Matema10k C-niveau

Matema10kMatematik for gymnasiet

Bind 1C-niveau

af Thomas Jensenog Morten Overgård Nielsen

Matema10kMatematik for gymnasiet

Bind 1C-niveau

af Thomas Jensenog Morten Overgård Nielsen

40

Er matematikken nyttig?

Det fortælles at én af oldtidens store grækere Euklid (ca. 300 f. Kr.) engang blev spurgt af en student hvad læsningen af geometrien ville gavne. Euklid havde forfattet et epokegørende matema-tisk værk i 13 bøger: »Elementer« og studenten havde arbejdet med stoffet. Euklid sagde da til en slave: »Giv denne mand tre skilling, eftersom han nødvendigvis må tjene på det, han lærer«.

Dermed var spørgsmålet rejst: Er matematik-ken nyttig?

Euklids betydning har gennem historien været så stor at den type geometri han behandlede, fik navnet »euklidisk geometri«, og vi arbejder videre med den i kapitlet »Geometri«. Om den euklidiske geometri siger den engelske matematiker G. H. Hardy (1877-1947):

»Euklidisk geometri ... er nyttig i den udstræk-ning den er kedelig«. Det giver jo ikke just én lyst til at give sig i kast med geometrien. Hardys syns-punkt var at mens »skolematematikken« kunne være nyttig, var »højere« matematik unyttig. Nytte er ikke målet for de store matematikere:

»..der er ingen virkelig matematiker, hvis liv kan retfærdiggøres på dette grundlag. Hvis dette var prøvestenen, spildte Abel, Riemann og Poin-caré deres liv; deres bidrag til den menneskelige bekvemmelighed var forsvindende og verden ville have været et lige så lykkeligt sted uden dem.«

Uden tvivl vil mange opfatte Hardys holdning som arrogant:

»Der er da to matematikker. Der er den virkeli-ge (eng. »real«) matematikers virkelige matematik, og der er hvad jeg vil kalde den »trivielle« matema-tik – i mangel af et bedre udtryk.«

Vi beskæftiger os utvivlsomt i matematik på C-niveau med hvad Hardy kalder den »trivielle« matematik. Det pudsige er at emner som Hardy regnede for at høre til det klart unyttige med tiden er blevet vigtige i den teknologiske udvikling. »Tal-teorien« hørte ifølge Hardy til den højere matema-tik, men den spiller i dag en stor rolle i bl.a. sik-kerhed på internettet i forbindelse med kryptering. Hardy anså det ikke for en dyd at være unyttig, men »videnskab arbejder både for det onde og det gode«. »Nytten« var ifølge Hardy blot ikke kriteriet på om noget er »god matematik«.

Matematikken har gennem tiden været i tæt samspil med andre videnskaber og på den måde betydet meget for samfundsudviklingen. Men ved siden af denne side af matematikken der retter sig mod »det praktiske liv«, har der været en side af matematikken som Hardy kaldte »den højere matematik«. Hardy opfatter den på linje med kunst og kræver at en matematisk teori er »smuk«. Længere tilbage i tiden nåede ægypterne langt i matematikkens anvendelser mens en del grækere – herunder Platon – anså matematik som noget ophøjet der var passende for en fri mands dybeste tanker. Dér var den praktiske anvendelse noget næsten vulgært. Det kan selvfølgelig betyde at den tekniske udvikling hæmmes, men på den anden side lægger man måske da mere vægt på beviser og klarhed frem for om det virker.

Procent og rente

Mål med kapitlet

Målene med dette kapitel erl at afklare hvordan man

grundlæggende regner med procent

l at tydeliggøre hvordan man lægger procent til og trækker procent fra

l at udnytte denne kunnen til at regne med renters rente

l at lægge op til videre arbejde i matematik hvori procent og rente indgår.%

40

Er matematikken nyttig?

Det fortælles at én af oldtidens store grækere Euklid (ca. 300 f. Kr.) engang blev spurgt af en student hvad læsningen af geometrien ville gavne. Euklid havde forfattet et epokegørende matema-tisk værk i 13 bøger: »Elementer« og studenten havde arbejdet med stoffet. Euklid sagde da til en slave: »Giv denne mand tre skilling, eftersom han nødvendigvis må tjene på det, han lærer«.

Dermed var spørgsmålet rejst: Er matematik-ken nyttig?

Euklids betydning har gennem historien været så stor at den type geometri han behandlede, fik navnet »euklidisk geometri«, og vi arbejder videre med den i kapitlet »Geometri«. Om den euklidiske geometri siger den engelske matematiker G. H. Hardy (1877-1947):

»Euklidisk geometri ... er nyttig i den udstræk-ning den er kedelig«. Det giver jo ikke just én lyst til at give sig i kast med geometrien. Hardys syns-punkt var at mens »skolematematikken« kunne være nyttig, var »højere« matematik unyttig. Nytte er ikke målet for de store matematikere:

»..der er ingen virkelig matematiker, hvis liv kan retfærdiggøres på dette grundlag. Hvis dette var prøvestenen, spildte Abel, Riemann og Poin-caré deres liv; deres bidrag til den menneskelige bekvemmelighed var forsvindende og verden ville have været et lige så lykkeligt sted uden dem.«

Uden tvivl vil mange opfatte Hardys holdning som arrogant:

»Der er da to matematikker. Der er den virkeli-ge (eng. »real«) matematikers virkelige matematik, og der er hvad jeg vil kalde den »trivielle« matema-tik – i mangel af et bedre udtryk.«

Vi beskæftiger os utvivlsomt i matematik på C-niveau med hvad Hardy kalder den »trivielle« matematik. Det pudsige er at emner som Hardy regnede for at høre til det klart unyttige med tiden er blevet vigtige i den teknologiske udvikling. »Tal-teorien« hørte ifølge Hardy til den højere matema-tik, men den spiller i dag en stor rolle i bl.a. sik-kerhed på internettet i forbindelse med kryptering. Hardy anså det ikke for en dyd at være unyttig, men »videnskab arbejder både for det onde og det gode«. »Nytten« var ifølge Hardy blot ikke kriteriet på om noget er »god matematik«.

Matematikken har gennem tiden været i tæt samspil med andre videnskaber og på den måde betydet meget for samfundsudviklingen. Men ved siden af denne side af matematikken der retter sig mod »det praktiske liv«, har der været en side af matematikken som Hardy kaldte »den højere matematik«. Hardy opfatter den på linje med kunst og kræver at en matematisk teori er »smuk«. Længere tilbage i tiden nåede ægypterne langt i matematikkens anvendelser mens en del grækere – herunder Platon – anså matematik som noget ophøjet der var passende for en fri mands dybeste tanker. Dér var den praktiske anvendelse noget næsten vulgært. Det kan selvfølgelig betyde at den tekniske udvikling hæmmes, men på den anden side lægger man måske da mere vægt på beviser og klarhed frem for om det virker.

Procent og rente

Mål med kapitlet

Målene med dette kapitel erl at afklare hvordan man

grundlæggende regner med procent

l at tydeliggøre hvordan man lægger procent til og trækker procent fra

l at udnytte denne kunnen til at regne med renters rente

l at lægge op til videre arbejde i matematik hvori procent og rente indgår.%

Procent og rente 49 48

Kort om rødder og potenserVi kan udregne:

4 162= og 16 4=

5 252= og 25 5=

Egentlig burde vi skrive kvadratroden som »den anden rod af«, f.eks. 162 , men det er der ingen tradition for. Vi kan se at når vi »sætter noget i anden potens«, så er det så at sige det modsatte af at uddrage kvadratroden (når vi ikke inddrager negative tal).

Dette princip kan vi udvide så vi f.eks. kan udregne: 4 4 4 4 643 $ $= = og 64 43 =hvor man læser 643 som »den tredje rod af 64«. 5 5 5 5 5 6254 $ $ $= = og 625 54 =Her læser man 6254 som »den fjerde rod af 625«.Du kan evt. læse mere om potensregning i rammerne s. 160 og 162.

Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt

Man kan få behov for at skulle sammenligne renter. Det kan være at man for et lån har en årlig rente på 13,2% som man ønsker at sammenligne med et lånetilbud hvor man skal betale 1,1% pr. måned i rente (og der er rentetilskriv-ning hver måned). Vi vil nu omregne den månedlige rente på 1,1% til en årlig rente så vi kan sammenligne renterne.

Vi omregner på følgende måde:

Fra månedlig til årlig rente:Med en månedlig rente på 1,1% får vi den månedlige fremskrivningsfaktor til:

Fmåned ,, ,1

1001 1

1 0 011 1 011= + = + =

Vi vil nu udregne den årlige fremskrivningsfaktor. Dette kræver at vi ganger den månedlige fremskrivningsfaktor med sig selv 12 gange (læs evt. rammen s. 48). Derfor får vi:

Får = (Fmåned )12 = ,1 01112^ h ,1 140=

Vi skal nu finde den årlige procentændring, dvs. den årlige rente:

Procentændring = Får , , , %1 1 140 1 0 140 14 0- = - = =

Dermed er renten på dette lånetilbud højere end de 13,2%.

Fra årlig til månedlig rente:Hvis vi har en årlig rente på 10%, kan vi udregne den må-nedlige rente (pas dog på når begrebet »pålydende rente« anvendes – læs evt. mere på bogens hjemmeside). Vi finder først den årlige fremskrivningsfaktor:

Får , ,110010 1 0 1 1 1= + = + =

Vi skal dernæst finde den månedlige fremskrivningsfaktor. Vi skal finde det tal der ganget med sig selv 12 gange, giver 1,1. Dette gør vi ved at uddrage den 12. rod af 1,1:

Fmåned = Får12 , ,1 1 1 00812= =

Vi kan herefter få renten, dvs. procentændringen:

rmåned = Fmåned , , %1 1 008 1 0 8- = - =

WWW


Kort om rødder og potenserVi kan udregne:

4 162= og 16 4=

5 252= og 25 5=

Egentlig burde vi skrive kvadratroden som »den anden rod af«, f.eks. 162 , men det er der ingen tradition for. Vi kan se at når vi »sætter noget i anden potens«, så er det så at sige det modsatte af at uddrage kvadratroden (når vi ikke inddrager negative tal).

Dette princip kan vi udvide så vi f.eks. kan udregne: 4 4 4 4 643 $ $= = og 64 43 =hvor man læser 643 som »den tredje rod af 64«. 5 5 5 5 5 6254 $ $ $= = og 625 54 =Her læser man 6254 som »den fjerde rod af 625«.Du kan evt. læse mere om potensregning i rammerne s. 160 og 162.

Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt

Man kan få behov for at skulle sammenligne renter. Det kan være at man for et lån har en årlig rente på 13,2% som man ønsker at sammenligne med et lånetilbud hvor man skal betale 1,1% pr. måned i rente (og der er rentetilskriv-ning hver måned). Vi vil nu omregne den månedlige rente på 1,1% til en årlig rente så vi kan sammenligne renterne.

Vi omregner på følgende måde:

Fra månedlig til årlig rente:Med en månedlig rente på 1,1% får vi den månedlige fremskrivningsfaktor til:

Fmåned ,, ,1

1001 1

1 0 011 1 011= + = + =

Vi vil nu udregne den årlige fremskrivningsfaktor. Dette kræver at vi ganger den månedlige fremskrivningsfaktor med sig selv 12 gange (læs evt. rammen s. 48). Derfor får vi:

Får = (Fmåned )12 = ,1 01112^ h ,1 140=

Vi skal nu finde den årlige procentændring, dvs. den årlige rente:

Procentændring = Får , , , %1 1 140 1 0 140 14 0- = - = =

Dermed er renten på dette lånetilbud højere end de 13,2%.

Fra årlig til månedlig rente:Hvis vi har en årlig rente på 10%, kan vi udregne den må-nedlige rente (pas dog på når begrebet »pålydende rente« anvendes – læs evt. mere på bogens hjemmeside). Vi finder først den årlige fremskrivningsfaktor:

Får , ,110010 1 0 1 1 1= + = + =

Vi skal dernæst finde den månedlige fremskrivningsfaktor. Vi skal finde det tal der ganget med sig selv 12 gange, giver 1,1. Dette gør vi ved at uddrage den 12. rod af 1,1:

Fmåned = Får12 , ,1 1 1 00812= =

Vi kan herefter få renten, dvs. procentændringen:

rmåned = Fmåned , , %1 1 008 1 0 8- = - =

WWW


Renters rente

Hvis man sætter penge i banken, får man normalt rente af det beløb man har sat ind. Hvis man sætter 1 000 kr. ind på en konto der f.eks. giver 2% i rente pr. år, så vil man efter 1 år have:

1000 $ 11002+b l , ,1000 1 02 1020 00$= = kr.

Hvis man lader pengene stå endnu et år, vil man have:

, ,1020 1 02 1040 40$ = kr.

Første år får man altså 20 kr. i rente, mens man andet år får 20,40 kr. i rente. At rentebeløbet andet år er større end første år skyldes at man også får renter af første års renter.

Kapitalfremskrivning

Rentes-renteprincippet danner grundlag for den såkaldte kapitalfremskrivning:

K = K0 $ (1+r)n

Eksempel 1

Hvis man sætter 1 000 kr. i banken, får 2% i rente om året og lader pengene stå i 14 år, vil man have:

K 1000 $= 1 +^ ,0 0214

h , ,1000 1 02 1319 4814$= = kr.

Eksempel 2

Den 1. maj 2005 sættes 200 kr. i banken. Vi antager at for-muen vokser med 15% om året. Søjlerne viser hvor meget man har år for år.

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Form

ue

i kr.

Antal år efter 1. maj 2005

Beregninger med kapitalfremskrivning

Formlen for kapitalfremskrivning er at opfatte som en ligning, og vi kan i princippet udregne den ubekendte hvis vi kender tre af værdierne der indgår.

At finde K0

Vi kan udregne begyndelsesbeløbet hvis vi har oplyst slut-beløbet, renten og antal terminer.

Lad os betragte et eksempel hvor vi efter 8 år har 32 343,73 kr. stående på en konto i en bank. Der har i de 8 år været en konstant rente på 3,8% pr. år. Vi ønsker at udregne hvor meget vi satte ind på kontoen:

Slutbeløbet – dvs. beløbet efter

n terminerBegyndelses-

beløbet

Renten pr. termin – f.eks. pr. år eller måned

Antal termi-ner

– f.eks. 5 år eller 60 måneder

HUSK


Renters rente

Hvis man sætter penge i banken, får man normalt rente af det beløb man har sat ind. Hvis man sætter 1 000 kr. ind på en konto der f.eks. giver 2% i rente pr. år, så vil man efter 1 år have:

1000 $ 11002+b l , ,1000 1 02 1020 00$= = kr.

Hvis man lader pengene stå endnu et år, vil man have:

, ,1020 1 02 1040 40$ = kr.

Første år får man altså 20 kr. i rente, mens man andet år får 20,40 kr. i rente. At rentebeløbet andet år er større end første år skyldes at man også får renter af første års renter.

Kapitalfremskrivning

Rentes-renteprincippet danner grundlag for den såkaldte kapitalfremskrivning:

K = K0 $ (1+r)n

Eksempel 1

Hvis man sætter 1 000 kr. i banken, får 2% i rente om året og lader pengene stå i 14 år, vil man have:

K 1000 $= 1 +^ ,0 0214

h , ,1000 1 02 1319 4814$= = kr.

Eksempel 2

Den 1. maj 2005 sættes 200 kr. i banken. Vi antager at for-muen vokser med 15% om året. Søjlerne viser hvor meget man har år for år.

500

1 000

1 500

2 000

2 500

3 000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Form

ue

i kr.

Antal år efter 1. maj 2005

Beregninger med kapitalfremskrivning

Formlen for kapitalfremskrivning er at opfatte som en ligning, og vi kan i princippet udregne den ubekendte hvis vi kender tre af værdierne der indgår.

At finde K0

Vi kan udregne begyndelsesbeløbet hvis vi har oplyst slut-beløbet, renten og antal terminer.

Lad os betragte et eksempel hvor vi efter 8 år har 32 343,73 kr. stående på en konto i en bank. Der har i de 8 år været en konstant rente på 3,8% pr. år. Vi ønsker at udregne hvor meget vi satte ind på kontoen:

Slutbeløbet – dvs. beløbet efter

n terminerBegyndelses-

beløbet

Renten pr. termin – f.eks. pr. år eller måned

Antal termi-ner

– f.eks. 5 år eller 60 måneder

HUSK

Sammenhænge mellem variable 103 102 Funktioner

Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable?

Vi vil i dette afsnit fremlægge hvordan man matematisk kan beskrive en sammenhæng mellem to variable der for-andres, dvs. varierer. Det kan f.eks. være når noget udvik-ler sig med tiden – hvor tiden så er den ene variabel. Lad os først betragte fire eksempler på sammenhænge:

Eksempel 1

Et døgns temperatur er forskellig afhængig af hvilken dag i ét bestemt år der er tale om. Vi kan ikke bare vide at fordi det er den 3. august, så bliver døgnets gennemsnitstempe-ratur 17 grader.

Eksempel på vejrets udvikling hvor sammenhængen mel-lem temperatur og tiden er vist.

(Nederst i figuren angives også vindhastigheden, men den interesserer vi os ikke for

her. Vindhastigheden måles i meter pr. sekund, forkortet m/s)

Eksempel 2

Danmarks forbrug af el afhænger af tidspunktet på døg-net. Dette mønster gentager sig nogenlunde stabilt på hverdage, men niveauet er naturligvis væsentligt højere om vinteren end om sommeren.

Eksempel 3

Prisen for en tur med taxa afhænger dels af hvor lang tid man kører, men først og fremmest af hvor langt man kører.Derfor er der her tale om en sammenhæng mellem tre forhold. På dette niveau vil vi udelukkende betragte sammenhænge mellem to forhold.Hvis vi her forsimpler og undlader at inddrage tiden, kan vi opstille en tilnærmet beskrivelse af f.eks. hvordan prisen afhænger af antal kørte km. Sådanne forenklinger af vir-keligheden foretager vi ofte i matematik.

Eksempel 4

Hvis man sætter 3 500 kr. i banken og renten er på 3% pr. år, kan man regne sig frem til at man efter 7 år har: 3 500 · 1,037 = 4 304,56 kr. hvis renten er konstant i alle 7 år. Vi vælger derfor at betragte renten som en konstant, mens vi derefter har to værdier der varierer:1 Størrelsen af det beløb vi sætter i banken2 Størrelsen af det beløb vi kan hæve efter 7 år.

At vi ikke blot får 3% af 3 500 kr. i rente pr. år (105 kr.), skyldes at vi får renter af renterne.

Hvis vi ønsker at udregne slutbeløbet, er det opsparede beløb den afhængige variable. Slutbeløbet afhænger af det indsatte beløb. Det indsatte beløb er dermed den uafhæn-gige variable.

På vej mod modeller for sammenhænge

Hvis elektricitet koster 1 020 kr. om året i målerafgift, og prisen pr. kilowatttime konstant gennem året er 1,30 kr., så kan vi regne ud hvad vi skal betale hvis vi bruger 3 000 kilowatttimer på et år i el.


Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable?

Vi vil i dette afsnit fremlægge hvordan man matematisk kan beskrive en sammenhæng mellem to variable der for-andres, dvs. varierer. Det kan f.eks. være når noget udvik-ler sig med tiden – hvor tiden så er den ene variabel. Lad os først betragte fire eksempler på sammenhænge:

Eksempel 1

Et døgns temperatur er forskellig afhængig af hvilken dag i ét bestemt år der er tale om. Vi kan ikke bare vide at fordi det er den 3. august, så bliver døgnets gennemsnitstempe-ratur 17 grader.

Eksempel på vejrets udvikling hvor sammenhængen mel-lem temperatur og tiden er vist.

(Nederst i figuren angives også vindhastigheden, men den interesserer vi os ikke for

her. Vindhastigheden måles i meter pr. sekund, forkortet m/s)

Eksempel 2

Danmarks forbrug af el afhænger af tidspunktet på døg-net. Dette mønster gentager sig nogenlunde stabilt på hverdage, men niveauet er naturligvis væsentligt højere om vinteren end om sommeren.

Eksempel 3

Prisen for en tur med taxa afhænger dels af hvor lang tid man kører, men først og fremmest af hvor langt man kører.Derfor er der her tale om en sammenhæng mellem tre forhold. På dette niveau vil vi udelukkende betragte sammenhænge mellem to forhold.Hvis vi her forsimpler og undlader at inddrage tiden, kan vi opstille en tilnærmet beskrivelse af f.eks. hvordan prisen afhænger af antal kørte km. Sådanne forenklinger af vir-keligheden foretager vi ofte i matematik.

Eksempel 4

Hvis man sætter 3 500 kr. i banken og renten er på 3% pr. år, kan man regne sig frem til at man efter 7 år har: 3 500 · 1,037 = 4 304,56 kr. hvis renten er konstant i alle 7 år. Vi vælger derfor at betragte renten som en konstant, mens vi derefter har to værdier der varierer:1 Størrelsen af det beløb vi sætter i banken2 Størrelsen af det beløb vi kan hæve efter 7 år.

At vi ikke blot får 3% af 3 500 kr. i rente pr. år (105 kr.), skyldes at vi får renter af renterne.

Hvis vi ønsker at udregne slutbeløbet, er det opsparede beløb den afhængige variable. Slutbeløbet afhænger af det indsatte beløb. Det indsatte beløb er dermed den uafhæn-gige variable.

På vej mod modeller for sammenhænge

Hvis elektricitet koster 1 020 kr. om året i målerafgift, og prisen pr. kilowatttime konstant gennem året er 1,30 kr., så kan vi regne ud hvad vi skal betale hvis vi bruger 3 000 kilowatttimer på et år i el.


Vi udregner:

Pris for 3 000 kilowatttimer: 3 000 · 1,30 + 1 020 = 4 920 kr.

Her er forbruget den uafhængige variabel mens den samlede pris er den afhængige variabel (der afhænger af forbruget).

De fleste sammenhænge i virkelighedens verden lader sig ikke så let beskrive matematisk. Nogle typer af sammen-hænge kræver mere avanceret matematik end den der er indeholdt i dette niveau.

Sammenhænge betegnes matematisk som funktioner. Tre typer af funktioner optræder ret hyppigt og er anvendelige til at beskrive sammenhænge i virkelighedens verden:

l Lineære sammenhænge dvs. lineære funktionerl Eksponentielle sammenhænge dvs. eksponentielle

funktionerl Potenssammenhænge dvs. potensfunktioner

Disse tre typer af sammenhænge eller funktioner vender vi tilbage til i de efterfølgende kapitler side 113, 128 og 165.

Eksempler på sammenhænge

Visse sammenhænge er alment kendte. Det er f.eks. muligt at opstille en sammenhæng mellem radius i en cirkel og arealet af en cirkel fordi der her indgår to forhold der vari-erer, nemlig arealet og radius. Sammenhængen fandt man frem til allerede i oldtidens Grækenland:

Areal af cirkel = r · (radius)2

Her er tegnet r »pi«, dvs. p i det græske alfabet (pi er en underfundig konstant som vi omtalte side 32).

Hvis vi oversætter til matematisk notation hvor arealet af cirklen betegnes y og radius betegnes x, så gælder altså:

y = r · x2,

hvor x er den uafhængige variabel, og y er den afhængige variabel. Vi kalder y = r · x2 for regneforskriften for funk-tionen.

HUSK Hvad er en funktion?En funktion er en matematisk beskrivelse af sammen-hængen mellem uafhængige og afhængige variable.

Vi kan beskrive sammenhængen på følgende måder:l Ved hjælp af en grafl Ved hjælp af en tabell Ved hjælp af en regneforskrift (se næste side), f.eks.

y = 1,10 · x + 1 020

En funktion kunne f.eks. have regneforskriften:

y = 2 · x2

Vi kan så udregne y-værdien når vi får oplyst x-værdien.

x = 1: y = 2 · 12 = 2 · (12) = 2 · 1 = 2

x = 3: y = 2 · 32 = 2 · (32) = 2 · 9 = 18

x = 10: y = 2 · 102 = 2 · (102) = 2 · 100 = 200

x = - 4: y = 2 · (- 4)2 = 2 · 16 = 32


Vi udregner:

Pris for 3 000 kilowatttimer: 3 000 · 1,30 + 1 020 = 4 920 kr.

Her er forbruget den uafhængige variabel mens den samlede pris er den afhængige variabel (der afhænger af forbruget).

De fleste sammenhænge i virkelighedens verden lader sig ikke så let beskrive matematisk. Nogle typer af sammen-hænge kræver mere avanceret matematik end den der er indeholdt i dette niveau.

Sammenhænge betegnes matematisk som funktioner. Tre typer af funktioner optræder ret hyppigt og er anvendelige til at beskrive sammenhænge i virkelighedens verden:

l Lineære sammenhænge dvs. lineære funktionerl Eksponentielle sammenhænge dvs. eksponentielle

funktionerl Potenssammenhænge dvs. potensfunktioner

Disse tre typer af sammenhænge eller funktioner vender vi tilbage til i de efterfølgende kapitler side 113, 128 og 165.

Eksempler på sammenhænge

Visse sammenhænge er alment kendte. Det er f.eks. muligt at opstille en sammenhæng mellem radius i en cirkel og arealet af en cirkel fordi der her indgår to forhold der vari-erer, nemlig arealet og radius. Sammenhængen fandt man frem til allerede i oldtidens Grækenland:

Areal af cirkel = r · (radius)2

Her er tegnet r »pi«, dvs. p i det græske alfabet (pi er en underfundig konstant som vi omtalte side 32).

Hvis vi oversætter til matematisk notation hvor arealet af cirklen betegnes y og radius betegnes x, så gælder altså:

y = r · x2,

hvor x er den uafhængige variabel, og y er den afhængige variabel. Vi kalder y = r · x2 for regneforskriften for funk-tionen.

HUSK Hvad er en funktion?En funktion er en matematisk beskrivelse af sammen-hængen mellem uafhængige og afhængige variable.

Vi kan beskrive sammenhængen på følgende måder:l Ved hjælp af en grafl Ved hjælp af en tabell Ved hjælp af en regneforskrift (se næste side), f.eks.

y = 1,10 · x + 1 020

En funktion kunne f.eks. have regneforskriften:

y = 2 · x2

Vi kan så udregne y-værdien når vi får oplyst x-værdien.

x = 1: y = 2 · 12 = 2 · (12) = 2 · 1 = 2

x = 3: y = 2 · 32 = 2 · (32) = 2 · 9 = 18

x = 10: y = 2 · 102 = 2 · (102) = 2 · 100 = 200

x = - 4: y = 2 · (- 4)2 = 2 · 16 = 32


Sammenhænge fra virkelighedens verden kan være van-skelige at beskrive matematisk, og derfor vælger man ofte at betragte forsimplede sammenhænge. Dette er i øvrigt en situation man hyppigt støder på når man arbejder med matematik. Hvis man anvender matematikkens verden som træningsbane, bliver situationen mere overskuelig. En ulempe ved at træne i matematikkens verden er at man netop fjerner sig fra virkeligheden, og matematikken kan blive unødigt abstrakt.

Ligefrem proportionalitet

Vi betragter funktionen med regneforskriften:

y = 2 · x

Her kan man se at hvis x = 4, så er y = 8, hvis x = 20, så er y = 40. Denne sammenhæng kan beskrives med orde-ne: y er det dobbelte af x.

I en sådan type funktion siger man at y er proportional med x. Når den ene værdi (x eller y) fremkommer ved at man ganger den anden med en konstant faktor, betegner man sammenhængen som ligefrem proportional.

Den generelle regneforskrift for ligefrem proportionalitet er:

y = k · x

hvor k er et konstant tal forskelligt fra nul.

Hvis man her har x = 4, så er y =

41 = 0,25,

hvis x = 40, så er y = 401 = 0,025.

Her gælder altså at hvis x vokser, så bliver y mindre og mindre.

Den generelle regneforskrift for omvendt proportionalitet er:

y k x

1$=


Fra regneforskrift til graf

Vi har ofte lettere ved at betragte billeder end vi har ved at læse tekst og afkode tal. Derfor kan det være en fordel at tegne det grafiske billede af en sammenhæng.

Det er oplagt at anvende elektroniske hjælpemidler til at tegne sådanne grafiske billeder – også betegnet kurver eller grafer. Man kan anvende grafregnere eller matematikpro-grammer til computere.

Hvis man skal tegne en kurve uden brug af pc eller graf-regner, er metoden at man vælger en række x-værdier hvorefter man så udregner de tilhørende y-værdier. Herved får man en række punkter som man kan tegne i et koor-dinatsystem og derefter forbinde punkterne så man får en kurve frem – som beskrevet i næste afsnit.

HUSK

HUSK ProportionalitetsfaktorKonstanten k i ligefrem og omvendt proportionalitet kaldes »proportionalitetsfaktoren«.

Omvendt proportionalitet

Hvis vi betragter funktionen med regneforskriften y x

1=

taler vi om omvendt proportionalitet.


Sammenhænge fra virkelighedens verden kan være van-skelige at beskrive matematisk, og derfor vælger man ofte at betragte forsimplede sammenhænge. Dette er i øvrigt en situation man hyppigt støder på når man arbejder med matematik. Hvis man anvender matematikkens verden som træningsbane, bliver situationen mere overskuelig. En ulempe ved at træne i matematikkens verden er at man netop fjerner sig fra virkeligheden, og matematikken kan blive unødigt abstrakt.

Ligefrem proportionalitet

Vi betragter funktionen med regneforskriften:

y = 2 · x

Her kan man se at hvis x = 4, så er y = 8, hvis x = 20, så er y = 40. Denne sammenhæng kan beskrives med orde-ne: y er det dobbelte af x.

I en sådan type funktion siger man at y er proportional med x. Når den ene værdi (x eller y) fremkommer ved at man ganger den anden med en konstant faktor, betegner man sammenhængen som ligefrem proportional.

Den generelle regneforskrift for ligefrem proportionalitet er:

y = k · x


Hvis man her har x = 4, så er y =

41 = 0,25,

hvis x = 40, så er y = 401 = 0,025.

Her gælder altså at hvis x vokser, så bliver y mindre og mindre.

Den generelle regneforskrift for omvendt proportionalitet er:

y k x

1$=


Fra regneforskrift til graf

Vi har ofte lettere ved at betragte billeder end vi har ved at læse tekst og afkode tal. Derfor kan det være en fordel at tegne det grafiske billede af en sammenhæng.

Det er oplagt at anvende elektroniske hjælpemidler til at tegne sådanne grafiske billeder – også betegnet kurver eller grafer. Man kan anvende grafregnere eller matematikpro-grammer til computere.

Hvis man skal tegne en kurve uden brug af pc eller graf-regner, er metoden at man vælger en række x-værdier hvorefter man så udregner de tilhørende y-værdier. Herved får man en række punkter som man kan tegne i et koor-dinatsystem og derefter forbinde punkterne så man får en kurve frem – som beskrevet i næste afsnit.

HUSK

HUSK ProportionalitetsfaktorKonstanten k i ligefrem og omvendt proportionalitet kaldes »proportionalitetsfaktoren«.

Omvendt proportionalitet

Hvis vi betragter funktionen med regneforskriften y x

1=

taler vi om omvendt proportionalitet.

Documents

Matema10k C-niveau