MAT 12º ano

7/27/2019 MAT 12º ano

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Matemática A

EDUCATECA

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7/27/2019 MAT 12º ano


7/27/2019 MAT 12º ano


7/27/2019 MAT 12º ano


24 DSFIOS • Matemática • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

2

P

P l a n i f i c a ç ã o a n

u a l e

p l a n o s d e a u l a

Planificaçãoanual

T E M A s /

/ c o n T E ú d o s E s p E c í f i c o s

d E s E n v o l v i M E

n T o

i n d i c A ç õ E s M E T o d o l ó g i c A s

v a l i a ç ã o d e d i a g n ó s t i c o

1

• P r e t e n d e - s e a v a l i a r o s c o n h

e c i m e n t o s

e c o m p e t ê n c i a s a d q u i r i d o s

p e l o s a l u n o s

a o l o n g o d o s e u p e r c u r s o e

s c o l a r c o m

ê n f a s e n o s d o i s ú l t i m o s a n o s ( 1 0 . º e 1 1 . º a n o s ) .

• F i c h a d e d i a g n ó s t i c o

( e d u c a t e c a ) .

• I n t r o d u ç ã o a o c á l c u l o d e

p r o b a b i l i d a d e s

1 2

• x p e r i ê n c i a a l e a t ó r i a ; c o n j u

n t o d e

r e s u l t a d o s ; a c o n t e c i m e n t o s .

• O p e r a ç õ e s c o m a c o n t e c i m

e n t o s .

• p r o x i m a ç õ e s c o n c e p t u a i s

p a r a

P r o b a b i l i d a d e s :

— a

p r o x i m a ç ã o f r e q u e n c i s

t a d e

p r o b a b i l i d a d e ;

— d

e f i n i ç ã o c l á s s i c a d e p r o

b a b i l i d a d e o u

d e L a p l a c e .

— d

e f i n i ç ã o a x i o m á t i c a d e

p r o b a b i l i d a d e

( c a s o f i n i t o ) ; p r o p r i e d a d e s d a

p r o b a b i l i d a d e .

• P r o b a b i l i d a d e c o n d i c i o n a d

a e

i n d e p e n d ê n c i a ; p r o b a b i l i d a d e d a

i n t e r s e ç ã o d e a c o n t e c i m e n

t o s .

c o n t e c i m e n t o s i n d e p e n d e n

t e s .

• e s o l u ç ã o d a t a r e f a 1 ( J o g o ) d a p á g i n a 8 p a r a i n t r o d u ç ã o a o t e

m a

—

e c u r s o 1 : J o g o d e c a r t a s ( L i v r o m é d i a d o p r o f e s s o r ) .

• c o n t e c i m e n t o s e o p e r a ç õ e s c o m a c o n t e c i m e n t o s — r

e s o l u ç

ã o d a s

t a r e f a s e d o s e x e r c í c i o s d a s p á g i n a s 9 a 2 3 .

• p r o x i m a ç ã o f r e q u e n c i s t a d e p r o b a b i l i d a d e — r

e t o m a r a t a r e

f a 1 ;

r e s o l u ç ã o d o s e x e r c í c i o s 2 1 a 2 3 d a s p á g i n a s 2 4 e 2 5 .

• e g r a d e L a p l a c e — r e

t o m a r a t a r e f a 1 ; r e s o l u ç ã o d a s t a r e f a s e

d o s

e x e r c í c i o s d a s p á g i n a s 2 7 a 3 2 .

• a r e f a d e e x p l o r a ç ã o

1 — J o

g o c o m d a d o s I ( e d u c a t e c a ) .

• D e f i n i ç ã o a x i o m á t i c a

d e p r o b a b i l i d a d e — t

a r e f a s e e x e r c í c i o s d a s p á g i n a s

3 4 a 3 8 ; r e s o l u ç ã o d o

s e x e r c í c i o s 7 6 , 7 7 , 7

8 , 8 2 , 8 3 e 9 0 d a s p á g i n a s 5 0 a 5 2 .

• e a l i z a ç ã o d a f i c h a d

e c o n s o l i d a ç ã o 1 ( e d u c a t e c a ) .

• P r o b a b i l i d a d e c o n d i c i o n a d a e i n d e p e n d ê n c i a — r

e s o l u ç ã o d a s t a r e f a s

e e x e r c í c i o s d a s p á g i n a s 3 9 a 4 9 .

• F i c h a d e c o n s o l i d a ç ã

o 2 ( e d u c a t e c a ) .

• M a i s e x e r c í c i o s , e s c o l h a m ú l t i p l a e r e s p o s t a a b e r t a ( p á g i n a s 5 0

a 5 3 ) .

• x e r c í c i o s e a u t o a v a l i a ç ã o 1 d o c a d e r n o d e a t i v i d a d e s d a s p á g

i n a s 6 a 1 1 .

• u t o a v a l i a ç ã o 1 d a s p á g i n a s 5 4 e 5 5 .

• F i c h a d e a v a l i a ç ã o 1 ( e d u c a t e c a ) .

P r o b a b i l i d a d

e s e C o m b i n a t ó r i a ( 3 0 a u l a s )

n . º

d E A u l A s

( # 9

0 M i n u T o s )

7/27/2019 MAT 12º ano


32 DESAFIOS • Matemátic a A • 12.º ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

2

PAE

P l a n i f i c a

ç ã o e

p l a n o s d e a u l a

PAO DE AA .º 2 Matemática A — 12.º ano

ESCOLA : TURMA: N.º DE ALUNOS:

DOCENTE DA TURMA: DOCENTE DE SUBSTITUIÇÃO:

LIÇÃO N.º: DATA: / / HORA: : SALA: TEMPO: 90 MINUTOS

TEMA

Probabilidades e Combinatória

ConTEúdos EspECífiCos

Introdução ao cálculo das probabilidades

suMário

Experiência aleatória e espaço de resultados.

indiCAçõEs METodológiCAs

• As probabilidades fornecem conceitos e métodos para

estudar casos de incerteza e para interpretar previsões

baseadas na incerteza. Este estudo, que pode ser em

grande parte experimental, fornece uma base

conceptual que capacita para interpretar, de forma

crítica, toda a comunicação que utiliza a linguagem

das probabilidades, bem como a linguagem estatística.

• arefa 1 (página 8): Os alunos devem jogar sem

indicação de que o jogo não é justo. Inicialmente,

deve fazer-se uma análise superficial do jogo, para que,

apenas após a realização de algumas jogadas,

se apercebam de que o jogador A parece ter mais

hipóteses de ganhar. Os alunos podem determinara probabilidade de cada jogador ganhar utilizando

a egra de aplace. Essa resolução pode ser

consultada na página 26 do manual.

• arefa 2 (página 10).

• Exercício 1 (página 9): Pedir aos alunos exemplos de

experiências do seu quotidiano que sejam aleatórias.

Debater os conceitos de aleatório e de acaso.

• Exercício 2 (página 10).

rECursos disponívEis

• Manual: páginas 8 a 11.

• ecurso 1: Applet Jogo de cartas (ivromédia do

professor).

• Mais recursos para a aula: Probabilidades I (educateca).

AvAliAção

obsErvAçõEs

• Observação formativa das produções efetuadas pelos

alunos.

• Para saber mais sobre as origens das probabilidades, consultar as páginas 118 e 119 do manual e o site: http://www.alea.pt

• Mais exercícios de escolha múltipla e de resposta aberta: páginas 50 a 53 (manual).

• Síntese: páginas 4 e 5 (caderno de atividades).

• Exercícios de escolha múltipla e de resposta aberta: páginas 4 a 9 (caderno de atividades).

• Consultar Guiões didáticos — arefas: Sugestões e resoluções do tema 1 (educateca).

• Consultar Guiões didáticos — Materiais para a aula do tema 1 (educateca).

• Consultar a página de Internet: www.alea.pt.

TpC

• Alguns dos exercícios propostos para a aula poderão

ser sugeridos como PC.

7/27/2019 MAT 12º ano


182 DSFIOS • Matemátic a • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

P

F i c h a s

Nasquestõesseguintes,apresenteoseuraciocíniodeformaclara,indicandotodososcálculos

quetiverdeefetuareasjustificaçõesnecessárias.

1 Considereaexperiênciaaleatóriaqueconsisteno

lançamentodeumamoedadeumeuroperfeita.

1.1 Defina experiência aleatória.

1.2 Indique o espaço amostral e o espaço de acontecimentosda experiência considerada.

1.3 Indique dois acontecimentos incompatíveis.elativamente aos acontecimentos considerados, pode afirmar que são contrários? Justifique.

1.4 Lançando esta moeda 1000 vezes, quantas vezes se espera que ocorra a saída da face com o euro?Justifique.

2 Considereaexperiênciaaleatóriaqueconsistenaextraçãodeduasbolas,umadeumacaixacom

trêsbolasazuis,numeradasde1a3,eoutradeumaoutracaixa,comtrêsbolasbrancas,

igualmentenumeradasde1a3,eanotarosnúmerosobtidos.

2.1 epresente, em extensão, o espaço de resultados E que lhe está associado.

2.2 Considere os acontecimentos seguintes.

• A: « soma das pontuações é 4.»

• B: «O produto das pontuações é 3.»

epresente em extensão cada um dos acontecimentos de E :

a) A b) B c) A+ B d) A\B

2.3 Calcule a probabilidade dos acontecimentos referidos em 2.2 .

3 Foiregistadoduranteváriosanosonúmerodeincêndiosflorestaisocorridospordiaduranteos

mesesdaestaçãodeverão.Desseestudoresultouoquadroseguinte:

M 1 ProbabilidadeseCombinatória

NOME: N.O: TURMA: DATA:

FICH D CONSOLIDO 1

Número de incêndios

Número de dias 41

0

30

1

24

2

19

3

14

4

5

5

7

6

12

26

Determineaprobabilidadede,numdeterminadodia,duranteosmesesdeverão:

a) não ocorrer qualquer incêndio?

b) ocorrerem no máximo quatro incêndios?

c) ocorrerem pelo menos três incêndios?

4 OAntóniotem,nobolso,seismoedas,duasde1euroequatrode50cêntimos.

Eleretira,simultaneamenteeaoacaso,duasmoedasdobolso.

Determine qual é a probabilidade de as moedas totalizarem a quantia de 1,5 euros. presente a probabilidade na forma de fração irredutível.

7/27/2019 MAT 12º ano


183DSFIOS • Matemátic a • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

P

F i c h a s

5 Ododecaedroéumpoliedroregularcom12faces.

Existemdadosquesãododecaedroscomasfacesnumeradasde1a12.

No lançamento de um dado deste tipo, qual é a probabilidade de obtermos uma face com um número

múltiplo de 3 ou maior do que 7?

6 Sabe-seque[ ABCD]éumquadradodelado4dmcomumacircunferência

inscrita,aqualcontémigualmenteumquadradoinscrito.

scolhendo um ponto do quadrado [ ABCD], ao acaso, qual é a probabilidade

de pertencer à zona a cinzento?

7 Umaestaçãodetelevisãopretendecriarumanovagrelhadeprogramaçãoparaoperíodoque

decorreentreas8heas9h30damanhã,dispondoparaoefeitode2programasde1hora—um

informativoeummusical—ede3programasde30minutos—doismusicaiseumdedesporto.

scolhendo ao acaso uma das possíveis grelhas de programação, qual é a probabilidade de que ela

contenha apenas programas musicais? presente a probabilidade na forma de fração irredutível.

Nota: mudança de ordem de programas origina diferentes grelhas.

8 Dossóciosdeumclubedesportivo,68%praticamfutebol,24%praticamvoleibole10%praticam

ambasasmodalidades.

o escolher aleatoriamente um praticante deste clube, qual é a probabilidade de este:

a) praticar apenas uma das referidas modalidades?

b) não praticar nenhuma destas modalidades?

9 DeumgrupodealunosdoEnsinoSecundárioafrequentaro12.°ano,70%estãomatriculados

emMatemática;65%emQuímica;55%emBiologia;27%emMatemáticaeBiologia;35%

emMatemáticaeQuímica;37%emQuímicaeBiologiae12%nastrêsdisciplinas.

Se escolhermos, ao acaso, um destes alunos, qual é a probabilidade de estar matriculado:

a) em duas e só duas destas disciplinas?

b) apenas em Matemática?

10 SejaEoespaçoderesultados,finito,associadoaumaexperiênciaaleatória.

SejamAeBdoisacontecimentos A1E eB1E h.

Prove que: P A B P B P A P A B+ ++ = +_ _ _ _i i i i

11 SejaE oespaçoderesultados(comumnúmerofinitodeelementos),associadoaumacerta

experiênciaaleatória.

Sejam AeBdoisacontecimentos A1E eB1E h.Sabe-seque:P Bh= P AheP A,Bh= 2P Ah 11.1 Prove que os acontecimentos A e B são incompatíveis.

11.2 Os acontecimentos A e B são necessariamente contrários? Justifique.

12 Numacaixa,existeumdeterminadonúmerodebolasnumeradasde1a4.Retirando,aoacaso,

umaboladosaco,verificou-seque:

P «sairumabolacomonúmero1»h= n#P ^«sairumabolacomonúmeron»h

12.1 Mostre que P («sair uma bola com o número 1»)= 0,48.

12.2 Qual é a probabilidade de sair uma bola com um número par?

12.3 xtraíram-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas desta caixa, repondo-se a primeira bola extraída antes

de retirar a segunda. Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma vez uma bola com o número 1?

12.4 Determine o número total de bolas que se encontram inicialmente dentro da caixa, sabendo que

contém menos de 40 bolas.

A B4 dm

D C

7/27/2019 MAT 12º ano



4

P

F i c h a s

ESCOLA :


GrupoI

Paracadaumadasquestõesdestegrupo,selecioneaopçãocorretadeentreasquelhesãoapresentadas

eescrevanasuafolhaderespostasaletraquelhecorresponde.

1 Lança-seumdadocúbicocomtrêsfacespintadasdeverde,

duasdeazuleumadevermelho.

Sejamosacontecimentos:

• A:«Sairfacepintadadeverde.» • B:«Sairfacepintadadeazul.» Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) A

eB

são contrários. (B) A e B são contrários. (C) A e B são incompatíveis. (D) A e B são incompatíveis.

2 Umbaralhodecartastemseiscartasvermelhasealgumascartas

pretas.

Escolhendoaoacasoumacartadobaralho,aprobabilidade

deserpretaé5.

Quantas cartas contém o baralho?

(A)10 (C)15

(B)12 (D)18

3 SejaE oespaçoderesultadosassociadoaumacertaexperiênciaaleatória.

Sejam AeBdoisacontecimentos A1E eB1E h.Sabe-seque:

P Ah= 0,4P A+Bh= 0,1P A,Bh= 0,7 Qual é o valor de P _B+ Ai?

(A)0,1 (C)0,3 (B)0,2 (D)0,4

4 Numaturmado12.°ano,60%dosalunossãodosexomasculino.Sabe-seque60%dasalunas

dessaturmausamóculoseque40%dosrapazesusaóculos.

scolhendo um aluno dessa turma, ao acaso, qual é a probabilidade de:

a) ser rapaz e usar óculos?

(A)16% (C)24% (B)20% (D)28%

b) ser rapariga, sabendo que usa óculos?

(A)20% (C)40% (B)30% (D)50%

FICH D VLIO 1

7/27/2019 MAT 12º ano



4

P

F i c h a s

GrupoII

Nasquestõesseguintes,apresenteoseuraciocíniodeformaclara,indicandotodososcálculosquetiver

deefetuareasjustificaçõesnecessárias.

1 Numsacoexistem12bolas,indistinguíveisaotato.

Quatrobolassãobrancas,quatrosãopretasequatrosãovermelhas,sendoque,paracadacor,

asbolasestãonumeradascom5,10,15ou20.

etirando uma bola ao acaso do saco, qual é a probabilidade de que a bola extraída seja:

a) preta?

b) branca ou contenha um número múltiplo de 10?

c) vermelha e não contenha um número par?

2 2.1 Seja E o espaço de resultados, finito, associado a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos A1E eB1E h, com P ]Bg! 0.

Prove que: P ]Bg # 61- P _ A|Bi@ + P B_ i = P A B,_ i

2.2 Numa empresa de inovação tecnológica, trabalham pessoas

de vários países, na sua maioria de nacionalidade portuguesa.Sabe-se que um em cada nove dos trabalhadores portugueses

é do sexo masculino.

scolhido ao acaso um trabalhador da empresa, a probabilidade

de ele ser estrangeiro ou do sexo feminino é de 90%.

rabalham na empresa 240 pessoas.

Quantos são os trabalhadores portugueses?

Nota: Se desejar, pode utilizar a igualdade da alínea 2.1. na resolução deste problema; nesse caso,

comece por explicitar os acontecimentos A e B, no contexto do problema.

3 Lança-seumdadotetraédrico,equilibrado,comasfacesnumeradasde1a4.

Considerequeo«númeroquesai»éonúmeroqueestánafacevoltadaparabaixo.

3.1 Considere os acontecimentos A e B:

• A: «Sair número par.» • B: «Sair número menor do que 4.»

Indique os valores das probabilidades condicionadas: P _B|Ai e P _ A|Bi.

Justifique a sua resposta.

3.2 Considere agora que o dado é lançado quatro vezes.

Qual é a probabilidade de a face 1 sair, pela primeira vez, precisamente no quarto lançamento?

presente o resultado sob a forma de percentagem.

4 SejaE oespaçoderesultados,finito,associadoaumacertaexperiênciaaleatória.

Sejam AeBdoisacontecimentos A1E eB1E h,comP Ah= 0,2eP A,Bh= 0,5.

Calcule o valor de P ]Bg, sabendo que:

4.1 A e B são incompatíveis.

4.2 A e B são independentes.

PARTE

QUESTÕES

COTAÇÕES

I

1; 2; 3; 4.1; 4.2

53 105 50

II

1.1

10

1.2

10

1.3

10

2.1

20

2.2

20

3.1

30

3.2

15

4.1

15

4.2

20

Grelhadeavaliação

7/27/2019 MAT 12º ano


254 DESAFIOS • Matemátic a A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

PAE

F i c h a s

Provas tipo exame

ESCOLA :


DURAÇÃO: 2H30 — TOLERÂNCIA: 30 MINUTOS

Grupo I

Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as que lhe são apresentadase escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

1 Num saco existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Tiram-se duas bolas ao acaso.

A probabilidade de o produto desses números ser par é:

(A) 15

1

(B) 5

2

(C) 5

4

(D) 15

11

2 A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é representada por:

Sabendo que a média é 2, os valores de k e de a são, respetivamente:

(A) -2 e 1 (B) -2 e 2 (C) -1 e 2 (D) -1 e 1

3 O produto do segundo e do penúltimo elemento de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 144.Qual é o valor central dessa linha?

(A) 462 (B) 792 (C) 924 (D) 1716

4 Considere a função f , de domínio A-3, 27, definida por: f ]Æg = In ]2- Æg Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico de f com os eixos coordenados.

Sendo O a origem do referencial, qual é o valor da área do triângulo 6OAB@?

(A) In 2 (B) In 2 (C) 2- In 2 (D)In2

1

5 Seja g uma função de domínio IR e a um ponto do domínio de g, tal que:

gl ]ag = 0 e] g

Æ

Æ

lima

g

1û a -

=-"

Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

(A) a é zero de g.

(B) g]ag é mínimo relativo de g.

(C) g]ag é máximo relativo de g.

(D) ] g,a g a_ i é ponto de inflexão do gráfico de g.

6 O período positivo mínimo da função h, de domínio IR, definida por h]Æg = sen ]0,2rÆ + 0,5g é:

(A) 2r (B) 0,2 (C) 10 (D) 10r

POA 1

Æi

P ( X = Æi )] gk

8

3+ k

8-

k

8

1- k

8

2 2- -

2a - 4 a a + 1 5a

7/27/2019 MAT 12º ano


255DESAFIOS • Matemátic a A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

PAE

F i c h a s

7 Em IC, conjunto dos números complexos, considere:

z = i

i

1 2

2 6

+

- + + 4i 2

Qual é a representação trigonométrica de z ?

(A) cis2 24

3r (B) cis2 5

4

3r (C) cis2 5

4

5r (D) cis2 2

4

5r

8 Qual das seguintes condições define, no plano complexo, o eixo real?

(A) z + z = 0 (B) arg ] z g = 0 (C) z = 0 (D) z - z = 0

Grupo II

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que

tiver de efetuar e as justificações necessárias.

1 Em IC, conjunto dos números complexos, considere:

z 1 = 1+ 3 i

Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes:

1.1 Sabendo que z 1 é uma raiz quarta de um certo complexo w , indique as restantes raízes quartas de w

e determine a área do polígono que tem por vértices as imagens geométricas das raízes do

complexo w .

1.2 Seja: z 2 = cis6

r

Determine o menor valor de n natural de modo que o número complexo _ z 1 # z 2in seja um

imaginário puro com coeficiente da parte imaginária negativo.

2 Um baralho de cartas tem quarenta cartas _dez cartas em cada naipe — ás, três figuras (rei, dama

e valete) e mais seis cartas (do 2 ao 7)i.

2.1 De quantas maneiras diferentes podemos dispor em fila as dez cartas do naipe de ouros, de tal

forma que as três figuras fiquem juntas, no princípio ou no fim da fila?

2.2 Considere o problema seguinte:

«De um baralho com as quarenta cartas, tiram-se quatro cartas ao acaso. Qual é a probabilidade de,

nessas quatro cartas, o rei de copas ser uma das cartas escolhidas somente se a rainha de copas for

igualmente escolhida?»

Apresentam-se em seguida duas respostas:

Resposta 1: C

C C

40

4

40

4

38

3+

Resposta 2: C

C C C

40

4

38

2

38

3

38

4+ +

Apenas uma das respostas está correta.

Elabore uma composição na qual:

• identifique a resposta correta;

• explique um raciocínio que conduza à resposta correta;

• proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta;

• explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.

3 SejaX o espaço de resultados associados a uma certa experiência aleatória.

Sejam A e B dois acontecimentos tais que A 1 X e B 1 X, com P ]Bg ! 0.

Prove que:

_ i ] g _ i ] g|P A B P B P A B P B1 0 1+, #+ - = =8 B

7/27/2019 MAT 12º ano


256 DESAFIOS • Matemátic a A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

PAE

F i c h a s

4 Considere a função f , de domínio IR+, definida por:

f ]Æg = 3+ In _Æe-Æi

esolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

4.1 Estude a função f quanto à existência de assíntotas não verticais do seu gráfico.

4.2 Mostre, sem resolver a equação, que f ]ûg = 1 tem, pelo menos, uma solução em @1, e26.

4.3 Estude a função f , quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos.

5 Considere a função g, de domínio IR, definida por:

g]Æg =

] g

] g

Æ Æ Æ

Æ Æ

sen se

In 1 2 se 0

3 2 02

2

G

-

-

*

5.1 ecorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as duas alíneas seguintes:

5.1.1 Justifique que:] g

û

û

limg

û 0"

= -2

5.1.2 Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência

de pontos de inflexão, no intervalo @0,r

6.5.2 A condição g]ûg G û + 1 tem, em I, um conjunto-solução do tipo 6a, b@ com a, b reais.

ecorrendo à calculadora gráfica, indique os valores de a e b, aproximados às centésimas.

Cotações

Grupo I 40

Cada resposta certa 5

Cada resposta errada 0

Cada questão não respondida ou anulada 0

Grupo II 160

1. 301.1 15

1.2 15

2. 25

2.1 10

2.2 15

3. 15

4. 40

4.1 15

4.2 10

4.3 15

5. 50

5.1 35

5.1.1 15

5.1.2 20

5.2 15

Total 200

7/27/2019 MAT 12º ano



4

PAE

F i c h a s

Critérios específicos da prova 1

Grupo I 40

As respostas certas são as seguintes:

Cada resposta correta 5

Grupo II 160

1. 30

1.1 15

Indicar as restantes raízes ; ;i i i 3 1 3 3- + - - -_ i. ]3# 3g 9

Determinar o lado do quadrado 8_ i. 4

Determinar a área do quadrado ]8g. 2

1.2 15

Escrever z 1 na forma trigonométrica cis23

rc m. 4

Escrever z 2 na forma trigonométrica cis6

r-ce mo. 1

Escrever z 1 # z 2 na forma trigonométrica cis26

rce mo. 2

Escrever _ z 1 # z 2in na forma trigonométrica cisn

26

nrce mo. 2

Obter a expressão n = -3+ 12k / k ! Z+ (ou equivalente). 4

Concluir que n = 9. 2

2. 25

2.1 10

Escrever a expressão que dá o valor pedido ]2# 3!# 7!g. 8

Calcular o valor pedido. 2

2.2 15

A composição deve contemplar os pontos seguintes:

A) identificação da resposta correta;

B) explicação do raciocínio que conduz à resposta correta;

C) proposta de alteração na expressão da resposta incorreta, de modo a torná-la correta;

D) explicação, no contexto do problema, da razão da alteração proposta.

Na resposta a este item deve atender-se ao desempenho no domínio da comunicação escrita

em língua portuguesa.

1

D

2

A

3

C

4

B

5

C

6

C

7

A

8

D

QuEStÕES

oPçãoCoRREta

Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificada a resposta a este item, de acordo

com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa

(apresentados na tabela anterior) e os níveis de desempenho no domínio específico

da disciplina.

NÍVEiS DESCRitoRES

3

2

1

Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia,ou com erros esporádicos, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de

sentido.

Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação

e/ou de ortografia, cuja gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.

Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou

de ortografia, cuja gravidade implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.

7/27/2019 MAT 12º ano


264 DESAFIOS • Matemática A • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

4

PAE

F i c h a s

No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico dadisciplina, a classificação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenhono domínio da comunicação escrita em língua portuguesa.

3. 15

A resposta do aluno deve incluir os pontos seguintes:

• P _ A|Bi = ] g

] g

P B

P A B+• A B A B, += • ] gP A B P A B1+ += -_ i

N Í V E i S

NÍVEiS

5

1

13

10

7

6

3

2

14

11

8

6

3

3

15

12

9

6

3

4

3

2

1

A composição contempla corretamente os quatro pontos, OU apenas ospontos B, C e D.

A composição contempla corretamente apenas os pontos A, B e C, OU apenas

os pontos A, C e D, OU apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos C e D.A composição contempla corretamente apenas os pontos A e B, OU apenaso ponto B.

A composição contempla corretamente apenas os pontos A e C, OU apenaso ponto C.

A composição contempla corretamente apenas o ponto A.

DESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioDaComuNiCaçãoESCRitaEmlÍNgua

PoRtuguESaDESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioESPECÍfiCoDaDiSCiPliNa

4.

404.1 15

Calcular] g

] gû

û

limf

1û

-" 3+

. 7

Calcular ] g ] gû ûlim f û

3+ +" 3+

_ i . 7

Concluir que não existem assíntotas não verticais. 1

4.2 10eferir que a função é contínua em 61, e2@. 2Concluir que f _e2i 1 11 f ]1g 6Concluir o pretendido referindo o eorema de Bolzano. 2

4.3 15Determinar f l

û

û1 -d n. 6

Estudar o sinal de f lrecorrendo a um quadro (ou equivalente). 7Apresentar o valor máximo ]2g. 2

5. 505.1 35

5.1.1 15

Determinar] g

û

û

limg

û 0"-

. 7

Determinar] g

û

û

limg

û 0"+

. 8

N Í V E i S

PoNtuaçãoDESCRitoRESDoNÍVElDEDESEmPENhoNoDomÍNioESPECÍfiCoDaDiSCiPliNa

4

3

2

1

15

11

7

3

O aluno aplica corretamente os três pontos e conclui o pretendido.

O aluno aplica corretamente os três pontos, mas não conclui o pretendido.

O aluno aplica corretamente apenas dois pontos.

O aluno aplica corretamente apenas um ponto.

7/27/2019 MAT 12º ano



4

PAE

F i c h a s

5.1.2 20

Determinar gl em @0, r6 ] gû ûcos2 3 2 2-` j. 4

Determinar gm em @0, r6 ] gû2 4 sen 23 +` j. 4

esolver a equação gm ûg = 0 em @0, r6 û û3

2

6

50

r r

= =d n. 4

Estudar o sinal de gm recorrendo a um quadro (ou equivalente). 6

Apresentar os pontos de inflexão

] g, e ,3

2

18

8 9 3

6

5

36

25 3 182

2$r r r r- +f e f p o p 2

5.2 15

eproduzir o gráfico de g se û 2 0. 3

eproduzir o gráfico de g se û G 0. 3

eproduzir a reta de equação y = û + 1. 3

Assinalar no gráfico os pontos cuja abcissa é solução da equação

g]ûg = û + 1. ]2 + 2g 4

Indicar os valores de a e b na forma pedida. ]1 + 1g 2

Total 200

7/27/2019 MAT 12º ano



5

PAE

M ai s r e c ur s o s p ar a

a a ul a

Literatura e Matemática

O ESAO CASO DO CO MOOMAk ADDO

Passavam sete minutos da meia-noite e o cão jazia no meio do

relvado em frente da casa da Sr.ª Shears. inha os olhos fechados e parecia

que estava a correr de lado, da forma como os cães correm quando

sonham que estão a perseguir um gato. Mas o cão não estava a corrernem a dormir. O cão estava morto. inha uma forquilha espetada e osdentes desta deviam tê-lo traspassado completamente, cravando-se naterra, pois a forquilha mantinha-se de pé. Concluí que o cão provavelmente

fora morto com a forquilha, pois eu não conseguia ver nele quaisquer

outras feridas, e acho que ninguém iria espetar uma forquilha num cãodepois de ele ter morrido por qualquer outra razão, como cancro, por

exemplo, ou devido a um atropelamento. Mas eu não podia ter a certezadisto.

Atravessei o portão da Sr.ª Shears, fechando-o atrás de mim. Caminhei

pelo relvado e ajoelhei-me ao lado do cão, colocando a minha mão sobre

o seu focinho. Ainda estava quente.

O cão chamava-se Wellington. Pertencia a Sr.ª Shears, que era nossaamiga. Ela vivia do outro lado da rua, duas casas à esquerda. [...]

Este é um romance policial sobre homicídio.

A Siobhan [uma professora] disse que eu devia escrever alguma coisa que eu próprio quisesse ler. Eu leiosobretudo livros sobre ciência e matemática. ão gosto de romances a sério. os romances a sério as pessoasdizem coisas como «eu estou raiado de ferro, de prata e com riscas de lama vulgar. ão consigo contrair-me numpunho firme como aqueles que não dependem de estímulo se cerram.» O que é que isto significa? Eu não sei.em o Pai. em a Siobhan nem o Sr. Jeavons. Já lhes perguntei.

A Siobhan tem cabelo loiro comprido e usa óculos, que são feitos de plástico verde. E o Sr. Jeavons cheiraa sabonete e calça sapatos castanhos que têm aproximadamente sessenta buraquinhos circulares cada um.

Mas eu gosto de romances policiais sobre homicídios. Por isso estou a escrever um romance policial sobrehomicídio.

um romance policial sobre homicídio alguém tem de tentar perceber quem é o assassino e depois apanhá-lo.

É um quebra-cabeças. Se for um bom quebra-cabeças, às vezes consegue-se descobrir a solução antes do finaldo livro.

A Siobhan disse que o livro devia começar com alguma coisa que prendesse a atenção das pessoas. Foi porisso que comecei com o cão. ambém comecei com o cão porque foi uma coisa que me aconteceu e é-me difícilimaginar coisas que não me aconteceram.

A Siobhan leu a primeira página e disse que era diferente. Ela colocou esta palavra entre aspas, fazendo

o sinal de citação agitando o primeiro e segundo dedos. Ela disse que, nos romances policiais sobre homicídio,quem era morto eram normalmente pessoas. Eu disse que dois cães eram mortos em O Cão dos Baskerville,

o próprio cão e o spaniel de James Mortimer, mas a Siobhan disse que eles não eram as vítimas do assassinato,mas sim o Sir Charles Baskerville. Ela disse que isto se devia ao facto de os leitores se importarem mais com pessoas

do que com cães, por isso, se uma pessoa fosse morta no livro, os leitores quereriam continuar a ler.

EMA 1 Probabilidades II

7/27/2019 MAT 12º ano



5

P

M a i s

r e c u r s o s p a r a a a u l a

u disse que queria escrever sobre algo verdadeiro e que conhecia pessoas que tinham morrido, mas quenão conhecia ninguém que tivesse sido morto, a não ser o pai do dward lá da escola, o Sr. Paulson, e ele morreudevido a um acidente de asa-delta, não foi assassinado, e eu não o conhecia lá muito bem. u também disse quegostava de cães porque eles eram fiéis e honestos, e que alguns cães eram mais espertos e mais interessantesdo que certas pessoas. O Steve, por exemplo, que vem à escola às quintas-feiras, precisa de ajuda para comere nem sequer seria capaz de ir buscar um pau. Siobhan pediu-me para não dizer isto à mãe do Steve.

O autor deste texto é hristopher, um rapaz de quinze anos que frequenta um colégio para alunos com necessidadeseducativas especiais. ofre de severos problemas psíquicos que lhe dificultam as relações com os outros; no entanto,

a sua inteligência é normal, e mesmo a sua capacidade matemática está acima da média. eguindo uma sugestão da

sua professora, hristopher decide escrever um livro onde anota as suas pesquisas para descobrir o assassino do cão

e intercalando simultaneamente opiniões sobre as pessoas, descrições de si próprio e relatos dos acontecimentos normais

que ocorrem na sua vida.

O hristopher é meticuloso, programa tudo o que tem de fazer, observa com objetividade as coisas, não se deixa

levar pelas aparências, aplica a lógica a todas as suas decisões, não gosta que lhe deem ordens confusas ou sem sentido...

esolvi que ia descobrir quem matou o Wellington, muito embora o pai me tenha dito para não meter

o nariz nos assuntos das outras pessoas.

que eu nem sempre faço o que me mandam.Isto porque quando as pessoas nos dizem o que fazer, normalmente é confuso e não faz sentido.

Por exemplo, as pessoas dizem frequentemente «stá calado», mas não nos dizem por quanto tempo temos

de ficar calados. Ou vemos uma tabuleta que diz NO PIS , mas devia dizer NO PIS MO DS BU ou então NO PIS NS PQU, porque há muita relva que é permitidopisar.

lém disso, as pessoas estão sempre a quebrar as regras. Por exemplo, o Pai conduz muitas vezes a mais de50 km/h em zonas em que esse é o limite de velocidade, e às vezes conduz depois de ter estado a beber,

e é frequente não usar o cinto de segurança ao conduzir a carrinha. na Bíblia diz ão matarás, mas existiram asCruzadas e duas guerras mundiais e a guerra do olfo, e em todas elas havia Cristãos a matarem pessoas.

u também não sei o que o Pai quer dizer quando afirma «Não metas o nariz nos assuntos das outras pessoas»,porque não sei o que ele quer dizer com «assuntos das outras pessoas», pois eu faço imensas coisas com outraspessoas: na escola, na loja e no autocarro, e o trabalho dele é ir a casa das outras pessoas e arranjar-lhes as caldeiras

e o aquecimento. todas estas coisas são assuntos das outras pessoas.

7/27/2019 MAT 12º ano


279DSFIOS • Matemática • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

5

P


a a ul a

Siobhan compreende. Quando me diz para eu não fazer alguma coisa, ela explica-me exatamente aquiloque não devo fazer. eu gosto disso.

Por exemplo, ela uma vez disse-me: — u nunca deves dar um murro na Sarah ou bater-lhe seja de quemaneira for, Christopher. Mesmo que ela te bata primeiro. Se ela te bater outra vez, afasta-te dela, não te mexase conta de 1 a 50, e depois vem ter comigo e conta-me o que ela fez ou então conta a um dos outros professores.[...]

Mas quando as outras pessoas nos dizem o que não podemos fazer, elas não o dizem desta maneira.

Por isso, decido sozinho aquilo que vou fazer e aquilo que não vou fazer.

hristopher nunca mente. Por isso não gosta de metáforas. «Observei a queda da água na rua — escreve. aía

com tanta intensidade que pareciam chispas brancas (e isto é uma comparação, não uma metáfora)». ambém não lhe

agradam as certezas que temos como verdadeiras e que são apenas convenções:

s pessoas dizem que Órion se chama Órion, porque Órion era um caçador e a constelação tem a forma deum caçador com uma maça, um arco e uma flecha, assim:

Mas isto é uma grande palermice, porque são só estrelas, e nós podemos ligar os pontos como quisermos;podíamos fazer com que parecesse uma senhora com um guarda-chuva a acenar, ou a máquina de café da

Sr.ª Shears, que é italiana, com uma pega e com vapor a sair, ou um dinossauro.

não existem quaisquer linhas no espaço, por isso podíamos juntar partes de Órion a partes de Lebre, deTouro, ou deGémeos, e dizer que eles eram uma constelação chamada OCachodeUvas ou Jesus ouABicicleta

(só que não existiam bicicletas na época romana e grega que foi quando chamaram Órion a Órion).

7/27/2019 MAT 12º ano



5

P

M a i s


seja como for, Órion não é um caçador, nem uma máquina de café, nem um dinossauro. apenasa Betelgeuse, a Bellatrix, a lnilam, a igel e mais outras dezassete estrelas das quais eu não sei o nome. elas sãoexplosões nucleares a milhões de milhões de quilómetros de distância.

essa é a verdade.

hristopher observa com rigor e fidelidade todas as coisas.

u vejo tudo — escreve no seu livro.

por isso que não gosto de lugares novos. Se estiver num lugar conhecido, como em casa, na escola, noautocarro, na loja, ou na rua, já vi quase tudo o que lá está antes, e tudo o que tenho de fazer é olhar para as coisas

que se alteraram, ou que mudaram de sítio. Por exemplo, certa semana, o cartaz do Shakespeare’s lobe na salade aula lá na escola caíra, e isso era notório porque fora reposto ligeiramente para a direita e havia três pequenoscírculos que eram manchas de Blu-ack na parede, do lado esquerdo do póster. no dia seguinte alguém fizeraum graffiti a dizer COW PO no poste de iluminação 437, na nossa rua, que é o que fica junto do número 35.

Mas a maior parte das pessoas é preguiçosa. Nunca olham para nada. Fazem aquilo a que se chama passarde raspão com os olhos, que é a mesma expressão para bater em alguma coisa e continuar quase na mesmadireção, por exemplo, quando uma bola de snooker passa de raspão noutra bola de snooker . a informação nacabeça delas é muito simples. [...] depois deixariam de reparar em mais fosse o que fosse, porque estariam

a pensar noutra coisa qualquer, como «Oh, que lindo que isto é» ou «stou preocupada, se calhar deixei o fogãoligado» ou «Será que a Julie já teve o bebé?». [...]

Isto significa que, quando estou num sítio novo, é muito cansativo, porque vejo todas estas coisas, e sealguém me perguntar mais tarde como eram as vacas eu poderia perguntar qual delas, e poderia fazer um desenho

delas em casa e dizer que uma determinada vaca tinha manchas assim.

vejo que disse uma mentira no Capítulo 13, porque disse «eu não sei contar piadas», porque, na verdade,sei contar três piadas e compreendo-as; uma delas é sobre uma vaca, e a Siobhan disse que eu não tinha de voltar

atrás e alterar o que escrevi no Capítulo 13, porque não faz mal, pois não é uma mentira, é apenas uma clarificação.

a piada é esta.

stão três homens num comboio. Um deles é economista, outro é especialista em lógica e outro é matemático.

cabaram de atravessar a fronteira da scócia (não sei porque é que eles estão a ir para a scócia) e veem umavaca castanha num campo, através da janela do comboio (a vaca está numa posição paralela ao comboio).

O economista diz:

— Olhem, as vacas na scócia são castanhas.

7/27/2019 MAT 12º ano


281DSFIOS • Matemática • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constânci a

5

P


a a ul a

O especialista em lógica diz:

— Não. xistem vacas na scócia, das quais pelo menos uma é castanha.

o matemático diz:

— Não. Há pelo menos uma vaca na scócia, da qual um lado parece ser castanho.

é engraçado, porque os economistas não são cientistas a sério, e porque os especialistas em lógica pensam

com maior clareza, mas os matemáticos são melhores. [...]

O seu amor pelas matemáticas leva-o a enumerar os capítulos do seu romance com números primos: começa com

o capítulo 2 e termina com o capítulo 233.

O Sr. Jeavons disse que eu gostava de matemática porque era seguro. le disse que eu gostava de matemática

porque ela tinha a ver com a resolução de problemas, e que esses problemas eram difíceis e interessantes mas

que, no final, existia sempre uma resposta simples para eles. o que ele quis dizer foi que a matemática era

diferente da vida, porque na vida não existem repostas simples no final. u sei que foi isto que ele quis dizer,

porque foi isto que ele disse.

Isto é porque o Sr. Jeavons não percebe de números.

qui está uma história famosa intitulada OProblemadeMontyHall, que incluí neste livro porque ilustrao que eu quero dizer.

Costumava haver uma coluna chamada«Perguntem

àMarilyn», numa revista chamada Parade, na mérica.

sta coluna era escrita pela Marilyn vos Savant e na

revista era dito que ela tinha o QI mais elevado do

Mundo no LivrodeRecordsdoGuiness . Nesta coluna

ela respondia a questões matemáticas enviadas pelos

leitores. m setembro de 1990, foi enviada por Craig F.

Whitaker, de Columbia, Maryland, a seguinte questão

(esta não é aquilo a que se chama uma citação fiel, pois

tornei-a mais simples e mais fácil de compreender):

ocê está num concurso de televisão. Neste concurso,

o objetivo é ganhar um carro como prémio. O apresentador

mostra-lhe três portas. le diz que há um carro atrás de

uma das portas e que, atrás das outras duas portas,

estão cabras. le pede-lhe que escolha uma porta. ocê

escolhe uma porta, mas essa porta não é aberta. Depois,

o apresentador abre uma das portas que você não

escolheu e mostra uma cabra (porque ele sabe o que

está por detrás das portas). Depois ele diz que você tem

uma última hipótese de mudar de opinião antes de as

portas se abrirem e de você ganhar um carro ou uma

cabra. ssim, ele pergunta-lhe se quer mudar de ideiase escolher a outra porta ainda por abrir. Que é que você

deve fazer?

Marilyn vos Savant disse que se deve sempre mudar de ideias e escolher a última porta, porque as hipóteses

de haver um carro atrás dessa porta são de 2 em 3.

7/27/2019 MAT 12º ano


282 DSFIOS • Matemática • 12.o ano • Material fotocopiável © Santillana-Constância

5

P

M a i s


Mas, se utilizarmos a nossa intuição, pensamos que existem 50% de hipóteses para cada lado, porque

acreditamos que existe uma igual percentagem de possibilidades de o carro estar por detrás de qualquer uma

das portas.

Muitas pessoas escreveram para a revista a dizer que a Marilyn vos Savant estava errada, mesmo quando ela

explicou muito cuidadosamente porque tinha razão. 92% das cartas que ela recebeu sobre o problema diziam

que ela estava errada, e muitas destas eram de matemáticos e de cientistas. [...]

isto mostra que, por vezes, a intuição pode errar. a intuição é o que as pessoas utilizam para tomar

decisões na vida. Mas a lógica pode ajudar-nos a decifrar a resposta certa.

Mostra também que o Sr. Jeavons estava errado e que os números, às vezes, são muito complicados e nada

simples. é por isso que eu gosto do ProblemadeMontyHall.

hristopher consegue saber quem matou o cão e este dado — que o leitor também descobre ao ler o romance —,

em conjunto com a descoberta de um grave acontecimento que o seu pai lhe ocultou, altera totalmente a ordem da sua

vida. sta revolução constitui a trama da segunda parte do livro, cujo desenlace conhecerás se o leres na íntegra.

Pararefletirsobreotexto.

1 Demonstreque,efetivamente,arespostacorretaaoproblemadeMontyHallfoiadadaporMarilynvosSavant.

2 Christopher,quandosofrealgumadassuascrises,refugia-seemcálculosmentais:«Inspireiprofundamenteeconteicinquentarespiraçõeseconcentrei-memuitonosnúmerose,àmedida

queosdizia,elevei-osaocubo.Eissofezcomqueadorfossemaissuave.»Ou,numaoutraaltura:

«Calculeipotênciasdedoisnaminhacabeçaporquemetranquilizava.Chegueiaté33554432

queé225,oquenãoeramuitoporqueemoutraocasiãotinhachegadoa245,masomeucérebro

nãofuncionavamuitobem.»Calculementalmenteaspotênciasde2atéondepuder.

3 Christopherrelatanoseuromancequeumdiaumamigodopailhepediuquecalculassementalmente251por864eelefê-lodeseguida.Serácapaztambémdeofazer?

Lembre-sequeonúmero251é250mais1.

4 Resolvaasseguintesequaçõesdesegundograu,comasquaisChristopherpreparaoseuexamedo12.°anodeMatemática:437Æ2+103Æ+11=0,79Æ2+43Æ+2089=0.

5 NesseexameépropostoaChristopheroseguinteproblema:«Demonstraqueumtriângulocujosladospodemescrever-sesobaforman2+1,n2-1e2n]n>1géretângulo.Demonstraatravés

deumcontraexemploqueoenunciadorecíprocoéfalso.»Eleresolve-operfeitamenteenoseu

livroescreveasolução.Digacomooresolveria.

7/27/2019 MAT 12º ano



5

P


a a ul a

Notaçãomatemática

O QUE SIGNIFICA?

n! epresenta o fatorial do número n.

]n - 1g! epresenta o fatorial do númeroanterior a n.

n

mc m Indica o número combinatório n

sobre m.

n

m r -

c m epresenta o númerocombinatório n

sobre o número resultante da operação m- r .

COMO ESCREVEMOS?

Para indicar o fatorial de um número, coloca-se o ponto

de exclamação à sua direita.

Para que o número combinatório seja corretamenteexpresso, é necessário que n seja superior a m.

Um fatorial ou um número combinatório pode ser

expresso em forma de operação sempre que o resultado

desta seja um número natural.

O QUE SIGNIFICA?

n am epresenta os arranjos de n elementos

agrupados de m em m.

An

ml epresenta os arranjoscomrepetição

de n elementos agrupados de m em m.

P n epresenta as permutações de n elementos.nc m epresenta as combinações de n elementos

agrupados de m em m.

COMO ESCREVEMOS?

Nestas expressões, n representa o número de elementos

do conjunto e m representa o número de elementos dos

grupos que se pretendem formar.

ssim sendo, é necessário ter em conta que n é sempre

superior a m, exceto no caso dos arranjos com repetição,

em que pode ser inferior.

O QUE SIGNIFICA?

e epresenta o espaçoamostral.

a epresenta um acontecimento.

B epresenta outroacontecimento.

COMO ESCREVEMOS?

Quando queremos representar o espaço amostral,

costuma utilizar-se a letra maiúscula e ou a letra gregaX

(ómega).

Para representar acontecimentos, usam-se letras maiúsculas,

começando pelas letras do abecedário: a, B, c , …

Se se pretende escrever um acontecimento definido por

acontecimentos elementares que o formam, escreve-sea letra que representa o acontecimento e, em seguida,

entre chavetas, enumeram-se os acontecimentos

elementares que o compõem.

a = «Sair face par no lançamento de um dado»= !2, 4, 6+

7/27/2019 MAT 12º ano



5

P

M a i s


O QUE SIGNIFICA?

a, a epresenta um acontecimento e o seu contrário.

e ,Q epresenta o acontecimentocertoE e o seucontrário, o acontecimentoimpossível Q.

COMO ESCREVEMOS?

Para denominar o acontecimento contrário(ou o complementar), costuma utilizar-se a mesmaletra que a utilizada para representar o acontecimentocom um traço por cima.

O contrário de a é a.

O único acontecimento contrário que não se costumaescrever com a mesma letra e com um traço por cimaé oQ, que é o acontecimento contrário de e .

O QUE SIGNIFICA?

a, B Indica a uniãodedoisacontecimentos.

a+ B epresenta a interseçãodedois

acontecimentos.

a- BIndica a diferençadedoisacontecimentos.

a \ B

COMO ESCREVEMOS?

De entre as operações que se podem efetuar comacontecimentos, para a disjunção de dois conjuntosutiliza-se o símbolo, escrito entre os acontecimentos, a, B, e para a conjunção utiliza-se o símbolo+, a+ B.

Por vezes, utiliza-se o sinal de subtração inclinado paraindicar que é a diferença entre dois conjuntos.

O QUE SIGNIFICA?

P ] ag a probabilidadedoacontecimento A.

P _B| ai epresenta a probabilidadede

oacontecimentoB ocorrer,sabendoque

oacontecimento Aocorreu.P _ a|Bi Indica a probabilidadedeoacontecimento A

ocorrer,sabendoqueoacontecimentoB

ocorreu.

COMO ESCREVEMOS?

Para indicar a probabilidade de um acontecimento a,escreve-se a letra P , e, depois, entre parênteses, a letracorrespondente ao acontecimento: P ] ag.

Na probabilidade condicionada, o acontecimento que se

considera ter ocorrido deve sempre aparecer em«segundo lugar».

7/27/2019 MAT 12º ano


5

P


a a ul a

Estratégiasderesoluçãodeproblemas

Emcimadeumamesa,colocadasumasjuntoàsoutras,hácincocaixasdefósforosnumeradas

de1a5.Dequantasformasdiferentessepoderãocolocar3moedasiguaisnascaixas,detal

modoquecadacaixacontenha,nomáximo,umamoeda?

Apresentaçãoeresolução través de um diagrama em árvore, a localização é:

Caixa1 Caixa2 Caixa3 Caixa4 Caixa5 Código Localização

M

M a a MMMaa

a

M a MMaMa

a M MMaaM

M

M

M a MaMMa

aa M MaMaM

a M M MaaMM

M

M a aMMMa

Ma M aMMaM

a

a M M aMaMM

a M M M aaMMM

Há 10 maneiras diferentes de colocar as 3 moedas nas 5 caixas, colocando no máximo uma moeda emcada caixa.

PROBLEMA RESOLVIdO

CONSTRUIR UM dIAGRAMA E UTILIzAR UM CódIGO

SI: m probabilidades, assim como em outros ramos da Matemática, após se ler o enunciado de umproblema, é importante:• Fazer um esquema que o represente.

• Utilizar uma codificação apropriada para simplificar esse esquema.• Fazer um esboço ou um diagrama que represente a situação.• presentar os resultados por meio de uma tabela.

1 Dequantasformasdiferentessepodemcolocar2moedasem5caixas?E4moedas?E1moeda?

2 Sehouver4caixase3moedas,dequantasmaneirasdiferentessepodemcolocaras3

moedasnascaixas?(Nomáximo,umamoedaporcaixa.)

a) se forem 2 moedas? b) 1 moeda?

PROBLEMAS PROPOSTOS

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MAT 12º ano