U.NIDAD XIV\

F.UNCIONESCI,RCULARESDE SUMA..V DIFERENCIA DE NUMEROS REALES.

101

Introducción

. En esta unidad se tratan las funciones circulares de la suma ydiferencia de dos números reales, y del doble y la mitad de un núm~ro.real. Asimismo se presenta ~I concepto de cofunción y ?u empleo en ra~fór.mulas de reducción, las cuales constituyen una herramienta. adecuada

'par.a la simplificación de. expresiones que.contengan funciones circulares.. . I .

103

objetivosgenerales

Al terminar de estudiar esta unidad/,el alumno:

1. Determinará las expresiones de las funciones circulares de una suma yde""unadiferencia de números reales.

2. . Determin-ará las expresiones de las funciones circulares del"doble y lamitad de un número real.

3. Aplicará las fórmulas de .reduccióna problemaspropuestos. .

. 4. Calculará los valores exactos de funciones de múltiplos y submúltiplosde n.

5: Utilizará las identidades trigonométricas en .Ia simpUficaci6n de algu-nas expresiones compl icadas. "

104

Diagramatemático estructural

Suma y Dife-rencia de dosnúmerosreales.

Cofunciones

Funcionescirculares(Unid~d XIII).

Doble y lamitad de unnúmero real.

Fórmulasde reducción.

Simplificación-de expresiones.

Cálculo de losvalores ex actos'de funciones.

105

Glosario

-.o-o

~ '

Cof'unción: La cofunción' de un número cualquiera es igual a la funciónrr/2 menos el número. ,

Angulo: Abertura comprendida entre dos semirectas que parten de un,pun to y tiene Uf'i1amedida que corresponde a la magnitud. de ,larotaci6n necesaria, pa~a llevar una de las semirecta.sdesde su posiciónoriginal hasta la posición de la 01ra.

Angulo en Revoluciones: Su magnitud está determinada por la razón entrela longi'1ud s d~1 arco interceptado y la longitud de la circunferencia,o sea: '

Angula en revoluciones = ~2 1T r

A ngulo' en Grados: Sistema sexügecimal util izado en aplicaci ones prácticas,cuya unidad fundamental es el grado. La magnitud de un ángulo en :grados está dada por la relación:

, ' oAngulo en grados =, (número de revoluciones) (360 ).

Angulo de Radianes: Sistema más utilizado en matemáticas, cuya unidadfundamentál es el radián. Si la longitud de la circunferencia unitariaes2rr, deducimos inmediatamenteque: ,

, Angulo- en radianes = (número de revoluciones) (2rr).

Igua~dad: Expresión de la equ¡valencia de dos'cantidades.

Ecuación: Proposición de igualdad válida sólo para determinados valores dela's letras que aparecen en ella~ ' .' l'

Identidad: Proposición de igualdad válida para todos los valores permisibles,-de las letras que aparecen en ella.' .

Identidad Trigonom~trica: Proposición de iguald~d entre funciones trigond.'métricas válida para, t.odos los valores permisibles de 8.

Valores Permisibles: Son aquellos para los cuales ambos miembros de-laigualdad están definidos.

, I

Módulo5

OBJETIVOSESPECIFICOS

Al terminar de estudiar este mód~IQ, el alumno:

1. Deducirá la expresióR para el coseno de la diférenda de dos números.reales.Conocidos los vé;lloresde dos números a y {3,desarrollará el consenode' la correspondiente diferencia y determinará su valor.Identificará las cofunciones.Demostrará que una función circular de un número real {3es igual a "

su cofunción de 1T/2 menos el número {3.Expresé¿lrá'funciones de la diferencia de dos números como unafunción" de {3,usando la propiedad que relaciona a'las cofunciones yrepresentando las funciones de (- {3ren términos de {3.

2.

3."4.

5.

ESQUEMA- RESUMEN

107

-Coseno de la

Funciones diferencia decirculares. dos números

reales. -..

-,

Expresión de

Cofunciones. - funciones de

la diferencipI de dos números

¿Eriuna, circunferencia

unitaria cómo'podemQsdeterminar lalongitud de.una cuerda?

Observemoslos arcosP.(a)y (13).

'108

5.1 COSENO DE LA DIFERENCIA DE DOS NUMEROS.

Demostración de la expresión para cos (a - (3).

Para lograr esta meta, le mostraremos primero cómo'determinar la longit~d de una cuerda en la circunferenciaunitaria. En la Figura 1 tenemos: una circunferencia unita-ria con centro en o.

v

P(a)(cosa, sena)

,- X

. P(/j)(cos(j, sen/j)~. '\

(3\,A(1,O)

Figura 1

P(a), punto terminal de un arco de longitud a, P(I3)puntoterminal de un arco de longitud 13,el arco qeterminado porlos puntos P(a) y .P(I3)tiene magnitud igual a -- 13. Elsegmento de recta que une estos dos puntos es una cuerdade la circunferencia.- (Figura 2).

v

P(a)(coSQ, sena)

X

Figura 2

l

La longitud de dicha cuerda, es la distancia entresus puntos extrem.os; como la distancia entre dos puntosdel plano está dada por la expresión

d ::: .J(X2 - xdz, + (y'z- vd2Asign.emos el subíndice 2 a I.ascoordenadas de pea) y elsub'índice 1 a las coordenadas de P(IJ), para obtener

L ::: .J (cosa - cosIJ)2 + (sena - senIJ)2.

Determinaciónde la longitudde la cuerda..

elevando al cuadrado cada binomio dentro del radicaltenemos que:

L ::: J ,(cos2a- 2 cosa cos{3+ cos21J + senZa - 2 sen~ senJj+ sen21J

agrupando

L ::: v(cosZa + senzlJ) + (cos21J + sen21J) - 2 cosa cos(t - 2 sena senIJ

~omo para todo "1 E. R cos2"1 + sen2"1::: 1 resulta: "1' (gamma)

L ::: .J1 + 1 - 2 cosa cosIJ- 2 senasen(3

sumando y sacando de factor a -2

L ::: .J2 - 2(cosa cosIJ + sena senlJ) (1)

Ahora consideremos una cuerda de la misma longi-tud L de tal manera que uno de sus ex.tremos coincidacon el punto A (1, O) (Figura 3).

v

-Dl'-l3,"\

\x

Figura 3

109

Medidadel arcodeterminadopor una cuerda.

110

11 El arco determi nado por esta cuerda m¡'de también(o: -(3) unidddes porque en un mismo círculo. a cuerdas.iguales corresponden ()rcos igualesy viceversa". '

En esta posición los ex tremos de la cuerda son lospun tos A(', O) Y P(o: - m este úl timo con coordena-das (cos (a - (3), sen (o: - (3)). . Aunque la longitud dela cuerda sigue' siendo la misma podemos obtener otraexpresión para ella estableciendo la distancia entr.e suspuntos ex tremos hagámoslo é.lsignando el subíndice 2 alas coordenadas del punto terminal P(o: - (3) y el subíndi-...:81 a las coordenadas del punto A. . .

L = J[cos(o: - (3)-1)2 + [s~n'(0:- {3)- 0)2

elevando al cuadrado dentro del radical 'tenemos:

l = JCOS2(o: - (3) - 2 costa: - (3) + 1 + sen2(0: - (3)¡:I

agrupando

l =.:J[COS2 (o: - (3) + sen2 (Ci - (3)] + 1 - 2 cos (a: - (3)"

. I .pero COS2 (a: - (3)+ sen2(a: -:-(3) =. 1 er)tonces;

.ó

1:.= .J 1 + 1 .-2 cos(a: - (3)

l = ...;2 - 2 cos(a: - -(3) {2}.

Hemos derivado dos expresiones (1) Y (2) pararepresentar.un mismo número l.

(t) l = ;2 -- 2 (cosa: cos{3 + sena: sen{3 ;

(2) l = "';2 - 2 cos (O' - (3)

por lo que

"';2 - 2 (cosa cos{3+ sen~-;;n(3) ~ .J2 - 2 cos(a:-{3)' .

elevqndo al cuadrado ambos miembros de la igualdadpara eliminar los radicales resuJta:

-- - -- - -- --

. 2 - 2 (cosa cos(3+ sena sen(3)= 2 - 2 cos(a ,--(3)

-2 (cosa cos(3 + sena sen(3) =-2 cos (a - (3) cancelación

para suma, .

y multiplicando ambos miembros de la "igualdad por elrecíproco de -2 ó sea por -- ~ obtenemos

cosa cos(3+ sena sen(3= cos.(a - (3)

y por la propiedad simétrica de las igualdades

cos (ex - (3) = co-sa eos{3 + seoo sen(3

Esta ¡guardad expresa el coseno de una diferencia (resta)en términos de a y de f3 y como se cumple para todoslos valores de a E R Y de (3E R, es una identidad/'por lo que tendrá cuidado de escribirla correctarpente(::). , , '

Ej~mplo: Si a=;: 2 {3= .J3

eos(2 - J3) = eos 2 eos -J3 + sen 2 sen .J"3'

Ejemplo: Si a' =, ~ (3= -5

[n ] n neos - - (-5) = eos - eos (-5) + sen .,- sen (-5)2. 2, 2,

, Ejemplo: Usando la expresión cos (ex- (3) ," eos' a

eos IJ + sen exsen {3 ,desarrolla eos (54n - ~) y determi-na su valor sustituyendo los valores exactos de lasfunciones obten idas.

Solución:

(fin n

)5n n 51T 1T

cos - - - = eos - eos - + sen - sen -4 6, 4 6 4 6

I = - L . Ja +(- ~ )1-.J2 2 ' J2" 2

Cosenode ladiferenciadedosarcos.

'111

¿Qué son lascofunciones?

~ 1.

= - 2.J2 - 2~.

(51T. 1T) .J3+,-cos --- =-. 4 6 2~2

51T 1T 151T - 21T- ~nota que ""4 - 6" = 12 - 12

,

(51T . 1T

)1T

entonces cos 4 - 6" = cos 13 12

. 1T. . ~ +1

por Id que cos 13 12 = - 2../2

5.2 COFUNCIONES

Una simple observación de los' nombres qe lasfuncipnes que está estudiando, le permitirá notar que sepueden agrupar por pares de modo que en cada par elnombre de una de ellas se forme anteponiendo el prefijo"co" al nombre de la otra.

1 (

seno, co seno1 (

tangente co tangente secante co secante

112

Las funciones así relacionadas son llamadas cofunciones.

La funci.ón seno es la tofunción de la f~.mcióncoseno, y coseno es la cofunción de seno también tta'ngente.'1 cotangente son cofunciones cada una de laotra y lo mismo sucede con las funciones secante ycosecante. Además del nombre, existe una propiedad querelaciona a las cofunciones median'te la cual es posibleexpresar cualquier función circular de un número real entérminos de una función de un número real a: tal queO 1T .

~a:~4'

P9ra mostrárselo partimos de la expresión:

cos (a: -;- (3) == cosa: c!>s{3+ sena: senl3

Si la expresión es válida para todo yalor permisible

de a: y 13 lo es cuando a: = ~.

Entonces:

(Tt

)Tt Tt

cos 2' - (3 :=cos2' cos(3 + sen2' sen~

dado que.

Tt

cos "2 =:= O yTt .

sen 2' = 1 tenemos:

cos (¡ - (3)

cos (~ ~ (3)

cos (~ - (3).

.:= O . Cos(3 + 1 . seo (3

== O + sen 13

.== sen 13 (1)

Siendo esta igualdad una identidad, se cumple para

todo 13E R, Como (~~ (3)E. R, si sustituimos {J por~ - (3 . obte~emos:

cos [i ~ (i - (3)] = sen (~ - (3)

Empleode lapropiedad delas cofunciones.

propiedad de cofunciones

cos (~ - i + (3)~ sen .(i - (3)

cos (o + (3)~i sen (~ - (3)

Consideremos las igualdades (1) Y (2), tenemos

( J) sen 13.:: cos (~ - (3)

si dividimos (2) entre (1) resulta

a-a=O

(2)

(2) cos 13 :.:.: sen (i - (3)

cos 13 . = sen (i - (3)

sen 13 - cos (i - 11)

sen 13 ¡. O

Tt

por lo que cot 13::~ tg (2 - (j) . (3)

-a + b

113

Analicemosl\Uesucedesi.sustituimos" par (-!n.

114

Si,ahóra dividirno-s (1) entre (2) resulta

en tonces tg' 13=; oot (~ (3) (4)

Sabemos que para todo a, b E R, a. * O Y b =1=O

Es decir si dos nÚmeros reales distiniGs de cero soniguales, entonces sus recíprocos también lo son; aplican-do esta propiedad de los 'números reales en los casosparticu lares ,(1) Y (2) tenemos:

sen 13 == eas (!!.- (3)\' 2 COS 13 == sen (i - (3)y

-1- ==

sen 13

--1- ==

COI 13

1

sen (~ - ti)

1

COJ (r.: (3)y

o sea cscj3=:; sec( i - (3) '(5) Y sec{3'== csc(i - 13), (6)

De las igualdades (1) a (6) se concluye que:

Una función circular de un número real ,13 es

igual a su cofunción de i menos el número 13.'

5.2.1 FUNCIONESDE (-(3) EN TERMINOSDE (3

De nuevo consideremos 'la expresión'

COS (Q - 13) == cos' Q COS ti + sen, Q sen 13

y hagam'os Q = O, entonces

cos (O - 13) == COS.O cos 13 + sen Osen (3

- - ""'l"'"~" - - 1('~. .~- .~ --

l'

dado que cos O = '1 . Y sen O = O.' tenemos que'

cos(-(j)cos(-P)

- 1 . cos 13'+ o'. sen 13cos 13

. .. l..

. .

Esto .significa que en el Gasade la función coseno. elnúmero real (-P) puede ser sustituido por su negativo

(j 'sin afectar el valor de la función;. .

Determi nemo~ ahora una expresión para se.n (~) entérmi nos de 13

'sen'(-P) == COI [i - (-13)]

se~ (-13) == COI ,(i + (3)

propiedad .de' cofunciones..

- (~a) :: .8 ; .

sen (-13) == cos{13 + ¡)sen (-13) == cos ~ - (:- ¡B

postulado conmutativo para la suma

. a :: - (- a)

seno(-13) == cos{3 005(- !!.) + sen{3sen{-' !!.).. 2 . 2

005(a -(3) s. CC)SQcos(J.+ 'sena 'seól3 .

. como oos(- i) =.0 y sen(-. .f) = -1. .

sustituyendo tenemo~'

.sen (-In. s cosl3 . O + sen~ . (- 1)

. sen (-:-13) ==. O - sen13

'1. sen (- (3) == :-se"{3

Las expresiones del .resto 'de las funciones de (-P)en términos. de {J resultan .ahora en. torma bas)~rite ::.sirnpfe. - . .

.. .

" ~

., .

tg .(-.{3) == .senJ::.Dl. . -. coso (-13.-) -.

tg ('-13).= ~ seop"cosl3

.

.,

"

.. ..1l6

..-"

. ' .¡ . .,.

l'

Solución: sen(3; -~)

116

tg (-{3) == - tg {J

, . 1 1 - :cot (~):5 t e a)" =~ = -:-'eot{j, 9 -t' - tI t' ',' '

eot (- (j) == - eo! fj" I

see (- fj) == see fj

, 1a) ' = 1 ;: . ;: - ese (jese (- t' - ,- al -sen {j

~ (- tn == - ese p I

Ejemplo: Usando la propiedad que relaciona a I,ascofunciones y representando las funciones, de (-{j) en,.

d a' ' (311 R\terml nos e t' expresa sen 2" -- t'J como unafunciÓn de (J , . , ,

;: sen( ¡+ 1r- ~)

E: sen [¡ ~(w - ~) ];: sen ~ - <- (1r - ~== eos (- (1r .:.. ~~== eos (1r - (j)

;: cos (~ + ~ - ~), 2 2

311 -!. + 112" - 2 '

Agrupando 11 ~ ~

1r - {J =., - [- (1r - (J)]

propiedad d~ cofunciones

'cos ,(- a) == cosa

11 11

1r=:2"+2,

[1r

(1r . \1 - . 'ir== cos 2" + 2"- ~JJ ~grupando 2 .- ~ .

== 'cos [i - <-(;.- ~»]. i - ~~ - <:~ (i'-.~)>

. == sen . -' (¡.- Jj)

== - sen (¡- p)==-cosP

propiedad.decofunciones

~" (-ex)== - ~eno:

cosp ~ sen (i - Jj)'

transitivade igualdades

REACTIVOSDEAUTOEVAL~ACION

1.- Básandoseen la expresión cas (o:- (3)== coso:cos{3 + sena:señ(3en los problemas de la a) a la j) desarrolle el coseno de I.acorrespondientediferencia' y d.etermine su valor sustituyendo los valores exactos de. lasfunciones que resulten.

e). cos [~- (-'i)]

[1T . 31T ]. f) . cos (- 6) ..,.2"

.

(71T 41T

)g) .cos Ei -:f

(1T . 31T

)h) cos 2-- 2"

i) (1T 51T

)COS ¡ - :¡-

(51T 1T)cos '3 -: 3'j)

2.- Exprese las siguientes funciones en términos de (3

a). sec(¡ - p)..

b). esehr - P)

117

a) cos (i-i) éb) co (11T - 7;-)

c) cos(i - 5;)

d) cos (31T-' !.)4 . 4

.

3. Verifique las siguientes identidades:

arcos (11- Q) == - COS Q

b) COS (21T - Q) == COS Q

c} cos (¡ + Q)== - sen ~

d) COS(321T + a) == sen Q

e) cos (1T+ a) ==- cos a

f) cos (~ - a) ==sen a

g) ~s .(321r- a) ==- sen a..

p.,

118

e). . cos (3; - (3)

d) . tg(¡+13) NOTA {3== - (- {3)

e) . selÍ (a - 1T) NOTA a - 1T== - ,(1T- Q)

~- ----

, '

M6dul,o 6' ..'

.: . .

OBJETIVOS ESPECIFiCaS, ' , ,

"'

Al termino'r de estudiar este módulo, el 'alumno;

1. Deducirá la expresión para: el coseno de la sum'a .ge dos' "número~ 'reales. '" ..'~ " " '" ,

2. ,Deducirá la expresi'ón para el seno de la sl./mada' dós.',nutne'ros,:'reales."3.' Deducirá lás'expresioriespa'ré:1la tangente de la suma,y"la Úingéote ,de,

una, difereocia' de dos número~ reales. ',., ;: , J',','. ' , "~ '1

4. Calculará el valor exacto de, funciones de-número~ reales que tJ~epari '

ser expresados a su vez como la suma o' diferenti'a ..de dos,númerosreales. , ' , f '

5. Expresará funciones del, tipo (o:+ ()) 6' (o:- {}) en,~,té(minosde ~.,"6. Expresara funcionesc.i.r?ulares de un número t~al 'eri.,t.érrr.}¡~6s ~e"

funciones' de oÚo r:1Úmeroentre Oy 'Ir/O: uti.lizando'Jas'fÓrmu.lasd~,redutdón. ' : ;',' ..

.. ,

\

. ~

~

" .

.~.:

Funcionescirculares.

120

ESQUEMA,:",RESUMEN

Coseno de lasuma de ~osnúmerosreales.

Seno de la. suma de dosnú meros

, reales.

Tangente de.la suma y di-ferenéia dedos númerosreates.

Fórmulas dereducción.

. .

Cálculo delvalor exactode funciones.

Expresión. de.. funciones como

función de. unnúmero entredos valores dados.

6.1 FUNCIONESCIRCULARES;DElA SUMADENUMEROS~EAlES. '

Vamos a determiné;1rexpresiones para funciones cir-culares de la suma o diferencia de dos números reales,que son también una consecuencia de la igualdadcos (a - 13)== COI a COI p + sena I~np y comenzarem,ospor' el coseno de una suma.Ya' que'

Ahora sumemosdos númerosreales'n y 13. '

== cosa cos(-ti) + sena sen(-ti) desarrollo de cos (a-{3)'

'COI(in == cosfJ, sen(-iJ) == -un(j

== Cosa cosP.- . sena ie~ a (-i) == - (ab)

I COI (a+/3)' == cosa COIP- sena se~ r propiedad transitiva de las iqualdades" . Lafunción

Las expresiones para el seno de la suma y el seno de cosenoserá.. .la diferencia de números reales resultan de las expresio-nes obtenidas de la función coseno, del concepto decofunción y de las funciones de (-13) en términos de 13

sen (a"iJ)== COI [¡ - (aiJ)]

== COI [i - a+p). ,

==. cos K~ - ~) + p]

propiedad de cofunciones

'- (a-b) == - a+b

agru paci ones

(W

). W

== COI 2' - a COI13- sen(¡ - a) . sen(J desarrollo de cos(a-fj)

== sena cosfJ- co~ se~ sustitución

sen. (a-ff) == sena cos(j - cosa se~ . propiedad transitiva de igualdades'

san (a+m == sen [a-(~)] .

sen (a+(j) == sena cos(-í1)- cosasen(-P)La funciónsenoserá...

como: cos (~) == cOs 13 , sen (-{3) == - ~n 13 Susti tuyendo tenemos.

121

..~..:..., . ;-c .';>'.

. ~ : '. .' '. . , :" ~eri (a+¡:n':i:: senCt cas(3 - cOSQ-(-sentn

," ~'el se," (q+PI;. sena cos{3"+ coSO<se n¡! I ',,-'. .

: '.'. Deduciremos. ahota las expres'íones para tangente' de

'una's~ma y ~Hngente de una diferencia:.. . .'

'. t~ (Q+p) ~: sen (a+(3)

. ..

, ,

. ..- .sen QCOS (3 + cosa sen (3

eos a coS {r -. sen asen '(3

sen a 'cos (3 + eos asen (3eos a 'cos ~ eos Q cos (3

!:!!~lcos Qeos (3

sen a. sen (3eos a eos (3

=-

~ + sen(3cos (3.' cos (3

1 .- ~.$ert3cosa COS(r

. l'a funció.ntangente 'será.:'.' .' t té (0+(3) 5:

tga +'~g(3

1 - tga'.~ .

. .

, I"'. '.

De una manera similar a la anter'jor, concluya ustedmjsmo que:

.( R) tga-tg(3

t9 a-~ :=1 + ~gQtg3

, . . ,; . .

..' '.(':4f~~.,...~j~n:p.Jo 1: Enc~ent~eel valor exacto de:' . a) sen 1~'. :"":0-':'/."". 11

b) cos 121T

e) .t9 12

.:' .'. Su~.titl/yendo ¡Ir '111T 7rr

'ITPor'6 - 4"

'.1T .. .

(1'"" 7"

)Solución: a) sen 12= sen 6" - -4' .

, .. 1111' 71T' 111T 71T

=sen-¡- cos-¡- -eosT .sen4

"122

'.

= (- ...!-) v; - v~(- vi )22' . 2 2. .

= - .J2 + .J"64 4

11

(1111 71f.

)Solución: b) cos12;::::cos 6 -"4

11"11 711 1h 711= COS -¡.- cos 4' + sen 6" sen "4

~&=~+~ 4

rr

(1111 711

)Solución: e) tg1i = tg 6 - 4"

1111 7rr

tg T - tg 4'-

1111 711

1 + tg6 tg 4

1

:!..J3

- (-1)

1 +(- ~

)(- 1)

.../"3

1-. -;= + 1'\13---

)

- .,

. i2J

124

-1 -+ V3

V3

V3 + 1

ff

-1 + ~1 +~-

4 13Ejemplo 2: Si . cot a = rY sec~= s' P (a) no

está en el tercer cuadrante y 3" < ~ < 2" encuentre'los valores exactos de: 2. - . .

a) sen (a + ~) b) cos (a + ~) e) .tg (a - ~)

Solución:

sen(a + ~) == sena cos~ + cosa se~

cos(a + 13) == cosa cos(j - sena se~

=tga-tgl31 + tga tg/J

tg (a - 13)

Estas tres igualdades nos muestran que la respuestadel problema depende de los valóres de sena,sen~,cosa,cos/3,tga y tglj, determi nemos entonces dichos valores.

Dado quecosa 4

cota == iiñ(k y cota = 3 tenemos que

cosa--sen a =

..!.3 por lo que

4 .dcosa= i senasustItuyen o encos2a + sen2a == 1 tenemos

(¡ se~a)2+ sen2a = 1 O bien

16gsen2a + sen2a, = 1

16 sen2a + 9 sen2a = 9

25 sen2a= 9

sen2a = .!... . .25

3,. 3

sena = 5"' o sena = - 5,.

cota. es.' positiva (cot a > o) en' el primercuadrante y en el tercero como P{a) no está en el 'tercer

, cuadrante entonces está eri el primero, en este cuadrante

sen a > o por lo qÜe descartamos sen a =- 1-' 3quedando entonces sena = 5" y susti,tuyendo encos2a+ sen2a= 1 tenemos:

(.

):1 .

cos2 a + .:. ' :::; 1

9cos2a + - = 125

925cos2a = 1

25 9COS2a, = 26 -:'26

COS2a =..!!..25

4. 4.cosa ="5 o cosa =-5

como P(a)' es' un punto del primer cuadrante cosa es. positivo por lo que', '

4cosa ~"6"

Determinemos ahora 1,0 .concerniente al arco O;

tenemo,s que' seC(j =,13 por lo. que cosIJ==:3.5 '.

Sustituyerido en COS2(j+: 'sen2(j ;:::, tenemos.

25, + sen2(j"= 1169. 25

sen2(j = 1 -;¡¡-

~n2(j = 169. - 25

125

: ","

, '.

. ;;. ,.~: '.

','...

(3144

sen~ .;:: :.--, ' 169

12" ~ - '- ~senp ;:: 13 osen IJ ,- 13

':!!, ;5 [3$ 21f"Q $ea'P((j)"e$tá en el "cuarto éuadrante en.2 ,.,' , : :,'

, ',' e.l,que sen (3 , '. ,,' '. " ',' . ' 12

" ,~~' ,~egatlvo, por ,ello descartamos. sen(3= 1;3 y queda,..

, .

. .

':. '

.'

. "

\ .12

'Jen (3';:: - 13 ~

,"'/::", ,

, .. ~, .: ~,

CQ$ 0:' ,;:: 5"

. ,

. ';'- . . . 3,"~' 12'

'por con$~cuencJa' t9,0:;:: 4' y tg,., ='-"5, ,

... Susti tuyendo, en las .expresí:ones

"

sen (o: + (3), cos..,(a+ n) ytg (o:- (3) tenemos, "

, , '3 5 4

(, 1-2,

)- 15 ...: ~ - - 33

sen (o: + (3) =-. - + - - - - 65.

65 - 655 13 5 13 'i

tg (o: - In,! -, (- 12) , ! + !!

.:: 4, : 5 ;::' 4 5-'3

(12 )

361+"--- 1--4 5, . 20

6320 63-----16, - "620,

/" ' " '

. . \: ", Nota que sen(a + ~).< O, Y que costo:'+ (3)> O por; ," lO',Que' podemos asegurar que P(o:+ ~r es un punto'

en el cuarto cuadran te. '

~~ " , . ' , 'E; jempl o 3, Expr;,sar'.1assiguien tes proposic ionesen" j , térmlnos'd~ una fu~cron circular de 8.

':."'126..; f

,'-

..,"\~:1 ..'.

a)cos (i + 8)

Solución: a) cos (i + 0)= cos i coso O - sen ~ sen O

cos (¡ + 8)== J3 COI 8 - i sen (J2

(311"

). 1 .'

b)cot 4-8 ==

(311"

). ,tg 4" -O'

1311'

t9 "4 ."7 t9 () .31T "

1 + tg "4 tg.o

-

311'1 + tg 4" tg8

311"tg 4 -' tg 8

= 1 + (- 1) tgB-- 1-tg8

. 1 - tg8== - 1 - tg8

- tg8 - 1=- tg8 ..p1

- 6.2 FORMULASDE"REDUCCION.

En este tema debe aprender a expresar las funcionescirculares de un número 'real en términos de funciones deotro número' entre Oy i valiéndose de expresiones

conocidas como, fórmuléls de reducciÓn; para aceptardichas fórmulas primero debemos entender que si KEIentonces .

sen 2k ! =O2 yCOS 2 k i = (- i)k

...,I

Estudiemosahora lasfórmulasde reducción.

Si k es por,cero Oimpar..'.

128

Siendo k un número entero, el punto terminal P(k1l')

del arco "11' es el punto A(1, O) ó el punto-:' B (-1, O).

. (yer Figura 4). .

P(1I')

8(-1,0)

y

Figura 4

P(O)

A(1, O)x

El punto terminal del arco k1r ,. .es el punto A(1, O)cuando k es un número par ó cero (P(.O), P(211'),P(-411'),P(-1011') etc. El punto termi nal P(k1l').

coincide con el punto B (-1, O), si k es un númeroimpar (Phr), P(3 11'),P(-5 n) P(-11 11'),P(lI') etc.) en cual-quiera de los dos casos anteriores la ordenada del puntotermi nal es cero por lo que senk1l'= O k E I además' cOS

(k 11')= ("':1)k ya que si 'k es par ó cero' (el punto terminalcoincide con A) (-1)k = 1, . mi,entras que 'cuando. k

es impar (el punto terminal coincide con B) (-1)k = -1,por consecuencia

sikEI senk1l'=O y

. 1r

y 'como k1l' = 2k"2 entonces

COSk1l' = (-1)k

,~ .

n ' n ksen 2k "2 = O Y eos 2k 2 = (-1) , k E I

Ahora bien, si (3 es un número entre O y i (O < (3 < ~) I entonces

n . n . n

sen [2k 2 + Pl' == sen 2k 2 eo! (3 + eos 2k. 2 sen (3I '

== -O . eos(3+ ( 1)ksen(3

== (_1)ksen(3

sen [2k' ~ + (3] == (-1)k sen(3 (1)

también

- eos [2k i +. (3]== ~s 2k i ~os(3 .- sen ~k~ sen(3

- (-1)k eo;P - O . sen{3L

== (~1)k cos(3

[cos [2k ~ + P] == (-1 )k' eos(3 (2)

Estas dos expr.esibnes son util izadas cuando el 'nú-

mero puede representarse como la suma de un múltiplon '

par de 2 más~. Observe que en estos casos la, fun.."ción no cambia, pero el signo que le antecede sí puede'alterarse.

El signopuedeser(+)'0 (-)

Considerem'os ahora el caso en que el número puede'

eX~Jesarse co~o la suma de un múltiplo' impar, de ~ {[(2k + 1) ~]) Y P

sen [(2k + 1) i, + (3) == sen (2k ~+ ~ + (3]

== sen [~ + 2k ~ + 13]

distributiva a la d~recha

conmutativa

== sen [~ +, (2k ~ + (3)1 agrupación

129

== sen ~ eas (2k ~ + 13) + eos ~ sen (2k ~ + 13)

'desarr,oll o del ~)enbde una 'suma.

.,

- l' eas (2k ~,+ 13) + O . s~n (2k, ~ + 13)

== eos (2k ~ + 13)

k== ' (-1) eos13

, -'

sen [(2k + 1) ~ + 13] == (-1)k eos13 - (3) .

también

eas [(2k + 1) j + 13] == eo'- [2k j + j + 13] ~

== co~ [~. + (2k ~ + 13)].\

== eos j cos (2k j + 13) - s~~ j.sen (2k j + 13),,

== O ,,Cos (2k. ~ + 13)'~,1. sen' (2k ~ + 13)

- sen (2k ",~ +. 13)-

== (-1)k sen13

ó b'ien

leas. [(21<+ 1) ~ + 13] == (~-1)k +1 senJ3

También eneste caso

J hay q'ue. seguir el signo.

D~be notar que en los casos (3) y ,(4) en qU'e elnúmer,o' se e~presa como un múltiplo impar de ~ más13, la función pa'sa a su cofunciÓn \ y el signo que ante-cede a la función. puede car:nbiar.,de positivo a negativo yde negativo a posrtivo.

"Ejemplo 1. Expresar sen 7.2910 como una función

de un número entre O y !!... 4'

1r 1r1r= 3.1A16,"2= 1.5708, ¡ = 0.7854

130

\I

'. I

Sólución: 7.2910 = 4. i + 1.007~',

como el coefici'ente de !. es par, nos valemos de la2\-expresión (1) entonces

sen 7.2910 = sen( 4 j + 1.0~78)

= (-1)k sen 1.0078 com02k F='4, k = 2

= sen 1.0078

por lo que

sen 7.291Q = sen 1.0078

1.0018 es men.or que' ~ pero se exig~.que ~I número

sea positivo y menor que ¡ para Iograrlo .hacemos usode I,ppropiedap de cofunciones.

sen 1.0078 = cos (i ~ '1,.0078)

= cos (1.57'08 ,- 1.0078)

= cos 0.5630

finalmentesen 1.0078 = cos 0.5630

Ejemplo 2. Expresa,r cos 21.6973 como ,una función

de un núm~ró p'ositivo menor que ¡; .. .

Sol~ciÓh: como en el. ejempl~ anterior

21.6973 = 13 (1.5708) + 1.2769

el coeficien.te de j' es 13, nú'meroinipar por lo queaplicamos la expresión (4).

-

cos 21.6973 =, cos [13 ~ + 1.~769]

,

.

i.

J 31

(-1)k + 1 sen 1.2769,

= (-1)' , sen 1.2769'

= - sen 1.2769 '

, ,

= - COSI [i -', 1.2769] .

= - cos (1.5708 - 1.2769)

= - cos 0.2939

COS .21.6937 = - cos 0.2939

Ejemplo ,3. Expresar ,c'ot 7.3284 como una funciónde un número positivo menor de

cot 7.3284 = COI '7.3284.en 7.3284

~4' ]- cos T + 1.0542

- sen [. ~11 +, 1.054~]

- (-1)2 COI 1.0542 , '- (-1)2 sen 1.0542

= cot 1.0542

tg (i - 1.'0542)"=

cot 7.3284 = tg 0.5166

REACTIVOSDE AUTO-EVALUACION

1. Encuentre el 'valor exacto de

1T 1T 1T . 1T 51T

sen 12' cos 12 y tg 12 hacIendo 12 = 631T

4

2. 191T 1911 191Th

.

Encuentre el valor exacto de cos 12' sen 12 y tg 12 aClendo

191T- 511 + h'1"2"""'-"6 4

\ '

132

- .. - -- - -,

3. Encuentre el val~r exacto de seno, coseno y ta,ngente de ~; haciendo211' 11'. ~ = 3' {3= 4

4. Encuentre el valor exacto de seno, coseno y ldllyt:11te de 1111'haciendo211' 11' 12

~=3,{3=¡

5.. 4 - 24 O < '< 11'O < {3< 11' (

SI COS ~ = - Y COS a = - -- ~ - - - - _2 encuen1re el5 - ,., 25' 2

valor numérico de:

a) sen (~- + (3)

d) COS(~ + (3)

b) COS (~ - (3)

e) sen (~ - (3)

e) tg (~'+ (3)

f) tg (~-- (3)

6 S. . 12-40 , d. - I COS ~ =- 13 ycot {3= "9' p (~) no esta en el tercer cua rante y-

O ~ {3~.¡, encuentre el valor numérico de:

a) sen (~ + (3) b) tg (a + (3) e) cos (~ - (3)

d) COS (~ + {3) e) sen (~ - 13) f) tg (~ - (3)

7. . 5 5 11'< < 311'< a <: 211'SI ese ex = - Y sec a = - - - ~ - 11',- - ,.,- , encuentre el\ 4 ,., 3'2 2

valor numérico de:

a) sen (~ + {3) b) tg (~ + (3) e) cos (~ - (3)

d) cos (~ +~) e) sen ,(~ - 13) f) tg (~ - (3)./

8. Determine en qué cuadrante se localizan los puntosP(~ + {3)y P(~ - (3) de los problemas 5, 6 y 7.

9. Escribe cada una de las expresiones siguientes en términos de () solamen-te

a) tg(i + 8)

b) sen (- i + 8)

c) tg (i + 8)

d) cot, (2311'- 8)

e) sec(8 - ¡)

133

f) , esc(8 -~)

g) sec(i-8)

Verifica las sigUientes identidades:10. '

. 1 + cot ex cot (3a) cot (ex- (3) =: cot (3- cot ex

). ( .3"

)'

(")b .tg ex+ T ~tg ex-¡ =0

c) sen({3- i) + COI({3- i) == .J3 sen{3

. d) tg (ex + ~- ) = 1 +-tg.

ex

4 -

sen (ex+ (3)' ==tg ex + tg (3,. e) cos excos{j

11. Expresa cada una de las siguientes funciones' en términos de funciones

de un número real extal que O < ex< ¡; ¡ =0.7854.

134

1

a) sen 3

b) cos 5.5676

c) 19 12.7060

d) cos 4

e) cos, (-4.4331)

f) sen (-4.433J)

g) sen (-10.9080)

h) 19 (-17.5322)

i) 19 5.1212

-

Mó'dul.o 7

OBJETIVOSESPÉCIFICOS

Al terminar de estudiar ,este módulo, el alumn'q:

Deducirá la expresión para el seno del',doble de'un número.Dedúcirá las tres expresiones parq el coseno del doble de un número.Deducirá la expresión para la tangente del doble de un número.Deducirá la expresión para el seno de la' mitad de un número.Deducirá la expr:esión para el cosenode la mitad de un número.Deducirá las dos expresiones' para ta -tangente~de la mitad de unnúmero. . , .Determinará el valor exacto de una funci.ón del doble o la mitad deun número conocida una función de este 'número y la posición delpunto, termi nal.

lo2.3:4.5.6.

7.

, {

ESQUEMA- RESUMEN

Funcionescircularesdel doble deuh número.

Funciones'circulares.

.Funciones cir-.cu lares de I.a

mi tad de un" número.

v a'¡or exactode una funcióndel doble o la'mitad de unrúmero. .

135

Estudiemoslas funcionescircularesdel doble deun número.

Hay ul'!aexpresiónpara el senode 2a.

136

7.1 FUNCIONES CIRCULARES DEL DOBLE DE UNNUMERO.

El propósito de este apartado, es derivar y. darle aconocer las expresiones más usuales de las funciones deldoble de un número en térmi nos de funciones del núme-ro, sea a .un número real, 2a obviamente es eldoble del número a; queremos expre:;ar sen2a, cos2ay tg2a en términos de funciones d~ a, entoÍlces~

sen 2a. == sen (a + a)~ s~na cosa + coSa sena== sena cosa + sena cosa

sen 2a - 2 sena cosa

ahora,

cos 2a == cos (a. + a)== cosa cosa - sena sena== cos2a - sen2a

cos 2a == cos2a - sen2a: ' I

Además de esta expresión, es múy útil poder repre-sentar cos2a en términos de sólo sena ó sólo cOSQ,cosa que logramos fáciImente.

si cos 2a == cos2a - sen2a y sen2a == 1 - cos2a

susti tuyendo tenemos:

cos2~ == cos2a - (1 - cos2a)

. cos2a ;; cos2a-- 1 + cos2a

cos2a == 2 cos2a - 1

pero también

'cos2a == cos2a - sen2a y 'cos2a == 1 - sen2a

entonce,s:

cos2o: == (1 - sen20:) - sen-u

cos2o: == 1 -'2 sen20:

ó bien'

\ (

cos2o: == COS2 o:

-' finalmente

tg2o: == tg{o:+ 0:)

= tga + tga- 1 -tga tga

2 tga== 1 - tg20:

7.2 f'U'NCION_ES CIRCULARES DE LA MITAD ,DE UNNUMEROEN TERMINOSDEL 'NUMERO.

Ahora, pretendemos procedér a .Ia inversa de comolo hicimos en el tema anterior. Las funciones de un nú-mero ~ queremos expresarlas en térmi nos de funciones.2.de o: ósea la's funciones de un n'úmero en términos deldoble de dicho número.

Sabemos que cos 2 (j == 1 -2 sen2f3, si hacemos

2 (j '== 'o: entonces {3 = i ' 'y .sustituimos en laigualdad anterior tenemos: .

cosa = 1 - 2 sen2 ~.- 2

2 sen2 ~ == 1 - cosa2, I

Tenemos tres

¡ expresionesparael

. coseno de 20:.

J

. la tangentede2a es... ,

Ahora veamoslasfuncionescircularesde la mitadde un número.

, Obtención

delsenode ~

1- sen ~ =!: jl

sen2 \~ = 1 - cosa2 -

!

- cosa2' ó también

, sen o:==::!:~ 1-cos 2 a! Io- ~

Obtencióndel

cosenode ~.

En esta expresión el signo se 'elige de acuerdó con elcuadran te donde esté el punto termi nal del arco de. lon-

od

a - 'gltu, '2'

Si en la expresión

cos 2{3==:2 cos2{3- 1

hacemos:' ,,

acosa ~ 2 COS2 '2 - 1

cosa + 1 == 2 COS2. ~.2

a'2 CÓS2 2" '= 1 + cosa

COS2~ == 1 + cosa'2 - 2

a =COSo2" -

+ cosCí2

Jó también

COS0:-== ::!:~,!-t:-cos~2 o: I, 2

- También en este caso, el signo es el correspondjenteal' CUadrante en que esté .ub.icqdoeJ punto terminal del

o:arco ~.

Para, ,la ;. tg ~ existen dos expresiones que seobtienen usando las ¡den tidades

2 sen2 ~ == 1 - cosa2 y 2 COS2 ~ ==' 1 + cosa2

138

/

si en la igualqad

asen 2"a_-

tg-= a. 2 cos -2

se muItipl ican ambos miembros de la fracción por 2 sen ~ 'obtenenios:

a aa ~en 2" 2 sen 2"

. tg 2" =¡;. a' , acos - 2 sen -.2 .-2

, .

a2 sen2 2'

~ =. a atg, 2 2 sen 2' cos 2'

pero como

Q 'o: a '

(a a.

)2.sen22' = " - cosa y 2 sen '2,&::05'2'= sen 2 + 2" == sena

sustituimos y resulta

Si en lE!igualdad

Qsen - ,

a, .2t92"=-a'cos -. 2

- mul'tiplicamos los dos m'iembros de la fracción pora

2 cos 2' tenemos:La tangente

de 'I ~ienedosexpresiones,

que empleam_os.Q a

Q . sen 2' 2 cos 2"t92"=-a' a

cos 2" 2 cos 2"

acos 2'a .-

tg 2" =

139

b" a a.

tam len 2 sen"2 co~ "2:;; sena y 2COS2 ~:;; 1 + cosa2

susti tuyendoten'emos

a senatg 2":;; 1 + cosa

1-

\ REACTIVOSDE AUTOEVAlUACION,. I

1. Si seria = ~ y P(a} está en el segundo cuadrante, de-

termine el ~~Ior exacto de las siguientes funciones':

2. Si cos a =:=- ~ y P,(a) está en el tercer cuadr~pte,encuentre ,el v'alor exacto de las siguientes funcio-.nes:

a) sen 2a . c) tg 2a

b)cos 2a.a

d) sen "2a,

f)tg 2"

Verifique las siguientes identidades:

tg/J3. . - h_" (J == csc2{3.,

4. ~en 3 () :;; 3 sen () - 4 sen3 ()

5. sen 2a tga + eas 2a := "

6 sen 2 (). sen ()- ,cos 2.J!. ==' sec ()

. \

8. (cos ~ - sen ~)2 == 1 - $en{3

140

a) sen2 . , c)tg.2a , e) cos

b) cos 2aa a

d) sen 2" f)tg 2"

9 Sen 4a -. sen 2a = 2 eos 2a

1O. tg 3t3== 3tgJ3:' tg3 J3

. Q11. csca:- cota == tg 2

sen28cos8 . 8, 12. 1...L a\l L tH == tg 2'

{3eo~ - tg 2

13. {j {j.tg - + eot -2 2

- eos(3

. 14 se" 3a .- eos 3a == 2. sena cosa

, i

== ese 2/315. .

141

- ---,

Módulo8

J OBJETiVas'ESPECIFICQSI

2.

Al terminar d~ estudiar este módulo, el alumno:

Expresará el producto de dos funciones circulares dadas como u'n'asuma.o diferencia de funciones.Expresará la suma o diferencia de dos, funciones dadas como un pro-qucto de funciones.'Aplicará las transformaciones anteri'ores en la verificación de identi-dades.

3.

ESQUEMA- RESUMEN

143

FuncionesI

ci rcu lares.

..I

I;

,

FUf,lciones de'I

la suma o Producto de Verificacióndiferencia dos funciones ..dede dos números circulares. identidades.(Módulo 6).

I

El produ.ctode fraccione¡spuede .

- expresarsecom,o suma odiferencia.

¡,'

144,

8.1 TRANSFORMACION DE PRODUCTOSA SUMAS V VI-CEVERSA.

Con frecuencia se presenta la necesidad de expresar. el producto. de dos 'funciones circulares como una sumá o

diferencia de f'unciones,' y viceversa; vamos a indicarlecómo afrontar este tipo de problemas. Consideremos lasexpresi.ones para él seno de la ,suma y el seno de ladiferencia: .

sen (a + (3)== sen a eos{3+ eos asen {3sen (a - ~) == sen a eas{3 - eos asen {3

, sumando miembro a ITÜembro las dos, igualdades tene-mos':

o

sen (a +" (3)+ sen (a - (3)== 2 sen a eos,{3 -

1 ']2" [sen (a + (3) + 'seno (a - (3) == sen a eos {3

o bien [sen a OOs 13:=i [sen la + 131 + sen la - 13IJ1

quedó expresado un producto en términos de una'suma'; consideremos de nuevo las expresiones d~1 seno de .

la suma y el seno de- la diferencia y. determinemos elresultado de restar sen (a - (3) i sen (a + (3)

sen (a + (3)== sen a cos {3 + COS,asen {3

sen (a - (3) == - .sena eos {3 + cos asen {3

o

sen (a + (3)- sen (a - (3) ¡¡: 2 cos'asen {3

i [s~n (a +(3) - sen (a ~ m] == eos o: sen 13

cos a .sen {3== ¡ [sen (a +'(3) - sen (a; - (3)], .o bien

Consideremos las expr~siOlles para el coseno de lasuma y el Goseno de la diferencia.

~s (a + (J) == eos a eas {3 ~ sen asen p

'cos (a - (J) E eos o: eos ~ + sen o: sen {3.\ ,

. I

si sumamos miembro a miembro estas dos igualdades,resuha

cos (Q + (3) + cos (Q - p) ==. 2 cos Q cos {3

multiplicanélo por ~ ambos miembros y aplicando lapropiedad simétrica de las igualdades tenemos:

cos ex cos {3 == ¡ [cos, (ex +. (3.) + cos (Q - (3)]Si en lugar de sumar las expresiones para cos (Q +. (3)

cos (ex - (3)a cos (Q + p) le restamos cos (Q- (3)tenemos

cos (Q + {3)== cos e cos {3- sen Q sen {3, .

- cos (Q - P)== - COS Q cos {3- sen Q sen {3

COS (Q + (3)- cos (Q- p) == - 2 sen. Q sen {3

Multiplicando ambos miembros de Ila igualdad por

-} y apl.icando !a p~opiedad simétrica de ¡as igualdadesobtenemos:

se... Q sen {3 == - ¡. [cos (Q + (3) - cos (Q - (3)]

Sen Q sen {3 == k [~os (ex - {3) - cos (Q + P)]Erí esta forma hemos expresado un producto en tér-

minos de una suma: .'

o.

Solu~ión: a) En este inciso nos valemos de la expresión

sen Q cos {3== ~ [sen (Q + (3) + sen' (Q - (3)]

,

145

Ejemplo .1. Expresar los siguientes productos comouna suma:

a) . sen58 os38

b) cos58 se78

c) 6 cos28 cos48

d)21f 1f

sen 3" sen 3

en las que susÜtuimos a por 5 () y {3 por 3 ()

sen 5 () cos 3' () ==~[sen (5 () '+ 3 ()) + sen (5 ()' - 3 ())J, (,,

)sen 5 () cos 3 () == 2" sen 8 () + .en 2' ()

b) en este caso a = 5 () Y {3= 7 () Y sU'stituimos en

cos a sen {3== ~ [se-", (a + (3),,- sen (a ~ (3)] .

queda, cos' 5' () sen 7 () == ~ [sen 12 () '- sen (- 2 ())]

pero como sen(- (3) == '- ~sen (3

resulta ,[

, '

]COI 5 () sen 7 () == 2" sen 12 () +, sen 2 ()"

e) La igualdadl'

,cos ex cos {3 == 1[co.s (~ 't m + cos ('a - m]

Se multiplrG8 en sus dQs miembros por 6, a se sustituyepor 2 8 Y (3 se' sustituye por 4() ,

6 coS 2 () cos 4 () == .6 ~ [cos (~() +' 4 ()) + cos ('2 8 - 4 ())]

6 cos,2 () cos 4 () == 3 [cos 6 () + cos',(- 2 ())]

edmo cos (-{3) ==cos (3 entonces

d)

6 cos 2 () CO! 4. 8 == 3 [~s 6 () + coso2 '8]., , r. I ]sen asen {3== - 2" lcoS (a +"(3)- cos (a - '(3)

sen a se" {3'==~ [cOs, (a - (3)'- cos (a.+ (3)]"o

. 211

" a = 3

o

21T 1T"

[, 1T

Jsen - sen - =- -

,

CO,

S 1T - COS -3 3 2" 3

21T ' 1T 1 r: 1T,

]sen "3 sen i = 2 lcoS -3 .- cos 1T

Para llegar a ras.expresiones con las qu~ podremose.xpresar una suma de funciones circulares como un pro-

146

ducto/~ nos basaremos en las cuatro fórmufas que acaba

de deducir; creemos 'conveniente cambiar' la notación así,

que hagamos o:+ -(3 =: O, o: -(3 = ú). Resolviendo estesistema de ecuaciÓnes tenemos:

,'(1) 0:+(3=0

(2) 'o: - (3 = ú)

2 ~ = \0,+ ú)

I Q= 6 ~ w I

Sustituyendo en (1)

(3 '=, O - O ; ú)

(3 = 20 - O -,. ú)

1~~=8;w21

Estos valores de o: y (3 los sustituimos, en las iden-

tidades:

!

a) ,sen (o:+ (3) + se,n (a - (3)== 2 sen o: cos (3 .

b) sen (o: + (3) -sen (0:-- (3) == 2 cos o: sen (j

c) cos (o: +' (3) + cos (o: - (3) == 2 coso~ COI (3

d) cos (o: + (3) -cos (o: -(j) 5-2 I8n'o: sen (3

y,obtenemÓs:

.1

También lasuma de ,

funcionespuede.expresarse comoun producto.

/

l .

I

14'7' .

, O + ú) O-ú)senO + sen ú) == 2 sen

2cos'-

2

, O+ú) O-:ú).

sen'8 -. sen ú) 2 cos--¡--sen

.2

O+(.J O - ú)cos O + cos == 2 co.s<

cos, 2

.O+ú) O-ú)cos O -- COS ú),==-2 sen ,sen

entonces:'

Ejemplo 2. Exprese sen 0'+ sen 3 O.+ sen 5 O+ sen 7'0como un prodwcto.

. Solución: ~grupando por pares estos sumandos te-nemos:

(senO+ sen50) + (sen30 + seri70)

y como

seoO + sen50 == '2sen O + 50 O - sO,- 2 cos' 2

~n30 + sen70 == 2 30 + 7() 30...: 70, sen ... cos

(senO + sen 50) + (sen 30 + sen 70) == 2 sen 30 cos (-20) + 2 sen 50 cos(-28)

== 2 sen 38 cos 20 + 2 sen 50 c~s' 20

== 2 cos 20 (sen 38 + sen 50)

30 +,50 30 -50== . 2 cos 20 . 2 sen i 2, cos ...,--

/

== 2 cos ~O . '2 sen 48 cos (-8)

== 2 cos 20 . 2 sen 48 cosO

== ~'4 cosO . cos 28 sen 48

senO + sen 30 + sen 58 + sen 70== .4 cos 8 cOs 20 sen 40'

REACTIVOSDE AUTOE\(ALUACION

L- Expres~ c?da lIno de los siguientes prodlJlctos como una suma:

1'48.

a) sen 28 cos 30

b)O 38 ,

cos 2' sen 2""

e) cos 50 cos 70

I

a)

2.- Exprese cé;ldau8a de las siguientes sumas como un produGto."

sen !!.+ sen.!!3 ',6

b), sen,~ - sen 2a

c) cos.3f3+ cos5{3

d} ,coi 5{3- cos(J

e) sen 88 + sen 48

f)

g)

h)

cos 78 -cos8.58 58' .

sen"3 - ~senT

\. -"

cos 8 + cos 78

3.- Verifique ras siguientes identidad(3s..

149

d) sen 38 sen 58

e)11' 11'

4 cos¡ cos-. 6

f) 2 sen 78 'sen 28

g} 3 sen8 cos (-28)"

Jh) 5 sen (-38) cos (-8)

J) coss8 + cos38 == 8.ensO + S8n30 ,- tg

b)cossO' + cos20senS O + S8t:'2 O = cot50

18n 60 - sen48,.

c) co.60 + cos40 - tgO

d} cOl18 - sen10 - 2cseO,"

18n30 - sen O

e) cOl2a + cOl7Q + cos6Q - colO, - 2 IOn 4Qcos3a + cOl6Q cos5Q - cos2Q == 18ft 3Q

f}"nO + ..n2 O + 18n 3 8ceafJ+ COIZ8 + 00138 :5 tg 20

r150

'.

Bibliografía'~araconsulta, \

TrigonometríaPlanay Esférica.Frar}k-Ayres Jr.Serie Shaum. Mc. Graw Hill1976

Introduccióna raMatemáticaModerna.Elbridge. P. Vance.Fondo Educativo Interamericano, S. A.1968. I

.

.

1.-

I

a) V32

_b) ./6 + .J212"

d} O

. e) -1

f) l"2" I

,g) .J32

P'ane'les de verificación

MODULO5 - VALlDACION

,'/

151

h) -1

i) -1

j)1

-2

2.-

a) . cscP

b) cscP-

e) ,sen{3

d) , -cotJj

e) '-:-seno

1.

1911' ,... r:sen ---'- - V 6 + V 2

l2 - - 4

MODULO 6 - VALlDACION'

COS1911'- J6-.J212 - 4

COS511'- .J6 -.J2 '12, - 4

1111'-cos"""12-

.j6 + J24

rrtg12 = 2-J3

- 1911' r:tg 1"2 = -. 2- V,3

511' r:tg12 = 2+V3

1111' .

tg1"2:=-2 +13\

4" tg(o: + (3)= 3"

, , 435~OS (o: - (3)=- 533

~ 308- tg(o: - (3)=- 435

,COS(o: - (3)=-1

tg(o: - (3)=O

8. Problema 5: P(o:+ (3)está en el primer cuadrantep(a -;-(3)está en el primer cuadrante'

Problema 6: P(o:+ (3)está en el segundo cuadranteP(o:- (3).está en el segundo cuadrante.

Problema 7: P(o:+ (3)está e~ el primer cuadrante', , P(o:- (3)está en el eje X entre el segundo y tercer cuadrantes.

2.

3.

4.

5. sen(o:+ (3)=~53

COS(o: + (j) = 5

926. sen(o:+ (3)=533

COs(o: + (3)= - 525533

7COS (o: + (3) = 25

9.

a) .J3+ tgO1 - J3 tg8

~ (senO - cosO)'2b) ,

d) ..J3 tg8-1tgO + .13

152

, 117

cos(o: - (3)=125

'44 -\ sen (o:- P) = 1,25

92tg (o: + (3)= - 525

308sen (o: - {j) ~ 533

,tg (o: + (3) = 247

sen (o: - (3) = O

) 2e ~ coso.+'sen8

. J2f) seno..,..4 8

. '2) , v~

9 -

11.

a)

b)

e)

d)

e)

f~

g) ,

h)

i)

sen 3 ~ senO.1416

cos 5.5676 = cos 0.7156

tg 12.7060 = tg0.1396

cos 4 = -'sen 0.1124. .

,cos (-4.4331) = -seri 0.2793

sen (""4.437) = cos 0.2787

sen (-10.9080) = cos 0.0866

tg (~17.5322) = cot0.2534tg 5.1212 =-.cot 0.4088

1.

a) ¡ (sen 58 - senO.)

b) t (sen20 +s8n8)

1e) 2" (cos 128 + COI28)

MODULO 7 - VA,LlDACION

e) tg2a::;; 247

d) sen~ - 2.J52-- 5

e). tg2a ="- 247

d) sen~ - 2 .J52--. 5 "

e) cos ~ = .E... 5

'f)

e) . COS~ - .J55. 2 --5

. "

f)

MODULO 8 - VALlDÁC'ION

.

1b3

./

L24

a) sen 2a =,- 25

. 7b)

. cos 2a = - 25

2.

24a) sen 2a = 25

7'b') cos 2a '= - 25

1 1d) - '2 (eos 88 - cos. 28) = 2 feos 28 - eos 88)

1T '1T

e) . 2(eos 2" + eos 6)

f) -(eos90 - eos 58) =eos58 - cos98

3 .g) I "2 (sen3A -'- sen8)

5,(h) - 2 sen48 + -sen28)

, .

"

.

'154

2.

a). ff 1T

2, sen 4" eos 12

b)- 2 cos5a, sen3a

e) 2 eos 4{3eos(3

d) -2 scn3¡3 sen2;8

e) sen 68 eos 28

f) -2 en 48 sen 38

g)58 58

2 CO 4 ,sen12

h) 2 Cos 48 eos 38