Mate Ma Tika

Matematika Ekonomi 1

MATERI MATRIKULISI PROGRAM PASCA SARJANA

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS FAKULTAS PERTANIAN UNJA

Oleh

R. SIHOTANG


Ruang Lingkup:Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks.

Sasaran:Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian Univ. Jambi

•Tujuan :Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-kosep Matematika dalam penerap-annya pada persoalan ekonomi.


• Kompetensi:

• Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika.

• Literatur

• Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York

• Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas. LP3ES. Jakarta


• Materi:• Pegertian Matematika

• Himpunan

• Sistem Bilangan

• Fungsi

• Fungsi Linear

• Fungsi non Linear

• Diferensial Fungsi Sederhana

• Diferensial Fungsi Majemuk

• Aljabar Matriks

ASAL KATA

Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau belajar. Dengan mempelajari matematika, seseorang akan terbiasa mengatur jalan pemikirannya dgn sistematis.

Berpikir matematis:

Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

MATEMATIKA


Berpikir matematis:

Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik, dia perlu pengetahuan matematika.

Matematika, merupakan sarana = pendekatan untuk suatu analisa.

Dengan mempelajari matematika, membawa sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu yang singkat.


Ekonomi dan Matematika Ekonomi

Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan pendekatan matematis dibanding dengan tanpa pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:

a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.

b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-kan logika dengan asumsi-asumsinya.

c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)

Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi


Kelemahannya pendekatan matematis:

a. Bahasa matematis tidak selalu mudah dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering menimbulkan kesukaran.

Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana mengartikan persamaan matematis tersebut, mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik keuntungan dari matematika.

b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan:

(1) membatasi diri dengan hanya memecahkan persoalan secara matematis


(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat demi memudahkan pendekatan matematis atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara matematika dan statistika dari pada prinsip/ teori ekonomi.

Kesimpulan dari bahasa adalah:

1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu ekonomi.

2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of transportation” yaitu membawa pemikiran kepada kesimpulan dengan singkat (model)


Matematika Ekonomi dan Ekonometrika

Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan penerapan statistika untuk menganalisa data ekonomi.

Data Ekonomi

- Deduksi

- Model

- Induksi

- Mengolah data

- Mengambil kesimpulan

EkonometrikaMatematika


Teori Ekonomi

Model atauHipotesis

Fakta

Data Ekonomi

MetodeEkonometrika

Teori Statistika

Satu Persamaan

Simultan

Teori Diterima

Teori Ditolak

Teori Disempurnakan

deduktif

induktif


Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas: Menurut “Social Science Research Council, seorang ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan (gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus (limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial differentiation, integrasi multipel).


HIMPUNAN = GUGUS

Silabus:

• Definisi, pencatatan dan himpunan khas

• Himpunan Bagian

• Pengolahan (operasi) himpunan

• Hubungan


1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas

Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan.

Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z (kapital)

Obyek atau unsur atau elemen dilambang-kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, …

Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-rusnya.


Dua cara pencatatan suatu himpunana. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup

“ dan “ menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan

bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap}

X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen

tanda “/” dibaca dengan syaratx bil genap = sifat atau ciri


Cara pendefinisian sifat yang lain:

J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsur Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih kecil dari 5

Himpunan khas:

a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakan S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil

b. Himpunan kosong (emty set) E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan “ø”


Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }

Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€” Jadi: 2 € P 3 € P

4 € P.

Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”

Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P

dicatat 5 € P

6 € P Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen” atau “diluar”.


2. Himpunan bagian

Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: B A, baca B mencakup A Tanda dibaca bukan himpunan bagian dan tanda dibaca tidak/bukan mencakup

Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya.


Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }

Himpunan bagiannya:

a.Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 }

b.Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 }

X32 = { 1, 2, 4 }

X33 = { 1, 3, 4 }

X34 = { 2, 3, 4 }

c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 }

X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 }

X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }


d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 }

e. Tanpa memilih X0 = { }

Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n

1 elemen: 1 2 himp bag 2 elemen: 1 2 1 4 himp bag 3 elemen: 1 3 3 1 8 himp bag 4 elemen: 1 4 6 4 1 16 himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1 32 himp bag

Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton


• Latihan:


3. Pengolahan (operasi) Himpunan

Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen.

Operasi Gabungan ( U )

A U B = { x / x ε A atau x ε B }

A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.

Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 }

A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }


Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir

A B

S

Sifat-sifat gabungan

a.A U B = B U A Hukum komutasi

b. A (A U B) dan B (A U B)


Operasi potongan (irisan) = ∩

A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }

A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B

Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }

A ∩ B = { 5, 15 }

Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

A B

s


Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)

b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B

Operasi selisih

Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B

A – B = { x / x € A, tetapi x € B }

Diagram Venn A – B sebagai berikut:

A B

S


Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }

A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }

A – B sering dibaca “A bukan B”.

Sifat: a (A – B) A; (B – A) B

b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing atau terputus


Komplemen

A’ = { x / x € S, tetapi x € A } A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”

Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat positip

A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap

Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)

S

A A’

A


Sifat: a. A U A’ = S b. A ∩ A’ = ø c. (A’)’ = A

Latihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }

Kemudian selesaikan :a). A – B b). B – A c) A ∩ Bd). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’


Latihan 2

Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan himpunan: € atau €

A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’

€ €

€ €

€ €

€ €


Hubungan

Himpunan Hasil kali Cartesius

Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut dapat disusun himpunan yang beranggotakan pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).

Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan rumah diberi angka 1 hingga 3.

Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}

Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}


Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:

X 1 2 3

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),

(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}

Y


Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan dalam sistem koordinat cartesius berikut:

Y

3 • • • •

2 • • • •

1 • • • •

0 1 2 3 4 XGbr: Hubungan nilai ujian dan nilai pekerjaan rumah

H1

H2 H3

H4

PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin

U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar

Terdapat 4 himp bag

H1 = {malas ttp pintar} H2 = {malas dan krg

mengerti} H3 = {rajin ttp krg

ngerti} H4 = {rajin dan pintar}


Daerah dan Wilayah (Range) hubungan

• Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius: H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut, disebut dengan Daerah hubungan

• Dh = {1, 2, 3, 4}

Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut dengan Wilayah hubungan:

• Wh = {1, 2, 3}


Kesimpulan:

• Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.

• X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }

• Daerah hubungan

Dh = { x / x € X}

• Daerah hubungan:

Wh = { y / y € Y}


SISTEM BILANGAN

Nyata+ dan -

Khayal

Rasional Irrasional

Bulat Pecahan

Bilangan

2; -2; 1,1; -1,1

Akar negatip

√(-4) = ± 2

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal atau desimal berulang 0,1492525

Hasil bagi dua bil bulat, pecahan desimal tak berulang 0,14925253993999… π, ℮

1; 4; 8; termasuk 0

½; 2/7 dsb

1. Pembagian bilangan


2. Tanda pertidaksamaan

• Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”

• Tanda > melambangkan “lebih besar dari”

• Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”

• Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”

3. Sifat

• Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b

• Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b

• Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b

• Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d


FungsiSilabus:

a. Pengertian

b. Macam-macam fungsi

c. Fungsi Linear

d. Fungsi non Linear


Dengan denah Venn sbb:

◦

◦

◦

•

•

•

X Y

Hubungan 1 - 1

Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR

PengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)


Perhatikan juga contoh berikut:

0 x1x2

X

Y

y1 • •

y = f(x)•x1

•x2

•xn

•y1

•yn

X Y

Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)

Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di transformasikan di dalam himpunan y.


Transformasi mengandung pengertian yang luas: a. x menentukan besarnya nilai y b. x mempengaruhi nilai y c. Dll.

Pernyataan y = f(x) dibaca: y merupakan fungsi dari x atau dicatat : f : x y

simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi unsur himp. X kedalam himpunan Y

Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabel dengan variabel lain

aturan ditransformasi


Perhatikan: y = f(x) x merupakan sebab (variabel bebas)

y akibat dari fungsi (variabel terikat)

Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).

Df = { x / x ε X } Wf = { y / y ε Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari

merupakan fungsi dari output Q tiap hari: C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas

limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah dan Range dari fungsi biaya?

Jawaban:Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 }Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 } Dapat Anda jelaskan ?


Macam-macam fungsi

a. Fungsi Polinomial

x

y

Konstan, jika n = 0

y = a

a0

Slope = a1

Bentuk umumnya :

y = a + bx + cx2 + . . . + pxn

x

y

Linear, jika n = 1

y = a + bx

a0

Kuadratik, jika n = 2

Y = c + bx + ax2

case c < 0


•

•

x

y

Titik belok

Titik maksimum

Fungsi kubik

y = d + cx + bx2 + ax3

Titik maksimum

Titik minimum

x

y

Fungsi polinom derajad 4

y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4


b. Fungsi Rasional

Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi hiperbola.

Hiperbola: y = (a/x), a > 0

x

y

0

c. Fungsi eksponensial dan logaritmay

x0

Eksponensial y = bx , b>1

y

x0

Logaritmay = logbx


Fungsi linear • Fungsi linear merupakan bentuk yang paling

dasar dan sering digunakan dalam analisa ekonomi

• Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat dalam analisa ekonomi – misalnya:

- antara permintaan dan harga

- invests dan tingkat bunga

- konsumsi dan pendapatan nasional, dll

• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1 atau fungsi polinom derajad-1.


• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom:

y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn

• Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu

y = a + bx bentuk umumContoh:

y = 4 + 2x a = 4

b = 2

Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal yb = 2, adalah koefisien arah atau lereng atau slope garis.


x

y

b

a0 = penggal garis y = ax + b, pada sumbu yyaitu nilai y saat x = 0

0

a = lereng garis atau ∆y/Δx

pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a

∆x∆y = a

a

a

a

a

1 2 3 4 5

y = a + bx


• Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu konstan.

• Latihan-1 y = 4 + 2x

Penggan garis pada sumbu y = ……………

Lereng garis :

x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a

0 - - -

1

2

3

4

Mendapatkan penggal garis pada sumbu y ketika x = 0


Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x

x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Mendapatkan penggal garis pada sumbu x ketika y = 0


Kurva (grafik) fungsi• Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena

lerengnya sama.• Misalkan y = 36 – 4x

maka a = -4 (∆y/∆x) b = 36

• Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik potong (penggal) dengan: sumbu x dan penggal dengan sumbu y

• Hubungkan kedua titik penggal tersebut• Titik penggal pada sb x, y = .., x = … atau titik

(…, …) Titik penggal pada sb y, x = .., y = … atau titik (…, …)


Grafik:y

x

36 •

•9

0

18 y = 36 – 4x

(0,36)

(9,0)

Grafik dengan lereng negatip


• Gambarkan grafik fungsi:• y = 2 + 4x• Titik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)

Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0,2)• Gambarkan :

y

x0Grafik dengan lereng positip

y = 2 + 4x


Fungsi non linear (kuadratik)• Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang

sering digunakan dalam analisa ekonomi• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear

juga merupakan hubungan sebab-akibat• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2

atau fungsi polinom derajad-2.

• Bentuk umum • Diturunkan dari fungsi polinom:

y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn

• Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ± 0, yaitu y = a0 + a1x + a2x2 atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c


• Contoh - 1:• y = 8 – 2x – x2 a

= -1 (a < 0) b = -2 c = 8

• Contoh - 2:• y = 2x2 + 4x + 6 a

= 2 a > 0) b = 4 c = 2

Menggambar kurva non linear kuadratik

a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. Faktorisasi Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi

tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua fungsi yang lebih kecil


Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan:(2 - x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x)(2 - x)(4 + x) = 0(2 - x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0)(4 + x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)

2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar)

-b ± √ b2 – 4ac x = --------------------

2c

- (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8) x = -------------------------------

2(-1)


2 ± √ 4 + 32 2 ± 6 x = ---------------- = ---------

-2 -2

x1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0) x2 = (2 – 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.

b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0

y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)

c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi- m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka titik ini harus dicari.


• Mencari titik maks atau min• Sifat fungsi kuadratik

a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim.

Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0

b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan:

-b b2 – 4ac x = ----, dan y = ----------- 2a -4a

c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min

y = 8 – 2x – x2, a < 0 berarti maks xmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1

ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9).


• Gambarkan kurvanya:

0 x

y


• Latihan:

Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2:

y = 2x2 + 4x + 6


Lanjutan:


• Hubungan dua garisDua buah garis dengan fungsi linier dapat:a. berimpit

y 1 = a 1

x + b 1

y 2 = a 2

x + b 2

Berimpit: Jika dan hanya jika

a1 = a2

b1= b2

b. Sejajar

y1 = a1

x + b1

y2 = a2

x + b2

Sejajar: Jika dan hanya jika

a1 = a2

b1 ± b2


c. Berpotongan

y2 = a

2 x + b2

y1 = a1

x + b1

Berpotongan: jika dan hanya jika

a1 ± a2

b1 ± b2

Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya dapat berpotongan.

y1 = a1

x + b1

y2 = ax2 + bx + c

y

x

y

x

a<0 a>0•

Ttk pot

•

•

Ttk pot Ttk pot


• Mencari titik potong dua garis/persamaan

• Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada perpotongan tersebut

• Caranya: (1) Bentuk fungsi harus y = f(x)

(2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong

• Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3

x = 15 – 2y y = -(1/2)x + 15/2 3y = x +3 y = (1/3)x + 1

-(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1

-(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2

x = 78/10


• Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada

salah satu fungsi:

y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1

y = 26/10

Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)


• Mencari titik potong dua garis/persamaan(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23

Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x dan y sama pada saat perpotongan tersebut.

• Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)

(1) 2x + 3y = 21 3y = 21 – 2x atau y = 7 – (2/3)x

(2) x + 4y = 23 4y = 23 – x atau y = (23/4) – (1/4)x

Titik potong kedua garis:

7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x

7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x

5 = (5/12)x

x = 12. y = 11/4 (12, 11/4)


Latihan

Penggunaan Fungsi dalam ekonomi

Analisa keseimbangan pasar

Keseimbangan pasar – Model linear

Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0)

Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd turun.

Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi linear P. Jika harga naik, maka Qs juga naik, dengan syarat tidak ada jlh yang ditawarkan sebelum harga lebih tinggi dari nol.

Persoalan,bagaimana menentukan nilai keseimbangan ?


Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi pada saat:

Qd = Qs

Qd = a - bP, slope (-) (1)

Qs = -c + dP, slope (+) (2)

Gambarnya sbb:Qd, Qs

P

-c

P1

aQd = a -bP

Qs = -c + dP

P0

Q0

0

keseimbangan


Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:

Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1

Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21) tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}

0

-1

1,3

2

4

3

1

QS = 4p - 1

QD = 4 - p2

keseimbangan


• Latihan

• Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut




Keseimbangan pasar (lanjutan)

Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an permintaan dan penawaran dari suatu komoditi tertentu jika:

Qd = 16 – P2 , (Permintaan)

QS = 2p2 – 4p (penawaran)

Gambarkan grafiknya

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5


Penjelasan

Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs

16 – p2 = 2p2 – 4p

3p2 – 4p – 16 = 0

Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2 dengan bentuk umum: ax2 + bx + c

Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16

p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)

Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4

Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)

2a 6


Grafik:

Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2

a. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 16, (16,0) b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 16 – p2 = 0

(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4)

p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)

c.Titik maks/min: (Q,p)

Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0

p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16

atau pada titik (0, 16)


Grafik:

Fungsi penawaran

Qs = 2p2 – 4p

a.Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 0, (0,0)

b.Titik potong dengan sb p Q = 0; 2p2 – 4p = 0

Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)

(p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 4/4 = 1 p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2 atau pada titik (1, 2)


Grafik:

Q

p

Qd

6.4

3.14

160

2

Qs

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demand


Penjelasan ekses suplai dan ekses demand

Qs

Qd

Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun.


DERIFATIF1.1. Pengantar Kalkulus

Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang

a. Fungsi

b. Derivatif atau fungsi turunan

c. Derivatif parsial dan

d. Integral

sangat luas penggunaannya dalam ilmu ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu ekonomi diantaranya:

1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan


2) Elastisitas produksi3) Biaya total, rata-rata dan marginal4) Revenue dan marginal revenue5) Maksimisasi penerimaan dan profit.6) dll.Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric. Economist, atau agribussines manager perlu mendalami pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral.

Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.


1.2. Limit fungsi

Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan persamaan:

h(x) = -------------2x2 + x - 3

x - 1

Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0 (bentuk tak tentu)


h(x) = ------------- = ------------- = 2x + 32x2 + x - 3

x - 1

(x-1)(2x +3)

x - 1

Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga:

Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x2 - 4

x - 2 tentu, untuk x = 2

Karena itu g(x) disederhanakan menjadi:

g(x) = ------------------- = x + 2. (x – 2)(x + 2)

x - 2


Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut:

1

2

3

0

4

5 ◦

1 x

y

y = h(x)

Fungsi h tdk terdefi-nisi di titik x = 1. Un-tuk x ± 1, maka h(x) = 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati 1, h(x) akan mende-kati 5. Dikatakan limit fungsi h dititik x = 1 adalah 5.


Keadaan di atas, dicatat sebagai:

lim h(x) = lim ------------- = 5x1 x1

2x2 + x - 3

x - 1

Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1

Demikian juga dengan g(x) di atas

lim g(x) = lim --------- = 4. x2 - 4

x - 2 x 2 x 2

1.3. Pengertian Derivatif

Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai (terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik tersebut, maka:

lim f(x) = f(x0)

x -> x0

Y = f(x)

x

Y

•

x0

Y = f(x) kontinu pada x = x0

•

◦

Y=f(x)

x0

y0 y0

y1

Y = f(x) diskontinu pada x = x0


Sehingga f(x) – f(x0)

------------------

x – x0

0

0---=

Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif -------------

x – x0 fungsi f dititik x = x0.x->x0

Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x = x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau:

lim f(x0 + Δx) – f(x0)-------------------

Δx Δx-> 0

merupakan derivatif atau turunan fungsi.


Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg:

f’(x) atau dy/dx atau

y’ atau Dxy.

Atau dengan penjelasan lain:

Ump. y = f(x) dengan kurva sbb:

y = f(x)

y + Δy = f(x + Δx)

Besarnya pertambahan adalah:

Δy = f(x + Δx) – f(x).

Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)

Y = f(x)

◦

x x1

Δxy

y1 Δy

-------------------------------Δx


lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)

adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx

Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1, dititik x = 5.

Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah sebesar Δy.

y + Δy = (x + Δx)2 + 1

y = x2 + 1 (-)

-----------------------------ΔxΔx->0


Dengan pengurangan: Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1

= x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1

= 2xΔx + (Δx)2

Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2

Δx

= 2x + Δx

lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx

dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5, berarti dy/dx untuk x = 5 adalah 10.

Δx ->0 Δx ->0 Δx ->0


1.4 Rules of differentiationRule 1: Derivative of a power function.Fungsi pangkat (power function) y = xn

y + Δy = (x + Δx)n Δy = (x + Δx)n – y

Δy = (x + Δx)n – xn

Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3


C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur.

C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya.

C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur.

C(i, n) = ------------ n !

i ! – (n – i)!


n! = n(n-1)(n-2)(n-3) …

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

0! = 1

Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn

= C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx +

C(2, n)xn-2Δx2 +

C(3, n)xn-3Δx3 +

C(4, n)xn-4Δx4 +

………… +

C(n-1, n)xΔxn-1 - xn


C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1

C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n

C(2, n) = ---------- = ---------------------- = -----

n!

0!(n-0)!

n.n-1.n-2.n-3. …

1.n.n-1.n-2.n-3 …

n!

1!(n-1)!

n.n-1.n-2.n-3. …

1.n-1.n-2.n-3. …

n!

2!(n-2)!

n.n-1.n-2.n-3. …

2.1.n-2.n-3. …

n.n-1

2


Δy = (x + Δx)n – xn

= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +

C(3, n)xn-3Δx3 +

C(4, n)xn-4Δx4 +

…… +

C(n-1, n)xΔxn-1 - xn

= nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +

C(3, n)xn-3Δx3 +

C(4, n)xn-4Δx4 +

…… +

C(n-1, n)xΔxn-1

2


Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx +

C(3, n)xn-3Δx2 +

C(4, n)xn-4Δx3 +

…… +

C(n-1, n)xΔxn-2

Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1

Contoh: y = x5

dy/dx = 5x4.

Mis C = total cost, q = output C = q3

derivatif C thdp q = 3q2.

Δx 2

ΔyΔxΔx->0 Δx->0


Rule 2: Multiplication by a constant.

y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx?

y + Δy = c(x + Δx)2

Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2

= c2xΔx + c(Δx)2

---- = c2x + c(Δx)

lim ---- = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x

ΔyΔx

Δy

ΔxΔx->0 Δx->0


Contoh: y =f(x) = 5x2

f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x

Rule 3: Derivative of a sum

f(x) = g(x) + h(x)

Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh:

f’(x) = g’(x) + h’(x)

Demikian juga untuk:

f(x) = g(x) + h(x) + k(x)

f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)


Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama dengan pengurangan atau selisih.

f(x) = g(x) – h(x);

f’(x) = g’(x) – h’(x).

Contoh:

Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37

g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3

h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2

k(x) = -3x; k’(x) = -3

l(x) = 37; l’(x) = 0

jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3.


Rule 4: derivative of a productFungsi hasil kali berbentuk

y = f(x) = g(x).h(x) f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)

Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2 h(x) = 3x2; h’(x) = 6xJadi: f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2) = 12x2 + 18x + 6x2

= 18x2 + 18x.


Rule 5: derivatif of a quotient

Bentuk umum hasil bagi dua fungsi:

y = f(x) = g(x)/h(x).

f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x)

[h(x)]2


Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1).

g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2

h(x) = x + 1; h’(x) = 1

f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3)

= 2x + 2 – 2x + 3 = 5

(x + 1)2

(x + 1)2 (x + 1)2


Rule 6: Chain rule

Fungsi berantai bentuknya sbb:

y = f(u) u = g(x) y = f(z)

z = g(u) u = h(x)Dicari derivatif y ter-

hadap x atau dy/dx. Dari u = g(x) didpt du/dx.

Dari y = f(u) didpt dy/du, Maka

dydx

= dy .du

dudx

Dengan cara yang sama

dy=

dy du dz

dx du dz dx


Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan (x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga: y = 2x

Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15 unit roti (z), yang digambarkan sebagai:

z = 15y

Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x), maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).


dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah kecil perubahan x yaitu

dy/dx = 2

Perubahan z apabila ada perubahan y

dz/dy = 15

Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi:

dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.


Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x.

v = t2 dan t = 1 + x2

u = s3, du/ds = 3s2

s = 1 – x ds/dx = -1

v = t2, dv/dt = 2tt = 1 + x2 dt/dx = 2x

y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti

dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx

= u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx)

= s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1)

= 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t)

Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)]


Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.

Dengan memakai derivatif fungsi berantai:

Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3

dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.


1.5. Derivatif of higher order

Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua dilambangkan dengan:

d2y/dx2 atau f”(x) atau y”

Demikian seterusnya untuk derivatif yang lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde yang lebih tinggi.

Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4, dan hitung nilainya untuk x = 2.


f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0

f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0

f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6

f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.


1.5 Derivatif parsial Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari

satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel.

Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,) dimana h = harga komoditi itu sendiri

hkl = harga komoditi lain

sK = selera konsumen i = income Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi: z = f(x , y), bila y dianggap tetap,

maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke x dapat dihitung.


Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:

∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx

Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg:

∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy

Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai:

∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y)ΔxΔx->0 Δx->0

Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y)

ΔyΔy->0 Δy->0


Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka: ∂z/∂x = 6x + 2y ∂z/∂y = 2x – 10y

Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:Contoh: z = (x2 + y2)3

∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2

∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2

∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)

∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)

∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x thd y 24xy(x2 + y2).

∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)


Simbol derivatif parsial ∂z/∂x

juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx.

Fungsi turunan kedua dilambangkan:

∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx

Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx

Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy

fyx = fxy


Maksimum dan minimumy = f(x)

akan maksimum pada saat:

dy/dx = 0

dan d2y/dx2 < 0

akan minimum pada saat:

dy/dx = 0

dan d2y/dx2 > 0

akan mempunyai titik belok (inflection point) pada:

dy/dx = 0

dan d2y/dx2 = 0


Apabila fungsinya lebih dari dua variabel:

z = f(x, y) atau f(x1, x2),

Maksimum jika fx = 0, fy = 0

fxx < 0, fyy < 0

fxxfyy – (fxy)2 > 0

Minimum jika fx = 0, fy = 0

fxx > 0, fyy > 0

fxxfyy – (fxy)2 > 0


Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut.

y = f(x) = -x2 + 4x + 7

dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2

d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks. pada x = 2.

nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11


Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari:

z = x2 + xy + y2 – 3x + 2

Langkah-langkah:

a. Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3

fy = x + 2y

b. fx = 0 dan fy = 0

2x + y – 3 = 0

x + 2y = 0

Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x.

Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0

didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0

atau 3x = 6 x = 2.


Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1.

Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min

c. Uji dengan derivatif kedua:

fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1

fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0

artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada titik (2, -1).

d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2

= 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1.


1.5 Aplikasi dalam ekonomi

1) Elastisitas permintaan

Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga.

Jika q = komoditi yg diminta,

Δq = perubahannya

p = harga komoditi;

Δp = perubahannya


Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- --Δq/q

Δp/p Δp->0

Δq/q

Δp/p Δp

Δq p

qΔp->0

dq

dp

p

q

Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku-rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi-nisi dan derivatif.

Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti

p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9

Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78 untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10. berarti Δq = 10.78 – 10 = 0.78


Jadi menurut pendekatan definisi

Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56

Dengan pendekatan derivatif:

Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q

pada harga p = 2, dan q = 10

Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.

Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol, sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi hasilnya sedikit berbeda.


2) Total Cost, Average cost and marginal cost

TC = f(q),

merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost, dan q = produk yang dihasilkan.

TC/q = f(q)/q

merupakan fungsi biaya rata-rata.

MC = dTC/dq

merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg dibutuhkan per satuan tambahan produk.


AC

Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah ini.

MC

VC

TC

q

Rp


Contoh dengan data diskrit

q FC VC TC AC MC

1 100 10 110 110.00 -

2 100 16 116 58.00 6.0

3 100 21 121 40.33 5.0

4 100 26 126 31.50 5.0

5 100 30 130 26.00 4.0

6 100 36 136 22.67 6.0

7 100 45.5 145.5 20.78 9.5

8 100 56 156 19.50 10.5

9 100 72 172 19.10 16


Contoh dengan fungsi biaya: TC = q3 – 4q2 + 10q + 75. FC = Fixed Cost = 75 VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q

MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10 AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q

3) Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka

Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga.


Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka:

TR = qp = f(p).p

Marginal Revenue (MR) = dTR/dq.

Contoh:

Fungsi Permintaan; 3q + 2p = 9;

2p = 9 – 3q atau

p = 9/2 – (3/2)q

TR = p.q atau

TR = (9/2)q – (3/2)q2

MR = dTR/dq

= 9/2 – 3q

MR

p

q

TR, MR, p

0 3

4


4). Fungsi produksi

Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh profit maksimum, adalah:

a. Jumlah produk yang yang akan diproduksi

b. Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.

Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.

Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan hubungan antara tingkat penggunaan input-input dengan tingkat output.


Fungsi produksi, secara umum dicatat:

Q = f(x1, x2, x3, … , xn)Q = output

xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , nApabila dalam proses produksi:

Q = f(x1/x2, x3, … , xn)

input xI ditambah terus menerus, sedangkan input lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada hukum : The law of diminishing returns

“bila satu macam input, terus ditambah penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari setiap tambahan input, mulai-mula meningkat, kemudian menurun, dan akhirnya negatip”.


Tambahan output yg didapat karena adanya tam-bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM).

PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n

Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR).

PR = Q/x = f(x)/x

Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-tunjukkan oleh kurva berikut ini.


Q = PT

Q

x

xPR

PM

X1 Q PM PR

1 10 - 10

2 24 14 12

3 39 15 13

4 52 13 13

5 61 9 12.2

6 66 5 11

7 66 0 9.4

8 64 -2 8


Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:

a. Pada saat PT maks, maka PM = 0

b. Pada saat PR maks, maka PM = PR

c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT.

Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk

Q = f(x1, x2)/x3, … , xN)

atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut:


z

x1

x2

MATRIKS

Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun dalam bentuk “baris” dan “lajur”.

Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan (rata-rata)

Kota A B C

J 4000 4500 4200

F 4200 4600 4500

M 4200 4700 4500

Bulan


Dengan catatan matriks ditulis:

A = 4000 4500 4200

4200 4600 4500

4200 4700 450

B = 1 0 1 4

3 2 6 7

9 8 4 1

Bentuk umum sbb:

A = a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

: : :

am1 am2 … amn

m x nUntuk menyederhanakan dicatat:

A = (aij)mxn

m = jlh baris; n = jlh lajur

m x n

Notasi matriks


Vektor.

Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor baris dan beberapa vektor lajur.

Vektor baris:

a’ = (4, 1, 3, 2)

x’ = (x1, x2, … xn)

Vektor lajur

b = 1 u = u1

2 u2

8 :

un


Beberapa macam bentuk matriks

a.Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n

A = 2 0 2 4

4 1 7 7

1 2 3 4

5 1 4 1

b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji

4 x 4

B = 1 0 7 7

0 5 4 3

7 4 2 5

7 3 5 1

4 X 4


c. Matriks diagonal

D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j

D = 3 0 0

0 5 0

0 0 7

d. Matriks identitas

I4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

e. Matriks segitiga atas, jika semua unsur di-bawah diagonal uta-ma bernilai nol.

G = 9 9 3

0 1 3

0 0 2

Diagonal utama

Jika semua unsur di-atas diagonal utama bernilai 0 = matriks segitiga bawah.


Penggandaan matriks

Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B atau n = p

Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur dimana setiap baris A digandakan dengan setiap lajur B seperti contoh berikut ini.

1 1 0 8 -1

2 4 5 1 1

6 7 8 1 2


1 1 0 8 -1 2 4 5 1 1 6 7 8 1 2

= (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1

1 1

1 2

(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1

1 1

1 2

(6 7 8) 8 , (6 7 8) -1

1 1

1 1

=


(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)

(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)

(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2)

9 0 Contoh-2: 3 6 0 x =

25 12 4 2 -7 y

63 17 z

3x + 6y

4x + 2y – 7z


Putaran matriks

Matriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m, sedangkan (a’ij) = (aji).

Contoh: A = 3 8 -9 A’ = 3 1

1 0 4 8 0

-9 4

D = 1 0 4 D’ = 1 0 4

0 3 7 0 3 7

4 7 2 4 7 2



Determinan matriks segi

Determinan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur, dengan tanda tertentu. Determinan matriks A dicatat det (A) atau |A|

Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7

4 9

det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. - +


Contoh: Cari determinan matriks

C = 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan 8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai

6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai lajur 5 kemudian mengganda-

kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur.

det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9

+ + +

- - -

= (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9)

-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405


Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.

Pangkat suatu matriks

Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak penuh atau dinamakan matriks singular.

Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat penuh.


Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak matriksnya yang memiliki det ± 0.

Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka

2 -1 1 p(A) ± 3, dan kemungkinan

4 1 1 p(A) = 2.

Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:

A11 = 1 1 , det A11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2

2 -1

3 x 3


Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau tak singular atau berpangkat penuh.

Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7

2x1 + 4x2 + x3 = 0

- 2x2 - x3 = 2

Setelah diubah dg perkalian matiks diperoleh

7 -3 -3 x1 = 7

8 4 1 x2 0

0 -2 -1 x3 2


Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x

2 4 1 dari persamaan li-

0 -2 -1 near itu dpt dicari.


Persamaan linear dan jawabannya.

Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.

Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 – x2 – x3 = 0

6x1 – 2x2 = 8 10x1 – 2x2 + x3 = 8

6x1 + 3x2 – 2x3 = 7

Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2


Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-nan, sistem persamaan linear di atas dapat diselesai-kan dg cara sbb:

a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks.

5 3 x1 = 30

6 -2 x2 8

b. Cari nilai det (A); det A = -28

c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.

A x d


A1 = 30 3

8 -2

d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d.

A2 = 5 30

6 8

e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140

f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A.

x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5.


Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0

10 -2 1 x2 8

6 3 -2 x3 7

A x d

a.Det A = -61

b.Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183

8 -2 1 10 8 1

7 3 -2 6 7 -2

det A3 = 7 -1 0 = -244

10 -2 8

6 3 7


MATRIKS KEBALIKAN

Jika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat sebagai A-1.

Cara mencari matriks kebalikan:

a.Dengan matriks adjoint

b.Dengan transformasi penyapuan

c. Dengan metode Doolittle


Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint

Umpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang-kah-langkah sbb:

a.Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3)

Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak matriks dengan menghapus baris p

dan lajur q.

Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:


a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32

a32 a33


a31 a33

Minor unsur a13 = M13 = a21 a22

a31 a32 = a21a32 – a22a31



a32 a33


a31 a33


a31 a32 = a11a32 – a12a31



a21 a23


a21 a23


a21 a22 = a11a22 – a12a21


b. Kofaktor.

Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq.

Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11










Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah matriks kofaktor K:

K = α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’)

Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap, tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya negatip.


Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1

0 3 2

3 0 7

Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9

0 7 3 7 3 0 -7 31 3

1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12

0 7 3 7 3 0

1 -1 4 -1 4 1

3 2 0 2 0 3

-

--

-


Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5

6 31 -8

-9 3 12

Matriks kebalikan = B-1 adalah: (1/det B)K’.

det (B) = (4)(3)(7) + (1)(2)(3) + (0)(0)(-1)

-(-1)(3)(3) -(2)(0)(4) -(1)(0)(7) = 99

B-1 = (1/99) 21 -7 5

6 31 -8

-9 3 12


Untuk menguji, maka: BB-1 = I

4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0

0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0

3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1

B B-1 I


PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis)

Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah, pembentukan modal maupun ekspor. Sementara Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.


Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan persamaan linear. Contoh analisis input-output Leontief.

Dengan notasi matriks model I-O sbb:

AX + F = X atau

X - AX = F atau

(I – A)X = F pers matriks Leontief

X = F/(I - A) = (I – A)-1. F.

Matriks kebalikan Leontief


0.2 0.3 0.2 , x1 , 10

0.4 0.1 0.2 x2 5

0.1 0.3 0.2 x3 6

A x F

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-

AI

0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.2

0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.2

0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8

0.8 -0.3 -0.2

-0.4 0.9 -0.2

-0.1 -0.3 0.8

x1 = 10

x2 5

x3 6I - A x

F

Mis. Sektor perekonomian terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind, dan Jasa.


Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah

M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24

-M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24

M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60

(I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ = 1 1 0.66 0.30 0.24 0.66 0.30 0.24

0.34 0.62 0.24

0.21 0.27 0.60

= 1.72 0.78 0.63 = R

0.90 1.61 0.63

0.55 0.70 1.56

0.384


Arti dari matriks kebalikan Leontief:

Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harus diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.

R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.


X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84

x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68

x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36

Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira-malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing-masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan.

Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di-naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui.

Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu:

(I – A)-1F


Penutup: TUHAN Maha Tahu

tetapi tidak pernah memberi tahu !

Mengapa ?

Manusia sudah diberi pikiran

dan manusia adalah makhluk

yang berpikir.

Matematika merupakan sarana berpikir

Documents

Mate Ma Tika