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Matematicas Avanzadas para IngenierıaTarea 14: Transformada Z Inversa
Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2012
Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:0
1. Indique la transformada Z inversa para cada funcion de variables compleja de la siguiente lista.
a) zz+6
b) zz−1
c) 6 z6 z+1
d) 6 z6 z−1
e) zz5 (z−1)
Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista:
1) (−6)nu(n)
2) 6−n u(n)
3) n 3n u(n)
4) (−6)−n
u(n)
5) u(n− 5)
6) u(n)
7) δ(n) + δ(n− 4)
Solucion
Para el inicio a) tenemos:
Z−1
{z
z + 6
}= Z−1
{z
z − (−6)
}= (−6)
nu(n)
Para el inicio b) tenemos:
Z−1
{z
z − 1
}= (1)
nu(n) = u(n)
Para el inicio c) tenemos:
Z−1
{6 z
6 z + 1
}= Z−1
{6 z
6(z + 1
6
)} = Z−1
{z
z + 16
}=
(−1
6
)n
u(n) = (−6)−n
u(n)
Para el inicio e) tenemos:
Z−1
{6 z
6 z − 1
}= Z−1
{6 z
6(z − 1
6
)} = Z−1
{z
z − 16
}=
(1
6
)n
u(n) = 6−n u(n)
Para el inicio d) tenemos:
Z−1
{z
z5 (z − 1)
}= Z−1
{z−5 × z
z − 1
}= Z−1
{z
z − 1
}n=n−5
= u(n− 5)
2. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−3 z2
z2 − 9
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicamos fracciones parciales a X(z)z :
−3 z2
z2 − 9= z ×
(−3 z
z2 − 9
)= z ×
(−3
2× 1
z + 3− 3
2× 1
z − 3
)= −3
2× z
z + 3− 3
2× z
z − 3
Por lo tanto y usando linealidad:
Z−1 {Z(x)} = Z−1
{−3
2× z
z + 3− 3
2× z
z − 3
}= −3
2× Z−1
{z
z + 3
}− 3
2× Z−1
{z
z − 3
}Por lo tanto
x(n) = Z−1 {Z(x)} = −3
2× (−3)
nu(n)− 3
2× 3n u(n)
3. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =z
3 z2 − 6 z + 3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Al intentar aplicar fracciones parciales sobre Z(x)/z en la TI obtenemos:
z
3 z2 − 6 z + 3= z
1
3 (z2 − 2 z + 1)
esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado:
z
3 z2 − 6 z + 3=
1
3z
1
(z − 1)2
Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema esta en las formulas siguientes:
Z {an u(n)} =z
z − ay Z {nx(n)u(n)} = −z d
dzZ {x(n)u(n)}
De ellas deducimos la formula
Z {nan u(n)} =a z
(z − a)2
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 3
Si ahora regresamos a nuestro problema:
Z−1 {X(z)} = Z−1
{1
3
z
(z − 1)2
}=
1
3×F−1
{z
(z − 1)2
}=
1
3× 1
1× n× 1n × u(n) =
1
3nu(n)
4. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−2 z
z2 − 9 z + 9
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a Z(x)/z en la TI
obtenemos la misma expresion:
El algoritmo se basa en la factorizacion en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresion
nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las raıces son irracionales o
complejas. Para probar busquemos las raıces complejas del denominador:
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 4
Observamos que en nuestro caso las raıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que
la primera de ella es r1 y la segunda r2; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z2 en del denominador es 1,
podemos pensar que la expresion original es
Z(x) =−2 z
(z − r1) (z − r2)
Si aplicamos fracciones parciales a Z(x)/z obtenemos:
Z(x) = z ×(
2
r1 − r2× 1
z − r2− 2
r1 − r2× 1
z − r1
)=
2
r1 − r2× z
z − r2− 2
r1 − r2× z
z − r1
Por tanto
x(n) = Z−1 {Z(x)} = Z−1
{2
r1 − r2× z
z − r2− 2
r1 − r2× z
z − r1
}=
2
r1 − r2× Z−1
{z
z − r2
}− 2
r1 − r2× Z−1
{z
z − r1
}Y ası:
x(n) =2
r1 − r2× (r2)
nu(n)− 2
r1 − r2× (r1)
nu(n)
Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes calculos (observe que r1 y r2 son palabras reservadas en la
calculadora!):
5. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =4 z2(
z − 14
) (z − 1
2
)De sus primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Apliquemos fracciones parciales a Z(x)/z:
X(z) =4 z2(
z − 14
) (z − 1
2
) = z ×(
16
2 z − 1− 16
4 z − 1
)=
16 z
2 z − 1− 16 z
4 z − 1
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 5
Por tanto
x(n) = Z−1
{16 z
2 z − 1− 16 z
4 z − 1
}=
16
2× Z−1
{z
z − 12
}− 16
4× Z−1
{z
z − 14
}=
(8
(1
2
)n
− 4
(1
4
)n)u(n)
6. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =3 z + z2
z2 − 2 z + 2
De los primeros 4 valores iniciando en 0. Al aplicar fracciones parciales a Z(x)/z en la TI obtenemos la misma expresion.
Y al revisar las raıces del denominador vemos que son complejas. Estas raıces las salvaremos en las variables v1 y v2 y
cambiaremos el denominador de la expresion original para buscar fracciones parciales con ellas.
Agrupando el resultado obtenemos:
X(z) = z ×((
r2 + 3
r1 − r2+ 1
)× 1
z − r1− r2 + 3
r1 − r2× 1
z − r2
)=
(r2 + 3
r1 − r2+ 1
)× z
z − r1− r2 + 3
r1 − r2× z
z − r2
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 6
Por tanto
x(n) =
(1
2− 1
2i
)(1 + i)
nu(n)−
(−1
2− 1
2i
)(1− i)
nu(n)
Simplificando:
x(n) =
(1
2(1− i) (1 + i)n +
1
2(1 + i) (1− i)n
)u(n)
O bien
x(n) =
(1
2(1− i) (1 + i) (1 + i)n−1 +
1
2(1 + i) (1− i) (1− i)n−1
)u(n)
y observando que (1− i) (1 + i) = 2 tenemos que:
x(n) =((1 + i)n−1 + (1− i)n−1
)u(n)
7. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−4 z + 20 z2
−z2 + 4 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:
X(z) = z ×(
16
4 z − 1− 4
z+
4
z2
)= 4× z
z − 14
− 4× 1 + 4 z−1
De donde:
x(n) = 4
(1
4
)n
u(n)− 4 δ(n) + 4 δ(n− 1)
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 7
8. Determine la transformada Z inversa x(n) de:
X(z) =−10 z + 21 z2
−1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3
De los primeros 4 valores iniciando en 0.
Solucion
Aplicando fracciones parciales a X(z)/z tenemos:
X(z) = z ×(− 3
3 z − 1+
9
(3 z − 1)2+
2
2 z − 1
)
De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando):
X(z) = − z
z − 13
+z(
z − 13
)2 +z
z − 12
Aquı debemos recordar la formula:
Z {nan u(n)} =a z
(z − a)2
obtenemos que:
x(n) = −(
1
3
)n
u(n) + 3n
(1
3
)n
u(n) +
(1
2
)n
u(n)
9. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
4y(n− 1)
si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1)n y
(1/4)n.
Solucion
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
Z {y(n)} = Z
{x(n) +
1
4y(n− 1)
}Por la propiedad de linealidad:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
4Z {y(n− 1)}
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 8
Por la propiedad de adelantamiento de senales:
Z {x(n− 1)} = z−1 Z {x(n)}+ x(−1)
Z {x(n− 2)} = z−2 Z {x(n)}+ z−1 · x(−1) + x(−2)
Z {x(n− 2)} = z−3 Z {x(n)}+ z−2 · x(−1) + z−1 · x(−2) + ·x(−3)...
Al aplicarla a Z {y(n− 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
4×(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)
)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(
1− 1
4z−1
)Z {y(n)} = Z {x(n)}+
1
4y(−1)
Por lo tanto
Z {y(n)} =
(1
1− 14 z
−1
)·(Z {x(n)}+
1
4y(−1)
)Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n); la expresion queda:
Z {y(n)} =
(1
1− 14 z
−1
)·(
z
z − (−1)+
3
4
)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:
Z {y(n)} =z (7 z + 3)
(z + 1) (4 z − 1)= z ×
(19
5 (4 z − 1)+
4
5 (z + 1)
)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:
y(n) = Z−1 {Y (z)} =19
5× 4Z−1
{z
z − 14
}+
4
5Z−1
{z
z + 1
}=
19
20
(1
4
)n
u(n) +4
5(−1)n u(n)
En la ultima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la solucion encontrada al menos satisface los primeros
valores.
Ma2003, Tarea 14: Transformada Z Inversa, Tipo: 0 9
10. Resuelva la ecuacion en diferencias:
y(n) = x(n) +1
5y(n− 1)
si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1/5)n
y (1/5)n.
Solucion
Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:
Z {y(n)} = Z
{x(n) +
1
4y(n− 1)
}Por la propiedad de linealidad:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
5Z {y(n− 1)}
Por la propiedad de adelantamiento de senales a Z {y(n− 1)} nos queda:
Z {y(n)} = Z {x(n)}+1
5×(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)
)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(
1− 1
5z−1
)Z {y(n)} = Z {x(n)}+
1
5y(−1)
Por lo tanto
Z {y(n)} =
(1
1− 15 z
−1
)·(Z {x(n)}+
1
5y(−1)
)Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5)n u(n); la expresion queda:
Z {y(n)} =
(1
1− 15 z
−1
)·(
z
z + 15
+4
5
)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:
Z {y(n)} =z (45 z + 4)
(5 z − 1) (5 z + 1)= z ×
(5
2 (5 z + 1)+
13
2 (5 z − 1)
)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:
y(n) = Z−1 {Y (z)} =5
2× 5Z−1
{z
z + 15
}+
13
2× 5Z−1
{z
z − 15
}=
1
2
(−1
5
)n
u(n) +13
10
(1
5
)n
u(n)
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