MATE 3032

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 13

MATE 3032

Derivadas e integrales de funciones vectoriales

La derivada de una función vectorial r, es una función r0 definifa por

drdt=r0 (t) = lim

h!0

r (t + h)− r (t)h

Si el límite existe. El significado geométrico se puede apreciar en lasiguiente figura:

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 13

MATE 3032

La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que pasa por P yes paralela al vector tangente r0 (t) .El vector tangente unitario se define por:

T(t) =r0 (t)|r0 (t)|

El siguiente teorema presenta un método fácil para calculuar la derivada deuna función vectorial r(t) :

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 13

MATE 3032

Ejemplo1. r(t) =

⟨t2, t3

⟩, t = 1

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 13

MATE 3032

2. Halle la derivada de:a. r(t) =

⟨pt − 2, 3, 1/t2

⟩

b. r(t) =D

11+t ,

t1+t ,

t21+t

E

c. r(t) = a+tb+t2c

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 13

MATE 3032

Reglas de diferenciación

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 13

MATE 3032

3. Halle el VTU de: r(t) =⟨sin2 t, cos2 t, tan2 t

⟩, t = p/4

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 13

MATE 3032

4. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:x = t2 + 1, y = 4

pt, z = et

2−t ; en el punto (2, 4, 1)

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 13

MATE 3032

La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede definirde manera similar a como se define la integral definida de una función devalor real. Si la integral de r(t) se expresa en términos de las funcionescomponentes f , g y h de la siguiente manera:

y

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 13

MATE 3032

Por el teorema fundamental del cálculo se tiene:

donde R es una antiderivada de r, esto es: R0(t) = r(t).La notación

Rr(t)dt se usa para integrales definidas.

5. Evalúe:R 10

(11+t i+

11+t2 j+

t1+t2 k

)dt

6. Evalúe:Z p/4

0

(sec t tan ti+ t cos 2tj+ sin2 2t cos 2tk

)dt

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 13

MATE 3032

7. Halle r(t) si r0(t) = ti+ et j+ tetk y r(0) = i+ j+ k

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 13

MATE 3032

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 13

MATE 3032

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 13