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Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão
da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.
Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d
ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão
da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.
Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d
ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão
da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.
Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d
ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão
da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.
Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:
pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d
ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq
Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:
Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu
ExemploSe A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 2
3u, calcular Aˆ B e B ˆ A
Representação Geometrica:
Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:
R Ă Aˆ B
ExemploSe A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 2
3u, calcular Aˆ B e B ˆ A
Representação Geometrica:
Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:
R Ă Aˆ B
FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:
Definição
Consideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:
Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .
O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:
DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:
Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .
O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:
DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:
Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .
O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:
DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:
Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .
O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.
2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.
3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.
Domínio, Imagem e Gráfico de uma Função
Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:
Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A
2 A imagem da função f é o conjunto:
I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B
3 O gráfico da função f é o conjunto:
Graf pf q “ tpa; f paqq; a P Dompf qu Ă Aˆ B
Domínio, Imagem e Gráfico de uma Função
Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:
Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A
2 A imagem da função f é o conjunto:
I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B
3 O gráfico da função f é o conjunto:
Graf pf q “ tpa; f paqq; a P Dompf qu Ă Aˆ B
Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu gráfico?
1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu
2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “ 1x ‹
3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s
Funções Especiais
função ConstanteSeja c P R fixo a função definida por
f pxq “ c
É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com gráfico ‹
função IdentidadeA função definida por
I pxq “ x
É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com gráfico ‹
Funções Especiais
função ConstanteSeja c P R fixo a função definida por
f pxq “ c
É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com gráfico ‹
função IdentidadeA função definida por
I pxq “ x
É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com gráfico ‹
Funções Especiais
função LinearSe a ‰ 0, função
f pxq “ ax ` b
É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com gráfico ‹
função QuadraticaA função
f pxq “ ax2 ` bx ` c
Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgráfico ‹
1a Aula
Funções Especiais
função LinearSe a ‰ 0, função
f pxq “ ax ` b
É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com gráfico ‹
função QuadraticaA função
f pxq “ ax2 ` bx ` c
Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgráfico ‹
1a Aula
Funções Especiais
função Valor AbsolutoA função
f pxq “ |x | “
"
x se x ě 0´x se x ă 0
É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgráfico ‹
função Raiz n-ésimaA função
f pxq “ n?x
É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com gráfico ‹
Funções Especiais
função Valor AbsolutoA função
f pxq “ |x | “
"
x se x ě 0´x se x ă 0
É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgráfico ‹
função Raiz n-ésimaA função
f pxq “ n?x
É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com gráfico ‹
Funções Especiais
função PolinomialSe an ‰ 0, função
f pxq “ anxn ` an´1x
n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹
função RacionalA função
f pxq “anx
n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0
Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹
Funções Especiais
função PolinomialSe an ‰ 0, função
f pxq “ anxn ` an´1x
n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹
função RacionalA função
f pxq “anx
n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0
bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0
Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹
Funções Especiais
função SinalSe an ‰ 0, função
f pxq “
$
’
’
&
’
’
%
´1 se x ă 00 se x “ 0
1 se x ą 0
É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com gráfico ‹
Função Máximo InteiroA Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com gráfico ‹
Funções Especiais
função SinalSe an ‰ 0, função
f pxq “
$
’
’
&
’
’
%
´1 se x ă 00 se x “ 0
1 se x ą 0
É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com gráfico ‹
Função Máximo InteiroA Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com gráfico ‹
Funções Exponencial
DefiniçãoA função exponencial de base a é a função real definida por: ‹
f pxq “ ax
Com a um número real fixo a ą 0 e a ‰ 1 Com Dompf q “ R eImpf q “ p0;`8q
paxqy “ axy
ax ¨ ay “ ax`y
pa ¨ bqx “ ax ¨ ay
paxqy “ axy
ax ¨ ay “ ax`y
pa ¨ bqx “ ax ¨ ay
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:
1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:
1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Par e Função Impar
Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:
1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq
Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq
Exemplo‹ f pxq “ x4
‹ f pxq “ x1`x2
Função Periódica
Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:
1 px ` tq P Dompf q
2 f px ` tq “ f pxq
ExemplosVerificar se a função é períodica, em caso afirmativos achar o período. ‹
f pxq “ x ´ vxw
Função Periódica
Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:
1 px ` tq P Dompf q
2 f px ` tq “ f pxq
ExemplosVerificar se a função é períodica, em caso afirmativos achar o período. ‹
f pxq “ x ´ vxw
Função Crescente e Função decrescente
Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então
f px1q ă f px2q.Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então
f px1q ą f px2q.
Exemplo:Achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
f pxq “ |x2 ´ 4|
2a Aula
Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva
Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.
Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.
Exemplos:f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?gpxq “ x
1`x2 é injetiva?
Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva
Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.
Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.
Exemplos:f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?gpxq “ x
1`x2 é injetiva?
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:
Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq
Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq
Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u
pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u
pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u
pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
operações com Funções
Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u
pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq
Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q
Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q
Exemplo:
Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “
?x2 ´ 1 achar as funçães
pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.
Composição de funções
Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq
Exemplo:Considere as funções f pxq “ x`5
2 e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e
pg ˝ f qpxq.
Composição de funções
Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq
Exemplo:Considere as funções f pxq “ x`5
2 e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e
pg ˝ f qpxq.
Propriedades da Composição
Se f , g , h são funções reais de variável real, então:
1 pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq f ˝ Id “ Id ˝ f “ f
2 pf ` gq ˝ h “ f ˝ g ` f ˝ h pf ´ gq ˝ h “ f ˝ g ´ f ˝ h
3 pf ¨ gq ˝ h “ pf ˝ hq ¨ pg ˝ hq fg ˝ h “
f ˝hg˝h
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.
Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1
2 , achar f ´1.
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.
Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1
2 , achar f ´1.
Função Inversa
Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.
Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q
2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x
3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.
Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1
2 , achar f ´1.
Função Logaritmo de base a
Dado um número real a ą 0 e a ‰ 1, a função logaritmo de base a é afunção inversa da função exponencial de base a f pxq “ ax e esta defininapor:
y “ f ´1pxq “ logapxq ô x “ ay
Com Dompf ´1q “ p0;`8q, Impf ´1q “ R e gráfico.Se A,B P R`. Para a ą 0, a ‰ 1, temos:
logap1q “ 0logapa
xq “ x , @x P Ralogapxq “ x , @x ą 0logapA
r q “ rlogapAq, @r P R
logapABq “ logapAq ` logapBq
logapAB q “ logapAq ´ logapBq
logapxq “logc pxlogc paq
, x ą 0, c ą 0 ec ‰ 1
3a Aula
Exercicios Resolvidos
Exemplo1 Considere a relação definida por:
T “ tpx ; yq P R; |x | ě |y3| e |y | ě x2u
Esboçar o gráfico desta relação.2 Determine os domínios, as imagens e esboçe o gráfico da funções
definidas por:
f pxq “a
9´ x2 e gpxq “b
3x ´ |x2 ´ 4|
3 Dadas as funções
f pxq “
"
vx ´ 1w se 4 ď x ă 7a
|x | se x ă 4e gpxq “ Sgnp|x2 ´ 3| ´ 1q
Esboçe os gráficos das mesmas.
Exercicios Resolvidos
Exemplo
1 Dada a função f pxq “b
x´2x`2 , Determinar Dompf q, provar que esta
função é injetiva e determinar Impf q.2 prove que a função definida por f pxq “ ´
?x2 ` 6x ´ 7 com
x P p´8;´7sq possui inversa e achar f ´1pxq
3 Se f e g funções definidas por f pxq “ x2 ´ 2x ` 5 com x P p´2; 6s egpxq “
?x2`2x com x P r5; 20q. Achar a regra de formação de g ˝ f e
o domíno da mesma.
Exercicios Resolvidos
ExemploDeterminar a regra de formação, o dominio e a imagem da função cujográfico é:
45
45 2
1
5
parábola
15
Limites
1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.
2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma únicasolução de
"
y “ x2
y ´ 1 “ mpx ´ 1q
3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1
x´1
4 O método real de Fermat para y “ x2?
Limites
1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única
solução de"
y “ x2
y ´ 1 “ mpx ´ 1q
3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1
x´1
4 O método real de Fermat para y “ x2?
Limites
1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única
solução de"
y “ x2
y ´ 1 “ mpx ´ 1q
3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1
x´1
4 O método real de Fermat para y “ x2?
Limites
1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única
solução de"
y “ x2
y ´ 1 “ mpx ´ 1q
3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1
x´1
4 O método real de Fermat para y “ x2?
1 4CBQ „ 4CAP , então a`ea “ BQ
AP
2 c “ pAPq2 e e ` c “ pBQq2
3pa`eq2
a2 “ e`cc , resolvendo, dividendo por e e fazendo e “ 0 temos
a “ 2c “ 2pAPq2 de onde
a
AP“ 2AP A pendente é duas vezes a abcisa
DefiniçãoSeja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raior ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a´ r ă x ă a` ru “ pa´ r ; a` rq
ExemplosConsidere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
DefiniçãoSeja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raior ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:
Bpa; rq “ tx P R; a´ r ă x ă a` ru “ pa´ r ; a` rq
ExemplosConsidere os exemplos:
f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u
gpxq “
"
x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamentepertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos deDompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende aonúmero a, e escreveremos lim
xÑaf pxq “ L, quando:
@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε
ProblemaQuão perto do número a deve ficar x de modo que f pxq fique a umadistança prefixada de L
Se limxÑ1
p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve ficar x de 1 tal que
|f pxq ´ 3| ă 0.01
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamentepertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos deDompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende aonúmero a, e escreveremos lim
xÑaf pxq “ L, quando:
@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε
ProblemaQuão perto do número a deve ficar x de modo que f pxq fique a umadistança prefixada de L
Se limxÑ1
p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve ficar x de 1 tal que
|f pxq ´ 3| ă 0.01
ExemploEsboçe o gráfico e determine (caso exista):
1 limxÑ0
1x
2 limxÑ2
px ´ 2q2
x ´ 23 lim
xÑ0
x
x2
ExemploDetermine os limites
1 limyÑ3
1y ´
13
y ´ 3
2 limhÑ0
px ` hq3 ´ x3
h3 lim
xÑ´1f pxq se
f pxq “
#
x6´1x`1 ; x ‰ ´14; x “ ´1
4 Esboçe o gráfico da seguinte função e determine o limite limxÑ3
|x2 ´ 9|x ` 3
Comprovar o Limite Por Definição
1 Inicialmente devemos descompor |f pxq ´ L| em dois fatores, um dosquais deve ser |x ´ a|:
|f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| (1)
2 A seguir, escolher um valor inicial δ “ δ1, para acotar |gpxq| tal que:
Se 0 ă |x ´ a| ă δ1 ñ |gpxq| ă MpM ą 0q (2)
3 Finalmente, de p1q e p2q e tomando δ “ mintδ1;εM u, temos:
0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| ăε
M¨M “ ε
ExemplosSe f pxq “ 3x2 ` 2x ` 1, prove que lim
xÑ1f pxq “ 6
Se f pxq “ k k constante, prove que limxÑa
f pxq “ k para qualquer
a P R. Se f pxq “ 1x , prove que lim
xÑ0f pxq não existe.
Se f pxq “ 12`?x, comprove que lim
xÑ4f pxq “
14
Se f pxq “ 5´3x5x`7 , comprove que lim
xÑ´1f pxq “ 4
Proposição(Propriedades dos Limites)
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.
2 (Unicidade do Limite) Se limxÑa
f pxq “ L1 e limxÑa
f pxq “ L2, entãoL1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑaf pxq “ L e lim
xÑagpxq “ M
Então L ď M.
Proposição(Propriedades dos Limites)
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑaf pxq “ L e lim
xÑagpxq “ M
Então L ď M.
Proposição(Propriedades dos Limites)
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.
4 Se limxÑa
f pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑaf pxq “ L e lim
xÑagpxq “ M
Então L ď M.
Proposição(Propriedades dos Limites)
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.
5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑaf pxq “ L e lim
xÑagpxq “ M
Então L ď M.
Proposição(Propriedades dos Limites)
1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim
xÑaf pxq “ L1 e lim
xÑaf pxq “ L2, então
L1 “ L2
3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa
f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma
vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim
xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M
para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:
§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim
xÑaf pxq “ L e lim
xÑagpxq “ M
Então L ď M.
Proposição(Propriedades dos Limites)
(Teorema do Confronto) Seja f , g , h funçães tais que:§ f pxq ď gpxq ď hpxq para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.§ lim
xÑaf pxq “ lim
xÑahpxq “ L
Então limxÑa
gpxq “ L.
Sejam f e g funçães tais que:§ lim
xÑaf pxq “ 0
§ Existe M ą 0 tal que |gpxq| ă M para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.Então lim
xÑaf pxqgpxq “ 0
1o Limite Fundamental
Teorema‹
limxÑ0
senpxq
x“ 1
1 Ap4OPAq ă ApSec OAPq ă Ap4OAT q, então (Senx ą 0)Cosx ă Senx
x ă 1.
2 Como dpA;Pq ă xAP , então 1´ x2
2 ă Cosx
3 Se x ă 0, ´x ą 0 e tambem temos
1´x2
2ă Cosx ă
Senx
xă 1
4 Assim limxÑ0
senpxq
x“ 1 e lim
xÑ0Cosx “ 1.
Propriedades Operacionais do Limite
Se f e g são funçães tais que limxÑa
f pxq “ L e limxÑa
gpxq “ M, e c P R,então:
limxÑa
c “ c
limxÑa
rcf pxqs “ c limxÑa
f pxq “ cL
limxÑa
rf pxq ˘ gpxqs “ limxÑa
f pxq ˘ limxÑa
gpxq “ L˘M
limxÑa
rf pxq ¨ gpxqs “ limxÑa
f pxq ¨ limxÑa
gpxq “ L ¨M
limxÑa
f pxq
gpxq“
limxÑa
f pxq
limxÑa
gpxq“
L
MSe M ‰ 0
limxÑa
rf pxqsk “ r limxÑa
f pxqsk “ Lk , (L ă 0 ou L ě 0)
Exemplos:Calcular os seguintes limites:
1 limxÑ´1
3
c
3x2 ´ 2x ` 3x5 ` 2
2 limxÑ1
6x ´ 6x2 ´ 3x ` 2
3 limxÑ3
?x ` 6´ 3
?4´ x ´ 1
4 limxÑ1
5?x2 ´ 3
?x
1´ 4?x
Exemplo1 lim
xÑ0Senx “ 0
2 limxÑ0
Tgx “ 0
3 limxÑ0
Tgx
x“ 1, (Tgx “ Senx
Cosx )
4 limxÑ0
1´ Cosx
x“ 0 (p1´ Cosxqp1` Cosxq “ 1´ Cos2x)
Limites Laterais
DefiniçãoConsidere f : RÑ R e c P R tal que qualquer vizinhança de c intersetaDompf q. Dizemos que o lmiite de f pxq quando x tende a c pela direita(esquerda) é igual a L, denotado por lim
xÑc`f pxq “ L ( lim
xÑc´f pxq “ L) se
para todo ε ą 0 existe δ ą 0 tal que se 0 ă x ´ c ă δ então |f pxq ´ L| ă ε(0 ă c ´ x ă δ então |f pxq ´ L| ă ε)
TeoremalimxÑc
f pxq “ L existe se, e somente se, limxÑc`
f pxq e limxÑc´
f pxq existem e
limxÑc`
f pxq “ limxÑc´
f pxq “ L
Limites No Infinito
DefiniçãoSeja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a `8 e escreveremos lim
xÑ`8f pxq “ L se:
@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε
DefiniçãoSeja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a ´8 e escreveremos lim
xÑ´8gpxq “ L se:
@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε
Limites No Infinito
DefiniçãoSeja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a `8 e escreveremos lim
xÑ`8f pxq “ L se:
@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε
DefiniçãoSeja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a ´8 e escreveremos lim
xÑ´8gpxq “ L se:
@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε
ExemplosSe n P N, provar que:
1 ‹ limxÑ`8
1xn“ 0
2 ‹ limxÑ´8
1xn“ 0
ProposiçãoSejam f : pa;`8q Ñ R e g : pb;`8q Ñ R, se lim
xÑ`8f pxq “ L e
limxÑ`8
gpxq “ M, então:
1 limxÑ`8
rcf pxqs “ c limxÑ`8
f pxq “ cL, com c P R.
2 limxÑ`8
pf ˘ gqpxq “ limxÑ`8
f pxq ˘ limxÑ`8
gpxq “ L˘M
3 limxÑ`8
pf ¨ gqpxq “ limxÑ`8
f pxq ¨ limxÑ`8
gpxq “ L ¨M
4 limxÑ`8
pf
gqpxq “
limxÑ`8
f pxq
limxÑ`8
gpxq“
L
M, se M ‰ 0.
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.
2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
ExemplosCalcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,
dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
ExemplosCalcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição
anterior.2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,
dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.
ExemplosCalcular os seguites limites:
1 limxÑ`8
3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3
2 limxÑ´8
9´ 7x ` 12x4
4` 5x6
3 limxÑ`8
9x ` 47´ 5x
Limites Infinitos
DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo I que contem o ponto a (a podeou não estar no dominio de f ).
1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim
xÑaf pxq “ `8 se:
@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K
2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim
xÑaf pxq “ ´8 se:
@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M
Limites Infinitos
DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo I que contem o ponto a (a podeou não estar no dominio de f ).
1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim
xÑaf pxq “ `8 se:
@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K
2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim
xÑaf pxq “ ´8 se:
@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M
ExemplosSe n P Z e é par, então:
1 limxÑ0
1xn“ `8
2 Calcule limxÑ1´
f pxq, limxÑ1`
f pxq e limxÑ1
f pxq se f pxq “ 3x3`12´x´x2
Assintotas
DefiniçãoConsideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto quemove-se sobre esta curva. Diremos que:
1 o ponto A tende ao infinito se a distancia entre A e a origem decoordenadas tende ao infinito.
2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L eo ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando Atende ao infinito, isto é, lim
AÑ8dpA; Lq “ 0.
Assintotas
DefiniçãoConsideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto quemove-se sobre esta curva. Diremos que:
1 o ponto A tende ao infinito se a distancia entre A e a origem decoordenadas tende ao infinito.
2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L eo ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando Atende ao infinito, isto é, lim
AÑ8dpA; Lq “ 0.
Proposição1 A reta x “ a é uma assintota vertical (reta vertical) do grafico de
y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:1 lim
xÑaf pxq “ ˘8
2 limxÑa`
f pxq “ ˘8
3 limxÑa´
f pxq “ ˘8
2 A reta y “ b é uma assintota horizontal (reta horizontal) do graficode y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:
1 limxÑ`8
f pxq “ b
2 limxÑ´8
f pxq “ b
6a Aula
Exercicios Resolvidos
Exemplo
1 Considere a função hpxq “
$
&
%
4´ x2 se x ď 22 se 2 ă x ď 5
|x ` 5| se x ą 5Esboçar o
gráfico de hpxq, calcular limxÑ2
hpxq e limxÑ5
hpxq
2 Calcular limxÑ0
˜
x
c
14x2 ´ 16
¸
, se existir.
3 Calcular limxÑ3´
3x ` 1x2 ´ x ´ 6
Exercicios Resolvidos
Exemplo
1 Calcular limxÑ3´
3?15´ x2
x ´ 42 Esboçe o gráfico da função
f pxq “
$
’
’
&
’
’
%
b
x`3x se x ą 0
x3´xpx`1qpx`4q se ´3 ă x ď 0´?1` x2 se x ď ´3
indicando suas assintotas.
ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim
xÑaf pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq existe, então a é
chamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq não existe ou não
é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n
?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,
Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.
ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim
xÑaf pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq existe, então a échamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq não existe ou não
é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n
?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,
Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.
ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim
xÑaf pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq existe, então a é
chamada de discontinuidade removível.
Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa
f pxq não existe ou nãoé finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n
?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,
Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.
ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:
C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim
xÑaf pxq existe, e
C3 : limxÑa
f pxq “ f paq
Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq existe, então a é
chamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim
xÑaf pxq não existe ou não
é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n
?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,
Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.
Exemplos:1 Dada la função
f pxq “
$
&
%
Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x3 w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0
x´3x2´x´6 se x ě 0
§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, redefina afunção de forma que a evitar a discontinuidade.
2 Dada la função
hpxq “
$
’
&
’
%
?x`3´
?3x`1?
x´1 se x ą 1ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2 se x ă ´2
Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.
Exemplos:1 Dada la função
f pxq “
$
&
%
Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x3 w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0
x´3x2´x´6 se x ě 0
§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, redefina afunção de forma que a evitar a discontinuidade.
2 Dada la função
hpxq “
$
’
&
’
%
?x`3´
?3x`1?
x´1 se x ą 1ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2 se x ă ´2
Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.
Propriedades
Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4 f
g é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.5 |f | é continua em a.
Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.
Propriedades
Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4 f
g é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.5 |f | é continua em a.
Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.
propriedades
1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.
2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:
§ limxÑa
f pxq “ b
§ g é contínua em b
EntãolimxÑa
gpf pxqq “ gp limxÑa
f pxqq “ gpbq
Exemplo
1 Achar o limite limxÑ2
a
3x2 ` 4
2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8
1xn“ 0
propriedades
1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.
2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:
§ limxÑa
f pxq “ b
§ g é contínua em b
EntãolimxÑa
gpf pxqq “ gp limxÑa
f pxqq “ gpbq
Exemplo
1 Achar o limite limxÑ2
a
3x2 ` 4
2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8
1xn“ 0
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Funções contínuas em Intervalos fechados
1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).
2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs
3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.
4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d
Exemplo1 Prove que existe x P R tal que x11 ` 3x8 ´ Senpxq “ 100π2 Prove que existe x P p2; 3q tal que D
x´2 `E
x´3 “ ´π com D,E ą 03 Dado n P N e c P R`, prove que a equação xn “ c tem uma e só uma
solução positiva.
Derivada de uma função num ponto
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função definida no ponto a P Dompf q, diremos que fé derivável no ponto a se existe o seguinte limite:
f1
paq “ limhÑ0
f pa` hq ´ f paq
h
Se a função f é derivável em a, f1
paq é chamada de derivada de f em a.
Observação
1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a
e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:
f1
paq “ limxÑa
f pxq ´ f paq
x ´ a
ExemploAchar a derivada da função f pxq “
?x em a “ 4
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função tal que
f1
pxq “ limhÑ0
f px ` hq ´ f pxq
h
exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .Obviamente Dompf
1
q “ tx P Dompf q; f1
pxq exista u.
ExemplosProve que:
1 Se f pxq “ k , k constante; então f1
pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f
1
pxq “ a para todox P R.
3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1
pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0. (f phq ď h2)5 Se
f pxq “
"
x2; x P Q0; x P Q
Calcular f1
p0q
Derivadas laterais
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
Derivadas laterais
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)A reta definida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)A reta definida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.
observação1 Se f
1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f 1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao gráfico de f .
observação1 Se f
1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f 1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao gráfico de f .
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.