8/2/2019 Mat021 Control 6 Pauta Stgo
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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Departamento de Matematica
Campus Santiago
Pauta Control 6
1. Calcule a y b para que la funcion
f(x) =
x21 + x2
1
, x < 0
ax + b , 0 x 2
x x + 24x + 1 3 , 2 < x
sea continua.
Solucion : Para x < 0, tenemos
x2
1 + x2 1
1 + x2 + 1
1 + x2 + 1 = 1 + x2
+ 1
Por lo tanto,
limx0
x21 + x2 1 = limx0
1 + x2 + 1 = 2
y para x > 0 se tiene,
limx0+
ax + b = b
Para que f sea continua en x = 0 debemos tener que: b = 2.
Ahora, estudiemos la continuidad de f en x = 2.
limx2
ax + b = 2a + b
Note que,
x x + 24x + 1
3 x +
x + 2
x +
x + 2
4x + 1 + 34x + 1 + 3
=(x + 1)(
4x + 1 + 3)
4(x +
x + 2)
1
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Por lo tanto,
limx2+
x x + 24x + 1
3
= limx2+
(x + 1)(
4x + 1 + 3)
4(x +
x + 2)=
9
8
Para que f sea continua en x = 2 debe cumplirse que: 2a + 2
=9
8.
Luego, f es continua si: a = 716
y b = 2.
2. Solucion
El polinomio p es de grado par y su coeficiente lder es
positivo, as que podemosconcluir,
limx
p(x) = + y limx+
p(x) = +
Esto quiere decir, que dado un numero real y0 > 0 existen
numeros reales a y btales que p(a) = p(b) = y0.
Consideremos el intervalo [a, b]. Como p es continua sobre este
intervalo, debeexistir un mnimo local, es decir, existe x0 [a, b]
tal que f(x) f(x0), x [a, b].Si, p(x0) < 0 consideremos los
intervalos [a, x0] y [x0, b]. Como el polinomiocambia de signo en
los extremos de esos intervalos, p(a) > 0, p(x0) < 0 y p(b)
> 0,el teorema de Bolzano-Weierstrass asegura la existencia de
[a, x0] y [x0, b]tal que
p() = 0 y p() = 0
Luego, el polinomio p tiene por lo menos dos races reales.
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