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Dr. Pedro Vásquez

UPRM

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Integración Aproximada

Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de laintegral definida.La primera situación se deriva del hecho de que a fin de evaluarR ba f (x) dx usando el teorema Fundamental del cálculo, se necesitaconocer la antiderivada de f .Sin embargo, a veces, es difícil, o incluso imposible, para encontrar unantiderivada. Por ejemplo, es imposible evaluar las siguientes integrales:

R 10 sin

(x3)dx

R 1−1

3p1− x3dx

La segunda situación se plantea cuando la función se determina a partir deun experimento científico con las lecturas de los instrumentos o colecciónde datos. Quizás no puede haber ninguna fórmula para la función.En ambos casos tenemos que encontrar valores aproximados de integralesdefinidas. Ya conocemos uno de esos métodos.

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Recuerde que una integral definida se define como el límite de la suma deRiemann, entonces cualquier suma de Riemann se puede usar como unaaproximación a la integral. Si se divide [a, b] en n subintervalos de iguallongitud Dx = b−an , y se tiene:

R ba f (x) dx ≈

nÂi=1

f (x∗i )Dx

donde x∗i es cualquier punto del i-ésimo intervalo [xi−1, xi ] y se tiene:

R ba f (x) dx ≈ Ln =

nÂi=1f (xi−1)Dx

R ba f (x) dx ≈ Rn =

nÂi=1f (xi )Dx

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R ba f (x) dx ≈ Mn =

nÂi=1f (xi )Dx

Regla del punto medioR ba f (x) dx ≈ Mn =

nÂi=1f (xi )Dx

= Dx [f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn)]donde: Dx = b−any xi = 12 (xi−1 + xi )

Otra regla de aproximación, resulta de tomar el promedio de los extremosizquierdos y extremos derechos:R ba f (x) dx ≈

12 (Ln + Rn) =

12

[nÂi=1f (xi−1)Dx +

nÂi=1f (xi )Dx

]

= Dx2nÂi=1[f (xi−1) + f (xi )]

= Dx2 [(f (x0) + f (x1)) + (f (x1) + f (x2)) + · · ·+ (f (xn−1) + f (xn))]

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Tn = Dx2 [f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]

Regla del trapecioR ba f (x) dx ≈ Tndonde: Dx = b−any xi = a+ iDx

ErroresSuponga que |f 00 (x)| ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si ET y EM son los erroresde las reglas del trapecio y punto medio, respectivamente, entonces:

|ET | ≤K (b− a)3

12n2y |EM | ≤

K (b− a)3

24n2

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Ejemplo1. Aproxime el valor de la integral

R 20

1t6+1dt, n = 10, usando las reglas

del punto medio y trapecio.

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2. Aproxime el valor de la integralR 64 ln

(x3 + 2

)dx , n = 10, usando las

reglas del punto medio y trapecio.

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3. a. Aproxime el valor de la integralR 21 e

1/x dx , n = 10, usando las reglasdel punto medio y trapecio.b. Estime los errores en la aproximación de la parte (a).c. Determine el valor de n para que las aproximaciones Tn y Mn a laintegral de la parte a, tengan una aproximación de 0.0001.

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Regla de SimpsonEsta método utiliza parábolas en vez de segmentos de recta paraaproximar una curva. Se procede como en los casos anteriores, dividiendoel intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud Dx = b−an y seasume que n es un número par. Luego, en cada par de intervalosconsecutivos se aproxima la curva y = f (x) ≥ 0 por una parábola como semuestra en la siguiente figura:

Si yi = f (xi ), entonces Pi (xi , yi ) es un punto sobre la curva

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Una parábola pasa por tres puntos consecutivos Pi ,Pi+1 y Pi+2. Parasimplificar los cálculos, cnosidere los casos donde: x0 = −h, x1 = 0 yx2 = h, ver la siguiente figura:

La ecuación de la parábola a travésde P0,P1 ,y P2 es de la formay = Ax2 + Bx + Cy representa el área bajo la paráboladesde x = −h a x = h y es:

R h−h(Ax2 + Bx + C

)dx = 2

R h0

(Ax2 + C

)dx = 2

hAx

3

3 + Cxih0

= 2hAh

3

3 + Chi= h3

(2Ah2 + 6C

)

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Como la parábola pasa a través de P0(−h, y0),P1(0, y1) y P2(h, y2) , setiene que:

y0 = A(−h)2 + B(−h) + C = Ah2 − Bh+ Cy1 = C

y2 = Ah2 + Bh+ C

y por lo tanto y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2 + 6Cel área bajo la parábola se puede reescribir como:

h3 (y0 + 4y1 + y2)

De manera similar el área de la parábola que pasa por los puntos P2,P3 yP4 desde x = x2 a x = x4 es:

h3 (y2 + 4y3 + y4)

Si se continúa calculando las áreas de todas las parábolas, se obtiene:R ba f (x) dx ≈h3 (y0 + 4y1 + y2) +

h3 (y2 + 4y3 + y4) + · · ·+

h3 (yn−2 + 4yn−1 + yn)

= h3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn)P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 25

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Por lo tanto la regla de Simpson es dada por:R ba f (x) dx ≈ Sn

= Dx3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · ·+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn)

donde n es un número par y Dx =b− an

.

ErroresSuponga que

∣∣∣f (4) (x)∣∣∣ ≤ K para a ≤ x ≤ b. Si ES es el error de la regla

de Simpson, entonces:

|ES | ≤K (b− a)5

180n4

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4. Aproxime el valor de la integralR 64 ln

(x3 + 2

)dx , n = 10, usando la

regla Simpson.y su error correspondiente.

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5. a. Aproxime el valor de la integralR p0 sin xdx , n = 10, usando la regla

de de Simpson.b. Estime el error en la aproximación de la parte (a).c. Determine el valor de n para que la aproximación Sn a la integral de laparte a, tengan una aproximación de 0.00001.

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6. Resuelva problema 32, página 517.

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