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Divisores de um Nmero
Definimos divisores de um nmero n, como sendo o conjunto numrico formado por todos os nmeros que o dividem exatamente. Vejamos o 12 por exemplo:
Somente os quocientes 1, 2, 3, 4, 6 e 12 o dividem exatamente, j o quociente 5 no o divide exatamente. Sendo assim, o conjunto dos divisores de 12 : D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6 e 12 } , da mesma forma teramos : D(4) = { 1, 2, e 4 } D(10) = { 1, 2, 5 e 10 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 }
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 } Com isso percebemos que :
D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 }
O conjunto dos divisores de um nmero um conjunto finito, j que possui uma quantidade limitada de elementos. O conjunto dos divisores da unidade um conjunto unitrio formado pelo elemento 1 D(1) = { 1 }
O conjunto dos divisores do ZERO um conjunto infinito formado por todos os nmeros naturais diferentes de 0. D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....} Lembremos que IN - { 0 } = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....} . O conjunto dos divisores de um nmero diferente de 1 ou 0 tem no mnimo dois divisores, ele mesmo e a unidade. Assim : D(7) = { 1, 7 } D(9) = { 1, 3 , 9 } D(11) = { 1, 11 } D(7) = { 1, 3, 5, 15 } E com isso percebemos que a unidade divisor de todo e qualquer nmero. Observao Importante: Alguns autores e alguns concursos, como o Colgio Naval, estendem a definio de divisores de um nmero para o conjunto dos nmeros inteiros, e com isso teremos divisores positivos e negativos. Assim : D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 } , mas s devemos considerar dessa forma se isso ficar bem claro numa questo.
Nmeros Primos
Nmeros Primos so aqueles que possuem somente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Alguns nmeros primos : D(2) = { 1, 2 } D(5) = { 1, 5 } D(7) = { 1, 7 } D(19) = { 1, 19 } Com isso percebemos que : O 2 o nico nmero par que primo. A unidade no um nmero primo pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }
O ZERO no um nmero primo pois possui uma infinidade de divisores 10, 11, 12 , 13, ....} O conjunto dos nmeros primos um conjunto infinito
D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9,
Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....}
Nmeros Compostos
Nmeros Compostos so aqueles que possuem uma quantidade finita de 3 ou mais divisores . Alguns nmeros compostos : D(4) = { 1, 2, 4 } D(8) = { 1, 4, 8 } D(42) = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } Com isso percebemos que : Com exceo do 2, todos os demais nmeros pares so compostos. A unidade no um nmero composto pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 } O ZERO no um nmero composto pois possui uma infinidade de divisores 9, 10, 11, 12 , 13, ....} O conjunto dos nmeros compostos um conjunto infinito D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , D(24) = { 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D(50) = { 1,2, 5, 10, 25, 50 }
Compostos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, ....}
E dessa forma podemos classificar os nmeros em quatro categorias : Um nmero N poder ser o 0, a unidade, um nmero primo ou um nmero composto.
Reconhecimento de um Nmero Primo
Um nmero terminado em 1, 3, 7 e 9 ser primo quando dividido sucessivamente pela listagem crescente dos nmeros primos menores que ele, gerar divises inexatas e quando o quociente da diviso se tornar menor ou igual a ele . Verifiquemos, por exemplo, se 173 primo : Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a comear pelo 2.
Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vo diminuindo e cada diviso se mantm inexata, at que o quociente 13 e o divisor tornam-se iguais. Com isso podemos afirmar que 173 um nmero primo. Verifiquemos, agora, se 187 primo : Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a comear pelo 2.
Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vo diminuindo e cada diviso se mantm inexata, at que ao dividirmos
187 por 11 o resto torna-se 0. Com isso podemos afirmar que 187 no um nmero primo, j que ele divisvel por 11 e tambm por 17 . Somente poder ser primo um nmero terminado em 1, 3 , 7 ou 9
Listagem dos Nmeros Primos Menores que 1 000
2 121 283 487 691 919
3 123 293 491 701 929
5 127 307 499 709 937
7 131 311 503 719 941
11 137 313 509 727 947
13 139 317 521 733 953
17 149 331 523 739 967
19 151 337 541 743 971
23 157 347 547 751 977
29 163 349 557 757 983
31 167 353 563 761 991
37 173 359 569 769 997
41 179 367 571 773
43 181 373 577 787
47 191 379 587 797
53 59 193 197 383 389 593 599 809 811
61 199 397 601 821
67 211 401 607 823
71 223 409 613 827
73 227 419 617 829
79 83 229 233 421 431 619 631 839 853
87 239 433 641 857
89 241 439 643 859
97 251 443 647 863
1 2 4 6 8
Decomposio de um Nmero em Fatores Primos
Por diversas ocasies precisamos decompor um nmero num produto de fatores primos. Assim : 20 = 4 x 5, e usando apenas fatores primos => 20 = 2 x 2 x 5 ou 22 x 5 2 60 = 4 x 15, e usando apenas fatores primos => 60 = 2 x 3 x 5 ou 2 x 3 x 5 3 2 7800 = 8 x 3 x 25 x 13, e usando apenas fatores primos => 2 x 3 x 5 x 13 2 2 2772 = 4 x 9 x 7 x 11, e usando apenas fatores primos => 2 x 3 x 7 x 11
Mtodo prtico para a decomposio de um nmero em fatores primos
Escrevemos o Nmero A sua direita traamos uma linha vertical Vamos divid-lo sucessivamente pelos nmeros primos a partir do 2 Enquanto a diviso for possvel continuaremos a diviso No sendo mais possvel passamos para o prximo nmero primo E assim faremos at que cheguemos a unidade. Vejamos alguns Exemplos
Decomponha 120 em Decomponha 312 em Decomponha 495 em Decomponha 900 em fatores primos fatores primos fatores primos fatores primos
120 = 23 X 3 X 5
312 = 23 X 3 X 13
495 = 32 X 5 X 11
900 = 22 X 32 X 5
Clculo dos Divisores de um Nmero
Escrevemos o Nmero sua direita traamos uma linha vertical Vamos decomp-lo em fatores primos Feito isso traamos a direita dos fatores primos uma nova linha vertical A direita dessa linha e acima do menor nmero primo encontrado lanamos a unidade Multiplicamos o menor fator primo encontrado por todos os nmeros que se encontram acima dele e escrevemos os resultados direita do trao vertical e na mesma linha do fator primo Se o fator primo for o mesmo do anterior multiplicaremos esse fator apenas pela linha de cima. Se o fator primo for diferente do anterior comearemos nossa multiplicao pela unidade e continuaremos por todos os nmeros acima dele E assim faremos at chegarmos ao nmero original que o maior divisor possvel. Todos os nmeros encontrados a direita do segundo trao vertical sero os divisores do nmero solicitado. Vejamos alguns Exemplos
Exemplo 1 - Quais so os divisores de 120
Exemplo 2 - Quais so os divisores de 158
Os divisores de 120 so : 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 15 18 - 20 - 30 - 40 - 60 - 120
Os divisores de 158 so : 1 - 2 - 79 - 158
Exemplo 3 - Quais so os divisores de 200
Exemplo 4 - Quais so os divisores de 396
Os divisores de 200 so : Os divisores de 396 so : 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 - 25 - 40 - 50 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 11 - 12 - 18 - 22 - 100 - 200 33 - 36 - 44 - 66 - 99 - 132 - 198 - 396
Clculo da Quantidade de Divisores de um Nmero
Em muitas situaes precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores de um nmero sem conhecermos exatamente quais so eles : E para tal utilizaremos a frmula : ( Mais tarde a deduziremos )
A quantidade de divisores de um nmero dado pelo produto entre os consecutivos dos expoentes de todos os seus fatores primos.
Exemplo 1 - Quantos so os divisores de 60 Decomposio em fatores primos 60 = 22 x 3 x 5 Expoentes dos fatores primos 2,1e1 Consecutivos dos Expoentes 2+1=3,1+1=2e1+1=2 Produto entre os consecutivos 3 x 2 x 2 = 12 O nmero 60 possui 12 divisores
Exemplo 2 - Quantos so os divisores de 720 Decomposio em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5 Expoentes dos fatores primos 4,2e1 Consecutivos dos Expoentes 4+1=5,2+1=3e1+1=2 Produto entre os consecutivos 5 x 3 x 2 = 30 O nmero 720 possui 30 divisores
Clculo da Quantidade dos Divisores mpares de um Nmero
Em muitas situaes precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores mpares de um nmero sem conhecermos exatamente quais so eles : E para tal utilizaremos a frmula : ( Mais tarde a deduziremos )
A quantidade de divisores mpares de um nmero dado, exclusivamente, pelo produto entre os consecutivos dos expoentes de seus fatores primos mpares..
Exemplo 1 - Quantos so os divisores mpares de 540 Decomposio em fatores primos 540 = 22 X 33 X 5 Expoentes dos Fatores primos 3e1 mpares Consecutivos dos Expoentes 3+1=4e1+1 Produto entre os consecutivos 4x2=8 O Nmero 540 possui 8 divisores mpares
Exemplo 2 - Quantos so os divisores mpares de 3 150 Decomposio em fatores primos 3 150 = 2 x 33 x 5 x 7 Expoentes dos Fatores primos 3, 1 e 1 mpares Consecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1= 2 Produto entre os consecutivos 4 x 2 x 2 = 16 O Nmero 3 150 possui 16 divisores mpares
Clculo da Quantidade dos Divisores Pares de um Nmero
Lembremos que somente um nmero par ter divisores pares
A quantidade de divisores pares de um nmero par dado pelo produto entre o expoente do fator primo 2 e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos ..
Exemplo 1 - Quantos so os divisores pares de 360 Decomposio em fatores primos 360 = 23 X 32 X 5 Expoente do fator primo 2 3 Expoentes dos Fatores primos 2e1 mpares Consecutivos dos Expoentes 2+1=3e1+1=2 Produto entre 3 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais 3 x 3 x 2 = 18 fatores primos O Nmero 360 possui 18 divisores pares
Exemplo 2 - Quantos so os divisores pares de 420 Decomposio em fatores primos 840 = 22 X 3 X 5 X 7 Expoente do fator primo 2 2
Expoentes dos Fatores primos 1, 1 e 1 mpares Consecutivos dos Expoentes 1+1=2,1+1=2e1+1=2 Produto entre 2 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais 2 x 2 x 2 x 2 = 16 fatores primos O Nmero 840 possui 16 divisores pares
Clculo da quantidade dos mltiplos de um nmero p dentre os divisores de um nmero N
OBS => Esse clculo somente ter sentido se p for divisor de N 1 Caso : O nmero p um fator primo de N
A quantidade de divisores mltiplos de um nmero p dado pelo produto entre o expoente do fator primo p e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos..
Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 so mltiplos de 3 Decomposio em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5 Expoente do fator primo 3 2 Expoentes dos demais fatores primos 4 e 1 Consecutivos dos Expoentes 4+1=5,1+1=2 Produto entre 2 ( expoente do fator primo 3 ) e os consecutivos dos demais 2 x 5 x 2 = 20 fatores primos O Nmero 720 possui 20 divisores mltiplos de 3
Exemplo 2 - Quantos divisores de 2 880 so mltiplos de 5 Decomposio em fatores primos 2 880 = 26 x 32 x 5 Expoente do fator primo 5 1 Expoentes dos demais fatores primos 6 e 2 Consecutivos dos Expoentes 6+1=7,2+1=3 Produto entre 1 ( expoente do fator primo 5 ) e os consecutivos dos demais 1 x 7 x 3 = 21 fatores primos O nmero 2 880 possui 21 divisores mltiplos de 5
2 Caso : O nmero p composto e um produto de fatores primos de N
A quantidade de divisores mltiplos de um nmero composto p dado pelo produto entre os consecutivos dos expoentes dos fatores primos restantes..
Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 so mltiplos de 12 Decomposio em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5 Isolemos o produto 12 ( 22 X 3 ) X 22 X 3 X 5 Expoentes dos demais fatores primos 2, 1 e 1 Consecutivos dos Expoentes 2 + 1, 1 + 1 e 1 + 1 Produto entre os consecutivos 3 X 2 X 2= 12 O nmero 720 possui 12 divisores mltiplos de 12
Exemplo 2 - Quantos divisores de 1 440 so mltiplos de 40 Decomposio em fatores primos 1 440 = 25 x 32 x 5 Isolemos o produto 40 ( 23 X 5 ) X 22 X 32 Expoentes dos demais fatores primos 2 e 2 Consecutivos dos Expoentes 2+1e2+1 Produto entre os consecutivos 2 X 2= 4 O nmero 1 440 possui apenas 4 divisores mltiplos de 40
Uma regra prtica e bastante til nesse caso seria a de dividirmos o nmero N pelo nmero p e a quantidade de divisores desse quociente nos dar a quantidade de mltiplos de p dentre os divisores de N.
Exerccios Propostos I - Quais so os divisores de :
01) 20
02) 45
03) 72
04) 128
05) 400
06) 560
07) 1 040
08) 1 200
II - Calcule o produto entre os divisores positivos de :
09) 36
10) 48
11) 60
12) 144
III - Calcule o produto entre os divisores inteiros de :
13) 30
14) 54
15) 105
16) 108
IV - Verifique se so primos os nmeros :
17) 237
18) 267
19) 343
20) 433
21) 851
22) 953
23) 1 049
24) Mostre que a soma dos algarismos de um nmero primo no pode ser 15 e nem 21. VI - Determine o valor de x para que os nmeros abaixo sejam primos
25) 1x3
26) 32x
27) 54x
28) 63x5
29) Podemos afirmar que no existem nmeros consecutivos primos ? 30) O consecutivo de um nmero primo sempre um nmero ....... . 31) Podemos afirmar que todo nmero primo com mais de um algarismo mpar ? VII - Decomponha em fatores primos :
32) 24
33) 38
34) 56
35) 96
36) 180
37) 240
38) 320
39) 539
40) 936
41) 1024
42) 1440
43) 3850
44) 3960
45) 4500
VII - Decomponha em fatores primos as multiplicaes :
46) 24 x 30
47) 38 x 60 x 72
48) 32 x 40 x 108
49) 22 x 33 x 44 x 77VIII - Quantos so os divisores de :
50) 122 x 203 x 212
51) 15 n x 18 n x 28 n
52) 72
53) 96
54) 360
55) 450
56) 600
57) 740
58) 840
59) 1 120
60) 1 560
61) 1 800
IX - Quantos so os divisores pares de :
62) 36
63) 60
64) 96
65) 420
66) 660
67) 720
68) 900
69) 1 200
70) 1 440
71) 2 000
X - Quantos so os divisores mpares de :
72) 54
73) 234
74) 275
75) 1 428
76) 7 425
XI - Determine o valor de n para que os nmeros tenham :
77) 22 x 3n x 5 - 18 divisores
78) 23 x 32 x 7n - 36 divisores
79) 24 x 5n x 11n - 45 divisores
80) 123 x 52 x 13n - 168 divisores
81) 24n x 72 x 23 - 126 divisoresa b
82) 123 x 52 x 13n - 168 divisores
XII - Qual o menor nmero da forma 2 X 3 que possui :
83) 12
84) 20a b c
85) 36
86) 40
XIII - Qual o menor nmero da forma 2 X 3 X 5 que possui :
87) 18
88) 24
89) 60
XIV - Dentre os divisores de 60, quantos so mltiplos de :
90) 6
91) 10
92) 12
93) 18
94) 20
XV - Dentre os divisores de 120, quantos so mltiplos de :
95) 8
96) 10
97) 12
98) 15
99) 30
XVI - Dentre os divisores de 300, quantos so mltiplos de :
100) 4
101) 6
102) 12
103) 18
104) 60
105) Dentre os divisores de 180, quantos no terminam em 0 ? 106) Dentre os divisores de 90, quantos terminam em cinco ? Questes de Concurso 107)( CEFETQ 1992 - Discursiva ) Na decomposio em fatores primos de um nmero natural N, encontramos o seguinte resultado: x y z 3 . 3 . 5 . Sabendo que possui 105 divisores, calcule o valor de x + y + z. 108) ( CEFET 2000 - Discursiva ) Seja N = 2 x 30 , qual o nmero de divisores de N que so tambm mltiplos de 15 ? 109) ( Colgio Naval - 1982 ) Seja N = 2 x 3 x 5 . O nmero de divisores de N que so mltiplos de 10, 4 5 6 2
A) 24
B) 35
C) 120
D) 144
E) 210
110) ( Colgio Naval - 1984 ) Seja o nmero , o nmero de divisores positivos de N :
A) 6
B) 15
C) 2
D) 13
E) 4
111)( CEFET 1996 ) A soma dos valores absolutos dos algarismos de um nmero superior a 1010 e inferior a 2010 e ao mesmo tempo mltiplo de 7, 11 e 13 :
A) 2
B) 5
C) 15
D) 11
E) 22
112) ( EPCAR 2001 ) Sobre o menor nmero natural n de 4 algarismos, divisvel por 3, tal que o algarismo das dezenas a metade do
algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar. correto afirmar que
A) n + 1 divisvel por 7 C) n + 2 mltiplo de 10
B) n est entre 2000 e 3009 D) n apresenta 12 divisores positivos
113) ( Colgio Naval - 1991 ) O produto de todos os divisores inteiros de 144 :
A) - 230 X 315
B) 230 X 315
C) - 260 X 330
D) 260 X 330
E) - 630
114) ( CEFET 1995 - Discursiva ) Determine a soma dos valores absolutos de um nmero que superior a 500, inferior a 1000 e , ao mesmo tempo, mltiplo de 3, 11 e 13 . 115) ( Colgio Naval - 1990 ) Os nmeros da forma 4k 2 + 50
+4
k 2 + 51
+4
k 2 + 52
+4
k 2 + 53
so sempre mltiplos de:
A) 17
B) 19
C) 23
D) 29
E) 31
116) ( Colgio Naval - 1996 ) Os nmeros naturais M e N so formados por dois algarismos no nulos. Se os algarismos de M so os mesmos algarismos de N, na ordem inversa, ento M + N necessariamente mltiplo de :
A) 2
B) 3
C) 5
D) 7
E) 11
117) ( Colgio Naval - 2001 ) Se a e b so nmeros naturais e 2a + b divisvel por 13, ento um nmero mltiplo de 13 ser :
A) 91a + b
B) 92a + b
C) 93a + b
D) 94a + b
E) 95a + b