01. =(3,2)= AB

(a, b) (3,1) (m,n) A C B

Como C es punto medio de AB entonces se cumple que:

a+m=6 ……….1

b+n=2 ……… 2

= AB =B – A

= (m,n) - (a ,b)=(3 ,2)

=(m-a,n-b)=(3 ,2)

Entonces: m -a=3 => m=3+a …….. 3

n -b=2 => n=2+b …….. 4

Reemplazando la ecuación número 3 en la ecuación número 1:

a+3+a=6 ۸ 2a=3 ۸ a=3/2 => m=9/2

Reemplazando la ecuación número 4 en la ecuación número 2:

b+3+b=6 ۸ 2b=0 ۸ b=0 => n=2

Las coordenadas de los extremos son:

A=(a,b) = (3/2,0) ۸ B=(m,n) = (9/2,2)

Mate Básica I

2. Según el vector localizado del segmento

, se tiene en la figura lo siguiente:

……………………. 1

………………….. 2

Por proporcionalidad en la figura se tiene:

………………….. 3

…….……………. 4

Resolviendo 1 y 3

En 3

Resolviendo 2 y 4

Y

V3

A

B

1

Y2

X1 5/3 X2

X1X2 -

Y1Y2 -

Y

X0

C

Y )11/3(Y2 -

Y )12/3(Y2 -

X )11/3(X2 -X )12/3(X2 -

En 4

Por lo tanto las coordenadas de A y B son:

3.ā=op =(x³ ,6-x)

ā=?

Si : ob = (9xy-y³ ,y) ۸ ā=b

Desarrol lo:

ā=p–o ob=b-o => b=ob-o ۸ o=b-ob

Si ā=b : p-o = ob-o (x³ ,6-x)=(9xy-y³ , y ) – o (x³ ,6-x)=(9xy-y³ , y ) – b + (9xy-y ³ ,y ) (x³ ,6-x)=(18xy-2y³ ,2y ) – b b=(18xy-2y³ -x ³ ,2y-6+x)

Pero : ā=(x³,6-x) ۸ ā=b

(x³ ,6-x)=(18xy-2y³-x³ ,2y-6+x) 18xy-2y³-x³=x³ ۸ 6-x=2y-6+x

2x³-18xy+2y³=0 12=2x+2y x³ -9xy+y³=0 6=x+y x³+y³=9xy

(x+y)³=6³=216 x³+y³+3x²y+3xy²=216

9xy+3xy(x+y)=216 9xy+18xy=216 27xy=216 xy=8

x+y=6 ۸ xy=8=2x4

(x=2۸y=4) ۷ (y=2۸x=4)

ā=(8,4) ۷ ā=(64,2)

5. Hallando el modulo de ;

Como Hallando el ángulo de ; Las componentes rectangulares del vector son:

06.

a) =(x,y)

√ x ²+y²=6 x ²+y²=36como: y= √3x => y ²=3x² => y=+3 √3 ۷ y=-3√3

reemplazando:

x ²+3x²=36 4x²=36 X²=9

x=+3 ۷ x=-3 => =(3 ,3√3) ۷ ( -3 , -3√3)

b) ûv=?

(x ,3 )

(3,-12)

= (x-3,15)

І І = 17

√(x-3)²+15² =17 (x-3)²+15² =17² (x-3)² =64 x-3=+8 ۷ x-3= -8 => x=11 ۷ x= -5

Si x = 11 => ûv = (8,15)/17 = ûv = (8/17,15/17)

x= -5 => ûv = (-8,15)/17 = ûv = (-8/17,15/17)

7. B C

ā ā M

A D b/2 b/2

Como la figura es un paralelogramo, sabemos que sus diagonales se bisecan, entonces M es punto medio de AC, por ese punto trazamos una recta paralela al AD del triangulo ACD, que corta al lado CD en el punto medio de dicho ángulo, sabemos esto por el teorema de la base media, entonces de la figura se obtiene:

MA=-a/2 –b/2=-(a+b)/2 MB=a/2 – b/2= (a-b)/2 MC=a/2 + b/2=(a+b)/2 MD=b/2 – a/2=(b-a)/2

8. De la figura:

09.

Cosβ= AC.AB ІAC І . ІAB І

ІAC І= ( -2 , -4 ,6)=2√14 ІAC І= ( -4 , -2 , -6 )=2√14

Cosβ= (8,8, -36)= -20/56 (2√14)²

Cosβ= -0.35714 => β=110.924

Cosθ= AB.BC = (4,2,6) . (2, -2,12) = -84 => θ= 34.5375 ІBA І . ІBC І 2√14.2√38 2√14.2√38

Cosω= CA .CB = (2,4, -6) . ( -2,2, -12) = -84 => ω= 34.5375 ІCA І . ІCB І 2√14.2√38 2√14.2√38

A

B C

D

a

b

M

b

a

10. De la figura:

; ;

β

θ

ω

11. De la figura.

A=(0,0,3) a A’=(0,5,3)

E=(4,5,3)

O=(0,0,0) C = (0,5,0)c

B=(4,0,0) D=(4,5,0)

ІOA І=3 , ІOB І=4 , ІOC І=5

c = B-A= (4,0, -3)a = A’-A=(0,5,0)

b = E-B=(0,5,3)d = C-D=(-4,0,0)e = C-E= (-4,0, -3)

V = a – 2b + 2c +d +eV = (0.5,0)- (0,10,6)+ (8,0, -6) + ( -4,0,0)+(-4,0, -3)

O

R

Q

P

c

b

a

M

V = (0, -5, -15)

W = (0,2,1)

V .W ІV І ІW І

Іv І= √ (0 ) ² + ( -5 ) ²+( -15) ² = 5√10Іw І= √ (0) ² + (2) ²+(1) ² = √5

Reemplazando en la fo rmula :

(0, -5, -15). (0,2,1) = -25 = - √2 5√10.√5 25√2 2

12.

B C=(8,-2, -10)

A=(6,-2,4) D

F =(-6,4,2) G

E H=(8,4,4)

FHxAC / /û FH=H -F=(8,4,4)-( -6,4,2)=(14,0,2)

AC=C -A=(8,-2, -10)-(6, -2,4)=(2,0, -14)

i j kFHxAC= 14 0 2 = (0,200,0) = 200(0,1,0) entonces : û=(0,1,0) 2 0 -14 1) EA = ІEA І .û => A-E= ІEA І .û

E= A- ІEA І .û E= (6, -2,4)-10(0,1,0) = (6, -12,4)

2) GC= ІGC І .û => C –G = ІCG І .ûG=C - ІGC І .û = (8, -2, -10)-10(0,1,0)

G= (8, -12,-10)

3) FB= ІFB І .û => B-F = ІFB І .û => B=ІFB І .û + FB= 10(0,1,0)+(-6,4,2) = ( -6,14,2)

4) HD= ІHD І .û => D –H = ІHD І .û => D=ІHD І .û + H D = 10(0,1,0) + (8,4,4) = (8,14,14)

Entonces los puntos que fa l tan son:

E = (6, -12,4)G= (8, -12,-10)B= (-6,14,2)D= (8,14,14)

13. a) A+B+C=0

(A+B)²= (-C)²

ІAІ²+ ІBІ²+2AB= І-CІ²6²+8²+2AB=12²36+64+2AB=1442AB=44 => AB= 22

Nos pide hallar: A.(2B-A) => A.(2B-A) = 2A.B + A.A = 2AB+ІAІ² = 44 +6² = 80

=> A.(2B-A) = 80

b) A+B+C=0 ІAІ²+ ІBІ² +ІCІ² + 2(A.B+B.C+A.C) = 0 36 + 9 + 64 + 2(A.B+B.C+A.C) = 0

109 + 2(A.B+B.C+A.C) = 0

(A.B+B.C+A.C)= -109/2

c) ІAІ=11 ІBІ = 23 ІA-BІ = 30 ІA+BІ = ¿? ІA-BІ = 30 ІAІ² + ІBІ² - 2A.B = 30² 11² + 23²- 2A.B = 30² 121 + 529 – 900 = 2A.B A.B = -250/2

ІA+B І ²= ІA І ² + ІB І ² +2A.BІA+B І ²=11² + 23² + 2( -250/2)ІA+B І ²= 121+52-250ІA+B І ²=400

ІA+B І =20

14. Para demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud. Se tiene la siguiente figura.

……………………………… 1

Por ser M y N puntos medios de AB y BC respectivamente se tiene lo siguiente.

Remplazando en la ecuación 1 se tiene.

15. B C

A D

AB + BD = ADBD² = (AD – AB)² ІBD І ² = ІADІ ² + ІABІ ² - 2AD.ABAC² = (AD+DC)²ІAC І ² = ІADІ ² + ІDCІ ² - 2AD.DC

Sumando:ІBD І ² = ІADІ ² + ІABІ ² - 2AD.ABІAC І ² = ІADІ ² + ІDCІ ² - 2AD.DC +

ІBD І ²+ ІAC І ²= ІADІ ² + ІABІ ² + ІADІ ² + ІDCІ ² - 2 (AD.AB-AD.DC)

0

ІBD І ²+ ІAC І ²= ІADІ ² + ІABІ ² + ІADІ ² + ІDCІ ²

A

B

C

M N

16.

I IUI – IVI I ≤ IU-VI

IUI = I(U-V) + VI ≤ I(U-V)I + IVI IUI – IVI ≤ I(U-V)I …………. 1

IVI = I(V-U) + UI ≤ I(V-U)I + IUI IVI ≤ I(V-U)I+ IUI IVI – IUI ≤ I(V-U)I………….. 2

Tomando valor absoluto a la relación 1 y 2 se tiene:

I IUI – IVI I = I IVI – IUI I Entonces:

I IUI – IVI I ≤ IU – VI l.q.q.d

17. U

V

IU-VI ² = IU I ²+ IV I ²

IU-VI ² = (U-V) ² ….…. 1U² + V² - 2U.VU.V=IUI IV I .Cos90ºU.V =0………………….2

Reemplazando 2 en 1 :

IU –VI ² = IU I ² + IV I ² - 2x0

IU –VI ² = IU I ² + IV I ²

18. Entonces:

A

B

C

Y

X45º

45º

Obteniendo el ángulo del vector .

Expresando el vector en coordenadas polares se tiene: