Embed Size (px)
Citation preview
MATE 3032
Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 19
MATE 3032
IntegraciÛn de funciones racionales: fracciones parciales
En esta secciÛn se resolver·n integrales de funciones racionales,
f (x) =P (x)Q (x)
, (1) P (x) y Q (x) son funciones polinÛmicas
usando fracciones parciales.Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x), use elalgoritmo de la divisiÛn:
f (x) =P (x)Q (x)
= S (x) +R (x)Q (x)
donde S y R son polinomios.
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 19
MATE 3032
Ejemplo1. Eval˙e
Z 2t + 1t + 1
dt
P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 19
MATE 3032
El objetivo es expresar la funciÛn racionalP (x)Q (x)
como una suma de
fracciones parciales de la forma:
A
(ax + b)io
Ax + B
(ax2 + bx + c)j
Caso 1: El denominador Q (x) es un producto de factores linealesdiferentes:Q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ! ! ! (akx + bk )donde ning˙n factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, ! ! ! ,Ak tal que:R (x)Q (x)
=A1
a1x + b1+
A2a2x + b2
+ ! ! !+Ak
akx + bk
P. V·squez (UPRM) Conferencia 4 / 19
MATE 3032
2. Eval˙eZ 1
0
x " 4x2 " 5x + 6
dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 5 / 19
MATE 3032
Caso 2: El denominador Q (x) es un producto de factores lineales,algunos se repiten:Q (x) = (a1x + b1)
r (a2x + b2) ! ! ! (akx + bk )donde ning˙n factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, ! ! ! ,Ak tal que:R (x)Q (x)
=A11
a1x + b1+
A12(a1x + b1)
2 + ! ! !+A1r
(a1x + b1)r
| {z }+
A2a2x + b2
+
! ! !+Ak
akx + bk
3. Eval˙eZ 3
2
x (3" 5x)(3x " 1) (x " 1)2
dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 6 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 7 / 19
MATE 3032
Caso 3: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadr·ticosdiferentes:Q (x) =
&a1x2 + b1x + c1
' &a2x2 + b2x + c2
'! ! !&akx2 + bkx + ck
'
donde ning˙n factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, ! ! ! ,Ak ,B1,B2, ! ! ! ,Bk talque:R (x)Q (x)
=A1x + B1
a1x2 + b1x + c1+
A2x + B2a2x2 + b2x + c2
+ ! ! !+Akx + Ck
akx2 + bkx + ck
4. Eval˙eZ 10x3 " x2 + 9x " 9
dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 8 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 9 / 19
MATE 3032
Caso 4: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadr·ticos,algunos son repetidos:Q (x) =
&a1x2 + b1x + c1
'r &a2x2 + b2x + c2'! ! !&akx2 + bkx + ck
'
donde ning˙n factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, ! ! ! ,Ak ,B1,B2, ! ! ! ,Bk talque:R (x)Q (x)
=
A11x + B11a1x2 + b1x + c1
+A12x + B12
(a1x2 + b1x + c1)2 ! ! !+
A1r x + B1r(a1x2 + b1x + c1)
r
| {z }+
A2x + B2a2x2 + b2x + c2
+ ! ! !+Akx + Ck
akx2 + bkx + ck
5. Eval˙eZ 1
x (x2 + 4)2dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 10 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 11 / 19
MATE 3032
6.Z 1
2px + 3+ x
dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 12 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 13 / 19
MATE 3032
7.Z 11+ ex
dx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 14 / 19
MATE 3032
8.Z p1+
px
xdx
P. V·squez (UPRM) Conferencia 15 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 16 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 17 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 18 / 19
MATE 3032
P. V·squez (UPRM) Conferencia 19 / 19
