio de cálculo é dividido num determinado

número de elementos finitos geralmente irregulares; em 2D, assumem formas como

triângulos ou quadrados, enquanto que em 3D as formas mais usadas são os cubos e

hexágonos. O que distingue este método de todos os outros é o facto das equações serem

multiplicadas por uma função peso antes de se realizar a integração sobre todo o

domínio. No caso mais simples do método dos elementos finitos, a solução é aproximada

25




por uma função de forma linear e aplicada a todos os elementos de forma a garantir a

continuidade da solução nas suas fronteiras. Uma função deste tipo pode ser obtida

através dos valores que toma nos vértices dos elementos.

Esta aproximação é então substituída no integral da lei da conservação já multiplicada

pela função peso, sendo a equação a ser resolvida derivada com a assunção de que a

derivada em relação a cada valor nodal é igual a zero; o que corresponde a seleccionar a

melhor solução entre as possíveis (aquela que tiver menor resíduo). O que resulta num

sistema de equações não linear.

Uma importante vantagem do método dos elementos finitos é a sua capacidade de lidar

com geometrias de forma arbitrária. As malhas podem ser facilmente refinadas por

divisão simples dos elementos.

A principal desvantagem deste método é aquela que é partilhada por todos os métodos

de discretização quando se utilizam malhas irregulares, e consiste no facto das matrizes

das equações linearizadas não possuírem a mesma forma que as resultantes da utilização

de malhas regulares, o que dificulta a escolha de um método de resolução eficiente a

utilizar.

iii) O método dos volumes finitos constitui uma aproximação alternativa à diferença

finita e utiliza como ponto de partida a seguinte equação de transporte genérica [26,27]:

( )( ) ( )div u div grad q

t θ

ρθρθ θ

∂+ = Γ

∂r

+

r

(2.7)

onde o primeiro termo representa a variação temporal da variável dependente θ, osegundo termo, é o termo convectivo onde é o vector velocidade. No segundo

membro está presente o termo de difusão (Γ é o coeficiente de difusão apropriado) e o

termo fonte qθ.

u

A integração da equação (2.7) sobre um volume de controlo (VC) constitui o passo

fundamental do método dos volumes finitos e distingue-o de todos os outros métodos.

26




( )( ) ( )

VC VC VC VC

dV div u dV div grad dV q dV t

θ

ρθρθ θ

∂+ = Γ +

∂∫ ∫ ∫ ∫ r (2.8)

Os integrais de volume, relativos aos termos convectivo e difusivo, podem ser reescritoscomo integrais de superfície do VC utilizado o teorema da divergência de Gauss.

Para um vector genérico a , o teorema da divergência estabelece que [28]:r

.VC SC

div a dV a nds=∫ ∫ r r r (2.9)

cuja interpretação física permite afirmar que é a componente do vector a na

direcção normal ao elemento de superfície ds. Este teorema estabelece que o integral

do divergente de um vector a sobre um volume é igual à componente de sobre uma

superfície que lhe é normal.

.a nr r

.r

nr

.r

.ar

Da aplicação do teorema da divergência à expressão 2.8 resulta que:

.( ) .( )SC SC VC

VC

dV n u dS n grad dS q dV t

θρθ ρθ θ ∂

+ = Γ + ∂

∫ ∫ ∫ ∫ r r r (2.10)

onde a ordem de integração e de diferenciação foi alterada no primeiro termo do

primeiro membro da equação (2.10) de modo a ilustrar melhor o seu significado físico.

Este termo representa a variação temporal da acumulação total da propriedade θ no VC.

Em problemas transitórios é necessário integrar em relação ao tempo t sobre um pequeno

intervalo ∆t , isto é, de t a t+∆t . Tal integração permite obter a forma mais geral da

equação de transporte da propriedade θ.

.( ) .( )t VC t SC t SC t VC

dV dt n u dS dt n grad dS dt q dV dt t

θρθ ρθ θ∆ ∆ ∆ ∆

∂+ = Γ +

∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

r r r (2.11)

O domínio de cálculo é subdividido num número finito de volumes de controlo (VC)

contíguos que, em contraste com o método das diferenças finitas, definem os limites dos

volumes de controlo e não os nós computacionais. A equação (2.11) é, então, aplicada a

cada VC e as variáveis dependentes podem ser avaliadas no centro dos volumes ou nos

27




vértices conforme se trate da formulação em célula centrada (cell center ) ou da

formulação utilizando os vértices da célula computacional (cell vertex), respectivamente.

A formulação em célula centrada é habitualmente mais usada pelo que será utilizada,também, neste trabalho. O centro geométrico de cada VC constitui, então, um nó

computacional onde a variável dependente será calculada. Para expressar os valores da

variável dependente nas faces dos VC em termos dos valores nos centros dos VC

utilizam-se as técnicas de interpolação. Os integrais de volume e de superfície são

aproximados usando fórmulas de quadratura adequadas. Como resultado, temos uma

equação algébrica para cada VC onde aparece um determinado número de valores

nodais, dependendo do número de dimensões consideradas, referentes a nós vizinhos.

Este método aceita qualquer tipo de malha, e é adequado para geometrias complexas. A

malha define apenas as fronteiras dos VC e necessita de ser relacionada com um sistema

de coordenadas. O método é conservativo por natureza, e portanto os integrais de

superfície são idênticos para os VC que partilham a mesma fronteira.

A aproximação pelo método dos volumes finitos é talvez a mais simples de entender

devido a que todos os termos que necessitam ser aproximados têm significado físico,motivo pelo qual é muito popular entre os Engenheiros.

A desvantagem deste método em relação ao método das diferenças finitas é o facto de os

esquemas de ordem superior a dois serem mais difíceis de desenvolver. Isto deve-se ao

facto da aproximação por volumes finitos requerer dois níveis de aproximação:

interpolação e integração.

A aproximação habitual passa por definir os volumes de controlo através de uma malha

adequada e colocar o nó computacional no centro do volume de controlo. Todavia,

poderemos – para malhas regulares – definir primeiro as posições nodais, construindo

posteriormente os volumes de controlo em torno destes, para que as suas faces fiquem

colocadas no centro de cada par de nós adjacentes.

A vantagem da primeira aproximação é que o valor nodal representa a média de todo o

volume de controlo o que permite maior precisão (segunda ordem) do que a segunda

28




aproximação, desde que se garanta que os nós computacionais coincidam com os centros

de massa dos volumes de controlo.

A vantagem da segunda aproximação é sentida quando se utiliza o esquema centrado para aproximar as derivadas nas faces dos volumes de controlo, sendo mais precisa

quando elas estão centradas entre nós vizinhos.

Os princípios de discretização são os mesmos para todas as variantes do método,

variando apenas as localizações dos nós no volume de integração. Para obter uma

equação para cada VC, é necessário aproximar os integrais de superfície e de volume por

fórmulas de quadratura adequadas. É o que se descreve nas próximas subsecções.

II.3.1. Aproximação de integrais de superfície

Apresenta-se na figura 2.6 um volume de controlo 2D típico, assim como as respectivas

notações a utilizar ao longo deste trabalho.

A superfície do volume de controlo pode ser subdividida em quatro (2D) ou seis (3D)faces planas, denotadas no caso 2D por letras correspondentes à sua direcção (e, w, n, s)

em relação ao nó central P .

O fluxo líquido através da fronteira do volume de controlo (VC) é a soma dos integrais

sobre as seis faces [27]:

∑∫ ∫ =k

S S ds f ds f

k

(2.12)

onde f é a componente vectorial da difusão na direcção normal à face do VC. Para

manter a conservação é importante que os VC não se sobreponham, cada face do VC é

única para os dois VC que contactam entre si.

29




30

η j+1

NW NE N •

•

•

η j

nw n ne

w e

sw s se

W E P •

•

η j-1

•••

S SW SE

ξi-1 ξi ξi+1

Figura 2.6 – Volume de controlo 2D típico e notação usada. As faces do volume de controlo sãodenotadas por letras minúsculas e os nós centrais por letras maiúsculas.

Para calcular o integral de superfície presente na expressão (2.12) é necessário conhecer

o integrando f em toda a superfície S e. Como não dispomos dessa informação e como só

os valores nodais (centros do VC) são calculados teremos de introduzir uma

aproximação. A melhor forma de o fazer é usando dois níveis de aproximação [27]:

o

O integral é aproximado em função dos valores das variáveis num ou mais locaisda face considerada;

o Os valores na face são aproximados em função dos valores nodais (centros dos

VC).

A aproximação mais simples do integral é a que nos é proporcionada pela regra do ponto

médio: o integral é aproximado como o produto do integrando no centro da face da

célula considerada (que é também uma aproximação dada pelo valor médio de toda a

superfície) e a área dessa mesma face (será considerada apenas a face Este nesta

demonstração, sendo as restantes tratadas de modo similar) [27,29]:

ee e e

S F f ds f S f = = ≈∫ e eS (2.13)

esta aproximação do integral – permitida pelo facto do valor de f na face ‘e’ ser

conhecido é de segunda ordem. Quando os valores de f na face da célula não estiverem

disponíveis, terão de ser obtidos por interpolação. De modo a que a precisão de segunda




ordem, que a regra do ponto médio permite, seja mantida, o valor de f e terá que ser

obtido pelo menos com a mesma precisão.

Uma outra aproximação de segunda ordem para o integral de superfície em 2D é a regrado trapézio, que se apresenta de seguida [27,29]:

)(2 sene

e

S e f f

S ds f F

e

−≈= ∫ (2.14)

neste caso necessitamos do valor do integrando nos vértices do volume de controlo.

Para aproximações de ordem superior a dois dos integrais de superfície, o valor dointegrando é necessário em mais do que dois locais. Por exemplo, a regra de Simpson é

uma aproximação de quarta ordem, e estima o valor do integral de superfície da seguinte

forma [27,29]:

)4(6 seene

e

S e f f f

S ds f F

e

++≈= ∫ (2.15)

onde são necessários os valores de f em três locais distintos. No centro da face ‘e’ e nosvértices, ‘ne’ e ‘ se’. De forma a manter a precisão desta aproximação, estes valores

deverão ser obtidos por interpolação dos valores nodais com a mesma ordem de precisão.

Os polinómios de terceiro grau são uma possibilidade.

II.3.2. Aproximação de integrais de volume

O termo fonte (q) que representa a geração interna de calor num determinado fenómeno

físico requer uma integração sobre o volume do VC. A aproximação mais simples é a de

segunda ordem, onde o integral de volume é substituído pelo produto do valor médio do

termo fonte pelo volume do VC, como se mostra na expressão (2.16) [27,29].

V qV qdV qQV

P P ∆≈∆== ∫ (2.16)

31




Onde q P representa o valor de q no centro do VC. Esta quantidade é facilmente calculada

se todas as variáveis no nó central P forem conhecidas, e consequentemente não existe

necessidade de interpolar. A aproximação descrita pela expressão (2.16) representa

fielmente o valor de q se este for constante ou variar linearmente ao longo do VC. Uma

aproximação de ordem superior requer valores de q noutras posições além dos centros do

VC. Estes valores terão que ser obtidos por interpolação de valores nodais conhecidos,

ou pelo uso de funções de forma (técnica habitual do método dos elementos finitos).

II.3.3. Técnicas de interpolação

As aproximações dos integrais requerem o valor das variáveis noutros locais além dos

nós computacionais (centro do VC). O integrando, f , envolve o produto de muitas

variáveis e/ou gradientes das mesmas nesses locais. Para o cálculo do fluxo por difusão

necessitamos conhecer o valor de θ e do seu gradiente na direcção normal à face da

célula considerada numa ou mais posições da superfície do VC. Os integrais de volume

relativos ao termo fonte podem também requerer esses valores, estes terão que ser

expressos em termos dos valores nodais por interpolação. Existe um grande número de possibilidades de aproximação entre as quais se refere apenas as que são comummente

utilizadas.

i) A formulação UDS (Upwind Differencing Scheme) aproxima o valor de θe pelo valor

imediatamente acima da face Este, o que é equivalente a usar a formulação progressiva

ou regressiva (dependendo da direcção do escoamento) da diferença finita na

aproximação da primeira derivada [3,27]:

se ( . ) 0

se ( . ) 0 P e

e

E e

v n

v n

θθ

θ

>=

<

r r

r r (2.17)

Esta é a única aproximação que satisfaz as condições de fronteira incondicionalmente,

isto é, nunca irá ter uma solução oscilatória.

32




ii) A interpolação linear (CDS - Central Difference Scheme) entre dois nós adjacentes

constitui uma outra possibilidade de aproximação do valor no centro da face da variável

dependente. Na face Este de um VC presente numa malha cartesiana temos que [3,27]:

(1 )e E e P eθ θ λ θ λ= + − (2.18)

onde o factor λe se define como:

e P e

E P

x x

x xλ

−=

− (2.19)

onde xe , x E e x P são as abcissas: da face Este do volume de controlo; do nó central do VC

a Este do VC considerado e do nó central do VC considerado, respectivamente.

A expressão (2.19) possui precisão de segunda ordem, facto que pode ser provado pelo

desenvolvimento em série de Taylor de θ E em torno do ponto x P . O resultado é o que se

apresenta de seguida [27,29]:

2

2

( )( )(1 ) 2

e P E ee E e P e

P

x x x x

O x

θθ θ λ θ λ

− − ∂= + − − + ∂ (2.20)

onde O representa os termos de ordem superior a dois. O erro de truncatura é

proporcional à raiz quadrada do espaçamento da malha utilizada quer ela seja uniforme

ou não.

Esta formulação é equivalente à formulação centrada do método das diferenças finitas,

daí a denominação CDS. Como todas as aproximações realizadas são de ordem superior a um, esta formulação pode produzir soluções oscilatórias.

A assunção de uma relação linear entre os nós P e E oferece também a aproximação mais

simples de um gradiente, importante para a avaliação dos fluxos de difusão:

E P

e E P x x

θ θθ −∂ ≈ ∂ − x (2.21)

33




utilizando a expansão em série de Taylor de θe pode-se demonstrar qual o erro de

truncatura que deriva da utilização da expressão (2.21) [27,29]:

2 2 3 32 3

2 3( ) ( ) ( ) ( )

2( ) 6( )e P E e e P E e

T

E P E P e e

x x x x x x x xO

x x x x x x

θ θε − − − − − −∂ ∂= − − −∂ ∂ + (2.22)

quando a localização de ‘e’ está ao centro entre os nós P e E (caso se tenha uma malha

uniforme), esta aproximação é de segunda ordem. Se o primeiro termo do segundo

membro da expressão (2.22) for nulo, a expressão resultante é então proporcional a ∆ x2.

Quando a malha é não ortogonal, o erro resultante é proporcional ao produto entre ∆ x e

ao factor de expansão da malha.

Interpolações de ordem superior a três só fazem sentido se os integrais forem

aproximados usando também fórmulas de ordem equivalente. A utilização da regra de

Simpson para aproximar os integrais implica que a interpolação seja realizada com

polinómios de pelo menos grau três, obtendo-se erros de quarta ordem.

II.4. Discretização em problemas transitórios

Quando se está perante um problema transitório uma nova variável independente há a

considerar – o tempo.

Tal como as coordenadas espaciais, a coordenada tempo também precisa ser

discretizada.

Para problemas de valor inicial é suficiente considerar uma equação diferencial de

primeira ordem genérica e uma condição inicial também genérica [27,29].

00

( )( , ( )) ; ( )

t f t t t

t

θθ θ θ

∂= =

∂ (2.23)

Pretende-se determinar os valores de θ passado um pequeno intervalo de tempo ∆t

depois da condição inicial. A solução em t 1 = t 0 + ∆t , θ1

, pode ser vista como uma nova

34




condição inicial, podendo-se assim avançar para a solução em t 2 = t 1 + ∆t , e assim

sucessivamente.

O método mais simples é o obtido por integração da expressão (2.23) de t n a tn+1= t n +

∆t

1 1

1 ( , ( ))n n

n n

t t

n n

t t

d dt f t t dt

dt

θθ θ θ

+ +

+= − =∫ ∫ (2.24)

originando uma solução exacta. No entanto, como o termo mais à direita não pode ser

calculado sem o conhecimento da solução, é, portanto, necessário introduzir uma

aproximação. O teorema do valor médio permite o cálculo do integral num ponto

concreto t=τ entre t n e t n+1, o integral é igual a f( τ ,θ(τ)) ∆t , mas este resultado não tem

qualquer interesse porque τ também não é conhecido. Existem, no entanto, outras

formas de aproximar este integral. É o que se aborda de seguida utilizando quatro

simples regras de quadratura numérica.

Se o integral for estimado utilizando o valor do integrando no ponto inicial (regra do

rectângulo à direita), temos que [27:29]:

1 ( , )n n n

n f t t θ θ θ+ = + ∆ (2.25)

que é conhecida como a formulação explícita de Euler.

Se em vez do ponto inicial se utilizar o ponto final (regra do rectângulo à esquerda),

obtém-se a expressão que dá forma à formulação implícita de Euler [27:29]:

1 11( , )n n nn f t t θ θ θ+ ++= + ∆ (2.26)

Utilizando o ponto médio do intervalo obtém-se [27]:

12

12

1 ( , )nn n

n f t t θ θ θ

+++

= + ∆ (2.27)

35




expressão que é conhecida como a regra do ponto médio e pode ser entendida como a

base de um importante método de resolução de equações diferenciais parciais – a

formulação de Leapfrog.

Para finalizar pode-se ainda usar uma linha recta entre os pontos inicial e final para

construir a aproximação:

11

1( , ) ( , )

2n n n n

n n f t f t t θ θ θ θ++ = + + ∆

1+ (2.28)

esta é a regra do trapézio, e constitui a base de um importante método de resolução de

equações diferenciais parciais – a formulação de Crank-Nicolson [27].

Geralmente este conjunto de quatro métodos é designado por métodos de duplo nível,

porque envolvem os valores das incógnitas em apenas dois níveis de tempo. O primeiro

método pertence à classe denominada de explícitos enquanto que os restantes são

denominados de implícitos. Notar que todos os métodos, exceptuando o método

explícito, requerem o valor θ(t) noutro ponto além do inicial (t=t n). De modo que o

segundo termo da expressão (2.24) só pode ser avaliado de forma aproximada.

Poderemos ainda aproximar os integrais da expressão (2.24) por valores médios do

intervalo de integração. Richtmayer e Morton (1967) apresentaram um algoritmo

genérico utilizando uma formulação implícita com três níveis de tempo [30].

( )1 1

1

12

n n n n

n

d

dt t t

θ θ θ θβ β

+ +

+

− − ≈ + − ∆ ∆

1θ −

(2.29)

onde β é o factor de relaxação (1≥β≥0).

A expressão (2.29) pode ser reescrita da seguinte forma:

1 1 11(1 ) ( , )n n n n

n f t t β θ θ βθ θ+ − +++ = − + ∆ (2.30)

transformando-se na expressão que constitui a formulação implícita de Richtmayer e

Morton.

36




II.5. Aproximação numérica de derivadas

O processo de resolução de uma equação diferencial por intermédio de métodos

numéricos implica a sua substituição por equações algébricas. No método dos volumesfinitos a aproximação mais usual é a chamada cell center . Esta permite obter para cada

ponto aproximações convenientes das derivadas, através das diferenças entre os valores

que a função toma nos centros dos volumes de controlo.

A aproximação dos integrais de volume e de superfície será efectuada utilizando a regra

do ponto médio e apresentada apenas para a face Este do volume de controlo. Para as

restantes faces é utilizado o mesmo conceito de aproximação, cujo cálculo poderá ser

feito alterando os índices na expressão que se apresenta. Esta análise não é aplicável

apenas a volumes de controlo de quatro faces, mas sim a um volume de controlo com

qualquer número de faces.

A regra do ponto médio aplicada à forma integral do termo da difusão resulta na

seguinte igualdade [27]:

( )ˆ ˆ. .e

d

e eeS F k grad n ds k grad n S θ θ= ≈∫ (2.31)

Existem diversas formas de aproximar a derivada de θ normal à face da célula. São

descritas apenas duas delas que se consideram mais importantes.

Se a variação de θ na vizinhança da face da célula for descrita por uma função de

forma, é possível diferenciar esta função na posição ‘e’ de modo a encontrar as

derivadas com respeito às coordenadas cartesianas. O fluxo de difusão é então:

d i

e e

i i e

F k x

θ ∂=

∂ ∑ eS (2.32)

Uma outra forma de calcular as derivadas na face da célula passa por obter θ primeiro

no centro do VC, interpolando-a em seguida para obter o valor de θe nas faces.

Tal poderá ser feito de um modo simples se for utilizado o teorema de Gauss,

aproximando a derivada no centro do VC através do valor médio da célula [27].

37




V i

i P

dV x

x V

θ

θ

∂ ∂∂

≈ ∂ ∆

∫ (2.33)

Poder-se-á agora considerar a derivada i xθ∂ ∂ como o divergente do vector θi,

transformando o integral de volume num integral de superfície.

ˆ ˆ. , , , , ,...i

c cV S

ci

dV i n dS S c e n w s x

θθ θ

∂= ≈ =

∂ ∑∫ ∫ (2.34)

As expressões (2.33) e (2.34) dizem que é possível calcular o gradiente de θ em relação

a x no centro do VC somando os produtos de θ pelas componentes na direcção x dos

vectores de superfície de todas as faces do VC e dividindo pelo volume do VC:

i

c c

c

i P

S

x V

θθ ∂

≈ ∂ ∆

∑ (2.35)

para θc, no caso de malhas cartesianas, pode-se utilizar a interpolação linear, é então

obtida a aproximação por diferença finita centrada [27]:

2 E W

i P x x

θ θθ −∂≈ ∂ ∆

(2.36)

as derivadas calculadas pela expressão (2.36) podem ser interpoladas para a face da

célula e o fluxo de difusão pode ser calculado pela expressão (2.34). O problema

inerente a esta aproximação é que poderá gerar uma solução oscilatória no decurso do

processo de iteração.

II.6. Resolução de sistemas de equações lineares

Como vimos do processo de discretização, qualquer que seja o método utilizado, resulta

num sistema de equações algébricas que no caso da equação da energia é linear e pode

ser genericamente representado por [27,29,30]:

38




A Qθ = (2.37)

em que A é uma matriz de coeficientes esparsa (isto é, possuem muitos elementos de

valor igual a zero), θ é um vector contendo as variáveis nos nós computacionais e Q é

um vector de termos independentes.

A equação algébrica para um volume de controlo particular é da forma [26,27]:

P P nb nb P

nb

A Aθ θ+ =∑ Q (2.38)

onde P representa o nó onde a equação de derivadas parciais é aproximada e o índice nb

representa os nós vizinhos envolvidos na aproximação. Q P é o termo fonte, ou seja, não

contém incógnitas.

Como o problema que se pretende resolver implica a resolução de um sistema de

equações linear é pertinente analisarmos aqui alguns dos métodos existentes para esse

fim.

II.6.1. Eliminação de Gauss

O método de eliminação de Gauss constitui o método básico e directo para a resolução

de sistemas lineares de equações algébricas, e baseia-se na redução sistemática de um

grande sistema de equações para um mais pequeno. Ao longo deste procedimento, os

elementos da matriz A são modificados, mas as variáveis dependentes não sofrem

quaisquer alterações, o que torna possível e conveniente efectuar a descrição do métodoem função apenas da matriz A [27,29]:

=

NN

N

N

N N N A

A

A

A A A

A A A

A A A

AM

L

OMMM

L

L

2

1

321

232221

131211

(2.39)

39




O ponto fulcral deste algoritmo é a técnica para eliminar todos os elementos da matriz A

que se encontram abaixo do elemento A11, isto é, substitui-los por zero. Para o efeito

basta multiplicar a cada linha da matriz (cada linha representa uma equação) por

111 A Ai

e subtrai-la pela linha i; neste processo todos os elementos das linhas 2 a n da

matriz são modificados assim como os elementos 2 a n do vector de termos

independentes presente no segundo membro da expressão (2.37). Quando este processo

tiver terminado nenhuma das equações 2 a n conterá a variável θ1. Nesse momento

teremos um sistema com n-1 equações para as variáveis θ2 a θn. O mesmo procedimento

é aplicado ao sistema de equações já reduzido, sendo agora objectivo eliminar todos os

elementos abaixo do elemento A22 e assim sucessivamente.

Este procedimento aplicado para as colunas 1 a n-1 é designado por eliminação

progressiva. Depois de se completar todo o processo a matriz A original terá sido

substituída por uma outra triangular superior, isto é, todos os elementos abaixo da

diagonal principal são nulos.

Todos os elementos excepto os da primeira linha da matriz A são diferentes dos

originais, assim como os elementos do vector de termos independentes Q.

Os sistemas triangulares são de fácil resolução porque se reparamos a última linha ou

equação contém apenas uma incógnita pelo que pode ser resolvida directamente:

nn

nn

Q

Aθ = (2.40)

a equação imediatamente acima contém apenas as incógnitas θn-1 e θn, e como esta

última é já conhecida pela expressão (2.40), podemos resolver também esta equação e

determinar o valor de θn-1 e assim sucessivamente. Generalizando este procedimento

cada equação pode ser resolvida pela seguinte expressão designada por eliminação

regressiva.

1

N

i i

j i

i

ii

Q A

A

θ

θ = +

−

=∑ j j

(2.41)

40




O termo da direita da expressão anterior é calculável porque como os valores de θ j são já

conhecidos.

II.6.2. Factorização LU

Tal como se teve oportunidade de constatar no método de eliminação de Gauss a matriz

original é transformada numa outra triangular superior. O processo responsável por essa

transformação pode ser realizado de um modo mais formal, multiplicando a matriz

original por uma matriz triangular inferior. Por si só o interesse deste procedimento

parece reduzido, mas tendo em consideração que a inversa de uma matriz triangular

inferior é também triangular inferior, então qualquer matriz A, sujeita a algumas

limitações que podem ser aqui ignoradas, pode ser escrita como o produto das matrizes

triangulares: inferior ( L) e superior (U ) [27,29]. Este processo é denominado por

factorização.

O que torna a factorização útil e atractiva é o facto da sua implementação ser

relativamente simples. A matriz triangular superior U é precisamente a que se obtém na primeira fase do método de eliminação de Gauss (eliminação progressiva). Mais ainda,

os elementos de L são os factores multiplicativos usados no processo de eliminação

( Aij /Aii). Isto permite que a factorização seja realizada com uma mínima alteração do

método de eliminação de Gauss.

A utilização desta factorização permite resolver um sistema de equações em duas etapas.

A primeira consiste na definição de [27]:

U θ =Y, (2.42)

a segunda é uma consequência da primeira, e o sistema de equações (2.37) transforma-se

em [27]:

LY = Q. (2.43)

41




O sistema de equações representado pela expressão (2.43) pode ser resolvido por uma

variante do método utilizado na segunda fase da eliminação de Gauss (eliminação

regressiva) na qual se inicia a substituição pelo topo da matriz em detrimento da última

linha. Uma vez resolvida a equação (2.43), obtém-se Y , tornando possível calcular θ

através da expressão (2.42).

Existem algumas variantes deste método que constituem a base de alguns dos melhores

métodos iterativos para a resolução de sistemas de equações lineares, como é o caso do

método de Stone, que é a principal razão por que foi aqui abordado.

II.6.3. Métodos iterativos

Qualquer sistema de equações linear pode ser resolvido por eliminação de Gauss ou pela

factorização LU. Os erros de discretização são normalmente superiores à precisão

aritmética do computador pelo que não existe motivo para resolver o sistema de

equações com essa precisão. Este facto abre uma porta aos métodos iterativos [27].

Nos métodos iterativos utiliza-se uma determinada expressão para melhorar

constantemente a solução. Se as iterações forem de exigência moderada e baixas em

número, o método iterativo pode ser menos dispendioso que o método directo.

Aplicando n iterações à expressão (2.37) obtém-se uma solução aproximada θ n que pode

ser escrita matematicamente da seguinte forma [21,27]:

n n

A Q Rθ = − (2.44)

em que Rn é o valor residual. Por subtracção da expressão (2.44) pela expressão (2.37),

obtemos uma relação entre o erro de convergência definido por:

n nε θ θ= − (2.45)

onde θ é a solução exacta, e o valor residual é:

42




n n A Rε = (2.46)

O objectivo do processo iterativo é tornar o valor residual nulo, o que faria da solução

encontrada a exacta. Para o efeito, considere-se o seguinte esquema iterativo aplicado a

um sistema de equações linear [27]:

1n nM N θ θ+ = + B

θ

n R

n

. (2.47)

Onde M e N são matrizes de coeficientes e B é o vector de termos independentes.

Uma propriedade que deverá obviamente ser respeitada por um método iterativo é que a

solução final satisfaça a expressão (2.37) Como, por definição, em convergência,

, deveremos ter:1n nθ θ+ = =

e A M N B Q= − = (2.48)

ou, genericamente,

eCA M N B CQ= − = (2.49)

em que C é a chamada matriz de pré-condicionamento.

Uma versão alternativa deste método pode ser obtida por subtracção de a ambos os

termos da expressão (2.47), obtendo-se:

nM θ

( ) ( )1 oun n n nM B M N M θ θ θ δ+ − = − − = (2.50)

onde é denominado correcção ou actualização e constitui uma

aproximação ao erro de convergência [27].

1n nδ θ θ+= −

Quando se pretende utilizar um método iterativo o critério de selecção é,

essencialmente, a rapidez de convergência. Justifica-se, portanto, prestar alguma

atenção ao modo como determinar essa característica.

43




O primeiro passo é a derivação da equação que determina o erro de convergência. Para a

encontrar, relembra-se que, em convergência, θn+1=θn

=θ, e deste modo a solução

convergente obedece à expressão:

M N θ θ= + B (2.51)

Subtraindo esta equação pela expressão (2.47) e fazendo uso da definição (2.45), vem

que:

1 1n nM N ε ε+ −= (2.52)

O método iterativo converge se o limite de εn, quando n tende para infinito é igual azero. O aspecto crítico do método é promovido pelo valor próprio νk e vector próprio ψκ

da matriz definida por:1M N −

1 k k

k M N ψ ν ψ− = (2.53)

onde o índice k representa o número de equações. Assume-se que os vectores próprios

constituem uma base para R

n

, isto é, um espaço vectorial que comporta todas as n componentes vectoriais. Pelo que o erro inicial pode ser expresso por [27]:

0

1

K k

k

k

aε ψ=

= ∑ (2.54)

onde ak é uma constante. Então o procedimento iterativo (2.52) é realizado do seguinte

modo:

∑∑==

−− === K

k

k

k k

K

k

k

k aa N M N M 11

1011 ψνψεε (2.55)

e, por indução, vem que:

∑=

= K

k

k n

k k

n a1

)( ψνε (2.56)

44




claro que, se εn se tornar nulo para valores elevados de n, a condição necessária e

suficiente é que todos os valores próprios deverão ter magnitude menor que a unidade.

Ao vector próprio de maior amplitude chama-se raio espectral da matriz M -1 N . De facto,

depois de algumas iterações, os termos da expressão (2.56) que contêm valores próprios

de pequena magnitude tornam-se ainda mais pequenos e apenas o termo correspondente

ao valor próprio de maior magnitude (que podemos considerar como sendo ν1 e assumi-

lo como único) permanece, pelo que a expressão (2.56) pode ser escrita da seguinte

forma [27]:

11 1( )n n

aε ν≈ ψ (2.57)

se a convergência for definida como a redução do erro de convergência com tolerância

δ, vem que:

1 1( )naδ ν≈ (2.58)

aplicando logaritmos neperianos a ambos os termos da expressão anterior, obtém-se

uma expressão para o número de iterações necessárias:

1

1

ln

ln

ν

δ

≈a

n (2.59)

da qual se conclui que se o raio espectral adquirir valores muito próximos da unidade, o

processo iterativo irá convergir muito lentamente [27].

De referir que o cálculo dos valores próprios não é fácil (a maior parte das vezes não é

conhecido explicitamente) pelo que será necessário usar aproximações, é também

necessário estimar o erro de convergência de forma a decidir quando o processo

iterativo termina.

45




II.6.3.1. Método de Jacobi

No método de Jacobi as equações resultantes do processo de discretização são resolvidas

isoladamente, pelo que a expressão 2.38 é alterada assumindo o seguinte aspecto [21,29]:

1

N

i ij

j

i

ii

Q A

A

θ

θ=

−

=∑ j

(2.60)

A expressão (2.60) sugere um método iterativo definido por,

1

1

N k

i ij j

jk

i

ii

Q A

A

θ

θ

−

=

− =

∑

(2.61)

onde os termos de θ j presentes no segundo membro da equação (2.61) são todos relativos

à última iteração efectuada.

II.6.3.2. Método de Gauss-Seidel

Uma explicação que intuitivamente motiva o método de Gauss-Seidel é a seguinte. No

método de Jacobi utilizam-se os valores θ j da iteração anterior para obter os valores de

θ P da iteração seguinte. No entanto, aquando do cálculo de θi já são conhecidos os

valores actuais de θ j. O método de Gauss-Seidel, em contraste com o método de Jacobi,

utiliza os valores actuais de θ j em detrimento dos da iteração anterior [21,29].

A concretização desta ideia conduz à seguinte modificação da expressão (2.61).

11

1

i N k k

ij j ij j

j j ik

i

ii

Q A A

A

θ θ

θ

−−

= =

− −

=∑ ∑

(2.62)

46




Habitualmente, este método possui maior rapidez de convergência que o método de

Jacobi.

II.6.3.3. Método de Stone

A factorização LU é um excelente método para resolver sistemas de equações lineares,

mas não tira qualquer partido do facto de um determinado sistema possuir uma matriz de

coeficientes dispersos. Num método iterativo, se M (matriz iterativa) for uma boa

aproximação a A, a convergência é rápida. Estas duas afirmações são a ideia base da

utilização de uma aproximação de A por factorização LU com a matriz de iteração M :

M LU A N = = + (2.63)

onde L e U são ambas esparsas e N é pequena.

A versão assimétrica deste método é denominada por factorização LU incompleta ou

ILU. O procedimento é idêntico à factorização LU, mas para os muitos elementos nulos

presentes na matriz A o correspondente elemento em L ou U é igualado a zero. Estafactorização não é exacta, mas o produto destes factores pode ser usado como matriz M

do método iterativo. Este método é de convergência lenta.

Um outro método de factorização foi o proposto por Stone (1968). O método de Stone

também designado por SIP (Strongly Implicit Procedure) tem especial orientação para

equações algébricas resultantes da discretização de equações de diferenciais parciais

[27].

Para a descrição deste método será considerada uma molécula computacional de nove

pontos correspondente à utilização de coordenadas curvilíneas em 2D.

47




USE

USW

UE

LSW

L NW

LW

U N

1 LSLP =

MSE

MSSE

MS

ME

M N

M NNW

MW

MSW

MP

MSS

MS

M NN

M N

Figura 2.7 – representação esquemática das matrizes L e U bem como da matriz produto M; asdiagonais extra estão representadas a traço interrompido.

Tal como na factorização ILU, as matrizes L e U têm elementos não nulos apenas nas

diagonais onde A tem elementos não nulos. O produto das matrizes triangulares inferior esuperior com estas estruturas têm mais diagonais não nulas que A. Para uma molécula

computacional de nove pontos existem mais quatro diagonais correspondentes aos nós

NNW , SSE , NN e SS , tal como se mostra na figura 2.7.

Para tornar estas matrizes unitárias, todos os elementos da diagonal principal de U são

colocados iguais à unidade. Estas nove introduções (cinco em L, quatro em U )

necessitam ser determinadas. Para matrizes da forma como se mostra na figura 2.7 as

regras de multiplicação de matrizes dão-nos os elementos do produto de L por U ,

M = LU seguintes:

SW SW

W SW N W

NW W N NW

NNW NW N

SS SW SE

S SW E W SE S

P SW NE W E NW SE S N

N W NE NW E P N

NN NW NE

SSE S SE

SE S E P E

E S NE P E

NE P NE

M L

M L U L

M L U L

M L U

M L U M L U L U L

M L U L U L U L U L

M L U L U L U

M L U

M L U

M L U L U

M L U L U

M L U

=

= +

= +

=

== + +

= + + + +

= + +

=

=

= +

= +

=

P M SW = LSW (2.64)

48




Pretendemos seleccionar L e U , tal que M seja a melhor aproximação possível a A. No

mínimo, N deve conter as quatro diagonais de M que correspondem a diagonais nulas de

A. Uma escolha óbvia é que N tenha elementos não nulos apenas nessas quatro

diagonais, e obrigar as outras diagonais de M a serem iguais às correspondentes

diagonais em A. Este raciocínio é perfeitamente correcto pois trata-se do processo

standard do método ILU já mencionado. Infelizmente, este método converge lentamente.

Stone (1968) descobriu que a convergência podia ser incrementada se fosse permitido

que N tivesse elementos não nulos nas diagonais correspondentes a todas as diagonais

não nulas de LU [27]. O método é demonstrado de um modo simples se considerarmos o

vector M θ :

( ) P P S S N N E E W W NE NE NW NW P

SE SE SW SW NNW NNW SSE SSE NN NN SS SS

M M M M M M M M

M M M M M M

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

= + + + + + +

+ + + + +

+

≈

* ) 0≈

*

(2.65)

os quatro últimos termos são os extraordinários. Cada termo da expressão (2.65)

corresponde a uma diagonal de M = LU .

A matriz N contém as quatro diagonais extra de M , e queremos escolher os elementosdas restantes diagonais tal que ou seja,0 N θ ≈

0 P P S S N N E E W W NE NE NW NW

SE SE SW SW NNW NNW SSE SSE NN NN SS SS

N N N N N N N

N N N N N N

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

+ + + + + + +

+ + + + + (2.66)

o que requer que a contribuição dos quatro termos extra da expressão anterior seja

anulada pela contribuição das outras diagonais, isto é, a expressão (2.66) será reduzida à

seguinte expressão:

* * *( ) ( ) ( ) ( NNW NNW NNW SSE SSE SSE NN NN NN SS SS SS M M M M θ θ θ θ θ θ θ θ− + − + − + − (2.67)

onde θ θ são aproximações de θ θ , respectivamente.* * *, , e NNW SSE NN SS θ θ , , e NNW SSE NN SS θ θ

A ideia chave do método é a seguinte: uma vez que estas expressões aproximam

equações elípticas de derivadas parciais, a solução mais provável é ser uma curva suave.

49




Consequentemente, θ θ podem ser aproximados em termos dos valores

de θ nos nós correspondentes às diagonais de A. A proposta feita neste trabalho para

essa aproximação é a seguinte:

* * *, , e NNW SSE NN SS θ θ *

α

( )

( )

( )

( )

*

*

*

*

NNW NW N W

NN N NE P

SS S SW P

SSE S SE E

θ α θ θ θ

θ α θ θ θ

θ α θ θ θ

θ α θ θ θ

= + −

= + −

= + −

= + −

(2.68)

se =1, tratam-se de interpolações cuja precisão é de segunda ordem, mas Stone

descobriu que para que o método seja estável α<1.

Se esta aproximação for substituída na expressão (2.67), obtêm-se todos os elementos de

N como combinações de M NNW , M SSE , M NN e M SS . Os elementos de M em (2.68), podem

agora ser igualados à soma dos elementos de A e N .

As equações resultantes não são por si só suficientes para determinar todos os elementos

de L e U , mas podem ser resolvidas de um modo sequencial iniciando no canto Sudoeste

da malha.

Os coeficientes devem ser calculados pela ordem apresentada. Para os nós junto às

fronteiras, os respectivos elementos das matrizes são entendidos como sendo nulos.

50




1, 1

, 1, 1 1, 1

1,

1, 1

1, 1 1, 1 1,

, 1

1, 1

1

1

1

(

ij

ij SW

SW i j

SE

ij ij i j i j ij i j

W W NW N SW N

ij ij i j

ij NW W N

NW i j

N

ij ij i j ij i j ij i j

ij S SW SE SW E W SE

S i j

SE

ij ij ij i j ij

P P SW SE NW N

A L

U

L A L U L U

A L U L

U

A L U L U L U L

U

L A L U L U

α

α

α

α

α

α

− −

− + − −

−

− +

− − − − −

−

− −

=+

= + −

−=

+

− − −=

+

= − + 1, 1 1, 1 1, 1, 1 , 1

1, 1 1, 1, 1

,

, 1

,

, 1 ,

)i j ij i j ij i j ij i j ij i j

E SW NE W E NW SE S N

ij ij i j ij i j ij i jij N NW NE W NE NW E

N ij i j

P NW

ij ij i j

ij SE S E

SE ij i j

P S

ij ij i j ij i j

ij E S SE S NE

E

L U L U L U L U

A L U L U L U U

L L

A L U U

L L

A L U L U U

αα

α

α

− + − − − − + −

− + − − +

−

− −

− − − −

− − −=+

−=

+

+ −=

1

,

ij

P

ij

ij NE

NE ij i j

P NW

L

AU L Lα

=+

(2.69)

Está-se, agora, em condições de resolver o sistema de equações com a ajuda desta

factorização aproximada. A expressão responsável pela actualização do valor residual é:

1n n LU Rδ + = (2.70)

onde é designado como a correcção ou actualização do erro de convergência. Asequações são resolvidas como na factorização LU simples. A multiplicação da expressão

(2.70) por L

δ

n

-1 resulta que:

1 1n nU L Rδ ϕ+ −= = (2.71)

nϕ é calculado da seguinte forma:

51




, , , 1, 1 , 1 , 1, 1 , 1,( )i j i j i j i j ij i j i j i j i j i j ij

SW S NW W P R L R L R L R L R Lϕ − − − − + −= − − − − /

1+ −

(2.72)

esta expressão é calculada no sentido crescente dos índices i,j. Uma vez conhecido ϕ é

necessário resolver a seguinte equação:

, , , , 1 , 1, 1 , 1, , 1,i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j

N NE E SE R U U U U ϕ δ δ δ δ+ + + += − − − − (2.73)

no sentido decrescente dos índices i,j.

No método SIP, apenas é necessário calcular os elementos das matrizes L e U uma vez,

antes da primeira iteração. Nas iterações subsequentes apenas é necessário calcular o

valor residual R, seguido de ϕ e finalmente δ, por resolução dos dois sistemas

triangulares.

O método de Stone normalmente converge para um número reduzido de iterações. A

rapidez de convergência pode ser melhorada se variarmos α de iteração para iteração (e

de ponto para ponto). Esta alteração permite que a convergência do método em poucas

iterações, mas requer que a factorização seja refeita de cada vez que se altera o

parâmetro α. De forma a não sobrecarregar o computador com os cálculos de L e U é

prudente manter α constante [27].

III. Conclusão

A resolução analítica de uma equação diferencial que rege determinado fenómeno físico

só é possível em casos particulares. Daí a necessidade de reformulação do problema,

dando-lhe uma forma puramente algébrica, processo que é denominado por

discretização.


a geometria do domínio de cálculo, o que se consegue fazendo a escolha de um número

finito de nós computacionais, supostos representativos de todo o domínio, onde irá ser

determinada a solução numérica.

52




Quando os domínios, físico e computacional, forem idênticos, não é necessário qualquer

transformação, mas no caso de geometrias físicas complexas, a transformação pode

provocar modificações drásticas quer nas equações constitutivas do fenómeno físico quer

nas condições de fronteira associadas.

A dificuldade de descrição dos contornos das formas geométricas complexas pode ser

ultrapassada dividindo a geometria complexa em troços de geometria mais simples, pelo

estabelecimento de malhas curvilíneas em cada um desses troços e pela definição

adequada da interacção entre os mesmos.

O método dos volumes finitos tem como ponto de partida a equação genérica da

conservação. O domínio de cálculo é subdividido num número finito de volumes de

controlo (VC) contíguos, sendo a equação da conservação aplicada a cada VC. No

esquema célula centrada, o centro geométrico de cada VC constitui um nó

computacional onde a variável dependente é avaliada. Para expressar os valores da

variável dependente nas faces dos VC em termos dos valores nos centros dos VC

utilizam-se as técnicas de interpolação. Os integrais de volume e de superfície são

aproximados usando fórmulas de quadratura adequadas.

O método dos volumes finitos é conservativo por natureza, e portanto os integrais de

superfície são idênticos para os VC que partilham a mesma fronteira.

O método iterativo de Stone também designado por SIP (Strongly Implicit Procedure)

tem especial orientação para equações algébricas resultantes da discretização de

equações de diferenciais parciais e normalmente converge para um número reduzido de

iterações, o que permite economizar no tempo de computação.

53



Capítulo III

Formulação matemática da transferência de calor

I. Introdução

O objectivo deste capítulo é o de resolver dois problemas que tendo solução analíticaconhecida, sejam definidos: num primeiro caso, sobre um domínio rectangular de forma

a servir de teste ao algoritmo desenvolvido utilizando coordenadas cartesianas, e no

segundo caso, sobre um domínio circular de forma a servir de teste ao algoritmo

desenvolvido utilizando coordenadas curvilíneas generalizadas.

II. Condução bidimensional num domínio rectangular

Propõe-se, então, a resolução do problema da evolução térmica de uma barra de

comprimento infinito e secção transversal quadrada, constituída por um material de

difusividade unitária, inicialmente à temperatura de 1ºC, isolada em duas faces

contíguas (Oeste e Norte) e colocada em contacto perfeito com um reservatório térmico

a uma temperatura 1ºC nas outras duas faces (Este e Sul).

Este tipo de problema (condução de calor bidimensional) é governado pela seguinte

equação diferencial,

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

2

2

2

2

y xa

t

φφφ (3.1)

que quando sujeita às condições iniciais e de fronteira seguintes:

54



Capítulo III – Formulação matemática da transferência de calor

( , , 0) 1

(1, , ) ( , 0, ) 1

(0, , ) ( ,1, ) 0

x y

y t x t

y t x t

x y

φ

φ φ

φ φ

=

= =

∂ ∂= =

∂ ∂

(3.2)

admite a seguinte solução analítica definida por Olson e Schultz [1]:

( )( )2 2 2 2

1 1

(2 1) (2 1)2 1 2 1, , 1 cos sin exp

2 2 4mn

n m

a t n mn m x y t C x y

πφ π π

∞ ∞

= =

− + −− − = + − ∑∑ (3.3)

onde

)12)(12(

)1()1(162

11

−−

−−−=

++

mnC

mn

mn π (3.4)

Utilizando o método dos volumes finitos, os termos presentes na expressão (3.1) são

aproximados da seguinte forma:

( )

1n n

p P

pV V

dV dV V V t t t t

φ φφ

φ φ

+ −∂ ∂ ∂

= ≈ ∆ ≈∂ ∂ ∂ ∆∫ ∫ ∆ (3.5)

2

2ˆ. . e w

e wV S

dV n dS S S x x x x

φ φ φ φ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂∂ ∫ ∫ =

P W E P e w

c c

S S x x

φ φφ φ −− ∆ ∆

= − (3.6)

o segundo termo do segundo membro da expressão (3.1) é aproximado de modo

análogo.

Num domínio 2D as áreas e volumes utilizadas no método dos volumes finitos são as

que se apresentam no quadro 1.

55




Quadro 3.1 – Áreas e volumes em 2D utilizadas no método dos volumes finitos [26]

∆V S e=S w S n= S s

2D ∆ x×∆ y ∆ y ∆ x

Substituindo as igualdades presentes no quadro 3.1 nas expressões (3.5) e (3.6)

poderemos escrever a equação (3.1) com o aspecto da expressão (2.38), resultando nos

coeficientes presentes no quadro 3.2.

Quadro 3.2- Coeficientes Ai utilizados no modelo da condução em domínio rectangular

AW

A E

A N

AS

-c

ya

x

∆∆

-c

ya

x

∆∆

-c

xa

y

∆∆

-c

xa

y

∆∆

Os coeficientes Ai são relativos ao nível de tempo n+1, enquanto que Q P é relativo ao

nível de tempo n. Para as restantes formulações de discretização temporal apenas A P e

Q P são alterados (quadro 3.3).

Quadro 3.3 – Coeficientes A P e Q P para diferentes formulações

Formulação A P Q P

Euler explicita x y

t

∆ ∆∆

n

W E N S

n n n n

W W E E N N S S

x y A A A A

t

A A A A

φ

φ φ φ φ

∆ ∆+ + + + ∆

− − − −

P

Crank-Nicolson ( )W E N S

x y A A A A

t

∆ ∆− + + +

∆

n

W E N S

n n n n

W W E E N N S S

x y A A A A

t

A A A A

φ

φ φ φ φ

∆ ∆+ + + + ∆

− − − −

P

Euler implícita ( )W E N S

x y A A A A

t

∆ ∆− + + +

∆ n

I

x y

t φ

∆ ∆∆

Richtmayer–Morton ( ) (1 W E N S

x y A A A A

t β

∆ ∆+ − + + +

∆) 1n n x y

t φ βφ −∆ ∆

−∆

Todas estas expressões são válidas para os CV internos, isto é, exceptuando os volumes

de controlo, em que pelo menos uma das faces contacta a fronteira do domínio.

56




A implementação das condições fronteira requer que os fluxos nas fronteiras sejam

conhecidos ou possam ser expressos em termos de quantidades conhecidas e dos valores

nodais interiores.

Em geral, numa fronteira de entrada todas as variáveis são prescritas. Se as condições

não forem perfeitamente conhecidas, é usual deslocar-se a fronteira para o mais longe

possível da região de interesse. O fluxo por difusão não é, em geral, conhecido, mas

pode ser aproximado utilizando os valores conhecidos das variáveis na fronteira e

diferenças unilaterais para os gradientes.

Numa fronteira de saída de um determinado escoamento, normalmente, pouco se

conhece. Por essa razão, estas fronteiras devem estar o mais afastado possível da região

de interesse. De outra forma, o erro pode propagar-se ao longo da evolução do fluxo. O

fluxo deve abandonar o domínio de forma directa e ao longo de toda a secção

transversal, e se possível, ser paralelo.

O fluxo por difusão em fronteiras sólidas (paredes) requer atenção especial. Para

quantidades escalares, como a energia térmica, podem ser nulos (paredes adiabáticas),

ser prescritos ou o valor para a variável escalar deve ser prescrito (paredes isotérmicas).Se o fluxo for conhecido, pode ser inserido na equação da conservação para os VC

imediatamente após a fronteira.

No problema que se pretende resolver existem duas fronteiras (Sul e Este) com

temperatura prescrita e de valor igual a 1ºC (paredes isotérmicas), e as fronteiras Norte e

Oeste são adiabáticas pelo que o gradiente na direcção normal é aproximado utilizando

diferenças unilaterais.

Na figura 3.1 mostra-se a malha bidimensional, com cem volumes de controlo, utilizada

para resolver o problema da condução bidimensional em domínio regular pelo método

dos volumes finitos.

57




0 1

x

y

1

Figura 3.1 - Malha usada para resolver o problema de condução bidimensional usando volumes finitos.

As fronteiras Oeste e Norte são adiabáticas, enquanto que as fronteiras Sul e Este foramcolocadas em contacto perfeito com o meio envolvente.

Na figura 3.2 encontram-se representadas as isotérmicas relativas à solução numérica e

solução analítica proposta por Olson e Schultz quando estão decorridos 0.5 segundos,

utilizando como incremento de tempo ∆t = 0.01 segundos.

0 0.5 1X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

0 . 8 7 1 1

0 . 8 8

8 3

0 . 9 9

1 4

0 . 9 7

4 2

0 . 9 5

7 0

0 . 9 3

9 9

0. 9 2

2 7

0 . 9 0

5 5

0 0.5 1X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

0 . 9 7

4 2 0 0 .

9 5 7 0

0 0. 9 3

9 8 0 0 .

9 2 2 5

9 0 . 9 0

5 3 9

0 . 8 8

8 1 9

0 . 8 7 0

9 9

0 . 9 9

1 4 0

0 0.5 1X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Y

0 . 8 8

8 3 0

0 . 9 9

1 4 1

0 . 9 7

4 2 2 0 .

9 5 7 0

4 0. 9 3

9 8 5 0.

9 2 2 6 7

0 . 9 0

5 4 8

0 . 8 7

1 1 1

Figura 3.2 – Solução numérica (esquerda) e solução analítica de Olson e Schultz (direita).

A análise das isotérmicas permite verificar a excelente concordância por parte da

solução numérica (esquerda) em relação à solução analítica (direita).

58




Na figura 3.3 apresenta-se uma comparação entre diferentes formulações e a solução

analítica, para os valores da temperatura pertencentes à diagonal principal quando estão

decorridos 0,1 segundos.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1

X [m]

T e m p e r a t u r a [ º C ]

S.Analítica

Euler Implícita

Crank-Nicolson

Richtmayer-Morton

F igura 3.3 – Comparação entre diferentes formulações (Crank-Nicolson, Euler implícita,

Richtmayer -Morton), e a solução analítica de Olson e Schultz para 0.1 segundos.

Uma análise cuidada da figura 3.3 permite constatar que as formulações implícita de

Euler e de Richtmayer-Morton apresentam valores coincidentes e mais próximos da

solução analítica que a formulação de Crank-Nicolson.

0.00

0.100.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1

X[m]


S.Analítica

Euler Implícita

Crank-Nicolson

Richtmayer-Morton

Figura 3.4 – Comparação entre diferentes formulações (Crank-Nicolson, Euler implícita,

Richtmayer-Morton), e a solução analítica de Olson e Schultz para 0.3segundos.

59




0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1

X [m]


S.Analítica

Euler implícita

Crank-Nicolson

Richtmayer-Morton

Figura 3.5 – Comparação entre as diferentes formulações (Crank-Nicolson, Euler implícita, Richtmayer

e Morton), e a solução analítica de Olson e Schultz para 0.5 segundos.

Das últimas duas figuras 3.4 e 3.5 facilmente se constata que à medida que o tempo

evolui as diferentes soluções numéricas se aproximam da solução analítica. No entanto,

o esquema implícito de Richtmayer-Morton apresenta um erro menor.

Tal como já se teve oportunidade de constatar o esquema de Richtmayer-Morton utiliza

um factor de relaxação (β), que pode variar entre zero e a unidade pelo que interessa

comparar a solução numérica que se obtém variando este factor. É o que se apresenta nafigura 3.6 quando estão decorridos 0.5 segundos.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1 0.95 0.85 0.75 0.65 0.55 0.45 0.35 0.25 0.15 0.05 0

X [m]

T e m p e r a

t u r a [ º C ]

S.Analítica

Beta =1.0

Beta=0.5

Beta=0.0

Figura 3.6 – Comparação entre soluções: numérica (Richtmayer e Morton) utilizando diferentes valores

do parâmetro β e a solução analítica de Olson e Schultz para 0.5 segundos.

60




Como facilmente se constata a solução mais próxima da analítica é a que se obtém

utilizando β =1.0, pelo que será este utilizado em simulações futuras.

De referir que utilizando um incremento de tempo menor (por exemplo, ∆t = 0.001segundos) as diferentes soluções numéricas apresentam valores sensivelmente

coincidentes e mais próximos da solução analítica.

Tal valor para o incremento de tempo torna possível a utilização da formulação explícita

de Euler, que como se sabe é condicionalmente estável sendo a condição de estabilidade

para este problema dada por [27]:

2( )

2

xt

k

ρ ∆∆ < (3.7)

De modo a evitar esta restrição, em termos de incremento de tempo, esta formulação

não será utilizada em futuras aplicações.

II. Problema da condução bidimensional em domínio circular

Propõe-se nesta secção a resolução do problema da evolução térmica de uma barra de

comprimento infinito e secção recta circular, constituída por um material de

difusividade unitária, inicialmente à temperatura de 0ºC, e colocada em contacto

perfeito com um reservatório térmico a uma temperatura 1ºC.

Este tipo de problema (condução de calor bidimensional) é governado pela equação

diferencial de derivadas parciais seguinte:

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

2

2

2

2

η

φ

ξ

φφa

t (3.8)

esta equação quando sujeita às seguintes condições iniciais e de fronteira:

0)0,,( =ηξφ (3.9)

61




1),1,(),0,(),,1(),,0( ==== t t t t ξφξφηφηφ (3.10)

admite a seguinte solução analítica definida em coordenadas polares [1]:

( ) ( )∑∞

=

−−=1

2

1

0 exp1n

n

n

n t )( J

r)( J r,t φ µ

µ

µ (3.11)

onde µ1, ....., µn são as raízes da equação J 0( µ) = 0, e J 0 e J 1 são as funções de Bessel do

primeiro grau, de primeira e segunda ordem, respectivamente.

Quadro 3.4 – Coeficientes Anb para o modelo da condução em geometria circular

A E 1

1 112 C

J a C C ξ ξξ

− ∆ ∆− − ∆

A NE 1

12 4 C

J aC ηξ

− ∆−∆

AW 1

1 112 C

J a C C ξ ξ

ξ− ∆ ∆

− ∆

ASE 1

12 4 C

J aC ηξ

− ∆∆

A N 1

2 222 C

J a C C η η

η− ∆ ∆

− − ∆

A NW 1

12C

J aC ηξ

− ∆∆

AS 1 2 222 C J a C C

η ηη

− ∆ ∆− ∆ ASW

112 4 C

J aC ηξ

− ∆− ∆

Quadro 3.5 – Coeficientes A P e Q P para diferentes formulações para o modelo da condução em geometriacircular

Formulação A P QP

Crank-Nicolson1

( )2 E W N S J A A A

t

ξ η∆ ∆− + + +

∆ A

( )

1( )

2

1

2

n

E W N S

n n n n

E E W W N N S S

J A A A At

A A A A

ξ ηφ

φ φ φ φ

∆ ∆ − + + + ∆

− + + +

P

Euler implícita ( ) p E W A J A A A A

t

ξ η∆ ∆= − + + +

∆ N S n

pt

J φηξ

∆

∆∆

Richtmayer–Morton ( ) ( )1 E W N S

J A A At

ξ ηβ

∆ ∆+ − + + +

∆ A ( ) 11 n n

p P J t

ξ ηβ φ β φ −∆ ∆

+ −∆

No quadro 3.4 apresentam-se os coeficientes Ai resultantes do processo de discretização

utilizando o método dos volumes finitos.

62




Tal como no exemplo anterior foram utilizadas diferentes formulações na aproximação

do termo transitório cujas expressões resultantes se apresentam no quadro 3.5.

Na figura 3.7 mostra-se a malha bidimensional obtida por interpolação bilinear transfinita a partir de pontos definidos sobre a fronteira do domínio.

a

y

x

ξ

η

(b)

1

1

0

0

ξ

η

Figura 3.7 - Malha utilizada para resolver o problema de condução bidimensional em domínio

irregular: a) domínio físico; b) domínio computacional.

Compara-se, na figura 3.8, os resultados entre a solução analítica calculada pela

expressão (3.8) e a solução numérica obtida pelo método dos volumes finitos com

formulação generalizada para 0.01 e 0.2 segundos.

Pela análise da figura 3.8 pode-se concluir que após decorridos 0,01 segundos existe

uma excelente correlação entre a solução analítica e numérica, ao passo que decorridos

0,2 segundos a correlação já não é tão satisfatória. Para melhor comparar ambas as

soluções, apresenta-se na figura 3.9 a sua evolução ao longo do tempo em pontos

situados sobre o raio 0.93 m.

63






Como se pode constatar a evolução ao longo do tempo da solução numérica acompanha

satisfatoriamente a solução analítica, sendo o erro máximo de, sensivelmente, 8% que se

verifica quando decorridos 0.2 segundos, situação ilustrada na figura 3.9.

Refira-se que para efectuar estas simulações foram testados três métodos iterativos de

resolução do sistema de equações resultante do processo de discretização. O

desempenho de cada um dos métodos é apresentado no quadro 3.6 onde se fez, ainda, a

comparação do número de iterações necessário à convergência utilizando dois critérios

de paragem distintos.

Quadro 3.6- Performance dos métodos iterativos TDMA, Jacobi,Gauss-Seidel e SIP

Critério de paragem 10-3 Critério de paragem 10-5 Método

Nº de iterações Resíduo Nº de iterações Resíduo

TDMA - Divergente - Divergente

Jacobi 8 2.56×10-4 1000 2.03×10-5

Gauss-Seidel 5 1.74×10-4 1000 2.03×10-5

SIP 2 9.55×10-4 3 1.92×10-6

O método TDMA (Tridiagonal Matrix Algorithm) revela-se inapto para resolver o

sistema de equações, visto ser divergente. No que concerne ao método Gauss-Seidel,

utilizando o critério de paragem de 10-3, a solução é convergente embora não tão rápida

como o método SIP. Quando se aumenta a precisão para 10-5, apenas o método SIP,

desenvolvido neste trabalho para o caso de uma célula computacional de nove pontos,

responde satisfatoriamente.

De modo a avaliar a diferença que existe no valor da variável dependente (temperatura)

quando obtida pelo método iterativo SIP utilizando critérios de paragem distintos

(resíduos de 10-3 e 10-5), apresenta-se na figura 3.10 a diferença de temperatura que se

verifica para entre ambas as situações.

Como se pode constatar a máxima diferença de temperatura entre as duas abordagens é

da ordem de 10-7ºC. Não existe, portanto, razão para a utilização do critério de paragem

65




10-5. A utilização do critério de paragem 10-3 tem a vantagem de reduzir o tempo de

computação necessário, não afectando significativamente a solução final.

0.0E+00

5.0E-08

1.0E-07

1.5E-07

2.0E-07

2.5E-07

3.0E-07

1.0 1.0 1.0 0.8 0.6 0.3 0.0 0.3 0.6 0.8 1.0 1.0 1.0Raio [m]

D i f e r e n ç a d e t e m p e r a t u r a [ º C ]

Figura 3.10 - Diferença de temperatura sobre o raio 0.93 m obtida através do método iterativo SIP

utilizando dois critérios de paragem distintos (10-5

e 10-3 ) .

III. Conclusão

O código desenvolvido foi testado, numa primeira abordagem, com a solução analítica proposta por Olson e Schultz para a condução de calor num corpo bidimensional

utilizando coordenadas cartesianas e revelou ter um comportamento bastante

satisfatório.

Nesta aplicação numérica teve-se oportunidade de determinar qual das formulações de

discretização temporal testadas (Euler implícita, Crank-Nicolson e Ritchmayer-Morton)

apresenta melhores resultados comparativamente com a solução analítica. A formulação

de Ritchmayer-Morton mostrou ser a que mais se aproxima da solução analítica.

De seguida comparou-se as soluções obtidas fazendo variar o factor de relaxação (β),

presente na formulação de Ritchmayer-Morton, entre zero e a unidade, tendo a melhor

solução sido obtida para o valor β=1. A solução menos precisa foi obtida para β=0

situação para a qual a esta formulação é equivalente à formulação implícita de Euler.

66




Numa segunda abordagem, o código desenvolvido utilizando coordenadas curvilíneas

foi testado por comparação com uma solução analítica conhecida para o problema da

condução de calor em domínio circular tendo apresentado resultados satisfatórios,

embora tenham sido necessárias algumas alterações em relação à primeira abordagem

que importa referir.

A primeira alteração está relacionada com o método iterativo utilizado. O método

TDMA, utilizado na resolução numérica do problema da condução de calor em domínio

rectangular com bom desempenho, revelou-se inapto para a resolução do mesmo

problema em domínio circular. Foi, então, usado o método iterativo SIP, que mostrou

ser um método iterativo de rápida convergência e elevada precisão.

De seguida fez-se variar o critério de paragem deste método iterativo e determinou-se a

diferença que existe entre ambas as soluções (campos de temperatura). Tal diferença de

temperatura é irrisória, concluindo-se que o uso do critério de paragem 10-3 não traz

prejuízo significativo para a precisão da solução e tem a vantagem de reduzir o tempo

de computação.

67



CAPÍTULO IV

Simulação numérica da solidificação em fundição

I. Introdução

Neste capítulo será apresentada a simulação numérica da solidificação de uma liga de

alumínio Al 12Si (alumínio com 12% de silício), no interior de uma moldação de ferro

fundido cinzento. Para atingir esse objectivo será em primeiro lugar definido o modelo

matemático adequado, seguindo-se a sua discretização e definição das condições iniciais

e de fronteira para três situações distintas. O passo seguinte passa pela elaboração de um

código utilizando o método dos volumes finitos, do qual se fará uma descrição

resumida. No final do capítulo serão apresentados os resultados para os diferentes tiposde condições fronteira aplicadas às interfaces de contacto entre os diferentes

sub-domínios definidos no sistema peça/moldação, bem como uma discussão

pormenorizada dos resultados.

II. Modelo matemático

A solidificação de materiais pode ser considerada fundamentalmente como um processode transferência de calor em regime transitório. A transformação do material líquido em

material sólido é acompanhada por libertação de energia térmica sensível e latente.

A equação diferencial que traduz o equilíbrio térmico entre difusão, geração (ou

absorção) de calor e acumulação (ou libertação) de calor num corpo pode ser

apresentada estabelecendo o balanço térmico num elemento infinitesimal (dx, dy, dz ), na

vizinhança de um ponto genérico, como representado na figura 4.1.

68



Capítulo IV – Simulação numérica da solidificação em fundição

dx x

x x

k +

∂∂

−φ

z

z z

k

∂∂

−φ

y

y y

k

∂∂

−φ

x

x x

k

∂∂

−φ

dz z

z z

k +

∂∂

−φ

q&

dy y

y y

k

+

∂∂

−φ

t C p ∂

∂φρ

dy

dx

dz

Figura 4.1 - Balanço térmico num elemento infinitesimal.

Cada face do elemento infinitesimal é atravessada por um fluxo proporcional ao

gradiente de temperatura local na direcção normal da mesma. A solidificação só é

conseguida à custa de uma diminuição da energia acumulada no elemento infinitesimal

sob a forma de calor sensível e, principalmente, sob a forma de calor latente.

Como facilmente se depreende este tipo de fenómeno tem um carácter transitório, cuja

formulação analítica é expressa pela equação diferencial, de derivadas parciais, seguinte

[1,5:7].

( )( ).

pC k q

t

ρ φφ

∂= ∇ ∇ +

∂& (4.1)

A primeira derivada do campo de temperaturas (φ) em ordem ao tempo, descreve a sua

evolução temporal, o divergente do gradiente do mesmo campo de temperaturas

descreve a transferência de calor por condução, o termo fonte q correspondente à

libertação ou absorção de calor na mudança de fase e ρ , C

&

p e k são características

físicas do material: massa volúmica, capacidade térmica mássica e condutibilidade

térmica, respectivamente.

69




Os modelos matemáticos utilizados para descrever o fenómeno da solidificação

consideram geralmente como constantes as características físicas ρ , C p e k do metal,

tomando a expressão (4.1) o seguinte aspecto:

2 2

p p

k qa q

t C C k

φφ φ

ρ ρ∂

= ∇ + = ∇ +∂

&&

a (4.2)

Onde pC k a ρ= , é denominada difusividade, e constitui uma medida da rapidez com

que o calor se transmite através do meio constituído pelo material.

Relativamente ao termo fonte, pode-se constatar que a fonte interna de calor provém do

calor latente libertado por mudança de fase. Esta mudança de fase não é instantânea,ocorre a uma taxa que pode ser expressa em função da fracção efectiva de material

sólido, a fracção sólida f s, da massa volúmica do material ρ, e da variação da entalpia na

transformação de fase ∆h f , (calor latente) [1,5,6]:

t

f hq

s f

∂

∆∂=

)(ρ& (4.3)

Quando se trata de uma liga metálica cuja mudança de fase ocorre num intervalo detemperaturas [φl ,φ s], em que se conhece a evolução da fracção sólida existente, f s, com a

temperatura, pode escrever-se:

t

f

t

f s s

∂∂

∂

∂=

∂

∂ φφ

)()( (4.4)

Assumindo que o material é isotrópico, pode-se escrever a equação (4.2) do seguinte

modo:

21 ( f s

p

h f a

t C

φφ

φ

∆ ∂∂− = ∂ ∂

)∇ (4.5)

Em condições de equilíbrio local, a fracção sólida determina-se, a cada temperatura,

pela regra da alavanca entre as composições média das linhas C , de liquidus C 1 e de

solidus C s:

70




sl

l

sC C

C C f

−

−= (4.6)

Admitindo uma relação linear entre f s( φ ) e φ, aproximação razoável pelo menos na

vizinhança de cada valor de temperatura, pode considerar-se φ∂∂ )( s

f como constante,

para pequenos intervalos de variação desta variável. Esta assunção permite linearizar o

termo fonte presente na equação (4.5), o que simplifica bastante o problema em termos

de cálculo numérico.

Em presença de um metal puro, ou aquando da ocorrência de solidificação eutética

(figura 4.2), surgem dificuldades pois φ∂)( s f ∂ → ∞

porque pelo menos parte datransformação se dá a temperatura constante, φeut .

Uma forma de ultrapassar este problema, é manter a temperatura do volume elementar

em causa à temperatura constante φeut , só permitindo a sua variação quando a fracção

sólida (ou eutética) atingir um dos limites 0 ou 1 que correspondem ao desaparecimento

de uma das fases.


Tempo

φ l φ

S

L í q u i d o

S ó l i d o

f s=1 , f eut =1

f s=0 l

l

C C f s C C s

−=

−

Líquido + Sólido

φ l

φ e

L í q u i d o

S ó l i d o

Primária Eutética

f s=1 , f eut =1

f s=0

f eut =0

l

l

s s

C C f

C C

−=

−

Tempo


Líquido + Sólido

Solidificação

Figura 4.2 – Ilustração da variação da fracção sólida com a temperatura, no intervalo de solidificação, para a generalidade das ligas (esquerda), e o caso de uma liga em que ocorre solidificação

primária no intervalo [ φl ,φeut ], seguida de solidificação eutética à temperatura φeut (direita).

Outra forma de lidar com este problema é considerar que a solidificação decorre de

facto num intervalo de temperaturas na vizinhança de φeut , embora estreito, e assim

criar um valor finito para φeut , apesar de fictício.

A utilização de coordenadas curvilíneas provoca alterações significativas na equação

71




que governa o fenómeno da solidificação. Tendo decidido que no domínio transformado

a geometria é uniforme, rectangular e fixa no tempo, os cálculos necessários serão

realizados numa malha uniforme de elementos cúbicos (ou quadrados em 2D). As

coordenadas curvilíneas são definidas pela transformação xi = xi( ξ j ), j=1,2,3, que é

caracterizada pelo jacobiano J :

3

3

3

2

3

1

2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

det

ξ

ξ

ξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξ

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

=

x

x

x

x x

x x

x x

x J

j

i (4.7)

Tendo em atenção que apenas as derivadas inerentes às variáveis geométricas são

transformadas:

J x x

ij

ji

j

ji

βξφξ

ξφφ

∂∂

=∂

∂

∂∂

=∂∂

(4.8)

onde β

ij

=(-1)

i+j

det(J ij )

representa o cofactor de ji x ξ∂∂ no Jacobiano J .

A equação (4.1) expressa em coordenadas curvilíneas assume, então, o seguinte aspecto

[27]:

q J B J

k

xt

C J mj

m j

p&=

∂∂

∂∂

−∂

∂

ξφφρ )(

(4.9)

onde o coeficiente Bmj se define como:

Bmj = βkj βkm = β1j β1m + β2j β2m + β3j β3m (4.10)

A expressão (4.9) tem a mesma forma que a equação (4.1), mas cada termo desta última

é substituído pela soma de três termos, tal como se mostra na expressão (4.11), onde se

fazem as seguintes substituições: ξ1= ξ , ξ2= η e ξ3= ζ.

72




11 21 31( ) pC k

J B Bt J

ρ φ φ φ φξ ξ η ζ

∂ ∂ ∂ ∂∂− + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

B

12 22 32k B B B

J

φ φ φη ξ η ζ

∂ ∂ ∂∂− + + ∂ ∂ ∂ ∂

13 23 33k B B B

J

φ φ φζ ξ η ζ

∂ ∂ ∂∂− + + ∂ ∂ ∂ ∂

& Jq= (4.11)

Efectuando todas as operações de derivação presentes na expressão (4.11), a equação

que caracteriza o fenómeno da solidificação, assume, então, o seu aspecto final:

2 2

1 2 3 11 1221 f s

p

h f J C C C C C

t C

φ φ φ φ φφ ξ η

φζ ξ ηξ

∆ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

2 2 2

13 22 23 332 2C C C C

φ φ φξ ζ η ζη ζ∂ ∂ ∂

+ + + +∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

2φ∂ (4.12)

onde os coeficientes C i e C ij resultantes da transformação do domínio físico arbitrário no

domínio computacional (rectangular) são determinados pelas seguintes expressões:

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂= −

−−−

ζηξζηξ

131211113

112

111

1

1

)()()( B B B J B

J B

J B

J C (4.13)

∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= −−−−

ζηξζηξ

232221123

122

121

1

2

)()()( B B B J B

J B

J B

J C (4.14)

1 1 1 31 3231 32 33 13

( ) ( ) ( ) J J J B BC B B B J

ξ η ζ ξ η− − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

33 B

ζ∂ (4.15)

1 1111C J B

−= (4.16)

( )12211

12 B B J C += − (4.17)

( )1 31 1313C J B B−= + (4.18)

73




1 2222C J B−= (4.19)

( )1 32 2323C J B B−= + (4.20)

1 3333C J B−= (4.21)

O aparecimento de derivadas mistas deve-se à utilização de malhas não ortogonais, que

como se mostra em (4.11) estão multiplicadas pelos coeficientes Bmj de índices

distintos, que se tornam nulos se forem utilizadas malhas ortogonais rectilíneas ou

curvilíneas.

III. Discretização

Pretende-se com a operação de discretização, substituir o modelo contínuo, expresso por

(4.12), por um modelo discreto aproximado de forma algébrica genérica,

P P nb nb A Aφ φ= +∑ Q (4.22)

onde o somatório indica a soma de todos os nós vizinhos (nb) do nó central P .

Utilizando o teorema da divergência, a regra do ponto médio para aproximação do

integral de superfície resultante e a interpolação linear, resulta para a primeira derivada

segundo a direcção ξ [5,6],

2 E W

V

dV V φ φφ

ξ

−∂= ∆

∂∫ (4.23)

para a segunda derivada da variável dependente segundo a direcção ξ resulta [5,6,21];

2

2ˆ. .

V S

dV n dS φ φ

ξξ∂ ∂

= =∂∂∫ ∫

ζηξ

φφξ

φφξφ

ξφ

∆∆

∆

−−

∆−

=

∂∂

−

∂∂

=c

W P

c

P E w

w

e

e

S S (4.24)

74




por fim a derivada mista é aproximada do seguinte modo [5,6,21];

≈

∂∂

−

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∫ ∫ w

w

e

eV V

S S dV dV ηφ

ηφ

ηφ

ξηξφ2

ςηξ

φφφφ

ξ

φφφφ∆∆

∆

−−+−

∆

−−+≈

c

SW S NW N

c

SE S NE N

44 (4.25)

No quadro 4.1 apresentam-se os coeficientes Ai, resultantes do processo de discretização

enquanto que no quadro 4.2 se apresentam os coeficientes A P e Q para os diferentes

métodos de discretização temporal tratados.

Quadro 4.1 – coeficientes Ai da equação constitutiva do fenómeno da solidificação.

A E 1 11

2 c

C C ξ ξξ

∆ ∆−

∆ A NE

c

C

ξη

∆∆

−4

12

AW 1 11

2 c

C C ξ ξξ

∆ ∆− −

∆ ASE

c

C

ξη

∆∆

412

A N

2 22

2 c

C C η η

η

∆ ∆

− − ∆

A NW c

C

ξ

η

∆

∆

4

12

AS 2 22

2 c

C C η ηη

∆ ∆−

∆ ASW

c

C

ξη

∆∆

−4

12

Quadro 4.2 – Coeficiente A P e Q da equação constitutiva do fenómeno da solidificação para diferentesmétodos de discretização de tempo.

Formulação A P Q

Euler implícita ( )t W E N S K A A A A− + + + n

t K φ

Crank-Nicolson ( )0.5t W E N K A A A− + + +

S A b ( )( )

8

1

0.5 0.5n n

t W E N S P nb n

nb

K A A A A Aφ φ=

+ + + + − ∑

Richtmayer - Morton ( ) (1 0.5t W E N K A A Aβ+ − + + + )S A 1(1 ) 0.5n n

t K β φ βφ −+ −

75




Por uma questão de simplificação das expressões apresentadas no quadro 4.2,

considerou-se a variável K t , cujo valor é dado pela expressão 4.26.

1 f s

t

p

h f J K a C t

ξ ηφ

∆ ∂ ∆ ∆= − ∂ ∆ (4.26)

Todas as expressões apresentadas nos quadros 4.1 e 4.2 são válidas apenas para os VC

internos, isto é, exceptuando os volumes de controlo das fronteiras. Para os VC

pertencentes às fronteiras é necessário efectuar algumas alterações, é o que se verá na

próxima secção.

IV. Condições iniciais e de fronteira

O material líquido, ao ser vazado, entra em contacto com as paredes internas da

moldação criando-se uma interface metal/moldação com uma determinada resistência

térmica. Esta resistência térmica é decorrente de vários factores, tais como: a afinidade

físico-química entre material da moldação e material a ser solidificado não é perfeita

consequentemente a parede interna da moldação não será completamente molhada pelo

líquido; a rugosidade interna da moldação cria uma micro geometria superficial que

propicia o surgimento de apenas alguns pontos de contacto intercalados por regiões de

separação física metal/moldação.

A utilização de lubrificantes para facilitar a desmoldagem provoca a formação de uma

película de separação entre material e moldação; após a formação de uma certa camada

solidificada a contracção natural do material solidificado provoca um aumento na

separação física entre o material sólido e a moldação. Nessas condições, a transferênciade calor na interface material/moldação dá-se por condução nos pontos de contacto e

através dos gases aprisionados pelos espaços criados, e também por convecção e

radiação entre as duas superfícies separadas. Newton então propôs que essas superfícies

de separação fossem perfeitamente planas e paralelas, sendo esse espaço preenchido por

um certo gás.

Seria ideal que a superfície dos fundidos fosse perfeitamente lisa e livre de

irregularidades, mas na prática não é isso que acontece, apresentam vários graus de

76




rugosidade, devido à condição superficial da moldação, a fenómenos ligados à

temperatura (expansão térmica dos materiais), à tensão de escoamento e a reacções

químicas. A rugosidade superficial é, portanto, controlada primeiramente pela escolha

dos materiais, pela condição da superfície da moldação, pela qualidade do acabamento

superficial desejado para a futura peça e pelas temperaturas da moldação e de

vazamento. Além disso, o escoamento turbulento durante o enchimento da moldação

pode, também, conduzir a várias imperfeições superficiais.

Pode-se então afirmar que o fluxo de calor através de uma interface será a resultante da

combinação de vários modos de transferência que podem coexistir:

o Condução no estado sólido através dos pontos de contacto;

o Condução através dos gases que ocupam a folga que se forma entre a peça e a

moldação no decurso do processo;

o Radiação entre as superfícies da peça e da moldação através da mesma folga.

Estes modos de transferência são susceptíveis de sofrer alterações durante o processo, e

serão ligeiramente diferentes de vazamento para vazamento. O valor do coeficiente de

transferência vai então variar com diversos factores [1]:

o Espessura e condutividade térmica da camada de desmoldante;

o Forma e dimensões da peça e da moldação;

o Geometria da folga entre as partes em contacto, dependente das

características físicas dos materiais (nomeadamente dilatações de natureza

térmica);

o Estados de acabamento superficial das diferentes interfaces;

o Estado de agitação do ar ambiente (no caso da transferência para o ambiente).

Os coeficientes de transferência de calor nas interfaces foram seleccionados a partir dos

valores indicados por Monteiro [1] e encontram-se compilados nos quadros 4.3 e 4.4.

77




Quadro 4.3 – Propriedades físicas da liga metálica ensaiada e do material da moldação [1].

Liga metálica MoldaçãoPropriedade

Al 12Si Ferro Fundido Cinzento

Massa Volúmica [kg/m3] 2670 7230

Condutividade térmica [W/m°C] 185 38

Capacidade térmica mássica [J/kg°C] 1260 750

Calor latente de transformação de fase [kJ/kg] 395 -

Temperatura de liquidus [°C]

Temperatura de solidus [°C]

585

575

-

-

Quadro 4.4 – Coeficientes de transferência de calor nas diferentes interfaces [1].

INTERFACE COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

NEWTONIANA [W/m2°C]

D1/D2 hi =2500

D1/D3 hi =2500

D1/D4 hi =2500

D2/D3 hi =500

D3/D4 hi =600

D2/Ambiente ha =150

D3/Ambiente ha =150

Para as fronteiras dos sub-domínios da peça que contactam exclusivamente com

fronteiras de sub-domínios da peça, assim como para as fronteiras dos sub-domínios da

moldação que contactam exclusivamente com fronteiras de sub-domínios da moldação

foram assumidas condições de contacto perfeito expressas matematicamente pela

expressão 4.27 [1].

78




21 mmnn

=

∂∂φ

∂∂φ

e φ = 21 mm φ (4.27)

Para a interface entre o metal e a moldação, numa primeira abordagem, será considerada

uma igualdade de fluxos de calor por condução. Na segunda abordagem será

considerado um fluxo proporcional à diferença entre as temperaturas na parede exterior

do provete, φ s, e na parede interior da moldação, φ

m, sendo o coeficiente de

proporcionalidade dado pelo coeficiente de transferência de calor Newtoniana, hi:

s

s

m

m

n

k

n

k

=

∂

∂φ

∂

φ∂ (4.28)

( )m s i m

m s

k k hn n

∂ φ ∂φφ φ

∂ ∂

= =

s− (4.29)

finalmente para a fronteira exterior do sistema, foi especificado um fluxo proporcional

à diferença entre a temperatura na parede exterior da moldação, φm, e a temperatura

ambiente φa:

( )ama

m

m hn

k φφ∂∂φ

−=

(4.30)

A temperatura de liquidus será utilizada como condição inicial para os domínios que

constituem a peça enquanto que para a moldação fechada e vazia se simulou o seu

arrefecimento a partir de uma temperatura inicial φo=300°C e para um período de 60

segundos de modo a obter um campo de temperaturas mais condizente com a realidade.

Nesta simulação foram considerados negligenciáveis os fluxos de calor através da

interface D1/D2, D1/D3 e D1/D4 (ver figura 4.4), tendo estas fronteiras sido

consideradas adiabáticas. Esta assunção é justificada pela quase inexistência de

circulação de ar na cavidade e pela reduzida capacidade térmica do ar que ocupa a

cavidade.

79




V. Domínio de cálculo

A simulação numérica foi realizada sobre um domínio bidimensional constituído pela

secção transversal definida pelo plano médio da peça, como indicado na figura 4.3.

Figura 4.3 - Dimensões da secção transversal do conjunto moldação/peça.

Para efeito de simulação numérica, consideraram-se como distintos os domínios

constituídos pelas partes da moldação, pela peça e pelo meio ambiente.

O domínio D1 (figura 4.4) é constituído pela secção transversal da peça, incluindo o

canal de enchimento e o ataque. O domínio D2 é constituído pela secção transversal da parte inferior da moldação, enquanto que a parte superior da moldação é constituída

pelos domínios D3 e D4, tal como se pode constatar pela figura 4.4. O domínio D4

corresponde ao inserto necessário para produzir a forma reentrante na peça, e está

permanentemente fixo ao domínio D3. O ambiente constitui um domínio que envolve

exteriormente o conjunto, que contacta apenas com os domínios D2 e D3.

D3

D1 D4

D2

Figura 4.4- Secção transversal do conjunto moldação/peça mostrando a divisão do domínio

80




Cada um dos domínios D1, D2 e D3 foi depois subdividido em sub-domínios mais

simples, para facilitar a geração da malha, como se ilustra na figura 4.4 e 4.5. As

fronteiras dos diferentes domínios foram organizadas de forma que a condição de

fronteira estabelecida entre sub-domínios de cada domínio principal corresponde à

situação de contacto perfeito.

2

14

6

4

9

1

12 13 15 16

853

10

11

17

7

Figura 4.5 – Ilustração dos 17 sub-domínios em que foi subdividido o conjunto peça/ moldação de modoa facilitar a geração da malha.

Exceptuando o domínio D4, correspondente ao inserto, todos sub-domínios foram

subdivididos para facilitar a obtenção da malha por interpolação bilinear tal como se

apresenta na figura 4.6.

Figura 4.6 - Representação da malha utilizada para discretizar cada um dos sub-domínios que

compõem o conjunto peça/moldação.

VI. Estrutura do código desenvolvido

No quadro 4.5 apresenta-se uma lista dos programas comerciais mais importantes

usados actualmente na simulação do fenómeno da solidificação. Não é de surpreender

que muitas das técnicas usadas nestes softwares não sejam descritas de modo a evitar a

sua duplicação. Tal situação leva, como se teve oportunidade de constatar no primeiro

81




capítulo, a que grande parte dos investigadores que trabalham na área da solidificação

dos metais optem por desenvolver os seus próprios códigos.

As razões que podem ser invocadas estão essencialmente relacionadas com os seguintesfactores:

o Especificidade do assunto que se pretende tratar;

o Nível de informação fornecida de modo a se poder confiar nos resultados

obtidos;

o Rapidez na obtenção da solução.

Quadro 4.5 – Software comercial [31:35]

Designação Organização Características

MAGMA-FLOW Magmasoft, Dinamarca FDM – 3D

FLOW – 3D Flow Science Inc., USA FDM – 3D

ProCAST Universal Energy Systems, USA FEM – 3D

SIMULATOR Aluminium Pechiney, França FVM – 3D

Constata-se, pelo quadro 4.5 que todos os métodos de discretização, método das

diferenças finitas (FDM), método dos elementos finitos (FEM) e método dos volumes

finitos (FVM), são utilizados nos códigos comercias para o estudo numérico do

fenómeno da solidificação, tal como, aliás, já se tinha constatado no primeiro capítulo

relativamente aos vários investigadores.

O código desenvolvido neste trabalho, cujo organograma se apresenta na figura 4.7,

utiliza o método dos volumes finitos com formulação em coordenadas curvilíneas e

comporta vários subprogramas que se podem descrever do seguinte modo:

Malha computacional – trata-se do subprograma que permite definir o domínio

computacional, para o qual se optou por um quadrado com 49 volumes de controlo (sete

em cada direcção). Este domínio é único e os seus parâmetros constituem a base para a

definição da malha utilizada para descrever a geometria real.

82




Malha Real – é o subprograma que permite a definição da malha do domínio real

(conjunto peça/moldação). Como a peça possui geometria complexa, a moldação,

possuindo uma forma negativa da peça, terá também uma forma complexa. De modo a

facilitar a definição da malha o conjunto peça/moldação foi dividido em 17

sub-domínios e, de seguida foram definidos os seus contornos, bem como o número de

volumes sobre cada fronteira de acordo com o domínio computacional. O formato dos

volumes de controlo internos é obtido por interpolação bilinear, realizado em sub rotina

própria.

Interpolação bilinear - uma vez definidos os contornos de cada sub domínio do conjunto

peça/moldação é necessário preencher o seu interior com volumes de controlo, cujo

formato é definido explicitamente interpolando algebricamente as posições que

assumem sobre as fronteiras dos diferentes sub-domínos, tal como foi descrito no

segundo capítulo.

Transformação de coordenadas – é o subprograma que permite a transformação de

coordenadas cartesianas em coordenadas curvilíneas. Calcula o Jacobiano, o

determinante do Jacobiano e posteriormente as constantes C i e C ij presentes na equação

constitutiva da solidificação.

Propriedades físicas – é sabido que a liga de alumínio vazada tem como temperatura de

liquidus 585 ºC e de solidus 575ºC, portanto neste intervalo de temperaturas existe

libertação de calor sob duas formas distintas: calor sensível e calor latente. Assim que a

temperatura desça abaixo da temperatura de solidus termina a libertação de calor latente

o que provoca alterações significativas no modelo numérico. De um modelo de

mudança de fase (onde existe libertação de calor sensível e latente) passa-se a um

modelo de arrefecimento puro onde apenas existe libertação de calor sensível.

Esta sub rotina determina, em cada iteração, o valor máximo de temperatura dos

diferentes sub-domínios que constituem a peça, compara-o com a temperatura de

solidus e, quando inferior, elimina o calor latente.

Discretização espacial – é o subprograma que executa a discretização das diferenciais

espaciais utilizando o método dos volumes finitos.

83




Discretização temporal – é o subprograma que executa a discretização do diferencial de

tempo presente na equação constitutiva da solidificação utilizando o método dos

volumes finitos para três formulações distintas: implícita de Euler, Crank-Nicolson e

Richtmayer-Morton.

Condições iniciais – é o subprograma que permite obter o campo inicial de temperaturas

na moldação, refira-se que este sub programa faz uso da totalidade das sub rotinas

descritas até aqui e, ainda, de uma sub rotina onde se definem as condições de fronteira

referentes à situação de moldação fechada e vazia, onde existem fronteiras isoladas

entre si, contacto perfeito e fluxo de calor para o ambiente.

Condições de fronteira – refere-se este subprograma à definição das condições defronteira para a situação pós vazamento do metal líquido na moldação. Onde se incluem

fronteiras de coeficiente de transferência de calor Newtoniano, contacto perfeito e

fronteiras cujo fluxo depende apenas da condutividade térmica dos materiais em

contacto.

SIP (Strongly Implicit Procedure) – é o subprograma que permite a resolução via

iterativa do sistema de equações algébricas resultante do processo de discretização, tal

como foi descrito no segundo capítulo.

Print – é o subprograma onde são criados ficheiros de dados (um para cada

sub-domínio), que serão utilizados no pós-processamento.

Toda a programação foi realizada em microcomputador utilizando a linguagem de

programação Fortran, sendo o pós-processamento dos dados obtidos pelo código

desenvolvido realizado com o Software Tecplot.

84




Sub programa

Malha

computacional

Sub programa

Malha

real

Sub programa

Interpolação

bilinear

Sub programa

Discretização

espacial

Sub programa

Discretização

temporal

Sub programa

Condições

iniciais

Sub programa

Condições

fronteira

Sub programa

Print

Sub programa

SIP

Sub programa

Propriedades

físicas

Sub programa

Transformação

coordenadas

Programa

Solidificação

Figura 4.7 – Organograma do código desenvolvido utilizando o método dos volumes finitos

85




VII. Apresentação e discussão dos resultados

Nesta secção serão apresentados os resultados obtidos através código desenvolvido

utilizando o método dos volumes finitos com formulação em coordenadasgeneralizadas. O pós-processamento dos dados aqui apresentados foi realizado com a

aplicação Tecplot que permite a visualização simultânea das linhas de temperatura

constante (isotérmicas) e do campo de temperaturas mediante diferentes cores.

Tal como foi referido aquando da definição das condições iniciais, o campo inicial de

temperaturas na moldação é obtido simulando o arrefecimento desta durante 1 minuto

na condição de fechada e vazia. Essa simulação foi efectuada para duas situações

distintas: primeiro, considerando que existe um contacto perfeito entre a parte superior einferior da moldação (interface D2/D3) e também na interface D4/D3; e segundo,

considerando a existência de um fluxo de calor proporcional à diferença de temperaturas

nas interfaces D2/D3 e D4/D3.

O campo de temperaturas para o conjunto peça/moldação será apresentado para três

situações distintas de acordo com o tipo de condições impostas às interfaces dos

diferentes domínios. Na primeira abordagem considera-se que o fluxo de calor através

das referidas interfaces é apenas de difusão, na segunda abordagem considerou-se um

coeficiente de transferência de calor Newtoniano na interface peça/moldação, e na

terceira e última abordagem foi considerado o mesmo tipo de coeficiente de

transferência de calor também nas interfaces D2/D3 e D3/D4.

VII.1. Campo de temperaturas inicial na moldação

Na figura 4.8 encontra-se representado o campo de temperaturas inicial, considerando

contacto perfeito entre a parte superior e inferior da moldação (interface D2/D3) e

também na interface D4/D3. Nota-se que a zona correspondente ao domínio D4 (ver

figura 4.4) se encontra a uma temperatura mais elevada que os restantes domínios dado

possuir três fronteiras adiabáticas e se encontrar mais afastada do meio ambiente. Os

cantos superiores da moldação apresentam valores de temperatura mais baixos que os

homólogos inferiores, o que é perfeitamente realista devido à sua menor dimensão.

86




FI

290.4

288.5

286.5

284.6

282.7

280.7

278.8276.9

274.9

273.0

271.1

269.1

267.2

265.3

263.4

Figura 4.8 – Campo de temperaturas inicial [ºC] para a moldação obtido para uma temperatura inicial de 300ºC, considerando adiabáticas as interfaces peça/moldação, contacto perfeito entre asinterfaces moldação/ moldação e transferência de calor por convecção entre a superfície externada moldação e o ambiente.

FI

298.0

295.7

293.2

290.7

288.2

285.7

283.1

280.6

278.1

273.1

270.6

268.1

265.6

263.0

260.5

Figura 4.9 – Campo de temperaturas inicial [ºC] para a moldação obtido para uma temperatura inicial de 300ºC, considerando adiabáticas as interfaces peça/moldação, transferência de calor

Newtoniana nas interfaces dos domínios D2/D3 e D4/D3, transferência de calor por convecçãoentre a superfície externa da moldação e o ambiente e contacto perfeito nas interfaces moldação/ moldação.

Na figura 4.9 encontra-se representado o campo de temperaturas inicial obtido

considerando transferência de calor Newtoniana nas interfaces D2/D3 e D4/D3. A

diferença em relação ao campo de temperaturas da figura 4.8 está na descontinuidade

nos valores de temperatura que se verificam nas interfaces onde foi especificado oreferido fluxo.

VII.2. Resultados considerando transferência de calor por condução

Nesta abordagem do problema será considerado que o fluxo de calor existente na

interface peça/moldação é apenas de difusão, ou seja, é proporcional à diferença de

temperatura que se verifica na referida interface, sendo o coeficiente de

87




proporcionalidade dado pela relação das condutividades térmicas dos materiais em

contacto.

Apresenta-se na figura 4.10 o campo de temperaturas para o conjunto peça/moldaçãodecorridos 0.25 segundos após o vazamento. Verifica-se que grande parte da peça se

encontra ainda muito próximo da temperatura de liquidus, é também visível o aumento

de temperatura nas zonas da moldação mais próximas da peça.

FI

584.8

580.7

556.5

462.7

310.0

220.5

209.9

207.9

197.8

170.4

157.9

148.1

144.7

141.8

133.0

Figura 4.10 – Campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorridos 0.25 segundos.

O campo de temperaturas no conjunto peça/moldação determinado para 2 segundos

após o vazamento é apresentado na figura 3.9 na qual se verifica que apenas no sub-domínio 1 (ver figura 4.4) existe material no estado líquido. Quanto à moldação a

pequena área junto à peça de maior temperatura verificada para 0.25 segundos de

arrefecimento é agora bastante maior.

FI

581.6

556.3

529.1

488.4

386.7

302.5

228.0205.2

201.5

197.3

172.0

161.5

149.3

143.4

139.6

Figura 4.11 – Campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorridos 2 segundos.

Decorridos 4 segundos (figura 4.12), verifica-se que a dimensão da área de material

líquido foi consideravelmente reduzida ao passo que o nível de temperatura no sub-

88




domínio 4 (ver figura 4.4) desceu cerca de 40ºC em relação aos valores de temperatura

verificados para 2 segundos de arrefecimento.

FI578.2

574.8

553.0

496.5

475.6

429.0

329.4

273.5

217.6

199.2

189.6

161.7

153.0

148.2

139.7


O fim da solidificação acontece quando decorridos 6 segundos de arrefecimento, isto é,

toda a peça se encontra abaixo da temperatura de solidus (575ºC), situação que se ilustra

na figura 4.13. Refira-se o facto do gradiente de temperatura entre a peça fundida e as

imediações da moldação ser bastante reduzido e, como era de esperar, as zonas mais

frias da moldação serem as que se encontram mais afastadas da peça e simultaneamente

mais próximas do meio ambiente.

FI

574.5

573.9

566.4

547.2

519.9

465.3

410.7

301.4

246.8

219.2

197.4

164.9

150.2

145.1

139.9


89




Figura 4.14 – Campo de temperaturas na peça no fim da solidificação.

Figura 4.15 – Campo de temperaturas na moldação no fim da solidificação.

FI

547.2

534.3

437.6407.9

383.3

328.7

260.9

225.7

197.0

176.7

164.9

157.4

151.3

147.5

140.8

139.6

FI

574.5

573.8

570.0

558.9

543.2

527.6

511.9

474.5

465.0

433.7

424.7402.4

371.1

355.5

339.8

Nas figuras 4.14 e 4.15 apresenta-se em pormenor o campo de temperaturas

determinado quando finda a mudança de fase para a peça e moldação, respectivamente.

As zonas da peça que sofrem arrefecimento mais acentuado correspondem aos

sub-domínios 2 e 5 (ver figura 4.5) que são precisamente as zonas de menor espessura

da peça. Em contraste, a zona de arrefecimento mais lento corresponde ao sub-domínio

1 (ver figura 4.5), visto tratar-se da zona de maior densidade mássica da peça.

No que concerne à moldação, como se pode constatar as temperaturas mais elevadas

ocorrem, como era previsível, junto da peça. Considerando o contorno externo da

moldação verifica-se que a zona de temperatura mais elevada acontece no sub-domínio

12 (ver figura 4.5 e 4.15) que encontra justificação na sua menor espessura.

Fazendo uma análise comparativa com o campo de temperaturas inicial (figura 4.8),

verifica-se que as zonas mais frias continuam a ser os cantos superiores da moldação, no

90




entanto, o canto posterior esquerdo, por se encontrar nas imediações da zona mais

quente da peça, apresenta um nível de temperatura bastante superior ao inicial.

VII.3 – Resultados considerando transferência de calor Newtoniana parcial

Trata-se da segunda abordagem do problema onde o coeficiente de proporcionalidade

entre o fluxo de calor e a diferença de temperaturas na interface peça/moldação (relação

de condutividades térmicas dos materiais) da primeira abordagem é substituído por um

coeficiente de transferência de calor Newtoniano. Todas as restantes condições foram

mantidas.

Iniciando, então, a análise dos resultados obtidos nesta abordagem pela figura 4.16,

onde se mostra o campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorridos apenas

0,25 segundos de arrefecimento.

FI

585.0

583.9

562.2

539.5

516.7

493.9

471.2

323.9

277.7

270.0

264.0

255.4

246.7

235.9

229.3

Figura 4.16 – Campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorrido 0.25 segundos.

Verifica-se que a peça se encontra muito próximo da temperatura de liquidus, existindo

uma reduzida parcela, nas zonas mais junto da moldação, onde a temperatura desceu

ligeiramente.

Na moldação pode ser observada a ocorrência de uma área de temperatura mais elevada

na zona de contacto com a peça.

Na figura 4.17 está representado o campo de temperaturas resultante para o conjunto

peça/moldação decorridos 4 segundos após o vazamento. Pode verificar-se que:

91




o Na zona correspondente ao canal de enchimento, domínio D1 (ver figura

4.4), ocorrem as temperaturas mais elevadas, como previsível dada a sua

maior massividade;

o Uma parcela considerável da peça está já no estado sólido (abaixo de

575°C), com excepção para as zonas de maior espessura dos sub-domínios

1, 3 e 5 (ver figura 4.5);

FI

584.4

577.4

572.7

539.3

516.7

494.2

418.9

359.3

291.1

268.5

253.6

246.0

237.5

229.6

224.0


O campo de temperaturas do conjunto peça/moldação obtido 8 segundos após o

vazamento representado na figura 4.18, mostra que:

o Apenas na zona aproximadamente cilíndrica da peça existe material no estado

líquido.

o Na zona correspondente ao sub-domínio 4 forma-se uma estricção das

isotérmicas, reflectindo a influência da existência de maior espessura nas

extremidades em que se encontra com os sub-domínios 3 e 5;

92




FI

581.9

575.0

559.7

537.4

492.9

469.6

449.9436.3

359.2

314.7

292.4

270.1

254.6

236.0

226.4


Na figura 4.19 representa-se o campo de temperaturas determinado decorridos 12

segundos após o vazamento. Observa-se que apenas uma reduzida parcela da peça(sub-domínio 1) se encontra acima da temperatura de solidus.

Verifica-se, também que a zona de temperatura mais elevada na moldação corresponde

ao sub-domínio 12 devido à sua menor espessura e contactar directamente com a zona

de temperatura mais elevada da peça (sub-domínio 1).

FI

577.9

575.0

571.7

561.1

535.0

513.4

415.0

383.4

375.3

341.4

319.4

297.8

276.2

254.7

236.1

Figura 4.19 – Campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorridos 12 segundos

O fim da solidificação da peça ocorre no sub-domínio 1, após sensivelmente 14,8

segundos de arrefecimento, como se mostra na figura 4.20. De salientar os elevados

gradientes de temperatura que se verificam nos sub-domínios 1 e 2 como facilmente se

pode constatar pela figura 4.21. No sub-domínio 1, o elevado gradiente de temperatura

encontra justificação na sua grande massividade. No sub-domínio 2 já não é tão

evidente. Tendo em consideração a sua reduzida espessura a temperatura baixará mais

rápido, o que se verifica na zona central onde a influência do sub-domínio 1 (zona mais

93




quente da peça) e do sub-domínio 3 que se encontra com temperaturas mais altas que a

zona central do sub-domínio 2, embora mais baixa que as verificadas no sub-domínio 1,

não é tão significativa.

FI

575.0

573.4

568.6

552.8

531.7

510.0

444.9

401.5

359.7

336.4

314.7

293.0

271.3

249.6

230.0

Figura 4.20 – Campo de temperaturas no conjunto peça/moldação decorridos 14.8 segundos.

Para finalizar uma palavra para a zona mais fria da peça. Como era previsível ocorre na

extremidade da peça (figura 4.21) visto tratar-se de uma zona de reduzida espessura e

três das suas fronteiras contactarem com a moldação.

FI

575.0

572.3

568.9

561.1

547.2

533.2

505.3

477.4

440.1

394.3

371.1

363.5

360.6

358.7

354.5

Figura 4.21 – Campo de temperaturas da peça no fim da solidificação.

Na figura 4.22 apresenta-se o campo de temperaturas obtido no fim da solidificação

para a moldação. Como se observa as temperaturas mais elevadas ocorrem, como era

previsível, junto da peça. Considerando o contorno externo da moldação verifica-se que

a zona de temperatura mais elevada acontece no sub-domínio 12 (ver figura 4.5) o que

encontra justificação o facto de contactar directamente com a zona de temperatura mais

elevada da peça (sub-domínio 1) e apresentar uma reduzida espessura.

94




FI

457.8

423.5

394.0

377.9

360.5

342.5

327.2312.9

294.6

277.9

268.9

261.2

244.5

238.4

230.0

Figura 4.22 – Campo de temperaturas na moldação no fim da solidificação da peça.

Fazendo uma análise comparativa com o campo de temperaturas inicial (figura 4.8),

verifica-se que as zonas mais frias continuam a ser os cantos superiores da moldação, no

entanto, o canto posterior esquerdo, por se encontrar nas imediações da zona mais

quente da peça, apresenta um nível de temperatura bastante superior ao inicial.

VII.4. Resultados considerando transferência de calor Newtoniana

Trata-se da terceira e última abordagem ao problema da solidificação, onde para além

do coeficiente de transferência de calor Newtoniano aplicado à interface D1/D2

(peça/moldação) é também aplicado o mesmo tipo de coeficiente às interfaces D2/D3 e

D3/D4 (ver figura 4.4), embora de valor distinto e de acordo com o quadro 4.3.

FI

585.0

583.9

539.5

516.7

493.9

471.2

448.4

301.9293.6

271.8

261.9

254.8

246.7

237.0

223.0

Figura 4.23 – campo de temperaturas no conjunto peça/moldação ao fim de 0.25 segundos.

95




FI

584.4

576.8

572.1

538.7

515.8

438.0

332.8287.0

273.7

267.1

256.1

248.0

241.2

230.3

218.8

Figura 4.24 – campo de temperaturas no conjunto peça/moldação ao fim de 4 segundos.

FI

582.0

577.5514.1

491.5

473.1

444.0

441.6

403.1

355.8

310.5

287.9

265.3

242.3

237.3

220.5


FI

578.0

576.2

566.6

534.3

490.5

424.7

382.3

356.9

337.1

318.4

280.7

270.6

263.1

239.4

230.2

96





FI

575.0

572.3

565.2

531.6510.3

435.9

386.9

366.5

334.2

317.9

282.9

270.7

264.5

244.0

230.8

FI575.0

574.3

569.5

561.4

547.7

520.4

490.7

465.9

432.1

397.6

375.7

370.3

368.1

365.3

361.5

Figura 4.27 – campo de temperaturas no conjunto peça/moldação ao fim de 14.9 segundos.

Figura 4.28 – campo de temperaturas na peça no fim da solidificação.

FI

440.3

401.1

373.7

362.0

333.2

318.1

298.1

281.9

275.0

268.6

261.2

249.1

240.1

234.4

230.8

Figura 4.29 – campo de temperaturas na moldação no fim da solidificação.

Como se pode constatar pela sequência de figuras 4.23 a 4.29 os campos de

temperaturas obtidos são em quase tudo semelhantes aos apresentados na secção

anterior (sequência de figuras 4.16 a 4.22) pelo que as considerações lá produzidas

também se aplicam a esta subsecção, salvo as seguintes excepções:

97




o Descontinuidade no valor da temperatura nas interfaces dos domínios D2/D3 e

D3/D4 (ver figura 4.4), onde o contacto perfeito foi substituído por um fluxo de

calor proporcional à diferença de temperaturas que se verificam nas referidas

interfaces.

o Os cantos posteriores da moldação, correspondentes aos sub-domínios 16 e 17

(ver figura 4.5), apresentam níveis de temperatura consideravelmente mais

baixos.

o A zona correspondente ao domínio D3 apresenta valores de temperatura mais

elevados, assim como toda a zona envolvente da peça.

A apresentação de resultados conhece o seu epílogo na figura 4.30, onde se representa a

variação da fracção sólida ao longo do tempo nos diferentes sub-domínios que

constituem a peça.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.0 1.3 2.5 3.8 5.0 6.3 7.5 8.8 10.0 11.3 12.5 13.8 15.0 16.3 17.5

Tempo [s]

F r a c ç ã o

S ó l i d a

Fs 5

Fs 4

Fs 3

Fs 2

Fs 1

Figura 4.30 – Variação da fracção sólida em função do tempo para os diferentes sub-domínios queconstituem a peça.

A fracção sólida assume o valor unitário assim que toda a massa líquida tenha sido

solidificada. Tal como se pode constatar pela figura 30, é no sub-domínio 1 ( fs1) que

98




esse valor é atingido mais tarde, o que vem de encontro com os campos de temperatura

anteriormente apresentados.

Os restantes sub-domínios apresentam variações da fracção sólida semelhantes.Destaque-se o sub-domínio 4, o primeiro a estar completamente solidificado e o

sub-domínio 2, que apesar da sua menor massividade é o terceiro a findar a

solidificação. Esta aparente contradição, encontra explicação no facto desse

sub-domínio contactar com o sub-domínio 1, onde a fracção sólida correspondente no

fim da solidificação do sub-domínio 2 é de, sensivelmente, 20 %.

VIII. Conclusão

Em primeiro lugar importa referir o facto do fim da solidificação nas situações

apresentadas em VI.3 e VI.4 ser muito semelhante (14.8 e 14.9 segundos,

respectivamente) o leva a concluir que os fluxos de calor introduzidos nas interfaces

D2/D3 e D4/D3 não influenciam significativamente o arrefecimento da peça. Essa

influência é sentida mais intensamente nas zonas da moldação mais próximas da

interface com a peça, onde a temperatura assume valores mais elevados.

Em segundo lugar deve-se mencionar a discrepância em termos de tempo de

solidificação que existe entre as duas situações anteriormente referidas (14.8 segundos),

e a situação apresentada em VI.2 que é de apenas 6 segundos. Tal diferença indica que o

escoamento de calor se processa de um modo muito mais rápido para esta última

situação, onde, recorde-se, foi assumido que a transferência de calor na interface

peça/moldação se processa apenas por difusão.

Estas discrepâncias realçam o papel preponderante da resistência térmica das diferentes

interfaces na evolução dos campos de temperaturas e levantam uma questão pertinente.

Qual das três abordagens efectuadas será a que melhor descreve o arrefecimento do

conjunto peça/moldação tal como acontece na realidade?

A resposta a esta questão será dada no próximo capítulo, onde se fará a comparação

com dados obtidos experimentalmente e que podem ser consultados na referência [1].

99




O cálculo da fracção sólida nos diferentes sub-domínios que constituem a peça permitiu

confirmar os resultados verificados para o tempo e localização do fim da solidificação.

100



CAPÍTULO V

Validação do modelo numérico

I. Introdução

Os principais factores que limitam a aplicação dos modelos analíticos em fundição, são a

geometria do domínio (geralmente complexa e portanto de descrição analítica difícil), e as

equações que regem os fenómenos físicos envolvidos no processo. As dificuldades de

modelação analítica tornam necessário e estimulante o recurso aos modelos numéricos. A

validação destes deverá ser feita por comparação entre a solução numérica obtida e a

experimentação física realizada em condições semelhantes às definidas para o modelo

numérico.

O método experimental continua a ter grande importância, principalmente quando os

fenómenos envolvidos são de grande complexidade, mas a tendência para o uso dos

métodos numéricos tem vindo a aumentar devido à fiabilidade dos resultados e custos

reduzidos quando comparados com os métodos experimentais, de modo que a concepção

dos modelos experimentais destinados a testar os modelos numéricos deve ter como

objectivo contemplar situações para as quais não existe solução analítica.

Com o objectivo de testar a validade da modelação numérica proposta neste trabalho, os

dados numéricos, utilizando o método dos volumes finitos, serão comparados com dados

experimentais e, também, com dados numéricos, utilizando o método das diferenças finitas,

obtidos na referência [1].

101



Capítulo V – Validação do modelo numérico

II. Comparação entre dados experimentais e numéricos

Antes de se dar início à confrontação de dados numéricos e experimentais é importante

referir que tal comparação será efectuada apenas para as coordenadas onde os termoparesforam colocados (figura 5.1). Os termopares utilizados são do tipo K (constituídos pelo par

Ni 10%Cr-Ni 5%Al) com um diâmetro total de 1 mm.

A confrontação entre dados experimentais e dados numéricos é feita em duas etapas. Na

primeira etapa, figuras 5.2 e 5.3, comparam-se os dados experimentais com valores

numéricos obtidos pelo código computacional desenvolvido neste trabalho para o caso de

transferência de calor por condução na interface peça/moldação (FV-K) conjuntamente com

a transferência de calor Newtoniana na mesma interface (FV-h), situações que constituíram

os dois primeiros casos de estudo no capítulo anterior. Numa segunda etapa far-se-á o

mesmo tipo de comparação para o terceiro caso de estudo do anterior capítulo (FV), figuras

5.4 e 5.5, confrontando, ainda, com resultados numéricos, utilizando o método das

diferenças finitas generalizadas, obtidos na referência [1].

T8 T12 T13 T11 T9 T10

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

Figura 5.1 - Posição dos termopares utilizados na medição de temperaturas na secção transversal do

conjunto peça/moldação estudada.

Efectuando uma análise à figura 5.2 referente à parte inferior da moldação, verifica-se que

os valores numéricos FV-h concordam bastante bem com os valores experimentais.

Verifica-se, também, que os valores numéricos FV-K, embora apresentem o mesmo padrão

de comportamento ao longo do tempo que os valores de temperatura resultantes da medição

experimental não apresentam uma discrepância de valores considerável.

102




T1

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tempo [s]

T e m p e r a

t u r a [ º C ]

Exp FV-K FV-h

T2

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T3

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T4

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T5

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T6

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T7

10 15 20

m po [s]

0

100

200

300

400

500

0 5

Te

FV-K FV-h

T1 T2 T3

Exp

T4 T5 T7 T6

Figura 5.2 – Comparação entre os resultados da medição experimental [1] e do cálculo numérico por volume

finito (FV-K e FV-h) para a meia moldação inferior.

103




T8

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T9

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T10

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T11

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T12

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Te m po[s]

Exp FV-K FV-h

T13

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FV-K FV-h

T8 T9 T10 T11 T12 T13

Figura 5.3 – Comparação entre os resultados da medição experimental [1] e do cálculo numérico

por volume finito (FV-K e FV-h) para a meia moldação superior.

104




A comparação entre os resultados da medição experimental e do cálculo numérico

utilizando o método dos volumes finitos com condições de fronteira difusivas (FV-K) e

Newtonianas (FV-h) na interface peça/moldação para a meia moldação superior é

apresentada na Figura 5.3.

Efectuando a sua análise, constata-se que:

o os valores de temperatura obtidos por simulação numérica acompanham o padrão

de variação dos valores de temperatura verificados na experimentação;

o a concordância entre os valores numéricos e os valores da medição experimental

não é tão satisfatória como se verificou para a parte inferior da moldação;

o a discrepância entre as diferentes abordagens numéricas já não é tão significativa

como a que se verificou para a parte inferior da moldação.

Atente-se, agora, nos gráficos referentes aos termopares T8 e T11, únicas localizações

onde os resultados numéricos FV-K são melhores que os seus homólogos FV-h.

No que concerne ao termopar T8, como se situa no sub-domínio 17 tem como interfaces os

sub-domínios 1, 11 e 12 (ver figura 4.5). Na primeira abordagem do problema (FV-K)

estipulou-se transferência de calor por difusão na interface com o sub-domínio 1 e contacto

perfeito nas restantes. Sabe-se que desta abordagem ao problema resultou o menor tempo

de solidificação das três abordagens realizadas, o que permitiu concluir que a transferência

de calor ocorre a uma taxa mais elevada nessa abordagem. Na segunda abordagem foi

estipulado transferência de calor Newtoniana na interface entre os sub-domínios 1e 17 e o

erro médio aumentou em 5%. Na terceira abordagem este tipo de transferência de calor foi

estendido a mais uma interface (sub-domínios 11 e 17) e o erro médio foi aumentado em

2%. Sabendo que FV-K apresenta melhor concordância com os valores experimentais, pode-se concluir que o valor do coeficiente de transferência de calor Newtoniano nas

referidas interfaces não é o mais adequado.

105




Relativamente ao termopar T11, atendendo a que os valores de temperatura da primeira

abordagem (FV-K), onde o fim da solidificação ocorria mais cedo que na segunda

abordagem (FV-h), se aproxima mais das medições experimentais e, tendo em atenção a

particularidade de estar localizado sobre a interface D3/D4 (ver figura 4.4), pode-se afirmar

que o calor é de certa forma retido no domínio D3 que como já foi referido corresponde ao

inserto da moldação para formar a reentrância apresentada pela peça.

A explicação para este facto, pode estar na definição das condições de transferência de calor

na interface D3/D4, onde na realidade não existe um contacto perfeito como até aqui foi

considerado, mas sim condições que promovem a acumulação do calor naquela zona da

moldação (domínio D3). Na realidade existe uma interface onde a transferência de calor é

Newtoniana.

Tendo em atenção os valores iniciais de temperatura para os pontos de medição referentes

aos termopares T8, T12 e T13, verifica-se que estes são consideravelmente mais elevados.

Como, em adição, o padrão de comportamento dos valores numéricos de temperatura

acompanha as medições experimentais, pode-se concluir que a referida discrepância é

devida ao valor inicial de temperatura que como se sabe foi arbitrado.

No sentido de comparar dados numéricos obtidos pelo código desenvolvido utilizando o

método dos volumes finitos com dados, também numéricos utilizando o método das

diferenças finitas obtidos na referência [1], deu origem à terceira e última abordagem do

problema da solidificação que apresenta, como já se teve oportunidade de referir, algumas

interfaces onde as condições de transferência de calor são distintas.

106




T1

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T2

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T3

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T4

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T5

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T6

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T7

0

100

200

300

400

500

0 5

Te

10 15 20

m po[s]

FD FV

T4 T5 T1 T2 T3 T7 T6

Exp

Figura 5.4 – Comparação entre os resultados da medição (experimental) e do cálculo numérico por

diferença finita [1] e volume finito (implementado neste trabalho) para a meia moldação inferior.

107




T8

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T9

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T10

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T11

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T12

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T13

0

100

200

300

400

500

0 5 10 15 20

Tem po [s]

Exp FD FV

T8 T9 T10 T11 T12 T13

Figura 5.5 – Comparação entre os resultados da medição (experimental) e do cálculo numérico por

diferença finita [1] e volume finito (implementado neste trabalho) para a meia moldação superior.

108




Uma das interfaces que sofre alterações é a interface D3/D4, onde o contacto perfeito da

segunda abordagem é substituído por um fluxo de calor Newtoniano, situação já aludida

anteriormente. A interface D2/D3 é outra em que é feito o mesmo tipo de alteração, embora

como se teve oportunidade de verificar o contacto perfeito considerado na segunda

abordagem representa satisfatoriamente o que acontece na realidade. Tal alteração tem em

vista criar as mesmas condições de simulação que as usadas por Monteiro [1] utilizando o

método das diferenças finitas e, assim, confrontar dados numéricos obtidos por métodos de

discretização distintos.

Nas figuras 5.3 e 5.4 apresenta-se a referida confrontação, sendo apresentados,

adicionalmente, os valores de temperatura relativos à experimentação para melhor

comparação.

Verifica-se pelas figuras 5.3 e 5.4 que as curvas resultantes da modelação numérica

acompanham os resultados experimentais para lá do fim da solidificação da peça. Note-se

que o máximo nos resultados experimentais, determinado no termopar T4, que contacta

com o metal vazado por estar colocado à face da moldação, ocorre antes desse instante,

como consequência da menor espessura local da peça.

No sentido de quantificar as discrepâncias nos valores de temperatura das diferentes

abordagens, apresenta-se no quadro 5.1 os erros percentuais médios para cada termopar em

relação aos valores que se obtêm pela experimentação. Efectuando a sua análise verifica-se

que a terceira abordagem do problema apresenta globalmente menor erro médio.

Realce-se o facto do menor erro médio, relativamente aos termopares T8 e T9, se obter na

primeira abordagem do problema, cujos resultados não são globalmente satisfatórios e o

facto do maior valor do erro se verificar para o termopar T13 na segunda e terceiraabordagens e ser, também, um dos mais elevados na primeira abordagem.

109




Quadro 5.1 – Erro médio percentual das diferentes abordagens ao problema da solidificação

Termopar

1ª Abordagem

(FV-k)Erro [%]

2ª Abordagem

(FV-h)Erro [%]

3ª Abordagem

(FV)Erro [%]

T1 17% 2% 3%

T2 13% 4% 3%

T3 19% 3% 3%

T4 21% 4% 3%

T5 25% 3% 3%

T6 26% 3% 4%

T7 10% 2% 5%

T8 6% 10% 13%

T9 6% 3% 4%

T10 11% 5% 1%

T11 7% 15% 3%

T12 18% 14% 10%

T13 21% 18% 13%

Verifica-se, também, que o menor valor do erro médio relativo ao termopar T7 (que se

encontra sobre a interface que une os sub-domínios 8 e 16) se obtém na segunda abordagem

do problema, no qual, como se sabe, foi considerado a existência de um contacto perfeito

entre as partes da moldação. Tal comportamento permite concluir que as superfícies em

contacto apresentam baixa rugosidade, dado que a transferência de calor será tanto mais

lenta quanto maior for a quantidade de ar existente entre as partes em contacto.

Para finalizar esta análise comparativa de resultados, uma palavra para a confrontação entre

métodos de discretização (diferenças finitas e volumes finitos). A análise das figuras 5.4 e

5.5 permite verificar o comportamento similar entre os diferentes métodos com ligeira

vantagem para o método dos volumes finitos implementado neste trabalho.

110




III. Conclusão

A comparação entre valores de temperatura numéricos e experimentais, permite concluir

que a evolução das curvas obtidas numericamente acompanha o padrão de comportamento

das medições experimentais.

A análise do quadro 5.1 onde se apresentam os erros médios para as três abordagens ao

fenómeno da solidificação permite concluir que os resultados numéricos obtidos na terceira

abordagem apresentam globalmente um erro médio inferior, pelo que é a modelação que

melhor representa a realidade.

Atendendo à evolução positiva na concordância entre os resultados numéricos e

experimentais evidenciados nas figuras 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5, pode afirmar-se que é a

resistência térmica nas interfaces que rege a evolução dos campos de temperaturas nas

moldações metálicas.

A interface D3/D4 cria uma solução de continuidade entre os domínios D3 e D4, e é fonte

de complexidade adicional da modelação, uma vez que são diminutos os dados conhecidos

sobre o comportamento do coeficiente de transferência de calor nestas interfaces, o mesmo

se passando nas interfaces entre os domínios D2 e D3.

111



CAPÍTULO VI

Conclusões e perspectivas de trabalhos futuros

I. Conclusões

A resolução analítica de uma equação diferencial que rege determinado fenómeno físico

só é possível em casos particulares. Daqui decorre a necessidade de reformulação do

problema, dando-lhe uma forma puramente algébrica.


a geometria do domínio de cálculo, o que se consegue fazendo a escolha de um número

finito de nós computacionais, supostos representativos de todo o domínio, onde irá ser

determinada a solução numérica.

Quando os domínios, físico e computacional, forem idênticos, não é necessário qualquer

transformação, mas no caso de geometrias físicas complexas, a transformação pode

provocar modificações drásticas quer nas equações constitutivas do fenómeno físico quer

nas condições de fronteira associadas.

A dificuldade de descrição dos contornos das formas geométricas complexas pode ser

ultrapassada dividindo a geometria complexa em troços de geometria mais simples,estabelecendo malhas curvilíneas em cada um desses troços, em que serão

adequadamente definidas as interacções entre os mesmos.

A utilização do método dos volumes finitos com formulação em coordenadas

cartesianas foi testada por comparação com uma solução analítica conhecida para a

condução de calor num corpo bidimensional utilizando e revelou ter um comportamento

bastante satisfatório. Nesta aplicação testaram-se, ainda, várias formulações de

112



Capítulo VI – Conclusões e perspectivas de trabalhos futuros

discretização temporal: Euler implícita, Crank-Nicolson e Ritchmayer-Morton, sendo

esta última a que mais se aproxima da solução analítica.

A formulação do método dos volumes finitos utilizando coordenadas curvilíneas foitestada por comparação com uma solução analítica conhecida para o problema da

condução de calor em domínio circular tendo apresentado resultados bastante

satisfatórios. Nesta aplicação foi, ainda, testada a utilização de diferentes métodos de

resolução de sistemas de equações resultantes de processos de discretização (TDMA,

Gauss-Seidel e SIP) na qual se verificou que o método iterativo SIP ( Strongly Implicit

Procedure) permite maior precisão e contribui para a economia do tempo de

computação.

A aplicação do código desenvolvido utilizando coordenadas curvilíneas a uma

geometria complexa concreta foi realizada em três etapas sendo alteradas as condições

de transferência de calor nas interfaces dos diferentes domínios em cada uma delas.

A primeira abordagem ao problema da solidificação, onde se considerou que a

transferência de calor da peça para a moldação se processa apenas por condução,

revelou-se, como esperado, inapropriada para representar o que acontece na realidade.

Na segunda abordagem ao problema da solidificação foi considerado que a transferência

de calor na interface peça/moldação é Newtoniana, assunção bastante mais realista dado

a concordância satisfatória com dados das medições experimentais obtidos na referência

[1].

A terceira e última abordagem, onde se considera transferência de calor Newtoniana,

também nas interfaces D3/D4 e D2/D3 teve como objectivo criar as mesmas condições

de simulação que as utilizadas por Monteiro [1] utilizando o método das diferenças

finitas, e assim, comparar com a solução que o método dos volumes finitos proporciona.

A análise comparativa de resultados entre métodos de discretização (diferenças finitas e

volumes finitos) permitiu verificar o comportamento similar entre os diferentes métodos

com ligeira vantagem para o método dos volumes finitos implementado neste trabalho.

A análise do quadro 5.1 onde se apresentam os erros médios para as três abordagens ao

fenómeno da solidificação permite concluir que os resultados numéricos obtidos na

113




terceira abordagem apresentam globalmente um erro médio inferior, pelo que é a

modelação que melhor representa a realidade.

Atendendo à evolução positiva na concordância entre os resultados numéricos eexperimentais evidenciados nas figuras 5.2 5.3 5.4 e 5.5, pode afirmar-se que é a

resistência térmica nas interfaces que rege a evolução dos campos de temperaturas nas

moldações metálicas.

A interface D3/D4 cria uma solução de continuidade entre os domínios D3 e D4, e é

fonte de complexidade adicional da modelação, uma vez que são diminutos os dados

conhecidos sobre o comportamento do coeficiente de transferência de calor nestas

interfaces, o mesmo se passando nas interfaces entre os domínios D2 e D3.

Uma vez que a distribuição global de temperatura calculada está de acordo com as

medições experimentais efectuadas por Monteiro [1], pode-se afirmar que são válidas as

informações sobre a solidificação fornecidas pelo modelo.

O método dos volumes finitos utilizando coordenadas curvilíneas permite assim

resolver o problema da solidificação sem limitações de carácter geométrico o que

constitui a maior vantagem do método.

A utilização de malhas curvilíneas permite o desenvolvimento de algoritmos mais

eficientes e com melhor capacidade de descrever os contornos das peças através de um

menor número de elementos, sendo a especificação do problema independente da forma

dos contornos do domínio físico, em virtude do domínio computacional resultante ser

fixo.

A divisão de uma peça em troços de geometria mais simples, resulta bem no métododos volumes finitos, porque é possível estabelecer de forma adequada os balanços nas

interfaces virtuais definidas, contornando a sua complexidade geométrica.

A utilização de coordenadas curvilíneas para definir os nós da malha produz uma

estrutura organizada que permite que todo o esforço de cálculo seja efectuado num

rectângulo computacional, desde que as equações em causa tenham sido transformadas

para que as coordenadas curvilíneas substituam as coordenadas cartesianas como

variáveis independentes na formulação do problema.

114




O programa desenvolvido pode fazer-se evoluir rapidamente, por incorporação de novas

rotinas ou rotinas já existentes para o método dos volumes finitos, novos conhecimentos

sobre os materiais utilizados, ou dados sobre novos materiais.

II. Perspectivas de desenvolvimentos futuros

O primeiro desenvolvimento que cabe referir é naturalmente a alteração do código para

fazer a modelação tridimensional, o que pode ser feito a partir das relações de

transformação apropriadas.

Uma segunda vertente passa por melhorar a caracterização física das ligas metálicas, nosentido de descrever mais adequadamente as condições de arrefecimento reais e ter,

também, em conta a evolução das características térmicas dos materiais com a

temperatura.

Outra aplicação consiste em simular a utilização de componentes efémeros na execução

de troços da moldação, muito frequentemente utilizados em fundição em moldação

metálica.

É também possível modelar o aparecimento e evolução da folga entre a peça e a

moldação, para o que será necessário determinar a deformação das moldações e da peça

sob acção dos campos de temperaturas.

Simular a utilização de pinturas protectoras, isolantes ou desmoldantes, que permitem

conferir diferentes qualidades de acabamento superficial à parede da moldação, e fazer

variar significativamente as condições de transferência de calor na interface

metal/moldação, é outro possível desenvolvimento.

Uma outra linha de investigação poderá ser a modelação e simulação do enchimento da

moldação, o que será a combinação do problema da solidificação com um problema de

mecânica dos fluídos, e que passará necessariamente pela utilização das equações de

Navier-Stokes.

115



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Master Thesis 2003