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“Las matemáticas es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamiento, todos
sencillos y fáciles” René Descartes.
Ejercicio: Escribe lo que significa para ti las matemáticas.
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Matemáticas
Aritmética
Es una rama de las matemáticas que estudia
los números y sus operaciones.
Geometría
Es una rama de las matemáticas que estudia
el espacio: puntos, rectas, planos,
polígonos, poliedros, curvas, etc.
Álgebra
Es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las
propiedades generales de las operaciones
aritméticas.
Aritmética
Números
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad, a través del símbolo.
Naturales Enteros Fraccionarios Decimales
Operaciones
Conjunto de reglas que nos permiten obtener otra cantidad.
+,−
×,÷
𝑎𝑛, 𝑎𝑛
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Tabla de lectura y escritura de números
Billones Millones Unidades
Unidades de billón
Millares de millón Unidades de
millón Millares Unidades
Cen
tena
s de
bill
ón
Dec
enas
de
billó
n
Uni
dade
s de
bill
ón
Cen
tena
s de
mill
ares
de
mill
ón
Dec
enas
de
mill
ares
de
mill
ón
Uni
dade
s de
mill
ares
de
mill
ón
Cen
tena
s de
mill
ón
Dec
enas
de
mill
ón
Uni
dade
s de
mill
ón
Cen
tena
s de
mill
ar
Dec
enas
de
mill
ar
Uni
dade
s de
mill
ar
Cen
tena
s
Dec
enas
Uni
dade
s
Ejemplo:
3 4 5 0 4
Treinta y cuatro mil quinientos cuatro
4 0 5 6 1 4 9 0 3
Cuatrocientos cinco millones seiscientos catorce mil novecientos tres
1 4 6 2 9 2 0 1 5 2 8 0 5 7 4
Ciento cuarenta y seis billones doscientos noventa y dos mil quince millones doscientos ochenta mil quinientos setenta y cuatro
Ejercicio: Escribe los siguientes números con letra.
Número Lectura de cantidad
𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑚𝑖𝑙
𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑚𝑖𝑙 𝑣𝑒𝑖𝑛𝑡𝑖𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜
𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑎𝑡𝑜𝑟𝑐𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑖𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜
𝑢𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑜𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑚𝑖𝑙 𝑑𝑜𝑠𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑒
𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑚𝑖𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑖𝑛𝑡𝑎 𝑦 𝑢𝑛𝑜
𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑖𝑙 𝑦 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑙 𝑛 𝑑𝑜𝑠𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
treinta y cinco mi noventa y ocho1001000
siete millones quinientos cinco 1006025
seis millones ochocientos ocho mil
3000800treinta y un millones mil uno
14000134veintiún millones treinta mil doscientos
42805249
cuatrocientos dos millones veinte mil veinte 401570431
tres mil cuatrocientos veintiun millones treinta y cuatro mi quinientos veinticuatro
4001000200mil ocho millones trescientos uno
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Ejercicio: Escribe en los siguientes renglones números formados por las cifras del sistema de
numeración decimal.
Sistema de numeración decimal
Sistema en base 10
El principio de agrupamiento de este sistema es 10, en donde cada 10 unidades se forma otra cantidad.
Posee 10 números
Estos son el: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y su combinación puede formar infinitos números.
Valor absoluto
Es el valor real del número, quitandole el lugar que ocupe.
Ejemplo: El valor asoluto de 5 en el número 152 es cinco (5).
Valor posicional
Es el valor que ocupa el número dependiendo del lugar en el que esta.
Ejemplo: El valor relativo de 5 en el número 152 es 50 (cincuenta), porque se encuentra en la posición de las decenas.
1234
78
9013
3557
79
56
1020
304050
60
70
8090
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Ejercicio: Coloca el valor absoluto y posicional de los siguientes números.
Número V. Absoluto V. Posicional Número V. Absoluto V. Posicional
Ejercicio: Completa las siguientes rectas numéricas.
Recta numérica
Es el orden que llevan los números del más pequeño al más grande, se colocan en una linea horizontal.
7
9
1
4
3
70
9001000
40
30000
5
2
2
3
3
500000
2000000
200000000
30000000
30000000000
2 4 8 10 14 16 20 3 9 12 18 24 27
5 10 20 30 35 45 50 7 14 35 42 49 63
11 33 55 66 77 99 110 15 45 75 90 120 135
150
30 60 120 180
210
224
300
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Ejercicio: Escribe el antecesor y sucesor de las siguientes números.
Antecesor Número Sucesor Antecesor Número Sucesor
Ejercicio: Completa con <, > o =.
Número Símbolo Número Número Símbolo Número
Antecesor
El antecesor de un número es aquel que se encuentra inmediatamente antes.
Ejemplo: Antecesor de 1524
1523
Sucesor
El sucesor de un número es aquel que se encuentra inmediatamente después.
Ejemplo: Sucesor de 1524
1525
Mayor que Menor que Igual que
> < =
Los números tienen cierto valor dependiendo del orden en el que se encuentren, esto quiere decir que pueden existir números mayores, menores o iguales.
88
98
465
899
1499
8669
90
100
467
901
1501
8671
67999
87998
123871
648019
999999
9099998
68001
88000
123873
648021
1000001
9100000
<
>
=
>
<
<
=
<
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1° Primero 2° Segundo 3° Tercero 4° Cuarto 5° Quinto 6° Sexto 7° Séptimo 8° Octavo 9° Noveno
10° Décimo
11° Undécimo o décimo primero 12° Duodécimo o décimo segundo 13° Décimo tercero 14° Décimo cuarto 15° Décimo quinto 16° Décimo sexto 17° Décimo séptimo 18° Décimo octavo 19° Décimo noveno 20° Vigésimo
30° Trigésimo 40° Cuadragésimo 50° Quincuagésimo 60° Sexagésimo 70° Septuagésimo 80° Octogésimo 90 Nonagésimo
100° Centésimo
Números ordinales
Son aquellos que indican un orden o posición.
Los números ordinales se escriben igual que los números cardinales, pero al final se les pone este signo (°) y se leen de diferente manera.
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Ejercicio: Realiza las siguientes sumas.
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
Suma
La suma es la operación matemática que resulta de reunir en una sola varias cantidades. También se conoce a la suma como adición. Las cantidades que se suman se llaman
sumandos y el resultado suma o total.
Propiedades de la suma
Conmutativa
Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos.
𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑎
+ +
Asociativa
Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman
los sumandos.
(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
+ + + + + +
Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo
número.
𝑎 + 𝑎
+
+
𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
20
22
42
74
132
25
25
51
93
170
19
36
66
105
182
Page 10
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas.
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
Ejercicio: Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes sumas.
1) + 2) +
3) + 4) +
5) + 6) +
7) + 8) +
9) + 10) +
Ejercicio: Aplica la propiedad asociativa en las siguientes sumas.
1) ( + ) + 2) ( + ) +
3) ( + ) + 4) ( + ) +
38
154
948
1262
7768
5142
98879
R= 37462
R= 73080
65
112
1198
895
5860
13973
146766
R= 48078
R= 74552
108
146
1878
1429
11040
17108
138124
R= 16757
R= 104137
5+7=1212
35+1449=49
17+1128=28
57+2279=79
23+3154=54
7+411=11
15+1025=25
14+1327=27
38+2765=65
15+5267=67
12+(14+13) 11+(15+14)
9+(11+5) 15+(4+12)
25+13=12+2739=39
26+14=11+2940=40
20+5=9+16
25=2519+12=15+16
31=31
Page 11
5) ( + ) + 6) ( + ) +
7) ( + ) + 8) ( + ) +
9) ( + ) + 10) ( + ) +
Ejercicio: Aplica la propiedad del elemento neutro en las siguientes sumas.
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Ejercicio: Escribe ejemplos de las propiedades de la suma.
Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Elemento neutro
8+(12+14)20+14=8+26
34=34
6+(10+4)16+4=6+14
20=20
13+(11+8)24+8=13+19
32=32
15+(7+10)22+10=15+17
32=32
9+(10+8)19+8=9+18
27=27
12+(13+18)25+18=12+31
43=43
0
22
43
73
0
15
0
51
0
102
8+3=3+811=11
9+7=7+9 16=16
59+35=35+59 94=94
(5+6)+9=5+(6+9) 11+9=5+15 20=20
(3+8)+6=3+(8+6) 11+6=3+14 17=17
(5+0)+2=5+(0+2) 5+2=5+2
7=7
18+0=18
0+23=23
44+0=44
0+74=74
94+0=93
0+16=16
Page 13
Ejercicio: Realiza las siguientes restas.
− − −
− − −
− − −
− − −
− − −
− − −
− − −
− − −
− − −
+ − + − + −
+ − + − + −
+ − + − + −
+ − + − + −
+ − + − + −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
Resta
Es una operación que consiste en sacar, reducir o separar algo de un todo. También a la resta se le conoce como sustracción. Los elementos de la resta son minuendo, sustraendo y diferencia.
−
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
841
215
388
1776
6876
2230
496
3470
24267
575
862
43
940
9107
2642
4384
1334
358
472
210
6593
3081
5054
202
40413
28411
153
895
687
1290
5436
8550
5746
=6894
630
289
792
2022
731
2605
1976
31
34312
475
793
297
1052
6833
4662
7485
3881
Page 15
Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado producto. Los signos de la
multiplicación son: (×), ( ), ( ) 𝑦 (𝑎)(𝑏)
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones.
× × ×
× × ×
× × ×
Multiplicación
La operación de multiplicar es una suma repetida, en la que uno de los factores indica el número de veces que se repite el otro factor de la suma.
Propiedades de la multiplicación
Conmutativa
El orden de los factores no altera el producto.
𝑎 𝑏 𝑏 𝑎
Asociativa
Podemos agrupar los factores de diversas
maneras sin que varíe el producto.
(𝑎 𝑏) 𝑐 𝑎 (𝑏 𝑐)
( ) ( )
Distributiva
El producto de un número por una suma es igual que la suma de los productos
del número por los sumandos.
𝑎 (𝑏 + 𝑐) 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑐
( + ) +
+
Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado
por 1 da el mismo número.
𝑎 𝑎
× → + + +
𝑠𝑢𝑚𝑎𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
×
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
63
40
55
54
70
156
35
150
143
Page 16
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones.
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
Ejercicio: Aplica la propiedad conmutativa en las siguientes multiplicaciones.
1) × 2) ×
3) × 4) ×
5) × 6) ×
7) × 8) ×
9) × 10) ×
Ejercicio: Aplica la propiedad asociativa en las siguientes multiplicaciones.
1) ( × ) × 2) ( × ) ×
2184
1536
5984
17172
55100
62424
210168
215537
115934
5952168
25291315
767
1701
658
46170
63945
41418
310185
371180
544428
4441170
80046960
1352
3825
2714
67108
18705
58719
297903
223560
267477
5330028
42104451
7x3 21=21
6x424=24
8x972=72
7x15105=105
16x12192=192
19x15285=285
14x22308=308
22x32
704=704
21x41861=861
12x1111332=1332
7x(5x9)35x9= 7x45 315 = 315
8x(2x4)16x4 = 8x8 64 = 64
Page 17
3) ( × ) × 4) ( × ) ×
5) ( × ) × 6) ( × ) ×
7) ( × ) × 8) ( × ) ×
9) ( × ) × 10) ( × ) ×
Ejercicio: Aplica la propiedad distributiva en las siguientes multiplicaciones.
1) × ( + ) 2) × ( + )
3) × ( + ) 4) × ( + )
5) × ( + ) 6) × ( + )
7) × ( + ) 8) × ( + )
5x(9x3) 45x3=5x27 135=135
6x(3x7)18x7=6x21 126=126
11x(5x2)55x2 = 11x10 110 = 110
8x(4x5)32x5 = 8x20
160 = 160
15x(4x12)60x12 = 15x48
720 = 720
13x(22x4)286x4 = 13x88 1144 = 1144
18 x (15 x 7)270 x 7 = 18 x 105 1890 = 1890
11 x (11 x 11)121 x 11 = 11 x 121 1331 = 1331
5 x 14 + 5 x 10 5 x 24 = 70 + 50 120 = 120
7 x 11 + 7 x 13 7 x 24 = 77 + 91 168 = 168
6 x 9 + 6 x 10 6 x 19 = 54 + 60 114 = 114
10 x 15 + 10 x 10 10 x 25 = 150 + 100 250 = 250
10 x 5 + 10 x 15 10 x 20 = 50 + 150 200 = 200
15 x 9 + 15 x 6 15 x 15 = 135 + 90
225 = 225
8 x 12 + 8 x 13 8 x 25 = 96 + 104
200 = 200
8 x 11 + 8 x 15
8 x 26 = 88 + 120 208 = 208
Page 18
9) × ( + ) 10) × ( + )
Ejercicio: Aplica la propiedad del elemento neutro en las siguientes multiplicaciones.
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
Ejercicio: Escribe ejemplos de las propiedades de la multiplicación.
Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva Elemento neutro
11 x 12 + 11 x 15 11 x 27 = 132 + 165
297 = 297
15 x 11 + 15 x 6 15 x 17 = 165 + 90 255 = 255
1
15
1
85
1
12
1
1
91
147
1 x 2 = 2 x 1 2 = 2
3 x 4 = 4 x 3 12 = 12
5 x 6 = 6 x 5 30 = 30
7 x 8 = 8 x 7 56 = 56
(1 x 2) x 3 = 1 x (2 x 3) 2 x 3 = 1 x 6
6 = 6
(4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6) 20 x 6 = 4 x 30
120 = 120
(7 x 8) x 9 = 7 x (8 x 9) 56 x 9 = 7 x 72
504 = 504
(10x11)x12=10x(11x12) 110 x 12 = 10 x 132
1320 = 1320
1x(2+3) = 1x2 + 1x3 1 x 5 = 2 + 3
5 = 5
4x(4+6) = 4x4 + 4x6 4 x 10 = 16 + 24 40 = 40
7x(8+9) = 7x8 + 7x9 7 x 17 = 56 + 63 119 = 119
1x(4+7) = 1x4 + 1x7 1 x 12 = 4 + 7
12 = 12
8 x 1 = 8
16 x 1 = 16
1 x 86 = 86
104 x 1 = 104
1 x 13 = 13
23 x 1 = 23
Page 19
lntelimundo
La escuela está en todas partes
Page 21
El resultado se puede comprobar de la siguiente manera:
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones.
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
División
La división es la operación matemática inversa a la multiplicación.
Los términos de la división se llaman: dividendo, divisor, cociente y residuo.
Casos particulares de la división
Todo número dividido entre el mismo número
da como resultado 1.
/
Todo número dividido entre la
unidad da el mismo número.
/
Al dividir cero entre cualquier número, como resultado cero.
/
La división entre cero no existe.
/ ⊗
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 ÷ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
(𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 × 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟) + 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜
4
2
7
97
125
2
3
5
58
253
4
3
45
84
564
Page 22
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones.
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
Ejercicio: Realiza los siguientes casos particulares de la división.
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷ ÷
21
13
14
14
20
204
308
69
276
90.70
111.10
149.35
382.20
226.47
351
126
685
28
11
15
27
22
475
63
309
105
284.20
67.13
315.23
112.93
294.32
254
362
429
28
11
7
65
19
589
202
114
337
704.14
278.5
305.90
261.002
100.04
695
277
846
-----
15
0
1
25
1
1
------
1
------
0
0
0
9
1
0
1
-------
1
1
------
28
0
66
Page 25
Problemas de dos o más operaciones.
1. Los alumnos de 6º organizaron un sorteo de fin de curso, vendieron los números del 1 al 23, del
32 al 48, del 54 al 62 y del 67 al 75 a 8 pesos cada uno, ¿Cuánto dinero han recogido?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2. Una niña debe a un amigo 48 pesos, para saldar la deuda le da un billete de 20 pesos y 5 lápices
de cuatro pesos cada uno, ¿Queda pagada la deuda?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3. Un comerciante de madera compra doce árboles a $ 3150 pesos cada uno, paga $ 1840 pesos
por hacerlos talar, el transportarlos hasta el almacén le cuesta $ 975 pesos, ¿A qué precio le resulta
cada árbol?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4. Tengo 585 dulces y 480 bombones para repartir entre 45 niños, ¿Cuántos dulces y cuantos
bombones le tocan a cada niño? ¿Cuantos dulces y bombones sobran?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5 x 4 = 20
20 + 20 = 40NO aun debe 8 pesos debe: 48
billete: 20 pesos lapiz: 4 pesos
pesos
48 - 40 = 8
contar los boletos vendidos 23+17+9+9 =58 58x8 = 464
Ärbol: 3150 pesos Tala. 1840 pesos Trans. 975 pesos
6150x12 = 3780037800+1840+975 =4061540615÷12 = 3384.58
R= 3348.58
D. 585B. 480Niños. 45
585 ÷ 45 = 13 480 ÷ 45 =10.6 les tocan 13 dulces y 10 bombones y
sobran 30 bombones
precio de numeros: 8 pesos numeros vendidos: 1 al 23 32 a 48 54 a 62 67 a 75
R: 464 pesos
pesos por árbol en total
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5. Óscar tiene un ahorro de 450 pesos, si saca 125 pesos, ¿Cuánto le queda? Con el dinero que
sacó se compra tres libretas de 20 pesos y una goma de 15 pesos, ¿Cuánto dinero le sobra ahora?
Este dinero que le sobró lo pone de nuevo en su ahorro, ¿Cuánto dinero tiene ahora?
Datos que me dan: Operación: Solución:
6. Un tren ha recorrido 480 km en 6 horas, ¿Cuántos km ha recorrido en una hora? ¿Cuánto tardará
en recorrer 240 km?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7. En el cumpleaños de Isidro se han repartido 333 caramelos, a cada niño le han tocado 9
caramelos y han sobrado 18, ¿Cuántos niños había en la fiesta?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8. Ángela tenía en su agenda 34 números telefónicos y al cambiar de colegio llegaron a ser el triple,
en el verano apuntó 12 más y borró 18, ¿Cuántos números telefónicos hay ahora en la agenda de
Ángela?
Datos que me dan: Operación: Solución:
450 - 125 = 325 125-(20x3)-15= 125-60-15= 50 325 + 50 = 375
primero le quedan 325 de su ahorro, con lo que compro le quedo 50 pesos y cuando los agrega a su ahorro quedan 375 pesos.
ahorro inicial: 450 pesos precio libretas: 20 peso precio goma: 15 pesos
recorrido en 6 horas: 480 km. 480 ÷ 6 = 80 240 ÷ 80 = 3
R: recorre 80 Km en una hora y 240 km en 3 horas.
numero de caramelos: 333 numero de caramelos por niño: 9 sobraron: 18
333 - 18 = 315 315 ÷ 9 = 35
R. hay 35 niños
numero de contactos inicial: 34 apunto en el verano 12 borro 18 cunado cambio de colegio fueron el triple del el inicial
34 x 3 = 102 102 + 12 = 114 114 - 18 = 96
R: hay 96 contactos
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9. Marta tenía una colección de 59 piedras, pero ha cambiado 14 de ellos por otros tres más difíciles
de conseguir, si guarda los que tiene ahora en cajas de 9, ¿Cuántas cajas utiliza?
Datos que me dan: Operación: Solución:
10. Hace un mes, Antonio tenía en su ahorro 350 pesos, ayer tenía el doble, pero sacó 125 pesos
para comprar un libro, ¿Cuánto dinero hay en su ahorro si hoy ha metido 75 pesos?
Datos que me dan: Operación: Solución:
11. En un garrafón había 16 litros de aceite y se han sacado 7 litros, si el precio de un litro de aceite
es de 165 pesos, ¿Cuánto cuesta el aceite que queda en el garrafón?
Datos que me dan: Operación: Solución:
12. Una granja tiene 3 gallineros con 87 gallinas cada uno, vamos a ponerlas en jaulas de 9 gallinas
para llevarlas a la granja nueva, ¿Cuántas jaulas necesitaremos?
Datos que me dan: Operación: Solución:
numero de piedras inicial: 59 cambio 14 por 3 numero de piedras en caja 9
59 - 14 = 45 45 + 3 = 48 48 ÷ 9 = 5.3
R: utiliza 5 cajas y sobran 3 pierdas
ahorro inicial: 350 pesos luego el doble saco 125 metio 75
350 x 2 = 700 700 - 125 = 575 575 + 75 = 650
R. tiene 650 pesos
litros de aceite inicial: 16 sacaron: 7 precios del aceite: 165 pesos
16 - 7 = 9 165 x 9 = 1485
R: cuesta 1485 pesos
numero de gallineros: 3 gallinas por gallinero: 87 numero de gallinas por jaula 9
87 x 3 = 261 261 ÷9 = 29
R: se necesitaran 29 jaulas
Page 28
13. Un pescador vende 8 kg de pescado a 750 pesos el kg, con el dinero de la venta compra 5
metros de tela, ¿Cuánto cuesta un metro de tela?
Datos que me dan: Operación: Solución:
14. Bruno ha recorrido 12 km, si le quedan tres tramos de 42 km cada uno, ¿Cuántos km recorrerá?
Datos que me dan: Operación: Solución:
15. Antonio y Juan reúnen 496 pesos para hacer un regalo a un amigo, Juan puso 28 pesos más
que Antonio, ¿Cuántos pesos ha puesto cada uno?
Datos que me dan: Operación: Solución:
16. Una persona compra 35 rotuladores a 25 pesos cada uno y 35 cuadernos a 15 pesos cada uno,
pago con dos billetes de 1000 pesos, ¿Cuánto le devolvieron?
Datos que me dan: Operación: Solución:
kg. de pescado 750 pesos kg. vendidos: 8 metros de tela comrados: 5
750 x 8= 6000 6000 ÷ 5 = 1200
R: el metro de tela cuesta 1200 pesos
distancia recorrida: 12 km tramo de: 42 km
42 x 3 = 126 km 126 + 12 = 138 km R: va a recorrer 138 km.
tienen 496 pesos juan puso 28 pesos mas
496 ÷ 2 = 248 248 - 28 = 220 248 + 28 =276
R: Antonio puso 220 pesos y Juan 276 pesos.
precio rotuladores 25 pesos precio cuadernos 15 pesos pago con 2 billetes de 1000 pesos
25 x 35 = 875 15 x 35 = 525 875 + 525 = 1400 2000 - 1400 = 600
R: le devolvieron 600 pesos
Page 29
17. Mi madre ha comprado 3 botellas de aceite a 160 pesos cada una y 5 litros de leche a 60 pesos
cada litro, pagó con un billete de 1000 pesos, ¿Cuánto le devolvieron?
Datos que me dan: Operación: Solución:
18. Carlos tiene 13 hermanos, cada hermano le da 50 pesos en el día de su santo y sus cuatro tíos
le dan 150 pesos cada uno, con el dinero que tiene compra pasteles, ¿Cuántos pasteles puede
comprar si cada pastel vale 10 pesos?
Datos que me dan: Operación: Solución:
19. Luis compró 8 cuadernos a 25 pesos cada uno y 7 plumas, en total se gastó 298 pesos, ¿Cuánto
costó cada pluma?
Datos que me dan: Operación: Solución:
20. Un cartero reparte 115 cartas al día, ¿Cuántas cartas repartiría en dos meses y quince días
(considerando que un mes tiene 30 días)?
Datos que me dan: Operación: Solución:
precio de aceite:160 pesos precio de leche: 60 pesos billete de: 1000 pesos
160 x 3 = 480 60 x 5 =300 480 + 300 = 780 1000 - 780 = 220
R: le devolvieron 220 pesos
cantidad de hermanos y cuanto le dan: 13 y le dan 50 pesos numero de tios y cuanto le dan: 4 y le dan 150 pesos valor de pastel 10 pesos
13 x 50 = 650 4 x 150 = 600 650 + 600 = 1250 1250 ÷ 10 = 125
R: compra 125 pasteles
precio de cuadernos: 25 pesos compro: 8 cuadernos y 7 plumas gast: 298 pesos
8 x 25 = 200 298 - 200 = 98 98 ÷ 7 = 14
R: cada pluma cuesta 14 pesos
numero de cartas por dia: 115 dias en el mes: 30
30 x 2 + 15 = 75 115 x 75 = 8625 R: reparte 8625 cartas
Page 30
21. Averigua los días que tardaría en ahorrar 500 pesos, a razón de 5 pesos diarios, si ahorro cuatro
veces más cada día, ¿Cuántos días tardaría en ahorrar los 500 pesos?
Datos que me dan: Operación: Solución:
22. Tome el ascensor en el 2º piso, subí cinco pisos y luego bajé 3 pisos, a continuación subí ocho
pisos y, por fin, bajé dos, ¿En qué piso me encuentro?
Datos que me dan: Operación: Solución:
23. Cuatro familias salen de excursión y han comprado 6 kg de chuletas a 460 pesos, de embutidos
fueron 1320 pesos y de bebidas por 736 pesos, ¿Cuánto dinero tiene que poner cada familia?
Datos que me dan: Operación: Solución:
24. Quiero leer 5 libros, cada libro tiene 55 páginas, si leo cada día 11 páginas, ¿Cuántos días
necesito para leer los libros?
Datos que me dan: Operación: Solución:
piso inicial: 2° 5 - 3 + 8 - 2 = 8 2 + 8 = 10
R: esta en el 10° piso
6 kg de chuleta a 460 pesos embutidos 1320 peso bebidas 736 peso numero de familias: 4
460 + 1320 + 736 = 2516 2516 ÷ 4 = 629 R: cada familia pone 629 pesos
libros: 5 paginas por libro: 55 paginas por dia: 11
5 x 55 = 275 275 ÷ 11 = 25 R: necesita 25 días
Page 31
25. Unos pescadores pescaron 63 cangrejos, durante el viaje de regreso a tierra se comieron 9
cangrejos, cuando llegaron al puerto cada pescador se llevó 18 cangrejos, ¿Cuántos pescadores
eran?
Datos que me dan: Operación: Solución:
26. Para hacer cometas compramos 5 rollos de hilo, cada rollo costó 63 pesos, también compramos
papel, que costó 209 pesos, si todos los gastos los pagamos entre 4 personas, ¿Cuánto le toca
pagar a cada persona?
Datos que me dan: Operación: Solución:
27. Juanita ha ahorrado 36 billetes de 100 pesos y 14 de 1000 pesos, ¿Cuánto dinero tiene
ahorrado?
Datos que me dan: Operación: Solución:
28. Una secretaria cobra 120 pesos por cada hoja que escribe a computadora, ha copiado el primer
día 97 y el segundo otras 27 hojas, ¿Cuánto ha cobrado por los dos días?
Datos que me dan: Operación: Solución:
cangrejos: 63 se comieron: 9 cangrejos por pescador 18
63 - 9 = 54 54 ÷ 18 = 3 R: eran 3 pescadores
rollos de hilo: 5 precio por rollo: 63 pesos precio papel 209 pesos personas 4
5 x 63 = 315 315 + 209 = 524 524 ÷ 4 = 131
R: pagan 131 pesos cada persona
numero de billetes de 100: 36 numero de billetes de 1000: 14
100 x 36 = 3600 1000 x 14 = 14000 14000 + 3600 = 17600
R: tiene 17600 pesos
precio por hoja: 120 pesos hojas el 1° dia: 97 el 2°: 27
97 + 27 = 124 120 x 124 = 14880 R: cobro 14880 peso
Page 32
29. Fernando recogió por la mañana 36 lechugas de un huerto y por la tarde 26, las vende cada una
a 43 pesos, ¿Cuánto dinero gano de la venta?
Datos que me dan: Operación: Solución:
30. En una jaula del Zoológico hay 96 monos, si venden 4 monos y nacen 16, ¿Cuántos monos hay
ahora en la jaula?
Datos que me dan: Operación: Solución:
31. Un envío de cuadernos ha costado 15000 pesos y está formado por 5 paquetes de 60 cuadernos
cada uno, ¿Cuál es el precio de cada cuaderno?
Datos que me dan: Operación: Solución:
32. Por la compra de 30 ovejas y 5 vacas, un ganadero pagó 104500 pesos, cada oveja cuesta 750
pesos, ¿Cuánto cuesta cada vaca?
Datos que me dan: Operación: Solución:
lechugas en la mañana: 36 en la tarde: 26 precio por lechuga:43
36 + 26 = 62 62 x 43 = 2666 R: gano 2666 pesos
monos 96 venden 4 nacen 16
96 - 4 + 16 = 108
precio envio 15000 pesos paquetes: 5 cuadernos por paquete: 60
60 x 5 = 300 15000 ÷ 300 = 50 R: el precio es de 50 pesos por cuaderno
compro 30 ovejas y 5 vacas pago 104500 pesos precio por oveja 750 pesos
750 x 30 = 22500 104500 - 22500 = 82000 82000 ÷ 5 = 16400
R: cada vaca cuesta 16400 pesos
R: 108 monos
Page 35
Ejercicio: Completa la siguiente tabla.
Potencia Base Exponente Desarrollo Valor
× × × ×
× × × ×
× ×
× × × ×
Potencia
Es una operación matemática que puede considerarse un caso particular de la multiplicación, en la que intervienen un determinado número de factores.
𝑎𝑛 𝑏
𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ; 𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ; 𝑏 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
La base es el número que se va a multiplicar por si misma el número de veces que le indique el exponente.
Ejemplo: 6
3 4 3 x 3 x 3 x 3 81
115 11 5 161051
13 2 13 x 13 169
4 4 4 x 4 x 4 x 4 256
73 7 x 7 x 7 343
5 3 5 x 5 x 5 125
2 4 2 x 2 x 2 x 2 16
263
26 3 17576
2 9 2x2x2x2x2x2x2x2x2 512
1 10 1x1x1x1x1x1x1x1x1x1 1
36
3x3x3x3x3x3 729
10 8 10x10x10x10x10x10x10x10 100000000
65
6 5 7776
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
13
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
Stephanie
Texto escrito a máquina
20
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
7
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
9
Stephanie
Texto escrito a máquina
10
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
8
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
11
Stephanie
Texto escrito a máquina
11
Stephanie
Texto escrito a máquina
11
Stephanie
Texto escrito a máquina
11
Stephanie
Texto escrito a máquina
11
Stephanie
Texto escrito a máquina
26
Stephanie
Texto escrito a máquina
26
Stephanie
Texto escrito a máquina
26
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
32
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 36
Ejercicio: Escribe lo que se te indica.
Potencia Nombre Nombre Potencia
Seis elevado a la cuarta
Tres elevado al cubo
Ocho elevado a la quinta
Nueve elevado al cuadrado
Diez elevado a la doce
Cinco elevado a la séptima
Dos elevado a la sexta
Nueve elevado a la octava
Siete elevado a la sexta
Cuatro elevado a la novena
Ejercicio: Calcula las siguientes operaciones.
105 = 100000
52 + 43 = 89 55 - 33 = 3098 142 + 113 = 1527
93 - 54 = 104 62 + 85 = 32804 95 - 124 = 38313
29 + 84 = 4608 57 - 134 = 49564 48 + 74= 67937
(9 + 16)2 =625 (20 - 17)3 = 27
(6 + 11)3 = 4913 (20 - 16)4 = 256 (11 + 10)3 = 9261
(8 - 6)6 = 64 (11 + 6)3 = 4913 (11 - 6)3 =125
(15 + 9)2 = 576 (19 - 12)2 = 49 (11 + 9)4 = 160000
(12 - 6)3= 216 (10 + 20)3 = 27000 (11 - 9)4 = 16
seis elevado a la quinta
dos elevado a la cuarta
nueve elevado a la sexta
diez elevado al cuadrado
ocho elevado al cubo
cuatro elevado a la séptima
tres elevado a la sexta
cinco elevado al cubo
siete elevado al cubo
doce elevado a la novena
6
3
8
9
10
5
2
9
7
4
4
3
5
2
35 = 243
64 = 1296
25 = 32
92 = 81
54 = 625
44 = 256
5
24
102
83
47
96
36
53
73
129
(19 - 17)2 = 4
123 = 1728
83 = 512
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
12
Stephanie
Texto escrito a máquina
7
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
8
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
9
Page 39
Ejercicio: Efectúa y halla la raíz cuadrada.
→ √
→ √
→ √ → √
→ √ → √
→ √ → √
→ √ → √
Ejercicio: Halla la raíz cuadrada.
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Raíz
Extraer la raiz cuadrada de un número consiste en hallar otro número que elevado al cuadrado de el número de la raíz.
𝑎 𝑏
𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜; 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒; 𝑏 𝑟𝑎𝑖𝑧 ; ⬚ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙
Ejemplo:
; 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒
121 11
1600 1600 40
169 169 13
256 256 16
1296 1296 36
225 225 15
144 144 12
196 196 14
576 576 24
324 324 18
9
5
10
4 7 2
63 8
11 13 15
22 14 12 19
17 20 16 18
Page 40
Ejercicio: Halla la raíz y el residuo de los siguientes ejercicios.
√ = ;𝑟 √
;𝑟 √
;𝑟
√
;𝑟 √
;𝑟 √
;𝑟
√
;𝑟 √
;𝑟 √
;𝑟
√
;𝑟 √
;𝑟 √
;𝑟
√
;𝑟 √
;𝑟 √
;𝑟
Ejercicio: Halla el radicando de las siguientes raíces.
Raíz Residuo Radicando
11 x 11 + 5 = 121 + 5 = 126
5
6 3
8 14
8 7
12 6
9 14
7 9
15 46
7 7
8 5
11 2
4 2
10 5
25 10
9 x 9 + 15 = 81 + 15 = 96
22 x 22 =
13 x 13 =
25 x 25 = 625 + 40 = 665
15 x 15 = 225 + 4 = 229
12 x 12 = 144 + 6 = 150
16 x 16 = 256 + 12 = 268
19 x 19 = 361 + 9 = 370
22 x 22 =
25 x 25 = 625 + 12 = 637
484 + 3 = 487
169 + 24 = 193
484 + 15 = 499
=
=
=
=
= 2
=
=
=
11
9
22
13
25
15
12
16
19
22
25
5
15
3
24
40
4
6
129
15
12
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Page 43
Ejercicio: Completa la siguiente tabla, toma en cuenta el dato que se te proporciona.
Representación grafica
Representación numérica
Recta numérica Como se lee
𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜𝑠
Fracciones
Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad.
Numerador y Denominador
El denominador indica en cuantas partes se divide la unidad y el numerador indica cuantas partes se toman de la unidad.
Tipos de fracciones
Propia
El numerador es más pequeño que el denominador.
,
,
Impropia
El numerador es más grande o igual que el
denominador.
,
,
Mixta
Se conforma por una parte entera y una fracción
propia.
,
,
5/6
8/12
I I2/3
dos tercios
II I I I5/6
IIII I I I I II I ocho doceavos
8/12
Page 44
Representación grafica
Representación numérica
Recta numérica Como se lee
𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠
1/2
3/4
3/4
6/10
7/12
II III IIII7/10
I
II I
II II II I
II I
II I I I I I I I
I I I I I I I I
III I II II I II
III I II I
1/2
3/4
6/8
3/4
6/10
5/9
7/12
3/8
siete decimos
tres cuartos
seis octavos
seis decimos
cinco novenos
siete doceavos
tres octavos
Page 45
Ejercicio: Identifica las siguientes fracciones.
Fracción Tipo de fracción Fracción Tipo de fracción
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖 𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
4 6/7
fracción propia
fracción impropia
fracción propia
fracción mixta
fracción impropia
fracción impropia
fracción mixta
fracción propia
fracción propia
fracción impropia
fracción propia
fracción mixta
fracción impropia
fracción mixta
fracción propoa
fracción mixta
fracción propia
fracción propia
fracción mixta
fracción impropia
5/9
6 7/6
67/8
7/78
6 6/9
fracción impropia
fracción propia fracción propia
fracción mixta5/9
9/6
Page 46
Ejercicio: Comprueba que cada una de las siguientes fracciones son equivalentes.
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
Ejercicio: Completa las siguientes fracciones para que sean equivalentes.
Fracciones equivalentes
Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y denominador por el mismo
número obtenemos una fracción equivalente.
×
×
÷
÷
Comprobación de fracciones equivalentes
Para que verifiquemos que son fracciones equivalentes debemos realizar el producto
cruzado entre las dos fracciones.
× ×
SI
NO
SI
SI
SI
NO
SI
SI
SI
NO
SI
SI
SI
SI
SI
3
17
10
7
14
32
7
8
1
15
12
12
2
2
5
10
15
12
1
11
Page 48
Ejercicio: Completa la siguiente Criba de Eratóstenes.
Tacha el número por ser el elemento unitario.
Tacha los múltiplos del siguiente número, sin tachar el .
Tachar los múltiplos del siguiente número, sin tachar el .
Tachar los múltiplos del siguiente número,
sin tachar el . Tachar los múltiplos
del siguiente número, sin tachar el .
Tachar los múltiplos del siguiente número, sin tachar el .
Tachar los múltiplos del siguiente número,
sin tachar el .
Números
Números primos
Un número primo solo es divisible entre sí mismo y la unidad. El 1, por
definición no es primo.
, , , , , , , , , , , , …
Números compuestos
Son los números naturales que se pueden dividir entre tres o más
números diferentes.
, , , , ,…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x
x x
x x x x
x
x x
x
x
x x
x
x x x
x
x x
x x x x
x
x x
x x
x x x
x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
Page 49
Ejercicio: De los siguientes números coloca una P si es número primo o una C si es número
compuesto.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Divisibilidad.
: si la última cifra es número par o cero. Ejemplo:
: si la suma de sus cifras es múltiplo de . Ejemplo:
: si es divisible entre y . Ejemplo:
: si las tres últimas cifras forman un múltiplo de . Ejemplo:
Simplificación de fracciones
La simplificación es llevar la fracción a su mínima expresión. Para simplificar se divide el numerador y el denominador por el mayor número que divida a los dos exactamente.
÷
÷ ÷
÷
+ +
𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
𝐿𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑝𝑎𝑟
𝑒𝑠 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
+
C
P
C
C
C
P
P
C
P
C
C
P
P
C
Page 50
: si las dos últimas cifras es múltiplo de . Ejemplo:
: si la última cifra es o . Ejemplo:
: si la suma de las cifras es múltiplo de . Ejemplo:
: si la última cifra es . Ejemplo:
Ejercicio: Identifica los divisores de los siguientes números.
Número Entre 2 Entre 3 Entre 4 Entre 5 Entre 6 Entre 8 Entre 9 Entre 10
ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑜
𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
𝐿𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 𝑒𝑠
+ + +
𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒
Page 51
Descomposición de un número en sus factores primos.
"Descomponer en primos" es averiguar qué números primos tienes que multiplicar juntos para
obtener el número original. Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible,
el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así hasta que el
cociente sea 1.
× × ×
× × × × × × ×
× × ×
× × × × × × × × ×
× × × × ×
×
Ejercicio: Descompone en sus factores primos los siguientes números.
2
12 2 6 2 3 3 1
2x2x2x3 = 8 x 3 = 24
2
42 2 21 3 7 7 1
2x2x3x7 = 4 x 21 = 84
5
25 5 5 5 1
5x5x5 = 25 x 5 = 125
2
78 2 39 3 13 13 1
2x2x3x13 = 4 x 39 = 156
Page 52
Ejercicio: Simplifica las siguientes fracciones hasta su mínima expresión.
2
150 2 75 3 25 5 5 5 1
2x2x3x5x5 = 4 x 3 x 25 = 300
2
192 2 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1
2x2x2x2x2x2x2x3 = 12 x 3 = 384
3
135 3 45 3 15 3 5 5 1
3x3x3x3x5 = 81 x 5 = 405
2
273 3 91 7 13 13
2x3x7x13 =546
2
420 2 210 2 105 3 35 5 7 7 1
2x2x2x3x5x7 = 8x3x5x7 = 840
3
315 3 105 3 35 5 7 7 1
3x3x3x5x7 = 27 x 5 x 7 = 945
1/4 2/3 2/11 8/17 5/17
2/9 1/4 5/7 4/9 5/18
5/14 4/29 2/13 5/26 7/23
3/10 1/3 2/7 2/7 4/7
2/3 1/5 3/5 5/14 2/9
3/13 1/5 1/3 1/6 5/11
Page 54
Ejercicio: Transforma las siguientes fracciones.
Impropia a mixta Mixta a impropia
Transformar fracciones
Fracción Impropia a Mixta
𝑎
𝑏 𝑐
𝑑
𝑏
Fracción Mixta a Impropia
𝑎𝑏
𝑐 𝑎 × 𝑐 + 𝑏
𝑐𝑎 𝑏
𝑐
𝑑
× +
+
1 3/14
6 5/8
2 3/8
7 3/5
2 5/9
9 1/2
2 5/18
11 2/5
4 2/7
2 2/16
3 5/6
3 3/12
7 1/6
2 7/15
3 11/14
10 1/4
15/2
43/8
118/9
80/17
95/13
59/10
173/13
35/9
67/4
82/11
22/7
101/12
110/9
31/5
152/15
121/17
Page 56
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con igual denominador.
Suma Restas
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
Operaciones con fracciones
Suma con igual denominador
𝑎
𝑏+𝑐
𝑏 𝑎 + 𝑐
𝑏
+
+
Resta con igual denominador
𝑎
𝑏−𝑐
𝑏 𝑎 − 𝑐
𝑏
−
−
7/12
69/8
52/9
15/3
46/7
14/7
20/5
36/6
28/4
35/9
10/11
29/12
48/10
39/4
24/12
41/10
25/8
11/7
62/12
6/8
2/8
7/11
18/8
6/5
17/8
7/12
4/10
4/11
25/9
7/6
54/12
25/9
26/10
27/7
1/9
29/11
14/6
4/8
7/7
13/10
Page 58
Ejemplo: Escribe los 6 primeros múltiplos.
→________________ →________________ →________________
→________________ →________________ →________________
→________________ →________________ →________________
→________________ →________________ →________________
→________________ →________________ →________________
Ejemplo: Rodea el número que no sea múltiplo del primero.
→ , , , , → , , , , → , , , ,
→ , , , , → , , , , , → , , , , ,
→ , , , , , → , , , , → , , , ,
→ , , , , → , , , , → , , , ,
→ , , , , → , , , , → , , , ,
Mínimo común múltiplo m.c.m
Múltiplo
Los múltiplos son los productos de un número natural por otro.
Múltiplos de 3
, , , , , , ,…
Múltiplos comunes
Los múltiplos comunes de dos o más números son todos aquellos que son múltiplos tanto de uno como de otro.
Múltiplos comunes de 𝑦
3: , , , , , , ,…
9: , , , , , , ,…
0, 2, 4, 6, 8, 10
0, 15, 30, 45, 60, 75
0, 32, 64, 96, 128, 160
0, 73, 146, 219, 292, 365
0, 95, 190, 285, 380, 475
0, 7, 14, 21, 28, 35
0, 18, 36, 54, 72, 90
0, 40, 80, 120, 160, 200
0, 77, 154, 231, 308, 385
0,100,200,300,400,500
0, 11, 22, 33, 44, 55
0, 23, 46, 69, 92, 115
0, 65, 130, 195, 260, 325
0, 83, 166, 249, 332, 415
0,115,230,345,460,575
Page 59
Ejemplo: Escribe los 12 primeros múltiplos y subraya los múltiplos comunes.
1. → , , , , , , , , , , ,
→ , , , , , , , , , , ,
2. →
→
3. →
→
4. →
→
5. →
→
6. →
→
7. →
→
8. → →
9. → →
10. → →
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números se descomponen simultáneamente en
factores primos hasta que el cociente sea 1, si alguno de los números no es divisible entre el factor
dado, se baja y se continua hasta encontrar el factor primo que lo divida.
× × ×
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑚 𝑐 𝑚 ( , )
× × ×
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑚 𝑐 𝑚 ( , , )
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 55, 55
0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77
0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110
0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132
0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99
0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132
0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132
Page 60
Ejemplo: Calcula el m.c.m. de los siguientes números.
2
14 21 2 7 21 3 7 7 7 1 1
2
9 45 3 3 15 3 1 5 5 1 1
227 8 2 27 2 2 27 1 3 9 1 3 3 1 3 1 1
2
25 15 3 25 5 5 5 1 5 1 1
2x2x3x7 = 4x3x7 = 84
2x3x3x5 = 2x9x5 = 90
2x2x2x3x3x3 = 8x27 = 216
2x3x5x5 = 2x3x25 = 150
2
18 24 2 9 12 2 9 6 2 9 3 3 3 1 3 1 1
3 5 15 3 5 5 5 1 1
2
54 36 2 27 18 2 27 9 3 9 3 3 3 1 3 1 1
213 10 45 2 13 5 45 3 13 5 15 3 13 5 5 5 13 1 1 13 1 1 1
2x2x2x2x3x3 = 16 x 9 = 144
3x3x5 = 9 x 5 = 45
2x2x2x3x3x3 = 8 x 27 = 216
2x2x3x3x5x13 = 4 x 9 x 5 x 13 = 2340
245 27 30 2 45 27 15 3 15 9 5 3 5 3 5 3 5 1 5 5 1 1 1
214 35 63 2 7 35 63 3 7 35 21 3 7 35 7 5 7 7 7 7 1 1 1
210 15 25 2 5 15 25 3 5 5 25 5 1 1 5 5 1 1 1
236 30 27 2 18 15 27 2 9 15 27 3 3 5 9 3 1 5 3 3 1 5 1 5 1 1 1
2
110 272 1925 2 55 272 1925 5 11 55 385 5 11 11 77 7 11 11 11 11 1 1 1
5
121 385 539 5 121 77 539 7 121 11 77 7 121 11 11 11 11 1 1 11 1 1 1
2x2x3x3x3x5 = 4 x 27 x 5 = 540
2x2x3x3x5x7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260
2x2x3x5x5 = 4 x 3 x 25 = 300
2x2x2x3x3x3x5 = 8 x 27 x 5 = 1080
2x2x5x5x7x11 = 4 x 25 x 7 x 11 =7700
5x5x7x7x11x11 = 25 x 49 x 121 = 148225
Page 62
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con diferente denominador.
Suma Resta
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
Operaciones con fracciones
Suma con diferente denominador
𝑎
𝑏+𝑐
𝑑 𝑎 × 𝑑 + 𝑐 × 𝑏
𝑏 × 𝑑
+
× + ×
×
+
Resta con diferente denominador
𝑎
𝑏−𝑐
𝑑 𝑎 × 𝑑 − 𝑐 × 𝑑
𝑏 × 𝑑
−
× − ×
×
−
96/108
38/42
10/21
15/28
41/24
221/20
180/80
303/54
26/55
42/27
53/56
45/66
54/35
975/132
614/45
405/56
2/80
4/40
18/88
12/90
90/72
164/80
503/63
183/66
6/54
4/48
6/20
1/45
73/35
304/96
164/30
185/50
Page 64
Suma y resta de fracciones con diferente denominador (utilizando el m.c.m.):
Se obtiene el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se divide
entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo numerador, los
números que se obtienen se suman o se restan, según sea el caso.
+
−
Por lo tanto: 𝑚 𝑐 𝑚 ( , , ) × × ×
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas con diferente denominador (utilizando el m.c.m.).
+
−
−
+
+
−
+
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
+
−
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
−
−
+
−
( ) + ( ) − ( )
+ −
×
÷
÷
÷
×
×
17/12
42/35
59/60
55/12
104/15
187/45
193/390
9/30
7/1
27/4
139/40
47/4
19/24
7/8
73/20
21/6
97/80
71/10
Page 65
Problemas de suma y resta de fracciones.
1.- Julia corrió de kilometro el primer día de entrenamiento, el segundo día corrió de kilometro y
el tercer día corrió de kilómetro, ¿Cuántos kilómetros corrió?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- Elena utiliza de taza de azúcar para hacer un pastel, luego utiliza taza más para otra receta,
¿Qué cantidad de azúcar utilizo en total?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Pablo distribuyo su sueldo de la siguiente forma: para pagar la mensualidad de su auto y
más para pagar la mensualidad de una cámara fotográfica que compro, ¿Qué fracción de su sueldo
utilizo para efectuar sus pagos?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- En una panadería se producen 200 bolillos, se surte a dos restaurantes y al público en general, el
primer restaurante compra 60 bolillos, el segundo 80 y el resto es para el público, ¿Qué fracción de
los bolillos producidos compran los restaurantes?
Datos que me dan:
5.- Ahorre $5500 en el banco, si retiro una quinta parte del ahorro, ¿Cuánto dinero me quedara en el
banco?
Datos que me dan: Operación: Solución:
1° día: 1/4 km. 2° día: 1/4 km. 3° día: 3/4 km.
1/4+1/4+3/4= 1+1+3/4 =5/4 =1 1/4
R: corrió 1 1/4 km.
1° taza: 3/4 2° taza: 1/2
3/4+1/2=(3x2)+(1x4)/4x2 =6+4/8 =10/8=5/4 =1 1/4
R: Utilizo 1 1/4 de taza
Mensualidad: 2/3 de sueldo cámara: 1/12 de sueldo
2/3+1/12=(2x12)+(1x3)/3x12 =24+3/36 =27/36=9/12=3/4
R: Utilizo 3/4 de su salario
Produce: 200 bolillos 1° restaurante: 60 bolillos 2° restaurante: 80 bolillos
60 + 80 = 140 =140/200 =70/100 =35/50=7/10
Operación Solución:
R: los restaurantes compran 7/10 partes del productouiii
Ahorro: 5500 Retiro:1/5
5500/5=1100 5500-1100=4400 R: Quedan 4400
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
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4
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Texto escrito a máquina
4
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Texto escrito a máquina
4
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Texto escrito a máquina
3
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Texto escrito a máquina
1
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Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
Stephanie
Texto escrito a máquina
12
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 66
6.- Para la hechura de un traje se cuenta con un corte de tela de 4 m, para hacer el pantalón se
utilizan m, para el saco, m y para el chaleco m, ¿Cuánta tela sobra?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- En mi grupo se destinaron del espacio del periódico mural para noticias internacionales, para
noticias nacionales y el resto se dejó para actividades recreativas, ¿Qué parte del mural corresponde
a estas últimas?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- En la escuela se desarrollan las actividades de acuerdo con el siguiente horario: clases en las
primeras horas, hora de recreo y clases en las últimas horas, si las clases inician a las 8:00,
¿A qué hora es la salida de la escuela?
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- Javier tiene kg de harina y ocupa kg para hacer tortillas, ¿Cuánta harina le falta para
preparar un pastel si requiere kg de harina?
Datos que me dan: Operación: Solución:
Tela total: 4 m. Pantalón: 1 1/4 m. Saco: 1 7/8 m. chaleco: 1/4 m.
16/4-(5/4+15/8+1/4) =16(2)-[5(2)+15(1)+1(2)]/8 =32-(10+15+2)/8 =32-27/8 =5/8
R: Quedan 5/8 de tela
internacionales: 3/8 nacionales: 2/8
8/8-3/8+2/8 =8-3-2/8 =3/8
R: Le tocaría 3/8 partes del mural
1° clases: 2 1/2 horas recreo: 1/2 hora ultimas clases 2 1/4 horas
5/2+1/2+9/4=5(2)+1(2)+9(1)/4 =10+2+9/4 =21/4=5 1/4
5 /1/4=5:15 hrs. 8:00+5:15=13:15 hrs.
R: Salen a las 13:15 hrs.
Harina inicial: 1 1/2 kg. tortillas: 3/4 kg.
3/2-3/4=(3)(4)-(3)(2)/(4)(2) =12-6/8 =6/8=3/4 4/4-3/4=4-3/4 =1/4
R: Le falta 1/4 de harina.
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Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones.
Multiplicación División
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
×
×
÷
÷
Operaciones con fracciones
Multiplicación
𝑎
𝑏×𝑐
𝑑 𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
×
×
×
División
𝑎
𝑏÷𝑐
𝑑 𝑎 × 𝑑
𝑏 × 𝑐
÷
×
×
7/12
1/3
3 3/10
7 14/25
7
2 2/3
3 3/20
3 55/63
1 1/5
1/54
4 29/40
2 8/15
35 31/108
27/66
1/18
1
13
3 1/27
5/7
9 1/3
33/496
12/45
490/438
14
30/39
11/8
4/11
9/4
72/35
10/232
261/20
11/372
16/35
78/12
135/76
13/24
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Problemas de multiplicación de fracciones.
1.- Para prepararle la mamila a su bebé, Marcela ocupa los
de capacidad de la mamila, que es de
de litro, ¿Qué fracción de litro de leche prepara Marcela?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- Ricardo pasa
del día en la escuela, de esa parte,
está en el salón de clases, y el resto está en
recreo, ¿Qué fracción del día pasa Ricardo en el salón de clases?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Un panadero ocupa
de un saco de harina al día, si los
de la harina la usa para preparar pan,
¿Qué fracción del saco de harina utiliza el cocinero para hacer pan diariamente?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- Daniela demora
de hora en llegar al colegio, de este tiempo,
camina y
anda en bus, ¿Qué
fracción de hora camina Daniela desde su casa al colegio?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- Javier quiere ser pianista, él permanece despierto
partes del día y dedica
del tiempo que está
despierto a practicar piano, ¿Qué fracción del día toca el piano Javier?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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Texto escrito a máquina
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Texto escrito a máquina
ocupa 3/4 de la mamila la mamila equivale a 1/5 de litro
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Texto escrito a máquina
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3/4 x 1/5 = (3)(1)/(4)(5) = 3/20
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R= prepara 3/20 del litro de leche
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1/3 del día en la escuela 7/8 en el salón de clases
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1/3 x 7/8 = 7/24
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R= Ricardo pasa7/24 del día en el salón de clases
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ocupa 3/10 de un saco de harina 3/4 de harina es para pan
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3/10 x 3/4 = 9/40
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R= Utiliza 9/40 del saco de harina
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demora 3/5 de hora en llegar 1/4 tiempo camina 3/4 anda en bus
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3/5 x 1/4 = 3/20
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R=Camina 3/20 de hora
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esta despierto 3/4 del día 2/9 practica
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3/4 x 2/9 = 6/36
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Javier toca el piano 6/36 parte de día
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Problemas de división de fracciones.
1.- Si Anita reparte
de un pastel en partes iguales entre sus 3 hijos, ¿Qué fracción del pastel le
corresponde a cada niño?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- Don Rodolfo quiere repartir la mitad de un terreno en partes iguales entre sus 3 hijos, ¿Qué parte
del terreno le corresponde a cada hijo?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Don Manuel debe repartir las
partes de las ganancias que obtuvo su empresa, en partes iguales
entre los 13 empleados que trabajan para él, ¿Qué parte de las ganancias le corresponde a cada
empleado?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- Mario quiere repartir 4 barras de chocolate en trozos de
de barra, ¿Cuántos trozos alcanzará a
tener Nicolás?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- Pedro tiene que repartir 8 m3 de arena en sacos de
de m3, ¿Cuántos sacos alcanzará a llenar
Pedro?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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reparte 3/4 del pastel 3 hijos
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3/4 ÷ 3/1 = 3/12
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A cada niño le toca 3/12 de pastel
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quiere repartir 1/2 del terreno tiene 3 hijos
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1/2 ÷ 3/1 = 1/6
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A cada hijo le toca 1/6 del terreno
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reparte 3/8 partes de ganancias son 13 empleados
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3/8 ÷ 13/1 = 3/104
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le toca 3/104 parte de las ganancias a cada empleado
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4 barras trozos de 1/8 de barra
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4/1 ÷ 1/8 = 32/1 =32
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tiene 32 trozos
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tiene 8 m de arena sacos de 1/5 m
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8/1 ÷ 1/5 = 40/1 = 40
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llena 40 sacos
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6.- Un vendedor quiere repartir
de kilo de tornillos en paquetes de
de kilo, ¿Cuántos paquetes
alcanzará a llenar?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- Mariana quiere vaciar
de litro de leche en vasitos de
de litro cada uno, ¿Cuántos vasitos
podrá llenar?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- Un ferretero debe repartir
de kilo de clavos en bolsas de
kilo, ¿Cuántas bolsas alcanzará a
llenar?
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- Normita tiene
de kilo de té, si quiere repartirlo en bolsitas de
de kilo, ¿Cuántas bolsitas
obtendrá?
Datos que me dan: Operación: Solución:
10.- En un restaurante deben repartir
de litro de ají en envases de
6 de litro cada uno, ¿Cuántos
envases lograrán llenar?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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Texto escrito a máquina
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tiene 1/2 kg. de tornillos paquetes de 1/8 kg.
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1/2 ÷ 1/8 = 8/2 = 4
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llena 4 paquetes
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tiene 3/4 de litro de leche vasitos de 1/ de litro
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3/4 ÷ 1/8 = 24/4 = 6
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llena 6 vasitos
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9/10 kg. de clavos bolsas de 3/40 kg.
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9/10 ÷ 3/40 = 360/30 = 12
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llena 12 bolsas
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tiene 3/4 kg. de té bolsitas de 1/20 kg.
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3/4 ÷ 1/20 = 60/4 =15
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obtiene 15 bolsitas
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tiene 5/8 de litro de ají envases de 1/16 de litro
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5/8 ÷ 1/16 = 80/8 = 10
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llena 10 envases
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Lectura y escritura de números decimales.
La parte que está a la izquierda del punto decimal se llama parte entera, y la parte que se encuentra
a la derecha se llama parte decimal.
Ejemplo:
Dos enteros punto cuatro decimos
Cero enteros punto cinco centésimos
Trece enteros punto cuatrocientos siete milésimos
Quince enteros punto cuatrocientos cincuenta y nueve cienmilésimos
Siete enteros punto veinticuatro mil ochocientos noventa y uno millonésimos
Decimales
Al escribir un número decimal se le da a los dígitos un ordenamiento de izquierda a derecha contados a partir del punto decimal.
Los números decimales se les llaman también fracciones decimales, ya que al expresarse como fracciones, su
denominador es la unidad seguida de ceros.
,
,
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Ejercicio: Escribe los siguientes números decimales.
Numero Lectura
Ejercicio: Desarrolla los siguientes decimales.
Lectura Numero
Tres enteros punto doce centésimos.
Cero enteros punto ocho decimos.
Cuatro enteros punto un décimo.
Trece enteros punto doscientos cinco milésimos.
Dos enteros punto cinco millonésimos.
Doce enteros punto cuatrocientos ocho milésimos.
Diez enteros punto catorce diezmilésimos.
Un entero punto un milésimo.
Cinco enteros punto mil tres millonésimos.
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Texto escrito a máquina
cero enteros punto siete decimos
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Texto escrito a máquina
cero enteros punto quince centésimos
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Texto escrito a máquina
siete enteros punto tres decimos
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Texto escrito a máquina
tres enteros punto quince milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
cinco enteros punto setecientos cincuenta milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
cero enteros punto siete milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
trece enteros punto cuatrocientos siete milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
ventiún enteros punto cinco diezmilésimos
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Texto escrito a máquina
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Texto escrito a máquina
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Texto escrito a máquina
cuatro enteros punto cinco milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
cero enteros punto ciento veinticinco milésimos
Stephanie
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cero enteros punto ciento tres millonésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
nueve enteros punto setecientos ventincinco milésimos
Stephanie
Texto escrito a máquina
cero enteros punto seis millonésimos
Stephanie
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3.12
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0.8
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4.1
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Texto escrito a máquina
13.205
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12.000005
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12.408
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10.0014
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1.001
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5.001003
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Equivalencia entre decimales.
Si continuamos fraccionando tendremos que:
…
Hay equivalencia porque el valor relativo de la cifra significativa (diferente de 0) es el mismo en todos
los casos. Por la misma razón:
; ; …
Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe dos equivalentes.
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠
𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝑑𝑜𝑠 𝑑é𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠
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0.20 = 0.200
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0.840 = 0.8400
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2.390 = 2.3900
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Texto escrito a máquina
0.910 = 0.9100
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Texto escrito a máquina
7.070 = 7.0700
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Texto escrito a máquina
4.90 = 4.900
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Texto escrito a máquina
23.700 = 23.7000
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Texto escrito a máquina
8.430 = 8.4300
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Texto escrito a máquina
9.4120 = 9.41200
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Texto escrito a máquina
6.660000 = 6.6600000
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Texto escrito a máquina
5.1300 = 5.13000
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Texto escrito a máquina
3.40 = 3.400
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Texto escrito a máquina
13.310 = 13.3100
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Texto escrito a máquina
0.9950 = 0.99500
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Texto escrito a máquina
30.110 = 30.1100
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Texto escrito a máquina
19.100 = 19.1000
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Texto escrito a máquina
6.720 = 6.7200
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Texto escrito a máquina
13.700 = 13.7000
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Texto escrito a máquina
12.0030 = 12.00300
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Texto escrito a máquina
6.5100 = 6.51000
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Texto escrito a máquina
71.7400 = 71.740000
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1.0320 = 1.03200
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Texto escrito a máquina
10.10 = 10.100
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0.0040 = 0.00400
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20.90 = 20.900
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6.800 = 60.8000
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6.500 = 6.5000
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6.800 = 6.8000
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7.0800 = 7.08000
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0.03000 = 0.030000
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13.10 = 13.100
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0.7080= 0.70800
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18.30100 = 18.301000
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Pasar de decimal exacto a fracción decimal.
Para hallar la fracción decimal de un número decimal exacto, se pone como numerador el número
dado sin el punto decimal, y por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras
decimales tenga el número decimal.
Ejemplo:
Ejercicio: Para cada una de las siguientes cantidades, escribe un equivalente.
𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙
𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠
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6/10
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Texto escrito a máquina
75/1000
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Texto escrito a máquina
124/10000
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1406/100
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24/10000
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Texto escrito a máquina
86/10000
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Texto escrito a máquina
436/100
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Texto escrito a máquina
33/100
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Texto escrito a máquina
66/100
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8936/1000
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394/10
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Texto escrito a máquina
26031/1000
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8/10
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346/100000
Stephanie
Texto escrito a máquina
96/100
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Texto escrito a máquina
10428/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
672/100
Stephanie
Texto escrito a máquina
66/1000
Stephanie
Texto escrito a máquina
50302/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
25/100
Stephanie
Texto escrito a máquina
3028/1000
Stephanie
Texto escrito a máquina
8347/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
20098/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
318/1000
Stephanie
Texto escrito a máquina
5/100
Stephanie
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204/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
84/1000
Stephanie
Texto escrito a máquina
64286/10000
Stephanie
Texto escrito a máquina
125/100
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24/10000
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20/100
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44/100
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1516/100
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48047/1000
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Texto escrito a máquina
13284/1000
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12678/100
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Ubicación de los números decimales en la recta numérica.
Si observas una regla, puedes notar que la unidad se encuentra dividida en 10 partes iguales, tal
como lo vemos en la siguiente recta:
Para poder ubicar un número decimal hacemos lo siguiente:
Ejemplo: Ubicar el número
1.- Ubicamos cual es la parte entera del numero decimal, en este caso nuestra parte entera es ,
entonces ubicamos el número en la recta numérica.
2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es decimos (
), entonces como la
fracción nos indica la unidad está dividida en pedazos y vamos a tomar pedazos.
Ejemplo: Ubicar el número
1.- Ubicamos cual es la parte entera del número decimal, en este caso nuestra parte entera es ,
entonces ubicamos el número en la recta numérica.
2.- Ahora vamos ubicar la parte decimal, en este caso es decimos (6
), entonces como la
fracción nos indica que la unidad está dividida en partes y vamos a tomar partes.
Page 79
3.- Ahora vamos ubicar el siguiente número decimal, en este caso es centésimos (
),
entonces como la fracción nos indica la unidad está dividida en partes y vamos a tomar
partes a partir del número en el que ya está ubicado.
Ejercicio: Indica en la siguiente recta numérica la posición de los siguientes números decimales.
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
, 𝑦
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5.2
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5.9
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6.4
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7.3
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2
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1.65
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1.77
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4.5
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4.34
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4.28
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3.5
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4.7
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5.3
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2.036
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2.039
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2.042
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15.7
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15.8
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15.78
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15.81
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15.85
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0.08
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0.11
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0.1
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0.095
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0.102
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0.105
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2.0
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2.3
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2.1
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2.2
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2.05
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2.18
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2.21
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0.7
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1.9
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1
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1.5
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0.75
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1.2
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1.85
Page 80
Conversión de fracciones a números decimales.
Se divide el numerador entre el denominador, aproximando la división hasta que de cociente exacto
o hasta que se repita en el cociente indefinidamente una cifra o un grupo de cifras.
Ejercicio: Escribe de forma de numero decimal las siguientes fracciones.
−
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
−
−
−
𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎
−
−
−
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1.75
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1.625
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1.15
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5.55
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5.7
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6.2
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0.6875
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1.92
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9.125
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158.3
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0.388
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4.75
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6.12
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9.68
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495.875
Page 82
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de decimales.
+ + − + +
− + + −
+ + − + +
− + + −
+ + − + + +
− + + −
+ + + − + + +
− + + −
Operaciones con decimales
Suma
Para sumar números decimales se les ubica de manera que los puntos decimales
queden en una sola columna, se suman de manera normal y al resultado se le
coloca el punto en la misma columna que los anteriores.
Resta
Para restar números decimales se ubica el minuendo debajo del sustraendo de tal
forma que los puntos queden alineados, luego se realiza la resta y al resultado se le coloca el punto en la misma columna
que los anteriores.
Stephanie
Texto escrito a máquina
19.371
Stephanie
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4.8
Stephanie
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18.12
Stephanie
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5.398
Stephanie
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8.267
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3.728
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51.315
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11.56
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5.19
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13.298
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8.693
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15.183
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7.875
Stephanie
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5.845
Stephanie
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2.4329
Stephanie
Texto escrito a máquina
3.4147
Stephanie
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9.1
Stephanie
Texto escrito a máquina
8.56
Stephanie
Texto escrito a máquina
7.708
Stephanie
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1.549
Stephanie
Texto escrito a máquina
11.67
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.6636
Stephanie
Texto escrito a máquina
10.263
Stephanie
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2.00214
Page 83
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de decimales.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Stephanie
Texto escrito a máquina
40.906
Stephanie
Texto escrito a máquina
86.76
Stephanie
Texto escrito a máquina
29.5
Stephanie
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54.11
Stephanie
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40.94
Stephanie
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38.4
Stephanie
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50.28
Stephanie
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43.86
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100.446
Stephanie
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155.55
Stephanie
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Stephanie
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39.7
Stephanie
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31.33
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90.47
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Texto escrito a máquina
33.857
Stephanie
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102.489
Stephanie
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3.01
Stephanie
Texto escrito a máquina
10.89
Stephanie
Texto escrito a máquina
30.93
Stephanie
Texto escrito a máquina
59.58
Stephanie
Texto escrito a máquina
66.75
Stephanie
Texto escrito a máquina
15.95
Stephanie
Texto escrito a máquina
0.465
Stephanie
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0.208
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Texto escrito a máquina
8.276
Stephanie
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6.464
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7.5
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4.51
Stephanie
Texto escrito a máquina
45.85
Stephanie
Texto escrito a máquina
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26.05
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57.14
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0.072
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12.12
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Texto escrito a máquina
17.36
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Texto escrito a máquina
183.39
Stephanie
Texto escrito a máquina
712.29
Stephanie
Texto escrito a máquina
4.0004
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 85
Problemas de suma y resta de decimales.
1.- A principios de Diciembre, un ciclista pesaba 72.5 kg y en ese mes aumento 1.300 kg, ¿Cuánto
pesaba a principios de Febrero, si en Enero bajo 2.250 kg de peso?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- Marcos creció 0.095 m en los últimos seis meses, si ahora mide 1.845 m, ¿Cuál era su estatura
hace medio año?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- ¿Cuál es la diferencia en metros, entre una milla náutica y una milla terrestre?
Milla náutica=0.1852 m Milla terrestre=0.169 m
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- A Ramiro le dio una infección que le provoco fiebre, le pusieron el termómetro a las 9:00 am y
marco 38.9° C, 3 horas después, marcaba 37.7° C, ¿De cuánto fue la variación de temperatura?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- En el informe mensual de la tarjeta de crédito de José aparecen los siguientes cargos: $325.75,
$178.90, $458.35, $249.10, $346.55, si en ese periodo solamente puede disponer de $1000,
¿Todavía tiene crédito disponible?
Datos que me dan: Operación: Solución:
Stephanie
Texto escrito a máquina
peso inicial: 72.5 kg. aumento: 1.300 kg. bajo: 2.250 kg.
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
72.5 + 1.300 = 73.8 73.8 - 2.250 = 71.55
Stephanie
Texto escrito a máquina
pesaba 71.55 kg
Stephanie
Texto escrito a máquina
creció 0.095 m mide 1.845 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.845 - 0.095 = 1.75 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
Media 1.75 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
0.1852 - 0.169 =0.0162
Stephanie
Texto escrito a máquina
0.0162 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
tempreratura 9:00 am: 38.9° tempreratura 12:00 pm. 37.7°
Stephanie
Texto escrito a máquina
38.9 - 37.7 = 1.2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Vario 1.2°
Stephanie
Texto escrito a máquina
325.75+178.90+458.35+249.10+346.55=1558.65
Stephanie
Texto escrito a máquina
NO de hecho se paso de gastos
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 86
6.- Una persona cuyo peso era de 70.5 kg se sometió a tratamiento que duro tres semanas y redujo
0.75 kg cada semana, ¿Cuánto peso esa persona al finalizar el tratamiento?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- El talón de pago de mi mama muestra que gana $5789.45 quincenales; sin embargo, le hacen
algunos descuentos, como son: Seguro Social: $79.80; Sindicato: $24.70; Fondo de ahorro: $57.89;
Seguro de vida: $124.65 e Impuestos sobre el trabajo: $765.80, ¿Cuánto es lo que recibe?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- Pedro, Raúl y Sergio miden su estatura, Pedro mide 1.41 m, Sergio 1.46 m y se sabe que la
suma de las tres alturas es de 4.2 m, ¿Cuál es la estatura de Raúl?
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- El salón de clases de María tiene forma rectangular y mide 8.75 m de largo y 6.25 m de ancho,
¿Cuál es su perímetro?
Datos que me dan: Operación: Solución:
Stephanie
Texto escrito a máquina
0.75 x 3 = 2.25 70.5 - 2.25 = 68.25
Stephanie
Texto escrito a máquina
Pesa 68.25 kg
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
79.80+24.70+57.89+124.65+765.80=1052.84 5789.45 - 1052.84 = 4736.61
Stephanie
Texto escrito a máquina
Recibe 4736.61
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.41+1.46=2.87 4.2 - 2.87 = 1.33
Stephanie
Texto escrito a máquina
Raúl mide 1.33 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
8.75+6.25= 15 15+15 =30
Stephanie
Texto escrito a máquina
El perímetro es 30 m
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 88
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de decimales.
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
Operaciones con decimales
Multiplicación
Para multiplicar números decimales se multiplican como si fueran números enteros y al resultado de la operación se le agrega el punto. Para ubicar el punto decimal, sumamos el número de cifras decimales que tengan los dos factores dados y se ubica en el resultado
contando de derecha a izquierda.
Stephanie
Texto escrito a máquina
556.8
Stephanie
Texto escrito a máquina
14.768
Stephanie
Texto escrito a máquina
110.432
Stephanie
Texto escrito a máquina
94.185
Stephanie
Texto escrito a máquina
89.2551
Stephanie
Texto escrito a máquina
80.9088
Stephanie
Texto escrito a máquina
46.92
Stephanie
Texto escrito a máquina
196.512
Stephanie
Texto escrito a máquina
43.2276
Stephanie
Texto escrito a máquina
16.91
Stephanie
Texto escrito a máquina
75.446
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
5.12
Stephanie
Texto escrito a máquina
13.104
Stephanie
Texto escrito a máquina
26.108
Stephanie
Texto escrito a máquina
5.148
Stephanie
Texto escrito a máquina
54.872
Stephanie
Texto escrito a máquina
79.54
Stephanie
Texto escrito a máquina
116.842
Stephanie
Texto escrito a máquina
28.98
Stephanie
Texto escrito a máquina
128.75
Stephanie
Texto escrito a máquina
73.492
Stephanie
Texto escrito a máquina
27.248
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
25.92
Stephanie
Texto escrito a máquina
71.946
Stephanie
Texto escrito a máquina
26.46
Stephanie
Texto escrito a máquina
105.721
Stephanie
Texto escrito a máquina
9.5708
Stephanie
Texto escrito a máquina
24.6888
Stephanie
Texto escrito a máquina
31.475
Stephanie
Texto escrito a máquina
59.653
Stephanie
Texto escrito a máquina
21.736
Stephanie
Texto escrito a máquina
16.3652
Stephanie
Texto escrito a máquina
125.1718
Page 89
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de decimales.
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
1509.9
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
77.832
Stephanie
Texto escrito a máquina
13.2192
Stephanie
Texto escrito a máquina
797.837
Stephanie
Texto escrito a máquina
106.2082
Stephanie
Texto escrito a máquina
86.1732
Stephanie
Texto escrito a máquina
150.822
Stephanie
Texto escrito a máquina
615.783
Stephanie
Texto escrito a máquina
40233.504
Stephanie
Texto escrito a máquina
464.6252
Stephanie
Texto escrito a máquina
126.511
Stephanie
Texto escrito a máquina
261.95
Stephanie
Texto escrito a máquina
48.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2805
Stephanie
Texto escrito a máquina
3875
Stephanie
Texto escrito a máquina
5400
Stephanie
Texto escrito a máquina
18136.7
Stephanie
Texto escrito a máquina
117.626259
Stephanie
Texto escrito a máquina
6733.9836
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
21570 12942 ----------------
Stephanie
Texto escrito a máquina
5508 8262 -------------- 88.128
Page 91
Problemas de multiplicación de decimales.
1.- Una pintura tiene un costo de $25.75 el litro, una persona compra 48 litros, ¿Cuánto es lo que
paga?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- Si 57 litros de aceite tiene un costo de $1850 y se vende el litro a $45.80, ¿De cuánto es la
ganancia?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Un automóvil viaja a 85.3 kilómetros por hora en una carretera, ¿Qué distancia recorre en 6
horas?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- Una familia de 6 personas asiste a un espectáculo y cada una de ellas realiza los siguientes
gastos: $12.25 de pasaje, $53.50 de comida y $150 por boleta de entrada, ¿Cuánto se gastaron en
total?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- ¿Cuál es el área de un terreno rectangular que tiene de largo 45.30 metros y 26.45 metros?
Datos que me dan: Operación: Solución:
Stephanie
Texto escrito a máquina
costo de pintura 25.75 litro compro 48 litros
Stephanie
Texto escrito a máquina
25.75 x 48 = 1236
Stephanie
Texto escrito a máquina
Paga 1236 pesos
Stephanie
Texto escrito a máquina
57 x 45.80 = 2610.6 2610.6 - 1850 = 760.6
Stephanie
Texto escrito a máquina
La ganancia es de 760.6
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
85.3 x 6 = 511.8
Stephanie
Texto escrito a máquina
Recorre 511.8 kilómetros
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
12.25+53.50+150= 215.75 215.75 x 6 = 1294.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
gastaron 1294.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
45.30 x 26.45 =1198.185
Stephanie
Texto escrito a máquina
El área es de 1198.185 metros
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 92
6.- En una construcción se emplearon 38 hombres, cada uno de ellos recibe $150.80 diarios, si el
trabajo dura 25 días, ¿A cuánto asciende el salario de cada persona y de todas las personas,
durante ese lapso?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- Si una librería vende durante un día 35 libros de matemáticas a $180.50 cada uno, 56 de español
a $97.50 y 125 de inglés a $65, ¿A cuánto asciende su venta?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- ¿Un carpintero desea saber cuántos centímetros equivalen 20 pulgadas? (Considerando que una
pulgada es igual a 2.54 centímetros.)
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- El volumen de una caja se obtiene de la multiplicación del largo por el ancho y por el alto, si se
tiene una caja con 30.48 centímetros de largo, 17.78 de ancho y 12.7 de alto, ¿Cuánto es el
volumen?
Datos que me dan: Operación: Solución:
10.- Una escalera tiene 26 escalones y la separación que existe entre cada uno es de 0.28 metros,
¿Qué tan alta es la escalera?
Datos que me dan: Operación: Solución:
Stephanie
Texto escrito a máquina
150.80 x 25 = 3770 3770 x 38 = 143260
Stephanie
Texto escrito a máquina
El salario por persona es de 3770 y el gasto de todos los salarios es de 143260
Stephanie
Texto escrito a máquina
35 x 180.50 = 6317.5 56 x 97.50 = 5460 125 x 65 = 8125 6317.5 + 5460 + 8125 = 19902.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Su venta es de 19902.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
20 x 2.54 = 50.8
Stephanie
Texto escrito a máquina
Equivale a 50.8 cm
Stephanie
Texto escrito a máquina
30.48 x 17.78 x 12.7 = 6882.56688
Stephanie
Texto escrito a máquina
el volumen es de 6882.56688
Stephanie
Texto escrito a máquina
26 x 0.28 = 7.28
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
La altura es de 7.28 metros
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 94
Operaciones con decimales
División
Número decimal dividido por un número
entero.
Número decimal dividido por otro número decimal.
Número entero dividido por un número decimal.
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
Page 95
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de decimales.
Decimal entre entero Decimal entre decimal Entero entre decimal
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero entero.
Stephanie
Texto escrito a máquina
2.77
Stephanie
Texto escrito a máquina
5.53
Stephanie
Texto escrito a máquina
2.1
Stephanie
Texto escrito a máquina
15.326
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.561
Stephanie
Texto escrito a máquina
0.6755
Stephanie
Texto escrito a máquina
9.47
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.323
Stephanie
Texto escrito a máquina
23.15
Stephanie
Texto escrito a máquina
8.57
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
2.4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2.05
Stephanie
Texto escrito a máquina
3.1
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
6.81
Stephanie
Texto escrito a máquina
95.67
Stephanie
Texto escrito a máquina
6.85
Stephanie
Texto escrito a máquina
4.5
Stephanie
Texto escrito a máquina
30
Stephanie
Texto escrito a máquina
10
Stephanie
Texto escrito a máquina
5.6
Stephanie
Texto escrito a máquina
50
Stephanie
Texto escrito a máquina
156
Stephanie
Texto escrito a máquina
300
Stephanie
Texto escrito a máquina
10
Stephanie
Texto escrito a máquina
275
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3075
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3.68
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
13
Stephanie
Texto escrito a máquina
16
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.442
Stephanie
Texto escrito a máquina
13
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
12
Stephanie
Texto escrito a máquina
06
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
6.975
Stephanie
Texto escrito a máquina
39 30 20
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.35
Stephanie
Texto escrito a máquina
24 35 0
Stephanie
Texto escrito a máquina
12.3
Stephanie
Texto escrito a máquina
13 18 0
Stephanie
Texto escrito a máquina
1.844
Stephanie
Texto escrito a máquina
270 141 130
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3.24
Stephanie
Texto escrito a máquina
104 208 40
Stephanie
Texto escrito a máquina
14.513
Stephanie
Texto escrito a máquina
212 241 61 142
Stephanie
Texto escrito a máquina
4.0262
Stephanie
Texto escrito a máquina
155 370 160 42
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
7.29
Stephanie
Texto escrito a máquina
227 712 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 97
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero decimal entre numero decimal.
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
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8.7
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26600 0
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17.5
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525 350 07
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19.56
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440 260 300 24
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894 426 0
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12.65
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6095 14650 11500 0
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Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de numero entero entre numero decimal.
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65 00
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57 115 00
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30.76
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600 540 72
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1600
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750 000
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6300
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369 000
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4500
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610 000
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5600
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1386 000
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11408.96
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114 912 2000 2160 192
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Problemas de división de decimales.
1.- El precio de un artículo es de $6.25 y se pagaron $143.75 por varios de ellos, ¿Cuantos se
adquirieron?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- El precio de 385 artículos comerciales es de $1232, ¿Cuál es el precio unitario?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Un metro de tela tiene un precio de $15.25, si se compra un rollo de dicha tela en $915,
¿Cuántos metros tiene?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- Si se desea embotellar 4500 litros de refresco en envases de 0.75 litros de capacidad, ¿Cuántos
envases se necesita?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- Para embotellar 847 litros de refresco se emplearon 484 botellas, ¿Cuál es la capacidad de cada
una de ellas?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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143.75 ÷ 6.25 =23
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Se adquirieron 23 artículos
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1232 ÷ 385 = 3.2
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El precio es de 3.2
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915 ÷ 15.25 = 60
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El rollo tiene 60 metros de tela
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4500 ÷ .075 = 6000
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Se necesitan 6000 envases
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847 ÷ 484 = 1.75
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La capacidad de cada botella es de 1.75 litros casa una
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6.- Un grupo de 42 personas va de excursión a un zoológico y en la taquilla pagan $2457, ¿Cuál es
el costo de entrada por persona?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- Aurelio pago $94.50 en una sala de videojuegos, en donde por esa cantidad le dieron 21 fichas
para jugar, ¿Cuál es el precio que pago por cada ficha?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- Un sanitario es abastecido por un tinaco, cuya capacidad es de 300 litros de agua; si cada
descarga del líquido es de 12.5 litros, ¿Para cuantas descargas alcanza el agua?
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- Una naranja tiene un peso aproximado de 0.125 kilogramos, ¿Cuántas naranjas habrá en una
tonelada, si se considera el mismo peso para cada naranja?
Datos que me dan: Operación: Solución:
10.- Un empleado gubernamental percibe quincenalmente $6641.25 por concepto de su salario,
¿Cuál es su sueldo diario?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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2457 ÷ 42 = 58.7
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Cada entrada cuesta 58.5
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94.50 ÷ 21 = 4.5
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Cada ficha cuesta 4.5
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300 ÷ 12.5 = 24
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Alcanza para 24 descargas
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1000 ÷ 0.125 = 8000
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Hay 8000 naranjas
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6641.25 ÷ 15 = 442.75
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Su sueldo diario es de 442.75
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Ejercicio: Ordena los siguientes números de menor a mayor.
; − ; ; − ; ; −
− ; ; ; − ; ;
− ; − ; ; ; ; −
− ; ; − ; − ; − ;
− ; − ; − ; ; ; −
; − ; − ; − ; ;
Ejercicio: Ordena los siguientes números de mayor a menor.
− ; − ; − ; ; ; −
− ; ; ; − ; ; −
− ; − ; − ,− ; − ; −
− ; − ; − ; − ; − ; −
− ; ; − ; − ; ;
− ; − ; − ; ; − ; −
Números con signo
Suma y resta
Mismos signos
+
− − −
Diferentes signos
−
− −
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-16 -8 -3 7 9 14
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-18 -14 6 13 16 20
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-12 -10 -5 7 8 14
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-15 -14 -8 -3 2 6
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-15 -10 -6 -2 7 8
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-11 -7 -6 3 8 19
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16 6 -7 -11 -16 -19
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15 13 12 -9 -11 -14
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-2 -3 -8 -11 -15 -20
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-8 -11 -15 -17 -20 -25
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17 15 0 -5 -7 -8
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0 -9 -14 -17 -18 -19
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Ejercicio: Lee la siguiente información y ubiquen en la línea del tiempo los incisos de los años.
1.- Aproximadamente en el año 300 antes de nuestra era Euclides escribió la obra “Elementos de
Geometría”.
2.- Arquímedes hizo varias contribuciones a la física y a las matemáticas. Nació en el año 287 antes
de nuestra era y murió en el 212 antes de nuestra era.
3.- En el año 260 antes de nuestra era se desarrolló la numeración arábiga.
4.- Aproximadamente en el año 240 antes de nuestra era, Arquímedes calculo el valor de y
Eratóstenes midió la circunferencia de nuestro planeta.
5.- En 1489 se introdujeron los signos (+) y (-), que ayudaron a simplificar el estudio de las
matemáticas.
6.- En 1585, Simón Stevin extendió el sistema de lugares decimales y ayudo a simplificar las
matemáticas.
7.- En 1673, Descartes desarrollo la geometría analítica.
8.- En 1654, Pascal y Fermat formulo la teoría de la probabilidad.
9.- En 1672, Leibniz invento una máquina para multiplicar, dividir y calcular raíces cuadradas.
10.- En 1795 se introdujo el sistema métrico decimal.
Ejercicio: A partir de los datos anteriores, contesta las siguientes preguntas.
¿Hace cuantos años escribió Euclides la obra “Elementos de Geometría”? _____________________
¿Cuántos años vivió Arquímedes? _____________________
¿Hace cuantos años se desarrolló la numeración arábiga? _____________________
¿Desde hace cuantos años se conoce el valor de ? _____________________
¿Cuántos años hace que se introdujeron los signos (+) y (-)? _____________________
En la recta numérica, los números positivos se ubican a la derecha de cero. ¿Hacia dónde se ubican
los números negativos? _____________________
Años a.C. Años d.C.
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Hace 2317 años
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75 años
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Hace 2277 años
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Hace 2257 años
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Hace 528 años
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A la izquierda del cero
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Ejercicio: Realiza en la recta numérica las siguientes sumas y restas de números con signo.
+
−
+
− +
−
− −
−
− −
−
− +
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de números con signo.
+ + − −
− − + − +
+ − − − − − +
− + − + − −
− + − − −
− − − −
− + − + − − − +
− + + − + − +
+ − − − − +
− + − + − + −
− + − − − − −
− − − − − −
− − − − − −
− − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − −
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Ejercicio: Descubre cuál de estos cuadros es mágico e indica cual es el valor de cada línea.
Ejercicio: Completa los siguientes cuadros mágicos.
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𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑔𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑒𝑠:
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En problemas de sumas y restas con varios términos se recomienda sumar primero los términos
positivos, sumar luego los términos negativos y por último, restar las dos sumas (técnica del bicolor).
Agrupamos los términos positivos y negativos:
Restamos las dos sumas:
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de números con signo.
+ − + − +
− − + + −
− − − + +
+ + − −
− − − −
− − + − + +
+ − − − −
+ + + − +
+ + − − −
− + − + − −
− + + −
+ − − +
+ + −
− + + − − +
− − + +
− − − − − −
− − − + − −
+ − − + −
+ − + − +
− − + + −
+ − + − + −
− − − −
+ + +
−
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2+3+8+4=17 -5-7=-12 17-12= 5
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6+9+8=23 -2-7-12=-21 23-21= 2
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18+1=19 -4-5-12=-21 19-21=-2
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14+2+3=19 -9-7=-16 19-16=3
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23 -5-8-9-10= -32 23-32=-9
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5+12+1=18 -9-7-8=-24 18-24=-6
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18+15=33 -7-6-5-2= -20 33-20=13
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5+3+2+9+5=24 24-11=13
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8+5+3=16 -13-2-1=-22 16-16=0
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5-8=13 -7-13-12-7=-39 13-40=-26
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8+7+2=17 -9-13=-22 17-22=-5
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13+12+5=30 -20-8=-28 30-28=2
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12+13+14=39 39-19=20
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2+5+6=13 -3-8-7=-18 13-18=-5
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17+3+5=25 -12-9=-21 25-21=4
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-39
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-5-9-2-3-6=-25 7-25=-18
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3+7+5=15 -5-2-7=-14 15-14=1
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2+3+8+4=17 -5-7=-12 17-12=5
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6-9-8=23 -2-7-12=-21 23-21=2
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Problemas de números enteros.
1.- La temperatura promedio en el planeta Mercurio durante el día es de 327° C sobre cero, durante
la noche es de -183° C, ¿Cuántos grados centígrados desciende la temperatura del día a la noche?
Datos que me dan: Operación: Solución:
2.- ¿Qué edad tenia Pitágoras al morir, si nació en el año 580 a.C. y murió en el año 501 a.C.?
Datos que me dan: Operación: Solución:
3.- Si Buda nació en el año 583 a.C. y Mahoma 570 años d.C., ¿Cuántos años nació primero Buda
que Mahoma?
Datos que me dan: Operación: Solución:
4.- ¿Qué diferencia de nivel hay entre un elevador que ha descendido en una mina a 245 m del nivel
de la estación, y una casa situada a 75 m sobre el nivel de dicha estación?
Datos que me dan: Operación: Solución:
5.- ¿Cuál es la diferencia en altura entre la montaña más alta del mundo, el Everest (+8847 m) y el
mar muerto (-397 m)?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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327-(-183)= 327+187=514
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Desciende 510°C
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580-501=79
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Tenia 79 años
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570-(-583)= 570+583=1153
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Mahoma nació 1153 años después que Buda
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75-(-245)= 75+245=320
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Hay una diferencia de 320 niveles
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8847-(-397)= 8847+397=9244
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Hay una diferencia de 9244 metros
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6.- Un aeroplano, cuya velocidad seria de 45 m por segundo, sin corrientes contrarias, camina contra
un viento de 11 m por segundo, ¿De cuánto es su velocidad contra el viento? ¿De cuánto es su
velocidad por hora?
Datos que me dan: Operación: Solución:
7.- Después de alcanzar una altura de 3795 m sobre el mar, un cohete suelta una de sus turbinas y
esta cae en el océano a una profundidad de -792 m, ¿Qué distancia recorre la turbina?
Datos que me dan: Operación: Solución:
8.- Dos buques que van en sentido contrario, con una velocidad de 28 km y 25.75 km por hora
respectivamente, se han cruzado las 8:30 am, ¿A qué distancia estarán uno de otro a las 11 am?
Datos que me dan: Operación: Solución:
9.- ¿Qué diferencia de nivel hay entre un paso de 250 m y lo alto de una torre de 175 m?
Datos que me dan: Operación: Solución:
10.- Dos autos van en el mismo sentido por una carretera, uno de ellos ha recorrido 50 km y el otro
45 km, ¿A qué distancia se hallan uno de otro? ¿A qué distancia se hallaría, después de haber
recorrido cada uno el mismo número de kilómetros que en el caso anterior, si corrieran en sentido
opuesto?
Datos que me dan: Operación: Solución:
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45-11=34 45x3600=162000
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Su velocidad a contra el viento es de 34 m/s y su velocidad sin viento es de 162000 m/h
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3795-(-792)= 3795+792=4584
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Recorre 4587 metros
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lLa diferencia de hora de las 8:30 a las 11:00 es de 2:30
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58 x 2.5 = 70 25.75 x 2.5 = 64.375 70 + 64.375 = 134.375
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La distancia entre buques es de 134.375 k/h
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250 - 175 = 75
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La diferencia son 75 metros
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50-45= 5 50+45=95
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Están a 5 km de distancia Si fueran en sentido contrario estarían a 95 km de distancia uno del otro
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Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de números con signo.
( ) + (− ) ( ) + (− ) (− ) + ( ) ( ) + (− )
( ) + ( ) ( ) + (− ) ( ) + (− ) (− ) + ( )
( ) + (− ) (− ) + ( ) ( ) + (− ) ( ) + (− )
(− ) + ( ) (− ) + ( ) (− ) + ( ) ( ) + (− )
(− ) + ( ) (− ) + ( ) (− ) + ( ) ( ) + (− )
(− ) − (− ) (− ) − (− ) ( ) − (− ) (− ) − ( )
(− ) − (− ) (− ) − (− ) ( ) − ( ) (− ) − ( )
( ) − (− ) ( ) − (− ) (− ) − ( ) (− ) − (− )
(− ) − ( ) (− ) − (− ) (− ) − (− ) ( ) − (− )
( ) − (− ) (− ) − (− ) ( ) − (− ) ( ) − (− )
( ) + (− ) ( ) + (− ) ( ) + ( ) − (− ) + ( ) −
( ) + ( ) − ( ) + (− ) ( ) + (− ) ( ) + (− )
( ) + ( ) ( ) + ( ) − ( ) + ( ) − (− ) + ( ) −
Uso de paréntesis en la suma y la resta
Signo exterior positivo
+ − − −
− + − +
− − + − −
Signo exterior negativo
− − +
− − + + −
−
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5
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0
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6
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-3
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5
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-11
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-9
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-2
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0
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4
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7
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5
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0
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-22
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0
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-3
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-4
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5
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-4
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-5
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-16
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-3
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12
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20
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-5
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24
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Ejercicio: Realiza las siguientes sumas y restas de números con signo.
− + (− )
− + (− )
− (− )
− (− )
( + ) +
( + ) −
+ ( + )
+ ( − )
( + ) +
− ( + )
− − ( + )
− ( + )
− ( − )
+ − ( + )
+ − (− − )
− − (− + )
− + + ( − )
− − ( + − ) + ( − )
+ (− + ) − (− + )
−( + − − ) − +
( − ) + (− + ) − (− + )
+ − ( + − ) −
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-2 - 3 =-5
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-5 - 4 =-9
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3 + 5 = 8
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8 + 7 = 15
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(15) + 4 = 19
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10 - 8 = 2
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6 + 12 = 18
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4 + 28 = 32
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12 + 3 = 15
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6 - 3 = 3
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-5 -(5) = -5 - 5 = -10
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12 - (11) = 12 - 11 = 1
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9 - (-1) = 9 + 1 = 10
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5 + 2 - (7) = 5 + 2 - 7 = 0
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3 + 5 - (-5) = 3 + 5 + 5 = 13
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Texto escrito a máquina
8 - 7 - (3) = 8 - 7 - 3 = -2
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Texto escrito a máquina
-7 + 6+ (1) = -7 + 6 + 1 = 0
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Texto escrito a máquina
-5 - (2) + (3) = -5 - 2 + 3 = -4
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8 + (-3) - (-1) = 8 - 3 + 1 = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
- (-5) - 5 + 2 = +5 -5 + 2 = 2
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Texto escrito a máquina
(-3) + (-1) - (2) =-3 - 1 - 2 = -6
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Texto escrito a máquina
14 + 3 - (6) - 12 =14 + 3 - 6 - 12 =-1
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Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de números con signo.
( )( ) (− )( ) ( )(− )
(− )(− ) ( )(− ) (− )( )
(− )(− ) (− )(− ) (− )( )
( )( ) (− )( ) (− )( )
(− )( ) (− )(− ) (− )(− )
( )(− ) (− )( ) ( )(− )
(− )(− ) ( )(− ) ( )( )
( )( ) (− )(− ) (− )( )
( ) ÷ (− ) (− ) ÷ ( ) (− ) ÷ (− )
(− ) ÷ ( ) (− ) ÷ (− ) (− ) ÷ ( )
(− ) ÷ (− ) (− ) ÷ (− ) ( ) ÷ (− )
( ) ÷ ( ) ( ) ÷ (− ) (− ) ÷ ( )
(− ) ÷ (− ) ( ) ÷ ( ) (− ) ÷ ( )
( ) ÷ (− ) (− ) ÷ (− ) (− ) ÷ (− )
( ) ÷ (− ) (− ) ÷ (− ) (− ) ÷ ( )
(− ) ÷ ( ) (− ) ÷ (− ) ( ) ÷ (− )
Números con signo
Multiplicación y división
+ + +
− − +
+ − −
− + −
+ / + +
− / − +
+ / − −
− / + −
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20
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72
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66
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48
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- 45
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- 64
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24
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49
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-2
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-2
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1
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5
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1
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-5
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-4
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-2
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- 40
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-20
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45
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0
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24
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-18
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-24
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27
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- 8
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Stephanie
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7
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5
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-9
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2
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6
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15
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5
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- 14
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- 63
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-54
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-56
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81
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-36
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9
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-16
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4
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- 5
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- 25
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- 9
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- 5
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7
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-13
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-9
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Cuando hay más de dos factores lo que intervienen en la multiplicación, primero se multiplican dos
factores y el producto parcial obtenido se multiplica por el tercer factor y así sucesivamente.
Ejemplo:
(− )(− )( ) ( )( )
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones correctamente. Aplicando las leyes de los signos.
( )( )( ) ( )(− )( )
(− )( )( ) (− )( )(− )
(− )(− )( ) (− )(− )(− )
(− )(− )( )( ) (− )(− )(− )( )
(− )(− )(− )(− ) ( )(− )(− )( )
(− )( )(− )( ) ( )( )(− )(− )
Ejercicio: Resuelve las siguientes operaciones.
(− − ) − (− − )
( − ) (− + )
− (− + ) ( − )
− ( − ) ( + − )
− ( − + ) (− − + )
Ejercicio: Calcula las siguientes potencias de números enteros.
(− ) (− )(− )(− ) ( )(− ) −
(− ) (− ) ( )
(− ) (− ) (− )
(− ) ( ) (− )
(− ) ( ) (− )
(− ) ( )
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40
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--144
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75
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672
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3465
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0
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--42
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252
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--1320
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--3600
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576
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192
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3(-5)= --15
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2(-7)= --14
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-1(3)= --3
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-2(3)= -6
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-2(3)= --6
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-4(-5)= 20
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7(0)= 0
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4(2)= 8
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2(3)= 6
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5(1)= 5
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Stephanie
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16
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--125
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--32
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--343
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121
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--1
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81
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27
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49
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729
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--64
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36
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1
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144
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Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones de números enteros utilizando las leyes de los signos.
(− )(− )( ) (− )( )(− )(− )
( )(− )(− )( ) (− )
(− ) (− ) ( )
( ) (− ) (− − )
( + )6 ( − )6
(− ÷ ) (− ) (
) ( )( − )
− ÷− ÷ −
− ÷ ( )(− )
(− )( )
(− + − )
( − − )
(− ) ( )(− )
(− ) (− )
(− )( )(− )( )
(− )(− )( )
( − + )(− − + )
(− ) (− )
Ejercicio: Coloca los números +1, -2, +3, -4, +5, -6, +7, -8, +9 en la siguiente tabla de manera que
los productos de los números que aparecen en cada renglón y en cada columna sean los indicado
en los márgenes.
+
−
−
− +
−
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Stephanie
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120
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162
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--78125
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1000000
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--16384
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2
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--7
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--5
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81
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--630
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81
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--128
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--16807
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262144
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36
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--4
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8
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6
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6
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--135000
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Stephanie
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Stephanie
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1
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-4
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7
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3
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-2
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-6
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5
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-8
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9
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Page 123
Ejemplo:
Al simplificar la operación: ÷ × + √ × − ÷
Primero realizamos lo que son las potencias y raíces como en esta operación no tenemos potencias
realizamos lo que son las raíces quedando:
÷ × + √ × − ÷
÷ × + × − ÷
Después realizamos las multiplicaciones de izquierda a derecha:
÷ × + × − ÷
÷ + − ÷
Después realizamos las divisiones de izquierda a derecha:
÷ + − ÷
+ −
Y al final se efectúan lo que son las sumas y restas:
+ −
−
Jerarquía de operaciones
Al combinar operaciones en un ejercicio se deben de hacer en el siguiente orden:
1° Potencias y raíces
2° Multiplicaciones y divisiones (izquierda a derecha)
3° Sumas y restas
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 124
Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones de acuerdo a la jerarquía de operaciones.
− ×
+ ×
× + ×
÷ ×
+ +
+ −
√
− +
√
+ ×
− ×
÷ + ÷
+ ×
− ÷
÷ − ×
× × ÷ ÷
× + ÷ −
+ × − ×
÷ + ÷ − ÷
√ × − × + ×
÷ + ÷ − ×
÷ + ÷ − ÷
+ ÷ − ×
× + ÷ − ×
× √
− × √
+ × √
× √
− × √
+ × √
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24 - 18 = 6
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7 + 10 = 17
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20 + 12 = 32
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Texto escrito a máquina
6 x 3 = 18
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Texto escrito a máquina
1 + 4 + 9 = 14
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Texto escrito a máquina
9 + 16 + 25 = 49
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Texto escrito a máquina
9 - 8 + 5 = 6
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Texto escrito a máquina
5 + 2 x 9 = 5 + 18 = 23
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Texto escrito a máquina
9 - 2 x 36 = 9 - 72 = -- 63
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Texto escrito a máquina
5 + 25 = 30
Stephanie
Texto escrito a máquina
10 + 8 x 4 = 10 + 32 = 42
Stephanie
Texto escrito a máquina
12 - 36 ÷ 9 = 12 - 4 = 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
60 ÷ 5 - 3 x 4 = 12 - 12 = 0
Stephanie
Texto escrito a máquina
64 x 5 x 2 ÷ 4 ÷ 2 = 640 ÷ 4 ÷ 2 = 80
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Texto escrito a máquina
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Texto escrito a máquina
19 x 5 + 27 ÷3 - 9 = 95 + 9 - 9 = 95
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Texto escrito a máquina
5 + 16 x 2 - 9 x 4 = 5 + 32 - 36 =1
Stephanie
Texto escrito a máquina
49 ÷ 7 + 25 ÷ 5 - 16 ÷ 4 = 7 + 5 - 4 = 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3 x 8 - 9 x 1 + 7 x 0 = 24 - 9 + 0 = 15
Stephanie
Texto escrito a máquina
32 ÷ 8 + 49 ÷ 7 - 2 x 4 = 4 + 7 - 8 = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
81 ÷ 9 + 36 ÷ 3 - 8 ÷ 2 = 9 + 12 - 4 = 17
Stephanie
Texto escrito a máquina
13 + 42 ÷ 3 - 2 x 9 = 13 + 14 - 18 = 9
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
21 + 8 - 18 = 11
Stephanie
Texto escrito a máquina
4 x 7 - 2 x 8 + 1 x 9 = 28 - 16 + 9 = 21
Stephanie
Texto escrito a máquina
3 x 7 - 2 x 6 + 4 x 5 = 21 - 12 + 20 =29
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 126
Uso de paréntesis en la jerarquía de operaciones.
El uso de paréntesis permite una lectura más sencilla de las operaciones, respetando la jerarquía
planteada.
1.- Primera las operaciones entre paréntesis internos.
2.- Luego las operaciones entre paréntesis externos.
3.- Por ultimo las demás operaciones.
Ejemplo:
( × ) + ( ÷ ) +
( × ) − ( ÷ ) ( × ) − ( ÷ ) −
− [(√
× √
) − ] − [( × ) − ] + [ − ] − [ ] − −
Ejercicio: Encuentra el valor de cada expresión.
( × ) −
( ÷ ) +
− ( ÷ )
× ( − ) ÷
( × ) ÷ ( ÷ )
( × ) −
√
+ ( ÷ )
( ÷ ) − ( ÷ )
( × ) − ( × )
( − ) + ( + )
+ [( × ) × ( ÷ )]
× [( × + ÷ )]
[(√
− √
) + (√ × √
)] −
{[( ÷ ) − ] + [(√
× √ ) − ]}
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12 - 7 = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4 + 9 = 13
Stephanie
Texto escrito a máquina
25 - 4 = 21
Stephanie
Texto escrito a máquina
4 x 1 ÷ 1 = 4 ÷ 1 = 4
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Stephanie
Texto escrito a máquina
36 ÷ 9 = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
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Texto escrito a máquina
6
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
- 8 = 36 - 8 = 28
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Texto escrito a máquina
9 + (16 ÷ 4) = 9 + 4 = 13
Stephanie
Texto escrito a máquina
8 - 6 = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
63 - 48 = 15
Stephanie
Texto escrito a máquina
(25 - 16) + (8 + 27) = 9 + 35 = 44
Stephanie
Texto escrito a máquina
2 + [12 x 2 ] = 2 + 24 = 26
Stephanie
Texto escrito a máquina
24 x [20 + 2] = 24 x 22 = 528
Stephanie
Texto escrito a máquina
[(8 - 4) + (2 x 3)] - 8 = [4 + 6] - 8 = 10 - 8 = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
{[6 - 5] + [(5 x 1) - 3]} = { 1 + [5 - 3]} = 1 + 2 = 3
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 128
Nota: Se considera un polinomio apartir del binomio.
Ejercicio: Traduce a lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
Expresión verbal Lenguaje algebraico
Un número cualquiera.
El doble de un número.
Un número más cinco unidades.
Un número menos dos unidades.
El triple de un número.
El cuadrado de un número.
El cubo de un número.
El doble de un número más tres unidades.
Diez unidades menos el doble de un número.
Algebra
Lenguaje algebraico: Se refiere a la utilización de letras representando a números.
Expresión algebraica: Conjunto de números y literales unidos por medio de signos que nos indican las operaciones que se deben de realizar.
Termino: Expresión algebraica que consta de cuatro elementos que son signo, coeficiente, literal y exponente.
− 𝑥 𝑦
Clasificación de términos
Monomio
− 𝑎
Binomio
𝑥 + 𝑦
Trinomio
𝑎 + 𝑏 − 𝑐
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x
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2x
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x + 5
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x - 2
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3x
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x
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2
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x
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2x + 3
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10 - 2x
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3
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Expresión verbal Lenguaje algebraico
El doble del cubo de un número.
El triple del cuadrado de un número.
El cuadrado de un número menos el triple del mismo.
La mitad de un número.
La tercera parte de un número.
La quinta parte del doble de un número elevado al cuadrado.
La cuarta parte de un número aumentado en cinco unidades.
Cinco veces un numero menos tres unidades.
Dos veces un número.
La suma de dos números.
La suma de tres números.
La resta de tres números.
El producto de dos números.
La mitad de la suma de dos números.
El cuadrado de la resta de dos números.
La tercera parte del cubo de la suma de dos números.
La décima parte del cubo del producto de dos números.
Siete veces el producto de tres números.
El doble de un número es igual a ocho.
Un número más cinco unidades es igual a veinte.
El cuadrado de un número es igual a dieciséis.
El triple de un numero menos ocho unidades es igual a siete.
Quince unidades menos el doble de un número es igual a cinco.
El cubo de un número es igual a veintisiete.
El triple del cuadrado de un número es igual a doce.
La tercera parte de un número es igual a seis.
El cuadrado de un número más el doble del mismo es igual a dieciocho.
La suma de dos números es igual a quince.
El producto de dos números es igual a veinticuatro.
Stephanie
Texto escrito a máquina
2x
Stephanie
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3
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3x
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2
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x - 3x
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Texto escrito a máquina
2
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Stephanie
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x/2
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x/3
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2x /5
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2
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(x + 5)/4
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Stephanie
Texto escrito a máquina
5x - 3
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2x
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
x + y
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Texto escrito a máquina
x + y + z
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
x - y - z
Stephanie
Texto escrito a máquina
xy
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Texto escrito a máquina
(x + y)/2
Stephanie
Texto escrito a máquina
(x - y)
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
(x + y) /3
Stephanie
Texto escrito a máquina
3
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
(xy) /10
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3
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Texto escrito a máquina
7xyz
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2x = 8
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x + 5 = 20
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x = 16
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2
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3x - 8 = 7
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Texto escrito a máquina
15 - 2x = 5
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 27
Stephanie
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3
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3x = 12
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2
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x/3 = 6
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x + 2x = 18
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2
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x + y = 15
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xy = 24
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Ejercicio: Traduce a expresión verbal las siguientes expresiones algebraicas.
Lenguaje algebraico Expresión verbal
𝑥 +
𝑥 −
𝑥 +
𝑥 +
𝑥 −
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 +
𝑥
𝑥 − 𝑥
𝑥 + 𝑥
𝑥 + 𝑥 +
𝑥 + 𝑥 −
𝑥 −
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥𝑦
𝑥𝑦
𝑥
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Un número más cinco unidades
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Un número menos tres unidades
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El doble de un número mas una unidad
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El triple de un número más cinco unidades
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Cuatro veces un número menos siete unidades
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Un número elevado al cuadrado
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Un número elevado al cubo
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El triple de un número elevado al cuadrado
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Cinco veces un numero elevado al cubo
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La mitad de un número
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La tercera parte de un número
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La séptima parte de un número
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La quinta parte del doble de un número
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La tercera parte de un número aumentado en una unidad
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La tercera parte de el cuadrado de un número
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El doble de un número menos el doble del mismo número
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El cubo de un número más el doble del cuadrado del mismo numero
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El cuadrado de un número mas el triple del mismo más una unidad
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Cinco veces el cuadrado de un numero mas el triple del mismo menos cinco
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La quinta parte de un numero disminuido en cuatro unidades
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La suma de tres números
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El producto de dos números
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El doble del producto de dos números
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Un número elevado a otro numero
Stephanie
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Lenguaje algebraico Expresión verbal
(𝑥 + 𝑦)
𝑥 +
𝑥 +
𝑥 +
𝑥
𝑥
+
𝑥 − 𝑥 +
𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑥𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
Ejercicio: Completa el siguientes cuadro, identificando los elementos de un término.
Termino Signo Coeficiente Literal Exponente
𝑥
− 𝑎
𝑏
𝑎𝑏
− 𝑚 𝑛
−
𝑎
𝑥𝑦 𝑧
𝑚 𝑛
− 𝑟𝑠𝑡
𝑡 𝑤 𝑥
𝑎 𝑏
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El cuadrado de la suma de dos números
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Un número mas cinco unidades es igual a dieciséis
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El doble de un número mas tres es igual a treinta y tres
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El cuadrado de un número mas siete es igual a cincuenta y seis
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La quinta parte del cuadrado de un número es igual a ochenta
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La séptima parte de un número mas quince es igual a veintisiete
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El cuadrado de un número menos el doble del mismo mas tres es igual a seis
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La suma de tres números es igual a diecinueve
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El producto de dos números es igual a treinta y dos
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Un número entre otro es igual a cinco
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Un número elevado a otro número es igual a ocho
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5
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x
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3
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6
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2, 3
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8/9
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+
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2
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xyz
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2
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+
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15
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mn
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2
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-
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0.8
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rst
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2
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+
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2, 4, 5
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+
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1/4
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ab
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4, 2
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Ejercicio: Identifica el tipo de termino que son las siguientes expresiones algebraicas.
Expresión algebraica Clasificación Expresión algebraica Clasificación
𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑥 − 𝑥 𝑘 −
𝑔 𝑘 − 𝑓 − 𝑔 +
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 𝑚 𝑛
𝑚 + 𝑚𝑛 + 𝑛 𝑥 + 𝑏𝑥 +
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
− 𝑚− 𝑛 − 𝑟𝑠 𝑡
𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 − 𝑑𝑒 𝑥 + 𝑥 + 𝑥
𝑥 − 𝑦 − 𝑚𝑛
𝑎𝑥 𝑦 𝑑 𝑒 + 𝑑𝑒
𝑥 𝑦 + 𝑥 + 𝑥 −
𝑎 + 𝑏 𝑥
𝑦 + 𝑦 − −𝑎 + 𝑏 − 𝑐
𝑥 + 𝑥 𝑦 𝑧
Ejercicio: Relaciona con una flecha, cada una de las expresiones algebraicas con los datos
correspondientes.
𝑥 − Binomio de segundo grado con
coeficiente principal 5
𝑥 − Binomio de primer grado cuyos
coeficientes son 1 y 2
𝑥 + Trinomio con todos sus coeficientes
igual a 1
𝑥 + 𝑥 − Binomio de segundo grado cuyos
coeficientes son 1 y -2
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 Binomio de tercer grado
𝑥 + Trinomio de segundo grado
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Monomio
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Binomio
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Trinomio
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Trinomio
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Trinomio
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Monomio
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Monomio
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Monomio
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Trinomio
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Trinomio
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Monomio
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1
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1
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4
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4
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5
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5
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6
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6
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Ejercicio: Relaciona los siguientes términos con sus semejantes.
( ) − 𝑎 𝑏 𝑎) + 𝑎 𝑚𝑥
( ) + 𝑚𝑛 𝑏) + 𝑥 𝑦
( ) − 𝑥𝑦 𝑧 𝑐) +
𝑚𝑛 𝑝
( ) −
𝑎 𝑏 𝑑) − 𝑎 𝑏
( ) − 𝑥 𝑦 𝑒) + 𝑎 𝑏𝑥
( ) + 𝑎 𝑏𝑥 𝑓) − 𝑎 𝑏
( ) − 𝑎 𝑚𝑥 𝑔) −
𝑚𝑛
( ) + 𝑎 𝑏 ) − 𝑎 𝑏
( ) − 𝑚𝑛 𝑝 𝑖) + 𝑥𝑦 𝑧
Algebra
Reducción de términos semejantes
Se suman los términos que sean semejantes, el resultado final es la
suma de todos los resultados parciales.
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐
𝑎 + 𝑎 𝑎
𝑏 − 𝑏 𝑏
− 𝑐 − 𝑐 − 𝑐
𝑎 + 𝑏 − 𝑐
Terminos semejantes
Son aquellos terminos que tienen las mismas literales elevadas a los mismos
exponentes.
𝑥 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎
𝑥
𝑚 𝑛 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑚 𝑛
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a
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c
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Ejercicio: Reduce los siguientes términos semejantes.
𝑓 + 𝑓 𝑥 + 𝑥
𝑦 − 𝑦 𝑤 − 𝑤
𝑧 + 𝑧 𝑏 − 𝑏
− 𝑘 + 𝑘 𝑎 − 𝑎
𝑑 − 𝑑 −𝑚 − 𝑚
𝑎 + 𝑎 𝑥 − 𝑥
− 𝑚 + 𝑚 − 𝑓 − 𝑓
+ − 𝑒𝑓 + 𝑒𝑓
𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏
𝑥 −
𝑥
𝑎 +
𝑎
Ejercicio: Completa la reducción.
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 + 𝑦 + 𝑦
− 𝑚 + 𝑛 + 𝑚+ 𝑛 + 𝑛 𝑔 − 𝑔 + + 𝑔 +
𝑤 + 𝑧 + 𝑤 − 𝑧 𝑤 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 − 𝑦 𝑥 −
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 𝑚 + 𝑛 − 𝑚 + 𝑛 − 𝑚+
𝑒 + 𝑓 − 𝑒 + 𝑓 + 𝑓 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 + 𝑏
Ejercicio: Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones.
𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦
− 𝑚 + 𝑛 − 𝑚 + 𝑛
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 − 𝑏
𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦
− 𝑔 − 𝑔 + 𝑔 − 𝑔
𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏
𝑛 + 𝑛 + + 𝑛 + + 𝑛 +
Stephanie
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5f
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2y
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17z
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2k
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-3d
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6a
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-3m
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2
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9h
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3
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3xy
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2/4x
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2
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9x
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-4w
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14b
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-6a
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-6m
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3x
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-10f
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ef
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-3ab
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5/8a
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2
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2
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10b
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-4m
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2z
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2x
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-3e
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3x
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6h
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y
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5n
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-6a
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2
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2
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5
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4
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3x - 2y
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-5m + 9n
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7a - b
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-3x y - 5 xy
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3h g - 5hg
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3
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7a + 7b
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4n + 12
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2
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3
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2
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3
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2
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2
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Ejercicio: Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones.
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎
− 𝑏 − 𝑏 − 𝑏 − 𝑏 − 𝑏
𝑐 𝑑 + 𝑑𝑐 + 𝑐 𝑑 + 𝑑𝑐
− 𝑒 𝑓 − 𝑓 𝑒 − 𝑒 𝑓 − 𝑓 𝑒
𝑔 − 𝑔 + 𝑔 − 𝑔 + 𝑔 − 𝑔
− + − + − + −
𝑘 − 𝑘 + 𝑘 − 𝑘 + 𝑘 − 𝑘 + 𝑘 − 𝑘
− 𝑚 + 𝑚 − 𝑚 + 𝑚 − 𝑚+ 𝑚− 𝑚+ 𝑚
− 𝑛 + 𝑛 − 𝑛 + 𝑛 − 𝑛 + 𝑛
𝑝 − 𝑝 + 𝑝 − 𝑝 + 𝑝 − 𝑝
𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏
− 𝑐 + 𝑑 − 𝑐 + 𝑑 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑐 − 𝑑
𝑒 − 𝑓 + 𝑒 − 𝑓 − 𝑒 + 𝑓 − 𝑒 + 𝑓
− 𝑔 + − 𝑔 + + 𝑔 − + 𝑔 −
− 𝑥 + 𝑥 − − 𝑥 + 𝑥 − + 𝑥 − 𝑥 +
𝑗 + 𝑘 + + 𝑗 + 𝑘 + − 𝑗 − 𝑘 − − 𝑗 − 𝑘 −
𝑐 − 𝑐 − + 𝑐 − 𝑐 − − 𝑐 + 𝑐 + − 𝑐 + 𝑐 +
𝑏 + 𝑏 + + 𝑏 + 𝑏 + − 𝑏 − 𝑏 − − 𝑏 − 𝑏 −
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20a
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2
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-25b
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12c d + 16 dc
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-32 f e
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21g - 15g = 6g
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19h -27h = -8h
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35k - 25k = 10k
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21m - 42m = -21m
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-
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32n -18n = 14n
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19p - 35p = -16p
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21x + 18y
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30x + 24y + 18z
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5a + 8b
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-8c - 10d
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10e -12f
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-12g + 19h
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-22x + 33x - 46
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15j -9k -18
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-9c + 18
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8b + 24
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2
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4
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5
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3
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Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 𝑎 + 𝑎 a) 𝑎
( ) 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 b) 𝑥 + 𝑥 − 𝑥
( ) 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 c) − 𝑎 − 𝑏
( ) 𝑎 − 𝑎 − 𝑎 d) 𝑎
( ) 𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 e) − 𝑚 − 𝑛 +
( ) 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 f) 𝑎 + 𝑏
( ) − 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 − 𝑦 g) 𝑎
( ) 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 h) − 𝑥 − 𝑥 −
( ) − 𝑥 − 𝑥 − + 𝑥 − 𝑥 − i) − 𝑥 + 𝑦
( ) 𝑚 + 𝑛 + + − 𝑛 − 𝑚 j) 𝑎
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas de polinomios.
( 𝑎 − 𝑏) + ( 𝑎 + 𝑏)
( 𝑚 − 𝑛) + (− 𝑚 − 𝑛)
(−𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦) + ( 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦)
( 𝑎 + 𝑏) + (− 𝑎 + 𝑏)
( 𝑎 + 𝑏) + ( 𝑎 + 𝑏)
( 𝑥 + 𝑦) + (− 𝑥 + 𝑦)
Suma algebraica
Suma de polinomios
𝑥 + 𝑚 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑚 + 𝑥 𝑥 + 𝑚 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑚 + 𝑥
𝑥 + 𝑚 + 𝑥
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d
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g
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j
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f
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c
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i
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b
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h
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e
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5a - b + 4a + 5b = 9a + 4b
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2m - 3n - 4m - 2n = -2m -5n
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2
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2
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2
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-xy + 5x y + 3xy - 4x y = 2xy + x y
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3
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3
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3
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2
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2
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2
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6a + 3b - 2a + 2b = 4a + 5b
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8a + 3b + 5a + 7b = 13a + 10b
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4x + 8y - 7x + 5y = -3x + 13y
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(− 𝑔 − 𝑔 ) + ( 𝑔 + 𝑔 )
(− 𝑥 + 𝑦) + (− 𝑥 − 𝑦)
( 𝑎 − 𝑏) + (− 𝑎 + 𝑏)
(− 𝑥 − 𝑥) + ( 𝑥 − 𝑥)
( 𝑑 + 𝑒 − 𝑓) + (− 𝑑 + 𝑒 + 𝑓)
( 𝑗 − 𝑘 + ) + (𝑗 + 𝑘 − )
( 𝑝 − 𝑞 − 𝑟) + (− 𝑝 + 𝑞 − 𝑟)
( 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 − ) + (− 𝑎 𝑏 − 𝑎𝑏 + )
( 𝑠 + 𝑡 + 𝑢) + ( 𝑠 + 𝑡 + 𝑢)
( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐) + (− 𝑎 − 𝑏 + 𝑐)
(𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧) + (− 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 − 𝑎𝑧)
( 𝑎 − 𝑏 + 𝑐) + (− 𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
( 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 ) + (−𝑥 + 𝑥 − 𝑥)
(− 𝑥 + 𝑥 − ) + ( 𝑥 − + 𝑥 )
Ejercicio: Realiza las siguientes sumas de polinomios.
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
+ 𝑑 + 𝑒− 𝑓
− 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 +
𝑗 − 𝑘 + 𝑙
𝑗 + 𝑘 − 𝑙 +
𝑠 + 𝑡 + 𝑢
𝑠 + 𝑡 + 𝑢 +
𝑠 + 𝑡 + 𝑢
𝑤 + 𝑥 + 𝑦 − 𝑧
− 𝑤 − 𝑥 − 𝑦+
𝑥 + 𝑦 − 𝑧
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑑 + 𝑒
𝑎 + 𝑐 + 𝑑 +
− 𝑏 + 𝑑
𝑥 + 𝑥 − 𝑥
− 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 +
𝑥 + 𝑥
𝑥 − 𝑥
𝑥𝑦+ 𝑥𝑧− 𝑦𝑧
𝑥𝑦− 𝑥𝑧+ 𝑦𝑧 +
− 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
− 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧
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-7g h - 2gh + 3gh + 2g h = -5g h + gh
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2
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2
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2
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3
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3
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3
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-3x + 6y - 4x - 2y = -7x + 4y
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2a - 4b - 9a + 3b = -7a -b
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-9x - 5x + 2x - 2x = -7x - 7x
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2
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2
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2
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9d + 2e - 5f - 5d + 2e + 3f = 4d + 4e - 2f
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3j - 4k + 2 + j + 7k - 2 = 4j + 3k
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8p - 4q - 2r - 6p + 3q - 2r = 2p - q - 4r
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Texto escrito a máquina
8a b + 2ab - 5 - 3a b - 6ab + 3 = 5a b - 4ab - 2
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2
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2
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2
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11s + 5t + 13u + 2s + 3t + 11u = 13s + 8t + 24u
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Texto escrito a máquina
8a + 9b - 10c - 3a - 6b + 8c = 5a + 3b - 2c
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ax - ay - az - 5ax - 7ay - 6az = - 4ax - 8ay - 7az
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7a - 4b + 5c - 7a + 4b - 6c = -c
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3x + x - 4x - x + 4x - 6x = -3x
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3
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3
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2
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2
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-7x + 5x - 6 + 8x - 9 + 4x = -3x +13x - 15
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2
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2
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2
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Texto escrito a máquina
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4d + 5e - 2f
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Texto escrito a máquina
4j + 3k
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20s + 12t + 32u
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Texto escrito a máquina
3w + 3x - y - 6z
Stephanie
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6a - 2b + 2c - 2d + 8e
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12x + x + 22x
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3
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2
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2xy - xz + yz
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Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 𝑎 − 𝑎 a) − 𝑎 + 𝑏
( ) 𝑎 − 𝑎 b) − 𝑥 + 𝑦
( ) ( 𝑎 + 𝑎) − ( 𝑎 − 𝑎) c) − 𝑝 + 𝑞 − 𝑟
( ) ( 𝑥 − 𝑦) − (− 𝑥 − 𝑦) d) 𝑎
( ) (− 𝑎 + 𝑏) − ( 𝑎 + 𝑏) e) 𝑎 − 𝑏
( ) ( 𝑎 − 𝑏) − (− 𝑎 + 𝑏) f) 𝑎
( ) (− 𝑥 + 𝑦) − ( 𝑥 − 𝑦) g) − 𝑥 + 𝑥 −
( ) ( 𝑥 + 𝑥 − 𝑥) − ( 𝑥 − 𝑥 ) h) 𝑎
( ) (− 𝑥 + 𝑥 − ) − ( 𝑥 − 𝑥 − ) i) 𝑥 + 𝑦
( ) ( 𝑝 − 𝑞 + 𝑟) − ( 𝑝 − 𝑞 + 𝑟) j) 𝑥 + 𝑥 − 𝑥
Ejercicio: Realiza las siguientes restas de polinomios.
( 𝑎 + 𝑏) − ( 𝑎 − 𝑏)
( 𝑓 + 𝑔) − ( 𝑓 + 𝑔)
(− 𝑒 + 𝑓 ) − (− 𝑒 + 𝑓 )
( − 𝑘) − ( − 𝑘)
( 𝑥 + 𝑦) − ( 𝑥 − 𝑦)
( 𝑎 − 𝑏) − (− 𝑎 + 𝑏)
Resta algebraica
Resta de polinomios
𝑥 + 𝑚 − 𝑥 − 𝑥 − 𝑚 + 𝑥 𝑥 + 𝑚 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑚 − 𝑥
𝑥 + 𝑚 − 𝑥
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d
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f
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h
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i
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a
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e
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b
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j
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g
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c
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Texto escrito a máquina
4a + 3b - 9a + 5b = - 5a + 8b
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2
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2
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2
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7f + 2g - 9f - 5g = - 2f - 3g
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-8e + 3f + 5e - 2f = -3e + f
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2
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2
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2
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5h - 3k - 2h + k = 3h - 2k
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2
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2
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2
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5x + 4y - 2x + 3y = 3x + 7y
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11a - 8b + 6a - 3b = 17a - 11b
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Texto escrito a máquina
Page 142
(− 𝑚 + 𝑛) − (− 𝑚 − 𝑛)
(− 𝑎 + 𝑏) − ( 𝑎 + 𝑏)
( 𝑥 − 𝑦) − (− 𝑥 − 𝑦)
( 𝑎 − 𝑏) − (− 𝑎 + 𝑏)
(𝑥 − 𝑥) − (− 𝑥 + )
( 𝑎 + 𝑏) − (− 𝑎 + 𝑏)
(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) − (−𝑥 − 𝑦 + 𝑧)
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑑) − (−𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑)
( 𝑚𝑛 − 𝑚 + 𝑛) − ( 𝑚𝑛 + 𝑚 − 𝑛)
(𝑥 + 𝑥 + 𝑥) − (− 𝑥 − 𝑥 + 𝑥)
( 𝑎 + 𝑏 − 𝑐) − (𝑎 + 𝑏 − 𝑐)
( 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 − 𝑐𝑑) − ( 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑)
( 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − ( 𝑥 − 𝑦 + 𝑧)
(𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦) − (−𝑦 + 𝑥 − 𝑥𝑦)
Ejercicio: Realiza las siguientes restas de polinomios.
𝑥 + 𝑦
( 𝑥 − 𝑦) 𝑥 + 𝑦
− 𝑎− 𝑏
(− 𝑎 + 𝑏) −
− 𝑚 + 𝑛
(− 𝑚 − 𝑛) −
−𝑠 − 𝑡 ( 𝑠 + 𝑡)
− 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 (− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥)
− − 𝑝+ 𝑞 − 𝑟
(− 𝑝+ 𝑞− 𝑟) −
− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 −
( 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − )
𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏
( 𝑎 + 𝑎𝑏 − 𝑏 ) −
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Texto escrito a máquina
-9m + 7n + 3m + 4n = - 6m + 11n
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Texto escrito a máquina
-4a + 5b - 3a - 2b = - 7a + 3b
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Texto escrito a máquina
7x - 5y + 4x + 8y = 11x + 3y
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Texto escrito a máquina
11a - 9b + 9a - 3b = 20a - 12b
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x - 3x + 5x - 6 = x + 2x - 6
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2
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2
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8a + b + 3a - 4b = 11a - 3b
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Texto escrito a máquina
x + y - z + x + y - z = 2x + 2y - 2z
Stephanie
Texto escrito a máquina
a + b + c - d + a + b - c + d = 2a + 2b
Stephanie
Texto escrito a máquina
10mn - 3m + 2n - 7mn - 4m + 8n = 3mn - 7m + 10n
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Texto escrito a máquina
2
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2
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2
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Texto escrito a máquina
x + 5x + 7x + 3x + 2x - 5x = 4x + 7x + 2x
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3
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3
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3
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2
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2
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2
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Texto escrito a máquina
5a + 4b - 3c - a - 3b + 2c = 4a + b - c
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Texto escrito a máquina
8ab + 7bc - 3cd - 2ab + 5bc - 4cd = 6ab + 12bc - 7cd
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x + 3y + 5z - 2x + 2y - 2z = 2x + 5y + 3z
Stephanie
Texto escrito a máquina
x + y - 3xy + y - 3x + 4xy = - 2x + 2y + xy
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2
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2
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2
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2
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2
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2
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17a - 11b
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Texto escrito a máquina
-6m +11n
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Texto escrito a máquina
-3s - 9t
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+7x - 8x +10x
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3
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2
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-12p + 7q - r
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-5x + 17x - 30x + 24
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3
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2
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-2a + 7ab + b
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2
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2
Page 144
Ecuaciones lineales.
Igualdad algebraica: Una igualdad algebraica es una expresión que tiene dos miembros separados
por el signo igual ( ).
Ecuación: Una ecuación es una igualdad algebraica en cuyos miembros hay letras y números
relacionados por operaciones aritméticas.
Por lo tanto al ser una igualdad, una ecuación tiene también dos miembros.
Nota: La literal de una ecuación se llama incógnita porque su valor es desconocido.
Reglas de despeje:
Despejar la literal o incógnita significa dejar la incógnita sola a un lado del signo igual. Para pasar un
número, o una literal, al otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:
Si está sumando de un lado de la igualdad pasa restando del otro lado de la igualdad y si
está restando de un lado de la igualdad pasa sumando del otro lado de la igualdad.
Si está multiplicando de un lado de la igualdad pasa dividiendo del otro lado de la igualdad y
si está dividiendo de un lado de la igualdad pasa multiplicando del otro lado de la igualdad.
Nota: El procedimiento consiste en colocar todas las incógnitas en el primer miembro de la igualdad
y todos los números en el segundo miembro para después simplificar ambos miembros.
𝑥 + 𝑥 −
° 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
° 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
𝑥 +
° 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
° 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
+
Stephanie
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Page 145
Ecuaciones de la forma +
Ejemplo:
𝑥 +
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑥 + 𝑦 +
𝑏 − − 𝑧
− 𝑥 𝑎 −
𝑐 + − − 𝑦 −
𝑑 − 𝑥 −
− 𝑐 𝑦 −
+ 𝑞 − + 𝑧
− + 𝑝 − − 𝑏
− + 𝑛 − + 𝑐
− − 𝑚 − 𝑟 + −
− − 𝑧 − − 𝑛
𝑚 − − − 𝑐 −
𝑛 + 𝑦 +
− 𝑛 − 𝑧 − −
− − 𝑟 − −𝑥 + −
− − 𝑔 𝑏 − −
− 𝑠 − 𝑘
𝑥 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
𝑥 +
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
+
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 5 - 2 x = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = 6 + 4 b = 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
-x=12-10 (-)-x=2(-) x = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
c = -2 - 3 c = -5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
d = 7 + 3 d = 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
c = 4 - 4 c = 0
Stephanie
Texto escrito a máquina
q = 3 - 7 q = - 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
p = 7 +7 p = 14
Stephanie
Texto escrito a máquina
n = 6 + 12 n = 18
Stephanie
Texto escrito a máquina
-m=-3+7 (-)-m=4(-) m = -4
Stephanie
Texto escrito a máquina
-z = -14+3 (-)-z=-11(-) z=11
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
m = -8 + 3 m = -5
Stephanie
Texto escrito a máquina
n = 14 - 8 n = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-n=-8-8 (-)-n =-16(-) n=16
Stephanie
Texto escrito a máquina
-r=-1+4 (-)-r = 3(-) r = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-g=6+9 (-)-g = 15(-) g = -15
Stephanie
Texto escrito a máquina
-s=3-5 (-)-s=-2(-) s = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
y = 1 - 3 y = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-z=9-8 (-)-z=1(-) z = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
a = 2 + 8 a = 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
-y=-2-10 (-)-y=-12(-) y = 12
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 1 + 4 x = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
y = 3 + 7 y = 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = 0 + 3 z = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-b=7+14 (-)-b=21(-) b = - 21
Stephanie
Texto escrito a máquina
c = 9 + 3 c = 12
Stephanie
Texto escrito a máquina
r = -9 - 3 r = - 12
Stephanie
Texto escrito a máquina
-n=1-7 (-)-n=-6(-) n = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-c=-1-4 (-)-c=-5(-) c = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
y = 11 - 4 y = 7
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = -3 + 9 z = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-x=-14-8 (-)-x=-22(-) x = 22
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = -18 + 9 b = - 9
Stephanie
Texto escrito a máquina
-k=9-7 (-)-k=2(-) k = - 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 148
Ecuaciones de la forma
Ejemplo:
𝑎
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑎 − 𝑥
− 𝑛 − − 𝑧
𝑣 𝑟 −
− 𝑐 − 𝑡
𝑝 − − 𝑏
− 𝑥 𝑎 −
𝑦 − − 𝑏 −
− 𝑓 − 𝑘
− − 𝑔 −
−
𝑥 −
−
𝑦 −
−
𝑐
−
𝑓
𝑥
− −
𝑦 −
− −
𝑏
−
𝑎
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑎
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑎
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑎"
𝑎
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑎"
( )
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑎" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Stephanie
Texto escrito a máquina
a = -14/7 a = - 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
n = -16/-4 n = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
v = 15/5 v = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
44/-2 = c -22 = C
Stephanie
Texto escrito a máquina
P = -48/4 p = -12
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 72/-9 x = -8
Stephanie
Texto escrito a máquina
y = -64/8 y = - 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
f = 36/-4 f = -9
Stephanie
Texto escrito a máquina
h = -80/5 h = -16
Stephanie
Texto escrito a máquina
-36 = -4x -36/-4 = x x = 9
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-75 = 5c -75/5 = c c = -15
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = (-7)(-8) x = 56
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
h = (-4)(-24) h = 96
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 12/3 x = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = 8/-2 z = - 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
r = -33/3 r = -11
Stephanie
Texto escrito a máquina
-15/3 = t t = - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = 78/-6 b = -13
Stephanie
Texto escrito a máquina
a = -7/7 a = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = -60/-3 b = 20
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
k = 42/-6 k = -7
Stephanie
Texto escrito a máquina
g = -63/-9 g = 7
Stephanie
Texto escrito a máquina
-13 = -13y -13/-13 = y y = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
-27 = 9f -27/9 = f f= -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
72 = -3y 72/-3 = y y= -24
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = (8)(-25) b = - 200
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 150
Ecuaciones de la forma +
Ejemplo: 𝑥 −
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑥 + 𝑦 + 𝑞 +
𝑧 − 𝑣 + 𝑥 −
𝑏 + 𝑤 + 𝑢 +
𝑎 + 𝑟 + 𝑦 +
𝑠 − 𝑛 − 𝑝 −
𝑞 − 𝑑 − − 𝑧 − −
− 𝑐 − 𝑒 − 𝑥
− 𝑦 − − 𝑘 − − 𝑟
− 𝑥 + − 𝑏 + + 𝑚
− 𝑤 𝑐 − 𝑢 +
𝑥 −
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
𝑥 −
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
( ) −
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
−
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3x=10-1 3x=9 x=9/3 x = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
2z=5+3 2z=8 z=8/2 z = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
3b=12-6 3b=6 b=6/3 b = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2a=1-15 2a=-14 a=-14/2 a = -7
Stephanie
Texto escrito a máquina
3s=4+5 3s=9 s=9/3 s = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
11q=27+6 11q=33 q=33/11 q = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-5c=12-2 -5c=10 c=10/-5 c = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4y=-3-9 -4y=-12 y=-12/-4 y = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-20-10=6x -30=6x -30/6=x x = -5
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4w=9-1 -4w=8 w=8/-4 w = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2y=11-7 2y=4 y=4/2 y = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3v=11-2 3v=9 v=9/3 v = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5w=4-14 5w=-10 w=-10/5 w = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2r=7-17 2r=-10 r=-10/2 r = - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4n=10+10 4n=20 n=20/4 n = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2d=-11+9 2d=-2 d=-2/2 d = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
-7e=25-11 -7e=14 e=14/-7 e = - 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-6k=-14-4 -6k=-18 k=-18/-6 k = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3-12=3b -15=3b -15/3=b b = - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2c=4+6 2c=10 c=10/2 c = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4q=15-3 4q=12 q=12/4 q = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
3x=18+6 3x=24 x=24/3 x = 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
6u=13-1 6u=12 u=12/6 u = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
7y=4-11 7y=-7 y=-7/7 y = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
6p=3+3 6p=6 p=6/6 p = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
7z=-17+3 7z=-14 z=-14/7 z = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4x=6-10 -4x=-4 x=-4/-4 x = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-7r=16-2 -7r=14 r=14/-7 r = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-11=3m -9=3m -9/3=m m = - 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5u=22-12 5u=10 u=10/5 u = 2
Page 152
Ecuaciones de la forma + +
Ejemplo: 𝑛 − 𝑛 +
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑦 + 𝑦 − 𝑏 − 𝑏 +
+ − − 𝑥 − 𝑥 −
𝑘 + 𝑘 − 𝑡 − 𝑡 +
𝑚 + 𝑚 − − 𝑑 − − 𝑑 +
− 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 +
𝑥 + − 𝑥 − 𝑦 − 𝑦
𝑧 + 𝑧 + 𝑤 − 𝑤 +
𝑥 + − 𝑥 𝑐 + 𝑐 +
𝑣 − + 𝑣 𝑛 + 𝑛 +
𝑤 − 𝑤 + 𝑧 + 𝑧 −
𝑛 − 𝑛 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑛 𝑛 + +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑛 − 𝑛 +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑛
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑛
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑛
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑛"
𝑛 − 𝑛 +
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑛"
( ) − ( ) +
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑛" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
− +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
8y-2y=-3-27 6y=-30 y=-30/6 y = -5
Stephanie
Texto escrito a máquina
h+3h=-6-9 4h=-15 h=-15/4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5k-k=-8-24 4k=-32 k=-32/4 k = - 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
8m-2m=-3-27 6m=-30 m=-30/6 m = - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4x-6x=-7-13 -10x=-20 x=-20/-10 x = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x+x=45-20 5x=25 x=25/5 x = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
2z-z=1-9 z = - 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
10x+2x=15-27 12x=-12 x=-12/12 x = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5v-v=4+8 4v=12 v=12/4 v = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
w-3w= 6+4 -2w=10 w=10/-2 w = - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
7b-5b=4+8 2b=12 b=12/2 b=6
Stephanie
Texto escrito a máquina
8x-6x=-1+5 2x=4 x=4/2 x = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
9t-5t=4+8 4t=12 t=12/4 t = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-7d+5d=1+5 -2d=6 d=6/-2 d = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
3x-x=4+8 2x=12 x=12/2 x = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-8y+2y=27-9 -6y=18 y=18/-6 y = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
3w-4w=11+3 -w=14 (-)w=14(-) w = -14
Stephanie
Texto escrito a máquina
2c-7c= 2-12 -5c=-10 c=-10/-5 c = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3n-2n=7-6 n = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5z-z=-8-4 4z=-12 z=-12/4 z = -3
Page 153
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 154
Ecuaciones de la forma + + + +
Ejemplo:
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
Procedimiento.
Comprobación.
𝑥
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
𝑥
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 − 𝑥 −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥 𝑥 + −
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 + 𝑥 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
+ +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
( ) + ( ) +
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑥 + 𝑥 +
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
Page 155
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 +
𝑦 + 𝑦 − 𝑦 − 𝑦 +
𝑐 + + 𝑐 𝑐 − 𝑐 −
− 𝑓 + 𝑓 + − 𝑓 + − 𝑓
+ − + +
− 𝑣 − + 𝑣 − 𝑣 − + 𝑣
𝑎 + 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 +
− 𝑏 − 𝑏 + − 𝑏 + 𝑏 +
𝑚 − 𝑚 − 𝑚 −𝑚−
𝑓 − 𝑓 + 𝑓 − 𝑓 +
𝑘 − 𝑘 − 𝑘 − 𝑘 +
− 𝑡 + 𝑡 + 𝑡 − 𝑡 +
𝑥 − + 𝑥 + 𝑥 +
𝑔 − − 𝑔 + 𝑔 +
+ 𝑗 − 𝑗 − − 𝑗
+ 𝑤 − 𝑤 + − 𝑤
𝑢 − − 𝑢 + 𝑢 +
𝑏 + − 𝑏 − 𝑏 −
𝑛 − + 𝑛 𝑛 + 𝑛 +
− 𝑥 + − 𝑥 𝑥 − − 𝑥
𝑦 + 𝑦 − 𝑦 + + 𝑦
+ 𝑟 − + 𝑟 𝑟 − − 𝑟
− − − + − −
𝑧 − + 𝑧 − 𝑧 − + 𝑧 −
𝑒 − + 𝑒 − 𝑒 − + 𝑒
𝑝 − − 𝑝 + 𝑝 𝑝 − + 𝑝
Stephanie
Texto escrito a máquina
3x+4=x+6 3x-x=6-4 2x=2 x=2/2 x = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5y-5=2y+7 5y-2y=7+5 3y=12 y=12/3 y = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5c+9=-c-3 5c+c=-3-9 6c=-12 c=-12/6 c = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4f+9=-3f+4 -4f+3f=4-9 -f=-5 (-)f=-5(-) f = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4h+7=5h+10 4h-5h=10-7 -h=3 (-)-h=3(-) h = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3v-5=-5v-7 -3v+5v=-7+5 2v=-2 v=-2/2 v = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
7a-8=3a+4 7a-3a=4+8 4a=12 a=12/4 a = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-5b+5=-3b+9 -5b+3b=9-5 -2b=4 b=4/-2 b = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3m-10=2m-6 3m-2m=-6+10 m = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
f+5=-f+3 f+f=3-5 2f=-2 f=-2/2 f = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4k-3=2k+1 4k-2k=1+3 2k=4 k=4/2 k = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2t+7=-3t+3 -2t+3t=3-7 t = -4
Stephanie
Texto escrito a máquina
9x-8=5x+4 9x-5x=4+8 4x=12 x=12/4 x = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
g-3=7g+15 g-7g=15+3 -6g=18 g=18/-6 g = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
2j+6=-2j-2 2j+2j=-2-6 4j=-8 j=-8/4 j=-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
5w+8=w+4 5w-w=4-8 4w=-4 w=-4/4 w = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
-u-1=4u+9 -u-4u=9+1 -5u=10 u=10/-5 u = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-8b+7=-5b+4 -8b+5=4-7 -3b=-3 b=-3/-3 b = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
11n-4=8n+14 11n-8n=14+4 3n=18 n=18/3 n = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-21x+9=-x-13 -21x+x=-13-9 -20x=-22 x=-22/-20
Stephanie
Texto escrito a máquina
11y-81=72y+102 11y-72y=102+81 -61y=183 y=183/-61 y = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
8r+11=9r-3 8r-9r=-3-11 -r=-14 (-)-r=-14(-) r = 14
Stephanie
Texto escrito a máquina
-15h+2=-4h-9 -15h+4h=-9-2 -11h=-11 h=-11/-11 h = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
9z-20=10z-23 9z-10z=-23+20 -z=-3 (-)-z=-3(-) z = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
9e-18=22e-5 9e-22e=-5+18 -13e=13 e=13/-13 e = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
6p-6=12p-12 6p-12p=-12+6 -6p=-6 p=-6/-6 p = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 158
Ejercicio: Convierte las siguientes expresiones, en factores o en potencias, según sea el caso.
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑥
𝑎 𝑥6
𝑐 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
𝑔 𝑔 𝑔 𝑏 𝑏 𝑏 𝑏
𝑎 𝑎 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥
𝑑 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦
𝑒 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
𝑥 𝑦 𝑚 𝑚 𝑚 𝑞 𝑞
𝑐 𝑑 𝑟 𝑠 𝑠 𝑡 𝑡 𝑡
𝑎 𝑎 𝑥 𝑥
𝑐 𝑐 𝑔 𝑔
𝑚 𝑚
𝑎 𝑎 𝑓 𝑓
Multiplicación algebraica
Ley de los exponentes de la multiplicación.
𝑎𝑛 𝑎𝑚 𝑎𝑛+𝑚
Monomios
𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦
− 𝑥 + 𝑦 +
− 𝑥 𝑦
Monomio por polinomio
𝑥 𝑥 − 𝑥 +
𝑥 − 𝑥 + 𝑥
Polinomios
𝑥 − 𝑥 +
𝑥 + 𝑥 − 𝑥 −
𝑥 + 𝑥 −
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Texto escrito a máquina
aaaa
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ccccc
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g
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3
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a
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dddddddd
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eee
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xx,yyy
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cccc,ddd
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aa,aaa
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Texto escrito a máquina
c,cccc
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mm,mmm
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Texto escrito a máquina
aaa,aa
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xx
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xxxxxx
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b
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Stephanie
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xx,xxx
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gg,gggg
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hhhh,hhh
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ff,ff
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2
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4
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7
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5
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2
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2
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3
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2
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2
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3
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x
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y
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a b
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m q
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rs t
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Ejercicio: Aplica la ley de los exponentes para la multiplicación.
𝑥 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑎 𝑎 𝑦 𝑦
𝑎6 𝑎 𝑏 𝑏 𝑒 𝑒6
𝑏 𝑏 𝑧 𝑧 𝑛 𝑛
𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑥 𝑥
𝑐 𝑐 𝑦 𝑦 𝑛 𝑛
𝑧 𝑧6 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios.
( 𝑥)(− 𝑥) ( 𝑥 )(− 𝑥) (− 𝑎 𝑏)(−𝑎𝑏 )
(− 𝑥 𝑦)(𝑥𝑦 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧)( 𝑥 𝑦 𝑧) (− 𝑚 )(− 𝑚𝑛 𝑝)
( 𝑥 𝑦)(− 𝑥 ) ( 𝑎)( 𝑎 ) (− 𝑟)( 𝑟 )
(− 𝑡 )(− 𝑡 ) ( 𝑣 )(− 𝑣 ) ( 𝑏 )(− 𝑏 )(− 𝑏 )
(
𝑎 𝑏 ) (
𝑎 𝑏 ) (−
𝑠 𝑡 ) (−
𝑠 𝑡 ) (
𝑥𝑦𝑧 ) (−
𝑥 𝑦𝑧 )
Ejercicio: Relaciona las dos columnas.
( ) 𝑎( 𝑎 + ) a) 𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏
( ) − 𝑥( 𝑥 − ) b) − 𝑚 + 𝑚 −
( ) 𝑎𝑏( 𝑎 + ) c) − 𝑞 − 𝑞 + 𝑞
( ) 𝑥(− 𝑦 + 𝑧) d) − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
( ) − 𝑎(− 𝑎 + ) e) 𝑎 + 𝑎
( ) (− 𝑚 + 𝑚− ) f) − 𝑦 − 𝑦 − 𝑦
( ) − 𝑦(𝑦 + 𝑦 + ) g) − 𝑤𝑥 + 𝑤𝑦 + 𝑤𝑧
( ) 𝑞(− 𝑞 − 𝑞 + ) h) 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 − 𝑎𝑏
( ) 𝑎𝑏( 𝑎𝑏 + 𝑎 − 𝑏) i) − 𝑥 + 𝑥
( ) 𝑤(− 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) j) 𝑎 − 𝑎
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6+3
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9
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5+4
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9
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5+(-2)
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3
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7+(-3)
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4
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-4 +6
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a =a
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2
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b =b
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a =a
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c =c
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z =z
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a =a
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Texto escrito a máquina
b =b
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Texto escrito a máquina
z =z
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Texto escrito a máquina
b =b
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Texto escrito a máquina
y =y
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Texto escrito a máquina
a =a
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4+3
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7
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5+2
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7
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3+3
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6
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-3+4
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1
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-5+9
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4
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9+(-7)
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2
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2+4
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6
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1+6
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7
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2+1
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3
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-2+4
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2
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1+3
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4
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-2+3
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y =y
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e =e
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n =n
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x =x
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n =n
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b =b
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-15x
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+
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5x y
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-30x y
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+ 28t
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3/8a b
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2
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4
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3
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4
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7
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5
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5
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-6x
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24x y z
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12a
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-24v
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s t
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3
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8
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9
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3
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6
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5
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7
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4a b
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20m n p
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-30r
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30b
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-8/15x y z
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3
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3
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3
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2
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4
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10
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3
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2
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5
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Texto escrito a máquina
e
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Texto escrito a máquina
i
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Texto escrito a máquina
a
Stephanie
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d
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j
Stephanie
Texto escrito a máquina
b
Stephanie
Texto escrito a máquina
f
Stephanie
Texto escrito a máquina
c
Stephanie
Texto escrito a máquina
h
Stephanie
Texto escrito a máquina
g
Page 161
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de monomio por polinomio.
(𝑥 + ) − ( 𝑎 + 𝑎)
(𝑤 + ) − (𝑧 − )
− (𝑏 − 𝑏) (𝑚 − )
(𝑎 − ) − ( 𝑥 − 𝑥 )
− ( 𝑦 + ) (𝑚 + 𝑛 − 𝑝)
𝑓( 𝑓 + 𝑓) 𝑛( 𝑛 − )
𝑚(𝑚 − 𝑚) − 𝑓 (− − 𝑓)
𝑦( 𝑦 + 𝑦) − (− + )
𝑑(𝑑 − ) 𝑒(𝑒 + )
𝑘(𝑘 + ) − 𝑞( 𝑞 + )
− 𝑡(𝑡 + ) −𝑝( 𝑝 + )
𝑥 (𝑥 + ) 𝑎(𝑎 − )
𝑘(− 𝑘 + 𝑘 + 𝑘) − 𝑏 (− 𝑏 − 𝑏 + )
𝑛( 𝑛 − 𝑛 − ) 𝑔(𝑔 − 𝑔 + )
− 𝑥( 𝑥 − 𝑥 − ) 𝑚 (𝑚 −𝑚 − )
− 𝑧 ( 𝑧 − 𝑧𝑐) 𝑚 𝑛 ( 𝑚 − 𝑚𝑛 + 𝑛 )
𝑎 (
𝑎 +
)
𝑚 (
𝑚 +
𝑚)
𝑥 (
𝑥 −
𝑥 )
−
(
+
−
)
𝑥 𝑦 (
𝑥 −
𝑦 + 𝑥𝑦)
𝑎𝑏 (
𝑎 −
𝑏 −
𝑎𝑏)
𝑎 𝑏 𝑐(− 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑐 − 𝑎𝑐 + )
− 𝑥𝑦 (− 𝑥 + 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑧 )
Stephanie
Texto escrito a máquina
6x + 42
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Texto escrito a máquina
5w + 15
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Texto escrito a máquina
-5b + 15b
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Texto escrito a máquina
8a - 8
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Texto escrito a máquina
-4y - 10
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Texto escrito a máquina
10f + 15f
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Texto escrito a máquina
3m - 6m
Stephanie
Texto escrito a máquina
4y + 6y
Stephanie
Texto escrito a máquina
6d - 18
Stephanie
Texto escrito a máquina
3k + 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4t - 16t
Stephanie
Texto escrito a máquina
x + 6x
Stephanie
Texto escrito a máquina
-12k + 9k + 6k
Stephanie
Texto escrito a máquina
2n - n - n
Stephanie
Texto escrito a máquina
-12x + 4x + 4x
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Texto escrito a máquina
-12z + 8z c
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2
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3
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4
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2
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2
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3
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3
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4
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3
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2
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3
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2
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3
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2
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4
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3
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-12a - 3a
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Texto escrito a máquina
-4z + 8
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Texto escrito a máquina
7m - 28
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Texto escrito a máquina
-12x + 6x
Stephanie
Texto escrito a máquina
2m + 2n - 2p
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Texto escrito a máquina
20n - 12n
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Texto escrito a máquina
12f + 18f
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Texto escrito a máquina
28h - 14h
Stephanie
Texto escrito a máquina
2e + 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
-6q - 16q
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2p -7p
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Texto escrito a máquina
5a - 10a
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Texto escrito a máquina
10b + 15b - 20b
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Texto escrito a máquina
3g - 9g + 6g
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Texto escrito a máquina
3m - 3m - 3m
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Texto escrito a máquina
20m n - 10m n + 15m n
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2
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2
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3
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3
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3
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4
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1/8a + 1/12a
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Texto escrito a máquina
1/6m + 1/12m
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Texto escrito a máquina
6/12x - 3/8x
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Texto escrito a máquina
-3/4h - 9/8h +6/6h
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Texto escrito a máquina
x y -1/9x y + 24/3x y
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Texto escrito a máquina
2/6a b - 6/15ab - 6/12a b
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Texto escrito a máquina
-5a b c + 8a b c - 3.5a b c + 7.5 a b c
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9.24x y - 13.86xy + 5.88x y - 8.4xy z
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2
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3
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2
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4
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4
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3
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4
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2
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3
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2
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4
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2
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3
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4
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4
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2
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5
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2
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3
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3
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3
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2
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3
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2
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2
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3
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3
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4
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2
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2
Page 163
Ejercicio: Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios.
(𝑎 + )(𝑎 + ) (𝑥 + )(𝑥 + )
(𝑑 + )(𝑑 + ) (𝑞 + )(𝑞 + )
(𝑐 + )(𝑐 − ) (𝑚 + )(𝑚 − )
(𝑓 + )(𝑓 − ) (𝑣 + )(𝑣 − )
(𝑧 − )(𝑧 + ) (𝑧 − )(𝑧 + )
(𝑟 + )(𝑟 − ) (𝑢 + )(𝑢 − )
( 𝑝 + )(𝑝 + ) ( 𝑤 + )(𝑤 − )
( 𝑦 + )( 𝑦 + ) ( + )( + )
( 𝑘 + )( 𝑘 − ) ( 𝑏 + )( 𝑏 − )
( 𝑠 − )( 𝑠 − ) ( 𝑛 − )( 𝑛 − )
(𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 )
(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 )
(𝑚 + 𝑛)(𝑚 −𝑚𝑛 + 𝑛 )
( 𝑥 − 𝑦)( 𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦 )
(𝑏 − )(𝑏 − 𝑏 + )
( 𝑥 + )(𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − )
( 𝑎 − 𝑏)( 𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏 )
( 𝑦 + )( 𝑦 − 𝑦 + 𝑦 − )
Stephanie
Texto escrito a máquina
a + a + 3a + 3= a + 4a + 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
d + 2d + 6d + 12 = d + 8d + 12
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Texto escrito a máquina
c - 2c + 5c - 10 = c + 3c - 10
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Texto escrito a máquina
f - 6f + 3f - 18 = f - 3f -18
Stephanie
Texto escrito a máquina
z + 3z - z - 3 = z + 2z - 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
r - r + r - 1 = r - 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2p + 6p + p + 3 = 2p + 7p + 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6y + 4y + 3y + 2 = 6y +7y + 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
8k - 36k + 2k - 9 = 8k - 34k - 9
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
36s -27s - 8s + 6 = 36s - 35s +6
Stephanie
Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
2
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
x² + 4x +2x + 8 = x² +6x + 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
q² + 3q + 4q + 12 = q² + 7q + 12
Stephanie
Texto escrito a máquina
m² - 3m + 7m - 21 = m² + 4m -21
Stephanie
Texto escrito a máquina
v² - 8v + v - 8 = v² - 7v - 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
z² + 6z - 4z - 24 = z² + 2z - 24
Stephanie
Texto escrito a máquina
u² - 3u + 3u - 9 = u² - 9
Stephanie
Texto escrito a máquina
3w² - 18w + 2w - 12 = 3w² - 16w - 12
Stephanie
Texto escrito a máquina
24h² + 20h + 6h + 5 = 24h² + 26h + 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
15b² - 25b + 6b - 10 = 15b² -19b - 10
Stephanie
Texto escrito a máquina
6n² - 4n - 12n + 8 = 6n² - 16n + 8
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Texto escrito a máquina
x³ - 2x²y + xy² - x²y + 2 xy² - y³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³
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Texto escrito a máquina
x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Stephanie
Texto escrito a máquina
m³ - m²n + mn² + m²n - mn² + n³ = m³ + n³
Stephanie
Texto escrito a máquina
15x³ - 12x²y - 21xy² - 10x²y + 8xy² + 14y³ = 15x³ - 22x²y - 13xy² + 14y³
Stephanie
Texto escrito a máquina
b - 3b³ + b² - b² + 3b - 1 = b - 3b³ + 3b -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2x - 4x³ + 6x² - 2x + 3x³ - 6x² + 9x - 3 = 2x - x³ + 7x - 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
12a³ - 20a²b + 8ab² - 15a²b + 25ab² - 10b³ = 12a³ - 35a²b + 33ab² -10b³
Stephanie
Texto escrito a máquina
4y - 6y³ + 2y² - 8y + 10y³ - 15y² + 5y - 20 = 4y + 4y³ - 13y² - 3y - 20
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Page 166
Ejercicio: Con el procedimiento de descomposición en factores, completa la resolución de los
siguientes cocientes.
× × ×
×
× ×
× × × ×
Ejercicio: Desarrolla las siguientes divisiones; expresa el resultado en potencia.
𝑎
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
𝑎 𝑎 𝑎
𝑏
𝑏
𝑐6
𝑐
𝑑
𝑑
𝑔
𝑔
𝑒
𝑒
𝑓
𝑓6
𝑖
𝑖
División algebraica
Ley de los exponentes de la división.
𝑎𝑛/𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑚
Monomios
𝑥 / − 𝑥
− 𝑥
− 𝑥
Monomio por polinomio
𝑥 − 𝑥 + 𝑥 / 𝑥
𝑥 − 𝑥 + 𝑥
𝑥 − 𝑥 + 𝑥
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
5x5x5x5/5x5x5 = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x4x4/4= 4²
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x4/4x4 = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2/2x2x2x2 = 1/2³
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x4x4x4/4 = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
4/4x4 = 1/4
Stephanie
Texto escrito a máquina
c c c c c c/c c = c
Stephanie
Texto escrito a máquina
e e e/e e e e e e e = 1/e
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
b b b b b/b b b b = b
Stephanie
Texto escrito a máquina
b b b b b b b b/b b b b b = b³
Stephanie
Texto escrito a máquina
f f f f/f f f f f f = 1/f²
Stephanie
Texto escrito a máquina
h h h h h/h h h h h = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
g g/g g g = 1/g
Stephanie
Texto escrito a máquina
i/i i = 1/i
Page 167
Ejercicio: Aplica la ley de exponentes para la división.
𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
𝑥6
𝑥
𝑦
𝑦
𝑛
𝑛
𝑦
𝑦
𝑧
𝑧
𝑏6
𝑏
𝑑
𝑑
𝑓 𝑓
𝑓
𝑔 𝑔
𝑔
𝑥 𝑥6
𝑥
Al desarrollar las expresiones como 𝑚
𝑚 el resultado es:
𝑚
𝑚
𝑚 𝑚
𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚
𝑚
𝑚
𝑚 𝑚 𝑚
¿Cuál de las dos respuestas es la correcta?
________________________________________________________________________________
Potencia negativa.
Los exponentes negativos en el numerador se convierten en positivos en el numerador.
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
Ejercicio: Convierte las siguientes potencias positivas a negativas.
𝑎 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
𝑔
6
𝑥
Ejercicio: Convierte las siguientes potencias negativas a positivas.
𝑦 𝑦 𝑎 𝑐
𝑚 𝑚 𝑥
Stephanie
Texto escrito a máquina
n = n
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = b
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
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Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
g /g³= g = g³
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = x
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
y = y²
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Texto escrito a máquina
d = 1/d³
Stephanie
Texto escrito a máquina
h /h = h = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-2
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Texto escrito a máquina
4
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Texto escrito a máquina
5-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
1-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-5
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Texto escrito a máquina
y = y
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = 1/z²
Stephanie
Texto escrito a máquina
f /f = f = f
Stephanie
Texto escrito a máquina
x /x = x =x
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
1-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
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Texto escrito a máquina
5-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
8
Stephanie
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3
Stephanie
Texto escrito a máquina
8-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
3d
Stephanie
Texto escrito a máquina
4g
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4
Stephanie
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-8
Stephanie
Texto escrito a máquina
b
Stephanie
Texto escrito a máquina
e
Stephanie
Texto escrito a máquina
2h
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-6
Stephanie
Texto escrito a máquina
2c
Stephanie
Texto escrito a máquina
2f
Stephanie
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x
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
-5
Stephanie
Texto escrito a máquina
1/y³
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Texto escrito a máquina
1/m²
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3/y²
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2/m²
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Texto escrito a máquina
1/a
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Texto escrito a máquina
5/x³
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1/c³
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4/h²
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Texto escrito a máquina
4
Page 168
Potencia cero.
Cualquier expresión elevada a la potencia 0 es 1.
𝑎
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio.
𝑤 𝑦 𝑥 𝑥 𝑏 𝑏
𝑎 𝑎 𝑧
𝑧
𝑥
𝑥
𝑣
𝑣
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de monomios.
𝑥
𝑥 𝑥 𝑥
− 𝑚
− 𝑚 𝑚 𝑚
−
𝑘
− 𝑘
𝑥6
𝑥
− 𝑦
− 𝑦
− 𝑎
− 𝑎
𝑏
𝑏
𝑧
𝑧
− 𝑠
𝑠
− 𝑤
𝑤
𝑎 𝑏6
− 𝑎 𝑏
𝑚 𝑛
𝑚𝑛
𝑔
𝑔
𝑥 𝑦
− 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
− 𝑥 𝑦
−𝑎 𝑏
−𝑎𝑏
𝑥 𝑦 𝑧
− 𝑥𝑦 𝑧
− 𝑎 𝑏
− 𝑎 𝑏
𝑎6𝑏
𝑎 𝑏
𝑥 𝑦
− 𝑥 𝑦
− 𝑥 𝑦6𝑧
− 𝑥 𝑦 𝑧
𝑝 𝑞6
− 𝑝 𝑞
𝑎 𝑏
− 𝑎 𝑏
− 𝑎 𝑏
− 𝑎6𝑏
𝑎 𝑏
− 𝑎𝑏
𝑥 𝑦 𝑧
− 𝑥𝑦 𝑧
− 𝑎 𝑏6
− 𝑏
𝑥 𝑦 𝑧
𝑥 𝑦
− 𝑎 𝑏 𝑐6
𝑎 𝑏 𝑐
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
1
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = z = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = x = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = x = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5+(-5)
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-4-(-4)
Stephanie
Texto escrito a máquina
2+(-2)
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3+3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-5
Stephanie
Texto escrito a máquina
a = a =1
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = b = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = b = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
0
Stephanie
Texto escrito a máquina
-7k = -7k³
Stephanie
Texto escrito a máquina
2a = 2a²
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3s = -3s²
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4m n = 4m³n
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3x y = -3x y²
Stephanie
Texto escrito a máquina
4a b = 4ab
Stephanie
Texto escrito a máquina
2x y z = 2x y
Stephanie
Texto escrito a máquina
5a b = 5a b
Stephanie
Texto escrito a máquina
2a b = 2a b³
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
7-5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
8-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
9-7
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
7-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
12-6
Stephanie
Texto escrito a máquina
9-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
6
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
1-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x = 4x²
Stephanie
Texto escrito a máquina
9b = 9b²
Stephanie
Texto escrito a máquina
-5w = -5w
Stephanie
Texto escrito a máquina
8g h = 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
a b = a
Stephanie
Texto escrito a máquina
3a b = 3a b
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4p q = 4p²q
Stephanie
Texto escrito a máquina
-7a b = -7a²b²
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x y z = 4xy³z
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
1-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
10-5
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2h = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
6y = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3z = 3z²
Stephanie
Texto escrito a máquina
7a b = 7a²b
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2x y = -2x³y²
Stephanie
Texto escrito a máquina
-9x y z =-9x
Stephanie
Texto escrito a máquina
-6x y = -6x
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3a b = -3a b
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2x y z = -2x²z
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2a b c = -2a³bc
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
7-7
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
9-5
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
10-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
8-7
Stephanie
Texto escrito a máquina
8
Stephanie
Texto escrito a máquina
3-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
5-2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4-3
Stephanie
Texto escrito a máquina
6-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Stephanie
Texto escrito a máquina
5
Page 170
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomio entre monomio.
𝑥 +
− 𝑦 +
𝑧 +
𝑛 + 𝑛
𝑛
𝑎 + 𝑎
𝑎
𝑥 − 𝑥
𝑥
− 𝑚 − 𝑚
− 𝑚
− 𝑓 + 𝑓
𝑓
𝑦6 − 𝑦
− 𝑦
𝑤 + 𝑤
− 𝑤
𝑧 − 𝑧
− 𝑧
− 𝑘 − 𝑘
− 𝑘
− +
−
𝑎 + 𝑎
𝑎
𝑏 − 𝑏
𝑏
𝑡 − 𝑡
𝑡
𝑠 − 𝑠
𝑠
𝑔 − 𝑔
𝑔
−
𝑑 + 𝑑 − 𝑑
𝑑
𝑒 − 𝑒 + 𝑒
𝑒
𝑟 − 𝑟 + 𝑟
𝑟
𝑤 + 𝑤 − 𝑤
− 𝑤
𝑥 + 𝑥 − 𝑥
𝑥
𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦
− 𝑥𝑦
𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦
− 𝑥𝑦
𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑚 𝑛 − 𝑚 𝑛 + 𝑚 𝑛
𝑚 𝑛
Stephanie
Texto escrito a máquina
1x + 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
1z + 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2a² + 3a
Stephanie
Texto escrito a máquina
6m² + 8
Stephanie
Texto escrito a máquina
7y³ + 10y
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2 + 6z²
Stephanie
Texto escrito a máquina
2h² - 3h
Stephanie
Texto escrito a máquina
2b
Stephanie
Texto escrito a máquina
3s - 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
h² - 2h
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2y + 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2n + 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
3x² - 4x³
Stephanie
Texto escrito a máquina
-6f + 9f²
Stephanie
Texto escrito a máquina
-5w² - 7w
Stephanie
Texto escrito a máquina
2k³ + 3k²
Stephanie
Texto escrito a máquina
a + 3a²
Stephanie
Texto escrito a máquina
t -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
g - 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
2d² + 3d - 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
e² - 2e + 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3w³ - w + 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-3y + 2x
Stephanie
Texto escrito a máquina
2xy + 5y²
Stephanie
Texto escrito a máquina
2x - x²
Stephanie
Texto escrito a máquina
r² - 5r + 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
2x² + 3x - 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2ab³ - 3a²b
Stephanie
Texto escrito a máquina
4
Stephanie
Texto escrito a máquina
-2x + 3y²
Stephanie
Texto escrito a máquina
y² - xy + x²
Stephanie
Texto escrito a máquina
2m²n² - 3mn + 4
Page 172
Polinomios.
Procedimiento:
1.- El dividendo y el divisor se acomodan de mayor a menor exponente.
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3.- El cociente obtenido se multiplica por todo el divisor.
4.- El producto resultante se resta del dividendo (no olvides cambiar los signos de la expresión que
se resta).
5.- Se baja el siguiente término de la expresión algebraica que forma el nuevo dividendo.
6.- Se repite los pasos 2, 3, 4 y 5 hasta que el residuo sea cero.
Ejemplo:
( 𝑥 + 𝑥 + ) ÷ (𝑥 + )
1.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
2.- Se multiplica 𝑥(𝑥 + ), el resultado se resta del dividendo.
3.- Se baja el siguiente termino (+ ):
4.- Se divide el primer término del residuo entre el primer término del divisor.
𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
÷
− 𝑥 − 𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
𝑥
𝑥
×
− 𝑥 − 𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
𝑥
𝑥
− 𝑥 − 𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
𝑥 +
𝑥 +
÷
Stephanie
Texto escrito a máquina
Page 173
5.- Se multiplica (𝑥 + ), el resultado se resta del dividendo.
Ejercicio: Realiza las siguientes divisiones de polinomios.
𝑎 − 𝑎 +
𝑎 −
𝑚 + 𝑚+
𝑚 +
𝑏 + 𝑏 +
𝑏 +
𝑝 + 𝑝 +
𝑝 +
+ −
−
𝑛 − 𝑛 −
𝑛 −
𝑗 + 𝑗 −
𝑗 −
𝑘 − 𝑘 −
𝑘 −
𝑔 − 𝑔 +
𝑔 −
𝑒 − 𝑒 +
𝑒 −
𝑤 − 𝑤 +
𝑤 −
𝑓 + 𝑓 +
𝑓 +
+ −
−
𝑥 + 𝑥 −
𝑥 +
𝑝 + 𝑝 +
𝑝 +
𝑦 + 𝑦 +
𝑦 +
𝑣 + 𝑣 +
𝑣 +
𝑞 + 𝑞 +
𝑞 +
− 𝑥 − 𝑥
𝑥 + 𝑥 + 𝑥 +
𝑥 +
𝑥 +
− 𝑥 −
×
Stephanie
Texto escrito a máquina
a-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
b+3
Stephanie
Texto escrito a máquina
h+3
Stephanie
Texto escrito a máquina
j+5
Stephanie
Texto escrito a máquina
m+3
Stephanie
Texto escrito a máquina
p+3
Stephanie
Texto escrito a máquina
n+2
Stephanie
Texto escrito a máquina
k+2
Stephanie
Texto escrito a máquina
-8 - 42/g-7
Stephanie
Texto escrito a máquina
e-4
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
w-6
Stephanie
Texto escrito a máquina
2f+2
Stephanie
Texto escrito a máquina
Stephanie
Texto escrito a máquina
3h-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
4x-1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2p+2
Stephanie
Texto escrito a máquina
4y+6
Stephanie
Texto escrito a máquina
3v+1
Stephanie
Texto escrito a máquina
2q+5
Page 176
Ecuaciones lineales 2ª parte.
Ecuaciones de la forma ( + )
Ejemplo: (𝑥 + ) −
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
(𝑎 + ) (𝑚 + )
(𝑧 − ) (𝑥 − )
− (𝑘 − ) − − (𝑑 + )
(𝑏 + ) − ( − )
( − 𝑡) − (𝑥 + )
(𝑎 + ) ( − 𝑐)
(𝑛 + ) (𝑚 + )
(𝑓 + ) (𝑘 + )
− ( 𝑡 − ) − (𝑢 − ) −
− ( − 𝑜) − − ( − 𝑤) −
(𝑥 + ) −
𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑥 + −
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 − −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥 −
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥 −
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
(𝑥 + ) −
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
(− + ) −
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
(− )
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
− −
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Stephanie
Texto escrito a máquina
a = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
z = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
k = 7
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = -2
Stephanie
Texto escrito a máquina
t = 8
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Texto escrito a máquina
a = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
n = 2.
Stephanie
Texto escrito a máquina
f = 0
Stephanie
Texto escrito a máquina
t = 3
Stephanie
Texto escrito a máquina
o = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
m = 2
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 5
Stephanie
Texto escrito a máquina
b = -3
Stephanie
Texto escrito a máquina
h = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
x = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
c = 1
Stephanie
Texto escrito a máquina
m = -1
Stephanie
Texto escrito a máquina
k = 4
Stephanie
Texto escrito a máquina
v = 6
Stephanie
Texto escrito a máquina
w = 1
Page 178
Ecuaciones de la forma ( + ) ( + )
Ejemplo: (𝑥 + ) (𝑥 + )
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
(𝑥 − ) (𝑥 + ) ( 𝑦 − ) ( 𝑦 + )
( + ) ( + ) ( 𝑎 + ) (𝑎 + )
(𝑏 + ) (𝑏 + ) (𝑦 + ) ( 𝑦 + )
(𝑔 + ) (𝑔 + ) (𝑎 + ) (𝑎 + )
( − 𝑥) + (𝑥 − ) ( 𝑤 − ) + ( − 𝑤)
(𝑥 + ) (𝑥 + )
𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠
𝑥 + 𝑥 +
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥 + 𝑥 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 𝑥 + −
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 − 𝑥 −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
(𝑥 + ) (𝑥 + )
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
( + ) ( + )
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
( ) ( )
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
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x = 5
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y = 2
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h = -3
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a = -2
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b = 9
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y = -6
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g = 1
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a = 1
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Texto escrito a máquina
x = -10
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Texto escrito a máquina
w = 4
Page 180
Ecuaciones de la forma +
Ejemplo:
𝑥 +
Procedimiento.
Comprobación.
Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones.
𝑓 −
−
𝑎 −
𝑦 −
−
𝑥 +
𝑚 +
+
𝑛 −
𝑘 +
𝑝 −
𝑟 +
𝑥 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 + ( )
𝐷𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
𝑥 +
𝐸𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑙𝑑𝑎𝑑
𝑥 −
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝑥
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥"
𝑥 +
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 "𝑥"
+
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 "𝑥" 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
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f = -8
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a = 4
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y = -5
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x = 15
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m = 3
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h = 4
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n = 5
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k = 6
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p = 1
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r = 5
Page 182
Problemas de aplicación de ecuaciones lineales.
Cuatro veces la edad de Gaby menos 15 es igual a 37, ¿Cuál es la edad de Gaby?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
Ocho veces un número aumentado en 30 es igual a seis veces el mismo número aumentado en 50,
¿Cuál es ese número?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
Juan piensa en un número, si al doble del número le aumenta 18, encuentra que es igual a 27,
¿Cuál es ese número?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
En una elección el candidato ganador triplico los votos del otro candidato, votaron 116 personas,
¿Cuántos votos recibió el ganador? ¿Cuántos votos recibió el perdedor?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
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4x - 15 = 37 4x = 37 + 15 4x = 52 x = 52/4 x = 13
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4(13) - 15 = 37 52 - 15 = 37 37 = 37
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8x + 30 = 6x + 50 8x - 6x = 50 - 30 2x = 20 x = 20/2 x = 10
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2x + 18 = 27 2x = 27 - 18 2x = 9 x = 9/2 x = 4.5
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2(4.5) + 18 = 27 9 + 18 = 27 27 = 27
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El ganador recibió 87 puntos y el perdedor 29
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8(10) + 30 = 6(10) + 50 80 + 30 = 60 + 50 110 = 110
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Gaby tiene 13 años
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El número es 10.
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El número es 4.5
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3x + x = 116 4x = 116 x = 116/4 x = 29
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29(3)=87
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3(29) + 29 = 116 87 + 29 = 116 116 = 116
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Page 183
El perímetro del siguiente cuadrado es igual a 76 m, ¿Cuantos mide la longitud de cada lado?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
Karla tiene 7 cajas de chocolates y 5 sueltos, si la caja contiene el mismo número de chocolates y en
total son 68, ¿Cuántos chocolates hay en cada caja?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
María pesa el doble de su esposo Camilo, quien a su vez pesa el doble de su hijo tomas y entre los
tres pesan 154 kg, ¿Cuánto pesa, respectivamente cada miembro de la familia?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
Ninel compro tres manzanas, si pago con un billete de $20.00 y le devolvieron $6.20, ¿Cuánto coto
cada manzana?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
𝑥 +
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4(3x+1) = 76 12x + 4 = 76 12x = 76 - 4 12x = 72 x = 72/12 x = 6
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3(6) + 1 = 19
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Cada lado mide 19m.
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4 {3(6) + 1} = 76 4 {18 + 1} = 76 4 {19} = 76 76 = 76
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7x + 5 = 68 7x = 68 -5 7x = 63 x = 63/7 x = 9
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Cada caja tiene 9 chocolates
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7(9) + 5 = 68 63 + 5 = 68 68 = 68
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2(2x) + 2x + x = 154 4x + 2x + x = 154 7x = 154 x = 154/7 x = 22
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22x2=44 44x2=88
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María pesa 88 kg Camilo pesa 44 kg y Tomas pesa 22 kg
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2{2(22)} + 2(22) + 22 = 154 2{44} + 44 + 22 = 154 88 + 44 + 22 = 154 154 = 154
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3x = 20 - 6.20 3x = 13.8 x = 13.8/3 x = 4.6
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Cada manzana costo $ 4.6
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3(4.6) = 20 - 6.20 13.8 = 13.8
Page 184
La suma de tres números enteros consecutivos es 84, ¿Cuáles son esos números?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
El perímetro del siguiente rectángulo es igual a 36 cm, ¿Cuánto mide la base? ¿Cuánto mide la
altura?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
La base de un rectángulo es el triple de la altura y su perímetro es igual a 72 cm, ¿Cuánto mide cada
lado?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
La suma de dos números pares consecutivos es 138, ¿Cuáles son esos números?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
𝑥
𝑥 +
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x + (x + 1) + (x + 2) = 84 3x + 3 = 84 3x = 84 - 3 3x = 81 x = 81/3 x = 27
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27, 28, 29
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27 + (27 + 1) + ( 27 + 2) = 84 27 + 28 + 29 = 84 84 = 84
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2 ( 2x + 3) + 2x = 36 4x + 6 + 2x = 36 6x + 6 = 36 6x = 36 - 6 6x = 30 x = 60/6 x = 5
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2(5) + 3= 13
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2{2(5) + 3} + 2(5) = 36 2{10 + 3} + 10 = 36 2{13} + 10 = 36 26 + 10 = 36 36 = 36
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2(3x) + 2x = 72 6x + 2x = 72 8x = 72 x = 72/8 x = 9
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3x9=27
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La base mide 27 cm y la altura 9 cm
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2{3(9)} + 2(9) = 72 2{27} + 18 = 72 54 + 18 = 72 72 = 72
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(x + 2) + (x + 4) = 138 2x + 6 = 138 2x = 138 - 6 2x = 132 x = 132/2 x = 66
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66 + 2 = 68 66 + 4 = 70
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(66+ 2) + (66 + 4) = 138 68 + 70 = 138 138 = 138
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Page 185
La suma de dos números es igual a 279, si el segundo es el doble del primer número, ¿Cuáles son
esos números?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
En un triángulo el lado “a” mide 9 cm más que el lado “c” y el lado “b” es 3 cm menor que el lado “c” ,
¿Cuánto mide cada lado si el perímetro es igual a 81 cm?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
Un alpinista desea cortar una cuerda de 123 metros de longitud en tres tramos, si cada tramo debe
tener dos metros más que el anterior, ¿Cómo debe hacer los cortes?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
La suma de tres números enteros consecutivos es 84, ¿Cuáles son esos números?
Ecuación: Resultado: Comprobación:
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x + 2x = 279 3x = 279 x = 279/3 x = 93
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2(93) = 186
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El primero es 93 y el segundo es 186
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93 + 2(93) = 279 93 + 186 = 279 279 = 279
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(x + 9) + (x - 3) + x = 81 3x + 6 = 81 3x = 81 - 6 3x = 75 x = 75/3 x = 25
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25 + 9 = 34 25 - 3 = 22
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a = 34 b = 22 c = 25
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(25 + 9) + ( 25 - 3) + 25 = 81 34 + 22 + 25 = 81 81 = 81
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x + (x + 2) + (x + 4) = 123 3x + 6 = 123 3x = 123 - 6 3x = 117 x = 117/3 x = 39
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39 + 2 = 41 39 + 4 = 43
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serian tramos de 39, 41 y 43 m.
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39 + (39 + 2) + (39 + 4 ) = 123 39 + 41 + 43 = 123 123 = 123
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x + (x + 1) + (x + 2) = 84 3x + 3 = 84 3x = 84 - 3 3x = 81 x = 81/3 x = 27
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27 + 1 = 28 27 + 2 = 29
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Son: 27, 28 y 29
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27 + (27 + 1) + ( 27 + 2) = 84 27 + 28 + 29 = 84 84 = 84
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