mat021-certamen_2-1.2003-pauta-stgo

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Campus Santiago

CERTAMEN 2 - MAT 021

Lunes 19 de Mayo de 2003

Pregunta 1: Calcule

a) limx3

2x 6xx + 6 b) limx1

sen(2(x 1))x3 1

Solucion Ejercicio 1:

a)2(x 3)

xx + 6 x +

x + 6

x +x + 6

=2(x 3)(x +x + 6)

x2 x 6

=2(x 3)(x +x + 6)

(x

3)(x + 2)

=2(x +

x + 6)

x + 2

Por lo tanto,

limx3

2(x 3)xx + 6 = limx3

2(x +x + 6)

x + 2=

12

5

b)sen(2(x 1))

x3

1

=sen(2(x 1))

(x

1)(x2 + x + 1)

=2 sen(2(x 1))

2(x 1)(x2 + x + 1)Note que:

limx1

sen(2(x 1))2(x 1) = limu0

sen(u)

u= 1, donde u = 2(x 1)

y

limx1

1

x2 + x + 1=

1

3


2/5

Luego,

limx1

sen(2(x 1))x3

1

= 2 limx1

sen(2(x 1))2(x

1)

limx1

1

x2 + x + 1=

2

3

Pregunta 2: Considere el polinomio p(x) = x4 + ax3 + bx2 + 5x 1. Encuentre a y bde modo que p(x) sea divisible por x2 1.


Como x2 1 divide a p(x) = x4 + ax3 + bx2 + 5x 1, se tiene:

x4 + ax3 + bx2 + 5x 1 = (x2 1)h(x)

De all que x = 1 y x = 1 son races de p(x). Luego p(1) = 0 y p(1) = 0.

Evaluando se tiene el siguiente sistema:

a + b = 5a + b = 5

De donde se obtiene a = 5 y b = 0.

Pregunta 3: Considere la funcion

f(x) = cos(3x)

3cos

2 3x

a) Determine la amplitud y el perodo de la funcion.

b) Encuentre los valores de x R tal que f(x) = 2 sen

15


a) f(x) = cos(3x)

3 cos

2 3x

= cos(3x)

3 sen(3x)

Entonces, la amplitud A y el perodo T estan dados porA =

1 + 3 = 2

T =2

3

b) = arctan1

3+ =

6+ =

5

6

pues

3

2,

1

2

esta en el segundo cuadrante.


3/5

Por lo tanto

f(x) = 2 sen

3x +

5

6

Debemos resolver entonces

f(x) = 2 sen

3x +

5

6

= 2 sen

15

= 3x + 56

=

15+ 2k 3x + 5

6=

15

+ 2k ; k Z

= x = 2390

+2

3k x =

30+

2

3k ; k Z

(Es posible tambien escribir f(x) = 2 sen

6 3x

llegando a los mismos resultados

para x)

Pregunta 4: Dado el numero complejo z =1

2+

i2

a) Determine las raices quintas de z.

b) Cuantas raices se encuentran en el semiplano superior?

c) Si y son las raices ubicadas en el primer cuadrante, calcule 20 + 20.


1. Sea w = r cis tal que w5 =1

2+

12i, entonces

r5

cis5 = cis

4

donde r = 1 y =

20+

2k

5

Se tienen las soluciones:

(a) w0 = cis

20

(b) w1 = cis920

(c) w2 = cis

17

20


4/5

(d) w3 = cis

25

20

(e) w4 = cis3320

2. Hay 3 races en el semiplano superior, a saber: w0, w1 y w2.

3. Las races en el primer cuadrante son w0 y w1. Se cumple:

w200 + w201 = cis() + cis(9) = 2

Pregunta 5: Se tiene un recipiente como el de la figura. Si R = 10 y h = 5, entonces

a) Determinar el volumen de un lquido en funcion del nivel x.

b) Si V(x) representa el volumen de un lquido en el nivel x, calcule

limt0

V(h + t) V(h)t

(Recuerde que : Volumen del cilindro de radio a y altura b es a2b, Volumen delcono de radio a y altura b es 1

3a2b).

R

h

2h


a) Si 0 x 5, entonces V(x) = 100x.

Si 5 x 15, entonces V(x) = 500+ (Volumen del cono truncado en el nivel x).

Sea r el radio del cono en el nivel x. Por teorema de Thales se tiene:

15 xr

=10

10 r = 15 x


5/5

Por lo tanto, el volumen del cono truncado en el nivel x es :

Volumen del cono de radio R - Volumen del cono de radio r =1000

3 (15 x)

3

3

Es decir, si 5 x 15, entonces V(x) = 25003

(15 x)33

Luego,

V(x) =

100x si 0 x 5

2500

3 (15 x)

3

3si 5 x 15

b)

limt0

V(h + t) V(h)t

= limt0

V(5 + t) V(5)t

= limt0

100(5 + t) 500t

= limt0

100t

t

= 100

limt0+

V(h + t) V(h)t

= limt0+

V(5 + t) V(5)t

= limt0+

10003 (10t)3

3

t

= limt0+

3 1000 (1000 300t + 30t

2 t3)t

= limt0+

3 (300 30t + t2

)

= 100

Por lo tanto,

limt0

V(5 + t) V(5)t

= 100

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