Matdis-Relasi Fungsi

Relasi dan fungsi merupakan bahasan dasar dari matematika. Pembahasan mengenai konsep ini salah satunya dapat didekati dari operasi himpunan. Hal ini yang akan dilakukan dalam modul ini. Pembahasan ditekan pada pengenalan terminology serta ketrampilan manipulasi matematika, bukan pada sifat-sifat maupun analisisnya. Pembahasan mengenai fungsi mulai dari definisi sampai dengan operasi-operasi fungsi maupun komposisi fungsi.

5.1 Gugus Ganda KartesiusKonsep relasi dan fungsi akan dikembangkan berdasarkan perkalian silang

antara dua fungsi A dengan B. Perkalian silang ini sering dikenal dengan nama gugus ganda kartesius.

Definisi :

Gugus ganda kartesius antar dua gugus A dengan B adalah suatu himpunan yang beranggotakan pasangan berurut (ai,bj) untuk semua i dan j dengan aiA dan bjB.

Gugus ganda kartesius seperti ini disimbolkan sebagai AxB.

Oleh karena itu, jika ukuran A adalah n(A) dan ukuran adalah n(B), maka ukuran AxB adalah |AxB|=n(A)xn(B).

Dalam notasi himpunan, gugus ganda kartesius dapat dituliskan sebagai :

AxB={(ai,bj)|untuk semua pasangan i dan j dengan aiA dan bjB}

Contoh :

A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :

AxB={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

BxA={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

AxA={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Terlihat bahwa AxBBxA, dan |AxB|=3x2=6

Konsep perkalian silang antar gugus ini dapat dikembangkan untuk tiga gugus atau lebih. Sebagai contoh adalah :

BxBxB={(a,a,a), (a,a,b), (a,b,a), (a,b,b), (b,a,a), (b,a,b), (b,b,a), (b,b,b)}

5.2 Relasi

Topik 5 Relasi dan Fungsi

5-1

Relasi sering juga disebut dengan hubungan. Relasi ini menyatakan hubungan antara unsur-unsur dua buah gugus. Dua gugus ini dapat sama, dapat pula berbeda.

Definisi :

Relasi dari A ke B adalah himpunan bagian dari gugus ganda kartesius AxB.

Oleh karena itu, jika ukuran A dan B masing-masing adalah n(A) dan n(B), maka ukuran dari AxB adalah n(A)xn(B), yang berarti bahwa banyaknya relasi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 2n(A)xn(B).

Contoh :

A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :

Relasi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 23x2=64 buah. Salah satu relasinya adalah himpunan kosong. Berikut adalah diagram dari beberapa relasi dari A ke B yang dapat dibuat :

BisakaH anda sebutkan beberapa lainnya lagi?

Latihan 5.1.

2. Jika A={0,{0}} dan B={0,{},1}, tentukan

a. n(AxB)

b. AxB

c. Banyaknya relasi yang bisa dibuat dari A ke B

d. Semua relasi dari A ke B yang beranggota sebanyak 5, dan gambarkan diagramnya

3. Arsirlah daerah yang memenuhi relasi berikut dalam bidang dimensi dua

a. H1={(x,y)|x2+y2<9, dengan xreal, ybulat}

b. H2={(x,y)|x2+y29, dengan xreal, ybulat}


5-2

1

3

2a

b

1

3

2a

b

1

3

2a

b

1

3

2a

b

H={(1,a), (1,b)}

H={(1,a), (3,a)}

H={(1,a), (2,b), (3,b)}

H={(1,a), (3,b)}

c. H3={(x,y)|x2+y29, dengan xreal, yreal}

d. H4={(x,y)|4|x|+|y|, dengan xreal, yreal}

5.3 Fungsi Istilah fungsi dikenal juga dengan nama pemetaan. Fungsi dari A ke B adalah pemetaan unsur-unsur A ke unsure di B. Dalam hal ini himpunan A dan B dapat saja sama.


5-3

Definisi :

Fungsi dari A ke B adalah himpunan bagian dari AxB, atau dengan kata lain relasi dari A ke B, dengan sifat bahwa setiap anggota A dijamin mempunyai tepat satu anggota B sebagai pasangannya.

Oleh karena itu, jika ukuran A dan B masing-masing adalah n(A) dan n(B), maka banyaknya fungsi dari A ke B yang dapat dibuat adalah [n(B)]n(A). Kenapa?

Contoh :

A={1,2,3} dan B={a,b}, maka :

Banyaknya fungsi yang dapat dibuat dari A ke B adalah 23=8 buah. Berikut adalah diagram dari beberapa fungsi dari A ke B yang dapat dibuat :

Bisakah anda sebutkan beberapa lainnya lagi?

Dalam hal ini :

Himpunan A disebut Domain atau daerah asal fungsi f, disimbolkan dengan Df

Himpunan B disebut Daerah kawan atau Kodomain fungsi f

Sedangkan himpunan yang berisi semua peta dari unsur-unsur A disebut Range atau wilayah hasil, Wf.

Contoh :

Jika pasangan anggota fungsi tersebut adalah bilangan, maka anggota fungsi ini dapat digambarkan dalam suatu bidang X-Y sebagai himpunan titik-titik (koordinat). Sebagai contoh adalah :

a. f={(1,2), (2,4), (3,4)}


5-4

1

3

2a

b

f={(1,a), (2,b), (3,b)}

f={(1,a), (2,a), (3,a)}

f={(1,a), (2,b), (3,a)}

f={(1,a), (2,a)(3,b)}

1

3

2a

b

1

3

2a

b

1

3

2a

b

Df={1, 2, 3}Range={a}Kodomain={a,b}

1

3

2a

b

1 2 3

2

4

b. f(x)=2x+2 dengan x bilangan real

Berdasarkan grafik dalam bidan X-Y, maka grafik tersebut merupakan grafik fungsi jika garis vertical hanya memotong di satu titik. Sedangkan garis horizontal boleh memotong di lebih dari satu titik.

Contoh :

Grafik berikut adalah bukan grafik fungsi

Proyeksi grafik fungsi ke sumbu X merupakan daerah asal, sedangkan proyeksi ke sumbu Y merupakan daerah hasil.

Contoh :

5.4 Beberapa Fungsi Khusus


5-5

1

3

22

4

2

-1

Daerah asal : {x|-1x6, x bilangan real}Daerah hasil : {y|0y4, y bilangan real}

4

-1 6

Beberapa fungsi khusus yang dikenal di dalam matematika ini dikaitkan dengan sifat anggota dalam kodomain sebagai bayangan dari anggota dalam domain. Dalam hal ini ada tiga fungsi khusus yang dikenal, yaitu :

1. Fungsi Injektif

2. Fungsi Surjektif

3. Fungsi Bijektif

Jika fungsi f memetakan unsur-unsur A ke B (A sebagai daerah fungsi atau Domain, sedangkan B sebagai kodomain atau daerah kawan), maka :

a. f disebut fungsi Injektif jika setiap anggota B paling banyak sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.

Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi Injektif adalah : |A||B|. Selain itu kita bisa mengatakan bahwa banyaknya fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba hitung).

b. f disebut fungsi Surjektif jika setiap anggota B paling sedikit sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.

Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi surjektif adalah : |A||B|. Selain itu kita bisa mengatakan bahwa banyaknya fungsi surjektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba hitung).

c. f disebut fungsi Bijektif jika setiap anggota B tepat sekali sebagai bayangan dari unsur dalam A.

Oleh karena itu syarat supaya dapat dibuat fungsi Bijektif adalah : |A|=|B|. Selain itu kita bisa mengatakan bahwa banyaknya fungsi injektif yang dapat dibuat dari A ke B adalah sebanyak : ……. (coba hitung).

Contoh :

Dari gambar berikut, tentukan mana yang injektif, surjektif, maupun bijektif ?

a. b. c. d.

e. f. g. h.

5.5 Jenis-Jenis Fungsi Di dalam matematika dikenal beberapa jenis fungsi. Di anataranya adalah :

a. Fungsi konstan


5-6

1

3

2a

b

1

3

2a

b

1

3

2a

b

c

1

3

2a

b

dc

1

3

2a

b

c

1

3

2a

b

c

1

3

2a

b

dc c

1

3

2a

b

d

Fungsi ini bernilai tetap (konstan) untuk nilai x berapa saja dalam daerahnya.

Bentuk :

f(x)=k, dengan k adalah suatu konstanta

Contoh

f(x)=4, untuk x bilangan real

grafik fungsi ini adalah :

b. Fungsi identitas

Fungsi ini bernilai sama dengan inputnya.

Bentuk :

f(x)=x, dengan kDf

Contoh

f(x)=x, untuk x bilangan real

grafik fungsi ini adalah :

c. Fungsi polinomial

Fungsi ini merupakan penjumlahan dari x pangkat tertentu dengan koefisien tertentu pula. Orde fungsi polynomial ini adalah pangkat tertinggi dari x.

Bentuk :

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, dalam hal ini a0, a1, …, an adalah koefisiennya.

Jika n=1, disebut fungsi linear

Jika n=2 disebut fungsi kuadrat

Contoh

f(x)=x2+x+5 (adalah fungsi kuadrat)

d. Fungsi Rasional

Fungsi ini merupakan rasio dari dua fungsi polinom. Daerah fungsi ini adalah adalah semua bilangan real yang tidak menyebabkan pembaginya nol.

Bentuk :


5-7

42

y=x

dalam hal ini Df={x|x-30, x adalah bilangan

real}

e. Fungsi Akar

Nilai fungsi ini adalah tidak pernah negatif. Nilainya selalu nol atau positif.

Bentuk :

dalam hal ini Df={x|g(x)0, x adalah bilangan real}

Contoh

1.

Maka Df={x|(x-1)(x+2)0, x adalah bilangan real}

Karena (x-1)(x+2)0 x-2 atau x1, maka boleh ditulis juga :

Df={x| x-2 atau x1, x adalah bilangan real}

2. , tentukan Df.

f. Fungsi Harga Mutlak

Seperti fungsi akar, fungsi harga mutlak juga selalu bernilai nol atau positif, tidak pernah negatif.

Bentuk :

Contoh

1. f(x)=|x|

jika x=-3, maka f(x)=|-3|=3

jika x=3, maka f(x)=|3|=3

Gambar fungsi :

2. f(x)=|x-2|, gambarkan grafiknya.

3. f(x)=|x2-4|, gambarkan grafiknya.

g. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar


5-8

Untuk semua g(x)0 Untuk semua g(x)<0

)(

)(|)(|)(

xg

xgxgxf

Operator bilangan bulat terbesar disimbolkan dengan “ ”, yang berarti bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan bilangan yang ada dalam tanda tersebut. Sebagai contoh adalah :

1. 3.8=3 5. -3.8=-4

2. 3.1=3 6. -3.1=-4

3. 3.0=3 7. -3.0=-3

4. 4.0=4 8. -4.0=-4

Fungsi bilangan bulat terbesar menggunakan symbol di atas.

Bentuk :

f(x)= g(x)

Contoh

f(x)= 2x-5

Jika x=2.1, maka f(x)= 4.2-5=-0.8=-1

Jika x=4.3, maka f(x)= 8.6-5=3.6=3

h. Fungsi Bilangan Bulat Terkecil

Operator bilangan bulat terkecil disimbolkan dengan “ ”, yang berarti bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan bilangan yang ada dalam tanda tersebut. Sebagai contoh adalah :

1. 3.8=4 5. -3.8=-3

2. 3.1=4 6. -3.1=-3

3. 3.0=3 7. -3.0=-3

4. 4.0=4 8. -4.0=-4

Fungsi bilangan bulat terkecil menggunakan symbol di atas.

Bentuk :

f(x)= g(x)

Contoh

f(x)= 2x-5

Jika x=2.1, maka f(x)= 4.2-5=-0.8=-1

Jika x=4.3, maka f(x)= 8.6-5=3.6=4

Latihan 5.2.

1. Tentukan daerah fungsi untuk fungsi-fungsi berikut :

a)

b)


5-9

c)

2. Tentukan nilai-nilai berikut :

a. |-3.5| e. -5.8 i. 6.2

b. |3.9| f. 0.6 j. 0.9

c. |0| g. -0.9 k. 0.6

d. |-3.9| h. -10.8 l. -5.7

3. Gambarkan fungsi berikut :

a. f(x)=|2x-5|

b. f(x)=|x+2|+|x+1|

c. f(x)= x

d. f(x)= -x

e. f(x)= |x|

f. f(x)= |x|

g. f(x)= x+4

h. f(x)= x

i. f(x)= -x

4. Untuk A={1,2,3,4,5} serta B={1,2,3,4,5,6}, ada berapa fungsi injektif dari A ke B yang memenuhi :

a. f(1)=3

b. f(1)=3 dan f(2)=6

5.6 Operasi Terhadap Fungsi Pada bagian ini akan dibahas enam operasi fungsi, yaitu :

1. penjumlahan fungsi : f(x)+g(x)=(f+g)(x)

2. pengurangan fungsi : f(x)-g(x)=(f-g)(x)

3. perkalian fungsi : f(x).g(x)=(f.g)(x)

4. pembagian fungsi : f(x)/g(x)=(f/g)(x)

5. kebalikan fungsi : f-1(x)

6. komposisi fungsi :

Penjumlahan, Penguranga, Perkalian dan Pembagian Fungsi

Operasi-operasi ini hanya akan dapat dilakukan pada daerah yang sama.

Contoh :


5-10

1. Misalkan f(x)=x-2 dan g(x)=|x+1|, maka :

a. (f+g)(x)=x-2+|x+1|

misal x=5, maka : f(5)+g(5)=(f+g)(5)=5-2+|5+1|=3+6=9

b. (f-g)(x)=x-2-|x+1|

misal x=5, maka : f(5)-g(5)=(f-g)(5)=5-2-|5+1|=3-6=-3

c. (f.g)(x)=(x-2).|x+1|

misal x=5, maka : f(5).g(5)=(f.g)(5)=(5-2).|5+1|=3 . 6=18

d. (f/g)(x)=(x-2)/|x+1|

misal x=5, maka : f(5)/g(5)=(f/g)(5)=(5-2)/|5+1|=3/6=1/2

2. Lakukan hal yang sama seperti di atas untuk : f(x)=x-1 dan g(x)=|x+1|, untuk -3x3

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi dikenal juga dengan fungsi majemuk. Dalam hal ini x sebagai input suatu fungsi tertentu. Hasil dari fungsi dengan input x ini sebagai masukan bagi fungsi berikutnya, dan hasil dari fungsi ini sebagai input bagi fungsi berikutnya lagi, dan begitu seterusnya. Simbol untuk komposisi fungsi adalah “ ”.

Bentuk :

(f g)(x)=f[g(x)]

artinya : x dimasukkan sebagai input untuk g, dan hasilnya sebagai input bagi f.

Contoh :

Misalkan f(x)=x-5 dan g(x)=|x+1|, maka :

Jika x=2, maka : (f g)(2)=f[g(4)]=f(3)=-2 juga (g f)(2)=g[f(2)]=g(-3)=2

Kebalikan Fungsi

Istilah kebalikan fungsi sering dikenal juga dengan nama invers suatu fungsi. Kebalikan fungsi f disimbokan dengan f-1 dan dibaca sebagai “kebalikan fungsi f” atau “invers dari fungsi f” atau “f invers”. Suatu fungsi f akan mempunyai kebalikan jika dan hanya jika f adalah bijektif (atau korespondensi satu-satu).

Definisi :

Jika f adalah fungsi bijektif dengan domain A dan kodomain B, maka f -1 adalah kebalikan dari f. f-1 ini memetakan unsur dari B ke A, dengan sifat bahwa : f(a)=b jika dan hanya jika f-1(b)=a, dengan aA dan bB.

Contoh :

1. perhatikan Diagram berikut :


5-11

1

3

2a

b

c

Diagram tersebut merupakan diagram untuk fungsi bijektif, oleh karena itu mempunyai kebalikan fungsi. Dalam hal ini :

f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b. Juga bisa dikatakan f-1(a)=1, f-1(b)=3, f-1(c)=2

2. Jika f(x)=2x+10, maka :

y=2x+10

2x=y-10

x=(y-10)/2

maka dapat dirumuskan bahwa f-1(x)=(x-10)/2

3. Tentukan kebalikan fungsi berikut :


5-12

Latihan 5.3.

1. Jika :

dengan Df={x|x bilangan real, x4} serta

dengan Df={x|x bilangan real, -5x5}

Hitung yang berikut, serta tentukan nilainya untuk x=4 :

a. f(x)+g(x)

b. f(x)-g(x)

c. f(x).g(x)

d. f(x)/g(x)

e. f[g(x)]

2. Gambarkan fungsi berikut :

3. Perhatikan tabel berikut :

x f(x) g(x) f2(x) f(x2) f[g(x)] g[f(x)] f-1(x) g-1(x) x2(f.g)(x)

0 4 2

1 3 5

2 1 4

3 5 2

4 2 1

5 0 3

4. Jika f(x) dan g(x) adalah sesuai dengan fungsi berikut, tentukan f[g(x)]

Maka tentukan f[g(x)].

5. Jika f(x)=2x+2 dan f[g(x)]=6x-4, tentukan g(x).

6. Jika f(x)=2x+2 dan g[f(x)]=6x-4, tentukan f(x).

7. Jika :


5-13

x<-1

-1x4

x>4

x

x

xf

21

2

1

)(

2

x<2

2x<5

x5

2

2

1

2

)(

x

x

x

xf danx3

0x<5

x

xxg

1)(

x<-1

-1x4

x>4

x

x

xf

21

2

1

)(

2

dan g(x)=|x-4|

Tentukan : (f+g)(x) dan juga (f/g)(x).

8. Tentukan f--1(x) untuk fungsi-fungsi berikut :

a. f(x)=5x+4, juga hitung f--1(9).

b. , juga hitung f--1(0)

c. f(x)=|x2+3x+1|, juga hitung f--1(1)

d. , juga hitung f--1(4)


5-14

5.7 Fungsi Pertumbuhan Keunggulan komputer disbanding manusia adalah kecepatan komputasinya.

Problem-problem yang terdefinisi dengan jelas dalam bentuk algoritmik dapat diselesaikan dengan baik oleh komputer. Namun demikian ada kasus-kasus tertentu dimana komputer memerlukan waktu bertahun-tahun untuk menyelesaikannya, bahkan dengan komputer tercepat yang ada sekarangpun. Fenomena ini akan muncul pada problem-problem, dimana banyaknya komputasi yang diperlukan berkaitan dengan ukuran input yang diberikan. Untuk ukuran input yang kecil, masalah ini tidak akan muncul. Masalah baru muncul jika ukuran input sangat besar. Oleh Karena itu, seorang computer scientist tentu saja dalam memandang algoritma tidak hanya terpaku pada benar atau salah algoritma tersebut, tetapi juga berapa operasi yang akan dilakukannya dikaitkan dengan ukuran input yang diberikan. Materi ini akan memberi bahasan singkat mengenai satu ternminologi yang sering dipakai untuk menyatakan perilaku algoritma untuk ukuran input yang besar.

Definisi :

Misalkan f dan g adalah fungsi yang memetakan dari bilangan bulat positif ke bilangan real, Z+R. Jika dijamin ada konstanta mR dan kZ+, sehingga


5-15

Documents

Matdis-Relasi Fungsi