Upload
ari-nugraha
View
352
Download
22
Embed Size (px)
Citation preview
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
1/38
RUANG HASIL KALI DALAM
(RHD)
1Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
2/38
Ruang Hasilkali Dalam (RHD)
Sub Pokok Bahasan
Definisi RHD
Himpunan Ortonormal
Proses Gramm Schmidt
Aplikasi RHD :
bermanfaat dalam beberapa metode optimasi,
seperti metode least squaredalam peminimuman
error dalam berbagai bidang rekayasa.
2Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
3/38
DEFINISI RHD
Misalnya V adalah suatu ruang vektor, dan
maka notasi < , > dinamakan Hasil Kali Dalam
jika memenuhi keempat aksiomasebagai berikut:
1. (Simetris)
2. (Aditivitas)3. untuk suatu kR,
(Sifat Homogenitas)
4. , untuk setiapdan
(Sifat Positifitas)
Vvu ,
vu , uv ,
wvu ,
wvwu ,,
vuk , vku , vuk ,
0
uu ,
0 uu , 0 uu
3Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
4/38
Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam,
maka norm (panjang) sebuah vektor
dinyatakan oleh :
yang didefinisikan oleh :
CONTOH :
Ruang Hasil Kali Dalam Euclides ( Rn
)Misalkan maka
= (u11+ u22+ ..+unn)
0, 21
uuu
u
u
nnvuvuvuvu ..., 2211nRv,u
021
uu ,u
4Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
5/38
= 2(u1+v1)w1+ (u2+v2)w2+ 3(u3+v3)w3
= 2u1w1+2v1w1+u2w2+v2w2+3u3w3+3v3w3= 2u1w1+u2w2+3u3w3+2v1w1+v2w2+3v3w3
(bersifat aditivitas)
Untuk suatu kR,
= 2ku1v1+ ku2v2+ 3ku3v3
= k2u1v1+ ku2v2+ k.3u3v3
(bersifat homogenitas)
w,vu
wvwu ,,
vuk ,
vku , vuk ,
5Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
6/38
c fadvu ,
),,( cbau ),,( fedv
vu ,
CONTOH
Diketahui
dimana dan
Apakah merupakan hasil kali dalam?
uu , 0)0,2,0(u 0, uu
0u
vu ,
Jelas bahwa = ( a2
+ c2
)Misalkan diperoleh
Padahal ada
Aksioma terakhir tidak terpenuhi.Jadi
ad + cf bukan merupakan hasil kali dalam.
Jawab :
6Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
7/38
HIMPUNAN ORTONORMAL
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunanortogonal
jika semua pasangan vektor yang berbedadalam himpunan
tersebut adalah ortogonal(saling tegak lurus).
Himpunan ortonormal himpunan ortogonal yang setiap
vektornya memiliki panjang(normnya) satu.
7Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
8/38
HIMPUNAN ORTONORMAL
8Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
xsumbubasisvektor,
0
0
1
uatau)0,0,1(u 11
ysumbubasisvektor,
0
10
uatau)0,1,0(u 22
zsumbubasisvektor,
1
0
0
uatau)1,0,0(u 33
Contoh vektor basis berikut ini merupakan vektor saling ortonormal
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
9/38
HIMPUNAN ORTONORMAL
9Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
1001u 21
Contoh vektor basis berikut ini merupakan vektor saling ortonormal
1010u 22
1100u 23
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
10/38
HIMPUNAN ORTONORMAL
10Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
j3i4u
Tentukan vektor yang ortogonaldan ortonormalterhadap vektor
berikut ini :
Contoh
jbiav
Jawab
0b3a4vuvuv,u 2211
b4
3a0b3a4
ji
4
3v
Sehingga
43adiperoleh1bGunakan
Misalkan :Jika u dan v ortogonalharus dipenuhi :
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
11/38
HIMPUNAN ORTONORMAL
11Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
j3i4u
Tentukan vektor yang ortogogonaldan ortonormalterhadap vektor
berikut ini :
Contoh
jbiav
Jawab
0b5
3a
5
4vuvuv,u 2211
b4
3a0b3a4
Misalkan :Jika u dan v ortonormalharus dipenuhi :
j5
3i
5
4
5
j3i4
u
uub
j20
16i
20
12ji
4
3
5
4
4
5
j
i
43
14
3
j
i
43
v
vv
2
2b
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
12/38
Secara operasional
Misalkan, pada suatuRHD
Tdikatakan himpunan vektor ortogonal jika
untuk setiap i j
Sedang, T dikatakan himpunan vektor ortonormal
jika untuk setiap i berlaku
ncccT ,...,, 21
0 ji cc ,
1ic
12Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
13/38
CONTOH 5 :
1.
Pada RHD Euclides, A bukan himpunan ortogonal.
2.
Pada RHD Euclides, Bmerupakan himpunan ortonormal.
3.
Pada RHD Euclides, Cmerupakan himpunan ortonormal.
0
1-
0
1
,
A
1-
0
0
1
,
B
2
1
2
1
2
1
2
1
C
13Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
14/38
Misalkan
adalah basis ortonormal untuk RHD V
Jika adalah sembarang vektor pada V,maka
Perhatikan bahwa, untuk suatu i berlaku :
Karena S merupakan himpunan ortonormal dan
nvvvS ,...,, 21
u
nnvkvkvku ...2211
inni vvkvkvkvu ,..., 2211
inniiiii vvkvvkvvkvvk ,...,...,, 2211
ivv ii setiapuntuk1, jivv ji setiapuntuk0, dan
14Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
15/38
Sehingga, untuk setiap i berlaku
ii kvu ,
nn vvuvvuvvuu ,...,,
2211
nnvkvkvku ...
2211Kombinasi linear
Ditulis menjadi
CONTOH 6 :Tentukan kombinasi lineardari
2
1a
pada RHD Euclides berupa bidang yang
dibangun
21
21
u
212
1
vdan
15Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
16/38
Jawab :
vvauuaa ,,
vua
21
21
21
21
,2
1,
2
1
2
1
vua2
12
1
Perhatikan ..
u dan v mrp
Basis ortonormal
vkuka 21
16Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
17/38
Proses Gramm-Schmidt
ncccS ,, 21
nwwwB ,...,, 21
basis bagi suatu RHD V
basis ortonormal bagi V
1
1
11c
cw .
LANGKAH YANG DILAKUKAN
17Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
18/38
2. Langkah kedua
2c
1w 1p
1q
2w
2w2c
112
1
11221 ,
,1
wwcw
wwccproyp w
121 pcq
2122
11222
,,
,
wwcc
wwccw
Vektor satuan searah 1q
18Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
19/38
3. Langkah ketiga 3w3c
W
3c
1w 2w
2p
2q
3w
22311332 ,, wwcwwccproyp W 232 pcq
2231133
2231133
3,,
,,
wwcwwcc
wwcwwccw
Vektor satuan
Yang tegak lurus
Bidang W
19Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
20/38
CONTOH 7 :
Diketahui :
B merupakan basispada RHD Euclides di R3.
Transformasikan basis tersebut menjadi basis
Ortonormal
Jawab :
Langkah 1.
10
0
,11
0
,11
1
321 uuuB
1
11
uuv
3
1,1,1
3
13
1
3
1
20Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
21/38
Langkah 2
22
222
1
1
uproyu
uproyu
v
v
v
3
1,
3
1,
3
2
3
1,
3
1,
3
1
3
21,1,0
, 112222 1 vvuuuproyu v
3
6
91
91
94
22 1 uproyu v
6
16
16
2
2v
Sementara itu,
Karena itu,
sehingga :
21Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
22/38
Langkah 3
Sementara itu,
sehingga :
33
333
uproyu
uproyuv
W
W
2
1,
2
1,0
6
1,
6
1,
6
2
6
1
3
1,
3
1,
3
1
3
11,0,0
,, 223113333 vvuvvuuuproyu W
2
1
2
13
0
v
22Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
23/38
Jadi,
321,, vvv
merupakan basis ortonormaluntuk ruang vektor R3
dengan hasil kali dalam Euclides
2
12
1
6
16
1
6
2
3
13
1
3
1 0
,,=
23Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
24/38
CONTOH 8 :
1
1
0
,
1
0
1
1
11
u
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruangdari RHD Euclides di R3
Tentukan proyeksi orthogonaldari vektor
pada bidangtersebut.
24Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
25/38
Jawab :
1
1
0
,
1
0
1
21 vv
Diketahui
Selain membangun subruang pada RHD
Karena
merupakan basis bagi subruang pada RHD tsb.
himpunan tsb juga saling bebas linear
(terlihat bahwa ia tidak saling berkelipatan).
21, vv
Langkah awal :
Basis tersebut basis ortonormal.
25Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
26/38
2
1
,0,2
1
2
1,0,1
101
1,0,1
222
1
11
v
vw
2
1
2
100
2
1,0,
2
11,1,0, 12
wvPerhatikan bahwa :
26Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
27/38
21,0,
21
2
1,0,
2
1
2
1, 112 wwv
21,1,
21
2
1,0,
2
11,1,0, 1122 wwvv
62
1
46
4
11
4
1
211
21,
22
2
1122
wwvv
Sehingga:
Akibatnya :
27Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
Akhi di l h
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
28/38
Akhirnya, diperoleh
6
1,
6
2,
6
1
62
1
21,1,
21
,
,
1122
11222
wwvv
wwvvw
6
162
6
1
,
2
102
1
Jadi Basis Orthonormalbagi bidang tsb
=
28Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
1
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
29/38
1
1
1
u
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu
2
2
2
2
10
2
1
2
1,0,
2
11,1,1, 1
wu
Proyeksi OrthogonalVektor
pada bidang tersebut adalah
Perhatikan bahwa :
29Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
30/38
Sementara itu :
6
26
1
6
2
6
1
,
1
1
1
,
6
1
62
6
1
2
wu
30Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
31/38
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu
3
13
2
31
1
0
1
3
43
2
3
2
Dengan demikian,
=
31Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
32/38
1
1
0
,
1
0
1
1
1
1
u
CONTOH 9 :
Diketahui bidang yang dibangun oleh
merupakan subruang dari RHD Euclides
Tentukan proyeksi orthogonal dari vektor
pada bidang tersebut.
21, vv
1v 2v
Jelas bahwa
merupakan basis bagi bidang tersebut, karenadan saling bebas linear
Jawab
32Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
33/38
Basis tersebut akan ditransformasikan
menjadi basis ortonormal.
2
1,0,
2
1
21,0,1
101
1,0,1
222
1
11 v
v
w
33Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
34/38
Perhatikan bahwa :
2
1
2100
2
1,0,
2
11,1,0, 12
wv
Sehingga:
2
1,0,
2
1
2
1,0,
2
1
2
1, 112 wwv
2
1,1,
2
1
2
1,0,
2
11,1,0, 1122 wwvv
akibatnya
34Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
35/38
u
uoy WPr 2211 ,, wwuwwu
Proyeksi OrthogonalVektor
pada bidang W adalah:
3
13
2
3
1
1
0
1
3
432
3
2
=
35Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
wwvv
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
36/38
6
1,
6
2,
6
1
62
12
1,1,
2
1
,
,
1122
11222
wwvv
wwvvw
6
162
6
1
,
2
10
2
1
Jadi Basis Orthonormalbagi bidang tersebut adalah :
36Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
Latihan Bab VI
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
37/38
Latihan Bab VI
vu ,
vu ,
vu ,
1. Periksa apakah operasi berikut merupakan
hasil kali dalam atau bukan
= u12v1+ u2v22 di R2
= u1v1+ 2u2v2u3v3 di R3
= u1v3+ u2v2+ u3v1 di R3
a.
b.
c.
2. Tentukan nilai k sehingga vektor (k, k, 1)
dan vektor (k, 5, 6 ) adalah orthogonal
dalam ruang Euclides !
37Bab 8, RUANG HASIL KALI DALAM
8/11/2019 MAT-II-08-RUANG HASIL KALI DALAM.ppt
38/38
0
11
1
01
21
1
3. W merupakan subruang RHD euclides di 3
yang dibangun oleh vektor
dan
Tentukan proyeksi orthogonalvektorpada W
38Bab 8 RUANG HASIL KALI DALAM