MATE 3032

Dr. Pedro V·squez

UPRM

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IntegraciÛn Aproximada

Hay dos situaciones en las que es imposible encontrar el valor exacto de laintegral deÖnida.La primera situaciÛn se deriva del hecho de que a Ön de evaluarR ba f (x) dx usando el teorema Fundamental del c·lculo, se necesitaconocer la antiderivada de f .Sin embargo, a veces, es difÌcil, o incluso imposible, para encontrar unantiderivada. Por ejemplo, es imposible evaluar las siguientes integrales:

R 10 sin

"x3#dx

R 1!1

3p1! x3dx

La segunda situaciÛn se plantea cuando la funciÛn se determina a partir deun experimento cientÌÖco con las lecturas de los instrumentos o colecciÛnde datos. Quiz·s no puede haber ninguna fÛrmula para la funciÛn.En ambos casos tenemos que encontrar valores aproximados de integralesdeÖnidas. Ya conocemos uno de esos mÈtodos.

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Recuerde que una integral deÖnida se deÖne como el lÌmite de la suma deRiemann, entonces cualquier suma de Riemann se puede usar como unaaproximaciÛn a la integral. Si se divide [a, b] en n subintervalos de iguallongitud Dx = b!a

n , y se tiene:

R ba f (x) dx #

nÂi=1

f (x$i )Dx

donde x$i es cualquier punto del i-Èsimo intervalo [xi!1, xi ] y se tiene:

R ba f (x) dx # Ln =

nÂi=1f (xi!1)Dx

R ba f (x) dx # Rn =

nÂi=1f (xi )Dx

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R ba f (x) dx # Mn =

nÂi=1f (xi )Dx

Regla del punto medioR ba f (x) dx # Mn =

nÂi=1f (xi )Dx

= Dx [f (x1) + f (x2) + % % %+ f (xn)]donde: Dx = b!a

ny xi = 1

2 (xi!1 + xi )

Otra regla de aproximaciÛn, resulta de tomar el promedio de los extremosizquierdos y extremos derechos:R ba f (x) dx #

12 (Ln + Rn) =

12

$nÂi=1f (xi!1)Dx +

nÂi=1f (xi )Dx

%

= Dx2

nÂi=1[f (xi!1) + f (xi )]

= Dx2 [(f (x0) + f (x1)) + (f (x1) + f (x2)) + % % %+ (f (xn!1) + f (xn))]

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Tn = Dx2 [f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + % % %+ 2f (xn!1) + f (xn)]

Regla del trapecioR ba f (x) dx # Tndonde: Dx = b!a

ny xi = a+ iDx

ErroresSuponga que jf 00 (x)j ( K para a ( x ( b. Si ET y EM son los erroresde las reglas del trapecio y punto medio, respectivamente, entonces:

jET j (K (b! a)3

12n2y jEM j (

K (b! a)3

24n2

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EjemploEjercicio 2

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1. Aproxime el valor de la integralR p/20

p1+ cos xdx , n = 4, usando las

reglas del punto medio y trapecio.

Dx = b!an = p/2!0

4 = p/8M8 = Dx [f (x1) + f (x2) + f (x3) + f (x4)]

= p/8 [f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( )]=

p/8& p

1+ cos (p/16) +p1+ cos (3p/16) +

p1+ cos (5p/16)

+p1+ cos (7p/16)

(

= 2. 003 216 378

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T8 = Dx2 (f (x0) + 2 (f (x1) + f (x3)) + f (x4))

= p/82 [f ( ) + 2 (f ( ) + f ( ) + f ( )) + f ( )]

=

p/82

0

@p1+ cos (0) + 2

& p1+ cos (p/8) +

p1+ cos (2p/8)

+p1+ cos (3p/8)

(+

p1+ cos (4p/8)

1

A

= p/82 (9. 153 170 388+ 1) = 1. 993 570 344R 4

0 ln (1+ ex ) dx = 8. 804 234 584

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2. Aproxime el valor de la integralR 40 ln (1+ e

x ) dx , n = 8, usando lasreglas del punto medio y trapecio.

Dx = b!an = 4!0

8 = 1/2M8 = Dx [f (x1) + f (x2) + % % %+ f (x7) + f (x8)]

= 1/2 [f ( ) + f ( ) + % % %+ f ( ) + f ( )]=

1/2&ln"1+ e1/4#+ ln

"1+ e3/4#+ ln

"1+ e5/4#+ ln

"1+ e7/4#+

ln"1+ e9/4#+ ln

"1+ e11/4#+ ln

"1+ e13/4#+ ln

"1+ e15/4#

(

= 1/2 (5. 374 963 658+ 12. 223 460 98) = 8. 799 212 319

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T8 = Dx2 [f (x1) + 2 (f (x2) + % % %+ f (x7)) + f (x8)]

= 1/22 [f ( ) + f ( ) + % % %+ f ( ) + f ( )]

=

1/4

0

@ln"1+ e0

#+ 2

"ln"1+ e1/2#+ ln

"1+ e1

#+ ln

"1+ e3/2##+

2"ln"1+ e2

#+ ln

"1+ e5/2#+ ln

"1+ e3

#+ ln

"1+ e7/2##

+ ln"1+ e4

#

1

A

= 1/4 (8. 670 651 080+ 26. 586 460 96) = 8. 814 278 01ln"1+ e0

#+ 2

"ln"1+ e1/2#+ ln

"1+ e1

#+ ln

"1+ e3/2## = 8.

670 651 0802"ln"1+ e2

#+ ln

"1+ e5/2#+ ln

"1+ e3

#+ ln

"1+ e7/2##+

ln"1+ e4

#= 26. 586 460 96

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3. a. Aproxime el valor de la integralR p0 sin xdx , n = 10, usando las reglas

del punto medio y trapecio.b. Estime los errores en la aproximaciÛn de la parte (a).c. Determine el valor de n para que las aproximaciones Tn y Mn a laintegral de la parte a, tengan una aproximaciÛn de 0.00001.

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Regla de SimpsonEsta mÈtodo utiliza par·bolas en vez de segmentos de recta paraaproximar una curva. Se procede como en los casos anteriores, dividiendoel intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud Dx = b!a

n y seasume que n es un n˙mero par. Luego, en cada par de intervalosconsecutivos se aproxima la curva y = f (x) ) 0 por una par·bola como semuestra en la siguiente Ögura:

Si yi = f (xi ), entonces Pi (xi , yi ) es un punto sobre la curva

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Una par·bola pasa por tres puntos consecutivos Pi ,Pi+1 y Pi+2. ParasimpliÖcar los c·lculos, cnosidere los casos donde: x0 = !h, x1 = 0 yx2 = h, ver la siguiente Ögura:

La ecuaciÛn de la par·bola a travÈsde P0,P1 ,y P2 es de la formay = Ax2 + Bx + Cy representa el ·rea bajo la par·boladesde x = !h a x = h y es:

R h!h"Ax2 + Bx + C

#dx = 2

R h0

"Ax2 + C

#dx = 2

hAx

3

3 + Cxih0

= 2hAh

3

3 + Chi= h

3

"2Ah2 + 6C

#

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Como la par·bola pasa a travÈs de P0(!h, y0),P1(0, y1) y P2(h, y2) , setiene que:

y0 = A(!h)2 + B(!h) + C = Ah2 ! Bh+ Cy1 = C

y2 = Ah2 + Bh+ C

y por lo tanto y0 + 4y1 + y2 = 2Ah2 + 6Cel ·rea bajo la par·bola se puede reescribir como:

h3 (y0 + 4y1 + y2)

De manera similar el ·rea de la par·bola que pasa por los puntos P2,P3 yP4 desde x = x2 a x = x4 es:

h3 (y2 + 4y3 + y4)

Si se contin˙a calculando las ·reas de todas las par·bolas, se obtiene:R ba f (x) dx #h3 (y0 + 4y1 + y2) +

h3 (y2 + 4y3 + y4) + % % %+

h3 (yn!2 + 4yn!1 + yn)

= h3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + % % %+ 2yn!2 + 4yn!1 + yn)

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Por lo tanto la regla de Simpson es dada por:R ba f (x) dx # Sn

= Dx3 (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + % % %+ 2yn!2 + 4yn!1 + yn)

donde n es un n˙mero par y Dx =b! an

.

ErroresSuponga que

///f (4) (x)/// ( K para a ( x ( b. Si ES es el error de la regla

de Simpson, entonces:

jES j (K (b! a)5

180n4

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4. Aproxime el valor de la integralR 64 ln

"x3 + 2

#dx , n = 10, usando la

regla Simpson.y su error correspondiente.Dx = b!a

n = 6!410 = 1/5

R 64 ln

"x3 + 2

#dx = 9. 650 525 954

S10 = Dx3 [f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) % % %+ 4f (x9) + f (x10)]

= 1/53 (f ( ) + 4f ( ) + 2f ( ) % % %+ 4f ( ) + f ( ))

=

1/53

0

BBBBBB@

ln"43 + 2

#+ 4 ln

1(21/5)3 + 2

2+ 2 ln

1(22/5)3 + 2

2

+4 ln1(23/5)3 + 2

2+ 2 ln

1(24/5)3 + 2

2+ 4 ln

1(25/5)3 + 2

2

+2 ln1(26/5)3 + 2

2+ 4 ln

1(27/5)3 + 2

2+ 2 ln

1(28/5)3 + 2

2+

4 ln1(29/5)3 + 2

2+ ln

1(6)3 + 2

2

1

CCCCCCA

= 1/53 (48. 847 290 83+ 38. 744 488 89+ 57. 166 104 04) = 9.

650 525 584P. V·squez (UPRM) Conferencia 17 / 26

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5. a. Aproxime el valor de la integralR p0 sin xdx , n = 10, usando la regla

de de Simpson.b. Estime el error en la aproximaciÛn de la parte (a).c. Determine el valor de n para que la aproximaciÛn Sn a la integral de laparte a, tengan una aproximaciÛn de 0.00001.

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6. Resuelva problema 32, p·gina 525.

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