mate 3 eso bruño

Matemticas

Jos Mara Arias CabezasIldefonso Maza Sez

SO

LU

CIO

NA

RIO

EDUCACINSECUNDARIAOBLIGATORIA3

Mates3eso_SOL_00 16/03/11 08:53 Pgina 1

Este libro corresponde al tercer curso de Educacin Secundaria Obligatoria,materia de Matemticas, y forma parte de los materiales curriculares del pro-yecto del Grupo Editorial Bruo,S. L.

del texto: Jos Mara Arias Cabezas; Ildefonso Maza Sez de esta edicin: Grupo Editorial Bruo, S. L., 2011

Juan Ignacio Luca de Tena, 1528027 Madrid

Impreso enISBN: 978-84-216-6759-0Depsito legal: M-00.000-2011

Printed in Spain

Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de estaobra solo puede ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista en laley. Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos: www.cedro.org) si necesitafotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra.

Direccin del proyecto editorialAntonio Daz

Coordinacin del proyecto editorialEstrella Marinas

Coordinacin de edicionesPaz Utrera

Coordinacin de preimpresinAlberto Garca

Coordinacin de diseo y diseo de cubiertasCristbal Gutirrez


NDICE

Recursos complementariosdel Proyecto 4

Programacin 4Proyecto Curricular 4Solucionario 4Gestor de Evaluaciones 4Plantillas de Valoracin del Desarrollo de las Competencias Bsicas 5Actividades Interactivas 5Libros Electrnicos 6

Solucionario bloque I.Aritmtica 9

1. Nmeros racionales e irracionales 102. Potencias y races 223. Sucesiones y progresiones 304. Proporcionalidad 42Evaluacin de diagnstico 51

Solucionario bloque II.lgebra 53

5. Operaciones con polinomios 546. Ecuaciones de 1.er y 2.o grado 627. Sistemas de ecuaciones lineales 76Evaluacin de diagnstico 89

Solucionario bloque III.Funciones y grficas 91

8. Caractersticas globales de las funciones 929. Rectas e hiprbolas 108Evaluacin de diagnstico 135

Solucionario bloque IV.Geometra 139

10. Teoremas de Thales y Pitgoras 14011. Movimientos 15212. reas y volmenes 163Evaluacin de diagnstico 177

Solucionario bloque V.Estadstica y probabilidad 181

13. Estadstica 18214. Probabilidad 197Evaluacin de diagnstico 208


RECURSOS COMPLEMENTARIOS DEL PROYECTO4

Programacin

Archivo informtico editable (documento Word) que contiene la Programacin de aula.

Proyecto curricular

Archivo informtico editable (documento Word) que contiene:

I. La Educacin Secundaria Obligatoria (ESO) en la Ley Orgnica de Educacin (LOE).

II. Los alumnos y alumnas de ESO: Marco general psicoevolutivo.

III. Principios metodolgicos del Proyecto Bruo.

IV. Matemticas.1. Perfil de salida curricular.2. Modelo de actos intelectuales.3. Principios metodolgicos y didcticos.4. Clculo mental. El carn de calculista.5. Organizacin de una clase.6. Organizacin de una unidad didctica.7. Matemticas con informtica.8. Organizacin de cada libro de la ESO.9. Atencin a la diversidad del alumnado.10. Educacin en valores y para la convivencia (contenidos transversales).11. Concepto de evaluacin.

11.1. Caractersticas de la evaluacin.11.2. Instrumentos o pruebas.11.3. Caractersticas de las pruebas.11.4. Qu evaluar?11.5. Cmo evaluar y criterios de calificacin.11.6. Cundo evaluar?11.7. Evaluacin de diagnstico.

12. Competencias bsicas.12.1. Competencias bsicas.

13. Objetivos generales de la etapa.14. Contenidos de la etapa.15. Criterios de evaluacin de la etapa.

Solucionario

Archivo informtico (formato pdf) que contiene el solucionario de todas las actividades del libro.

Gestor de Evaluaciones

El Gestor de Evaluaciones consta de una base de datos de actividades y un programa informtico que permite gene-rar aleatoriamente pruebas de evaluacin de los contenidos de las unidades que se deseen evaluar.

Las actividades estn agrupadas en ejercicios y problemas y clasificadas segn las unidades didcticas del libro delalumno.

Para obtener una prueba de evaluacin, el docente debe elegir las unidades didcticas que desea evaluar y el nmerode actividades que quiere incluir en la prueba. El programa genera automticamente siempre una prueba de evalua-cin diferente, as como el solucionario de las actividades incluidas en la misma.

El programa permite tambin repasar la base de datos de actividades, con la posibilidad de marcar algunas para quese incluyan necesariamente en la prueba generada o descartar otras.

Igualmente, es posible editar el enunciado de las actividades cambiando algunos de sus datos, as como incluir en labase de datos nuevas actividades. Obviamente, el solucionario no recoger estas modificaciones o ampliaciones.

RECURSOS COMPLEMENTARIOSDEL PROYECTO


Plantillas de Valoracin del Desarrollode las Competencias Bsicas

Las plantillas de Valoracin de competencias bsicas ayudan al profesorado a realizar una valoracin continuade las dimensiones de las competencias bsicas que los alumnos van adquiriendo a medida que trabajan con los dis-tintos materiales didcticos que forman parte del proyecto.

Las plantillas pueden utilizarse en soporte informtico o bien impresas.

Actividades Interactivas

TALLER DIGITAL

El Taller Digital es un conjunto de 14 40 = 560 actividades relativas a los contenidos curriculares de la materia yorganizadas segn las unidades didcticas del libro del alumno con 10 preguntas por cada una de las 4 secciones decada unidad didctica, es decir, 40 por unidad didctica.

Las actividades que componen el Taller tienen siempre estas caractersticas:

Son de resolucin interactiva por medio del teclado.

Son autocorregibles.

Ofrecen la opcin de guardarse o imprimirse cuando se han realizado correctamente.

Son del siguiente tipo:

Actividades propuestas

Son actividades destinadas a consoli-dar los conocimientos y procedimientostrabajados.

El Taller Digital puede utilizarse como una batera de actividades independientes o bien como una secuenciaordenada de actividades que permite la navegacin entre las unidades didcticas y las diferentes actividades. Escompatible con entornos SCORM.

ACTIVIDADES DE AUTOEVALUACIN

Las actividades interactivas de autoevaluacin estn organizadas segn las unidades didcticas del libro del alumno.

Consisten en una prueba de comprobacin de los contenidos aprendidos en la unidad didctica que consta de 8 pre-guntas de opcin mltiple en las que se avanza gradualmente.

En cada pregunta se puede comprobar el resultado, repetirla cuantas veces se desee y avanzar o retroceder en lasecuencia de actividades. Al final del proceso se muestra las respuestas correctas y las acertadas. Son compatiblescon entornos SCORM.

5RECURSOS COMPLEMENTARIOS DEL PROYECTO


Libros Electrnicos

El libro electrnico desarrolla los contenidos curriculares de la materia empleando variados recursos u objetos digi-tales, tanto dinmicos como interactivos, capaces de provocar una enseanza y aprendizaje ms motivadores,dinmicos y significativos.

El libro electrnico se visualiza en un entorno que incluye herramientas de navegacin y de utilidades para persona-lizar la publicacin (sealar, marcar, aadir comentarios u archivos, etc.).

En 3 de ESO, el libro electrnico est orientado a su utilizacin en Pizarra Digital Interactiva (PDI). Adems de losrecursos didcticos digitales, incluye accesos a:

Las programaciones de curso y de aula.

Las soluciones de todas las actividades propuestas.

Las soluciones de todas las actividades interactivas.

En los libros electrnicos el proceso de enseanza-aprendizaje se apoya y consolida con estos recursos didcticosdigitales:

Animaciones

Construccin del apartado Organiza tus ideas. Es un mapa conceptual. Se realiza el repaso de los conte-nidos trabajados en la unidad. De este modo el profesorado, en la Pizarra Digital Interactiva (PDI), puede cons-truir el esquema desde el principio hasta el fin, obteniendo as una visin global de la misma. Con el botn secontrola la secuenciacin de las distintas pantallas para que el docente pueda incluir sus comentarios durantela explicacin en la Pizarra Digital Interactiva (PDI).

Desarrollo de contenidos tericos. Se pretende repasar un contenido trabajado en la unidad. Con el botn quecontrola la secuenciacin de las distintas pantallas el profesorado puede incluir sus comentarios durante la expli-cacin en la Pizarra Digital Interactiva (PDI).



7

Modelos de ejercicios resueltos. Este elemento se utiliza para explicar con detalle todos los aspectos rela-cionados con un determinado ejercicio resuelto del libro del alumno. En cada pantalla generalmente se realiza lalocucin del procedimiento seguido en la resolucin.

Applets de Wiris y GeoGebra y hojas de clculo de Excel o Calc

Los applets estn diseados de forma que el alumnado dispone de unas herramientas virtuales que le permitenresolver cada tipo de ejercicio o problema de Matemticas.

Tutoriales de cada unidad de Wiris, GeoGebra, Excel o Calc

Se da una herramienta virtual en la que se explica de forma concreta el funcionamiento del programa correspon-diente aplicado a los contenidos de la unidad.

RECURSOS COMPLEMENTARIOS DEL PROYECTO


Tutoriales generales de Wiris, GeoGebra, Excel y Calc

Son herramientas virtuales, una para cada programa, en la que se da una visin completa y detallada del funcio-namiento de cada uno de ellos.

Enlaces a pginas web: Son vnculos a pginas de Internet que pueden servir de complemento a los contenidostratados.

Galera de imgenes: Es una seleccin de imgenes relativas a los contenidos desarrollados en las unidades didc-ticas, a veces con apoyo de texto explicativo, que pueden ampliarse para una visualizacin ms detallada.

Glosario de trminos: Breve diccionario con los trminos fundamentales del vocabulario propio de la materia.

Actividades interactivas: El uso de las TIC con fines didcticos se potencia a travs de las actividades interactivas.Para ello, el libro electrnico incorpora actividades de dos tipos: de desarrollo de unidad y de autoevaluacin.

Las actividades interactivas de desarrollo de las unidades didcticas corresponden al Taller Digital.

Las actividades interactivas de autoevaluacin o comprobacin de lo aprendido consisten en preguntas deopcin mltiple.



SOLUCIONARIO BLOQUE I.ARITMTICA

Mates3eso_SOL_Bloque1 18/03/11 13:52 Pgina 9

10 SOLUCIONARIO

1. FRACCIONES

PIENSA Y CALCULA

Escribe la fraccin que corresponde a cada una de laspartes coloreadas de verde en las figuras del margen.Representan la misma cantidad?

CARN CALCULISTA

Calcula con dos decimales: 47,92 : 5,6C = 8,55; R = 0,04

1. Calcula mentalmente el M.C.D. de:a) 8 y 12 b) 6 y 9 c) 10 y 15 d) 8 y 24

a) 4 b) 3 c) 5 d) 8

2. Halla el M.C.D. de:a) 54 y 90 b) 80 y 120c) 270 y 630 d) 225 y 360

a) 18 b) 40 c) 90 d) 45

3. Calcula mentalmente el m.c.m. de:a) 4 y 6 b) 5 y 10 c) 8 y 12 d) 15 y 20

a) 12 b) 10 c) 24 d) 60

4. Halla el m.c.m. de:a) 12 y 30 b) 60 y 90 c) 140 y 350 d) 150 y 225

a) 60 b) 180 c) 700 d) 450

5. De las siguientes fracciones di cules son equiva-lentes:

= =

=

6. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

= , = , = , =

> > >

7. Halla la fraccin irreducible y represntala en la recta:

a) b) c) d)

a) =

b) =

c) =

d) =

8. Dos barras de acero que miden, respectivamente,105 cm y 135 cm de longitud deben ser cortadas entrozos iguales. Cul ser la mayor longitud que pue-den tener dichos trozos?

M.C.D.(105,135) = 15La longitud ser de 15 cm

2. OPERACIONES CON FRACCIONES

PIENSA Y CALCULA

Calcula mentalmente las siguientes operaciones:

a) + b) c) (10)

a) 3/4 b) 1/4 c) 6

CARN CALCULISTA

Calcula: + : =

9. Calcula mentalmente:

a) + 2 b) 3 c) 4

a) 9/4 b) 5/2 c) 10/3

10. Realiza las siguientes operaciones:

a) + b) +

c) + d) +

a) 19/12 b) 23/45 c) 7/24 d) 5/14

58

712

14

370

635

47

3 2 1 0 1 2 3

15

3 2 1 0 1 2 3

43

3 2 1 0 1 2 3

23

3 2 1 0 1 2 3

34

116

47

56

12

34

23

56

74

49

715

25

3224

812

1216

14

12

56

12

14

12

14

35

840

15

3224

43

812

23

1216

34

840

52

65

34

23

52

15060

23

4060

34

4560

65

7260

52

23

34

65

828

47

26

13

1030

26

828

13

47

1030

1. Nmeros racionales e irracionales


SOLUCIONARIO

11. Multiplica las siguientes fracciones:

a) b) 25 c) 12

a) 28/15 b) 35/3 c) 3/2

12. Haz las siguientes divisiones:

a) : b) : 48 c) :

a) 32/15 b) 1/10 c) 7/3

13. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) + : b) + :

c) ( ) + d) ( 1) : +a) 17/2 b) 3/8 c) 11/12 d) 7/4

14. Un camin puede cargar 12 000 kg y lleva 3/5 de lacarga. Cuntos kilos lleva?

12 000 = 7 200 kg

15. De un depsito de 1 500 L se sacan 1/6 del depsitoy 750 L ms. Qu fraccin queda?

Se sacan: 1 500 + 750 = 1 000 L

Quedan: 1 500 1 000 = 500 LFraccin que queda: 500/1 500 = 1/3

3. PASO ENTRE FRACCIONES Y DECIMALESPIENSA Y CALCULA

Pasa mentalmente las fracciones a decimales y los de-cimales a fracciones:a) 3 : 2 b) 7 : 4 c) 1,5 d) 0,

3

a) 1,5 b) 1,75 c) d)

CARN CALCULISTA

Calcula con dos decimales: 6 783,5 : 8,34C = 813,36; R = 0,0776

16. Calcula mentalmente la expresin decimal de las si-guientes fracciones:

a) b) c) d)

a) 0,25 b) 1,5 c) 0,6 d) 0,4

17. Calcula mentalmente la fraccin de los siguientesnmeros decimales:

a) 0,75 b) 1,6 c) 0,

3 d) 2,5

a) b) c) d)

18. Halla la expresin decimal de las siguientes frac-ciones y clasifica el cociente obtenido:

a) b) c) d)

a) 2,6 decimal peridico puro.

b) 4,46 decimal peridico mixto.

c) 7 entero.d) 1,95 decimal exacto.

19. Halla el lado de un tringulo equiltero cuyo per-metro mide 26 cm. Cmo es el decimal obtenido?

Lado: = 8,6

El decimal que se obtiene es peridico puro.

20. Clasifica en fraccin ordinaria o decimal las siguien-tes fracciones:

a) b) c) d)

a) Decimal. b) Decimal.c) Ordinaria. d) Ordinaria.

21. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:a) 3,75 b) 2,8

3 c) 2,

36

a) b) c)

22. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:

a) 4,285714 b) 2,125 c) 2,6

81

a) b) c)

23. Expresa en forma de fraccin y calcula:

a) 2,4 + 1,5 0,2 b) 1,3 + 3,1

6

a) + = = 2,7

b) + = = 4,5

4. NMEROS REALES

PIENSA Y CALCULA

Dados los catetos de los siguientes tringulos rectngu-los, calcula la hipotenusa. Si el resultado es un nmeroentero, calcula mentalmente la raz; si no lo es, djaloen forma de raz cuadrada.a) b = 3 m, c = 4 m b) b = 1 m, c = 1 m

a) 5 m b) m

CARN CALCULISTA

Calcula: ( ) =24. Clasifica los siguientes nmeros en racionales o irra-

cionales:2/3 7 1/2

2/3 Racional. Irracional. 7 Racional. Irracional.

1/2 Racional. Irracional.573

79

125

715

16

34

3 57

5572

56

74

56

2

5922

178

307

2611

176

154

263

52

13

53

34

16

43

196

92

125

32

15

2710

75

1320

49

56

83

6715

284

3920

215

114

23

13

56

54

25

45

25

54

23

112

512

110

415

83

54

245

718

16

25

23

32

14

13

32

35

11


25. Representa grficamente los siguientes nmerosirracionales:

a) b)

26. Redondea a dos cifras decimales y calcula:a) 3,456 + 0,342 2,108b) 15,362 3,236c) 45, 875 : 3,236d) 2,458 + 42,253 : 8,417

a) 3,46 + 0,34 2,11 = 1,69b) 15,36 3,24 = 49,7664c) 45,88 : 3,24 = 14,16d) 2,46 + 42,25 : 8,42 = 7,48

27. Calcula el error absoluto si se redondean los siguien-tes nmeros a dos cifras decimales:a) 3,1415 b) 0, 0278 c) 1, 2068 d) 5,3975

a) |3,1415 3,14| = 0,0015b) |0,0278 0,03| = 0,0022c) |1,2068 1,21| = 0,0032d) |5,3975 5,40| = 0,0025

28. Aproxima en cada caso al orden de la unidad indicada:a) 4,3248 a las centsimas.b) 58,15 a las unidades.c) 0,00482 a las milsimas.d) 37,4932 a las dcimas

a) Redondeo: 4,32Truncamiento: 4,32

b) Redondeo: 58Truncamiento: 58

c) Redondeo: 0,005Truncamiento: 0,004

d) Redondeo: 37,5Truncamiento: 37,4

29. Calcula el error absoluto y el error relativo que se co-meten al aproximar la anchura de una estantera en3,5 m si la anchura es de 345 cm.

Error absoluto = |345 350| = 5

Error relativo = = 0,014

30. Jos y Sonia han realizado en el transcurso de unaactividad las siguientes aproximaciones: Jos apro-xim por 19 m una distancia real de 20 m y Sonia, 48 men una distancia real de 50 m. Cul de los dos ha co-metido ms error?

Jose:Error absoluto = |20 19| = 1


Sonia:Error absoluto = |50 48| = 2


Sonia comete menos error.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. FRACCIONES

31. Calcula mentalmente el M.C.D. de:a) 12 y 16 b) 6 y 15 c) 9 y 45 d) 16 y 24a) 4 b) 3 c) 9 d) 8

32. Halla el M.C.D. de:a) 120 y 150 b) 140 y 350c) 378 y 528 d) 720 y 1 470

a) 30 b) 70 c) 6 d) 30

33. Calcula mentalmente el m.c.m. de:a) 5 y 6 b) 4 y 6 c) 4 y 12 d) 6 y 8a) 30 b) 12 c) 12 d) 24

34. Halla el m.c.m. de:a) 70 y 84 b) 168 y 252c) 240 y 300 d) 80 y 120

a) 420 b) 504 c) 1 200 d) 240

35. Indica cules de las siguientes fracciones son equi-valentes:

= =

=

36. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:

= , = , = , =

> > >

37. Halla la fraccin irreducible y representa en la recta:

a) b) c) d)

a) =

3 2 1 0 1 2 3

35

1830

35

1830

4260

1236

159

5 6

35

56

32

74

10560

74

9060

32

5060

56

3660

35

74

32

56

35

820

1014

3549

25

1025

820

25

1025

1014

3549

250

120

5345

0 021

1

1

5

5

0 021 65

6

SOLUCIONARIO12


13

b) =

c) =

d) =

38. Una bombilla roja se enciende cada 120 segundos, yotra bombilla azul, cada 45 segundos. Si se encien-den a la vez y comenzamos a contar, cuntas vecescoincidirn encendidas en una hora?

m.c.m. (45,120) = 360360 segundos = 360 : 60 = 6 minutos.En una hora coincidirn: 60 : 6 = 10 veces.

39. De una determinada cantidad de dinero, Manuel harecibido 2/5 y Sofa 5/8. Cul de ellos ha recibidoms cantidad de dinero?

= , =

> Sofa ha recibido ms dinero que Manuel.

2. OPERACIONES CON FRACCIONES


a) 3 b) + 2

c) + d)

a) 5/2 b) 9/4c) 7/10 d) 5/9


a) + + b) +

a) 11/5 b) 5/9


a) + b) +

c) + d) +

a) 25/12 b) 37/60c) 14/15 d) 11/40

43. Calcula:

a) 6 + b) 2 +

a) 10/3 b) 9/8

44. Multiplica las siguientes fracciones:

a) b) c) 35 d) 4

a) 6/5 b) 25/49 c) 28/3 d) 5/3

45. Haz las siguientes divisiones:

a) : b) : c) : 28 d) 24 :

a) 5/6 b) 8/5 c) 1/30 d) 15/7

46. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) + : b) + :

c) + ( ) d) ( 1) :a) 26/15 b) 7/30 c) 17/12 d) 20/21

47. Una finca de 405 ha tiene sembrados 1/3 de trigo y 2/5de cebada. Cuntas hectreas se han dedicado acada cereal?

1/3 405 = 135 ha de trigo.2/5 405 = 162 ha de cebada.

48. Un dependiente ha vendido 2/7 partes de una pieza delona para toldos, y otro dependiente ha vendido 1/5 delresto. Qu fraccin de la pieza se ha vendido y qufraccin queda sin vender?

Se ha vendido: + =

Queda sin vender:

3. PASO ENTRE FRACCIONES Y DECIMALES

49. Calcula mentalmente la expresin decimal de las si-guientes fracciones:

a) b) c) d)

a) 0,75 b) 2,5 c) 0,3 d) 0,8

50. Calcula mentalmente la fraccin de los siguientesnmeros decimales:a) 0,25 b) 1,5 c) 0,

6 d) 0,4

a) b) c) d)

51. Halla la expresin decimal de las siguientes frac-ciones y clasifica el cociente obtenido:

a) b) c) d)

a) 2,13 decimal peridico mixto.

b) 4 entero.

3 2 1 0 1 2 3

3215

123

174

2413

14

32

23

25

3 2 1 0 1 2 3

5 3

3 2 1 0 1 2 3

710

4260

710

34

52

13

45

47

27

15

57

37

53

34

12

56

59

227

73

25

103

14

58

25

310

712

54

49

815

1225

310

1415

565

38

165

47

2528

415

512

95

1315

43

38

56

35

25

58

2540

58

1640

25

53

159

13

1236

25

310

23

19

12

14

75

15

89

29

59

760

815

38

715

59

445

54

23

32

56

712

45

SOLUCIONARIO

13


c) 4,25 decimal exacto.d) 1,846153 decimal peridico puro.

52. Clasifica en fraccin ordinaria o decimal las si-guientes fracciones:

a) b) c) d)

a) Ordinaria. b) Ordinaria.c) Decimal. d) Ordinaria.


81 c) 1,2

a) b) c)

54. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:a) 1,3571428 b) 2,8 c) 5,

36

a) b) c)

55. Expresa en forma de fraccin y calcula:a) 3,5 + 1,25 0,4 b) 1,

6 + 1,

8

a) + = 4 b) + = = 3,5

4. NMEROS REALES

56. Clasifica como racionales o irracionales los si-guientes nmeros:

4/5 6 1/7

4/5 Racional. Irracional.6 Racional.

= 3 Racional.

1/7 Racional.

Irracional.

57. Representa grficamente los siguientes nmerosirracionales:

a) b)

58. Calcula el error absoluto si se redondean a dos ci-fras decimales los siguientes nmeros:a) 6,4135b) 0,0785c) 4,9084d) 7,0985

a) |6,4135 6,41| = 0,0035b) |0,0785 0,08| = 0,0015c) |4,9084 4,91| = 0,0016d) |7,0985 7,1| = 0,0015

59. Redondea a dos cifras decimales y calcula:a) 23,567 + 0,413 12,085b) 0,624 1,368c) 5,575 : 8,361d) 28,508 + 12,534 : 4,197

a) 23,57 + 0,41 12,09 = 11,89b) 0,62 1,37 = 0,8494c) 5,58 : 8,36 = 0,67d) 28,51 + 12,53 : 4,20 = 31,49

60. Calcula el rea de un crculo de radio 2 m y redondeael resultado a metros cuadrados. Qu error absolutose comete?

A = 22 = 12,56637 m2 = 13 m2Error absoluto = |12,56637 13| = 0,43363


PARA AMPLIAR

61. Halla el M.C.D. de:a) 28 y 360b) 105 y 168c) 40, 105 y 160d) 75, 120 y 210

a) 4 b) 21 c) 5 d) 15

62. Calcula el m.c.m. de:a) 50, 140 b) 180 y 264c) 54, 126 y 180 d) 48, 160 y 300

a) 700 b) 3 960 c) 3 780 d) 2 400

63. En un teatro han vendido 11/12 partes del total delaforo. Al da siguiente, se vendieron 4/5 partes delaforo. Qu da se llen ms el teatro?

= , =

> Se llen ms el primer da.

64. Escribe las fracciones representadas en la recta

a) 1,5 = =

d) 0,75 = =

c) 2,3 =2310

75100

34

1510

32

2 1 0 1 2 33

1112

45

1112

5560

45

4860

0,4336312,56637

9

0 21

1

2

0 21

1

2 3

3

2

32

32

9

32

329

179

53

25

54

72

5911

145

1914

65

1522

7133

256

227

32

2912

SOLUCIONARIO14


15


a) + 1 b) 1 +

c) ( + ) d) ( ) +a) 19/16 b) 1/30 c) 4/3 d) 2


a) b)

c) : d) :

a) 7/3 b) 25/7 c) 5/9 d) 20/9

67. Opera y simplifica:

a) + b)

c) ( ) d) ( + ) :a) 19/8 b) 5/24 c) 1/8 d) 43/25

68. Calcula:

a) ( ) ( )b) (1 ) : ( 2)a) 5/24 b) 2/3

69. Haz las operaciones siguientes:

a) : 2 (1 + )b) 5(1 ) +a) 37/15 b) 27/8

70. Tenemos 30 sacos de harina de 85 kg cada uno y gas-tamos 2/5. Cuntos kilos quedan?

Quedan: 30 85 = 1530 kg

71. Se vendieron las 3/5 partes de un solar y, posterior-mente, 4/5 partes de lo que quedaba. Qu fraccinqueda sin vender?

Se vende: + =

Queda: 2/25

72. Expresa como decimal las siguientes fracciones yclasifica los decimales en exactos, peridicos puroso peridicos mixtos:

a) b) c)

d) e) f )

a) 0,15 Decimal exacto.b) 0,32 Decimal exacto.c) 3 Nmero entero.d) 3,428571 Decimal peridico puro.

e) 0,43 Decimal peridico mixto.

f) 0,64 Decimal exacto.

73. Calcula redondeando previamente a dos cifras deci-males:

a) + 2,45 (2,753 3,257) +

b) 0,659 + 1,57 : (3,75 )c) 3,567 + 2,5(3, 349 2,005)d) 85,247 : 5,658

a) 0,33 + 2,45(2,75 3,26) + 0,25 = 0,67b) 0,66 0,5 + 1,57 : (3,75 0,67) = 0,67c) 3,57 + 2,5(3,35 2,01) = 6,92d) 85,25 : 5,66 = 15,06

74. Calcula el error absoluto si se redondean a dos ci-fras decimales los siguientes nmeros:a) 18,134 b) 0,348 c) 3,908 d) 9,095

a) |18,134 18,13| = 0,004 b) |0,348 0,35| = 0,002c) |3,908 3,91| = 0,002 d) |9,095 9,1| = 0,005

75. Calcula el rea de una sala que tiene 6,5 m de anchapor 9,2 m de larga. Redondea a metros cuadrados yexplica si el error cometido es muy grande.

A = 6,5 9,2 = 59,8 m2

Error absoluto = |59,8 59| = 0,8


76. Efecta las siguientes sumas y restas:

a) + 2 b) +

c) d) 1 +

a) b) c) d)

77. Efecta las siguientes operaciones:

a) (2 ) b) ( + 3)(2 )c) ( 2) : d) ( )( )

a) 6b) c) d)

78. Calcula:

a) : b) : +

c) : d) + :

a) b) c) d)1920

25

45

1514

35

310

32

45

27

34

35

710

75

34

35

310

34

52

25

14

245

109

34

76

34

35

12

23

45

57

143

35

23

125

74

59

56

47

152

13

415

75

59

118

32

58

716

56

215

518

1912

83

2312

0,859,8

2325

25

45

35

35

23

43

1112

56

13

23

512

2518

45

415

53

94

78

524

14

53

712

512

14

215

38

712

34

12

32

23

54

12

25

1110

32

116

54

49

56

34

56

52

43

76

23

12

13

14

1330

1625

247

320

825

4515

SOLUCIONARIO


79. Efecta:

a) ( ) : b) ( ) : ( )c) ( ) : d) (2 ) : ( + )a) b) c) d)


a) ( ) b) ( )c) : d) ( ) :a) b) c) 3 d)

81. Calcula:

a) : ( ) b) ( 2 + )c) ( )( + 2) d) ( 2)( + )a) b) c) d)

82. Efecta:

a) ( 2 + ) : ( )b) ( ) : ( )c) 2 ( ) :d) ( 2) ( ) :a) b) c) d)


a) : ( )b) ( ) : ( )c) ( )( 3)d) : ( )a) b) c) d)


a) 5 :

b) ( ) : ( + ) c) : ( ) ( )d) : + : ( + 1 )a) b) c) 2 d)

85. Calcula:

a) ( ) + :b) ( )( ) :c) : (3 ) : ( )d) + : ( + 1 )a) b) c) d)

86. Calcula:

a) : ( + )( 2 + )b) ( ) : ( + 1 )c) ( )( + 5 )d) ( + 2 ) :a) b) c) d) 5

87. Halla la expresin decimal de las siguientes frac-ciones:

a) b) c)

a) 5,36 b) 2,8 c) 5,1

6

88. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:a) 4,8

3 b) 2,75 c) 4,

6

a) b) c)


a) b) c)

a) 6,5 b) 4,583 c) 6,428571

132

5512

457

296

114

143

5911

145

316

32

15

34

310

56

34

23

23

19

103

34

43

32

56

716

97

17

143

821

516

4110

54

95

116

107

196

2936

94

1930

2514

115

811

2011

29

49

23

16

3736

715

724

12

56

34

34

12

710

127

13

76

34

1417

116

78

16

37

13

56

23

32

56

76

13

34

35

109

32

18

14

38

54

32

53

29

23

74

76

103

95

143

712

56

29

43

34

34

56

35

23

25

49

76

54

711

32

522

43

56

74

45

53

56

94

23

56

56

34

52

54

23

19

34

56

712

56

34

52

54

12

143

97

32

72

116

29

23

56

23

56

34

43

54

23

56

32

43

56

23

72

16

34

35

415

730

53

74

512

56

32

34

53

14

112

512

43

SOLUCIONARIO16


17


6 c) 1,75

a) b) c)


a) b) c)

a) 3,1875 b) 3,27 c) 2,1

6

92. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:a) 2,384615 b) 2,16 c) 1,29

54

a) b) c)

93. Calcula pasando a fraccina) 2,6 + 0,3

b) 4,17 + 5,82

a) 2,6 + 0,3 = + = = 3

b) 4,17 + 5,82 = + = = 10

94. Redondea las siguientes medidas y calcula el errorque se comete:a) A kilmetros, la distancia entre dos ciudades, que

es de 48,25 kmb) A gramos, la masa de una manzana, que es de

172,6 gc) A miles de euros, el premio de una lotera, que es

25 642 d) A litros, el contenido de agua de una garrafa, que

es 10,5 L

a) 48 kmError absoluto = |48,25 48| = 0,25


b) 172 gError absoluto = |172,6 172| = 0,6


c) 25 642 Error absoluto = |25 642 25 000| = 642


d) 10,5 LError absoluto = |10,5 10| = 0,5


CON CALCULADORA

95. Calcula:

a) +

b)

c) (5 )d) ( 3) :a) 5/24 b) 35/18 c) 43/75 d) 8/3

96. Calcula las siguientes races con la calculadora y re-presntalas por aproximacin en la recta real:

a) b)

a) 2,65 b) 1,71

PROBLEMAS

97. Se desea cubrir con baldosas cuadradas una superfi-cie rectangular de 90 cm de ancho y 300 cm de largo.Cul ser la mayor longitud que debe tener el lado delas baldosas para cubrir toda la superficie? Cuntasbaldosas se necesitan?

M.C.D. (90, 300) = 30 cm300 : 30 = 1090 : 30 = 310 3 = 30 baldosas.

98. Un comerciante quiere hacer lotes de igual tamaode tres tipos de aceite, para agotar las existenciasde tres depsitos que tienen 680 L, 600 L y 728 L. Cules el mayor nmero de litros que puede envasar encada lote? Cuntos lotes har?

M.C.D. (680, 600, 728) = 8 L.N. de lotes: (680 + 600 + 728) : 8 = 251

99. En una carrera de obstculos se quiere colocar unavalla cada 40 m y una rampa cada 70 m. Qu longi-tud mnima debe tener la pista de la carrera para queen la meta coincidan los dos obstculos?

m.c.m. (40, 70) = 280 m

100. Dos cometas se pueden observar cada 50 aos y cada90 aos, respectivamente. Si se han observado juntosen el ao 2010, cundo se volvern a ver juntos?

m.c.m. (50, 90) = 450 aos.Se observarn en el ao 2460

101. En el cumpleaos de Alba se comieron 2/3 de unacaja de bombones; al da siguiente, 2/3 de lo quequedaba, y an quedan seis bombones. Cuntosbombones tena la caja?

Se han comido: + =

Quedan: 6 bombones que son

La caja tena 6 : = 6 9 = 54 bombones.19

19

23

23

13

89

0 1 2 3

7

35

357

0,510,5

64225 642

0,6172,6

0,2548,25

99099

57799

41399

279

13

249

5744

5425

3113

74

8312

12613 11

5310

215

710

54

169

518

320

18

715

5116

3611

136

SOLUCIONARIO


102. Rubn dispone de 1 000 y decide hacer un dona-tivo de 3/10 para una organizacin de ayuda al Ter-cer Mundo y de 2/5 de lo que le queda a otraorganizacin. Cunto dinero le queda?

Fraccin que le queda: 1 ( + ) =Dinero que le queda: 1 000 = 420

103. En una ciudad hay 12 500 trabajadores de los que5/20 trabajan en el sector primario, 7/50 en sector se-cundario y el resto en el sector terciario. Cuntostrabajadores hay en cada sector?

Sector primario: 12 500 = 3 125

Sector secundario: 12 500 = 1750

Sector terciario: 12 500 (3 125 + 1 750) = 7 625

104. Un depsito lleno contiene 5 400 L. Se extrae 1/4 desu capacidad y, posteriormente, se gastan 675 L.Qu fraccin de la capacidad del depsito quedaen l?

Se extrae: 5 400 = 1 350 litros

1 350 + 675 = 2 025 litros

Fraccin que gasta: =

Fraccin que queda:

105. Un almacn de pinturas utiliza 2/3 de la superficiepara almacenar pinturas, 1/4 del resto para disol-ventes y los 600 m2 restantes para utensilios depintura. Cuntos metros cuadrados tiene el al-macn?

Pinturas ms disolventes: + =

Utensilios: 600 m2 que corresponden a

Total: 600 : = 600 4 = 2 400 m2

106. En una caseta de la fiesta del centro escolar, los 5/6del dinero que se ha cobrado en un da correspon-den a la venta de refrescos. De este dinero, los 4/7corresponden a la venta de refrescos de cola. Si laventa de refrescos de cola ha sido de 90 , cul ha-br sido la recaudacin de la caseta por la venta derefrescos?

Fraccin de la venta de cola: =

Recaudacin de refrescos:

90 : = 90 = 189

107. De un terreno se han vendido 2/3 de su superficie, ydespus 1/5 del resto, quedando 4 ha sin vender.Cul era la superficie del terreno?

Fraccin que queda sin vender:

1 ( + ) =Superficie total: 4 : = 4 = 15 ha

108. Halla de forma exacta la longitud de una circun-ferencia de 5 cm de radio. Clasifica el resultadocomo nmero racional o irracional y exprsalo re-dondeando a dos decimales.

L = 2RL = 2 5 = 10 cmEs un nmero irracional.L = 31,42 cm

PARA PROFUNDIZAR

109. Una pelota rebota cada vez a una altura igual a los2/5 de la altura de la que cae. Si despus de 3 botesse eleva a 0,32 m, cul es la altura desde la que cae?

0,32 : ( ) = 0,32 = 5 m110. Una tela, despus de lavada, se reduce en 1/5 de su

longitud y en 1/16 de su anchura. Qu longitud debecomprarse de una pieza de tela de 0,8 m de anchopara que, despus de lavada, se tengan 84 m2?

La anchura despus de lavada es 0,8 = 0,75 m

La longitud despus de lavada es 84 : 0,75 = 112 m

La longitud que ha de comprarse es 112 : = 140 m

111. Se sabe que una determinada carne contiene 1/5 dehueso y que, una vez deshuesada, pierde 1/5 de supeso al ser guisada. Calcula la cantidad de carne conhueso que es necesario comprar para que, al prepa-rar una comida para 6 personas, le corresponda acada una 160 g de carne.

Fraccin de la carne que queda:

1 ( + ) =Hay que comprar:

160 6 : = 1 500 g = 1,5 kg

112. Un ordenador y una impresora cuestan conjunta-mente 1 200 . Si la impresora es 1/5 del precio delordenador, cules son los precios de cada uno delos dos artculos?

Fraccin del precio conjunto: 1 + =

Precio del ordenador: 1 200 : = 1 000

Precio de la impresora: 1 200 1 000 = 200

65

15

65

1625

15

15

45

1625

45

1516

25

25

25

1258

415

154

23

15

13

415

58

2110

1021

1021

47

56

14

14

34

13

14

23

38

2 0255 400

14

750

520

2150

2150

710

52

310

SOLUCIONARIO18


19

113. Halla de forma exacta la altura de un tringulo equi-ltero de 1 cm de lado. Indica si el resultado es unnmero irracional o racional y exprsalo redonde-ando a dos decimales.

h = = = = cm

Es un nmero irracional.h = 0,87 cm

114. La suma de dos fracciones es 9/10 y la primera es eldoble de la segunda. Calcula las fracciones:

Sea la fraccin buscada

+ = = = =

Las fracciones son = y

115. En la cuenta corriente de Coral se ha realizado unpago de 2/9 de la cantidad que haba. Hemos ingre-sado posteriormente 1/6 de lo que queda y resulta quetodava faltan 150 para tener la cantidad inicial.Cunto dinero haba inicialmente en la cuenta co-rriente?

Se saca y se ingresan =

Los 150 corresponden a la diferencia de lo que se sacay se ingresa:

=

150 : = 150 = 1 620

116. Calcula el menor nmero x que cumpla:M.C.D. (x, 18) = 6

El nmero 6

117. Demuestra que la suma de tres nmeros enterosconsecutivos es mltiplo de tres.

Sean los tres nmeros enteros consecutivos:xx + 1x + 2Se tiene:x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3(x + 1)Por tanto, la suma es mltiplo de 3

APLICA TUS COMPETENCIAS

EL RECIBO DE LA LUZ

118. Nos han remitido el siguiente recibo de energaelctrica de los dos ltimos meses.

Calcula los importes de cada concepto y el total de lafactura.

COMPRUEBA LO QUE SABES1. Escribe la clasificacin de los nmeros reales y pon

tres ejemplos de cada uno de ellos.

Naturales: 0, 1, 2

Enteros:

Racionales Negativos: 1, 2, 3

Reales

Fraccionarios: , ,

Irracionales: , ,

2. Calcula:a) M.C.D. (140, 350) b) m.c.m. (80, 120)

a) 70 b) 240


a) ( ) + b) ( 1) : a) 7/8 b) 20/9

35

14

78

54

712

34

53

2 35

23

32

76

Facturacin Euros1. Potencia contratada:

3,3 kW 30 das 5,5075 cent /kWda 5,45 2. Energa consumida:

972 kW 11,473 cent /kWh 111,52 3. Impuesto sobre Electricidad:

4,864% s 116,97 1,05113 5,98 4. Alquiler de equipos de medida:

30 das 1,874 cent /da 0,56 Total 123,51

5. IVA 16% 19,76 Importe 143,27

Facturacin Euros1. Potencia contratada:

3,3 kW 30 das 5,5075 cent /kWda2. Energa consumida:

972 kW 11,473 cent /kWh3. Impuesto sobre Electricidad:

4,864% s 116,97 1,051134. Alquiler de equipos de medida:

30 das 1,874 cent /daTotal

5. IVA 16%

Importe

545

554

754

754

79

16

29

554

29

310

930

910

ab

3ab

3ab

ab

2ab

310

35

610

ab

1

1/2

h

32

3411 411 ()22

SOLUCIONARIO


4. Expresa como decimal las siguientes fracciones yclasifica los decimales en exactos, peridicos puroso mixtos:

a) b) c) d)

a) 2,4 Exacto.b) 0,8 Peridico puro.

c) 0,583 Peridico mixto.

d) 0,518 Peridico puro.

5. Expresa en forma de fraccin y calcula:a) 2,4 + 1,5 0,2 b) 1,

3 + 3,1

6

a) + = = 2,7 b) + = = 4,5

6. Calcula el error absoluto y relativo al aproximar elnmero a 22/7. Redondea el resultado a cuatro de-cimales.

Error absoluto: 0,0013 Error relativo: 0,0004

7. En el cumpleaos de Alba se comieron los 2/3 de unacaja de bombones; al da siguiente, 2/3 de lo que que-daba, y an quedan 6 bombones. Cuntos bombonestena la caja?

Se han comido: + =

Quedan: 6 bombones que son

La caja tena 6 : = 6 9 = 54 bombones.

8. Tres sacos de caf de diferente clase pesan 24 kg,30 kg y 38 kg. Se quiere envasar todo el caf en pa-quetes iguales del mayor peso posible. Calcula cuntopesar cada paquete y cuntos paquetes se harn.

M.C.D.(24, 30, 38) = 2 kg24 : 2 = 12 paquetes.30 : 2 = 15 paquetes.38 : 2 = 19 paquetes.Se harn, en total, 46 paquetes de 2 kg cada paquete.

WINDOWS/LINUX

PASO A PASO

119. Halla la descomposicin factorial de 18 000

Resuelto en el libro del alumnado.

120. Halla el M.C.D y el m.c.m. de 720 y 1 200


121. Calcula: ( 2) +Resuelto en el libro del alumnado.

122. Halla la expresin decimal con 15 cifras del si-guiente nmero real y clasifcalo como decimalexacto, peridico puro, peridico mixto o irracional:


123. Halla la fraccin generatriz de 2,318


124. Halla el error absoluto y el error relativo de redon-dear el nmero a dos cifras decimales


Plantea el siguiente problema y resulvelo con ayuda deWIRIS:

125. Tres aviones hacen escala en un mismo aeropuertocada 9, 12 y 15 das, respectivamente. Si coincidenel 5 de octubre, cuntos das pasarn hasta quevuelvan a coincidir por primera vez?


PRACTICA

126. Halla la descomposicin factorial de:a) 300 b) 630 c) 960 d) 1 288

a) 300 = 22 3 52 b) 630 = 2 32 5 7c) 960 = 26 3 5 d) 1 288 = 23 7 23

127. Halla el M.C.D y el m.c.m. de:a) 900 y 1 200 b) 75, 120 y 210c) 1 512 y 1 575 d) 48, 160 y 300

a) M.C.D. (900, 1 200) = 300m.c.m. (900, 1 200) = 3 600

b) M.C.D. (75, 120, 210) = 15m.c.m. (75, 120, 210) = 4 200

c) M.C.D. (1 512, 1 575) = 63m.c.m. (1 512, 1 575) = 37 800

d) M.C.D. (48, 160, 300) = 4m.c.m. (48, 160, 300) = 2 400


a) ( ) b) ( ) :a) b)

129. Expresa en forma de fraccin los siguientes nme-ros decimales:

a) 3,75 b) 2,83 c) 2,

36

a) b) c)

130. Halla la expresin decimal con 15 dgitos de los si-guientes nmeros reales y clasifcalos como deci-mal exacto, peridico puro, peridico mixto oirracional:

a) b) c) d) e)

a) 6,4285714285714 Peridico puro.b) 2,2360679774997 Irracional.c) 3,1415926535897 Irracional.d) 6,875 Decimal exacto.e) 24,863636363636 Peridico mixto.

457

5 558

54722

154

176

2611

127

710

49

76

54

43

34

56

5

19

19

89

13

23

23

92

196

43

2710

15

32

125

125

89

712

1427

5122

23

34

76

SOLUCIONARIO20


21

131. Halla el error absoluto y relativo de redondear ados decimales.

Error absoluto: 0,0058

Error relativo: 0,0026

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayuda deWiris:

132. Tres ciclistas salen de un mismo punto y recorrenuna pista circular en 48 segundos, 56 segundos y60 segundos, respectivamente. Cundo vuelven aencontrarse por primera vez?

m.c.m. (48, 56, 60) = 1 680 segundos = 28 minutos

133. El depsito de agua contiene 700 L. Si primero saca-mos 2/5 y luego 3/7 del total, cuntos litros quedanen el depsito?

120 litros.

134. En una caseta de la fiesta del centro escolar, los 5/6del dinero que se ha cobrado en un da correspondena la venta de refrescos. De este dinero, los 4/7 corres-ponden a la venta de refrescos de cola. Si la venta derefrescos de cola ha sido de 90 , cul habr sido larecaudacin de la caseta ese da?

Fraccin de la venta de cola:

90 : = 189 56

47

7

SOLUCIONARIO


1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

PIENSA Y CALCULA

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla decuadrados y cubos perfectos:

CARN CALCULISTA


APLICA LA TEORA

1. Escribe en forma de potencia:a) 5 5 5 5 b) 5 (5) (5)

a) 54 b) ( 5)3

2. Calcula mentalmente:a) 23 b) (2)3 c) (2)4

d) 07 e) (7)1 f ) (9)0

a) 8 b) 8 c) 16d) 0 e) 7 e) 1

3. Calcula:a) 34 b) (3)4 c) 35 d) (3)5

a) 81 b) 81 c) 243 d) 243

4. Calcula:a) 132 b) 0,252 c) 173 d) 2,53

a) 169 b) 0,0625 c) 4 913 d) 15,625

5. Usando la calculadora, halla las siguientes potencias:a) 210 b) 3,7518 c) 264 d) 10

a) 1024 b) 2,15 1010

c) 1,84 1019 d) 93 648,05

6. Expresa el resultado en forma de una sola potenciautilizando las propiedades de las potencias:a) 25 24 b) 59 : 53 c) (24)3 d) 32 33 34

a) 29 b) 56 c) 212 d) 39

7. Expresa el resultado en forma de una sola potenciautilizando las propiedades de las potencias:a) x 2 x 3 b) x 5 : x 2 c) (x 3)4 d) x 2 x 3 x 4

a) x 5 b) x 3 c) x 12 d) x 9

8. Multiplica para eliminar el parntesis:a) 3a 2b (2ab 2 5a 2b 3)b) 2x 3y 2z (3xy 2z 2 + 4x 2yz 3 6x 3z 4)

a) 6a 3b 3 15a 4b 4

b) 6x 4y 4z 3 + 8x 5y 3z 4 12x 6y 2z 5

9. Saca factor comn todos los factores que puedas:a) 6a 3b 2 8a 4b 5

b) 18x 2y 5z 2 + 12x 2y 3z 3 6x 3y 3z 4

a) 2a 3b 2(3 4ab 3)b) 6x 2y 3z 2(3y 2 + 2z xz 2)

10. Se tiene un depsito de gasoil para la calefaccincon forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el litrode gasoil de calefaccin cuesta a 0,65 , calcula loque cuesta llenar el depsito.

Coste: 2,253 1000 0,65 = 7 403,91

2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

PIENSA Y CALCULA

Expresa el resultado en forma de una sola potencia utili-zando las propiedades de las potencias y calcula el resul-tado:

a) 27 : 24 b) 25 : 24 c) 25 : 25 d) 24 : 27

a) 23 = 8 b) 21 = 2 c) 20 = 1 d) 2 3 = 1/8

CARN CALCULISTA

Calcula: : =

APLICA LA TEORA

11. Calcula mentalmente en forma de fraccin el resul-tado de las siguientes potencias:a) 21 b) (2)2 c) 23 d) (2)3

e) 19 f ) (5)1 g) ( )1 h) ( )1a) 1/2 b) 1/4 c) 1/8 d) 1/8e) 1 f) 1/5 g) 4/3 h) 6

12. Expresa el resultado en forma de una sola potenciautilizando las propiedades de las potencias:

a) 25 24 b) 54 : 57 c) (2 4)3 d) 32 33 34

a) 2 1 b) 5 3

c) 2 12 d) 33

13. Aplicando la potencia de un producto o de un co-ciente, escribe como una sola potencia:

a) 35 55 75 b) 76 : 96

c) 63 73 d) 3 4 : 5 4

a) (3 5 7)5 b) (7 : 9)6

c) (6 7) 3 d) (3 : 5) 4

14. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los sig-nos = o :

a) 43 12 b) (7)5 75

c) 732 76 d) (8 5)2 9

a) b) = c) d) =

34

16

35

76

43

87

715

Nmero 1 2 3 4 5 6 10

Cuadrado perfecto 1 4 9 16 25 36 100

Cubo perfecto 1 8 27 64 125 216 1 000

Nmero 1 2 3 4 5 6 10

Cuadrado perfecto 1 4 25

Cubo perfecto 1 8 216

5 m

A = 25 m2

2. Potencias y races

SOLUCIONARIO22


23

15. Simplificando reduce a una sola potencia:

a) b)

a) 3 b) 54

16. Escribe en notacin cientfica:a) 54 689 000 000 000 000b) La diezmillonsima parte de 4 unidades.

a) 5,4689 1016 b) 4 107

17. Calcula:a) 3,45 1012 + 6,3 1011

b) 2,35 1023 : (2,5 1018)

a) 4,08 1012 b) 9,4 106

18. Nuestro sistema solar se encuentra situado a 27 700aos luz del centro de la galaxia. Expresa en kil-metros y en notacin cientfica esta distancia sa-biendo que un ao luz es la distancia que recorre laluz en un ao a 300 000 km/s27 700 300 000 365 24 60 60 = 2,6206416 1017 km

19. El disco duro de un ordenador porttil tiene 400 Gb decapacidad, y un CD-ROM, 650 Mb. Cuntos CD-ROMcaben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb?

N. de CD: 400 210 : 650 = 630

3. RADICALESPIENSA Y CALCULA

Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla:

CARN CALCULISTA


APLICA LA TEORA

20. Cuntas races reales tienen los siguientes radicales?

a) b) c)

d) e) f )

a) Dos b) Una c) Ningunad) Una e) Dos f) Una

21. Calcula mentalmente si es posible:a) b) c) d)

a) 5 b) 5 c) No tiene. d) 3

22. Simplifica los radicales:

a) b) c) d)

a)3

52 b)

352 c)

352 d)

452

23. Calcula las siguientes races factorizando el radi-cando:

a) b) c)

a) 180 b) 15 c) 4

24. Extrae todos los factores posibles de:

a) b)

a) 9a 2c 3ab b) 4a 2c 5

32a 2b 2

25. Suma y resta los siguientes radicales:

a) + b) 5 3 + 4

a) 42 b) 13

2

26. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los sig-nos = o :

a) +

b) 8

c) +

a) b) = c)

27. Un contenedor tiene forma de cubo. Si tiene una ca-pacidad de 8 m3, cunto mide la arista?

Arista: 3

8 = 2 m

4. PROPIEDADES Y RELACINENTRE POTENCIAS Y RADICALES

PIENSA Y CALCULA

Calcula el resultado de las siguientes operaciones:

a) b) : c) ( )3 d) a) 35 b) 2 c) 8 d) 2

CARN CALCULISTA

Calcula: ( ) =APLICA LA TEORA

28. Aplicando las propiedades de los radicales, expresacomo una sola raz:

a) b) : c) ( )2 d)a)

15 b)

2 c)

352 d)

65

29. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:

a) b) :

c) d)

a) 6 b) 2 c) 5 d) 2

30. Escribe los siguientes radicales en forma de poten-cia:

a) b) c) d)

a) 31/5 b) 5 1/6 c) 35/7 d) 7 2/3

52 165

725 1372

325 35 3646 6 20 5

5 3 6 3 3535

25

76

34

16

25 49 36 9 4 364

38 + 27 38 387

100 36

36 + 64 36 64

50 32 18 98 200 8

81a 5bc 6 3128a 8b 2c 15

32 400 33 375 51024

654 956 1258 24518

25 3125 49 327

38 1 3136 0 25

Nmero 2 2 3 4 5 3 9 10 5 10Cuadrado o cubo perecto 4 8 9 16 25 27 81 100 125 1 000

Nmero 2Cuadrado o cubo perfecto 4 8 9 16 25 27 81 100 125 1 000

125

34 21034

154

SOLUCIONARIO


31. Escribe las siguientes potencias en forma de radicaly calcula el resultado:a) 271/3 b) 491/2

c) 1283/7 d) 2432/5

a) 327 = 3

b) =

c) = ( )3 = ( )3 = 23 = 8

d) = = = =

32. Realiza las siguientes operaciones con la calcula-dora y redondea los resultados a dos decimales:a)

b)

c)

d) +

a) 24,15 b) 9,56 c) 2,19 d) 4,64

33. Realiza las siguientes operaciones con la calcula-dora y redondea los resultados a dos decimales:a) 2,35 : 4,83

b) (9,23 ) 1,517

a) 575,45 b) 583 669,35

34. Las cuatro paredes de un cuarto de bao son cua-dradas y tienen en total 324 azulejos cuadrados. Sicada azulejo mide 25 cm de lado, cunto mide delongitud cada pared?

Cada pared tiene: 324 : 4 = 81 azulejos.

Cada lado tiene: 81 = 9 azulejos.

Cada lado mide: 9 25 = 225 cm = 2,25 m

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL

35. Escribe en forma de potencia:a) 2 2 2 2 b) 2 (2) (2)c) 3 3 3 3 3 d) 3 (3)

a) 24 b) ( 2)3 c) 35 d) ( 3)2

36. Calcula mentalmente:a) 33 b) (3)3 c) (3)4

d) 70 e) (1)7 f ) (1)8

a) 27 b) 27 c) 81d) 1 e) 1 f) 1

37. Calcula:a) 192 b) 0,752 c) 233 d) 1,53

a) 361 b) 0,5625 c) 12 167 d) 3,375

38. Expresa el resultado en forma de una sola po tenciautilizando las propiedades de las po tencias:a) 32 36 b) 57 : 56 c) (32)5 d) 52 5 53

a) 38 b) 5 c) 310 d) 56

39. Expresa el resultado en forma de una so la potencia uti-lizando las propiedades de las potencias:a) x 3 x 4 b) x 7 : x 4 c) (x 3)5 d) x x 2 x 3

a) x 7 b) x 3 c) x 15 d) x 6

40. Multiplica para eliminar el parntesis:a) 2a3b (3a 2b 6a 3b 3)b) 3xy 2z 3 (4x 2y 3z + 5x 3y 7x 5z)

a) 6a 5b 2 12a 6b 4

b) 12x 3y 5z 4 + 15x 4y 3z 3 21x 6y 2z 4

41. Saca factor comn todos los factores que puedas:a) 12a 4b5 18a 3b 6

b) 6x 5y 2z 3 + 15x 2y 5z 3 18x 2y 3z5

a) 6a 3b 5(2a 3b) b) 3x 2y 2z 3(2x 3 + 5y 3 6yz 2)

42. Calcula el nmero de bytes que caben en un discoduro de 50 Gb, sabiendo que:1 Kb = 210 bytes; 1 Mb = 210 Kb; 1 Gb = 210 Mb

50 Gb = 50 210 210 210 = = 50 230 = 5,37 1010 bytes

2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO

43. Calcula mentalmente en forma de fraccin el re sul-tado de las siguientes potencias:a) 31 b) (3)2 c) 33 d) (3)3

e) 7 1 f) (7)1 g) ( ) 1 h) ( ) 1a) 1/3 b) 1/9 c) 1/27 d) 1/27e) 1/7 f) 1/7 g) 3/5 h) 2

44. Simplifica:

a) b)

a) 28 3 d)

45. Sustituye en tu cuaderno los por uno de los sig-nos = o :a) 43 64 b) (7)5 75

c) 732

79 d) (8 5)2 32

a) b) c) = d) =

46. Escribe en notacin cientfica:a) 0,000 000 000 253b) La centsima parte de una milsima.

a) 2,53 1011 b) 105

47. Calcula:a) 4,56 1011 1,6 1010

b) 4,5 1020 3,5 1012

a) 1,144 1010 b) 1,575 109

48. Escribe en notacin cientfica:a) Tres billones de euros.b) 128 458 millones de toneladas.

a) 3 1012 euros. b) 1,28458 1011 toneladas.

32 522

25 37 42

21 34 6223 54 62

25 53 43

53

12

34 70380 675

85 3805 52 345

735

3875583

152432

1

( 5243)21

( 535)21

3219

71283 7128 727

1

4917

SOLUCIONARIO24


25

3. RADICALES

49. Calcula mentalmente si se puede:

a) b) c) d)

a) 7 b) 2 c) No tiene. d) 5

50. Simplifica los radicales:

a) b) c) d)

a) 3

7 b)

574 c)

573 d)

573


a) b)

c) d)

a) 63 b) 6

35

c) 9a 4bc 33bc d) 5a 3b 5c 8

3b 2c

52. Suma y resta los radicales:

a) 3 2 +

b) 2 3 4

a) 82 b) 17

2

53. Sustituye en tu cuaderno los recuadros por uno delos signos = o :

a)

b)

c) +

a) = b) c)

54. Un cartn de leche es de forma cbica y contiene doslitros. Otro cartn de 2 litros tiene forma de prismacuadrangular y la arista de su base mide 10 cm. Cal-cula la superficie de ambos. Cul es menor?

Arista del cubo: 3

2 = 1,26 dm = 12,6 cm

Superficie del cubo: 6 12,62 = 952,56 cm2

Altura del prisma: 2 000 : 102 = 20 cmSuperficie del prisma: 2 102 + 4 10 20 = 1000 cm3

Es menor el rea del cubo.

4. PROPIEDADES Y RELACIN ENTRE POTENCIAS Y RADICALES

55. Aplicando las propiedades de los radicales, ex presacomo una sola raz:a) b) :

c) ( )3 d)

a) 21 b)

7 c)

573 d)

103

56. Aplica las propiedades de los radicales y calcula:

a) b) :

c) d)

a) 9 b) 3c) 4 d) 2

57. Escribe en forma de potencia los siguientes radicales:

a) b) c) d)

a) 21/3 b) 7 1/2 c) 32/5 d) 2 3/5

58. Escribe en forma de radical las siguientes po tencias:a) 31/5 b) 51/3

c) 64/5 d) 73/5

a) 5

3 b)

a) 5

64 b)

59. Realiza las siguientes operaciones con la calcula-dora y redondea los resultados a dos decimales:

a) b)

c) 5,37 : d) + +

a) 26,87 b) 4,45c) 3 922,90 d) 9,51


a) (7,82 ) : 2,5

b)

c)

a) 20,61 b) 6,76c) 2,88 d) 1 778,28

PARA AMPLIAR

61. Calcula el valor de x en cada uno de los si guientescasos:a) 2x = 32 b) 34 = xc) x 3 = 125 d) x 3 = 8

a) x = 5 b) x = 81c) x = 5 d) x = 2

62. Calcula:a) 25 + 33 + 52 b) (2)5 + 32 53

c) (2)6 + 34 (5)3 d) 106 (10)3 + 102

a) 84b) 148c) 270d) 1001100

63. Calcula:

a) ( )3 b) ( )3 c) ( )4 d) ( )4a) 8/27 b) 8/27 c) 16/81 d) 16/81

64. Calcula:a) 51 b) (5)1 c) 22

3d) ( ) 1

a) 1/5b) 1/5c) 256d) 3

13

23

23

23

23

1 000 31 00041 000

2 3344

87

896,7 23 323 523

722 387,95

1573

135

321

7532

1523

34 31651 024

27 3 45 5

5753

3 7 14 2

416 + 81 416 481

100 36 100 36

36 + 64 100

200 18 98

32 50 72

243a 8b 3c 7 3125a 9b 17c 25108 31 080

672 15712 2071230718

49 38416 3125

SOLUCIONARIO


65. Expresa el resultado en forma de una sola potencia uti-lizando las propiedades de las po tencias:a) 53 5 4

b) 3 4 : 37

c) (73)5

d) 132 133 13 4

a) 5 7 b) 33

c) 715 d) 13 9

66. Sustituye en tu cuaderno los recuadros por uno de lossignos = o :a) 53 15 b) (2)5 32c) 23

5215 d) (7 3)5 45

a) b) =c) d) =


a) b)

c) d) a) 5 b) 5c) 0,1 d) 0,2

68. Entre qu dos nmeros enteros estn las si guientesraces?

a) b)

c) d)

a) Entre 7 y 8 b) Entre 4 y 5c) Entre 3 y 4 d) Entre 2 y 3

69. Introduce dentro del radical los factores que estnfuera:

a) 32ab 3c b) 23a 2b 5c 2

c) 32ab 3c 4 d) 23a 2bc 4

a) 405a 3b 7c 2

b)32 560a 8b 16c 8

c)465 610a 5b 15c 18

d)5491 520a 14b 6c 22

70. Calcula el valor de x en cada uno de los si guientescasos:

a) = 5 b) = x

c) = 5 d) = 2

a) x = 25 b) x = 7 c) x = 125 d) x = 5

71. Calcula descomponiendo en factores primos:

a) b)

c) d)

a) = 6 b) = 9

c) = d) =

72. Calcula el valor de las siguientes potencias:a) 43/2 b) 82/3

c) 163/4 d) 324/5

a) (23)2 = 8

b)3(22)3 = 4

c)4(23)4 = 8

d)5(24)5 = 16

CON CALCULADORA

73. Utilizando la calculadora, halla:a) 310 b) 7,2513

c) (3/2)15 d) 2e) 35 f ) (3)8

a) 59 049 b) 1,53 1011

c) 437,89 d) 9,87e) 4,12 10 3 f) 6 561


a) 5,23 ( ) : 7,25

b) (7,255 ) 1,757

c) ( + )a) 0,31b) 1002 023,47c) 6,76

75. Calcula:a) 5,74 1011 + 6,5 1012

b) 2,62 1024 7,53 1023

c) 2,3 1028 4,5 1019

d) 3,85 1015 : (3,5 1029)

a) 7,074 1012 b) 7,268 1023

c) 1,035 1010 d) 1,1 1014

PROBLEMAS

76. Tenemos una finca en forma de cuadrado cuyo ladomide 14,75 m. Calcula el precio de venta sabiendoque el metro cuadrado vale 23

Precio: 14,752 23 = 5 003,94

77. Calcula el nmero de bytes que caben en un dis -co duro de 200 Gb, sabiendo que 1 kb = 210 bytes;1 Mb = 210 kb; 1 Gb = 210 Mb.

Capacidad:200 210 210 210 = 200 230 = 2,15 1011 bytes.

78. La masa de la Tierra es 5,98 1024 kg y la masa deNeptuno es 17 veces la de la Tierra. Calcula la masade Neptuno.

17 5,98 1024 = 1,0166 1026 kg

79. Alba tiene una caja en forma de cubo llena de cani-cas. Tiene 5 canicas de largo, otras 5 de ancho y otras5 de alto. Escribe en forma de potencia el nmero to-tal de canicas y calcula el precio sabiendo que cadacanica cuesta 0,15

N.o de canicas: 53

Coste: 53 0,15 = 18,75

37 2 542,7

3874 658209 3 217

25

3

33

25

32

5

55

32

323 33 336

8125

324332

5

3216 3729

3x x32x 49

410ab 3c 2 515a 4bc 25ab 35a2bc 2

493 510055 384

30,001 30,008

3125 3125

SOLUCIONARIO26


27

80. Tenemos 12 cajas de cocos y cada caja tiene 12 co-cos. Escribe en forma de potencia el nmero total decocos y halla el precio sabiendo que cada unocuesta 1,5

N. de cocos: 122

Coste: 122 1,5 = 216

81. Escribe en forma de potencia el nmero de abuelosque tiene cada persona, y calcula el resultado.

N. de abuelos: 22 = 4 abuelos.

82. Tenemos un bloque de hielo de 1 m de largo, 20 cm deancho y 20 cm de alto. Lo cortamos en cubitos paraenfriar refrescos. Cada cubito mide 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de alto, y en cada refresco po-nemos dos cubitos. Para cuntos refrescos tendre-mos?

Volumen del bloque: 100 20 20 = 40 000 cm3

Volumen de cada cubito: 23 = 8 cm3

N. de cubitos: 40 000 : 8 = 5 000 cubitos.N. de refrescos: 5 000 : 2 = 2 500 refrescos.

83. Una finca cuadrada de 100 m de lado est plantadade nogales. Si cada nogal ocupa 25 m2, cuntos no-gales hay plantados?

Superficie: 1002 = 10 000 m2

N. de nogales: 10 000 : 25 = 400 nogales.

84. El patio de butacas de un teatro tiene igual nmerode filas que de columnas, y se venden todas las en-tradas para una sesin, obtenindose 675 . Si cadaentrada cuesta 3 , cuntas filas tiene el teatro?

N. de entradas: 675 : 3 = 225 entradas.

N. de filas: 225 = 15 filas.

85. Queremos poner baldosas en el suelo de una habita-cin cuadrada, y en cada lado caben 13 baldosas. Sicada baldosa cuesta 1,5 , cunto cuestan todas lasbaldosas que necesitamos?

N. de baldosas: 132 = 169 baldosas.Coste: 169 1,5 = 253,5

86. Una finca es cuadrada y tiene una superficie de1 369 m2. Cunto mide el lado?

Lado: 1 369 = 37 m

87. Un bloque de casas tiene x plantas, y en cada plantahay x viviendas. Si viven x personas de media encada vivienda, calcula el valor de x sabiendo que enla casa viven 64 personas.

x 3 = 64 x = 364 = 4

PARA PROFUNDIZAR

88. Expresa en forma de potencia de 2 el nmero total decuadrados que tiene un tablero de ajedrez, sabiendoque posee 8 filas y 8 columnas.

N. de cuadrados: 8 8 = 23 23 = 26 cuadrados.

89. Escribe en forma de potencia el nmero de bisa bue -los que tiene cada persona y calcula el resultado.

N. de bisabuelos: 23 = 8 bisabuelos.

90. Una clula se reproduce cada hora por biparticin.Cuntos das tardar en sobrepasar un milln?

2x > 1 000 000El menor x que lo verifica es x = 20 horas.Lo alcanza en el primer da.

91. Un velero cuesta 0,5 millones de euros y se devalacada ao un 18%. Cuntos aos tardar en valer me-nos de 150 000 ? Observa que si se devala un 18%,su valor ser un 82% del precio inicial.

500 000 0,82x < 150 000El menor x que lo verifica es x = 7 aos.

92. Una caja tiene forma de cubo cuyo volumen es de3,375 m3. Calcula su superficie.

Arista: 33,375 = 1,5 m

Superficie: 6 1,52 = 13,5 m2

93. Un ao luz es el espacio que recorre la luz en un ao.Sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 00 km/s,espresa en kilmetros y en notacin cientfica un aoluz.

300 000 365 24 60 60 = 9,4608 1012 km

APLICA TUS COMPETENCIAS

94. Un CD-ROM tiene 640 Mb. Halla su capacidad enbytes.

Capacidad: 640 210 210 = 640 220 = 671 088 640 bytes

95. Un telfono mvil tiene una capacidad de 8,67 Gb,Halla su capacidad en bytes.

9 309 341 614 bytes.

96. El disco duro de un ordenador tiene 400 Gb. Halla sucapacidad en bytes.

Capacidad: 400 210 210 210 = 400 230 = 4,29 1011 bytes

COMPRUEBA LO QUE SABES

1. Qu son radicales equivalentes? Pon un ejemplo.

Dos radicales son equivalentes si tienen las mismas races.Si en un radical multiplicamos el ndice y el exponente por elmismo nmero, obtenemos otro radical equivalente.

Ejemplo: 352 =

654 =

956 =

1258 = = 2,92

2. Expresa el resultado en forma de una sola potenciautilizando las propiedades de las potencias:a) 35 34 b) a 9 : a 3

c) (xn)p d) x 3 : x 7

a) 39 b) a 6 c) xn p d) x 4

3. Sustituye los recuadros por uno de los signos = o :

a) 53 15 b) (6)5 65

c) 352

310 d) (7 5)4 16a) b) = c) d) =

SOLUCIONARIO



a) 2 592 b)

38 640

c) d)

a) 36

b) 12

c) 9a 2c 3ab

d) 2a 2c 4 322a 2b 2

5. Suma y resta los radicales:

a) 3 2 +

b) 2 4 + 5

a) 122 10

2 + 6

2 = 8

2

b) 103 12

3 + 10

3 = 8

3

6. Escribe en forma de radical las siguientes potenciasy calcula el resultado:

a) 251/2 b) 1251/3

c) 163/4 d) 322/5

a) = 5 b) =

c) = 8 d) =

7. El disco duro de un ordenador porttil tiene una ca-pacidad de 40 Gb, y un CD ROM, de 650 Mb. CuntosCD ROM caben en el disco duro si 1 Gb = 210 Mb?

N. de CD: 40 210 : 650 = 63,02

8. Una finca tiene forma de cuadrado. Si se vende a razn de 3,6 /m2 y se han obtenido por la venta3 802,5 , cunto mide de lado la finca?

3 802,5

: 3,6 = 32,5 m

WINDOWS/LINUX

PASO A PASO

97. Calcula:

( )5Resuelto en el libro del alumnado.

98. Calcula:3,285


99. Calcula con 15 dgitos:




101. Simplifica el siguiente radical, sacando del radi-cando todos los factores posibles:


102. Suma y resta los siguientes radicales:

4 7 + 5


103. Calcula 3,5 1018 : (4,75 109)


104. Se tiene un depsito de gasoil para la calefaccincon forma de cubo cuya arista mide 2,25 m. Si el li-tro de gasoil de calefaccin cuesta 0,65 /L, calculalo que cuesta llenar el depsito.


PRACTICA

105. Calcula las siguientes potencias:

a) (2/3)6 b) (2/3)7

a) 64/729 b) 128/2 187

106. Calcula las siguientes potencias:

a) 264 b) 239,725

a) 18 446 744 073 709 551 616b) 7,916283613 1011


a) b)

a) 16,0079980009994 b) 3,84941718350978

108. Simplifica los siguientes radicales sacando del ra-dicando todos los factores posibles:

a)

b)

a) 362 b) 6

32

109. Suma los radicales:

a) 7 2 + 5

b) 9 5 + 3

a) 762 b) 44

3

110. Calcula y luego redondea mentalmente a dos deci-males:

a)

b) + 5,27

a) 23,43b) 1,03 105

545,52 7,253473,5 + 75,47

147 75 12

50 8 162

3432

2 592

256,256 5845,23

50 8 18

33 125

7865

12 607,25

34

4163 15322

14

25 13125

15

75 27 12

32 50 72

352

81a 5bc 6 332a 8b 2c 12

SOLUCIONARIO28


29

111. Calcula:a) 9,74 1012 8,5 1013 + 9,3 1014

b) 3,5 1025 : (2,5 1034)

a) 8,5474 1014 c) 1,4 109

Escribe las expresiones numricas correspondientes a los si-guientes enunciados y halla el resultado:

112. El nmero 23,45 elevado al cuadrado, menos la razcuadrada de 825,83

23,452 825,83 = 521,1652419

113. El nmero 1,5 elevado a la quinta, menos la raz cua-drada de 1,83, ms la raz cbica de 2,5

1,55 1,83 +

32,5 = 7,598183881

Plantea los siguientes problemas y resulvelos con ayuda deWiris:

114. Queremos vender los chopos de una finca que tiene54 filas y 54 columnas, al precio de 54 cada chopo.Expresa en forma de potencia el valor de los choposy halla el resultado.

Valor: 543 = 157 464

115. Calcula la arista de un depsito de forma cbica queha costado llenarlo de leche 3 215,625 , si el litro deleche se ha pagado a 0,6

Arista: 33 215,

625/0,6 = 17,5 dm = 1,75 m

116. Calcula el nmero de bytes que caben en un CD-ROMde 650 Mb, sabiendo que:

1 kb = 210 bytes y 1 Mb = 210 kb

Capacidad:

650 210 210 = 681 574 400 bytes.

SOLUCIONARIO


1. SUCESIONES

PIENSA Y CALCULA

Dibuja en tu cuaderno el siguiente elemento de las se-ries siguientes:

a)

b) a) b)

CARN CALCULISTA


APLICA LA TEORA

1. Halla los diez primeros trminos de las siguientes su-cesiones:a) 3, 8, 13, 18 b) 8, 4, 0, 4c) 2, 2, 2, 2 d) 1/2, 1/4, 1/6, 1/8

a) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48b) 8, 4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28c) 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2d) 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, 1/12, 1/14, 1/16, 1/18, 1/20

2. Halla los diez primeros trminos de las siguientes su-cesiones:a) 2, 1, 2, 4, 2, 7 b) 1, 1, 2, 3, 5, 8c) 2, 1, 4, 3, 6, 5 d) 1, 2, 4, 8

a) 2, 1, 2, 4, 2, 7, 2, 10, 2, 13b) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55c) 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, 10, 9d) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512

3. Calcula los cuatro primeros trminos de las siguien-tes sucesiones:a) an = 3n + 2 b) an = (n + 1)

2

c) an = 3 2n d) an = (2)

n

a) 5, 8, 11, 14b) 4, 9, 16, 25c) 6, 12, 24, 48d) 2, 4, 8, 16

4. Halla los cuatro primeros trminos positivos de lassucesiones siguientes y trata de hallar mentalmentela frmula del trmino general.a) Nmeros pares. b) Nmeros impares.c) Mltiplos de 5 d) Cubos perfectos.

a) 2, 4, 6, 8 an = 2nb) 1, 3, 5, 7 an = 2n 1c) 5, 10, 15, 20 an = 5nd) 1, 8, 27, 64 an = n

3

2. PROGRESIONES ARITMTICAS

PIENSA Y CALCULA

Calcula mentalmente la suma de los 100 primeros nme-ros naturales. Observa que la suma de los trminos equi-distantes de los extremos son iguales.

1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 1001 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101

101 50 = 5 050

CARN CALCULISTA

Calcula: : =

APLICA LA TEORA

5. Encuentra el trmino general de las siguientes pro-gresiones aritmticas: a) 5, 9, 13, 17 b) 6, 3, 0, 3c) 2/3, 1/3, 0, 1/3 d) 1/2, 1, 3/2, 2

a) a1 = 5, d = 4an = 5 + 4(n 1) = 4n + 1

b) a1 = 6, d = 3an = 6 3(n 1) = 3n + 9

c) a1 = 2/3, d = 1/3

an = (n 1) = 1

d) a1 = 1/2, d = 1/2

an = + (n 1) =

6. Escribe el trmino general y los tres primeros trmi-nos de la progresin aritmtica cuyo primer trminoes a1 = 6 y d = 2,5

an = a1 + (n 1)dan = 6 + 2,5(n 1) = 2,5n + 3,56; 8,5; 11

7. En la progresin 5, 9, 13, 17, qu trmino va le 49?

a1 = 5, d = 4an = 4n + 14n + 1 = 49 n = 12

8. En una progresin aritmtica conocemos los trmi-nos a5 = 19 y a8 = 28. Calcula la diferencia y el primertrmino.

a1 + 4d = 19a1 + 7d = 28Restando a la 2. ecuacin la 1.:3d = 9 d = 3a1 + 4 3 = 19 a1 = 7

9. Calcula la suma de los 25 primeros trminos de laprogresin aritmtica cuyo trmino general es:

an = 2n + 6

12

12

n2

23

13

n3

75

52

38

94

1033

6 9

3. Sucesiones y progresiones

SOLUCIONARIO30

a)

b)

1212


31

Sn = n

a1 = 2 + 6 = 8a25 = 50 + 6 = 56

S = 25 = 800

10. Calcula la suma de los 12 primeros trminos de laprogresin aritmtica cuyo trmino general es:

an = 3n/2 + 2

Sn = n

a1 = 3/2 + 2 = 7/2a12 = 18 + 2 = 20

S = 12 = 141

3. PROGRESIONES GEOMTRICAS

PIENSA Y CALCULA

Calcula mentalmente los dos trminos siguientes decada una de estas sucesiones:a) 3, 6, 12, 24 b) 20, 10, 5, 5/2c) 3, 3, 3, 3 d) 5, 5, 5, 5

a) 48, 96 b) 5/4, 5/8c) 3, 3 d) 5, 5

CARN CALCULISTA


APLICA LA TEORA

11. Encuentra el trmino general de las siguientes pro-gresiones geomtricas:a) 5, 15, 45, 135 b) 6, 3, 3/2, 3/4

a) a1 = 5, r = 3 an = 5 3n 1

b) a1 = 6, r = 1/2 an = 6 ( )n 112. Dada una progresin geomtrica cuyo primer trmino

es a1 = 4 y la razn r = 5, calcula:a) a6 b) a10 c) ana) a6 = 4 5

5 b) a10 = 4 59 c) an = 4 5

n 1

13. Calcula la suma de los infinitos trminos de las si-guientes progresiones geomtricas:a) 1/5, 1/25, 1/125, 1/625b) 3, 2, 4/3, 8/9, 16/27

a) a1 = 1/5, r = 1/5 |1/5| < 1 S = = 1/4

b) a1 = 3, r = 2/3 |2/3| < 1 S = = 9

14. En la progresin geomtrica 2, 4, 8, 16, 32, qu tr-mino vale 1 024?

a1 = 2, r = 2 y an = 2 2n 1

2 2n 1 = 1024

2n = 210

n = 10

15. Encuentra la razn de la progresin geomtrica quetiene a4 = 135 y a6 = 1 215

a1 r3 = 135

a1 r5 = 1 215

Dividiendo la 2. ecuacin entre la 1.:

r 2 = 9 r = 3

16. Calcula la suma de los 10 primeros trminos de lassiguientes progresiones geomtricas:a) 2, 14, 98, 686 b) 3, 6, 12, 24

a) a1 = 2, r = 7, a10 = 2 79

S10 = = 94 158 416

b) a1 = 3, r = 2, a10 = 3 ( 2)9

S10 = = 1023

17. La suma de los infinitos trminos de una progresingeomtrica es 6 y su primer trmino es 4. Halla la ra-zn.

= 6 r = 1/3

18. Si en un cuadrado de rea 8 m2 se unen los puntosmedios, se obtiene otro cuadrado, y as sucesiva-mente. Calcula la sucesin de las reas de dichoscuadrados. Qu tipo de progresin es?

8, 4, 2, 1 Es una progresin geomtrica decreciente de ra-zn: r = 1/2

4. APLICACIONES: INTERS SIMPLEY COMPUESTO

PIENSA Y CALCULA

Si se depositan en una libreta de ahorro 1 000 y se pagaun 5% de inters anual, cunto dinero producen al cabode un ao?

50

CARN CALCULISTA

Calcula: : ( ) =APLICA LA TEORA

19. En un depsito de una entidad financiera ofrecen un6% de inters simple anual. Si se depositan 7 500 durante 2 aos y Hacienda retiene el 18%, calcula elcapital acumulado al finalizar el perodo.

Tanto por uno final: 0,06 0,82 = 0,0492I = c r tI = 7 500 0,0492 2 = 738 C = 7 500 + 738 = 8 238

215

78

56

165

41 r

3 ( 2)9 ( 2) 3( 2) 1

2 79 7 27 1

31 2/3

1/51 1/5

12

7/2 + 202

a1 + an2

8 + 562

a1 + an2

SOLUCIONARIO


20. Calcula los aos que ha estado depositado un capi-tal de 5 000 al 3,5% de inters si se han generado700 de intereses, sin el descuento de Hacienda.

I = c r t t =

t = = 4 aos

21. Calcula el rdito al que se han depositado 18000 a in-ters simple durante 5 aos si, una vez retenido el 18%de Hacienda, los intereses generados son de 2 952

I = c r t r =

r = = 0,0328

El rdito bruto:r = 0,0328 : 0,82 = 0,04 R = 4%

22. Se depositan 6 500 al 5% de inters compuesto du-rante 4 aos. Hacienda retiene el 18% de los intere-ses cuando se recupera el capital. Calcula el capitalfinal si los intereses se abonan anualmente.

C = c (1 + r )t C = 6 500 1,054 = 7 900,79 Los intereses son: 7 900,79 6 500 = 1 400,79 Hacienda retiene: 1 400,79 0,18 = 252,14 El capital final neto ser:7 900,79 252,14 = 7 648,65

23. Se depositan 35 500 al 4% de inters compuestocon abono de intereses diarios durante 2 aos. Cal-cula el capital final si Hacienda retiene el 18% al fi-nalizar el plazo.

C = c (1 + )n tC = 35 500(1 + )360 2 = 38 456,52 Los intereses son: 38 456,52 35 500 = 2 956,52 Hacienda retiene: 2 956,52 0,18 = 532,17 El capital final neto ser:38 456,52 532,17 = 37 924,35

24. Qu capital inicial es necesario para que, a interscompuesto durante 4 aos al 5% anual y con pero dosde capitalizacin anuales, se acumule un capital fi-nal de 15 558,48 ?

C = c (1 + r )t c = c =

c = 12 800

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1. SUCESIONES

25. Escribe los seis primeros trminos de las si guientessucesiones:a)1, 9, 17, 25b)2, 4, 8, 16c)Los mltiplos de 5d)Los inversos de los cuadrados de los nmeros na-

turales.

a) 1, 9, 17, 25, 33, 41b) 2, 4, 8, 16, 32, 64c) 0, 5, 10, 15, 20, 25d) 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36

26. Halla los diez primeros trminos de las siguientes su-cesiones:a)x, 2x, 4x, 8xb)1, 3, 4, 3, 9c)3, 3, 6, 9, 15d)El triple de los nmeros naturales.

a) x, 2x, 4x, 8x, 16x, 32x, 64x, 128x, 256x, 512xb) 1, 3, 4, 3, 9, 3, 16, 3, 25, 3c) 3, 3, 6, 9, 15, 24, 39, 63, 102, 165d) 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27

27. Calcula los cinco primeros trminos de las siguien-tes sucesiones:a)an = 4n + 2 b) an = n

2 + 1c)an = 2

n d) an = (n 2)n

a) 2, 6, 10, 14, 18b) 2, 5, 10, 17, 26c) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32d) 1, 0, 1, 16, 243

2. PROGRESIONES ARITMTICAS

28. Encuentra el trmino general de las siguientes pro-gresiones aritmticas:a) 7, 11, 15 b) 3, 2, 7c) 7, 3, 1 d) 1/2, 3/4, 1

a) a1 = 7, d = 4 an = 7 + 4(n 1) = 4n + 3b) a1 = 3, d = 5 an = 3 5(n 1) = 5n + 8c) a1 = 7, d = 4 an = 7 + 4(n 1) = 4n 11

d) a1 = , d = 1/4 an = + (n 1) =

29. Escribe el trmino general y los tres primeros trmi-nos de la progresin aritmtica cuyo primer trminoes a1 = 3 y cuya diferencia es d = 15/4

an = 3 (n 1) =

3, 3/4, 9/2

30. En una progresin aritmtica, a11 = 3 y la diferenciaes d = 2/7. Calcula el primer trmino.

a11 = 3, d = 2/7

a1 + (11 1) = 3 a1 = 1/7

31. En una progresin aritmtica el primer trmino vale3 y el sexto trmino vale 8. Calcula la diferencia.

a1 = 3, a6 = 8a6 = a1 + d (6 1)8 = 3 + 5dd = 1

32. En las siguientes progresiones aritmticas, calculael trmino que ocupa el ltimo valor:a) 4, 6, 8, 30b) 7/2, 5/2, 3/2 , 21/2

27

154

15n + 274

14

12

14

n + 14

C(1 + r)t

15 558,481,054

0,04360

rn

2 95218 000 5

Ic t

7005 000 0,035

Ic r

SOLUCIONARIO32


33

a) a1 = 4, d = 2, an = 30an = a1 + d (n 1)30 = 4 + 2(n 1)n = 14

b) a1 = 7/2, d = 1, an = 21/2an = a1 + d (n 1) 21/2 = 7/2 (n 1)n = 15

33. En una progresin aritmtica conocemos los trmi-nos a5 = 7 y a7 = 25/3. Calcula la diferencia y el primertrmino.

an = a1 + (n 1)d7 = a1 + (5 1)d a1 + 4d = 7

25/3 = a1 + (7 1)d a1 + 6d =

Restando a la 2. ecuacin la 1.:

2d = d =

a1 + 4 = 7 a1 =

34. Calcula la suma de los 15 primeros trminos de la progresin aritmtica cuyo trmino general es an = 3n + 12a1 = 3 + 12 = 15a15 = 3 15 + 12 = 57

S15 = 15 = 540

35. Calcula la suma de los 12 primeros trminos de la progresin aritmtica cu yo trmino general es an = n/3 + 4/3

a1 = 1/3 + 4/3 = 5/3a12 = 12/3 + 4/3 = 16/3

S12 = 12 = 42

3. PROGRESIONES GEOMTRICAS

36. Encuentra el trmino general de las siguientes pro-gresiones geomtricas:a)6, 12, 24 b) 1/3, 1, 3c)3, 6, 12 d) 3/4, 1/2, 1/3a) a1 = 6, r = 2, an = 6 2

n 1

b) a1 = , r = 3, an = 3n 1 = 3n 2

c) a1 = 3, r = 2, an = 3 ( 2)n 1

d) a1 = , r = 2/3, an = ( )n 137. Dada una progresin geomtrica cuyo primer trmino

es a1 = 8 y cuya razn es r = 3/4, calcula:a)a6 b) a10c)a20 d) an

a) a6 = 8 ( )5 b) a10 = 8 ( )9c) a20 = 8 ( )19 d) an = 8 ( )n 1

38. En una progresin geomtrica, a7 = 64/81 y la razn r = 2/3. Calcula el primer trmino.

a7 = a1 r7 1

= a1 ( )6 = a1( )6a1 = 3

2 = 9

39. En la progresin geomtrica 5, 10, 20, qu tr-mino vale 640?

an = a1 rn 1

a1 = 5, r = 2640 = 5 ( 2)n 1

128 = ( 2)n 1

( 2)7 = ( 2)n 1

n 1 = 7 n = 8

40. En una progresin geomtrica el primer trmino es1/3 y el sptimo trmino es 243. Calcula la razn.

an = a1 rn 1

243 = 1/3 r 7 1

r 6 = 729r 6 = 36

r = 3

41. Encuentra la razn de la progresin geomtrica quetiene a1 = 27/64 y a8 = 2/81

an = a1 rn 1

= r 8 1

r 7 = ( )7r =

42. Calcula la suma de los 12 primeros trminos de lassiguientes progresiones:a)4, 8, 16b)1/10, 1/5, 2/5

a) a1 = 4, r = 2a12 = 4 ( 2)

11

S12 = = 5 460

b) a1 = , r = 2

a12 = 211

S12 = =

43. Calcula la suma de los infinitos trminos de las si-guientes progresiones:a)9, 3, 1b)9/4, 3/2, 1

a) a1 = 9, r =

S = = 91 (1/3)

272

13

1/10 211 2 1/102 1

8192

110

110

4 ( 2)11 ( 2) 4 2 1

23

23

281

2764

6481

23

26

3423

34

34

34

34

34

34

23

13

13

5/3 + 16/32

15 + 572

23

133

43

23

253

SOLUCIONARIO


b) a1 = , r =

S = =

44. Cuntos trminos hay que tomar de la siguiente pro-gresin: 5, 10, 20 para que la suma sea 2 555?

Sn =

a1 = 5, r = 2an = 5 2

n 1

= 2 555

5(2n 1) = 2 5552n = 5122n = 29

n = 9

45. La suma de los infinitos trminos de una progresines 12 y su razn r = 1/2. Halla el primer trmino.

Sn =

12 =

a1 = 6

4. APLICACIONES: INTERS SIMPLE Y COMPUESTO

46. En un depsito ofrecen un 3,5% de inters simple por4 aos. Si se depositan 12 000 y Hacienda retiene el18% de los intereses, calcula el capital acumuladoal finalizar el perodo.

El tanto por uno final: 0,035 0,82 = 0,0287I = c r tI = 12 000 0,0287 4 = 1 377,60 C = 12 000 + 1 377,60 = 13 377,60

47. Calcula los aos que ha estado depositado un capi-tal de 25 500 al 6% de inters si, realizada la re-tencin de Hacienda del 18%, se han generado5 018,40 de intereses.

Inters bruto: 5 018,40 : 0,82 = 6 120

I = c r t t =

t = = 4 aos

48. Calcula el rdito o tanto por ciento al que se han de-positado 20 000 a inters simple durante 2 aos si,una vez retenido el 18% de Hacienda, los interesesgenerados son de 1 640

Inters bruto: 1 640 : 0,82 = 2 000

I = c r t r =

r = = 0,05 R = 5%

49. Calcula el capital que hay que depositar durante 2aos al 3,25% de inters simple para que generen

unos intereses netos, es decir, descontado el 18% dela retencin de Hacienda, de 1 332,50

1 332,50 : 0,82 = c = 0,0325 2

c = = 25 000

50. Una entidad financiera ofrece un 3,5% anual por undepsito renovable todos los meses. Si los interesesno se acumulan en el depsito y este se renueva5 meses, qu inters se ob ten dr por 18 000 unavez descontado el 18% de retencin de Hacienda?

Tanto por uno final: 0,035 0,82 = 0,0287

I = c r

I = 18 000 0,0287 5/12 = 215,25

51. Qu capital se acumula si se colocan 31 000 al 5%de inters compuesto durante 3 aos si los interesesse abonan trimestralmente y Hacienda retiene el 18%al finalizar el perodo?

C = c (1 + )n tC = 31 000(1 + )4 3 = 35 983,39 Los intereses son: 35 983,39 31 000 = 4 983,39 Hacienda retiene: 4 983,39 0,18 = 897,01 El capital final neto ser:35 983,39 897,01 = 35 086,38

52. Qu capital inicial es necesario tener depositadopara que, a inters compuesto durante 5 aos al 6%anual y con perodos de capitalizacin mensuales,se acumule un capital final de 26 977 ?

C = c (1 + )n tc(1 + )12 5 = 26 9771,00560 c = 26 977c = 26 977 : 1,00560

c = 20 000

PARA AMPLIAR

53. Estudia si las siguientes sucesiones son progresio-nes aritmticas o geomtricas y encuentra el trminogeneral:a) 3/5, 3/10, 6/5b)11/3, 35/12, 13/6c)5/6, 1/2, 3/10d)3/4, 1/2, 1/3

a) a1 = 3/5, d = 9/10Progresin aritmtica de trmino general:

an = + (n 1) =

b) a1 = 11/3, d = 3/4Progresin aritmtica de trmino general:

an = (n 1) = 113

34

53 9n12

35

910

9n 1510

0,0612

rn

0,054

rn

tn

1 6250,065

2 00020 000 2

Ic t

6 12025 500 0,06

Ic r

a11 1/2

a11 r

5 2n 1 2 52 1

an r a1r 1

9/41 (2/3)

274

94

23

SOLUCIONARIO34


35

c) a1 = 5/6, r = 3/5Progresin geomtrica de trmino general:an = 5/6 (3/5)

n 1

d) a1 = 3/4, r = 2/3Progresin geomtrica de trmino general:an = 3/4 ( 2/3)

n 1

54. Escribe el trmino general y los tres primeros trminosde la progresin aritmtica cuyo primer trmino es a1 = 3/4 y cuya diferencia es d = 0,5

an = a1 + (n 1)d

an = 3/4 + 0,5(n 1) = + (n 1)

an =

3/4, 5/4, 7/4

55. Calcula el trmino que ocupa el lugar 100 en la pro-gresin:

5, 13/3, 11/3

an = 5, d = 2/3a100 = 5 + (100 1)2/3 = 5 + 66 = 61a100 = 61

56. Calcula el primer trmino y la diferencia en las pro-gresiones aritmticas en las que:a)a3 = 70 y a6 = 115 b) a5 = 6 y a9 = 7

a) a1 + 2d = 70a1 + 5d = 115


3d = 45 d = 15a1 + 2 15 = 70 a1 = 70 30 = 40

b) a1 + 4d = 6a1 + 8d = 7


4d = 1 d = 1/4

a1 + 4 = 6 a1 = 5

57. Calcula la suma de los 12 primeros trminos de la progresin aritmtica cuyo trmino general es an = 5n/2 + 1/2

a1 = 3a12 = 30 + 1/2 = 61/2

S = 12 = 201

58. Dada una progresin geomtrica cuyo primer trminoes a1 = 3/8 y cuya razn es r = 4/3, calcula:a) a5b) a15c) a30d) an

a) a5 = ( )4 = ( )3b) a15 = ( )14 = ( )13

c) a30 = ( )29 = ( )28d) an = ( )n 1 = ( )n 2

59. Calcula la suma de los cinco primeros trminos delas siguientes progresiones:a) 12, 4, 4/3b) 9/4, 3/2, 1

a) a1 = 12, r = 1/3a5 = 12 (1/3)

4

S5 = =

b) a1 = 9/4, r = 2/3a5 = 9/4 (2/3)

4 = 4/9

S5 = =

60. Calcula la suma de los infinitos trminos de las si-guientes progresiones:a)5, 5/4, 5/16 b) , 1, 1/

a) a1 = 5, r = 1/4

S = =

b) a1 = 2, r = 1/2

S = =

61. En una progresin geomtrica a4 = 125 y a6 = 3 125.Calcula el primer trmino y la razn.

an = ak rn k

a6 = a4 r6 4

3 125 = 125 r 2

r 2 = 25 r = 5Si r = 5 a1 = 1Si r = 5 a1 = 1

62. Calcula los aos que ha estado depositado un ca pitalde 28 500 al 4,5% de inters simple si se han gene-rado 5 258,25 una vez retenido el 18% de Hacienda.

Inters bruto: 5 258,25 : 0,82 = 6 412,50

I = c r t t =

t = = 5 aos

63. Calcula el rdito al que se han depositado 15 000 ainters simple durante 3 aos si, una vez retenido el18% de Hacienda, los intereses generados son de1 660,50

Inters bruto: 1 660,50 : 0,82 = 2 025

I = c r t r =

r = = 0,045 R = 4,5%2 02515 000 3

Ic t

6 412,5028 500 0,045

Ic r

21 1/2

22 1

51 1/4

203

2 2

4/9 2/3 9/42/3 1

21136

12(1/3)4 1/3 121/3 1

48427

38

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