Mat II Pract2015 II

8/20/2019 Mat II Pract2015 II

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE INGENIERIAINDUSTRIAL

PRACTICA

CURSO : MATEMATICA -II

PROFESOR : GONZALES CHAVEZ, máximo g.

SEMESTRE ACADEMICO: 20 ! - II 1. INTEGRAL INDEFINIDA2. INTEGRAL DEFINIDA3. APLICACIONES


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - 2 - MATEMATICA II

TABLA de DERIVADA

#$x% # &$x% #$x% # &$x%1) " x # =)( , "∈ IR 0)( =′ x # 2) ' x x # =)( , ' ∈ IR 1)( −=′ ' 'x x #

3) )()( x ()* x # = )cos()( x x # =′ 4) )cos()( x x # = )()( x ()* x # −= 5) x L* x # =)( x x #

1)( =′ , x≠ 0 6) x) x # =)( x) x # =′ )(

7) )arcsin()( x x # = 211

)( x

x # −

=′ 8) )arccos()( x x # = 211

)( x

x # −−=′

9) )arctan()( x x # = 211

)( x

x # +=

′ 10) )cot()( x"'+ x # = 211

)( x

x # +−=′

11) x" x # =)( )()( " L*" x # x=′ 12) S )()()( x- x g x # =

A /i+"* o /og"'i1mo L* #$x% $x%L* g$x% , )'i3"* o+=′

)()´()(

)()´()()(

x g x g x-

x L*g x- x # x # +=′⇒ )(

)!()()()!()()(

x g x g x-

x L*g x- x # x #

REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES

%4#$x%5g$x%6& #&$x%5g&$x%2) 4#$x%g$x%6& #&$x%g$x%5#$x3) [ ]( )′=

′

−1)()(

)()(

x g x # x g x #

4) 4#$g$x%%6& # &$g$x%% g&$x% EJEMPLOS

% ( ) x g x # ' =)( , ' ∈ IR( )[ ] ( ) x g x g ' x # ' ′=′ −1)(

2% [ ])()( x g ()* x # =( ) [ ])(cos)( x g x g x # ′=′⇒

7% [ ])(cos)( x g x # =( ) [ ])()( x g ()* x g x # ′−=′⇒

8% ( ) x g ) x # =)(

( ) ( ) x g ) x g x # ′=′⇒ )(!% ( ) x g L* x # =)(

( )( ) x g x g x # ′=′ )( "(#)≠ 0 9% )(arcsin)( x g x # =

( )( ) x g x g x # 21

)(−′=′⇒

:% [ ])(arccos)( x g x # =( )

( ) x g x g

x # 21

)(−

′−=′⇒;% [ ])(arctan)( x g x # =

( )( ) x g

x g x # 21

)(+

′=′⇒


3/26


4. ( ) x ()+ x+o1 3355. ( ) 33 3 −+ x x ()* 6. (

221 x x −

7. ( ) ( ) ( ) x+o( x ()* x x 42 52 + 8. ( )226 43 x ()* x1"* x) + 9. ( ) x ()+ x x+o( 232 −

10. ( )

1211 25

2

x ()* x

−

11.

423

2

x1g x 12. x ()* x

x/* 24

43

3

++−

13. ( ) ( )22 2242 −+ x1"* x x 14.( )( )

( )22 cos

cos x

x ()* x − 15.

3 34 4$n 1 $n 3 x x− + +

16. ( ) x ()* x x) x−33 17. ( )2 x) ()* x)"'+1g −

18. ( ) x"'++o( x3

19. x+o( x) ()*x 33 2 20. ( ) ( ) ( )322

3

13

31

−+

x ()*x x

x1g x1g

21. ( )

x+o(/* x x

x1"* 333

23

−22. ( ) x()*x

x x ()*) x

22cos$n

12 −+

23. ( ) ( ) x x ()* x)"'+()* 3cos22 23+ 24. ( ) ( )2532 cos3costan x x x −25. ( ) ( )1314 24 −− x ()+ x x)

26. ( ) x+o1 ) x

"'+1"* x

++

145

22

27. ( ) ( ) x ()* x x/*

x1"* x

34

41

2 24

3

+−+28. ( ) ( ) x x x

x x/* 2

434

+−−

29. ( )


4/26


∫ ∫ = 0== # "0x"x # )(1)( "x= =

1. ( )∫ 0x x 44 2. ( )∫ 0x x ()* 6 3. ( )∫ 0x x+o( 2 4. ( )∫ 0x x1"* 5

5. ( )0x x1"*∫ − 3 6. ( )0x x ()+∫ − 2 7. ∫ − 0x % x$ ()+ 22 8. ( )0x x+o(∫ 5

9. ∫ + 2251 x0x

10. ∫ + 24 x0x

11. ∫ + 2161 x0x

12. ∫ + 2169 x0x

13. ∫ − 291 x0x

14. ∫ − 29 x0x

15. ∫ − 249 x0x

16. ∫ −92 x x0x

17. ∫ −142 2 x x0x 18. ∫ −193 2 x x

0x 19. ∫ − 942 2 x x0x 20. ∫ − 9164 2 x x

0x

S stit ci n Si* $&

∫ ∫ −= 30==3=03

S stit ci n Tri"ono*,trica

222 +>" =+ - +>" =+ 22( ) +" ()* .=α

( ) +> .cos =α ( ) >" .tan =α

222 >+" −= - 22 >+" −=

%on%& ( ) x # = =

/or /art&s

r

c

b

a

= x =

2

tan

u

12+=

x?2

( ) = x ()* =

u

x 21 =−

( ) = x =tan

u1

2 += x


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - ! - MATEMATICA II

SUSTITU I N SI /L

21. ( ) x0x x 2142∫ + 22. ( ) ( )0x x x x 131 2

43 +−+∫ 23. ( ) ( )0x x x x 132 2323 −−∫

24. ( )∫ + 0x x x

42 1

225.

( )( )∫ −+

+43

2

1

13

x x

0x x26.

( )( )∫ −

−323

2

32

1

x x

0x x

27.( )

( )∫ + x ()*0x x31

3cos2 28.

( )( )∫ + x

0x x ()*5cos1

52 29. ∫ − 241

2 x

0x30. ∫ − 41

2 x

0x x

31.( )

( )∫ + x ()*0x x21

2cos2 32.

( )∫ −−

23

2

4

83

x x

0x x x33. ∫ −

−

− x x

)

0x)21

34. ∫ +142

x

x

)0x)

35. ∫ −142 2 x x0x

36.( ) ( )

( ) ( )∫ −15s&c5s&c5tan5s&c

2 x x

0x x x

37.( )

( ) ( )∫ −13tan3tan3s&c

2

2

x x

0x x38. ∫ −12 4 x x

0x

∫ ∫ =+ 0== # "0x>"x # )(1

)( - >"x= +=

39. ( ) 0x x∫ − 531 40. ( )0x x ()*∫ + 32 41. ( )0x x ()*∫ − 2342.

( )0x

x−∫ 37 43. 0x) x52 −

∫ 44. ( )0x x1"*∫ − 32

45. ( )0x x ()+∫ − 42 46. ∫ + 0x x )1(s&c 2 47. ( )0x x∫ + 3cos

48. ( )∫ −+ 219 x0x

49. ( )∫ −+ 2441 x0x

50. ( )∫ −+ 2249 x0x

51. ∫ ++ 232 x x0x

52. ∫ +− 432 x x0x

53. ∫ ++ 259 x x0x

54. ( )∫ +− 2141 x0x

55. ( )∫ −− 234 x0x

56. ( )∫ −− 2494 x0x

% [ ]∫ + 0x x ()* x )4(4 2% ( )s&n 4 13cos4 x x 0x−∫ 7% ( )s&n cos 4 x x 0x+∫ 8%

( )3

7 7s&n x x 0x−

∫ !% 71 4

7 x 0x

x

− − ÷− ∫

9% ( )3 6cos 5 x x 0x− +∫ :% ( )3 215 3 x x 0x−∫ ;% 33 22s&n

5 x x 0x− − ÷ ∫


6/26


( )

( )[ ] −=+

−≠++=

+

1$n

11

1

*C x #

*C *

x # *

1. ( ) 0x x x 22

3 32∫ + 2. ( ) ( )0x x x x 3632 23

3 −−∫ 3. ( ) 0x x x ()* )cos(3

∫

4. ( ) 0x x x )tan(s&c2∫ 5. ( ) 0x x x )(tans&c 22∫ 6. ( )0x x x) x∫

22

7. ∫ +12 x x0x

8. ∫ −12 x x0x

9. ( )∫ + 32 1 x x0x

10. ( )∫ − 32 1 x x0x

11. ( )∫ ++

+13

322 x x

0x x12.

( )( )∫ ++

+32 13

32

x x

0x x13. ∫ +12 x

x0x14. ∫ −12 x

x0x

15.( )∫ −

− x x

0x x

2

222 16.

( )( )∫ x

0x x ()*3cos

17. ( )∫ x

0x x$n18. ( )∫ x x

0x

$n

I ) Int&"raci n +or +art&s∫ ∫ −= 30==3=03

1) x x s&n2 2) x x s&n3 3) x ()* x 23 4) x x 32 s&n

5) x x 23 cos 6) x x 32 cos 7) x) x 3 8) x) x 4

9) 23 x) x 10) x x $n2 11) x x $n3

12) x x $n2−

13) )( x ()*) x 14) )($n x ()* 15) )(s&c 3 x 16) )(s&c 2 x x

17) ( )0x x∫ arctan 18) ( )0x x x∫ arctan 19) ( )0x x x∫ arctan2

20) ( )0x x x"'+()*∫ 21) ( )0x x"'+()* x∫ 2 22) ( )0x x"'+()* x∫ − 2

23) ∫ + x

x0x

1 24)

( )

∫ 3$n

x

0x x

25) ( )

∫ x0x xarctan

∫ ′ 0x x # x # * )()(


7/26


8/26

GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - ; - MATEMATICA II

9)1

1

+ x x 10) 231

− x x 11) 11

2 + x x12)

x x x 2

12 +

13) 23 − x x 14) x−6 15) ( )( )142 ++ x x 16) ( )( ) x x −− 32

17)1− x

x18)

1

2

− x x

19)6

3

+ x x

20)8

4

− x x

21)12

2

− x x

22)12

2

+ x x

23) 2

3

4 x

x

− 24) 123

+ x x

25)14 3 + x

x26)

11

−+

x x

27)3 7

3−−

x x

28)4

3

47

−+

x x

29) 24 1

1

x x + 30) 44

2

24

++

x

x x31) ( ) 2222

3

x" x"

x

−−

32)1− x

x33)

11

2 +− x x

x34)

4

33

6 x

x x + 35)33

1

x x +

36) ( ) 2132 −+− x x 37) ( )2321 1 x x + 38) ( ) 211 1 x x +− 39) ( ) 31823 −− x x

40) ( )104 11

+ x x41)

1

12

2

+−++

x x x

x x42)

5

3

21

−−

x x

43) ( ) 21221 −++−− x x x 44) ( ) 31

423 −

+ x x 45)22

4322

23

+++++

x x

x x x

1) x3s&n 2) x4s&n 3) x ()* 5 4) x ()* 65) ( ) ( ) x x ()* 23 cos 6) ( ) ( ) x x ()* 24 cos 7) ( ) ( ) x x ()* 25 cos

8) ( ) ( ) x x ()* 26 cos 9) ( ) ( ) x x ()* 27 cos 10) ( ) ( ) x x ()* 38 cos

11) ( ) ( ) x x ()* 33

cos 12) ( ) ( ) x x ()* 34

cos 13) ( ) ( ) x x ()* 35

cos

14) ( ) x1"g 3 15) ( ) x1"g 4 16) ( ) x1"g 5 17) x x ()* 36 cos18) ( ) x1"g 6 19) ( ) x1"g 7 20) x3s&c 21) x4s&c22) x5s&c 23) x6s&c 24) ( ) x7s&c 25) ( ) x8s&c

26) ( ) ( ) x x 33 s&ctan 27) ( ) ( ) x x

34 s&ctan 28) ( ) ( ) x x 35 s&ctan

29) ( ) ( ) x x 43 s&ctan 30) ( ) ( ) x x

53 s&ctan 31) ( ) ( ) x x 63 s&ctan


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - < - MATEMATICA II

VIII%H"//"' /"( Fom=/"( o' R)+=')*+i" ) /"( (ig=i)*1)( I*1)g'"/)( $ m , * *=m)'o( )*1)'o( o(i1i3o( %

1. 0x x*

∫ sen

2. 0x x g *

∫ cot3. 0x) x x*∫

4. 0x x*∫ cos 5. 0x x*∫ sec 6. 0x x x *∫ ln 7. 0x x1"g *∫ 8.

0x x x *∫ sen 9. 0x x x *∫ cos

10. 0x x x m*∫ cossen 11. 0x x x1"g m*∫ sec

12. ( )∫ + * x0x

12 13. ( )∫ − * x0x

12

1) ( ) x ()*+11

2) ( ) xcos11

+ 3) ( ) x ()*−51

4) ( ) xcos231

+

5) ( ) x ()*231

+ 6) ( ) xcos21

− 7) ( ) x2cos41

− 8) ( ) x ()* 291

−

9) ( ) x ()* x ()*

+1)(

10) ( ) x x

cos4)cos(

+ 11) ( ) x ()* x ()*

+1)(2

12) ( ) x ()* x ()*

+1)(3

13)( )

( ) x ()* x

−9cos

14) ( ) x x ()*

cos1)(3

+15)

x x x

s&n2coss&n

++

16) x

x xcos23

coss&n+

−

17)

x

x

s&n5

2cos

−

−18)

x2

s&n2

1

+19)

x2

cos23

1

+20)

x2

s&n5

1

−

21) ( ) x x ()*

cos)(3 22)

x22 s&ncos21

+23)

x22 coss&n1

−24)

x x coss&n1+

25) x x s&nt"1

+ 26) x xt"34

s&c− 27) x

xcos2

s&n3

+28)

x2s&n21

−

29)

x

x2

2

cos1

s&n

+30)

( ) 2

cos1

1

x+31)

( ) x ()*

x4

5

1

)(cos

−32)

( )

( ) x ()*

x

+1

csc


10/26


33) x x

t"1t"1

−+

34) ( ) ( ) x x coscot1+ 35) x x 22 t"s&n

1+ 36)

( )( ) x

xcos1

s&c+

37) x x

x22 s&ncos

s&n−

38) x x coss&n1

1++ 39) x

x x2coss&ns&n 3+

40) x x

x44 s&ncos

2cos

+ 41) ( ) ( ) x>">" cos1

2222 −−+

42) x x x x

cos3s&n2cos2s&n3

++

43) x x x x 22 coscoss&ns&n

1−+

UTILIZAR m"(B DE UN METODOS DE INTEGRACION$(i )( o(i>/)%

1) 0x x

x x∫ +++4

42

2

2) ∫ +− 12 x x ))0x

3) ∫ )cos()( x x ()*0x

4) ∫ + x x 0x

3

3

412 5) ∫ + )(cos2)( 22 x x ()*

0x6) ∫ − 45 6 x

0x

7) ∫ − 62

1 x0x x

8) 1 x

0x x

+∫ 9) 22 2 x

0x x +

∫ 10)2

2

4 x0x

x−∫

11) ∫ −+−

0x x x

x43

722 12) ∫ +−

+0x

x x x

13643

2 13) 2 2

3

1( ) x 0x

x+∫

14) ( )∫ 0x x x 2arctan 15) ( )0x x∫ + 4$n 2 16) x x 3s&n4cos 3∫

17)3t" x 0x∫ 18) ∫ + 0x x x1arcs&n 19) 1 42( ) x x 0x− +∫

20) ( ) ( ) =−+

+∫ 0x x x x

1312

21) ∫ − 0x x x

1arcs&n

22) 0x x x

x∫

−+

44

$n

23) ( ) 624 3

x0x

x

−+∫

24) ∫ −− x x

)

0x)21

25) ( )0x x x∫ + 4$n 2


11/26


12/26


AREA. S)" #$x% =*" #=*+i * +o*1i*=" !"#$%$&a )* 4",>6,() )#i*) )/ A')" ) /" R)gi *>" o /" g'"#i+" ) #$x%

LONGITUD DE ARCO.S)" #$x% =*" #=*+i * +o*1i*=" )* 4",>6 )'i3">/) )* $",>%, () )#i*) /" /o*gi1=

) "'+o )( ) $",#$"%% "(1" $>,#$>%%+omo

VOLUMEN %S gi'"mo( /" R)gi * >" o /" g'"#i+"

) #$x%"/') ) o' )/ E E , () o>1i)*) =* So/i o, //"m" o (o/i o ) R)3o/=+i *

2% S gi'"mo( /" R)gi * >" o /" g'"#i+" ) #$x% "/') ) o' )/ E E , () o>1i)*) =* (o/i o ) R)3o/=+i *

7%CENTROIDE E/ +)*1'oi ) ) /" ')gio* ( )00 D xC = #$x%

∫ =>

"

0x x # A )(

%#'!(#)1 L :

a

2∫ +=

-#$x%

'" io

'( ) x a b

∫ =>

"

0 x # V )(2π

a b x

#$x%

a b

'" io

#$x%

x

a b

'" i

o

J

x∫

∫ = >

"

>

"

0x x #

0x x # D

)(2

)(2

0

∫ ∫

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"

>

"

0x x #

0x x x# x

)(

)(

0

∫ =>

"

0x % x$ x# V π 2


13/26


I. U1i/iK"* o I*1)g'"/)( , "//"'

II.U1i/iK"* o I*1)g'"/)( , "//"'

;1 2

III. E* /" #ig='" "//"'

V. E* /" #ig='" "//"'

> % A# E/ A')" ) /" R)gi * Som>')" "

+ %V # E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o

"/ GIRAR /" R)gi * Som>')" " A/') ) o' )

i% 0 i3% 0

" % P e E/ P)' m)1'o ) /" R)gi * Som>')" "

> % A# E/ A')" ) /" R)gi * Som>')" "

+ %V # E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o

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" % P e E/ P)' m)1'o ) /" R)gi * Som>')" "

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"/') ) o' )

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"% A # E/ A')" ) /" R)gi * Som>')" "

#$x% 2x

#$x% 2x

#$x% 2x

x252

> %V E/ VOLUMEN )/ SOLIDO o>1)*i o"/ GIRAR /" R)gi * Som>')" "

"/') ) o' )

i% 0 i3% 0

"% A # E/ A')" ) /" R)gi *Som>')" "


14/26


V% H"//"' )/ á')" ) /" ')gi * (om>')" " ) o( #o'm"( i#)')*1)(

∫ =>

"

0x % x$ # % R$ A ∫ =0

+

0D % D$ g % R$ A

"% RECTANGULOS >% x D@ x D −=+= 13 +% x D@ x D 253 −=+=

% RECTANGULO

)% TRAPECIO

#% 252 x D@ x D −=+=

g% x D@ x D −=−= 52 % 2242 D x@ x D +=−= i% 2242 D x@ x D +=+=

% 11 2 −=+= x D@ x D % /% x x D@ x D −=−= 2223

% S)g * /" g'"#i+" #$x%, "//"' ∫

2

0

0x % x$ # %" ∫ 6

2

0x % x$ # %>

∫ −

3

5

0x % x$ # %+ ∫ −

4

4

0x % x$ # %0

∫ −

6

5

0x % x$ # %) ( )∫ −

+6

5

3 0x % x$ # % #

2)Un


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - ! - MATEMATICA II

3) $ rit*o %& cr&ci*i&nto 01 0P %& na +o:$acion %& :act&rias &s +ro+orciona$

a $a raiE c a%ra%a %& t %on%& / &s &$ ta*a=o %& $a +o:$acion > t &$ ti&*+o &n%ias (0≤ t≤ 12). sto &s 1 N 01

0P = . $ ta*a=o %& $a +o:$acion &s 500 $ &"o %& n

%ia &s 600. sti*ar $a +o:$acion a $os 7 %ias4) Un a


16/26


11)La a+ro#i*acion "a ssiana +or c a%rat ra %& %os + ntos %& na ' ncion

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+

−≈∫

− 31

311

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121 x

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12)Ar i*&%&s %&*ostro & &$ ar&a %& n arco +ara:o$ico &s i" a$ a 2 3 %&$ +ro% cto %& $a :as& +or $aa$t ra. o*o in%ica $a 'i" raa) Di: a &$ arco +ara:o$ico $i*ita%o +or 216 x D −= > &$& & O. a$c $ar &$ Fr&a san%o int&"ra$&s > s&"Gn $a'or* $a %& ar i*&%&s. BC & + &%& %&cir

:) Di: a &$ arco +ara:o$ico $i*ita%o +or 28 x D −= > &$ & & O. a$c $ar &$ Fr&asan%o int&"ra$&s > s&"Gn $a 'or* $a %& ar i*&%&s. BC & + &%& %&cir

13) Unas


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - : - MATEMATICA II

( ) ( ) x # x F x F 0x x # >">

"

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HALLAR EL AREA DE LA REGION LIMITADA POR LA GRAFICA DE #$x% EL E E , DESDE x " , "(1" x >

1. ∫ π 2

0

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4

2 0x x 3. ∫ −

=−6

2

2 4 0x x

4. [ ]∫ −

=+3

2

2 0x x 5. ( )∫ −

=+4

2

2 0x x 6. [ ]( )∫ −

+−3

2

1 0x x x

7. ∫ =2

0

4 s&ncos

π

x0x x 8. ∫ −

− =−1

1

12 )916( 0x x 9. ( )∫ =− −7

3

11 0x x

10. =+

∫ − 49

2

10

7 x

0x11. ∫ =+

5

1

2

3

2 )1

( 0x

x

x 12. =−

∫ −

0x

x

x6

21

1 5

13. ( )∫ =−5

2

1 $n 0x x x 14. ∫ =9

3

0x x x) 15. ∫ =4

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π

x0x

16. ∫ =π

0

0x x()*x 17. ∫ −

=+

0

32 22

0x x

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16

4

10x

x x

19.D&*ostrar & $a $on"it % %& na circ n'&r&ncia %&ra%io R &s

20.D&*ostrar & &$ Ar&a %& n circ $o %& ra%io R &s21.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& na &s'&ra %& &s ..22.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& n cono %& &s23.D&*ostrar & &$ o$ *&n %&$tronco %& cono %& &s24.D&*ostrar & &$ o$ *&n %& n s&"*&nto &s'&rico

%& &s


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - ; - MATEMATICA II


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GONZALES CHAVEZ , M"ximo g. - < - MATEMATICA II

I% AVERIGUAR SI LAS SIGUIENTES INTEGRALESCONVERGEN DIVERGEN

1) ∫ −

∞−+

2

)2( 0x x 2) ∫ ∞

+6

)2( 0x x 3) ∫ −

+7

2

)2( 0x x 4) ∫ ∞

+6

3 )2( 0x x

5) 0x x

∫ 1

0

1 6) 0x x∫ ∞

1

17) 0x

x∫ −1

1

1 8) 0x x∫ ∞

∞−

1

9) 0x x∫ 1

02

1 10) 0x x∫ ∞

12

111) 0x

x∫ −1

12

1 12) 0x x∫ ∞

∞−2

1

13) 0x x∫ 1

03

1 14) 0x x∫ ∞

13

115) 0x

x∫ −1

13

1 16) 0x x∫ ∞

∞−3

1

17) ∫ 1

0

x

0x 18) ∫ ∞

1 x

0x19) ∫

−

1

1

x

0x 20) ∫ ∞

∞− x

0x

21) ∫ − +9

12 4 x0x

22) ∫ ∞− +0

2 4 x0x 23) ∫

∞

+2 2 4 x0x

24) ∫ ∞

∞− + 42 x0x

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1) ∫ ∞

∞− x0xs&n 2) ∫ −

π

π

2

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π

2

0x x ()+ 4) ∫ ∞

∞− 0x x2

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5)2

21

s&n 0x x

∞∫ 6) ∫ ∞

+0 5 1 x x0x

7) ∫ ∞

+0 2 1t"

x x0x"'

8) ∫ −2

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5

4 x

0x x

9) ∫ ∞

+2 3 4 x0x

10) ( )

∫ ∞ +1

1$n x

0x x 11) ∫ ∞ −

12

2

x0x) x 12) ∫

∞

+0 3 1t"

x

x0x x"'

13) 0x x∫ ∞

−1

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∞

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15) ∫ ∞

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∞ −0

2

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20/26


21/26


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π

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()*x

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( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ++=++=++=

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0

32

31

1

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0

321

0

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31

2949

294

12

12

0x x x

0x x

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22/26


23/26


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23

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π

π

π

π

π

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x

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x

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x

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63 −−= x DFC @ 03 = DFC

So/=+io*% EL AREA LIMITADA ES

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0

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24/26


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27

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25/26


26/26


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Mat II Pract2015 II