MATE 3032

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 19

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Integración de funciones racionales: fracciones parciales

En esta sección se resolverán integrales de funciones racionales,

f (x) =P (x)Q (x)

, (1) P (x) y Q (x) son funciones polinómicas

usando fracciones parciales.Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x), use elalgoritmo de la división:

f (x) =P (x)Q (x)

= S (x) +R (x)Q (x)

donde S y R son polinomios.

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Ejemplo1. Evalúe

R3t!2t+1 dt

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El objetivo es expresar la función racionalP (x)Q (x)

como una suma de

fracciones parciales de la forma:

A

(ax + b)io

Ax + B

(ax2 + bx + c)j

Caso 1: El denominador Q (x) es un producto de factores linealesdiferentes:Q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) · · · (akx + bk )donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak tal que:R (x)Q (x)

=A1

a1x + b1+

A2a2x + b2

+ · · ·+Ak

akx + bk

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2. EvalúeR 10

x!4x 2!5x+6dx

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Caso 2: El denominador Q (x) es un producto de factores lineales,algunos se repiten:Q (x) = (a1x + b1)

r (a2x + b2) · · · (akx + bk )donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak tal que:R (x)Q (x)

=A11

a1x + b1+

A12(a1x + b1)

2 + · · ·+A1r

(a1x + b1)r

| {z }+

A2a2x + b2

+

· · ·+Ak

akx + bk

3. EvalúeR

x 2!5x+16(2x+1)(x!2)2

dx

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Caso 3: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadráticosdiferentes:Q (x) =

&a1x2 + b1x + c1

' &a2x2 + b2x + c2

'· · ·&akx2 + bkx + ck

'

donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak ,B1,B2, · · · ,Bk talque:R (x)Q (x)

=A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2a2x2 + b2x + c2

+ · · ·+Akx + Ck

akx2 + bkx + ck

4. EvalúeRx 2!x+6x 3+3x dx

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Caso 4: El denominador Q (x) es un producto de factores cuadráticos,algunos son repetidos:Q (x) =

&a1x2 + b1x + c1

'r &a2x2 + b2x + c2'· · ·&akx2 + bkx + ck

'

donde ningún factor se repite, en este caso el teorema de fraccionesparciales indica que existen constantes A1,A2, · · · ,Ak ,B1,B2, · · · ,Bk talque:R (x)Q (x)

=

A11x + B11a1x2 + b1x + c1

+A12x + B12

(a1x2 + b1x + c1)2 · · ·+

A1r x + B1r(a1x2 + b1x + c1)

r

| {z }+

A2x + B2a2x2 + b2x + c2

+ · · ·+Akx + Ck

akx2 + bkx + ck

5. EvalúeR

1x (x 2+4)2

dx

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6.R

12px+3+x

dx

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7.R

11+ex dx

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